Mathematische Logik (TEIL 1)

Was ist ein logischer Schluss?

Gegeben seien zwei Aussagen:

1. Obst kann auf Bäumen wachsen.

2. Ein Apfel ist eine Frucht.

Da diese beiden Aussagen zutreffen, können wir sagen, dass auch die Aussage „Äpfel können auf Bäumen wachsen“ zutrifft. Diese dritte Aussage ist in den ersten beiden in keiner Weise enthalten, sie folgt aus ihnen. Oder anders gesagt, die dritte Aussage ist eine logische Schlussfolgerung aus den ersten beiden.

Dies war ein einfaches Beispiel. Schauen wir uns nun ein komplizierteres Beispiel an. Versuchen wir, das Problem aus dem Buch von Professor R.M. Smallian, Die Prinzessin oder der Tiger.

Zustand. Bei dieser Aufgabe müssen Sie herausfinden, welches der beiden Zimmer die Prinzessin und welches der Tiger ist. An den Türen jedes Zimmers befinden sich Schilder mit einigen Aussagen, außerdem ist bekannt, dass auf einem Schild die Wahrheit steht und auf dem anderen nicht, aber was wahr und was falsch ist, ist nicht bekannt. Und es ist auch bekannt, dass in jedem Zimmer jemand ist.

1. In diesem Raum ist eine Prinzessin und in einem anderen Raum sitzt ein Tiger.

2. In einem dieser Räume befindet sich eine Prinzessin; Außerdem sitzt in einem dieser Zimmer ein Tiger.

Entscheidung. Die Aussagen auf den Tafeln können nicht gleichzeitig wahr und falsch sein. Daher sind nur zwei Situationen möglich. Das erste: das erste ist wahr und das zweite ist falsch und das zweite: das erste ist falsch und das zweite ist wahr. Betrachten wir sie.

Lage 1. Aus der Wahrheit der ersten Aussage folgt, dass sich die Prinzessin im ersten Zimmer und der Tiger im zweiten befindet. Gleichzeitig folgt aus der Falschheit der zweiten Aussage, dass es kein Zimmer gibt, in dem die Prinzessin ist, und es gibt kein Zimmer, in dem der Tiger sitzt. Daher sind die Wahrheit der ersten Aussage und die Falschheit der zweiten unmöglich gleichzeitig.

Lage 2. Aus der Wahrheit der zweiten Aussage folgt nur, dass sowohl der Tiger als auch die Prinzessin anwesend sind. Aus der Falschheit des ersten folgt, dass die Prinzessin im zweiten Zimmer ist und der Tiger im ersten. Bei der Analyse der zweiten Situation haben wir keinen Widerspruch erhalten, daher ist Situation 2 die Lösung des Problems.

Die Lösung dieses Problems ist ein Beispiel für eine komplexere Argumentation. Es ist jedoch nicht schwierig, das allgemeine Prinzip zu erkennen. In dieser Argumentation, wie auch im ersten Beispiel, gibt es elementare Aussagen von der Wahrheit, denen die Wahrheit oder Falschheit anderer Aussagen folgt. Und der Zweck der logischen Schlussfolgerung besteht genau darin, die Wahrheit oder Falschheit verschiedener Aussagen festzustellen.

Die logische Schlussfolgerung beruht auf der scheinbar offensichtlichen Behauptung, dass die Aussage, die sich aus einer solchen Schlussfolgerung ergibt, auch wahr ist, wenn die ursprünglichen Aussagen wahr sind und die logische Schlussfolgerung korrekt ist.

Es bleibt herauszufinden, was eine korrekte logische Schlussfolgerung ist. Und das ist eine sehr schwierige Frage. Um sie zu beantworten, ist eine ganze Wissenschaft namens mathematische Logik erforderlich. Jetzt brauchen wir einige Definitionen.

Der Begriff der Äußerung

Alle Aussagen, die wir oben als Beispiele verwendet haben, haben eines gemeinsam. Unabhängig von ihrer Bedeutung können sie entweder wahr oder falsch sein. Aussagen mit dieser Eigenschaft heißen Sätze. Nicht jede Aussage kann eine Aussage sein. Zum Beispiel die folgende Aussage: "Malachit ist der schönste Stein aller bekannten Edelsteine" Kann keine Aussage sein, da es Geschmackssache ist.

Es gibt Aussagen wahr oder falsch, die im Prinzip überprüft werden können, aber nur im Prinzip, aber in Wirklichkeit ist es unmöglich. Zum Beispiel ist es unmöglich, die Wahrheit der folgenden Aussage zu überprüfen: "Es gibt derzeit einen und nur einen Baum auf dem Planeten Erde, der genau 10.000 Blätter hat." Theoretisch ist es möglich, dies zu überprüfen, aber nur theoretisch, da für eine solche Überprüfung zu viele Inspektoren benötigt werden, viel mehr als Menschen auf der Erde leben.

Daher untersucht die mathematische Logik nur Sätze und nur, wie man ihre Wahrheit oder Falschheit bestimmt. Die mathematische Logik untersucht nicht die Bedeutung von Sätzen, was bedeutet, dass die Formulierung des Satzes keine Rolle spielt und es genügt, eine einfache Notation für den Satz einzuführen.

Eigentlich passiert genau das. Anweisungen werden einfach mit Buchstaben gekennzeichnet: A, B, C usw. und sage von ihnen nur, dass sie wahr oder falsch sind.

Komplexe Aussagen. Boolesche Operationen

Vorher haben wir nur über einfache Aussagen gesprochen, Aussagen können auch komplex sein und aus mehreren einfachen bestehen. Hier ist ein Beispiel:

Die Tomate kann rot sein und die Tomate kann rund sein.

Diese Aussage besteht aus zwei einfachen Aussagen: „Tomate kann rot sein“, „Tomate kann rund sein“, die durch ein logisches „UND“ verbunden sind. Die Verknüpfung zweier oder mehrerer einfacher Aussagen mit der logischen Verknüpfung „UND“ nennt man die logische Verknüpfung der Konjunktion. Das Ergebnis einer Konjunktion ist eine komplexe Aussage, deren Wahrheit von der Wahrheit der darin enthaltenen einfachen Aussagen abhängt und durch die folgende Regel bestimmt wird: Eine Konjunktion ist genau dann wahr, wenn alle darin enthaltenen Aussagen wahr sind.

In der mathematischen Logik gibt es eine allgemein anerkannte Notation für Konjunktionen - Ù. Wenn eine Konjunktion zwei einfache Aussagen A und B beinhaltet, dann wird dies als A Ù B geschrieben.

Die Wahrheitsregel für eine Konjunktion kann als folgende Tabelle dargestellt werden:

EIN	B	A und B

Wahrheit wird in dieser Tabelle als Eins und Falschheit als Null geschrieben. Wenn A den Wert 0 und B den Wert 1 hat, dann lautet die Konjunktion: 0 und 1 = 0, was falsch ist.

Natürlich ist die Konjunktion nicht die einzige logische Operation, mit der Sie aus einfachen Anweisungen komplexe erstellen können. Lassen Sie uns ein paar mehr definieren:

Disjunktion. Eine zusammengesetzte Aussage, die eine Disjunktion zweier einfacher Aussagen ist, ist wahr, wenn mindestens eine in der Disjunktion enthaltene einfache Aussage wahr ist. Die Disjunktion wird wie folgt bezeichnet :

A Ú B. Seine Wahrheitstabelle ist:

Gleichwertigkeit. Eine mit Hilfe einer Äquivalenzoperation konstruierte zusammengesetzte Aussage ist wahr, wenn beide darin enthaltenen Aussagen gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch sind. Das Äquivalent ist wie folgt definiert: A~B. Die Wahrheitstabelle ist unten gezeigt.

Mit logischen Operationen lassen sich beliebig komplexe logische Ausdrücke bilden, deren Wahrheitsgehalt auch über eine Wahrheitstabelle ermittelt werden kann. Nehmen wir als Beispiel den folgenden Ausdruck: (A Ù B) ® (A Ú B) und erstellen dafür eine Wahrheitstabelle:

Die Wahrheitstabelle dieses Ausdrucks zeigt, dass er für beliebige Werte der einfachen Aussagen A und B einen wahren Wert annimmt. Solche Ausdrücke heißen identisch wahr. Ausdrücke, die immer als falsch ausgewertet werden, werden als identisch falsch bezeichnet.

Die Überprüfung der Wahrheit mit Wahrheitstabellen ist nicht immer einfach. Logische Ausdrücke können viele Operationen enthalten, die Anzahl der mit Buchstaben bezeichneten Elementarsätze kann auch groß sein, und bei einer ausreichend großen Anzahl von Elementarsätzen kann die Wahrheitstabelle so groß sein, dass sie einfach nicht mehr aufgebaut werden kann.

Aus den obigen Tabellen ist ersichtlich, dass es zu ihrer Konstruktion notwendig ist, alle möglichen Kombinationen von Wahrheit und Falschheit von Elementarsätzen aufzuzählen. Bei zwei Aussagen sind vier Kombinationen möglich. Für drei ist die Anzahl der Kombinationen 8. Für N-Anweisungen ist die Anzahl der Kombinationen 2 N . Das ist zum Beispiel für N=10 2 N = 2 10 = 1024. Das ist schon zu viel.

In solchen Situationen sind bereits spezielle Techniken erforderlich, um die Wahrheit und Falschheit des Ausdrucks zu bestimmen. Diese Techniken bestehen darin, den ursprünglichen Ausdruck zu vereinfachen und ihn in eine standardisierte, einfachere Form zu bringen. Eine einfachere Form wird normalerweise als kürzerer Ausdruck verstanden, es ist jedoch möglicherweise nicht möglich, einen logischen Ausdruck zu verkürzen. Sie können jedoch jederzeit die Anzahl der logischen Operationen reduzieren und die Form eines logischen Ausdrucks vereinfachen.

