Um zu lernen, wie man den größten gemeinsamen Teiler von zwei oder mehr Zahlen findet, musst du verstehen, was natürliche, Primzahlen und komplexe Zahlen sind.
Eine natürliche Zahl ist jede Zahl, die zum Zählen ganzer Zahlen verwendet wird.
Wenn eine natürliche Zahl nur durch sich selbst und eins geteilt werden kann, dann heißt sie Primzahl.
Alle natürlichen Zahlen sind durch sich selbst und eins teilbar, aber die einzige gerade Primzahl ist 2, alle anderen Primzahlen sind durch zwei teilbar. Daher können nur ungerade Zahlen Primzahlen sein.
Es gibt viele Primzahlen, es gibt keine vollständige Liste von ihnen. Um den GCD zu finden, ist es praktisch, spezielle Tabellen mit solchen Zahlen zu verwenden.
Die meisten natürlichen Zahlen lassen sich nicht nur durch eins selbst teilen, sondern auch durch andere Zahlen. So kann zum Beispiel die Zahl 15 durch 3 und 5 geteilt werden. Sie alle werden Teiler der Zahl 15 genannt.
Der Teiler eines beliebigen A ist also die Zahl, durch die es ohne Rest geteilt werden kann. Wenn eine Zahl mehr als zwei natürliche Teiler hat, nennt man sie zusammengesetzt.
Die Zahl 30 hat solche Teiler wie 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Sie können sehen, dass 15 und 30 die gleichen Teiler 1, 3, 5, 15 haben. Der größte gemeinsame Teiler dieser beiden Zahlen ist 15.
Der gemeinsame Teiler der Zahlen A und B ist also die Zahl, durch die man sie vollständig teilen kann. Das Maximum kann als die maximale Gesamtzahl angesehen werden, durch die sie geteilt werden können.
Zur Lösung von Problemen wird die folgende abgekürzte Inschrift verwendet:
GCD (A; B).
Beispiel: ggT (15; 30) = 30.
Um alle Teiler einer natürlichen Zahl aufzuschreiben, verwendet man die Notation:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
ggT (9; 15) = 1
In diesem Beispiel haben natürliche Zahlen nur einen gemeinsamen Teiler. Sie heißen teilerfremd bzw. die Einheit ist ihr größter gemeinsamer Teiler.
So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen
Um den ggT mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:
Finden Sie alle Teiler jeder natürlichen Zahl separat, dh zerlegen Sie sie in Faktoren (Primzahlen);
Wählen Sie alle gleichen Faktoren für gegebene Zahlen;
Multiplizieren Sie sie zusammen.
Um beispielsweise den größten gemeinsamen Teiler von 30 und 56 zu berechnen, würden Sie Folgendes schreiben:
Um nicht mit verwechselt zu werden, ist es praktisch, die Multiplikatoren in senkrechte Spalten zu schreiben. Auf der linken Seite der Linie müssen Sie den Dividenden und auf der rechten Seite den Divisor platzieren. Unter dem Dividenden sollten Sie den resultierenden Quotienten angeben.
In der rechten Spalte stehen also alle Faktoren, die für die Lösung benötigt werden.
Identische Teiler (gefundene Faktoren) können der Einfachheit halber unterstrichen werden. Sie sollten umgeschrieben und multipliziert werden und der größte gemeinsame Teiler sollte notiert werden.
ggT (30; 56) = 2 * 5 = 10
Es ist wirklich so einfach, den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen zu finden. Mit etwas Übung geht das fast automatisch.
Man nennt die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind größter gemeinsamer Teiler diese Nummern. Bezeichne ggT(a, b).
Betrachten Sie die Ermittlung des ggT am Beispiel zweier natürlicher Zahlen 18 und 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 und 432
Zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Streichen Sie von der ersten Zahl, deren Faktoren nicht in der zweiten und dritten Zahl enthalten sind, erhalten wir:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Als Ergebnis von GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
GCD mit Euklids Algorithmus finden
Der zweite Weg, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden Euklids Algorithmus. Der Euklid-Algorithmus ist der effizienteste Weg, um zu finden GCD, damit müssen Sie ständig den Rest der Zahlenteilung finden und anwenden wiederkehrende Formel.
Wiederkehrende Formel für GCD, ggT(a, b)=ggT(b, a mod b), wobei a mod b der Rest der Division von a durch b ist.
Euklids Algorithmus
Beispiel Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen 7920 und 594
Lassen Sie uns GCD finden ( 7920 , 594 ) unter Verwendung des Euklid-Algorithmus berechnen wir den Rest der Division mit einem Taschenrechner.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Als Ergebnis erhalten wir GCD( 7920 , 594 ) = 198
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Um beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern einen gemeinsamen Nenner zu finden, muss man wissen und rechnen können kleinstes gemeinsames Vielfaches(NOZ).
Ein Vielfaches der Zahl „a“ ist eine Zahl, die selbst ohne Rest durch die Zahl „a“ teilbar ist.
