Beim Studium des Themas numerische, wörtliche Ausdrücke und Ausdrücke mit Variablen muss auf das Konzept geachtet werden Ausdruckswert. In diesem Artikel beantworten wir die Frage, was der Wert eines numerischen Ausdrucks ist, und was der Wert eines literalen Ausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen mit den ausgewählten Werten der Variablen ist. Um diese Definitionen zu verdeutlichen, geben wir Beispiele.

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Welchen Wert hat ein numerischer Ausdruck?

Die Bekanntschaft mit numerischen Ausdrücken beginnt fast mit den ersten Mathematikstunden in der Schule. Fast sofort wird das Konzept des „Wertes eines numerischen Ausdrucks“ eingeführt. Es bezieht sich auf Ausdrücke, die aus Zahlen bestehen, die durch arithmetische Zeichen verbunden sind (+, −, ·, :). Lassen Sie uns eine angemessene Definition geben.

Definition.

Der Wert eines numerischen Ausdrucks- Dies ist die Zahl, die nach Ausführung aller Aktionen im ursprünglichen numerischen Ausdruck erhalten wird.

Betrachten Sie beispielsweise den numerischen Ausdruck 1+2 . Nach der Ausführung erhalten wir die Zahl 3 , es ist der Wert des numerischen Ausdrucks 1+2 .

Oftmals wird bei der Wendung „Wert eines numerischen Ausdrucks“ das Wort „numerisch“ weggelassen und man sagt einfach „Wert des Ausdrucks“, da immer noch klar ist, welcher Ausdruck gemeint ist.

Die obige Definition der Bedeutung eines Ausdrucks gilt auch für numerische Ausdrücke komplexerer Form, die in der High School gelernt werden. Hierbei ist zu beachten, dass man auf Zahlenausdrücke stoßen kann, deren Werte nicht angegeben werden können. Dies liegt daran, dass es in einigen Ausdrücken unmöglich ist, die aufgezeichneten Aktionen auszuführen. Daher können wir beispielsweise den Wert des Ausdrucks 3:(2−2) nicht angeben. Solche numerischen Ausdrücke werden aufgerufen Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben.

In der Praxis interessiert oft weniger der numerische Ausdruck als vielmehr sein Wert. Das heißt, es entsteht die Aufgabe, die darin besteht, den Wert dieses Ausdrucks zu bestimmen. In diesem Fall sagen sie normalerweise, dass Sie den Wert des Ausdrucks finden müssen. In diesem Artikel wird der Prozess der Ermittlung des Werts von numerischen Ausdrücken verschiedener Art im Detail analysiert, und es werden viele Beispiele mit detaillierten Beschreibungen von Lösungen betrachtet.

Bedeutung von wörtlichen und variablen Ausdrücken

Neben numerischen Ausdrücken studieren sie wörtliche Ausdrücke, dh Ausdrücke, in denen ein oder mehrere Buchstaben zusammen mit Zahlen vorhanden sind. Buchstaben in einem wörtlichen Ausdruck können für verschiedene Zahlen stehen, und wenn die Buchstaben durch diese Zahlen ersetzt werden, wird der wörtliche Ausdruck zu einem numerischen.

Definition.

Die Zahlen, die Buchstaben in einem wörtlichen Ausdruck ersetzen, werden aufgerufen die Bedeutung dieser Buchstaben, und der Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks wird aufgerufen der Wert des wörtlichen Ausdrucks angesichts der Werte der Buchstaben.

Bei wörtlichen Ausdrücken spricht man also nicht nur von der Bedeutung des wörtlichen Ausdrucks, sondern von der Bedeutung des wörtlichen Ausdrucks für die gegebenen (gegebenen, angegebenen usw.) Werte der Buchstaben.

Nehmen wir ein Beispiel. Nehmen wir den wörtlichen Ausdruck 2·a+b . Seien die Werte der Buchstaben a und b gegeben, zum Beispiel a=1 und b=6 . Ersetzen wir die Buchstaben im ursprünglichen Ausdruck durch ihre Werte, erhalten wir einen numerischen Ausdruck der Form 2 1+6 , sein Wert ist 8 . Somit ist die Zahl 8 der Wert des wörtlichen Ausdrucks 2·a+b, wenn die Werte der Buchstaben a=1 und b=6 gegeben sind. Wenn andere Buchstabenwerte angegeben würden, würden wir den Wert des wörtlichen Ausdrucks für diese Buchstabenwerte erhalten. Bei a=5 und b=1 haben wir beispielsweise den Wert 2 5+1=11 .

In der High School, wenn man Algebra studiert, dürfen Buchstaben in wörtlichen Ausdrücken verschiedene Bedeutungen annehmen, solche Buchstaben werden Variablen genannt, und wörtliche Ausdrücke werden Ausdrücke mit Variablen genannt. Für diese Ausdrücke wird das Konzept des Werts eines Ausdrucks mit Variablen für die gewählten Werte der Variablen eingeführt. Lassen Sie uns herausfinden, was es ist.

