Uneigentliches Integral mit unendlicher Integrationsgrenze

Manchmal wird ein solches uneigentliches Integral auch als uneigentliches Integral erster Art bezeichnet..gif" width="49" height="19 src=">.

Weniger verbreitet sind Integrale mit unendlicher unterer Grenze oder mit zwei unendlichen Grenzen: .

Wir betrachten den beliebtesten Fall https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? Nein nicht immer. Integrierthttps://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

Lassen Sie uns den Graphen des Integranden in der Zeichnung darstellen. Ein typischer Graph und ein krummliniges Trapez für diesen Fall sieht so aus:

Unechtes Integralhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">", mit anderen Worten, die Fläche ist auch unendlich. So kann es sein. In diesem Fall spricht man vom uneigentlichen Integral weicht ab.

2) Aber. So paradox es auch klingen mag, die Fläche einer unendlichen Figur kann gleich ... einer endlichen Zahl sein! Zum Beispiel: .. Im zweiten Fall das uneigentliche Integral konvergiert.

Was passiert, wenn sich unterhalb der Achse ein unendlich krummliniges Trapez befindet?.gif" width="217" height="51 src=">.

: .

Beispiel 1

Der Integrand https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">, was bedeutet, dass alles in Ordnung ist und das uneigentliche Integral mit dem " normale" Methode.

Anwendung unserer Formel https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

Das heißt, das uneigentliche Integral divergiert und die Fläche des schattierten krummlinigen Trapezes ist gleich unendlich.

Beim Lösen uneigentlicher Integrale ist es sehr wichtig zu wissen, wie die Graphen der wichtigsten Elementarfunktionen aussehen!

Beispiel 2

Berechnen Sie das uneigentliche Integral oder stellen Sie seine Divergenz fest.

Machen wir eine Zeichnung:

Zunächst bemerken wir Folgendes: Der Integrand ist im Halbintervall stetig. Gut..gif" width="327" height="53">

(1) Wir nehmen das einfachste Integral einer Potenzfunktion (dieser Sonderfall kommt in vielen Tabellen vor). Besser ist es, das Minus sofort über das Grenzzeichen hinaus zu verschieben, damit es bei weiteren Berechnungen nicht untergeht.

(2) Wir ersetzen die oberen und unteren Grenzen gemäß der Newton-Leibniz-Formel.

(3) Wir weisen darauf hin, dass https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (Meine Herren, das ist seit langem verstanden) und vereinfachen Antworten.

Hier ist die Fläche eines unendlichen krummlinigen Trapezes gleich einer endlichen Zahl! Unglaublich, aber es ist eine Tatsache.

Beispiel 3

Berechnen Sie das uneigentliche Integral oder stellen Sie seine Divergenz fest.

Der Integrand ist stetig auf .

Versuchen wir zunächst, die Stammfunktion (unbestimmtes Integral) zu finden.

Welches der Tabellenintegrale sieht der Integrand aus? Es erinnert mich an den Arcustangens: . Aus diesen Überlegungen drängt sich der Gedanke auf, dass es schön wäre, ein Quadrat im Nenner zu bekommen. Dies geschieht durch Substitution.

Lassen Sie uns ersetzen:

Es ist immer sinnvoll, eine Überprüfung durchzuführen, dh das erhaltene Ergebnis zu differenzieren:

Jetzt finden wir das uneigentliche Integral:

(1) Wir schreiben die Lösung gemäß der Formel . Es ist besser, die Konstante sofort über das Grenzzeichen hinaus zu verschieben, damit sie bei weiteren Berechnungen nicht stört.

(2) Wir ersetzen die oberen und unteren Grenzen gemäß der Newton-Leibniz-Formel..gif" width="56" height="19 src=">?

(3) Wir erhalten die endgültige Antwort. Die Tatsache, dass es nützlich ist, es auswendig zu wissen.

Fortgeschrittene Schüler finden das unbestimmte Integral möglicherweise nicht separat und verwenden nicht die Ersetzungsmethode, sondern verwenden die Methode zum Summieren der Funktion unter dem Vorzeichen des Differentials und lösen das uneigentliche Integral "sofort". In diesem Fall sollte die Lösung in etwa so aussehen:

“

Der Integrand ist durchgehend unter https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104">
“

Beispiel 4

Berechnen Sie das uneigentliche Integral oder stellen Sie seine Divergenz fest.