Zahlen, die Vielfache von 8 sind (d. h. diese Zahlen werden ohne Rest durch 8 geteilt): Dies sind die Zahlen 16, 24, 32 ...
Vielfache von 9: 18, 27, 36, 45 …
Es gibt unendlich viele Vielfache einer gegebenen Zahl a, im Gegensatz zu den Teilern derselben Zahl. Teiler - eine endliche Zahl.
Ein gemeinsames Vielfaches zweier natürlicher Zahlen ist eine Zahl, die durch beide Zahlen ohne Rest teilbar ist..
Kleinstes gemeinsames Vielfaches(LCM) von zwei oder mehr natürlichen Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die selbst durch jede dieser Zahlen teilbar ist.
So finden Sie das NOC
LCM kann auf zwei Arten gefunden und geschrieben werden.
Der erste Weg, um das LCM zu finden
Diese Methode wird normalerweise für kleine Zahlen verwendet.
- Wir schreiben die Vielfachen für jede der Zahlen in einer Zeile, bis es ein Vielfaches gibt, das für beide Zahlen gleich ist.
- Ein Vielfaches der Zahl „a“ wird durch einen Großbuchstaben „K“ gekennzeichnet.
Beispiel. Finden Sie LCM 6 und 8.
Der zweite Weg, um das LCM zu finden
Diese Methode ist praktisch, um das LCM für drei oder mehr Zahlen zu finden.
Die Anzahl identischer Faktoren in den Zahlenentwicklungen kann unterschiedlich sein.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Antwort: LCM (24, 60) = 120
Sie können das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) auch wie folgt formalisieren. Lassen Sie uns das LCM (12, 16, 24) finden.
24 = 2 2 2 3
Wie wir aus der Entwicklung der Zahlen sehen können, sind alle Faktoren von 12 in der Entwicklung von 24 (der größten der Zahlen) enthalten, also fügen wir nur eine 2 von der Entwicklung der Zahl 16 zum LCM hinzu.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Antwort: LCM (12, 16, 24) = 48
Sonderfälle beim Auffinden von NOCs
Beispiel: LCM(60, 15) = 60
Da teilerfremde Zahlen keine gemeinsamen Primteiler haben, ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Produkt dieser Zahlen.
Auf unserer Website können Sie auch einen speziellen Rechner verwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache online zu finden, um Ihre Berechnungen zu überprüfen.
Wenn eine natürliche Zahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, dann heißt sie Primzahl.
Jede natürliche Zahl ist immer durch 1 und sich selbst teilbar.
Die Zahl 2 ist die kleinste Primzahl. Dies ist die einzige gerade Primzahl, die restlichen Primzahlen sind ungerade.
Es gibt viele Primzahlen, und die erste unter ihnen ist die Zahl 2. Es gibt jedoch keine letzte Primzahl. Im Bereich "Zum Studium" können Sie eine Tabelle mit Primzahlen bis 997 herunterladen.
Aber viele natürliche Zahlen sind durch andere natürliche Zahlen ohne Rest teilbar.
- die Zahl 12 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12;
- 36 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36.
- die Teiler von Zahlen in Primfaktoren zerlegen;
Die Zahlen, durch die die Zahl ohne Rest teilbar ist (bei 12 sind das 1, 2, 3, 4, 6 und 12), heißen Teiler der Zahl.
Der Teiler einer natürlichen Zahl a ist eine solche natürliche Zahl, die die gegebene Zahl „a“ ohne Rest teilt.
Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, nennt man zusammengesetzte Zahl.
Beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Teiler haben. Das sind Zahlen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12.
Der gemeinsame Teiler zweier gegebener Zahlen „a“ und „b“ ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen „a“ und „b“ ohne Rest geteilt werden.
Größter gemeinsamer Teiler(ggT) zweier gegebener Zahlen „a“ und „b“ ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen „a“ und „b“ ohne Rest teilbar sind.
Kurz gesagt wird der größte gemeinsame Teiler der Zahlen "a" und "b" wie folgt geschrieben:
Beispiel: ggT (12; 36) = 12 .
Die Teiler von Zahlen im Lösungsdatensatz werden durch einen Großbuchstaben „D“ gekennzeichnet.
Die Zahlen 7 und 9 haben nur einen gemeinsamen Teiler – die Zahl 1. Solche Nummern werden angerufen teilerfremde Zahlen.
Koprime-Zahlen sind natürliche Zahlen, die nur einen gemeinsamen Teiler haben - die Zahl 1. Ihr GCD ist 1.
So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler
Um den ggT von zwei oder mehr natürlichen Zahlen zu finden, benötigen Sie:
Berechnungen werden bequem mit einem vertikalen Balken geschrieben. Schreiben Sie links von der Zeile zuerst den Dividenden auf, rechts den Divisor. Weiter in der linken Spalte schreiben wir die Werte von privat auf.
Lassen Sie es uns gleich an einem Beispiel erklären. Zerlegen wir die Zahlen 28 und 64 in Primfaktoren.
