Es ist absolut unmöglich, physikalische Probleme oder Beispiele in der Mathematik zu lösen, ohne die Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung zu kennen. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte der mathematischen Analyse. Wir haben uns entschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen können zu einer kombiniert werden: Wie versteht man die Ableitung?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Es gebe eine Funktion f(x) , gegeben in einem gewissen Intervall (a,b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich die Funktion selbst. Argumentänderung - Unterschied seiner Werte x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Die Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten der Funktion an zwei Punkten. Ableitungsdefinition:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem gegebenen Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn letzteres gegen Null geht.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Was bringt es, eine solche Grenze zu finden? Aber welcher:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung: die zeitliche Ableitung des Weges ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein Privatweg ist. x=f(t) und Zeit t . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:

Um die Geschwindigkeit der Bewegung zu einem Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen die Grenze berechnen:

Regel eins: Nimm die Konstante heraus

Die Konstante kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Außerdem muss es gemacht werden. Nehmen Sie beim Lösen von Beispielen in Mathematik in der Regel - Wenn Sie den Ausdruck vereinfachen können, vereinfachen Sie ihn unbedingt .

Beispiel. Lassen Sie uns die Ableitung berechnen:

Regel zwei: Ableitung der Summe von Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Differenz von Funktionen.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Regel drei: die Ableitung des Produkts von Funktionen

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Hier ist es wichtig, über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel begegnen wir dem Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, betrachten wir zuerst die Ableitung der externen Funktion in Bezug auf das Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst in Bezug auf die unabhängige Variable.

Regel 4: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint, seien Sie also gewarnt: Es gibt oft Fallstricke in den Beispielen, also seien Sie vorsichtig bei der Berechnung von Derivaten.

Bei allen Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. In kurzer Zeit helfen wir Ihnen, die schwierigsten Steuerungs- und Aufgabenstellungen zu lösen, auch wenn Sie sich noch nie mit der Berechnung von Derivaten beschäftigt haben.

Funktionsforschung. In diesem Artikel werden wir über Aufgaben sprechen, bei denen Funktionen berücksichtigt werden, und unter der Bedingung, dass es Fragen zu ihrem Studium gibt. Betrachten Sie die wichtigsten theoretischen Punkte, die Sie kennen und verstehen müssen, um sie zu lösen.

Dies ist eine ganze Gruppe von Aufgaben, die in der Prüfung in Mathematik enthalten sind. Normalerweise wird die Frage gestellt, ob man die Punkte des Maximums (Minimums) finden oder den größten (kleinsten) Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall bestimmen möchte.Betrachtet:

— Macht und irrationale Funktionen.

— Rationale Funktionen.

— Studium von Werken und privat.

— Logarithmische Funktionen.

- Trigonometrische Funktionen.

Wenn Sie die Theorie der Grenzwerte, das Konzept einer Ableitung, die Eigenschaften einer Ableitung zum Studium von Funktionsgraphen und ihre verstehen, werden Ihnen solche Probleme keine Schwierigkeiten bereiten und Sie werden sie mit Leichtigkeit lösen.

Die folgenden Informationen sind theoretische Punkte, deren Verständnis es ermöglicht, zu erkennen, wie solche Probleme gelöst werden können. Ich werde versuchen, sie so zu formulieren, dass selbst diejenigen, die dieses Thema verpasst oder schlecht studiert haben, solche Probleme ohne große Schwierigkeiten lösen können.

Bei den Problemen dieser Gruppe ist es, wie bereits erwähnt, erforderlich, entweder den minimalen (maximalen) Punkt der Funktion oder den größten (kleinsten) Wert der Funktion auf dem Intervall zu finden.

Mindest- und Höchstpunktzahl.Abgeleitete Eigenschaften.

Betrachten Sie den Graphen der Funktion:

Punkt A ist der Maximalpunkt, auf dem Intervall von O nach A nimmt die Funktion zu, auf dem Intervall von A nach B nimmt sie ab.

Punkt B ist ein Minimumpunkt, im Intervall von A nach B nimmt die Funktion ab, im Intervall von B nach C nimmt sie zu.