! Dies ist ein typisches Beispiel, und ähnliche Integrale sind sehr verbreitet. Mach es gut! Die Stammfunktion wird hier durch die vollständige quadratische Auswahlmethode gefunden.

Beispiel 5

Berechnen Sie das uneigentliche Integral oder stellen Sie seine Divergenz fest.

Dieses Integral kann im Detail gelöst werden, d.h. zuerst das unbestimmte Integral finden, indem man die Variable ändert. Und Sie können es "sofort" lösen - indem Sie die Funktion unter dem Vorzeichen des Differentials summieren.

Uneigentliche Integrale unbeschränkter Funktionen

Manchmal werden solche uneigentlichen Integrale als uneigentliche Integrale zweiter Art bezeichnet. Unechte Integrale der zweiten Art werden unter das übliche bestimmte Integral geschickt „verschlüsselt“ und sehen genauso aus: ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) oder an der Stelle , 3) ​​​​oder an beiden Punkten gleichzeitig, 4) oder sogar auf dem Integrationsintervall. Wir betrachten die ersten beiden Fälle, für die Fälle 3-4 gibt es am Ende des Artikels einen Link zu einer zusätzlichen Lektion.

Nur ein Beispiel zur Verdeutlichung: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">, dann dreht sich unser Nenner auf Null, das heißt, der Integrand existiert an dieser Stelle einfach nicht!

Im Allgemeinen bei der Analyse des uneigentlichen Integrals es müssen immer beide Integrationsgrenzen in den Integranden eingesetzt werden..jpg" alt="(!LANG:Unechtes Integral, Unstetigkeitsstelle in der unteren Integrationsgrenze" width="323" height="380">!}

Hier ist fast alles gleich wie beim Integral erster Art.
Unser Integral ist numerisch gleich der Fläche des schattierten krummlinigen Trapezes, das nicht von oben begrenzt ist. In diesem Fall kann es zwei Möglichkeiten geben: Das uneigentliche Integral divergiert (die Fläche ist unendlich) oder das uneigentliche Integral ist gleich einer endlichen Zahl (d. h. die Fläche einer unendlichen Figur ist endlich!).

Es bleibt nur die Newton-Leibniz-Formel zu modifizieren. Es wird auch mit Hilfe des Limits modifiziert, allerdings strebt das Limit nicht mehr nach Unendlich, sondern schätzenhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> rechts.

Beispiel 6

Berechnen Sie das uneigentliche Integral oder stellen Sie seine Divergenz fest.

Der Integrand erleidet an einer Stelle einen unendlichen Bruch (Vergessen Sie nicht, mündlich oder auf einem Entwurf zu prüfen, ob mit der Obergrenze alles in Ordnung ist!)

Zuerst berechnen wir das unbestimmte Integral:

Ersatz:

Wir berechnen das uneigentliche Integral:

(1) Was ist hier neu? Technisch praktisch nichts. Geändert hat sich lediglich der Eintrag unter dem Limit-Icon: . Die Addition bedeutet, dass wir den rechten Wert anstreben (was logisch ist – siehe Grafik). Ein solcher Grenzwert wird in der Grenzwerttheorie als einseitiger Grenzwert bezeichnet. In diesem Fall haben wir eine Rechtsgrenze.

(2) Wir ersetzen die oberen und unteren Grenzen gemäß der Newton-Leibniz-Formel.

(3) Verständnis von https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. Wie kann man bestimmen, wohin der Ausdruck gehen soll? Grob gesagt, in müssen Sie nur den Wert dafür ersetzen, drei Viertel ersetzen und angeben, dass ... Wir kämmen die Antwort.

In diesem Fall ist das uneigentliche Integral gleich einer negativen Zahl.

Beispiel 7

Berechnen Sie das uneigentliche Integral oder stellen Sie seine Divergenz fest.

Beispiel 8

Berechnen Sie das uneigentliche Integral oder stellen Sie seine Divergenz fest.

Wenn der Integrand an der Stelle nicht existiert

Ein unendliches krummliniges Trapez für ein solches uneigentliches Integral sieht grundsätzlich so aus:

Hier ist alles genau gleich, nur dass die Grenze dazu tendiert schätzenhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> wir müssen der Belastungsgrenze unendlich nahe kommen links.