Definition.

Der Wert eines Ausdrucks mit Variablen für die ausgewählten Werte der Variablen wird der Wert eines numerischen Ausdrucks aufgerufen, der nach dem Einsetzen der ausgewählten Werte der Variablen in den ursprünglichen Ausdruck erhalten wird.

Lassen Sie uns die Klangdefinition anhand eines Beispiels erläutern. Betrachten Sie einen Ausdruck mit Variablen x und y der Form 3·x·y+y . Nehmen wir x=2 und y=4 , setzen diese Variablenwerte in den ursprünglichen Ausdruck ein, wir erhalten den numerischen Ausdruck 3 2 4+4 . Berechnen wir den Wert dieses Ausdrucks: 3 2 4+4=24+4=28 . Der gefundene Wert 28 ist der Wert des ursprünglichen Ausdrucks mit den Variablen 3·x·y+y mit den ausgewählten Werten der Variablen x=2 und y=4 .

Wenn Sie andere Variablenwerte auswählen, z. B. x=5 und y=0 , entsprechen diese ausgewählten Variablenwerte dem Wert des Ausdrucks mit Variablen gleich 3 5 0+0=0 .

Es kann angemerkt werden, dass manchmal gleiche Werte des Ausdrucks für verschiedene gewählte Werte der Variablen erhalten werden können. Zum Beispiel ist für x=9 und y=1 der Wert des Ausdrucks 3 x y+y 28 (weil 3 9 1+1=27+1=28 ), und oben haben wir gezeigt, dass derselbe Wert Ausdruck mit ist Variablen hat bei x=2 und y=4 .

Variable Werte können aus ihren jeweiligen ausgewählt werden Bereiche akzeptabler Werte. Andernfalls führt das Ersetzen der Werte dieser Variablen in den ursprünglichen Ausdruck zu einem numerischen Ausdruck, der keinen Sinn ergibt. Wenn Sie beispielsweise x=0 wählen und diesen Wert in den Ausdruck 1/x einsetzen, erhalten Sie den numerischen Ausdruck 1/0 , was keinen Sinn ergibt, da die Division durch Null nicht definiert ist.

Es bleibt nur hinzuzufügen, dass es Ausdrücke mit Variablen gibt, deren Werte nicht von den Werten ihrer konstituierenden Variablen abhängen. Beispielsweise hängt der Wert eines Ausdrucks mit einer Variablen x der Form 2+x−x nicht vom Wert dieser Variablen ab, er ist gleich 2 für jeden gewählten Wert der Variablen x aus ihrem Bereich gültiger Werte, was in diesem Fall die Menge aller reellen Zahlen ist.

Referenzliste.

• Mathe: Studien. für 5 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 S.: mit Abb. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Formel

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division - arithmetische Operationen (bzw Rechenoperationen). Diese Rechenoperationen entsprechen den Vorzeichen von Rechenoperationen:

+ (lesen " ein Plus") - das Zeichen der Additionsoperation,

- (lesen " Minus-") - das Vorzeichen der Subtraktionsoperation,

∙ (lesen " multiplizieren") - das Zeichen der Multiplikationsoperation,

: (lesen " teilen") ist das Zeichen der Divisionsoperation.

Es wird ein Datensatz aufgerufen, der aus Zahlen besteht, die durch Vorzeichen von Rechenoperationen miteinander verbunden sind numerischer Ausdruck. Klammern können auch in einem numerischen Ausdruck vorkommen, zum Beispiel Eintrag 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) ist ein numerischer Ausdruck.

Das Ergebnis der Durchführung von Operationen an Zahlen in einem numerischen Ausdruck wird aufgerufen der Wert eines numerischen Ausdrucks. Das Ausführen dieser Aktionen wird als Berechnen des Werts eines numerischen Ausdrucks bezeichnet. Bevor Sie den Wert eines numerischen Ausdrucks schreiben, put Gleichheitszeichen"=". Tabelle 1 zeigt Beispiele für numerische Ausdrücke und ihre Bedeutung.

Ein Datensatz, der aus Zahlen und Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets besteht, die durch Zeichen arithmetischer Operationen miteinander verbunden sind, wird aufgerufen wörtlicher Ausdruck. Dieser Eintrag kann Klammern enthalten. Zum Beispiel der Eintrag ein +b - 3 ∙c ist ein wörtlicher Ausdruck. Anstelle von Buchstaben in einem wörtlichen Ausdruck können Sie verschiedene Zahlen ersetzen. In diesem Fall kann sich die Bedeutung der Buchstaben ändern, daher werden die Buchstaben im wörtlichen Ausdruck auch genannt Variablen.

Indem sie Zahlen anstelle von Buchstaben in den wörtlichen Ausdruck einsetzen und den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks berechnen, finden sie heraus der Wert eines wörtlichen Ausdrucks angesichts der Werte der Buchstaben(für die gegebenen Werte der Variablen). Tabelle 2 zeigt Beispiele für wörtliche Ausdrücke.