Es gibt zwei Standardformen, in die jeder logische Ausdruck umgewandelt werden kann.

Disjunktive Normalform. Dies ist ein logischer Ausdruck, der eine Disjunktion elementarer Konjunktionen ist, die elementare Aussagen oder ihre Negationen enthalten.

Beispiel

(AÙBÙC)Ú(AÙùBÙùC)Ú(AÙBÙùC)

Konjunktive Normalform. Dies ist ein logischer Ausdruck, der eine Konjunktion elementarer Disjunktionen ist, die elementare Aussagen oder deren Negationen enthalten.

(AÚùBÚC) Ù(AÚùBÚC)Ù (AÚBÚùC)

Die Wahrheit eines in normaler Form präsentierten Ausdrucks ist viel einfacher zu überprüfen. Eine disjunktive Normalform ist wahr, wenn mindestens eine elementare Konjunktion wahr ist. Eine konjunktive Normalform ist falsch, wenn mindestens eine elementare Disjunktion falsch ist. Eine elementare Disjunktion ist wahr, wenn mindestens ein in ihr enthaltener elementarer Satz wahr ist. Eine Elementarkonjunktion ist falsch, wenn mindestens ein darin enthaltener Elementarsatz falsch ist (Die Negation eines Satzes ist nicht elementar).

Um einen logischen Ausdruck in eine der obigen Formen zu bringen, werden Substitutionsregeln angewendet, die den logischen Ausdruck in einen äquivalenten (dh mit genau derselben Wahrheitstabelle) übersetzen. Nachfolgend finden Sie eine Liste solcher Regeln.

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Erstellungsdatum der Seite: 2016-04-11

Negation, Konjunktion, Disjunktion.

Unsere Argumentation besteht aus Aussagen. Zum Beispiel in der Schlussfolgerung „Einige Vögel fliegen; „Einige fliegende Vögel“ beinhaltet daher zwei unterschiedliche Aussagen.

Eine Aussage ist eine komplexere Formation als ein Name. Wenn wir Anweisungen in einfachere Teile zerlegen, erhalten wir immer den einen oder anderen Namen. Nehmen wir an, die Aussage „Die Sonne ist ein Stern“ enthält die Namen „Sonne“ und „Stern“ als ihre Bestandteile.

Eine Aussage ist ein grammatikalisch korrekter Satz, der zusammen mit der durch ihn ausgedrückten Bedeutung (Inhalt) wahr oder falsch ist.

Der Begriff einer Aussage ist einer der ersten Schlüsselbegriffe der Logik. Als solches lässt es keine präzise Definition zu, die in seinen verschiedenen Abschnitten gleichermaßen anwendbar ist. Es ist klar, dass jede Aussage eine bestimmte Situation beschreibt, etwas darüber behauptet oder verneint und wahr oder falsch ist.

Eine Aussage gilt als wahr, wenn die durch sie gegebene Beschreibung der tatsächlichen Situation entspricht, und als falsch, wenn sie ihr nicht entspricht. „Wahr“ und „falsch“ heißen die Wahrheitswerte des Satzes.

Aus einzelnen Anweisungen können Sie auf unterschiedliche Weise neue Anweisungen erstellen. So können aus den Aussagen „Der Wind weht“ und „Es regnet“ komplexere Aussagen gebildet werden „Der Wind weht und es regnet“, „Entweder der Wind weht oder es regnet“, „Wenn es es regnet, der Wind weht“ etc. Ausdrücke „und“, „entweder, oder“, „wenn, dann“ etc., die zur Bildung komplexer Aussagen dienen, nennt man logische Verknüpfungen.

Eine Anweisung heißt einfach, wenn sie keine anderen Anweisungen als Teile enthält.

Eine Aussage ist komplex, wenn sie mit Hilfe logischer Verknüpfungen aus anderen, einfacheren Aussagen gewonnen wird.

Der Teil der Logik, der die logischen Zusammenhänge von Aussagen beschreibt, die nicht von der Struktur einfacher Aussagen abhängen, wird als allgemeine Deduktionstheorie bezeichnet.

Negation - eine logische Verknüpfung, mit deren Hilfe aus einer gegebenen Aussage eine neue Aussage gewonnen wird, so dass, wenn die ursprüngliche Aussage wahr ist, ihre Negation falsch ist und umgekehrt. Eine negative Aussage besteht aus der ursprünglichen Aussage und einer Verneinung, die normalerweise durch die Worte „nicht“, „es ist nicht wahr, dass“ ausgedrückt wird. Ein negativer Satz ist also ein zusammengesetzter Satz: er enthält einen von ihm verschiedenen Satz als seinen Teil. Beispielsweise ist die Negation der Aussage „10 ist eine gerade Zahl“ die Aussage „10 ist keine gerade Zahl“ (oder: „Es ist nicht wahr, dass 10 eine gerade Zahl ist“).

Als Ergebnis der Verbindung zweier Aussagen mit Hilfe des Wortes „und“ erhalten wir eine komplexe Aussage, die als Konjunktion bezeichnet wird. Auf diese Weise verbundene Anweisungen werden Glieder einer Konjunktion genannt. Werden beispielsweise die Aussagen „Heute ist es heiß“ und „Gestern war es kalt“ auf diese Weise kombiniert, erhält man die Konjunktion „Heute ist es heiß und gestern war es kalt“.

Eine Konjunktion ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen darin wahr sind; wenn mindestens einer ihrer Terme falsch ist, dann ist die ganze Konjunktion falsch.

Die Definition einer Konjunktion sowie die Definitionen anderer logischer Verknüpfungen, die zur Bildung komplexer Aussagen dienen, basiert auf den folgenden zwei Annahmen:

jede Aussage (sowohl einfache als auch komplexe) hat einen und nur einen von zwei Wahrheitswerten: sie ist entweder wahr oder falsch;

Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage hängt nur von den Wahrheitswerten der darin enthaltenen Aussagen und der Art und Weise ab, wie sie logisch miteinander verbunden sind.

Diese Annahmen scheinen einfach. Приняв их, нужно, однако, отбросить идею, что, наряду с истинными и ложными высказываниями, могут существовать также высказывания неопределенные с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, «Через пять лет в это время будет идти дождь с громом» usw.). Auch muss darauf verzichtet werden, dass der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage auch vom „Sinnzusammenhang“ der zu kombinierenden Aussagen abhängt.

In der Umgangssprache werden zwei Aussagen durch die Vereinigung „und“ verbunden, wenn sie inhaltlich oder bedeutungsmäßig verwandt sind. Die Natur dieser Verbindung ist nicht ganz klar, aber es ist klar, dass wir die Konjunktion „Er trug einen Mantel und ich ging zur Universität“ nicht als einen sinnvollen Ausdruck betrachten würden, der wahr oder falsch sein kann. Obwohl die Aussagen „2 ist eine Primzahl“ und „Moskau ist eine Großstadt“ wahr sind, neigen wir nicht dazu, ihre Konjunktion „2 ist eine Primzahl und Moskau ist eine Großstadt“ für wahr zu halten, da sie konstituierend ist Aussagen sind in ihrer Bedeutung nicht verwandt.

Indem sie die Bedeutung der Konjunktion und anderer logischer Konnektive vereinfacht und dafür das obskure Konzept der "Bedeutungsverbindung von Aussagen" aufgibt, macht die Logik die Bedeutung dieser Konnektive breiter und gleichzeitig klarer.

Indem wir zwei Aussagen mit dem Wort „oder“ verbinden, erhalten wir eine Disjunktion dieser Aussagen. Aussagen, die eine Disjunktion bilden, heißen Glieder der Disjunktion.

Das Wort „oder“ hat in der Umgangssprache zwei verschiedene Bedeutungen. Manchmal bedeutet es „das eine oder das andere oder beides“ und manchmal „das eine oder das andere, aber nicht beides“. Die Aussage „Diese Spielzeit will ich zur Pique Dame oder zu Aida“ lässt die Möglichkeit zu, die Oper zweimal zu besuchen. In der Aussage „Er studiert an der Universität Moskau oder Leningrad“ wird davon ausgegangen, dass die betreffende Person nur an einer dieser Universitäten studiert.

Die erste Bedeutung von „oder“ wird als nicht exklusiv bezeichnet. In diesem Sinne bedeutet die Disjunktion zweier Aussagen nur, dass mindestens eine dieser Aussagen wahr ist, egal ob sie beide wahr sind oder nicht. Im zweiten, ausschließlichen Sinne genommen, behauptet die Disjunktion zweier Aussagen, dass die eine wahr und die andere falsch ist.

Das Symbol V bezeichnet eine Disjunktion im nicht exklusiven Sinn, für eine Disjunktion im exklusiven Sinn wird das Symbol V verwendet. Tabellen für zwei Arten von Disjunktionen zeigen, dass eine nicht ausschließliche Disjunktion wahr ist, wenn mindestens eine der darin enthaltenen Aussagen wahr ist, und nur dann falsch, wenn beide ihrer Mitglieder falsch sind; Eine exklusive Disjunktion ist wahr, wenn nur einer ihrer Terme wahr ist, und sie ist falsch, wenn beide Terme wahr oder beide falsch sind.

In Logik und Mathematik wird das Wort „oder“ immer in einem nicht ausschließlichen Sinn verwendet.