Uneigentliche Integrale erster Art: Erweiterung des Begriffs eines bestimmten Integrals auf die Fälle von Integralen mit unendlicher oberer oder unterer Integrationsgrenze, oder beide Integrationsgrenzen sind unendlich.

Uneigentliche Integrale zweiter Art: Erweiterung des Konzepts eines bestimmten Integrals auf die Fälle von Integralen unbeschränkter Funktionen existiert der Integrand nicht an einer endlichen Anzahl von Punkten des endlichen Integrationsintervalls, das sich gegen Unendlich wendet.

Zum Vergleich. Bei der Einführung des Begriffs eines bestimmten Integrals wurde angenommen, dass die Funktion f(x) ist stetig auf dem Segment [ a, b], und das Integrationsintervall ist endlich, das heißt, es ist durch Zahlen und nicht durch Unendlich begrenzt. Einige Aufgaben führen dazu, dass diese Einschränkungen aufgegeben werden müssen. So erscheinen uneigentliche Integrale.

Die geometrische Bedeutung des uneigentlichen Integrals stellt sich als recht einfach heraus. Wenn der Graph der Funktion j = f(x) liegt über der Achse Ochse, drückt das bestimmte Integral die Fläche eines krummlinigen Trapezes aus, das von einer Kurve begrenzt wird j = f(x) , Abszisse und Ordinaten x = a , x = b. Das uneigentliche Integral wiederum drückt die Fläche eines unbegrenzten (unendlichen) krummlinigen Trapezes aus, das zwischen den Linien eingeschlossen ist j = f(x) (unten in rot abgebildet) x = a und die Abszissenachse.

Uneigentliche Integrale werden ähnlich für andere unendliche Intervalle definiert:

Die Fläche eines unendlichen krummlinigen Trapezes kann eine endliche Zahl sein, in diesem Fall wird das uneigentliche Integral als konvergent bezeichnet. Die Fläche kann auch unendlich sein, in diesem Fall heißt das uneigentliche Integral divergent.

Verwenden der Grenze eines Integrals anstelle des uneigentlichen Integrals selbst. Um das uneigentliche Integral zu berechnen, müssen Sie den Grenzwert des bestimmten Integrals verwenden. Wenn dieser Grenzwert existiert und endlich ist (ungleich unendlich), dann heißt das uneigentliche Integral konvergent, andernfalls ist es divergent. Wohin die Variable unter dem Grenzzeichen strebt, hängt davon ab, ob es sich um ein uneigentliches Integral erster oder zweiter Art handelt. Finden wir es jetzt heraus.

Uneigentliche Integrale erster Art - mit unendlichen Grenzen und deren Konvergenz

Uneigentliche Integrale mit unendlicher Obergrenze

Die Aufzeichnung des uneigentlichen Integrals unterscheidet sich also vom üblichen bestimmten Integral dadurch, dass die obere Integrationsgrenze unendlich ist.

Definition. Ein uneigentliches Integral mit einer unendlichen oberen Integrationsgrenze aus einer stetigen Funktion f(x) zwischen a Vor ∞ heißt der Grenzwert des Integrals dieser Funktion mit der oberen Integrationsgrenze b und die untere Integrationsgrenze a vorausgesetzt, dass die obere Integrationsgrenze unendlich wächst, d.h.

.

Wenn diese Grenze existiert und gleich einer Zahl und nicht unendlich ist, dann das uneigentliche Integral heißt konvergent, und die Zahl, die der Grenze entspricht, wird als ihr Wert genommen. Sonst das uneigentliche Integral heißt divergent und ihm wird kein Wert beigemessen.

Beispiel 1. Uneigentliches Integral berechnen(wenn es konvergiert).

Lösung. Basierend auf der Definition des uneigentlichen Integrals finden wir

Da der Grenzwert existiert und gleich 1 ist, gilt das Gegebene unechtes Integral konvergiert und ist gleich 1.

Im folgenden Beispiel ist der Integrand fast derselbe wie in Beispiel 1, nur der Grad von x ist nicht zwei, sondern der Buchstabe Alpha, und die Aufgabe besteht darin, das uneigentliche Integral auf Konvergenz zu untersuchen. Das heißt, die Frage bleibt zu beantworten: Bei welchen Werten von Alpha konvergiert dieses uneigentliche Integral und bei welchen Werten divergiert es?