- Unterstreiche in beiden Zahlen dieselben Primfaktoren.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Wir finden das Produkt identischer Primfaktoren und schreiben die Antwort auf;
ggT (28; 64) = 2 2 = 4
Antwort: ggT (28; 64) = 4
Sie können die Position des GCD auf zwei Arten anordnen: in einer Spalte (wie oben) oder „in einer Zeile“.
Der erste Weg, GCD zu schreiben
Finden Sie GCD 48 und 36.
ggT (48; 36) = 2 2 3 = 12
Die zweite Möglichkeit, GCD zu schreiben
Lassen Sie uns nun die GCD-Suchlösung in eine Zeile schreiben. Finden Sie GCD 10 und 15.
Auf unserer Informationsseite können Sie den größten gemeinsamen Teiler auch online finden, indem Sie das Hilfsprogramm verwenden, um Ihre Berechnungen zu überprüfen.
Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, Methoden, Beispiele zum Finden des LCM.
Das unten dargestellte Material ist eine logische Fortsetzung der Theorie aus dem Artikel unter der Überschrift LCM - Kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele, Beziehung zwischen LCM und GCD. Hier werden wir darüber sprechen Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM), und achten Sie besonders auf die Lösung von Beispielen. Lassen Sie uns zunächst zeigen, wie das LCM zweier Zahlen in Bezug auf den ggT dieser Zahlen berechnet wird. Überlege als Nächstes, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem du Zahlen in Primfaktoren zerlegst. Danach konzentrieren wir uns darauf, das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, und achten auch auf die Berechnung des LCM von negativen Zahlen.
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Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) durch ggT
Eine Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, basiert auf der Beziehung zwischen LCM und ggT. Die bestehende Beziehung zwischen LCM und ggT ermöglicht es Ihnen, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier positiver ganzer Zahlen durch den bekannten größten gemeinsamen Teiler zu berechnen. Die zugehörige Formel hat die Form LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Betrachten Sie Beispiele zum Finden des LCM gemäß der obigen Formel.
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen 126 und 70 .
In diesem Beispiel a=126 , b=70 . Verwenden wir die Verknüpfung von LCM mit GCD, die durch die Formel LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) ausgedrückt wird. Das heißt, wir müssen zuerst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 70 und 126 finden, danach können wir das LCM dieser Zahlen nach der geschriebenen Formel berechnen.
Finden Sie ggT(126, 70) mit dem Euklid-Algorithmus: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , also ggT(126, 70)=14 .
Nun finden wir das benötigte kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Was ist LCM(68, 34)?
Da 68 ohne Rest durch 34 teilbar ist, ist ggT(68, 34)=34 . Jetzt berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Beachten Sie, dass das vorherige Beispiel der folgenden Regel zum Ermitteln des LCM für positive ganze Zahlen a und b entspricht: Wenn die Zahl a durch b teilbar ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen a .
Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren
Eine andere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, besteht darin, Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Wenn wir ein Produkt aus allen Primfaktoren dieser Zahlen bilden und anschließend alle gemeinsamen Primfaktoren, die in den Erweiterungen dieser Zahlen vorhanden sind, aus diesem Produkt ausschließen, dann ist das resultierende Produkt gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen.
Aus der Gleichheit LCM(a, b)=a b : GCD(a, b) folgt die angekündigte Regel zur Bestimmung des LCM. Tatsächlich ist das Produkt der Zahlen a und b gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Entwicklung der Zahlen a und b beteiligt sind. ggT(a, b) wiederum ist gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Erweiterungen der Zahlen a und b vorkommen (was im Abschnitt über die Ermittlung des ggT durch Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren beschrieben wird). ).
Nehmen wir ein Beispiel. Lassen Sie uns wissen, dass 75=3 5 5 und 210=2 3 5 7 . Bilden Sie das Produkt aller Faktoren dieser Erweiterungen: 2 3 3 5 5 5 7 . Jetzt schließen wir aus diesem Produkt alle Faktoren aus, die sowohl in der Erweiterung der Zahl 75 als auch in der Erweiterung der Zahl 210 vorhanden sind (solche Faktoren sind 3 und 5), dann nimmt das Produkt die Form 2 3 5 5 7 an. Der Wert dieses Produkts ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 75 und 210 , also LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Nachdem du die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren zerlegt hast, finde das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.
Zerlegen wir die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren: 
Wir erhalten 441=3 3 7 7 und 700=2 2 5 5 7 .
Lassen Sie uns nun ein Produkt aus allen Faktoren bilden, die an der Erweiterung dieser Zahlen beteiligt sind: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Lassen Sie uns aus diesem Produkt alle Faktoren ausschließen, die gleichzeitig in beiden Erweiterungen vorhanden sind (es gibt nur einen solchen Faktor - dies ist die Zahl 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Also LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
Die Regel zur Ermittlung des LCM durch Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren kann etwas anders formuliert werden. Wenn wir die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der Zahl b zu den Faktoren aus der Entwicklung der Zahl a addieren, dann ist der Wert des resultierenden Produkts gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen a und b.