Die Zerlegung einer Aussage in einfache, weitere unzerlegbare Teile ergibt zwei Arten von Ausdrücken, die als echte und uneigentliche Symbole bezeichnet werden. Die Besonderheit eigener Symbole besteht darin, dass sie einen gewissen Inhalt haben, sogar für sich genommen. Dazu gehören Namen (die einige Bände bezeichnen), ungelöste (die sich auf einen Bereich von Objekten beziehen), Aussagen (die einige Situationen beschreiben und wahr oder falsch sind). Uneigentliche Symbole haben keinen eigenständigen Inhalt, sondern bilden in Kombination mit einem oder mehreren eigenen Symbolen komplexe Ausdrücke, die bereits eigenständigen Inhalt haben. Zu uneigentlichen Symbolen zählen insbesondere logische Verknüpfungen, die verwendet werden, um aus einfachen Aussagen komplexe Aussagen zu bilden: „… und …“, „… oder …“, „entweder … oder …“, „ wenn..., dann...", "... dann und nur wenn...", "weder... noch...", "nicht... aber...", "... aber nicht ...“, „es ist nicht wahr, dass ...“ usw. Das Wort selbst, sagen wir „oder“, bezeichnet kein Objekt. Aber in Kombination mit zwei eigenen, bezeichnenden Symbolen ergibt dieses Wort ein neues bezeichnendes Symbol: aus den beiden Aussagen "Brief erhalten" und "Telegramm gesendet" - eine neue Aussage "Brief erhalten oder Telegramm gesendet".

Die zentrale Aufgabe der Logik ist die Trennung richtiger von falschen Denkschemata und die Systematisierung ersterer. Die logische Korrektheit wird durch die logische Form bestimmt. Um es aufzudecken, muss man von den bedeutungsvollen Teilen des Arguments (eigentliche Symbole) abstrahieren und sich auf nicht-eigentliche Symbole konzentrieren, die diese Form in ihrer reinsten Form darstellen. Daher das Interesse der formalen Logik an Wörtern, die normalerweise keine Aufmerksamkeit erregen, wie "und", "oder", "wenn, dann" usw.

Erklärung Aussagesatz, der als wahr oder falsch bezeichnet werden kann. In der Algebra werden einfache Aussagen mit logischen Variablen (A, B, C usw.)

boolesche Variable ist eine einfache Aussage.
Boolesche Variablen werden mit lateinischen Groß- und Kleinbuchstaben (a-z, A-Z) bezeichnet und können nur zwei Werte annehmen - 1, wenn die Aussage wahr ist, oder 0, wenn die Aussage falsch ist.

Spruchbeispiel:

Boolesche Funktion- Dies ist eine komplexe Anweisung, die durch logische Operationen an einfachen Anweisungen erhalten wird.

Für die Bildung komplexer Anweisungen wird am häufigsten verwendet grundlegende logische Operationen, ausgedrückt durch logische Konnektoren „und“, „oder“, „nicht“.
Zum Beispiel,

Viele Menschen mögen kein nasses Wetter..

Sei A = "Viele Leute mögen nasses Wetter." Wir erhalten eine logische Funktion F(A) = nicht A.

Bündel „NICHT“, „UND“, „ODER“ werden durch logische Operationen ersetzt Umkehrung , Verbindung , Disjunktion . Das grundlegende logische Operationen, die zum Schreiben eines beliebigen logischen Ausdrucks verwendet werden kann.

Boolesche Formel (logischer Ausdruck) - eine Formel, die nur logische Werte und Zeichen logischer Operationen enthält. Das Ergebnis der Auswertung einer logischen Formel ist TRUE (1) oder FALSE (0).

Der Wert einer logischen Funktion hängt von den Werten der darin enthaltenen logischen Variablen ab. Daher kann der Wert einer logischen Funktion über eine spezielle Tabelle ermittelt werden ( Wahrheitstabellen), die alle möglichen Werte der eingegebenen booleschen Variablen und ihre entsprechenden Funktionswerte auflistet.

Grundlegende (grundlegende) logische Operationen:

1. Logische Multiplikation (Konjunktion), von lat. konjunctio - ich verbinde:
Kombinieren von zwei (oder mehreren) Anweisungen zu einer mit der Union AND;
in Programmiersprachen - Und.
Herkömmliche Schreibweise: /\ , , und und.
In der Mengenalgebra entsprechen Konjunktionen der Schnittoperation von Mengen.

Eine Konjunktion ist genau dann wahr, wenn alle darin enthaltenen Aussagen wahr sind.

Beispiel:
Betrachten Sie die zusammengesetzte Aussage „2 2 = 4 und 3 3 = 10“. Schauen wir uns einige einfache Aussagen an:

B \u003d "3 3 \u003d 10" \u003d 0 (weil dies eine falsche Aussage ist)
Daher ist die logische Funktion F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (laut Wahrheitstabelle), dh diese zusammengesetzte Aussage ist falsch.

2. Logische Addition (Disjunktion), von lat. disjunctio - ich unterscheide:
Kombinieren von zwei (oder mehr) Anweisungen zu einer mit der Vereinigung OR;
in Programmiersprachen - Oder.
Notation: \/, +, oder, oder.
In der Mengenalgebra entspricht die Disjunktion der Operation der Vereinigung von Mengen.

Eine Disjunktion ist genau dann falsch, wenn alle darin enthaltenen Aussagen falsch sind.

Beispiel:
Betrachten Sie die zusammengesetzte Aussage „2 2 = 4 oder 2 2 = 5“. Lassen Sie uns einfache Aussagen herausgreifen:
A \u003d "2 2 \u003d 4" \u003d 1 (weil dies eine wahre Aussage ist)
B \u003d "2 2 \u003d 5" \u003d 0 (weil dies eine falsche Aussage ist)
Daher ist die logische Funktion F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (laut Wahrheitstabelle), dh diese zusammengesetzte Aussage ist wahr.

3. Negation (Umkehrung), von lat. InVersion - Ich drehe um:

Entspricht dem Partikel NICHT, die Phrasen sind FALSCH, WAS oder IST NICHT WAHR, WAS;
in Programmiersprachen - Nicht;
Bezeichnung: nicht A, ¬A, nicht
In der Mengenalgebra entspricht die logische Negation der Komplementoperation einer universellen Menge.

Inversi i einer booleschen Variablen ist wahr, wenn die Variable selbst falsch ist, und umgekehrt ist die Umkehrung falsch, wenn die Variable wahr ist.

Beispiel:

A \u003d (zwei mal zwei ist vier) \u003d 1.

¬A= ( Das stimmt nicht zwei mal zwei gleich vier = 0.

Betrachten Sie Aussage A: Der Mond ist der Satellit der Erde“; dann wird ¬A wie folgt formuliert: „ Der Mond ist kein Satellit der Erde“.

Betrachten Sie die Aussage: "Es ist nicht wahr, dass 4 durch 3 teilbar ist." Bezeichne mit A die einfache Aussage "4 ist durch 3 teilbar". Dann hat die logische Form der Negation dieser Aussage die Form ¬A

Priorität der logischen Operationen:

Operationen in einem booleschen Ausdruck werden von links nach rechts ausgeführt, einschließlich Klammern in nächste in Ordnung:
1. Umkehrung;
2. Konjunktion;
3. Disjunktion;
Klammern werden verwendet, um die angegebene Reihenfolge logischer Operationen zu ändern.

Zusammengesetzte logische Ausdrücke Aussagenalgebren genannt werden Formeln.
Der wahre oder falsche Wert einer Formel kann durch die Gesetze der Algebra der Logik bestimmt werden, ohne sich auf die Bedeutung zu beziehen:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 - wahr
F = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 - falsch

Eine Aussage ist eine komplexere Formation als ein Name. Wenn wir Anweisungen in einfachere Teile zerlegen, erhalten wir immer den einen oder anderen Namen. Nehmen wir an, die Aussage „Die Sonne ist ein Stern“ enthält die Namen „Sonne“ und „Stern“ als ihre Bestandteile.

Erklärung- ein grammatikalisch korrekter Satz, zusammen mit der Bedeutung (dem Inhalt), der durch ihn ausgedrückt wird, und der wahr oder falsch ist.

Der Begriff einer Aussage ist einer der ersten Schlüsselbegriffe der Logik. Als solches lässt es keine präzise Definition zu, die in seinen verschiedenen Abschnitten gleichermaßen anwendbar ist.

Eine Aussage gilt als wahr, wenn die durch sie gegebene Beschreibung der tatsächlichen Situation entspricht, und als falsch, wenn sie ihr nicht entspricht. „Wahr“ und „falsch“ nennt man „Wahrheitswerte von Sätzen“.

Aus einzelnen Anweisungen können Sie auf unterschiedliche Weise neue Anweisungen erstellen.

Beispielsweise können aus den Aussagen „Der Wind weht“ und „Es regnet“ komplexere Aussagen gebildet werden „Der Wind weht und es regnet“, „Entweder der Wind weht oder es regnet“, „Wenn es regnet, dann weht der Wind“ usw. .

Die Anweisung wird aufgerufen einfach, wenn es keine anderen Aussagen als seine Teile enthält.

Die Anweisung wird aufgerufen Ich bin kompliziert, wenn es mit Hilfe logischer Verknüpfungen aus anderen einfacheren Aussagen gewonnen wird.

Betrachten Sie die wichtigsten Methoden zum Erstellen komplexer Anweisungen.

negative Aussage besteht aus der ursprünglichen Aussage und Verneinung, die normalerweise durch die Worte "nicht", "es ist nicht wahr, dass" ausgedrückt wird. Ein negativer Satz ist also ein zusammengesetzter Satz: er enthält einen von ihm verschiedenen Satz als seinen Teil. Beispielsweise ist die Negation der Aussage „10 ist eine gerade Zahl“ die Aussage „10 ist keine gerade Zahl“ (oder: „Es ist nicht wahr, dass 10 eine gerade Zahl ist“).