An diesen Punkten (A und B) verschwindet die Ableitung (gleich Null).

Die Tangenten an diesen Punkten sind parallel zur Achse Ochse.

Ich füge hinzu, dass die Punkte, an denen die Funktion ihr Verhalten von ansteigend zu fallend (und umgekehrt, von fallend zu steigend) ändert, als Extrema bezeichnet werden.

Wichtiger Punkt:

1. Die Ableitung bei zunehmenden Intervallen hat ein positives Vorzeichen (nWenn man einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung einsetzt, erhält man eine positive Zahl).

Wenn also die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen positiven Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall zu.

2. In den abnehmenden Intervallen hat die Ableitung ein negatives Vorzeichen (wenn der Wert aus dem Intervall in den Ableitungsausdruck eingesetzt wird, erhält man eine negative Zahl).

Wenn also die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen negativen Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall ab.

Das muss deutlich gemacht werden!

Indem Sie also die Ableitung berechnen und mit Null gleichsetzen, können Sie Punkte finden, die die reelle Achse in Intervalle teilen.Auf jedem dieser Intervalle können Sie das Vorzeichen der Ableitung bestimmen und dann auf deren Zunahme oder Abnahme schließen.

* Getrennt davon sollte über die Punkte gesprochen werden, an denen die Ableitung nicht existiert. Zum Beispiel können wir eine Ableitung erhalten, deren Nenner bei einem bestimmten x verschwindet. Es ist klar, dass für solche x die Ableitung nicht existiert. Dieser Punkt muss also auch bei der Bestimmung der Intervalle der Zunahme (Abnahme) berücksichtigt werden.

Die Funktion ändert an Punkten, an denen die Ableitung gleich Null ist, nicht immer ihr Vorzeichen. Dies wird ein separater Artikel sein. Bei der USE selbst wird es keine solchen Aufgaben geben.

Die obigen Eigenschaften sind notwendig, um das Verhalten einer Funktion beim Zunehmen und Abnehmen zu untersuchen.

Was Sie sonst noch wissen müssen, um die angegebenen Aufgaben zu lösen: die Ableitungstabelle und die Ableitungsregeln. Nichts ohne das. Das ist Grundwissen im Thema Derivate. Du solltest die Ableitungen elementarer Funktionen sehr gut kennen.

Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktionf(g(x)), Stellen Sie sich die Funktion vorg(x) eine Variable ist und dann die Ableitung berechnenf’(g(x)) durch Tabellenformeln als gewöhnliche Ableitung einer Variablen. Dann multipliziere das Ergebnis mit der Ableitung der Funktiong(x) .

Sehen Sie sich ein Video-Tutorial von Maxim Semenikhin zu einer komplexen Funktion an:

Probleme beim Finden der maximalen und minimalen Punkte

Der Algorithmus zum Finden der maximalen (minimalen) Punkte der Funktion:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion f’(x).

2. Finden Sie die Nullstellen der Ableitung (indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen f’(x)=0 und lösen Sie die resultierende Gleichung). Wir finden auch Punkte, an denen die Ableitung nicht existiert(insbesondere betrifft dies gebrochen-rationale Funktionen).

3. Wir markieren die erhaltenen Werte auf der Zahlenlinie und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in diesen Intervallen, indem wir die Werte aus den Intervallen in den Ableitungsausdruck einsetzen.

Die Ausgabe wird eine von zwei sein:

1. Der maximale Punkt ist der Punktbei dem die Ableitung von positiv nach negativ wechselt.

2. Der Minimalpunkt ist der Punktbei dem die Ableitung von negativ nach positiv wechselt.

Probleme beim Finden des größten oder kleinsten Werts

Funktionen im Intervall.

Bei einem anderen Problemtyp ist es erforderlich, den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu finden.

Der Algorithmus zum Finden des größten (kleinsten) Funktionswerts:

1. Bestimmen Sie, ob es maximale (minimale) Punkte gibt. Dazu finden wir die Ableitung f’(x) , dann lösen f’(x)=0 (Punkte 1 und 2 aus dem vorherigen Algorithmus).