Nehmen wir zum Beispiel alle gleichen Zahlen 75 und 210, ihre Erweiterungen in Primfaktoren sind wie folgt: 75=3 5 5 und 210=2 3 5 7 . Zu den Faktoren 3, 5 und 5 aus der Zerlegung der Zahl 75 addieren wir die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der Zerlegung der Zahl 210, wir erhalten das Produkt 2 3 5 5 7 , dessen Wert LCM(75 , 210).
Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.
Wir erhalten zunächst die Zerlegung der Zahlen 84 und 648 in Primfaktoren. Sie sehen aus wie 84=2 2 3 7 und 648=2 2 2 3 3 3 3 . Zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 aus der Zerlegung der Zahl 84 addieren wir die fehlenden Faktoren 2, 3, 3 und 3 aus der Zerlegung der Zahl 648, wir erhalten das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 , was gleich 4 536 ist. Somit ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 84 und 648 4.536.
Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen
Das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen kann man finden, indem man nacheinander das LCM von zwei Zahlen findet. Erinnern Sie sich an den entsprechenden Satz, mit dem Sie das LCM von drei oder mehr Zahlen finden können.
Seien positive ganze Zahlen a 1 , a 2 , …, a k gegeben, das kleinste gemeinsame Vielfache m k dieser Zahlen findet sich in der Folgerechnung m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Betrachten Sie die Anwendung dieses Satzes am Beispiel der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von vier Zahlen.
Finden Sie das LCM der vier Zahlen 140, 9, 54 und 250.
Zuerst finden wir m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Dazu bestimmen wir mit dem euklidischen Algorithmus ggT(140, 9) , wir haben 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , also ggT( 140, 9)=1 , also LCM(140, 9)=140 9: ggT(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Das heißt, m 2 = 1 260 .
Nun finden wir m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Berechnen wir es durch ggT(1 260, 54) , was auch durch den Euklid-Algorithmus bestimmt wird: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Dann ggT(1 260, 54)=18 , also LCM(1 260, 54)= 1 260 54:ggT(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Das heißt, m 3 \u003d 3 780.
Es bleibt m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) zu finden. Dazu finden wir ggT(3 780, 250) mit dem Euklid-Algorithmus: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Daher ist ggT(3 780, 250)=10 , also LCM(3 780, 250)= 3 780 250:ggT(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Das heißt, m 4 \u003d 94 500.
Das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen vier Zahlen ist also 94.500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
In vielen Fällen wird das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen bequem durch Primfaktorzerlegung gegebener Zahlen gefunden. In diesem Fall sollte die folgende Regel befolgt werden. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen ist gleich dem Produkt, das sich wie folgt zusammensetzt: Die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl werden zu allen Faktoren aus der Erweiterung der ersten Zahl addiert, die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung von die dritte Zahl wird zu den erhaltenen Faktoren addiert und so weiter.
Betrachten Sie ein Beispiel für das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mithilfe der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von fünf Zahlen 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Zuerst erhalten wir Zerlegungen dieser Zahlen in Primfaktoren: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 ist eine Primzahl, sie fällt mit ihrer Zerlegung in Primfaktoren zusammen) und 143=11 13 .
Um das LCM dieser Zahlen zu finden, müssen Sie zu den Faktoren der ersten Zahl 84 (das sind 2 , 2 , 3 und 7) die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl 6 hinzufügen. Die Erweiterung der Zahl 6 enthält keine fehlenden Faktoren, da sowohl 2 als auch 3 bereits in der Erweiterung der ersten Zahl 84 vorhanden sind. Fügen wir zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Erweiterung der dritten Zahl 48 hinzu, erhalten wir eine Reihe von Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7. Zu dieser Menge müssen im nächsten Schritt keine Faktoren hinzugefügt werden, da 7 bereits darin enthalten ist. Schließlich ergänzen wir zu den Faktoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 und 7 die fehlenden Faktoren 11 und 13 aus der Erweiterung der Zahl 143 . Wir erhalten das Produkt 2 2 2 2 3 7 11 13 , was 48 048 entspricht.
Daher LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .
Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von negativen Zahlen
Manchmal gibt es Aufgaben, bei denen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen finden müssen, von denen eine, mehrere oder alle Zahlen negativ sind. In diesen Fällen müssen alle negativen Zahlen durch ihre Gegenzahlen ersetzt werden, wonach das LCM der positiven Zahlen gefunden werden sollte. Dies ist der Weg, um das kgV von negativen Zahlen zu finden. Zum Beispiel LCM(54, –34)=LCM(54, 34) und LCM(–622, –46, –54, –888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Wir können dies tun, weil die Menge der Vielfachen von a dieselbe ist wie die Menge der Vielfachen von −a (a und −a sind entgegengesetzte Zahlen). In der Tat, sei b ein Vielfaches von a, dann ist b durch a teilbar, und das Konzept der Teilbarkeit behauptet die Existenz einer solchen ganzen Zahl q, dass b=a q . Aber auch die Gleichheit b=(−a)·(−q) gilt, was aufgrund desselben Teilbarkeitsbegriffs bedeutet, dass b durch −a teilbar ist, also ein Vielfaches von −a ist. Auch die umgekehrte Aussage gilt: Wenn b ein Vielfaches von −a ist, dann ist auch b ein Vielfaches von a .
Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der negativen Zahlen −145 und −45.
Lassen Sie uns die negativen Zahlen −145 und −45 durch ihre entgegengesetzten Zahlen 145 und 45 ersetzen. Wir haben LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nachdem wir ggT(145, 45)=5 bestimmt haben (beispielsweise unter Verwendung des Euklid-Algorithmus), berechnen wir LCM(145, 45)=145 45:ggT(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Somit ist das kleinste gemeinsame Vielfache der negativen ganzen Zahlen –145 und –45 1.305 .
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Wir studieren weiterhin die Teilung. In dieser Lektion werden wir uns mit Konzepten wie z GCD und NOC.
GCD ist der größte gemeinsame Teiler.
NOC ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
Das Thema ist ziemlich langweilig, aber es ist notwendig, es zu verstehen. Ohne dieses Thema zu verstehen, werden Sie nicht in der Lage sein, effektiv mit Brüchen zu arbeiten, die in der Mathematik ein echtes Hindernis darstellen.
Größter gemeinsamer Teiler
Definition. Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen a und b a und b ohne Rest geteilt.
Um diese Definition gut zu verstehen, ersetzen wir statt Variablen a und b statt einer Variablen beispielsweise zwei beliebige Zahlen a Ersetzen Sie die Zahl 12 und anstelle der Variablen b Nummer 9. Versuchen wir nun, diese Definition zu lesen:
Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen 12 und 9 ist die größte Zahl, um die 12 und 9 ohne Rest geteilt.
Aus der Definition geht hervor, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler der Zahlen 12 und 9 handelt, und dieser Teiler ist der größte aller existierenden Teiler. Dieser größte gemeinsame Teiler (ggT) muss gefunden werden.
Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, werden drei Methoden verwendet. Die erste Methode ist ziemlich zeitaufwändig, aber sie ermöglicht es Ihnen, die Essenz des Themas gut zu verstehen und seine ganze Bedeutung zu spüren.
Die zweite und dritte Methode sind recht einfach und ermöglichen ein schnelles Auffinden des GCD. Wir werden alle drei Methoden betrachten. Und was in der Praxis anzuwenden ist, entscheiden Sie.
Der erste Weg besteht darin, alle möglichen Teiler zweier Zahlen zu finden und den größten davon zu wählen. Betrachten wir diese Methode im folgenden Beispiel: Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 12 und 9.
Zuerst finden wir alle möglichen Teiler der Zahl 12. Dazu teilen wir 12 in alle Teiler im Bereich von 1 bis 12. Wenn der Divisor es uns erlaubt, 12 ohne Rest zu teilen, dann markieren wir ihn blau und Machen Sie eine entsprechende Erklärung in Klammern.
12: 1 = 12
(12 geteilt durch 1 ohne Rest, also ist 1 ein Teiler von 12)
12: 2 = 6
(12 geteilt durch 2 ohne Rest, also ist 2 ein Teiler von 12)
12: 3 = 4
(12 geteilt durch 3 ohne Rest, also ist 3 ein Teiler von 12)
12: 4 = 3
(12 geteilt durch 4 ohne Rest, also ist 4 ein Teiler von 12)
12:5 = 2 (2 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 5 geteilt, also ist 5 kein Teiler von 12)
12: 6 = 2
(12 geteilt durch 6 ohne Rest, also ist 6 ein Teiler von 12)
12: 7 = 1 (5 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 7 geteilt, also ist 7 kein Teiler von 12)
12: 8 = 1 (4 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 8 geteilt, also ist 8 kein Teiler von 12)
12:9 = 1 (3 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 9 geteilt, also ist 9 kein Teiler von 12)
12: 10 = 1 (2 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 10 geteilt, also ist 10 kein Teiler von 12)
12:11 = 1 (1 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 11 geteilt, also ist 11 kein Teiler von 12)
12: 12 = 1
(12 geteilt durch 12 ohne Rest, also ist 12 ein Teiler von 12)
Lassen Sie uns nun die Teiler der Zahl 9 finden. Überprüfen Sie dazu alle Teiler von 1 bis 9
9: 1 = 9
(9 ohne Rest durch 1 geteilt, also ist 1 ein Teiler von 9)
9: 2 = 4 (1 links)
(9 wird nicht ohne Rest durch 2 geteilt, also ist 2 kein Teiler von 9)
9: 3 = 3
(9 ohne Rest durch 3 geteilt, also ist 3 ein Teiler von 9)
9: 4 = 2 (1 links)
(9 wird nicht ohne Rest durch 4 geteilt, also ist 4 kein Teiler von 9)
9:5 = 1 (4 übrig)
(9 wird nicht ohne Rest durch 5 geteilt, also ist 5 kein Teiler von 9)
9: 6 = 1 (3 übrig)
(9 lässt sich nicht ohne Rest durch 6 teilen, also ist 6 kein Teiler von 9)
9:7 = 1 (2 übrig)
(9 wird nicht ohne Rest durch 7 geteilt, also ist 7 kein Teiler von 9)
9:8 = 1 (1 übrig)
(9 wird nicht ohne Rest durch 8 geteilt, also ist 8 kein Teiler von 9)
9: 9 = 1
(9 geteilt durch 9 ohne Rest, also ist 9 ein Teiler von 9)
Schreibe nun die Teiler beider Zahlen auf. Die blau markierten Zahlen sind die Teiler. Schreiben wir sie auf:
Nachdem Sie die Teiler ausgeschrieben haben, können Sie sofort feststellen, welcher der größte und häufigste ist.