Bezeichnen wir Aussagen mit den Buchstaben A, B, C, ... Die volle Bedeutung des Begriffs der Negation einer Aussage ergibt sich aus der Bedingung: Wenn Aussage A wahr ist, ist ihre Negation falsch, und wenn A falsch ist, ihre Negation ist wahr. Da zum Beispiel die Aussage „1 ist eine positive ganze Zahl“ wahr ist, ist ihre Negation „1 ist keine positive ganze Zahl“ falsch, und da „1 ist eine Primzahl“ falsch ist, ist ihre Negation „1 ist keine Primzahl“. " ist wahr.

Die Kombination zweier Anweisungen mit dem Wort "und" ergibt eine zusammengesetzte Anweisung namens Verbindung. Auf diese Weise verbundene Aussagen werden "Konjunktionsbedingungen" genannt.

Werden beispielsweise die Aussagen „Heute ist es heiß“ und „Gestern war es kalt“ auf diese Weise kombiniert, erhält man die Konjunktion „Heute ist es heiß und gestern war es kalt“.

Eine Konjunktion ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen darin wahr sind; wenn mindestens einer ihrer Terme falsch ist, dann ist die ganze Konjunktion falsch.

In der Umgangssprache werden zwei Aussagen durch die Vereinigung „und“ verbunden, wenn sie inhaltlich oder bedeutungsmäßig verwandt sind. Die Art dieser Verbindung ist nicht ganz klar, aber es ist klar, dass wir die Konjunktion „Er ging zum Mantel, und ich ging zur Universität“ nicht als einen sinnvollen Ausdruck betrachten würden, der wahr oder falsch sein kann. Obwohl die Aussagen „2 ist eine Primzahl“ und „Moskau ist eine Großstadt“ wahr sind, neigen wir aufgrund der Aussagen auch nicht dazu, ihre Verbindung „2 ist eine Primzahl und Moskau ist eine Großstadt“ für wahr zu halten die es ausmachen, sind in ihrer Bedeutung nicht verwandt. Indem sie die Bedeutung der Konjunktion und anderer logischer Konnektive vereinfacht und dafür das obskure Konzept der "Bedeutungsverbindung von Aussagen" aufgibt, macht die Logik die Bedeutung dieser Konnektive breiter und gleichzeitig klarer.

Das Verbinden zweier Sätze mit dem Wort „oder“ ergibt Disjunktion diese Aussagen. Aussagen, die eine Disjunktion bilden, werden "Mitglieder der Disjunktion" genannt. .

Das Wort „oder“ hat in der Umgangssprache zwei verschiedene Bedeutungen. Manchmal bedeutet es „das eine oder das andere oder beides“ und manchmal „das eine oder das andere, aber nicht beides“. Die Aussage „Diese Spielzeit will ich zur Pique Dame oder zu Aida“ lässt beispielsweise die Möglichkeit zu, die Oper zweimal zu besuchen. Die Aussage „Er studiert an der Universität Moskau oder Jaroslawl“ impliziert, dass die betreffende Person nur an einer dieser Universitäten studiert.

Der erste Sinn von "oder" wird aufgerufen nicht exklusiv. In diesem Sinne bedeutet die Disjunktion zweier Aussagen, dass mindestens eine dieser Aussagen wahr ist, unabhängig davon, ob sie beide wahr sind oder nicht. Aufgenommen im zweiten exklusiv, oder im engeren Sinne, die Disjunktion zweier Sätze besagt, dass einer der Sätze wahr und der andere falsch ist.

Eine nicht ausschließliche Disjunktion ist wahr, wenn mindestens eine ihrer Aussagen wahr ist, und nur dann falsch, wenn beide ihrer Terme falsch sind.

Eine exklusive Disjunktion ist wahr, wenn nur einer ihrer Terme wahr ist, und sie ist falsch, wenn beide Terme wahr oder beide falsch sind.

In Logik und Mathematik wird das Wort „oder“ fast immer in einem nicht ausschließlichen Sinne verwendet.

Bedingte Anweisung - eine komplexe Aussage, die normalerweise mit Hilfe eines Links „wenn ..., dann ...“ formuliert wird und feststellt, dass ein Ereignis, Zustand usw. in dem einen oder anderen Sinne die Grundlage oder Bedingung für ein anderes ist.

Zum Beispiel: „Wenn es Feuer gibt, dann gibt es Rauch“, „Wenn eine Zahl durch 9 teilbar ist, ist sie durch 3 teilbar“ usw.

Eine bedingte Anweisung besteht aus zwei einfacheren Anweisungen. Derjenige, dem das Wort "wenn" vorangestellt ist, wird aufgerufen Stiftung, oder Vorläufer(zurück), die Aussage, die nach dem Wort „that“ kommt, wird aufgerufen Folge, oder folgerichtig(anschließend).

Mit der Behauptung einer Bedingungsaussage meinen wir zunächst, dass es nicht sein kann, dass das Gesagte in seiner Begründung stattfindet, aber das Gesagte in der Konsequenz ausbleibt. Mit anderen Worten, es kann nicht passieren, dass der Vordersatz wahr und der Folgesatz falsch ist.

In Bezug auf eine bedingte Aussage werden normalerweise die Konzepte der hinreichenden und notwendigen Bedingungen definiert: Der Vordersatz (Basis) ist eine hinreichende Bedingung für den Nachsatz (Folge), und der Nachsatz ist eine notwendige Bedingung für den Vorsatz. Zum Beispiel bedeutet die Wahrheit der Bedingungsaussage „Wenn die Wahl rational ist, dann wird die beste verfügbare Alternative gewählt“, dass Rationalität ein ausreichender Grund für die Wahl der besten verfügbaren Option ist und dass die Wahl einer solchen Option eine notwendige Bedingung dafür ist Rationalität.

Eine typische Funktion einer Bedingungsaussage besteht darin, eine Aussage durch Bezugnahme auf eine andere Aussage zu begründen. Dass Silber beispielsweise elektrisch leitfähig ist, lässt sich damit begründen, dass es sich um ein Metall handelt: „Wenn Silber ein Metall ist, ist es elektrisch leitfähig.“

Der durch die Bedingungsaussage zum Ausdruck gebrachte Zusammenhang zwischen Rechtfertiger und Berechtigtem (Gründe und Folgen) ist schwer allgemein zu charakterisieren und nur manchmal relativ eindeutig zu charakterisieren. Dieser Zusammenhang kann erstens der logische Zusammenhang sein, der zwischen den Prämissen und der Schlussfolgerung des richtigen Schlusses stattfindet („Wenn alle lebenden vielzelligen Lebewesen sterblich sind und die Qualle ein solches Lebewesen ist, dann ist sie sterblich“); zweitens durch das Naturgesetz („Wenn der Körper Reibung ausgesetzt wird, beginnt er sich zu erwärmen“); drittens durch Kausalität („Befindet sich der Mond bei Neumond am Knoten seiner Umlaufbahn, tritt eine Sonnenfinsternis auf“); viertens soziale Regelmäßigkeit, Regel, Tradition („Ändert sich die Gesellschaft, ändert sich auch die Person“, „Wenn ein Rat vernünftig ist, muss er ausgeführt werden“) usw.

Der durch die Bedingungsaussage ausgedrückte Zusammenhang ist meist mit der Überzeugung verbunden, dass die Folge notwendigerweise aus dem Grund „folgt“ und dass es ein allgemeines Gesetz gibt, das wir formulieren konnten, um die Folge logisch aus dem Grund abzuleiten.

Zum Beispiel impliziert die Bedingungsaussage „Wenn Wismut ein Metall ist, ist es plastisch“ sozusagen das allgemeine Gesetz „Alle Metalle sind plastisch“, was die Konsequenz dieser Aussage zu einer logischen Konsequenz ihres Vorgängers macht.

Sowohl in der Umgangssprache als auch in der Wissenschaftssprache kann eine Bedingungsaussage neben der Begründungsfunktion auch eine Reihe weiterer Aufgaben erfüllen: eine Bedingung zu formulieren, die sich nicht auf ein implizites allgemeines Gesetz oder eine Regel bezieht („If Ich will, ich werde meinen Mantel zerschneiden“); eine Reihenfolge festlegen („Wenn der letzte Sommer trocken war, dann ist es dieses Jahr regnerisch“); Unglauben in einer eigentümlichen Form auszudrücken („Wenn Sie dieses Problem lösen, werde ich Fermats letzten Satz beweisen“); Opposition („Wenn im Garten eine Holunderbeere wächst, dann lebt ein Onkel in Kiew“) usw. Die Vielfalt und Heterogenität der Funktionen einer Bedingungsaussage erschwert ihre Analyse erheblich.

Die Verwendung einer bedingten Anweisung ist mit bestimmten psychologischen Faktoren verbunden. Normalerweise formulieren wir eine solche Aussage nur dann, wenn wir nicht mit Sicherheit wissen, ob ihr Vor- und Nachsatz wahr ist oder nicht. Ansonsten wirkt seine Verwendung unnatürlich („Wenn Watte ein Metall ist, ist sie elektrisch leitfähig“).

Der Bedingungssatz findet eine sehr breite Anwendung in allen Bereichen des Argumentierens. In der Logik wird es normalerweise dargestellt durch implizite Aussage, oder Auswirkungen. Gleichzeitig klärt, systematisiert und vereinfacht die Logik die Verwendung von „wenn ... dann ...“, befreit sie vom Einfluss psychologischer Faktoren.

Die Logik wird insbesondere davon abstrahiert, dass je nach Kontext der für eine Bedingungsaussage charakteristische Zusammenhang zwischen Grund und Konsequenz nicht nur mit Hilfe von „wenn ..., dann ...“, sondern auch mit anderen sprachlichen Mitteln.