2. Wir stellen fest, ob die erhaltenen Punkte zu einem bestimmten Intervall gehören und schreiben die darin liegenden auf.

3. Wir setzen in die ursprüngliche Funktion (nicht in die Ableitung, sondern in die in der Bedingung gegebene) die Grenzen des gegebenen Intervalls und die innerhalb des Intervalls liegenden Punkte (Maximum-Minimum) ein (Punkt 2).

4. Wir berechnen die Werte der Funktion.

5. Wir wählen den größten (kleinsten) Wert aus den erhaltenen aus, je nachdem, welche Frage in der Aufgabe gestellt wurde, und schreiben dann die Antwort auf.

Frage: Warum ist es bei den Aufgaben, den größten (kleinsten) Wert einer Funktion zu finden, notwendig, nach maximalen (minimalen) Punkten zu suchen?

Die Antwort lässt sich am besten veranschaulichen, siehe eine schematische Darstellung der von den Funktionen gegebenen Graphen:

In den Fällen 1 und 2 reicht es aus, die Grenzen des Intervalls zu ersetzen, um den maximalen oder minimalen Wert der Funktion zu bestimmen. In den Fällen 3 und 4 müssen die Nullstellen der Funktion (Maximal-Minimum-Punkte) gefunden werden. Wenn wir die Grenzen des Intervalls ersetzen (ohne die Nullstellen der Funktion zu finden), erhalten wir die falsche Antwort, dies ist aus den Diagrammen ersichtlich.

Und die Sache ist die, dass wir mit einer bestimmten Funktion nicht sehen können, wie das Diagramm im Intervall aussieht (ob es ein Maximum oder ein Minimum innerhalb des Intervalls hat). Finden Sie deshalb unbedingt die Nullstellen der Funktion!!!

Wenn die Gleichung f'(x)=0 keine Lösung haben wird, bedeutet dies, dass es keine Maximum-Minimum-Punkte gibt (Abbildung 1.2), und um die gestellte Aufgabe zu finden, werden nur die Grenzen des Intervalls in diese Funktion eingesetzt.

Ein weiterer wichtiger Punkt. Denken Sie daran, dass die Antwort eine ganze Zahl oder eine letzte Dezimalzahl sein muss. Bei der Berechnung des größten und kleinsten Wertes einer Funktion erhalten Sie Ausdrücke mit den Zahlen e und pi sowie Ausdrücke mit einer Wurzel. Denken Sie daran, dass Sie sie nicht bis zum Ende berechnen müssen, und es ist klar, dass das Ergebnis solcher Ausdrücke nicht die Antwort sein wird. Wenn Sie einen solchen Wert berechnen möchten, tun Sie dies (Zahlen: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Ich habe viel geschrieben, wahrscheinlich verwirrt? An konkreten Beispielen werden Sie sehen, dass alles einfach ist.

Als nächstes möchte ich Ihnen ein kleines Geheimnis verraten. Tatsache ist, dass viele Aufgaben gelöst werden können, ohne die Eigenschaften der Ableitung zu kennen und sogar ohne die Ableitungsregeln. Ich werde Ihnen auf jeden Fall von diesen Nuancen erzählen und Ihnen zeigen, wie es gemacht wird? nicht verpassen!

Aber warum habe ich dann überhaupt die Theorie aufgestellt und auch gesagt, dass sie unbedingt bekannt sein muss. Das ist richtig - Sie müssen es wissen. Wenn Sie es verstehen, wird Sie keine Aufgabe in diesem Thema verwirren.

Diese „Tricks“, die Sie kennenlernen werden, helfen Ihnen bei der Lösung bestimmter (einiger) Prototypenprobleme. ZuAls zusätzliches Werkzeug sind diese Techniken natürlich bequem zu verwenden. Das Problem kann 2-3 mal schneller gelöst werden und spart Zeit für die Lösung von Teil C.

Alles Gute!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Ableitung einer Funktion einer Variablen.

Einführung.