Beispiel 2. Untersuchen Sie die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals(die untere Integrationsgrenze ist größer als Null).

Lösung. Nehmen Sie zuerst an, dass , dann

Im resultierenden Ausdruck gehen wir bis zur Grenze bei:

Es ist leicht zu sehen, dass die Grenze auf der rechten Seite existiert und gleich Null ist, wenn , d. h. , und nicht existiert, wenn , d.

Im ersten Fall, also wenn . Wenn, dann und existiert nicht.

Das Fazit unserer Studie lautet wie folgt: unechtes Integral konvergiert bei und weicht ab bei .

Anwendung der Newton-Leibniz-Formel auf den untersuchten Typ des uneigentlichen Integrals , können wir die folgende sehr ähnliche Formel herleiten:

.

Dies ist die verallgemeinerte Newton-Leibniz-Formel.

Beispiel 3. Unechtes Integral berechnen(wenn es konvergiert).

Der Grenzwert dieses Integrals besteht:

Das zweite Integral, das die Summe ist, die das ursprüngliche Integral ausdrückt:

Der Grenzwert dieses Integrals existiert auch:

.

Wir finden die Summe zweier Integrale, die auch der Wert des ursprünglichen uneigentlichen Integrals mit zwei unendlichen Grenzen ist:

Uneigentliche Integrale der zweiten Art - aus unbeschränkten Funktionen und ihrer Konvergenz

Lassen Sie die Funktion f(x) Setzen Sie auf das Segment aus a Vor b und unbegrenzt darauf. Angenommen, die Funktion geht an diesem Punkt gegen unendlich b , während sie an allen anderen Punkten des Segments stetig ist.

Definition. Uneigentliches Integral der Funktion f(x) auf dem Segment von a Vor b heißt der Grenzwert des Integrals dieser Funktion mit der oberen Integrationsgrenze c , wenn beim Streben c zu b die Funktion steigt unendlich, und an dem Punkt x = b Funktion nicht definiert, d.h.

.

Existiert dieser Grenzwert, so heißt das uneigentliche Integral zweiter Art konvergent, andernfalls divergent.

Unter Verwendung der Newton-Leibniz-Formel leiten wir ab.

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ThemaUnechte Integrale

Im Thema „Bestimmtes Integral“ wurde der Begriff des bestimmten Integrals für den Fall eines endlichen Intervalls betrachtet
und eingeschränkte Funktion
(siehe Satz 1 aus §3). Verallgemeinern wir nun dieses Konzept für die Fälle eines unendlichen Intervalls und einer unbeschränkten Funktion. Die Notwendigkeit einer solchen Verallgemeinerung zeigt sich beispielsweise an solchen Situationen.

1. Wenn Sie mit der Formel für die Bogenlänge versuchen, die Länge eines Viertelkreises zu berechnen
,
, dann kommen wir zum Integral der unbeschränkten Funktion:

, wo
.

2. Lassen Sie die Körpermasse
bewegt sich durch Trägheit in einem Medium mit Widerstandskraft
, wo
ist die Geschwindigkeit des Körpers. Unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes (
, wo
Beschleunigung), erhalten wir die Gleichung:
, wo
. Es ist leicht zu zeigen, dass die Lösung dieser (Differential-!) Gleichung die Funktion ist
Wenn wir den Weg berechnen müssen, den der Körper bis zum vollständigen Stillstand zurückgelegt hat, d.h. bis zu dem Moment wann
, dann erhalten wir das Integral über ein unendliches Intervall:

§eines. Uneigentliche Integrale 1. Art

Ich Definition

Lassen Sie die Funktion
ist definiert und stetig auf dem Intervall
. Dann für alle
es ist auf dem Intervall integrierbar
, das heißt, es gibt ein Integral
.

Bestimmung 1 . Die endliche oder unendliche Grenze dieses Integrals bei
heißt uneigentliches Integral der ersten Art der Funktion
nach Intervall
und werden symbolisiert
. Wenn der angegebene Grenzwert endlich ist, heißt das uneigentliche Integral außerdem konvergent, andernfalls (
oder existiert nicht) - abweichend.