Zum Beispiel „Da Wasser eine Flüssigkeit ist, überträgt es Druck gleichmäßig in alle Richtungen“, „Plastilin ist zwar kein Metall, aber Plastik“, „Wenn ein Baum ein Metall wäre, wäre er elektrisch leitend“ usw. Diese und ähnliche Aussagen werden in der Sprache der Logik durch Implikation dargestellt, obwohl die Verwendung von „wenn ... dann ...“ in ihnen nicht ganz natürlich wäre.

Indem wir die Implikation behaupten, behaupten wir, dass es nicht passieren kann, dass ihre Begründung stattfindet und ihre Folge nicht existiert. Mit anderen Worten, eine Implikation ist nur dann falsch, wenn ihr Grund wahr und ihre Konsequenz falsch ist.

Diese Definition geht wie die vorangegangenen Verbindungsdefinitionen davon aus, dass jeder Satz entweder wahr oder falsch ist und dass der Wahrheitswert eines zusammengesetzten Satzes nur von den Wahrheitswerten seiner Teilsätze und der Art und Weise abhängt, wie sie verbunden sind.

Eine Implikation ist wahr, wenn sowohl ihr Grund als auch ihre Konsequenz wahr oder falsch sind; es ist wahr, wenn sein Grund falsch und seine Konsequenz wahr ist. Nur im vierten Fall, wenn der Grund wahr und die Konsequenz falsch ist, ist die Implikation falsch.

Die Implikation impliziert nicht, dass Aussagen A und B irgendwie inhaltlich verwandt sind. Wenn B wahr ist, ist die Aussage "wenn A, dann B" wahr, unabhängig davon, ob A wahr oder falsch ist und ob es semantisch mit B verwandt ist oder nicht.

Als wahr gelten beispielsweise Aussagen: „Wenn es Leben auf der Sonne gibt, dann ist zweimal zwei gleich vier“, „Wenn die Wolga ein See ist, dann ist Tokio ein großes Dorf“ usw. Die Bedingungsaussage ist auch dann wahr, wenn A falsch ist, und es macht dabei wiederum keinen Unterschied, ob B wahr ist oder nicht, und ob es inhaltlich mit A zusammenhängt oder nicht. Folgende Aussagen sind wahr: „Wenn die Sonne ein Würfel ist, dann ist die Erde ein Dreieck“, „Wenn zweimal zwei gleich fünf ist, dann ist Tokio eine kleine Stadt“ usw.

In der gewöhnlichen Argumentation werden all diese Aussagen wahrscheinlich nicht als sinnvoll und noch weniger als wahr angesehen.

Obwohl die Implikation für viele Zwecke nützlich ist, passt sie nicht ganz in das übliche Verständnis von bedingter Assoziation. Die Implikation deckt viele wichtige Merkmale des logischen Verhaltens der Bedingungsaussage ab, ist aber gleichzeitig keine hinreichend adäquate Beschreibung davon.

Im letzten halben Jahrhundert wurden energische Versuche unternommen, die Implikationstheorie zu reformieren. Dabei ging es nicht darum, den beschriebenen Begriff der Implikation aufzugeben, sondern mit ihm einen weiteren Begriff einzuführen, der nicht nur die Wahrheitswerte von Aussagen, sondern auch deren inhaltlichen Zusammenhang berücksichtigt.

Eng verwandt mit der Implikation Gleichwertigkeit, manchmal auch als "doppelte Implikation" bezeichnet.

Gleichwertigkeit- eine komplexe Aussage „A, wenn und nur wenn B“, die aus den Aussagen A und B gebildet und in zwei Implikationen zerlegt wird: „wenn A, dann B“ und „wenn B, dann A“. Zum Beispiel: "Ein Dreieck ist genau dann gleichseitig, wenn es gleichwinklig ist." Der Begriff "Äquivalenz" bezeichnet auch die Verknüpfung "..., wenn und nur wenn ...", mit deren Hilfe diese komplexe Aussage aus zwei Aussagen gebildet wird. Statt „wenn und nur wenn“ können hierfür auch „wenn und nur wenn“, „wenn und nur wenn“ usw. verwendet werden.

Wenn logische Konnektoren in Begriffen von wahr und falsch definiert werden, ist eine Äquivalenz genau dann wahr, wenn beide ihrer konstituierenden Aussagen denselben Wahrheitswert haben, dh wenn sie sowohl wahr als auch beide falsch sind. Dementsprechend ist eine Äquivalenz falsch, wenn eine ihrer Aussagen wahr und die andere falsch ist.

Bei der Betrachtung der Möglichkeiten, komplexe Aussagen aus einfachen zu bilden, wurde die interne Struktur einfacher Aussagen nicht berücksichtigt. Sie wurden als unzersetzbare Teilchen mit nur einer Eigenschaft angesehen: wahr oder falsch zu sein. Einfache Sprüche

nicht umsonst werden sie manchmal atomar genannt: aus ihnen, wie aus elementaren Bausteinen, werden mit Hilfe logischer Verknüpfungen „und“, „oder“ etc. verschiedene komplexe („molekulare“) Aussagen aufgebaut.

Jetzt sollten wir uns mit der Frage der inneren Struktur oder inneren Struktur der einfachen Aussagen selbst befassen: aus welchen spezifischen Teilen sie bestehen und wie diese Teile miteinander verbunden sind.

Es muss gleich betont werden, dass einfache Aussagen auf unterschiedliche Weise in ihre Bestandteile zerlegt werden können. Das Ergebnis der Dekomposition hängt von dem Zweck ab, für den sie durchgeführt wird, dh von dem Konzept des logischen Schlusses (logische Konsequenz), innerhalb dessen solche Aussagen analysiert werden.

Das besondere Interesse an kategorialen Sätzen erklärt sich vor allem daraus, dass die Entwicklung der Logik als Wissenschaft mit dem Studium ihrer logischen Zusammenhänge begann. Darüber hinaus werden Aussagen dieser Art in unserer Argumentation häufig verwendet. Die Theorie der logischen Zusammenhänge kategorialer Aussagen wird üblicherweise genannt syllogistisch.

Beispielsweise wird in der Aussage „Alle Dinosaurier sind ausgestorben“ Dinosauriern das Attribut „ausgestorben“ zugeschrieben. In dem Satz „Einige Dinosaurier flogen“ wird bestimmten Arten von Dinosauriern die Fähigkeit zu fliegen zugeschrieben. Die Behauptung „Alle Kometen sind keine Asteroiden“ bestreitet das Vorhandensein des Attributs „ein Asteroid zu sein“ für jeden der Kometen. Die Behauptung „Manche Tiere sind keine Pflanzenfresser“ verneint die Pflanzenfresserei einiger Tiere.

Wenn wir das quantitative Merkmal ignorieren, das in der kategorialen Aussage enthalten ist und durch die Wörter „alle“ und „einige“ ausgedrückt wird, erhalten wir zwei Versionen solcher Aussagen: bejahend und negativ. Ihre Struktur:

„S ist P“ und „S ist nicht P“

wobei der Buchstabe S den Namen des Objekts darstellt, auf das sich die Aussage bezieht, und der Buchstabe P der Name eines diesem Objekt innewohnenden oder nicht inhärenten Merkmals ist.

Der Name des Objekts, auf das in der kategorialen Aussage verwiesen wird, wird aufgerufen Gegenstand, und der Name seiner Funktion ist Prädikat. Subjekt und Prädikat werden benannt Bedingungen kategoriale Aussage und sind durch Bänder „ist“ oder „ist nicht“ („ist“ oder „ist nicht“ usw.) miteinander verbunden. In der Aussage „Die Sonne ist ein Stern“ sind die Begriffe beispielsweise die Namen „Sonne“ und „Stern“ (der erste von ihnen ist das Subjekt der Aussage, der zweite ist ihr Prädikat) und das Wort „ist“. “ ist ein Link.

Einfache Aussagen wie „S ist (ist nicht) P“ nennt man attributiv: Sie führen die Zuschreibung (Zuweisung) einer Eigenschaft an einen Gegenstand durch.

Attributiven Aussagen stehen Aussagen über Beziehungen gegenüber, in denen Beziehungen zwischen zwei oder mehr Objekten hergestellt werden: „Drei sind weniger als fünf“, „Kiew ist größer als Odessa“, „Frühling ist besser als Herbst“, „Paris liegt zwischen Moskau und New York“ usw. Aussagen über Zusammenhänge spielen in der Wissenschaft, insbesondere in der Mathematik, eine wesentliche Rolle. Sie sind nicht auf kategoriale Aussagen reduzierbar, da Beziehungen zwischen mehreren Objekten (wie „gleich“, „liebt“, „wärmer“, „ist zwischen“ etc.) nicht auf die Eigenschaften einzelner Objekte reduzierbar sind. Einer der wesentlichen Mängel der traditionellen Logik war, dass sie Urteile über Beziehungen als auf Urteile über Eigenschaften reduzierbar ansah.

In einer kategorialen Aussage wird nicht nur der Zusammenhang zwischen dem Objekt und dem Attribut hergestellt, sondern es wird auch eine bestimmte quantitative Eigenschaft des Subjekts der Aussage angegeben. In Aussagen wie „Alle S ist (ist nicht) P“ bedeutet das Wort „alle“ „jedes der Objekte der entsprechenden Klasse“. In Aussagen wie „Einige S sind (sind nicht) P“ wird das Wort „einige“ in einem nicht ausschließlichen Sinn verwendet und bedeutet „einige, aber vielleicht alle“. In einem ausschließlichen Sinne bedeutet das Wort „einige“ „nur einige“ oder „einige, aber nicht alle“. Der Unterschied zwischen den beiden Bedeutungen dieses Wortes lässt sich am Beispiel der Aussage „Manche Sterne sind Sterne“ veranschaulichen. In einem nicht ausschließlichen Sinne bedeutet es „Einige, vielleicht alle Sterne sind Sterne“ und ist offensichtlich wahr. Im ausschließlichen Sinne bedeutet diese Aussage „Nur manche Sterne sind Sterne“ und ist eindeutig falsch.