Per Definition ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 9 die Zahl, durch die 12 und 9 ohne Restzahl teilbar sind. Der größte und gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 9 ist die Zahl 3
Sowohl die Zahl 12 als auch die Zahl 9 sind ohne Rest durch 3 teilbar:
Also ggT (12 und 9) = 3
Der zweite Weg, um GCD zu finden
Betrachten Sie nun den zweiten Weg, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden. Die Essenz dieser Methode besteht darin, beide Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen und die gemeinsamen zu multiplizieren.
Beispiel 1. Finden Sie GCD der Nummern 24 und 18
Lassen Sie uns zunächst beide Zahlen in Primfaktoren zerlegen:
Jetzt multiplizieren wir ihre gemeinsamen Faktoren. Um nicht verwirrt zu werden, können die gemeinsamen Faktoren unterstrichen werden.
Wir betrachten die Zerlegung der Zahl 24. Ihr erster Faktor ist 2. Wir suchen den gleichen Faktor in der Zerlegung der Zahl 18 und stellen fest, dass er auch da ist. Wir unterstreichen beide Zweien:
Wieder schauen wir uns die Zerlegung der Zahl 24 an. Ihr zweiter Faktor ist ebenfalls 2. Wir suchen den gleichen Faktor in der Zerlegung der Zahl 18 und sehen, dass er zum zweiten Mal nicht da ist. Dann markieren wir nichts.
Die nächsten zwei in der Erweiterung der Zahl 24 fehlen auch in der Erweiterung der Zahl 18.
Wir gehen zum letzten Faktor in der Zerlegung der Zahl 24 über. Dies ist der Faktor 3. Wir suchen nach demselben Faktor in der Zerlegung der Zahl 18 und sehen, dass er auch dort ist. Wir betonen beide Drei:
Die gemeinsamen Faktoren der Zahlen 24 und 18 sind also die Faktoren 2 und 3. Um den ggT zu erhalten, müssen diese Faktoren multipliziert werden:
Also ggT (24 und 18) = 6
Der dritte Weg, um GCD zu finden
Betrachten Sie nun den dritten Weg, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden. Der Kern dieser Methode liegt darin, dass die nach dem größten gemeinsamen Teiler zu suchenden Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden. Dann werden aus der Zerlegung der ersten Zahl Faktoren gestrichen, die nicht in der Zerlegung der zweiten Zahl enthalten sind. Die restlichen Zahlen in der ersten Erweiterung werden multipliziert und erhalten ggT.
Lassen Sie uns zum Beispiel auf diese Weise den ggT für die Zahlen 28 und 16 finden. Zunächst zerlegen wir diese Zahlen in Primfaktoren:
Wir haben zwei Erweiterungen: und
Nun streichen wir aus der Entwicklung der ersten Zahl die Faktoren, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl schließt sieben nicht ein. Wir werden es aus der ersten Erweiterung löschen:
Nun multiplizieren wir die restlichen Faktoren und erhalten den ggT:
Die Zahl 4 ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 28 und 16. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 4 teilbar:
Beispiel 2 Finden Sie GCD der Zahlen 100 und 40
Die Zahl 100 ausklammern
Die Zahl 40 ausklammern
Wir haben zwei Erweiterungen:
Nun streichen wir aus der Entwicklung der ersten Zahl die Faktoren, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl enthält keine Fünf (es gibt nur eine Fünf). Wir löschen es aus der ersten Zerlegung
Multiplizieren Sie die restlichen Zahlen:
Wir haben die Antwort 20 bekommen. Die Zahl 20 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 100 und 40. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 20 teilbar:
ggT (100 und 40) = 20.
Beispiel 3 Finde den ggT der Zahlen 72 und 128
Die Zahl 72 ausklammern
Die Zahl 128 ausklammern
2×2×2×2×2×2×2
Nun streichen wir aus der Entwicklung der ersten Zahl die Faktoren, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl enthält keine zwei Drillinge (es gibt überhaupt keine). Wir löschen sie aus der ersten Zerlegung:
Wir haben die Antwort 8 bekommen. Die Zahl 8 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 72 und 128. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 8 teilbar:
GCD (72 und 128) = 8
GCD für mehrere Zahlen finden
Den größten gemeinsamen Teiler findet man für mehrere Zahlen, nicht nur für zwei. Dazu werden die zu findenden Zahlen für den größten gemeinsamen Teiler in Primfaktoren zerlegt, dann wird das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren dieser Zahlen gefunden.