Ein wörtlicher Ausdruck darf keinen Wert haben, wenn durch Ersetzen der Werte der Buchstaben ein numerischer Ausdruck erhalten wird, dessen Wert für natürliche Zahlen nicht gefunden werden kann. Ein solcher numerischer Ausdruck wird aufgerufen falsch für natürliche Zahlen. Sie sagen auch, dass die Bedeutung eines solchen Ausdrucks " nicht definiert" für natürliche Zahlen und den Ausdruck selbst "Es ist nicht sinnvoll". Zum Beispiel der wörtliche Ausdruck a-b spielt für a = 10 und b = 17 keine Rolle. Tatsächlich kann bei natürlichen Zahlen der Minuend nicht kleiner als der Subtrahend sein. Wenn Sie beispielsweise nur 10 Äpfel haben (a = 10), können Sie nicht 17 davon verschenken (b = 17)!

Tabelle 2 (Spalte 2) zeigt ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck. Füllen Sie analog dazu die Tabelle vollständig aus.

Für natürliche Zahlen der Ausdruck 10 -17 falsch (ergibt keinen Sinn), d.h. die Differenz 10 -17 kann nicht als natürliche Zahl ausgedrückt werden. Ein weiteres Beispiel: Man kann nicht durch Null dividieren, also für jede natürliche Zahl b den Quotienten b:0 nicht definiert.

Mathematische Gesetze, Eigenschaften, einige Regeln und Beziehungen werden oft in wörtlicher Form (d. h. in Form eines wörtlichen Ausdrucks) geschrieben. In diesen Fällen wird der wörtliche Ausdruck aufgerufen Formel. Zum Beispiel, wenn die Seiten eines Siebenecks gleich sind a,b,c,d,e,f,g, dann die Formel (wörtlicher Ausdruck) zur Berechnung seines Umfangs p sieht aus wie:

p=ein +b+c +d+e +f +g

Für a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9 ist der Umfang des Siebenecks p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 33.

Für a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18 ist der Umfang eines weiteren Siebenecks p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Block 1. Wörterbuch

Erstellen Sie aus dem Absatz ein Wörterbuch mit neuen Begriffen und Definitionen. Geben Sie dazu in die leeren Zellen die Wörter aus der unten stehenden Begriffsliste ein. Geben Sie in der Tabelle (am Ende des Blocks) die Nummern der Begriffe entsprechend den Nummern der Rahmen an. Es wird empfohlen, den Absatz sorgfältig zu überprüfen, bevor Sie die Zellen des Wörterbuchs ausfüllen.

1. Operationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

2. Zeichen „+“ (plus), „-“ (minus), „∙“ (multiplizieren, „ : " (teilen).

3. Ein Datensatz, der aus Zahlen besteht, die durch Vorzeichen von Rechenoperationen miteinander verbunden sind und in denen auch Klammern vorhanden sein können.

4. Das Ergebnis der Durchführung von Operationen an Zahlen in numerischer Form.

5. Das Zeichen vor dem Wert eines numerischen Ausdrucks.

6. Ein Eintrag, der aus Zahlen und Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets besteht, die durch Rechenzeichen miteinander verbunden sind (es können auch Klammern vorhanden sein).

7. Der gebräuchliche Name der Buchstaben im wörtlichen Ausdruck.

8. Der Wert eines numerischen Ausdrucks, der durch Ersetzen von Variablen in einen wörtlichen Ausdruck erhalten wird.

9. Numerischer Ausdruck, dessen Wert für natürliche Zahlen nicht gefunden werden kann.

10. Numerischer Ausdruck, dessen Wert für natürliche Zahlen gefunden werden kann.

11. Mathematische Gesetze, Eigenschaften, einige Regeln und Verhältnisse in wörtlicher Form geschrieben.

12. Ein Alphabet, dessen Kleinbuchstaben verwendet werden, um wörtliche Ausdrücke zu schreiben.

Block 2. Übereinstimmung

Ordnen Sie die Aufgabe in der linken Spalte der Lösung in der rechten zu. Notieren Sie die Antwort in der Form: 1a, 2d, 3b ...

Block 3. Facettentest. Numerische und alphabetische Ausdrücke

Facettierte Tests ersetzen Sammlungen von mathematischen Problemen, sind jedoch im Vergleich zu ihnen günstig, da sie auf einem Computer gelöst werden können, Lösungen überprüfen und das Ergebnis der Arbeit sofort herausfinden. Dieser Test enthält 70 Aufgaben. Aber Sie können Aufgaben nach Belieben lösen, dazu gibt es eine Bewertungstabelle, die einfache Aufgaben und schwierigere auflistet. Unten ist ein Test.