In kategorischen Aussagen wird die Zugehörigkeit einiger Zeichen zu den betrachteten Objekten bejaht oder verneint und es wird angegeben, ob es sich um alle diese Objekte oder um einige von ihnen handelt.

Somit sind vier Arten von kategorialen Aussagen möglich:

Alles S ist P - eine allgemeine bejahende Aussage,

Einige S sind P - private positive Aussage,

Alles S ist nicht P - eine allgemeine negative Aussage,

Einige S sind keine P - eine besonders negative Aussage.

Kategoriale Aussagen können als Ergebnisse des Ersetzens einiger Namen in die folgenden Ausdrücke mit Leerzeichen (Auslassungszeichen) angesehen werden: „Alles ... ist ...“, „Einige ... sind ...“, „Alles ... ist nicht ..." und "Manche ... sind nicht ...". Jeder dieser Ausdrücke ist eine logische Konstante (logische Operation), die es Ihnen ermöglicht, eine Aussage aus zwei Namen zu erhalten. Ersetzen wir zum Beispiel die Namen „Fliegen“ und „Vögel“ anstelle von Punkten, erhalten wir jeweils die folgenden Aussagen: „Alle Fliegen sind Vögel“, „Einige Fliegen sind Vögel“,

Inferenz

„Alle, die fliegen, sind keine Vögel“ und „Einige, die fliegen, sind keine Vögel“. Die erste und dritte Aussage sind falsch, die zweite und vierte Aussage sind wahr.

Inferenz

„Mit einem Tropfen Wasser kann eine Person, die logisch denken kann, schlussfolgern, dass der Atlantik oder die Niagarafälle existieren, selbst wenn sie keinen von beiden gesehen und noch nie von ihnen gehört hat ... Durch die Nägel einer Person seine Hände, Schuhe, die Hosenfalte an seinen Knien, an der Verdickung der Haut an Daumen und Zeigefinger, an seinem Gesichtsausdruck und den Manschetten seines Hemdes - an solchen Kleinigkeiten ist sein Beruf nicht schwer zu erraten. Und es besteht kein Zweifel, dass all dies zusammengenommen einem sachkundigen Beobachter zu den richtigen Schlussfolgerungen verleiten wird.

Dies ist ein Zitat aus einem Grundsatzartikel des berühmtesten beratenden Detektivs der Welt, Sherlock Holmes. Basierend auf den kleinsten Details baute er logisch einwandfreie Argumentationsketten auf und löste komplizierte Verbrechen, oft bequem von seiner Wohnung in der Baker Street aus. Holmes verwendete eine deduktive Methode, die er selbst entwickelt hatte, und stellte, wie sein Freund Dr. Watson glaubte, die Aufklärung von Verbrechen an den Rand einer exakten Wissenschaft.

Natürlich hat Holmes die Bedeutung der Deduktion in der forensischen Wissenschaft etwas übertrieben, aber seine Argumentation über die deduktive Methode hat es geschafft. „Ableitung“ von einem nur wenigen bekannten Spezialbegriff hat sich zu einem allgemein verwendeten und sogar modischen Konzept entwickelt. Die Popularisierung der Kunst des korrekten Denkens und vor allem des deduktiven Denkens ist nicht weniger Verdienst von Holmes als all die Verbrechen, die er aufgedeckt hat. Es gelang ihm, „der Logik den Charme eines Traums zu verleihen, indem er sich seinen Weg durch das Kristalllabyrinth möglicher Schlussfolgerungen zu einer einzigen strahlenden Schlussfolgerung bahnte“ (V. Nabokov).

Die Deduktion ist ein Sonderfall der Inferenz.

In einem weiten Sinne Fazit - eine logische Operation, durch die aus einer oder mehreren akzeptierten Aussagen (Prämissen) eine neue Aussage gewonnen wird - eine Schlussfolgerung (Schlussfolgerung, Konsequenz).

Je nachdem, ob es einen Zusammenhang zwischen den Prämissen und der Schlussfolgerung gibt logische Konsequenz, gibt es zwei Arten von Schlussfolgerungen.

Im Kern deduktives Denken liegt ein logisches Gesetz vor, kraft dessen der Schluss mit logischer Notwendigkeit aus den angenommenen Prämissen folgt.

Eine Besonderheit eines solchen Schlusses ist, dass er immer von wahren Prämissen zu einem wahren Schluss führt.

BEIM induktives Denken die Verbindung von Prämissen und Schlussfolgerungen beruht nicht auf dem Gesetz der Logik, sondern auf sachlichen oder psychologischen Gründen, die keinen rein formalen Charakter haben.

Bei einer solchen Schlussfolgerung folgt die Schlussfolgerung nicht logisch aus den Prämissen und kann Informationen enthalten, die in ihnen nicht vorhanden sind. Die Richtigkeit der Prämissen bedeutet also nicht die Richtigkeit der aus ihnen induktiv abgeleiteten Behauptung. Induktion gibt nur das wahrscheinliche, oder glaubhaft Schlussfolgerungen, die einer weiteren Überprüfung bedürfen.

Beispiele für deduktives Denken sind:

Wenn es regnet, ist der Boden nass. Es regnet.

Der Boden ist nass.

Wenn Helium ein Metall ist, ist es elektrisch leitfähig. Helium ist nicht elektrisch leitfähig.

Helium ist kein Metall.

Die Trennlinie zwischen den Prämissen und dem Schluss ersetzt wie üblich das Wort „daher“.

Argumentation kann als Beispiel für Induktion dienen:

Argentinien ist eine Republik; Brasilien ist eine Republik; Venezuela ist eine Republik; Ecuador ist eine Republik.

Argentinien, Brasilien, Venezuela, Ecuador sind lateinamerikanische Staaten.

Alle lateinamerikanischen Staaten sind Republiken .

Italien ist eine Republik, Portugal ist eine Republik, Finnland ist eine Republik, Frankreich ist eine Republik.

Italien, Portugal, Finnland, Frankreich - westeuropäische Länder.

Alle westeuropäischen Länder sind Republiken.

Induktion gibt keine volle Garantie dafür, aus den bereits bestehenden eine neue Wahrheit zu gewinnen. Diskutierbar ist höchstens eine gewisse Wahrscheinlichkeit für die Ableitung der Aussage. Die Prämissen sowohl der ersten als auch der zweiten induktiven Argumentation sind also wahr, aber die Schlussfolgerung der ersten ist wahr und die der zweiten falsch. Tatsächlich sind alle lateinamerikanischen Staaten Republiken; aber unter den Ländern Westeuropas gibt es nicht nur Republiken, sondern auch Monarchien, wie England, Belgien und Spanien.

Inferenz

Besonders charakteristische Ableitungen sind logische Übergänge von allgemeinem zu speziellem Wissen, wie zum Beispiel:

Alle Metalle sind Kunststoff. Kupfer ist ein Metall.

Kupfer ist Plastik.

In allen Fällen, in denen es erforderlich ist, einige Phänomene auf der Grundlage einer bereits bekannten allgemeinen Regel zu betrachten und die notwendigen Schlussfolgerungen bezüglich dieser Phänomene zu ziehen, schließen wir in Form einer Deduktion. Schlüsse, die vom Wissen über einen Teil von Gegenständen (Privatwissen) zum Wissen über alle Gegenstände einer bestimmten Klasse (Allgemeinwissen) führen, sind typische Induktionen. Es besteht immer die Möglichkeit, dass sich die Verallgemeinerung als voreilig und unbegründet herausstellt („Napoleon ist ein Kommandant; Suworow ist ein Kommandant; also ist jeder Mensch ein Kommandant“).

Dabei kann man die Deduktion nicht mit dem Übergang vom Allgemeinen zum Besonderen und die Induktion mit dem Übergang vom Besonderen zum Allgemeinen identifizieren.

In der Argumentation „schrieb Shakespeare Sonette; daher ist es nicht wahr, dass Shakespeare keine Sonette geschrieben hat“ ist eine Deduktion, aber es gibt keinen Übergang vom Allgemeinen zum Besonderen. Das Argument "Wenn Aluminium duktil oder Ton duktil ist, dann ist Aluminium duktil" wird allgemein als induktiv angesehen, aber es gibt keinen Übergang vom Besonderen zum Allgemeinen.

Deduktion ist die Ableitung von Schlussfolgerungen, die so zuverlässig sind wie die angenommenen Prämissen, Induktion ist die Ableitung wahrscheinlicher (plausibler) Schlussfolgerungen. Induktive Schlüsse umfassen sowohl Übergänge vom Besonderen zum Allgemeinen als auch Analogien, Methoden zur Herstellung kausaler Zusammenhänge, Bestätigung von Folgen, Zielbegründung etc.

Das besondere Interesse am deduktiven Denken ist nachvollziehbar. Sie ermöglichen es, aus vorhandenem Wissen neue Wahrheiten zu gewinnen, und darüber hinaus mit Hilfe reiner Argumentation, ohne auf Erfahrung, Intuition, gesunden Menschenverstand usw. zurückzugreifen, die Wahrscheinlichkeit einer wahren Schlussfolgerung. Ausgehend von wahren Prämissen und deduktiver Argumentation werden wir sicherlich in allen Fällen verlässliche Erkenntnisse gewinnen.