Lassen Sie uns zum Beispiel den ggT für die Zahlen 18, 24 und 36 finden
Faktorisierung der Zahl 18
Faktorisieren der Zahl 24
Faktorisieren der Zahl 36
Wir haben drei Erweiterungen:
Jetzt wählen und unterstreichen wir die gemeinsamen Faktoren in diesen Zahlen. Gemeinsame Faktoren müssen in allen drei Zahlen enthalten sein:
Wir sehen, dass die gemeinsamen Faktoren für die Zahlen 18, 24 und 36 die Faktoren 2 und 3 sind. Durch Multiplikation dieser Faktoren erhalten wir den gesuchten ggT:
Wir haben die Antwort 6 bekommen. Die Zahl 6 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 18, 24 und 36. Diese drei Zahlen sind ohne Rest durch 6 teilbar:
GCD (18, 24 und 36) = 6
Beispiel 2 Finden Sie ggT für die Zahlen 12, 24, 36 und 42
Lassen Sie uns jede Zahl faktorisieren. Dann finden wir das Produkt der gemeinsamen Faktoren dieser Zahlen.
Faktorisierung der Zahl 12
Faktorisieren Sie die Zahl 42
Wir haben vier Erweiterungen:
Jetzt wählen und unterstreichen wir die gemeinsamen Faktoren in diesen Zahlen. Gemeinsame Faktoren müssen in allen vier Zahlen enthalten sein:
Wir sehen, dass die gemeinsamen Faktoren für die Zahlen 12, 24, 36 und 42 die Faktoren 2 und 3 sind. Durch Multiplikation dieser Faktoren erhalten wir den gesuchten ggT:
Wir haben die Antwort 6 bekommen. Die Zahl 6 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12, 24, 36 und 42. Diese Zahlen sind ohne Rest durch 6 teilbar:
ggT(12, 24, 36 und 42) = 6
Aus der vorherigen Lektion wissen wir, dass wenn eine Zahl ohne Rest durch eine andere geteilt wird, man sie als Vielfaches dieser Zahl bezeichnet.
Es stellt sich heraus, dass ein Vielfaches mehreren Zahlen gemeinsam sein kann. Und jetzt interessiert uns ein Vielfaches von zwei Zahlen, wobei es möglichst klein sein sollte.
Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) von Zahlen a und b- a und b a und Nummer b.
Die Definition enthält zwei Variablen a und b. Lassen Sie uns diese Variablen durch zwei beliebige Zahlen ersetzen. Beispielsweise anstelle einer Variablen a Ersetzen Sie die Zahl 9 und anstelle der Variablen b Lassen Sie uns die Zahl 12 ersetzen. Versuchen wir nun, die Definition zu lesen:
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) von Zahlen 9 und 12 - ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von ist 9 und 12 . Mit anderen Worten, es ist eine so kleine Zahl, die ohne Rest durch die Zahl teilbar ist 9 und auf die Nummer 12 .
Aus der Definition geht hervor, dass das LCM die kleinste Zahl ist, die ohne Rest durch 9 und 12 teilbar ist. Dieses LCM muss gefunden werden.
Es gibt zwei Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zu finden. Die erste Möglichkeit besteht darin, dass Sie die ersten Vielfachen zweier Zahlen aufschreiben und dann unter diesen Vielfachen eine solche Zahl auswählen können, die beiden Zahlen gemeinsam und klein ist. Wenden wir diese Methode an.
Finden wir zunächst die ersten Vielfachen der Zahl 9. Um die Vielfachen der Zahl 9 zu finden, multiplizieren Sie diese Neun der Reihe nach mit den Zahlen von 1 bis 9. Die Antworten, die Sie erhalten, sind Vielfache der Zahl 9. Also , Lasst uns beginnen. Vielfache werden rot hervorgehoben:
Nun finden wir Vielfache für die Zahl 12. Dazu multiplizieren wir 12 der Reihe nach mit allen Zahlen 1 bis 12.
Betrachten Sie zwei Möglichkeiten, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden.
Finden durch Factoring
Der erste Weg besteht darin, den größten gemeinsamen Teiler zu finden, indem man gegebene Zahlen in Primfaktoren zerlegt.
Um den ggT mehrerer Zahlen zu finden, genügt es, sie in Primfaktoren zu zerlegen und diejenigen von ihnen miteinander zu multiplizieren, die allen gegebenen Zahlen gemeinsam sind.
Beispiel 1 Finden wir GCD (84, 90).
Wir zerlegen die Zahlen 84 und 90 in Primfaktoren:
Wir haben also alle gemeinsamen Primfaktoren unterstrichen, es bleibt noch, sie untereinander zu multiplizieren: 1 2 3 = 6.
Also ggT(84, 90) = 6.
Beispiel 2 Finden wir GCD (15, 28).
Wir zerlegen 15 und 28 in Primfaktoren:
Die Zahlen 15 und 28 sind Teilerfremde, weil ihr größter gemeinsamer Teiler eins ist.
ggT (15, 28) = 1.