Also per Definition

Beispiele

2.
.

3.
- existiert nicht.

Das uneigentliche Integral aus Beispiel 1 konvergiert, in den Beispielen 2 und 3 divergieren die Integrale.

II Newton-Leibniz-Formel für ein uneigentliches Integral erster Art

Lassen
- einige Stammfunktion für die Funktion
(besteht am
, Weil
- kontinuierlich). Dann

Damit ist klar, dass die Konvergenz des uneigentlichen Integrals (1) gleichbedeutend mit der Existenz eines endlichen Limes ist
. Wenn diese Grenze definiert ist
, dann können wir für das Integral (1) die Newton-Leibniz-Formel schreiben:

, wo
.

Beispiele .

5.
.

6. Komplexeres Beispiel:
. Lassen Sie uns zuerst die Stammfunktion finden:

Jetzt können wir das Integral finden , da

:

III Eigenschaften

Stellen wir einige Eigenschaften des uneigentlichen Integrals (1) vor, die sich aus den allgemeinen Eigenschaften der Grenzwerte und des bestimmten Integrals ergeben:

IV Andere Definitionen

Bestimmung 2 . Wenn ein
durchgehend an
, dann

.

Bestimmung 3 . Wenn ein
durchgehend an
, dann per Definition

(- willkürlich)

außerdem konvergiert das uneigentliche Integral auf der linken Seite nur, wenn beide Integrale auf der rechten Seite konvergieren.

Für diese Integrale sowie für das Integral (1) kann man die entsprechenden Newton-Leibniz-Formeln schreiben.

Beispiel 7 .

§2. Konvergenzkriterien für ein uneigentliches Integral 1. Art

Meistens ist es per Definition unmöglich, das uneigentliche Integral zu berechnen, daher wird die ungefähre Gleichheit verwendet

(für groß ).

Diese Beziehung ist jedoch nur für konvergente Integrale sinnvoll. Es ist notwendig, Methoden zu haben, um das Verhalten des Integrals unter Umgehung der Definition aufzuklären.

ich Integrale positiver Funktionen

Lassen
auf der
. Dann das bestimmte Integral
als Funktion der oberen Grenze gibt es eine steigende Funktion (dies folgt aus den allgemeinen Eigenschaften des bestimmten Integrals).

Satz 1 . Ein uneigentliches Integral der ersten Art einer nichtnegativen Funktion konvergiert genau dann, wenn die Funktion
bleibt begrenzt wie .

Dieser Satz folgt aus den allgemeinen Eigenschaften monotoner Funktionen. Der Satz hat fast keine praktische Bedeutung, aber er ermöglicht es, den sogenannten zu erhalten. Konvergenzzeichen.

Satz 2 (1. Vergleichszeichen). Lassen Sie die Funktionen
und
durchgehend an
und befriedige die Ungleichung
. Dann:

1) wenn das Integral
konvergiert dann
konvergiert;

2) wenn das Integral
weicht dann ab
weicht ab.

Nachweisen . Bezeichnen:
und
. Als
, dann

. Lassen Sie das Integral
konvergiert, dann (nach Satz 1) die Funktion
- begrenzt. Aber dann und
ist beschränkt, was bedeutet, dass das Integral
konvergiert auch. Der zweite Teil des Satzes wird ähnlich bewiesen.

Dieses Vorzeichen entfällt bei Divergenz des Integrals von
oder die Konvergenz des Integrals von
. Dieser Mangel fehlt beim 2. Vergleichszeichen.

Satz 3 (2. Vergleichszeichen). Lassen Sie die Funktionen
und
kontinuierlich und nicht-negativ an
. Dann wenn
bei
, dann die uneigentlichen Integrale
und
konvergieren oder gleichzeitig divergieren.

Nachweisen . Aus der Bedingung des Satzes erhalten wir die folgende Kette äquivalenter Aussagen:

, ,

.

Lassen Sie zum Beispiel
. Dann:

Wir wenden Satz 2 und Eigenschaft 1) aus §1 an und erhalten die Behauptung von Satz 3.

Die Exponentialfunktion dient als Referenzfunktion, mit der diese verglichen wird
,
. Wir laden Studenten ein, selbst zu beweisen, dass das Integral

konvergiert bei
und divergiert bei
.