Diese methodischen Weiterentwicklungen richten sich an Studierende der Fakultät Wirtschaftsingenieurwesen. Sie sind in Bezug auf das Programm des Studiengangs Mathematik im Abschnitt „Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen“ zusammengestellt.

Die Entwicklungen stellen einen einzigen methodischen Leitfaden dar, der Folgendes umfasst: kurze theoretische Informationen; „typische“ Aufgaben und Übungen mit ausführlichen Lösungen und Erläuterungen zu diesen Lösungen; Kontrollmöglichkeiten.

Zusätzliche Übungen am Ende jedes Absatzes. Eine solche Entwicklungsstruktur macht sie für die unabhängige Bewältigung des Abschnitts mit der minimalsten Unterstützung durch den Lehrer geeignet.

§eines. Definition eines Derivats.

Mechanische und geometrische Bedeutung

Derivat.

Der Begriff der Ableitung ist einer der wichtigsten Begriffe in der mathematischen Analyse und entstand bereits im 17. Jahrhundert. Die Bildung des Begriffs einer Ableitung ist historisch mit zwei Problemen verbunden: dem Problem der Geschwindigkeit variabler Bewegung und dem Problem einer Tangente an eine Kurve.

Diese Aufgaben führen trotz ihres unterschiedlichen Inhalts zu derselben mathematischen Operation, die an einer Funktion durchgeführt werden muss und die in der Mathematik einen besonderen Namen erhalten hat. Dies wird als Operation zum Differenzieren einer Funktion bezeichnet. Das Ergebnis einer Differenzieroperation wird als Ableitung bezeichnet.

Die Ableitung der Funktion y=f(x) am Punkt x0 ist also die Grenze (falls vorhanden) des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments
bei
.

Die Ableitung wird üblicherweise wie folgt bezeichnet:
.

Also per Definition

Die Symbole werden auch verwendet, um die Ableitung zu bezeichnen
.

Die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Wenn s=s(t) das Gesetz der geradlinigen Bewegung eines materiellen Punktes ist, dann
ist die Geschwindigkeit dieses Punktes zum Zeitpunkt t.

Die geometrische Bedeutung der Ableitung.

Wenn die Funktion y=f(x) an einem Punkt eine Ableitung hat , dann die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt
gleich
.

Beispiel.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion
am Punkt =2:

1) Lassen Sie uns einen Punkt geben =2 Inkrement
. Beachte das.

2) Finden Sie das Inkrement der Funktion an dem Punkt =2:

3) Bilden Sie das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments:

Finden wir den Grenzwert der Beziehung bei
:

.

Auf diese Weise,
.

§ 2. Ableitungen einiger

die einfachsten Funktionen.

Der Schüler muss lernen, wie man die Ableitungen bestimmter Funktionen berechnet: y=x,y= und allgemein y= .

Finde die Ableitung der Funktion y=x.

diese. (x)′=1.

Finden wir die Ableitung der Funktion

Derivat

Lassen
dann

Es ist leicht, ein Muster in den Ausdrücken für Ableitungen einer Potenzfunktion zu erkennen
bei n=1,2,3.

Folglich,

. (1)

Diese Formel gilt für jedes reelle n.

Insbesondere unter Verwendung von Formel (1) haben wir:

;

.

Beispiel.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

.

.

Diese Funktion ist ein Sonderfall einer Funktion des Formulars

bei
.

Mit Formel (1) haben wir

.

Ableitungen der Funktionen y=sin x und y=cos x.

Sei y = sinx.

Teilen Sie durch ∆x, erhalten wir

Beim Übergang zum Grenzwert als ∆x→0 haben wir

Sei y=cosx .

Beim Übergang zum Grenzwert als ∆x→0 erhalten wir

;
. (2)

§3. Grundregeln der Differenzierung.

Beachte die Differenzierungsregeln.

Satz1 . Wenn die Funktionen u=u(x) und v=v(x) an einem gegebenen Punkt x differenzierbar sind, dann ist auch ihre Summe an diesem Punkt differenzierbar, und die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungsterme: (u+v)"=u"+v".(3 )

Beweis: Betrachte die Funktion y=f(x)=u(x)+v(x).