Während die Bedeutung der Deduktion im Prozess der Erweiterung und Begründung von Wissen betont wird, sollte man sie jedoch nicht von der Induktion trennen und letztere unterschätzen. Fast alle allgemeinen Sätze, einschließlich wissenschaftlicher Gesetze, sind Ergebnisse induktiver Verallgemeinerung. In diesem Sinne ist Induktion die Grundlage unseres Wissens. Sie garantiert an sich nicht ihre Wahrheit und Gültigkeit, aber sie erzeugt Vermutungen, verbindet sie mit Erfahrungen und verleiht ihnen dadurch eine gewisse Wahrscheinlichkeit, einen mehr oder weniger hohen Wahrscheinlichkeitsgrad. Erfahrung ist die Quelle und Grundlage menschlichen Wissens. Die Induktion, ausgehend von dem, was in der Erfahrung erfasst wird, ist ein notwendiges Mittel zu ihrer Verallgemeinerung und Systematisierung.

LOGISCHE GESETZE

Kapitel

Der Begriff eines logischen Gesetzes

Logische Gesetze bilden die Grundlage des menschlichen Denkens. Sie bestimmen, wann aus manchen Aussagen andere Aussagen logisch folgen, und sie stellen das unsichtbare Eisengerüst dar, auf dem konsequentes Denken ruht und ohne das es zu chaotischer, zusammenhangsloser Rede wird. Ohne ein logisches Gesetz ist es unmöglich zu verstehen, was eine logische Konsequenz und damit ein Beweis ist.

Korrektes oder, wie sie gewöhnlich sagen, logisches Denken ist das Denken nach den Gesetzen der Logik, nach den abstrakten Mustern, die von ihnen festgelegt werden. Dies erklärt die Bedeutung dieser Gesetze.

Homogene logische Gesetze werden zu logischen Systemen zusammengefasst, die üblicherweise auch „Logiken“ genannt werden. Jeder von ihnen gibt eine Beschreibung der logischen Struktur eines bestimmten Fragments oder Typs unseres Denkens.

Zum Beispiel werden die Gesetze, die die logischen Zusammenhänge von Aussagen beschreiben, die nicht von deren innerer Struktur abhängen, zu einem System zusammengefasst, das "Aussagenlogik" genannt wird. Die logischen Gesetze, die die Verbindungen kategorialer Sätze bestimmen, bilden ein logisches System, das als „Logik kategorialer Sätze“ oder „Syllogistik“ usw. bezeichnet wird.

Logische Gesetze sind objektiv und hängen nicht vom Willen und Bewusstsein einer Person ab. Sie sind nicht das Ergebnis einer Vereinbarung zwischen Menschen, einer speziell entworfenen oder spontan gebildeten Konvention. Sie sind auch nicht die Nachkommen irgendeines "Weltgeistes", wie Platon einst glaubte. Die Macht der Gesetze der Logik über den Menschen, ihre Kraft, die für richtiges Denken zwingend erforderlich ist, beruht darauf, dass sie im menschlichen Denken eine Widerspiegelung der realen Welt und der jahrhundertealten Erfahrung ihrer Erkenntnis und Transformation darstellen Mann.

Wie alle anderen wissenschaftlichen Gesetze sind logische Gesetze universell und notwendig. Sie wirken immer und überall und verbreiten sich gleichermaßen zu allen Menschen und zu jeder Epoche. Vertreter

Der Begriff eines logischen Gesetzes

unterschiedliche Nationen und unterschiedliche Kulturen, Männer und Frauen, alte Ägypter und moderne Polynesier unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Argumentationslogik nicht voneinander.

Die Notwendigkeit, die logischen Gesetzen innewohnt, ist in gewissem Sinne noch dringender und unveränderlicher als die natürliche oder physikalische Notwendigkeit. Es ist nicht einmal vorstellbar, dass das logisch Notwendige anders wäre. Wenn etwas gegen die Naturgesetze verstößt und physikalisch unmöglich ist, dann wird es kein Ingenieur mit all seinem Talent realisieren können. Aber wenn etwas den Gesetzen der Logik widerspricht und logisch unmöglich ist, dann könnte nicht nur ein Ingenieur - selbst ein allmächtiges Wesen, wenn es plötzlich auftaucht, es nicht zum Leben erwecken.

Wie bereits erwähnt, folgt bei korrekter Argumentation die Schlussfolgerung aus den Prämissen mit logischer Notwendigkeit, und das allgemeine Schema einer solchen Argumentation ist ein logisches Gesetz.

Die Anzahl der Schemata korrekter Argumentation (logischer Gesetze) ist unendlich. Viele dieser Schemata sind uns aus der Denkpraxis bekannt. Wir wenden sie intuitiv an, ohne zu erkennen, dass bei jeder richtigen Schlussfolgerung, die wir ziehen, dieses oder jenes logische Gesetz verwendet wird.

Bevor wir das allgemeine Konzept eines logischen Gesetzes einführen, geben wir einige Beispiele für Argumentationsschemata, die logische Gesetze sind. Anstelle der Variablen A, B, C, ..., die normalerweise verwendet werden, um Aussagen zu bezeichnen, werden wir, wie es in der Antike üblich war, die Wörter "erster" und "zweiter" verwenden, die Variablen ersetzen.

„Wenn es ein Erstes gibt, dann gibt es ein Zweites; da ist der erste; daher gibt es eine zweite. Dieses Argumentationsschema ermöglicht es uns, von der Aussage der Bedingungsaussage („Wenn es eine Erste gibt, dann gibt es eine Zweite“) und der Aussage ihrer Begründung („Es gibt eine Erste“) zur Aussage der Konsequenz zu kommen („Es gibt eine Sekunde“). Insbesondere nach diesem Schema lautet die Überlegung: „Wenn Eis erhitzt wird, schmilzt es; Eis wird erhitzt; deshalb schmilzt es."

Ein weiteres Diagramm der richtigen Argumentation: „Entweder das Erste oder das Zweite findet statt; da ist der erste; also gibt es keine Sekunde. Mittels dieses Schemas wird von zwei sich gegenseitig ausschließenden Alternativen und der Feststellung, welche davon stattfindet, zur Negation der zweiten Alternative übergegangen. Zum Beispiel: „Entweder wurde Dostojewski in Moskau geboren, oder er wurde in St. Petersburg geboren. Dostojewski wurde in Moskau geboren. Es ist also nicht wahr, dass er in St. Petersburg geboren wurde.“ Im amerikanischen Western The Good, the Bad and the Ugly sagt ein Bösewicht zum anderen: „Denken Sie daran, die Welt ist in zwei Teile geteilt: diejenigen, die einen Revolver halten, und diejenigen, die graben. Ich habe jetzt einen Revolver, also nimm eine Schaufel. Auch diese Überlegung basiert auf dem angegebenen Schema.

Und ein letztes vorläufiges Beispiel für ein logisches Gesetz oder ein allgemeines Schema korrekter Argumentation: „Es gibt das Erste oder das Zweite. Aber es gibt kein erstes. Also findet die zweite statt. Lassen Sie uns den Ausdruck „es ist Tag“ anstelle des Ausdrucks „erste“ und die Aussage „es ist Nacht“ anstelle des „zweiten“ ersetzen. Aus dem abstrakten Schema erhalten wir die Begründung: „Jetzt ist der Tag oder jetzt ist die Nacht. Aber es stimmt nicht, dass es Tag ist.

Also ist es jetzt Nacht."

Dies sind einige einfache Schemata korrekter Argumentation, die das Konzept eines logischen Gesetzes veranschaulichen. Hunderte und Aberhunderte solcher Schemata sitzen in unseren Köpfen, obwohl wir es nicht erkennen. Basierend auf ihnen argumentieren wir logisch oder richtig.

Gesetz der Logik (logisches Gesetz)- ein Ausdruck, der nur logische Konstanten und Variablen anstelle von sinnvollen Teilen enthält und in jedem Bereich des Denkens wahr ist.

Nehmen wir als Beispiel für einen Ausdruck, der nur aus Variablen und logischen Konstanten besteht, den Ausdruck: „Wenn A, dann B; Also wenn nicht A, dann nicht B. Die logischen Konstanten sind hier die propositionalen Konnektoren „wenn, dann“ und „nicht“. Die Variablen A und B repräsentieren einige Aussagen. Angenommen, A ist die Aussage „Es gibt eine Ursache“ und B ist die Aussage „Es gibt eine Wirkung“. Mit diesem spezifischen Inhalt erhalten wir die Begründung: „Wenn es eine Ursache gibt, dann gibt es eine Folge; Wenn es also keine Wirkung gibt, gibt es keine Ursache. Nehmen wir ferner an, dass anstelle von A die Aussage „Die Zahl ist durch sechs teilbar“ und anstelle von B die Aussage „Die Zahl ist durch drei teilbar“ eingesetzt wird. Mit diesem konkreten Inhalt ergibt sich nach dem betrachteten Schema die Begründung: „Wenn eine Zahl durch sechs teilbar ist, ist sie durch drei teilbar. Wenn also eine Zahl nicht durch drei teilbar ist, ist sie nicht durch sechs teilbar." Welche anderen Aussagen auch immer die Variablen A und B ersetzen, wenn diese Aussagen wahr sind, dann wird die daraus gezogene Schlussfolgerung wahr sein.

In der Logik wird üblicherweise ein Vorbehalt gemacht, dass der Gegenstandsbereich, über den gestritten wird und über den die in das logische Gesetz eingesetzten Aussagen sprechen, nicht leer sein darf: Er muss mindestens einen Gegenstand enthalten. Andernfalls kann das Denken nach dem Schema, das das Gesetz der Logik ist, von wahren Prämissen zu einer falschen Schlussfolgerung führen.