1. Gegeben sei ein Dreieck mit Seiten c,d,m, ausgedrückt in cm
2. Gegeben sei ein Viereck mit Seiten b,c,d,m ausgedrückt in Mio
3. Die Geschwindigkeit des Autos in km/h ist b, Reisezeit in Stunden ist d
4. Von einem Touristen zurückgelegte Entfernung m Stunden, ist Mit km
5. Die Entfernung, die ein Tourist zurücklegt, wenn er sich mit einer Geschwindigkeit fortbewegt m km/h ist b km
6. Die Summe zweier Zahlen ist um 15 größer als die zweite Zahl
7. Die Differenz ist kleiner als die um 7 reduzierte
8. Ein Passagierschiff hat zwei Decks mit der gleichen Anzahl von Passagiersitzen. In jeder der Deckreihen m Sitzplätze, Reihen an Deck auf n mehr als Sitzplätze in einer Reihe
9. Petja ist m Jahre alt, Mascha ist n Jahre alt, und Katja ist k Jahre jünger als Petja und Mascha zusammen
10. m=8, n=10, k=5
11. m=6, n=8, k=15
12. t=121, x=1458

1. Der Wert dieses Ausdrucks
2. Der wörtliche Ausdruck für den Umfang ist
3. Umfang in Zentimetern ausgedrückt
4. Formel für die vom Auto zurückgelegte Strecke s
5. Geschwindigkeitsformel v, Touristenbewegungen
6. Zeitformel t, Touristenbewegungen
7. Mit dem Auto zurückgelegte Strecke in Kilometern
8. Touristengeschwindigkeit in Kilometern pro Stunde
9. Fahrzeit in Stunden
10. Die erste Zahl ist...
11. Subtrahiert gleich….
12. Der Ausdruck für die größte Anzahl an Passagieren, die das Linienschiff aufnehmen kann k Flüge
13. Die größte Anzahl von Passagieren, die ein Flugzeug befördern kann k Flüge
14. Buchstabenausdruck für Katjas Alter
15. Katjas Alter
16. Die Koordinate von Punkt B, wenn die Koordinate von Punkt C ist t
17. Die Koordinate von Punkt D, wenn die Koordinate von Punkt C ist t
18. Die Koordinate von Punkt A ist die Koordinate von Punkt C t
19. Die Länge des Segments BD auf dem Zahlenstrahl
20. Die Länge des Segments CA auf dem Zahlenstrahl
21. Die Länge des Segments DA auf dem Zahlenstrahl

Ein numerischer Ausdruck ist ein Satz von Zahlen in Verbindung mit Rechenoperationen und Klammern. Wenn Variablen in einem Ausdruck zusammen mit Zahlen verwendet werden und der gesamte Ausdruck bedeutungsvoll zusammengesetzt ist, spricht man von einem algebraischen (wörtlichen) Ausdruck. Wenn der Ausdruck direkte, abgeleitete, inverse und andere trigonometrische Funktionen enthält, wird der Ausdruck als trigonometrisch bezeichnet. Im Schulmathematikkurs werden viele Beispiele und Aufgaben mit verschiedenen Ausdrücken behandelt.

Die wichtigsten Dinge, die Sie sich merken sollten:

1. Der Wert eines numerischen Ausdrucks ist die Zahl, die durch Ausführen arithmetischer Operationen in diesem Ausdruck erhalten wird. Die Hauptsache ist, Rechenoperationen konsequent auszuführen. Zur Vereinfachung des gesamten Vorgangs können die Schritte nummeriert werden. Wenn der Ausdruck Klammern enthält, führen wir zuerst die Aktion aus, die dem Zeichen in Klammern entspricht. Die Potenzierung wird der nächste Schritt sein. Als nächstes führen wir in erster Linie Multiplikation oder Division durch und erst ganz zum Schluss Addition und Subtraktion.

Lassen Sie uns nun den Wert des numerischen Ausdrucks 5+20*(60-45) finden. Lassen Sie uns zuerst die Klammern loswerden. Wenn wir die Aktion ausführen, erhalten wir 60-45=15. Jetzt haben wir 5+20*15. Die nächste Aktion ist die Multiplikation 20*15=300. Und die letzte Aktion wird Addition sein, wir führen sie aus und erhalten das Endergebnis 5 + 300 = 305.

2. In einem bekannten Winkel? Wenn Sie mit trigonometrischen Ausdrücken arbeiten, benötigen Sie Kenntnisse über grundlegende trigonometrische Formeln, die zur Vereinfachung des Ausdrucks beitragen. Finden wir den Wert des Ausdrucks cos 12? cos 18? - Sünde 12? Sünde 18?. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, verwenden wir die Formel cos (? +?) = cos? weil? - Sünde? sin?, dann bekommen wir cos 12? cos 18? - Sünde 12? sin 18? = cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Ausdrücke mit Variablen. Es muss daran erinnert werden, dass der Wert eines algebraischen Ausdrucks direkt von der Variablen abhängt. Variablen können mit Buchstaben des griechischen oder lateinischen Alphabets bezeichnet werden. Wenn wir die gegebenen Parameter eines algebraischen Ausdrucks haben, müssen wir ihn zuerst vereinfachen. Danach ist es notwendig, die gegebenen Variablen zu ersetzen und arithmetische Operationen durchzuführen. Als Ergebnis erhalten wir mit den angegebenen Variablen eine Zahl, die der Wert des algebraischen Ausdrucks ist. Betrachten Sie ein Beispiel, in dem Sie den Wert des Ausdrucks 3(a+y)+2(3a+2y) mit a=4 und y=5 finden müssen. Vereinfachen Sie diesen Ausdruck und erhalten Sie 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Jetzt müssen Sie den Wert der Variablen ersetzen und berechnen, das erhaltene Ergebnis ist der Wert des Ausdrucks. Also haben wir 9a+7y mit a=4 und y=5 bekommen wir 36+35=71. Beachten Sie, dass algebraische Ausdrücke nicht immer sinnvoll sind. Beispielsweise ist der Ausdruck 15:(b-4) für jedes b außer b =4 sinnvoll.