Das Inkrement ∆x des Arguments x entspricht den Inkrementen ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) der Funktionen u und v. Dann wird die Funktion y inkrementiert

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Folglich,

Also (u+v)"=u"+v".

Satz2. Wenn die Funktionen u=u(x) und v=v(x) an einem gegebenen Punkt x differenzierbar sind, dann ist auch ihr Produkt an demselben Punkt differenzierbar.In diesem Fall wird die Ableitung des Produkts durch die folgende Formel gefunden : (uv) "=u" v + uv ". (vier)

Beweis: Sei y=uv, wobei u und v einige differenzierbare Funktionen von x sind. Sei x um ∆x inkrementiert, dann wird u um ∆u inkrementiert, v wird um ∆v inkrementiert und y wird um ∆y inkrementiert.

Wir haben y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), oder

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Daher ist ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Von hier

Wenn wir zum Grenzwert als ∆x→0 übergehen und berücksichtigen, dass u und v nicht von ∆x abhängen, haben wir

Satz 3. Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Nenner gleich dem Quadrat des Divisors ist, und der Zähler ist die Differenz zwischen dem Produkt der Ableitung des Dividenden durch den Divisor und dem Produkt der Dividende durch die Ableitung des Divisors, d.h.

Wenn ein
dann
(5)

Satz 4. Die Ableitung der Konstanten ist Null, d.h. wenn y=C, wobei С=const, dann y"=0.

Satz 5. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung genommen werden, d.h. wenn y=Cu(x), wobei С=const, dann y"=Cu"(x).

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

.

Diese Funktion hat die Form
, wobei u=x,v=cosx. Unter Anwendung der Ableitungsregel (4) finden wir

.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

.

Wir wenden Formel (5) an.

Hier
;
.

Aufgaben.

Finden Sie Ableitungen der folgenden Funktionen:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Bilden Sie das Verhältnis und berechnen Sie die Grenze.

Wo haben Ableitungstabelle und Ableitungsregeln? Dank einer einzigen Grenze. Es scheint wie Zauberei, aber in Wirklichkeit - Taschenspielertrick und kein Betrug. Im Unterricht Was ist ein Derivat? Ich fing an, konkrete Beispiele zu betrachten, wo ich unter Verwendung der Definition die Ableitungen einer linearen und einer quadratischen Funktion fand. Zum Zwecke des kognitiven Aufwärmens werden wir weiter stören Ableitungstabelle, Verfeinerung des Algorithmus und technische Lösungen:

Beispiel 1

Tatsächlich ist es erforderlich, einen Spezialfall der Ableitung einer Potenzfunktion zu beweisen, der normalerweise in der Tabelle erscheint: .

Lösung technisch auf zwei Arten formalisiert. Beginnen wir mit dem ersten, bereits bekannten Ansatz: Die Leiter beginnt mit einem Brett, und die Ableitungsfunktion beginnt mit einer Ableitung an einem Punkt.

In Betracht ziehen etwas(bestimmter) Punkt, der zugehört Domänen eine Funktion, die eine Ableitung hat. Stellen Sie an dieser Stelle die Schrittweite ein (natürlich nicht darüber hinauso/o -ICH) und bilden Sie das entsprechende Inkrement der Funktion:

Lassen Sie uns die Grenze berechnen:

Die Unsicherheit 0:0 wird durch eine Standardtechnik eliminiert, die bis ins erste Jahrhundert vor Christus zurückreicht. Multipliziere den Zähler und den Nenner mit dem adjungierten Ausdruck :

Die Technik zur Lösung einer solchen Grenze wird in der Einführungslektion ausführlich besprochen. über die Grenzen von Funktionen.

Da JEDER Punkt des Intervalls als gewählt werden kann, erhalten wir durch Ersetzen von :

Antworten

Erfreuen wir uns noch einmal an den Logarithmen:

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung der Funktion mithilfe der Definition der Ableitung

Lösung: Betrachten wir einen anderen Ansatz zur Förderung derselben Aufgabe. Es ist genau das gleiche, aber rationaler in Bezug auf das Design. Die Idee ist, den Index am Anfang der Lösung loszuwerden und den Buchstaben anstelle des Buchstabens zu verwenden.