Beispielsweise folgt aus den wahren Prämissen „Alle Elefanten sind Tiere“ und „Alle Elefanten haben einen Rüssel“ nach dem Gesetz der Logik die wahre Schlussfolgerung „Manche Tiere haben einen Rüssel“. Aber wenn der Bereich der fraglichen Objekte leer ist, garantiert das Befolgen des Gesetzes der Logik keine wahre Schlussfolgerung mit wahren Prämissen. Wir werden auf die gleiche Weise argumentieren, aber über die goldenen Berge. Ziehen wir eine Schlussfolgerung: „Alle goldenen Berge sind Berge; alle goldenen Berge sind golden; deshalb sind manche Berge golden.“ Beide Prämissen dieses Arguments sind wahr. Aber seine Schlussfolgerung „Manche Berge sind golden“ ist eindeutig falsch: Es gibt keinen goldenen Berg.

Der Begriff eines logischen Gesetzes

Für eine auf dem Gesetz der Logik basierende Argumentation sind also zwei Merkmale charakteristisch:

Eine solche Argumentation führt immer von wahren Prämissen zu wahren Schlussfolgerungen;

Die Konsequenz folgt aus den Prämissen mit logischer Notwendigkeit.

Das logische Gesetz wird auch genannt logische Tautologie.

Logische Tautologie- ein Ausdruck, der wahr bleibt, unabhängig davon, um welche Objekte es sich handelt, oder ein "immer wahr"-Ausdruck.

Zum Beispiel sind alle Ergebnisse von Substitutionen in das logische Gesetz der doppelten Negation "Wenn A, dann ist es falsch, dass es nicht A ist", wahre Aussagen: "Wenn Ruß schwarz ist, dann ist es falsch, dass es nicht schwarz ist", „Wenn jemand vor Angst zittert, dann ist es falsch, dass er nicht vor Angst zittert“ usw.

Wie bereits erwähnt, steht der Begriff eines logischen Gesetzes in direktem Zusammenhang mit dem Begriff der logischen Konsequenz: Der Schluss folgt logisch aus den angenommenen Prämissen, wenn er mit ihnen durch ein logisches Gesetz verbunden ist. Beispielsweise folgt aus den Prämissen „Wenn A, dann B“ und „Wenn B, dann C“ logischerweise die Schlussfolgerung „Wenn A, dann C“, da der Ausdruck „Wenn A, dann B, und wenn B, dann C , dann ist wenn A , dann C" ein logisches Gesetz, nämlich Gesetz der Transitivität(Transitivität). Sagen wir, aus den Prämissen „Wenn eine Person ein Vater ist, dann ist sie ein Elternteil“ und „Wenn eine Person ein Elternteil ist, dann ist sie ein Vater oder eine Mutter“, folgt nach diesem Gesetz die Folgerung: „Wenn a jemand ein Vater ist, dann ist er ein Vater oder eine Mutter."

logische Folge- die Beziehung zwischen den Prämissen und der Schlussfolgerung der Schlussfolgerung, deren allgemeines Schema ein logisches Gesetz ist.

Da die Verknüpfung logischer Konsequenz auf einem logischen Gesetz beruht, zeichnet sie sich durch zwei Merkmale aus:

Logische Konsequenz führt von wahren Prämissen nur zu einem wahren Schluss;

Die Schlussfolgerung, die aus den Prämissen folgt, folgt aus ihnen mit logischer Notwendigkeit.

Nicht alle logischen Gesetze definieren direkt das Konzept der logischen Konsequenz. Es gibt Gesetze, die andere logische Verbindungen beschreiben: „und“, „oder“, „es ist nicht wahr, dass“ usw. und nur indirekt mit der Beziehung der logischen Konsequenz zusammenhängen. Dies ist insbesondere das nachstehend betrachtete Widerspruchsgesetz: „Es ist nicht wahr, dass eine willkürlich getroffene Aussage und

Einfache und komplexe Sätze. Ablehnung einer Aussage

Die mathematische Logik, deren Grundlagen bereits im 17. Jahrhundert von G. Leibniz gelegt wurden, wurde erst Mitte des 19. Jahrhunderts dank der Arbeit der Mathematiker J. Boole und O. Morgan, die die erstellten, als wissenschaftliche Disziplin gebildet Algebra der Logik.

1. Eine Äußerung ist jeder Aussagesatz, von dem bekannt ist, dass er entweder wahr oder falsch ist. Aussagen können mit Worten, mathematischen, chemischen und anderen Zeichen ausgedrückt werden. Hier sind einige Beispiele:

b) 2+6>8 (falsche Aussage),

c) die Summe der Zahlen 2 und 6 ist größer als die Zahl 8 (falsche Aussage);

d) II + VI > VII (wahre Aussage);

e) innerhalb unserer Galaxie gibt es außerirdische Zivilisationen (diese Aussage ist zweifellos entweder wahr oder falsch, aber es ist noch nicht bekannt, welche dieser Möglichkeiten wahr ist).

Es ist klar, dass die Aussagen b) und c) dasselbe bedeuten, aber sie werden unterschiedlich ausgedrückt. Im Allgemeinen schreiben wir Aussagen wie diese: a: (Der Mond ist ein Satellit der Erde); b:(es gibt eine reelle Zahl x, so dass 2x+5=15); c: (alle Dreiecke sind gleichschenklig).

Nicht jeder Satz ist eine Aussage. Ausrufe- und Fragesätze sind beispielsweise keine Aussagen („Welche Farbe hat dieses Haus?“, „Trinktomatensaft!“, „Halt!“ usw.). Ebensowenig Aussagen und Definitionen wie zum Beispiel „Nennen wir den Median die Strecke, die die Spitze des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.“ Hier wird nur der Name eines Objekts festgelegt. Damit Definitionen aber wahr oder falsch sein können, erfassen sie nur die akzeptierte Verwendung der Begriffe. Die Sätze "Er hat graue Augen" oder "x 2 - 4x + 3 \u003d 0" sind keine Aussagen - sie geben nicht an, von welcher Art von Person sie sprechen oder bei welchem ​​​​x sie Gleichheit betrachten. Solche Sätze mit unbekanntem Element (Variable) werden aufgerufen unbestimmte Aussagen. Beachten Sie, dass der Satz „Manche Leute haben graue Augen“ oder „Für alle x die Gleichheit x 2 – 4x + 3 = 0“ bereits eine Aussage ist (der erste davon ist wahr, der zweite falsch).

2. Eine Aussage, die in Teile zerlegt werden kann, wird komplex genannt, und eine Aussage, die nicht weiter zerlegt werden kann, wird einfach genannt. Beispielsweise besteht die Aussage „Heute um 16 Uhr war ich in der Schule und um 18 Uhr war ich auf der Eisbahn“ aus zwei Teilen „Heute um 16 Uhr war ich in der Schule“ und „Heute um 18 Uhr war ich auf der Eisbahn Eisbahn ". Oder diese Aussage: "Die Funktion y \u003d ax 2 + bx + c ist stetig und für alle Werte differenzierbar X" besteht aus zwei einfachen Aussagen: „Die Funktion y = ax 2 + bx + c ist für alle Werte von x stetig“ und „die Funktion y = ax 2 + bx + c ist für alle Werte von x differenzierbar“.

So wie andere Zahlen aus gegebenen Zahlen durch die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gewonnen werden können, so werden neue Aussagen aus gegebenen Aussagen durch Operationen mit speziellen Namen gewonnen: Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz, Negation. Auch wenn diese Namen ungewöhnlich klingen, meinen sie lediglich die bekannte Verbindung einzelner Sätze mit den Konnektiven „und“, „oder“, „wenn … dann …“, „wenn und nur wenn …“. als Ergänzung der Partikel „not“ zur Aussage,

3. Die Negation eines Satzes a ist ein solcher Satz a, dass a falsch ist, wenn a wahr ist, und a wahr ist, wenn a falsch ist. Die Bezeichnung a wird so gelesen: „Not a“ oder „Es ist nicht wahr, dass a“. Versuchen wir, diese Definition anhand von Beispielen zu verstehen. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

a: (Heute um 12 Uhr war ich auf der Eisbahn);

b: (Heute war ich nicht um 12 Uhr auf der Eisbahn);

c: (Ich war um 12 Uhr auf der Eisbahn, heute nicht);

d:(Heute um 12 Uhr war ich in der Schule);

e: (Heute war ich um 15 Uhr auf der Eisbahn);

f:(Heute um 12 Uhr war ich nicht auf der Eisbahn);

Auf den ersten Blick verneinen alle Sätze b - f Satz a. Aber eigentlich ist es das nicht. Wenn Sie die Bedeutung von Aussage b genau lesen, werden Sie feststellen, dass sich beide Aussagen a und b gleichzeitig als falsch herausstellen können – das wäre so, wenn ich heute überhaupt nicht auf der Eisbahn gewesen wäre. Dasselbe gilt für die Aussagen a und c, a und a. Und die Aussagen a und e können sowohl wahr sein (wenn ich zum Beispiel von 11 bis 4 Uhr nachmittags Schlittschuh gelaufen bin) als auch falsch (wenn ich heute überhaupt nicht auf der Eisbahn war). Und nur der Satz f hat die folgende Eigenschaft: er ist wahr, wenn der Satz a falsch ist, und falsch, wenn der Satz a wahr ist. Daher ist die Aussage f die Negation der Aussage a, also f = a. Die folgende Tabelle zeigt die Beziehung zwischen den Anweisungen a und ;

Die Buchstaben „i“ und „l“ sind Abkürzungen für die Wörter „true“ bzw. „false“. Diese Wörter werden in der Logik Wahrheitswerte genannt. Die Tabelle wird als Wahrheitstabelle bezeichnet.