In diesem Artikel wird erläutert, wie Sie die Werte mathematischer Ausdrücke finden. Beginnen wir mit einfachen numerischen Ausdrücken und betrachten dann Fälle mit zunehmender Komplexität. Am Ende geben wir einen Ausdruck an, der Buchstabenbezeichnungen, Klammern, Wurzeln, mathematische Sonderzeichen, Grade, Funktionen usw. enthält. Die ganze Theorie wird der Tradition entsprechend mit zahlreichen und detaillierten Beispielen versehen.

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Wie finde ich den Wert eines numerischen Ausdrucks?

Numerische Ausdrücke helfen unter anderem dabei, den Zustand des Problems in mathematischer Sprache zu beschreiben. Im Allgemeinen können mathematische Ausdrücke entweder sehr einfach sein und aus einem Paar Zahlen und arithmetischen Zeichen bestehen, oder sehr komplex sein und Funktionen, Grade, Wurzeln, Klammern usw. enthalten. Als Teil der Aufgabe ist es oft notwendig, den Wert eines Ausdrucks zu finden. Wie das geht, wird weiter unten besprochen.

Die einfachsten Fälle

Dies sind Fälle, in denen der Ausdruck nichts als Zahlen und Arithmetik enthält. Um die Werte solcher Ausdrücke erfolgreich zu finden, benötigen Sie Kenntnisse über die Reihenfolge, in der arithmetische Operationen ohne Klammern ausgeführt werden, sowie die Fähigkeit, Operationen mit unterschiedlichen Zahlen auszuführen.

Enthält der Ausdruck nur Zahlen und Rechenzeichen " + " , " · " , " - " , " ÷ " , werden die Operationen von links nach rechts in folgender Reihenfolge ausgeführt: zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel 1. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie es notwendig sein, die Werte des Ausdrucks 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 zu finden.

Machen wir zuerst die Multiplikation und Division. Wir bekommen:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Jetzt subtrahieren wir und erhalten das Endergebnis:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Beispiel 2. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie uns berechnen: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Zuerst führen wir die Umwandlung von Brüchen, Division und Multiplikation durch:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Jetzt machen wir Addition und Subtraktion. Gruppieren wir die Brüche und bringen sie auf einen gemeinsamen Nenner:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Der gewünschte Wert ist gefunden.

Ausdrücke mit Klammern

Wenn ein Ausdruck Klammern enthält, bestimmen sie die Reihenfolge der Aktionen in diesem Ausdruck. Zuerst werden die Aktionen in Klammern ausgeführt und dann der Rest. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Beispiel 3. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .

Der Ausdruck enthält Klammern, also führen wir zuerst die Subtraktionsoperation in Klammern aus und erst dann die Multiplikation.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Der Wert von Ausdrücken, die Klammern in Klammern enthalten, wird nach dem gleichen Prinzip gefunden.

Beispiel 4. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Wir werden Aktionen ausführen, die bei den innersten Klammern beginnen und zu den äußeren übergehen.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Beim Auffinden der Werte von Ausdrücken mit Klammern ist es wichtig, der Reihenfolge der Aktionen zu folgen.

Ausdrücke mit Wurzeln

Mathematische Ausdrücke, deren Werte wir finden müssen, können Wurzelzeichen enthalten. Außerdem kann der Ausdruck selbst unter dem Zeichen der Wurzel stehen. Wie soll man in diesem Fall sein? Zuerst müssen Sie den Wert des Ausdrucks unter der Wurzel finden und dann die Wurzel aus der resultierenden Zahl extrahieren. Wenn möglich, ist es besser, Wurzeln in numerischen Ausdrücken zu entfernen und from durch numerische Werte zu ersetzen.

Beispiel 5. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des Ausdrucks mit Wurzeln - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Zuerst berechnen wir die Wurzelausdrücke.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Jetzt können wir den Wert des gesamten Ausdrucks berechnen.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Um den Wert eines Ausdrucks mit Wurzeln zu finden, ist es oft notwendig, zuerst den ursprünglichen Ausdruck umzuwandeln. Lassen Sie uns dies an einem anderen Beispiel erläutern.