In Betracht ziehen willkürlich Punkt zugehörig Domänen Funktion (Intervall ) und legen Sie darin das Inkrement fest. Und hier kann man übrigens wie in den meisten Fällen auf Bedenken verzichten, da die logarithmische Funktion an jeder Stelle im Definitionsbereich differenzierbar ist.

Dann ist das entsprechende Funktionsinkrement:

Finden wir die Ableitung:

Die Leichtigkeit des Designs wird durch die Verwirrung ausgeglichen, die Anfänger (und nicht nur) erleben können. Schließlich sind wir es gewohnt, dass sich der Buchstabe „X“ im Limit ändert! Aber hier ist alles anders: - eine antike Statue und - ein lebender Besucher, der fröhlich durch den Korridor des Museums geht. Das heißt, „x“ ist „wie eine Konstante“.

Ich werde die Beseitigung der Unsicherheit Schritt für Schritt kommentieren:

(1) Verwenden Sie die Eigenschaft des Logarithmus .

(2) In Klammern teilen wir den Zähler durch den Nenner Glied für Glied.

(3) Im Nenner multiplizieren und dividieren wir künstlich durch „x“, um davon zu profitieren wunderbare Grenze , während unendlich klein sticht heraus.

Antworten: per Definition von Derivat:

Oder kurz:

Ich schlage vor, zwei weitere tabellarische Formeln unabhängig voneinander zu konstruieren:

Beispiel 3

In diesem Fall ist das kompilierte Inkrement sofort bequem auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Ein ungefähres Beispiel der Aufgabe am Ende der Lektion (die erste Methode).

Beispiel 3:Lösung : Betrachten Sie einen Punkt , die zum Funktionsumfang gehören . Stellen Sie an dieser Stelle die Schrittweite ein und bilden Sie das entsprechende Inkrement der Funktion:

Lassen Sie uns die Ableitung an einem Punkt finden :


Seit als Sie können einen beliebigen Punkt auswählen Funktionsumfang , dann und
Antworten : per Definition der Ableitung

Beispiel 4

Ableitung per Definition finden

Und hier muss alles reduziert werden wunderbare Grenze. Die Lösung wird auf die zweite Weise eingerahmt.

Ebenso eine Reihe anderer tabellarische Ableitungen. Eine vollständige Liste findet sich in einem Schulbuch oder zB im 1. Band von Fichtenholtz. Ich sehe nicht viel Sinn darin, aus Büchern und Beweisen der Differenzierungsregeln umzuschreiben - sie werden auch durch die Formel generiert.

Beispiel 4:Lösung , besessen , und legen Sie ein Inkrement darin fest

Finden wir die Ableitung:

Die wunderbare Grenze nutzen

Antworten : per Definition

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion , unter Verwendung der Definition der Ableitung

Lösung: Verwenden Sie den ersten visuellen Stil. Betrachten wir einen Punkt, der zu gehört, legen wir das Inkrement des Arguments darin fest. Dann ist das entsprechende Funktionsinkrement:

Vielleicht haben einige Leser das Prinzip, nach dem ein Inkrement gemacht werden sollte, noch nicht ganz verstanden. Wir nehmen einen Punkt (Zahl) und finden darin den Wert der Funktion: , also in die Funktion Anstatt von"x" sollte ersetzt werden. Jetzt nehmen wir auch eine ganz bestimmte Zahl und setzen sie ebenfalls in die Funktion ein Anstatt von"x": . Wir schreiben die Differenz auf, solange es notwendig ist vollständig in Klammern setzen.

Zusammengesetztes Funktionsinkrement Es ist vorteilhaft, sofort zu vereinfachen. Wozu? Erleichtern und verkürzen Sie die Lösung des weiteren Limits.