Beispiele . 1.
.

Betrachten Sie den Integranden des Intervalls
:

,
.

Integral
konvergiert, weil
. Nach dem zweiten Vergleichskriterium konvergiert auch das Integral
, und wegen Eigenschaft 2) aus §1 konvergiert auch das ursprüngliche Integral.

2.
.

Als
, besteht dann
so dass bei

. Für solche Variablenwerte:

Es ist bekannt, dass die logarithmische Funktion langsamer wächst als die Potenzfunktion, d.h.

,

und daher ist dieser Bruch ausgehend von einem bestimmten Wert der Variablen kleiner als 1. Daher

.

Integral konvergiert als Referenz. Aufgrund des 1. Vergleichskriteriums konvergiert und
. Unter Anwendung des 2. Kriteriums erhalten wir das Integral
konvergiert. Wiederum beweist Eigenschaft 2) aus §1 die Konvergenz des ursprünglichen Integrals.

Bestimmtes Integral

\[ I=\int_a^bf(x)dx \]

wurde unter der Annahme konstruiert, dass die Zahlen $a,\,b$ endlich sind und $f(x)$ eine stetige Funktion ist. Wird eine dieser Annahmen verletzt, spricht man von uneigentlichen Integralen.

10.1 Uneigentliche Integrale 1. Art

Ein uneigentliches Integral erster Art entsteht, wenn mindestens eine der Zahlen $a,\,b$ unendlich ist.

10.1.1 Definition und grundlegende Eigenschaften

Betrachten wir zunächst die Situation, wenn die untere Grenze der Integration endlich ist und die obere Grenze gleich $+\infty$ ist; andere Möglichkeiten werden später diskutiert. Betrachten Sie das Integral, damit $f(x)$ stetig für alle $x$ ist, die uns interessieren

\begin(gleichung) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(gleichung)

Zunächst ist es notwendig, die Bedeutung dieses Ausdrucks festzulegen. Dazu führen wir die Funktion ein

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

und betrachte sein Verhalten als $N\rightarrow +\infty$.

Definition. Lass es eine Grenze geben

\[ A=\lim_(N\rightarrow+\infty)I(N)=\lim_(N\rightarrow+\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

Dann heißt das uneigentliche Integral 1. Art (19) konvergent und erhält den Wert $A$, die Funktion selbst heißt integrierbar auf dem Intervall $\left[ a, \, +\infty \right) $. Wenn die angegebene Grenze nicht existiert oder gleich $\pm \infty$ ist, dann sagt man, dass das Integral (19) divergiert.

Betrachten Sie das Integral

\[ I=\int _0^(+\infty) \frac(dx)(1+x^2). \]

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2). \]

In diesem Fall ist die Stammfunktion des Integranden bekannt, so dass

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2)=arctgx|_0^(N)=arctgN. \]

Es ist bekannt, dass $arctg N \rightarrow \pi /2 $ für $N \rightarrow +\infty$ gilt. Somit hat $I(N)$ einen endlichen Grenzwert, unser uneigentliches Integral konvergiert und ist gleich $\pi /2$.

Konvergierende uneigentliche Integrale der 1. Art haben alle Standardeigenschaften gewöhnlicher bestimmter Integrale.

1. Wenn $f(x)$, $g(x)$ auf dem Intervall $\left[ a, \, +\infty \right)$ integrierbar sind, dann ist ihre Summe $f(x)+g(x) $ ist auch auf diesem Intervall integrierbar, und \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. Wenn $f(x)$ auf dem Intervall $\left[ a, \, +\infty \right)$ integrierbar ist, dann ist für jede Konstante $C$ die Funktion $C\cdot f(x)$ ist auch auf diesem Intervall integrierbar, und \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. Wenn $f(x)$ auf dem Intervall $\left[ a, \, +\infty \right)$ integrierbar ist und $f(x)>0$ auf diesem Intervall, dann \[ \int _a ^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Wenn $f(x)$ auf dem Intervall $\left[ a, \, +\infty \right)$ integrierbar ist, dann ist für jedes $b>a$ das Integral \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \] konvergiert und \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f( x)dx \] (Additivität des Integrals über das Intervall).