Beispiel 6. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Was ist 3 + 1 3 - 1 - 1

Wie Sie sehen können, haben wir nicht die Möglichkeit, die Wurzel durch einen exakten Wert zu ersetzen, was den Zählvorgang erschwert. In diesem Fall können Sie jedoch die abgekürzte Multiplikationsformel anwenden.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Auf diese Weise:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Ausdrücke mit Kräften

Wenn der Ausdruck Kräfte enthält, müssen ihre Werte berechnet werden, bevor mit allen anderen Aktionen fortgefahren wird. Es kommt vor, dass der Exponent selbst oder die Basis des Grades Ausdrücke sind. In diesem Fall wird zuerst der Wert dieser Ausdrücke berechnet und dann der Wert des Abschlusses.

Beispiel 7. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Wir fangen an, der Reihe nach zu rechnen.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Es bleibt nur noch die Additionsoperation auszuführen und den Wert des Ausdrucks herauszufinden:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Oft ist es auch ratsam, den Ausdruck über die Eigenschaften des Grades zu vereinfachen.

Beispiel 8. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie uns den Wert des folgenden Ausdrucks berechnen: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Die Exponenten sind wieder so, dass ihre genauen Zahlenwerte nicht erhalten werden können. Vereinfachen Sie den ursprünglichen Ausdruck, um seinen Wert zu finden.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Ausdrücke mit Brüchen

Wenn ein Ausdruck Brüche enthält, müssen bei der Berechnung eines solchen Ausdrucks alle darin enthaltenen Brüche als gewöhnliche Brüche dargestellt und ihre Werte berechnet werden.

Wenn der Zähler und Nenner des Bruchs Ausdrücke enthalten, werden zuerst die Werte dieser Ausdrücke berechnet und der Endwert des Bruchs selbst aufgezeichnet. Arithmetische Operationen werden in der Standardreihenfolge ausgeführt. Betrachten wir eine Beispiellösung.

Beispiel 9. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks finden, der Brüche enthält: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Wie Sie sehen können, enthält der ursprüngliche Ausdruck drei Brüche. Lassen Sie uns zuerst ihre Werte berechnen.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Lassen Sie uns unseren Ausdruck umschreiben und seinen Wert berechnen:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Beim Ermitteln der Werte von Ausdrücken ist es häufig zweckmäßig, Brüche zu kürzen. Es gibt eine unausgesprochene Regel: Bevor man seinen Wert findet, vereinfacht man jeden Ausdruck am besten auf das Maximum und reduziert alle Berechnungen auf die einfachsten Fälle.

Beispiel 10. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Ausdruck 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Wir können die Wurzel von fünf nicht vollständig ziehen, aber wir können den ursprünglichen Ausdruck durch Transformationen vereinfachen.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Der ursprüngliche Ausdruck hat die Form:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Lassen Sie uns den Wert dieses Ausdrucks berechnen:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Ausdrücke mit Logarithmen

Wenn Logarithmen in einem Ausdruck vorkommen, wird ihr Wert, wenn möglich, von Anfang an berechnet. Beispielsweise können Sie im Ausdruck log 2 4 + 2 4 sofort den Wert dieses Logarithmus anstelle von log 2 4 schreiben und dann alle Aktionen ausführen. Wir erhalten: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Numerische Ausdrücke finden sich auch unter dem Vorzeichen des Logarithmus und an seiner Basis. In diesem Fall besteht der erste Schritt darin, ihre Werte zu finden. Nehmen wir den Ausdruck log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Wir haben:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Wenn es unmöglich ist, den genauen Wert des Logarithmus zu berechnen, hilft das Vereinfachen des Ausdrucks, seinen Wert zu finden.

Beispiel 11. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

Protokoll 2 Protokoll 2 256 = Protokoll 2 8 = 3 .

Nach der Eigenschaft der Logarithmen:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Wenden wir erneut die Eigenschaften von Logarithmen an, erhalten wir für den letzten Bruch im Ausdruck:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Jetzt können Sie mit der Berechnung des Werts des ursprünglichen Ausdrucks fortfahren.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen

Es kommt vor, dass der Ausdruck trigonometrische Funktionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sowie dazu inverse Funktionen enthält. Daraus werden die Werte errechnet, bevor alle anderen Rechenoperationen durchgeführt werden. Andernfalls wird der Ausdruck vereinfacht.

Beispiel 12. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Zuerst berechnen wir die Werte der im Ausdruck enthaltenen trigonometrischen Funktionen.

Sünde - 5 π 2 \u003d - 1

Ersetzen Sie die Werte im Ausdruck und berechnen Sie seinen Wert:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Der Wert des Ausdrucks wird gefunden.

Um den Wert eines Ausdrucks mit trigonometrischen Funktionen zu finden, muss dieser oft zuerst konvertiert werden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären.

Beispiel 13. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Es ist notwendig, den Wert des Ausdrucks cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 zu finden.