Wir verwenden Formeln, öffnen Klammern und reduzieren alles, was sich reduzieren lässt:

Der Truthahn ist ausgenommen, beim Braten kein Problem:

Zusammenfassend:

Da als Qualität eine beliebige reelle Zahl gewählt werden kann, nehmen wir die Substitution vor und erhalten .

Antworten: per Definition.

Zur Verifizierung finden wir die Ableitung using Differenzierungsregeln und Tabellen:

Es ist immer nützlich und angenehm, die richtige Antwort im Voraus zu wissen, daher ist es besser, die vorgeschlagene Funktion „schnell“ ganz am Anfang der Lösung im Kopf oder auf einem Entwurf zu unterscheiden.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion durch die Definition der Ableitung

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Das Ergebnis liegt an der Oberfläche:

Beispiel 6:Lösung : Betrachten Sie einen Punkt , besessen , und legen Sie das Inkrement des Arguments darin fest . Dann ist das entsprechende Funktionsinkrement:


Lassen Sie uns die Ableitung berechnen:


Auf diese Weise:
Denn als jede reelle Zahl kann gewählt werden und
Antworten : per Definition.

Kommen wir zurück zu Stil Nr. 2:

Beispiel 7

Lassen Sie uns sofort herausfinden, was passieren sollte. Durch die Ableitungsregel einer komplexen Funktion:

Lösung: Betrachten Sie einen beliebigen Punkt, der zu gehört, setzen Sie das Inkrement des Arguments darin und bilden Sie das Inkrement der Funktion:

Finden wir die Ableitung:


(1) Verwenden trigonometrische Formel .

(2) Unter dem Sinus öffnen wir die Klammern, unter dem Kosinus stellen wir ähnliche Begriffe vor.

(3) Unter dem Sinus reduzieren wir die Terme, unter dem Cosinus teilen wir den Zähler durch den Nenner Term für Term.

(4) Wegen der Ungeradheit des Sinus nehmen wir das „Minus“ weg. Unter dem Kosinus geben wir an, dass der Term .

(5) Wir multiplizieren den zu verwendenden Nenner künstlich erste wunderbare Grenze. Damit die Unsicherheit beseitigt ist, kämmen wir das Ergebnis.

Antworten: per Definition

Wie Sie sehen können, liegt die Hauptschwierigkeit des betrachteten Problems in der Komplexität des Limits selbst + einer leichten Originalität des Packens. In der Praxis trifft man auf beide Gestaltungsmethoden, daher beschreibe ich beide Herangehensweisen so ausführlich wie möglich. Sie sind gleichwertig, aber dennoch ist es nach meinem subjektiven Eindruck für Dummies zielführender, bei der 1. Option mit „X Null“ zu bleiben.

Beispiel 8

Finden Sie mit Hilfe der Definition die Ableitung der Funktion

Beispiel 8:Lösung : betrachte einen beliebigen Punkt , besessen , legen wir ein Inkrement darin fest und machen Sie ein Inkrement der Funktion:

Finden wir die Ableitung:

Wir verwenden die trigonometrische Formel und die erste bemerkenswerte Grenze:

Antworten : per Definition

Lassen Sie uns eine seltenere Version des Problems analysieren:

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt mithilfe der Definition einer Ableitung.

Erstens, was sollte das Endergebnis sein? Nummer

Lassen Sie uns die Antwort auf die übliche Weise berechnen:

Lösung: Aus Sicht der Übersichtlichkeit ist diese Aufgabe viel einfacher, da die Formel stattdessen einen bestimmten Wert berücksichtigt.

Wir setzen an der Stelle ein Inkrement und setzen das entsprechende Inkrement der Funktion zusammen:

Berechnen Sie die Ableitung an einem Punkt:

Wir verwenden eine sehr seltene Formel für die Tangentendifferenz und reduziere die Lösung noch einmal auf erste wunderbare Grenze:

Antworten: per Definition der Ableitung an einem Punkt.

Die Aufgabe ist nicht so schwer zu lösen und „allgemein“ - es reicht aus, je nach Entwurfsmethode durch oder einfach zu ersetzen. In diesem Fall erhält man natürlich keine Zahl, sondern eine Ableitungsfunktion.