Es gelten auch die Formeln für Variablenänderung, partielle Integration usw. (mit natürlichen Vorbehalten).

Betrachten Sie das Integral

\begin(gleichung) I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x^k)\,dx. \quad (20) \label(mod) \end(gleichung)

Wir führen die Funktion ein

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

In diesem Fall ist die Stammfunktion bekannt, so dass

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k)|_1^N = \frac(N^(1-k))(1-k)-\frac(1)(1-k) \]

für $k \neq 1$,

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_1^N= lnN \]

für $k = 1$. Betrachtet man das Verhalten für $N \rightarrow +\infty$, kommen wir zu dem Schluss, dass das Integral (20) für $k>1$ konvergiert und für $k \leq 1$ divergiert.

Betrachten wir nun den Fall, dass die untere Integrationsgrenze gleich $-\infty$ und die obere endlich ist, d.h. Betrachten Sie die Integrale

\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]

Diese Variante lässt sich aber auf die vorherige zurückführen, wenn wir die Variablen $x=-s$ ändern und dann die Integrationsgrenzen vertauschen, so dass

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$. Betrachten wir nun den Fall, dass es zwei unendliche Grenzen gibt, d.h. Integral-

\begin(equation) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(equation)

wobei $f(x)$ für alle $x \in \mathbb(R)$ stetig ist. Lassen Sie uns das Intervall in zwei Teile aufteilen: Nehmen Sie $c \in \mathbb(R)$ und betrachten Sie zwei Integrale,

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

Definition. Konvergieren beide Integrale $I_1$, $I_2$, so heißt das Integral (21) konvergent, es erhält den Wert $I=I_1+I_2$ (entsprechend der Intervalladditivität). Wenn mindestens eines der Integrale $I_1$, $I_2$ divergiert, heißt Integral (21) divergent.

Es lässt sich beweisen, dass die Konvergenz des Integrals (21) nicht von der Wahl des Punktes $c$ abhängt.

Unechte Integrale 1. Art mit Integrationsintervallen $\left(-\infty, \, c \right]$ oder $(-\infty, \, +\infty)$ haben ebenfalls alle Standardeigenschaften bestimmter Integrale (mit a entsprechende Umformulierung, die das Wahlintegrationsintervall berücksichtigt).

10.1.2 Kriterien für die Konvergenz uneigentlicher Integrale 1. Art

Theorem (das erste Vergleichszeichen). Seien $f(x)$, $g(x)$ stetig für $x>a$ und sei $0 a$. Dann

1. Wenn das Integral \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] konvergiert, dann konvergiert auch das Integral \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 2. Wenn das Integral \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] divergiert, dann divergiert auch das Integral \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx. \]

Theorem (das zweite Vergleichszeichen). Seien $f(x)$, $g(x)$ stetig und positiv für $x>a$, und es gebe einen endlichen Grenzwert

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Dann die Integrale

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

konvergieren oder gleichzeitig divergieren.

Betrachten Sie das Integral

\[ I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

Der Integrand ist eine positive Funktion auf dem Integrationsintervall. Weiterhin gilt für $x \rightarrow +\infty$:

$\sin x$ ist eine "kleine" Korrektur des Nenners. Genauer gesagt, wenn wir $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$ nehmen, dann

\[ \lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(x)(x+\sin x) =1. \]

Wenden wir das zweite Vergleichskriterium an, kommen wir zu dem Schluss, dass unser Integral gleichzeitig mit dem Integral konvergiert oder divergiert

\[ \int _1^(+\infty)\frac(1)(x)\,dx . \]

Wie im vorherigen Beispiel gezeigt, divergiert dieses Integral ($k=1$). Daher divergiert das ursprüngliche Integral.

Berechnen Sie das uneigentliche Integral oder stellen Sie seine Konvergenz (Divergenz) fest.

1. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\,dx. \] 2. \[ \int _(0)^(+\infty)xe^(-x^2)\,dx. \] 3. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(2xdx)(x^2+1). \] 4. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)((x+2)^3). \] 5. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(dx)(x^2+2x+2). \] 6. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(lnx)(x^2)\,dx. \] 7. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(dx)((1+x)\sqrt(x)). \] 8. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-\sqrt(x))\,dx. \] 9. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)(x^3+1). \]