Für die Transformation verwenden wir die trigonometrischen Formeln für den Kosinus des Doppelwinkels und den Kosinus der Summe.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Allgemeiner Fall eines numerischen Ausdrucks

Im Allgemeinen kann ein trigonometrischer Ausdruck alle oben beschriebenen Elemente enthalten: Klammern, Grad, Wurzeln, Logarithmen, Funktionen. Lassen Sie uns eine allgemeine Regel formulieren, um die Werte solcher Ausdrücke zu finden.

So finden Sie den Wert eines Ausdrucks

1. Wurzeln, Potenzen, Logarithmen usw. werden durch ihre Werte ersetzt.
2. Die Aktionen in Klammern werden ausgeführt.
3. Die restlichen Schritte werden in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt. Zuerst - Multiplikation und Division, dann - Addition und Subtraktion.

Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel 14. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des Ausdrucks - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Der Ausdruck ist ziemlich komplex und umständlich. Es ist kein Zufall, dass wir gerade ein solches Beispiel gewählt haben und versuchen, alle oben beschriebenen Fälle darin unterzubringen. Wie findet man den Wert eines solchen Ausdrucks?

Es ist bekannt, dass bei der Berechnung des Werts einer komplexen Bruchform zunächst die Werte des Zählers und des Nenners des Bruchs jeweils getrennt ermittelt werden. Wir werden diesen Ausdruck sukzessive transformieren und vereinfachen.

Zunächst berechnen wir den Wert des Wurzelausdrucks 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Dazu müssen Sie den Wert des Sinus und den Ausdruck finden, der das Argument der trigonometrischen Funktion ist.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Jetzt können Sie den Wert des Sinus herausfinden:

Sünde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = Sünde π 6 + 2 π = Sünde π 6 = 1 2 .

Wir berechnen den Wert des Wurzelausdrucks:

2 Sünde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 Sünde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Mit dem Nenner eines Bruchs ist alles einfacher:

Jetzt können wir den Wert des ganzen Bruchs aufschreiben:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

In diesem Sinne schreiben wir den gesamten Ausdruck:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Endergebnis:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

In diesem Fall konnten wir genaue Werte für Wurzeln, Logarithmen, Sinus usw. berechnen. Wenn dies nicht möglich ist, können Sie versuchen, sie durch mathematische Transformationen loszuwerden.

Berechnung von Ausdrücken auf rationale Weise

Numerische Werte müssen konsistent und genau berechnet werden. Dieser Prozess kann rationalisiert und beschleunigt werden, indem verschiedene Eigenschaften von Operationen mit Zahlen verwendet werden. Beispielsweise ist bekannt, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Angesichts dieser Eigenschaft können wir sofort sagen, dass der Ausdruck 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 gleich Null ist. In diesem Fall ist es überhaupt nicht erforderlich, die Schritte in der im obigen Artikel beschriebenen Reihenfolge auszuführen.

Es ist auch praktisch, die Eigenschaft des Subtrahierens gleicher Zahlen zu verwenden. Ohne irgendwelche Aktionen auszuführen, ist es möglich zu befehlen, dass der Wert des Ausdrucks 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 ebenfalls gleich Null ist.

Eine weitere Technik, mit der Sie den Prozess beschleunigen können, ist die Verwendung identischer Transformationen, z. B. das Gruppieren von Termen und Faktoren und das Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern. Ein rationaler Ansatz zur Berechnung von Ausdrücken mit Brüchen besteht darin, dieselben Ausdrücke im Zähler und Nenner zu kürzen.

Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Ohne Aktionen in Klammern auszuführen, aber indem wir den Bruch kürzen, können wir sagen, dass der Wert des Ausdrucks 1 3 ist.

Finden der Werte von Ausdrücken mit Variablen

Der Wert eines wörtlichen Ausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen wird für bestimmte gegebene Werte von Buchstaben und Variablen gefunden.

Finden der Werte von Ausdrücken mit Variablen

Um den Wert eines wörtlichen Ausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen zu finden, müssen Sie die angegebenen Werte von Buchstaben und Variablen in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen und dann den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks berechnen.

Beispiel 15. Der Wert eines Ausdrucks mit Variablen

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks 0, 5 x - y bei x = 2, 4 und y = 5.

Wir setzen die Werte der Variablen in den Ausdruck ein und berechnen:

0 , 5 x - y = 0 , 5 2 , 4 - 5 = 1 , 2 - 5 = - 3 , 8 .

Manchmal ist es möglich, einen Ausdruck so umzuwandeln, dass sein Wert unabhängig von den Werten der darin enthaltenen Buchstaben und Variablen erhalten wird. Dazu ist es notwendig, Buchstaben und Variablen im Ausdruck möglichst durch identische Transformationen, Eigenschaften arithmetischer Operationen und alle möglichen anderen Methoden zu entfernen.

Zum Beispiel hat der Ausdruck x + 3 - x offensichtlich den Wert 3, und es ist nicht notwendig, den Wert von x zu kennen, um diesen Wert zu berechnen. Der Wert dieses Ausdrucks ist für alle Werte der Variablen x aus ihrem Bereich gültiger Werte gleich drei.