Beispiel 10

Finden Sie mit Hilfe der Definition die Ableitung der Funktion an einem Punkt (von dem sich einer als unendlich herausstellen kann), über den ich bereits allgemein gesprochen habe theoretische Lektion über die Ableitung.

Einige stückweise definierte Funktionen sind auch an den „Verzweigungspunkten“ des Graphen differenzierbar, zum Beispiel catdog hat eine gemeinsame Ableitung und eine gemeinsame Tangente (Abszisse) am Punkt . Kurve, ja differenzierbar durch ! Wer möchte, kann dies am Modell des soeben gelösten Beispiels selbst überprüfen.

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Bedingung

Die Linie y=3x+2 tangiert den Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10. Finden Sie b unter der Voraussetzung, dass die Abszisse des Berührungspunkts kleiner als Null ist.

Lösung anzeigen

Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10, durch den die Tangente an diesen Graphen verläuft.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Andererseits gehört der Tangentenpunkt sowohl zum Graphen der Funktion als auch zum Tangens, also -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(Fälle)

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Je nach Zustand der Abszisse sind die Berührungspunkte kleiner Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.

Antworten

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=-3x+4 ist parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7. Finde die Abszisse des Kontaktpunktes.

Lösung anzeigen

Lösung

Die Steigung der Geraden zum Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7 an einem beliebigen Punkt x_0 ist y"(x_0). Aber y"=-2x+5, also y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Der in der Bedingung angegebene Winkelkoeffizient der Linie y=-3x+4 ist -3.Parallele Linien haben die gleichen Steigungskoeffizienten.Daher finden wir einen Wert x_0, der =-2x_0 +5=-3 ist.

Wir erhalten: x_0 = 4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Lösung anzeigen

Lösung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(-6; 2) und B(-1; 1) verläuft. Bezeichne mit C(-6; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=-6 und y=1 und mit \alpha den Winkel ABC (in der Abbildung ist zu sehen, dass er spitz ist). Dann bildet die Gerade AB mit der positiven Richtung der Ox-Achse einen stumpfen Winkel \pi -\alpha.

Wie Sie wissen, ist tg(\pi -\alpha) der Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0. beachte das tg \alpha=\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Von hier aus erhalten wir durch die Reduktionsformeln: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=-2x-4 tangiert den Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12. Finden Sie b unter der Voraussetzung, dass die Abszisse des Berührungspunkts größer als Null ist.

Lösung anzeigen

Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12 durch die

tangiert diesen Graphen.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, also y "(x_0)=32x_0+b=-2. Andererseits gehört der Tangentenpunkt sowohl zum Graphen der Funktion als auch zum Tangente, also 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(Fälle)

Wenn wir das System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Je nach Zustand der Abszisse sind die Berührungspunkte größer Null, also x_0=1, dann b=-2-32x_0=-34.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), die auf dem Intervall (-2; 8) definiert ist. Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden y=6 verläuft.

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Lösung

Die Linie y=6 ist parallel zur Ox-Achse. Daher finden wir solche Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse ist. In diesem Diagramm sind solche Punkte Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen können, gibt es 4 Extrempunkte.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=4x-6 ist parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=x^2-4x+9. Finde die Abszisse des Kontaktpunktes.

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Lösung

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d x ^ 2-4x + 9 an einem beliebigen Punkt x_0 ist y "(x_0). Aber y" \u003d 2x-4, was y "(x_0) \ bedeutet u003d 2x_0-4. Die in der Bedingung angegebene Steigung der Tangente y \u003d 4x-7 ist gleich 4. Parallele Linien haben die gleichen Steigungen. Daher finden wir einen solchen Wert x_0, dass 2x_0-4 \u003d 4. Wir bekommen : x_0 \u003d 4.

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Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x_0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.

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Lösung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(1; 1) und B(5; 4) verläuft. Bezeichne mit C(5; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=5 und y=1 und mit \alpha den Winkel BAC (in der Abbildung ist zu sehen, dass er spitz ist). Dann bildet die Linie AB mit der positiven Richtung der Ox-Achse einen Winkel \alpha.