Noch ein Beispiel. Der Wert des Ausdrucks x x ist für alle positiven x gleich eins.

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Sie als Eltern werden im Prozess des Unterrichtens Ihres Kindes oft mit dem Bedarf an Hilfe bei der Lösung von Hausaufgaben in Mathematik, Algebra und Geometrie konfrontiert. Und eine der grundlegenden Fähigkeiten, die Sie lernen müssen, ist, wie man den Wert eines Ausdrucks findet. Viele kommen zum Stillstand, denn wie viele Jahre sind vergangen, seit wir in den Klassen 3-5 waren? Vieles wurde schon vergessen, aber einiges wurde nicht gelernt. Die Regeln der mathematischen Operationen selbst sind einfach und Sie können sie sich leicht merken. Beginnen wir mit den Grundlagen dessen, was ein mathematischer Ausdruck ist.

Ausdrucksdefinition

Mathematischer Ausdruck - eine Reihe von Zahlen, Aktionszeichen (=, +, -, *, /), Klammern, Variablen. Kurz gesagt, dies ist eine Formel, deren Wert gefunden werden muss. Solche Formeln finden sich nur im Mathematikunterricht von der Schule an, und dann verfolgen sie Schüler, die Fächer gewählt haben, die mit den exakten Wissenschaften zusammenhängen. Mathematische Ausdrücke werden in trigonometrische, algebraische und so weiter unterteilt, wir werden nicht in die "Wildnis" geraten.

1. Führen Sie alle Berechnungen zuerst an einem Entwurf durch und schreiben Sie ihn dann in eine Arbeitsmappe um. So vermeiden Sie unnötige Durchstreichungen und Verschmutzungen;
2. Berechnen Sie die Gesamtzahl der mathematischen Operationen neu, die in dem Ausdruck ausgeführt werden müssen. Bitte beachten Sie, dass gemäß den Regeln zuerst Operationen in Klammern ausgeführt werden, dann Division und Multiplikation und ganz am Ende Subtraktion und Addition. Wir empfehlen Ihnen, alle Aktionen mit einem Bleistift zu markieren und die Aktionen in der Reihenfolge ihrer Ausführung zu nummerieren. In diesem Fall wird es für Sie und das Kind einfacher zu navigieren;
3. Beginnen Sie mit Berechnungen und halten Sie sich strikt an die Reihenfolge, in der die Aktionen ausgeführt werden. Lassen Sie das Kind, wenn die Berechnung einfach ist, versuchen, es in seinem Kopf zu tun, aber wenn es schwierig ist, geben Sie die Zahl, die der Ordnungszahl des Ausdrucks entspricht, mit einem Bleistift ein und führen Sie die Berechnung schriftlich unter der Formel durch.
4. In der Regel ist es nicht schwierig, den Wert eines einfachen Ausdrucks zu finden, wenn alle Berechnungen gemäß den Regeln und in der richtigen Reihenfolge durchgeführt werden. Die meisten stehen in diesem Stadium vor dem Problem, den Wert des Ausdrucks zu finden, seien Sie also vorsichtig und machen Sie keine Fehler;
5. Rechner verbieten. Mathematische Formeln und Aufgaben selbst sind für Ihr Kind möglicherweise nicht nützlich, aber dies ist nicht der Zweck des Studiums des Fachs. Die Hauptsache ist die Entwicklung des logischen Denkens. Wenn Sie Taschenrechner verwenden, geht die Bedeutung von allem verloren;
6. Ihre Aufgabe als Eltern besteht nicht darin, Probleme für das Kind zu lösen, sondern ihm dabei zu helfen, es zu führen. Lassen Sie ihn alle Berechnungen selbst durchführen, und stellen Sie sicher, dass er keine Fehler macht, erklären Sie, warum Sie es so und nicht anders machen müssen.
7. Nachdem Sie die Antwort auf den Ausdruck gefunden haben, schreiben Sie sie nach dem "="-Zeichen auf;
8. Öffne die letzte Seite deines Mathe-Lehrbuchs. Normalerweise gibt es Antworten für jede Übung im Buch. Es stört nicht bei der Überprüfung, ob alles richtig berechnet ist.

Den Wert eines Ausdrucks zu finden, ist einerseits ein einfaches Verfahren, die Hauptsache ist, sich an die Grundregeln zu erinnern, die wir im Schulmathematikkurs durchgegangen sind. Auf der anderen Seite wird das Problem komplizierter, wenn Sie Ihrem Baby helfen müssen, mit Formeln und Problemlösungen fertig zu werden. Schließlich sind Sie jetzt kein Student, sondern ein Lehrer, und die Erziehung des zukünftigen Einstein liegt auf Ihren Schultern.

Wir hoffen, dass unser Artikel Ihnen geholfen hat, die Antwort auf die Frage zu finden, wie Sie den Wert eines Ausdrucks finden, und Sie können jede Formel leicht herausfinden!