Euklids Algorithmus
Die zweite Methode (auch Euklid-Methode genannt) besteht darin, den ggT durch sukzessive Division zu finden.
Zuerst betrachten wir diese Methode, wie sie nur auf zwei gegebene Zahlen angewendet wird, und dann werden wir herausfinden, wie man sie auf drei oder mehr Zahlen anwendet.
Wenn die größere von zwei gegebenen Zahlen durch die kleinere teilbar ist, dann ist die kleinere Zahl ihr größter gemeinsamer Teiler.
Beispiel 1 Nehmen Sie zwei Zahlen 27 und 9. Da 27 durch 9 teilbar ist und 9 durch 9 teilbar ist, ist 9 ein gemeinsamer Teiler der Zahlen 27 und 9. Dieser Teiler ist auch der größte, weil 9 durch keine Zahl größer teilbar ist als 9. Daher ist ggT (27, 9) = 9.
In anderen Fällen wird zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen das folgende Verfahren verwendet:
- Von den beiden gegebenen Zahlen wird die größere Zahl durch die kleinere geteilt.
- Dann wird die kleinere Zahl durch den Rest dividiert, der sich aus der Division der größeren Zahl durch die kleinere ergibt.
- Ferner wird der erste Rest durch den zweiten Rest dividiert, der durch Dividieren der kleineren Zahl durch den ersten Rest erhalten wird.
- Der zweite Rest wird durch den dritten dividiert, den man erhält, indem man den ersten Rest durch den zweiten dividiert, und so weiter.
- Somit wird die Division fortgesetzt, bis der Rest Null ist. Der letzte Teiler ist der größte gemeinsame Teiler.
Beispiel 2 Finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 140 und 96:
1) 140: 96 = 1 (Rest 44)
2) 96: 44 = 2 (Rest 8)
3) 44: 8 = 5 (Rest 4)
Der letzte Teiler ist 4, was ggT(140, 96) = 4 bedeutet.
Die sequentielle Division kann auch in eine Spalte geschrieben werden:
Um den größten gemeinsamen Teiler von drei oder mehr gegebenen Zahlen zu finden, gehen Sie wie folgt vor:
- Finden Sie zuerst den größten gemeinsamen Teiler zweier beliebiger Zahlen aus mehreren Datensätzen.
- Dann finden wir den ggT des gefundenen Divisors und eine dritte gegebene Zahl.
- Dann finden wir den ggT des letzten gefundenen Teilers und der vierten gegebenen Zahl und so weiter.
Beispiel 3 Lassen Sie uns den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 140, 96 und 48 finden. Den ggT der Zahlen 140 und 96 haben wir bereits im vorherigen Beispiel gefunden (das ist die Zahl 4). Es bleibt, den größten gemeinsamen Teiler der Zahl 4 und der dritten gegebenen Zahl - 48 - zu finden:
48 ist ohne Rest durch 4 teilbar. Also ggT(140, 96, 48) = 4.
Erinnern!
Wenn eine natürliche Zahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, dann heißt sie Primzahl.
Jede natürliche Zahl ist immer durch 1 und sich selbst teilbar.
Die Zahl 2 ist die kleinste Primzahl. Dies ist die einzige gerade Primzahl, die restlichen Primzahlen sind ungerade.
Es gibt viele Primzahlen, und die erste unter ihnen ist die Zahl 2. Es gibt jedoch keine letzte Primzahl. Im Bereich "Zum Studium" können Sie eine Tabelle mit Primzahlen bis 997 herunterladen.
Aber viele natürliche Zahlen sind durch andere natürliche Zahlen ohne Rest teilbar.
Zum Beispiel:
- die Zahl 12 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12;
- 36 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36.
Die Zahlen, durch die die Zahl ohne Rest teilbar ist (bei 12 sind das 1, 2, 3, 4, 6 und 12), heißen Teiler der Zahl.
Erinnern!
Der Teiler einer natürlichen Zahl a ist eine solche natürliche Zahl, die die gegebene Zahl „a“ ohne Rest teilt.
Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, nennt man zusammengesetzte Zahl.
Beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Teiler haben. Das sind Zahlen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12.
Der gemeinsame Teiler zweier gegebener Zahlen „a“ und „b“ ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen „a“ und „b“ ohne Rest geteilt werden.
Erinnern!
Größter gemeinsamer Teiler(ggT) zweier gegebener Zahlen „a“ und „b“ – das ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen „a“ und „b“ ohne Rest geteilt werden.
Kurz gesagt wird der größte gemeinsame Teiler der Zahlen "a" und "b" wie folgt geschrieben:
ggT (a; b) .
Beispiel: ggT (12; 36) = 12 .
Die Teiler von Zahlen im Lösungsdatensatz werden durch einen Großbuchstaben „D“ gekennzeichnet.
D(7) = (1, 7)
D(9) = (1, 9)
ggT (7; 9) = 1
Die Zahlen 7 und 9 haben nur einen gemeinsamen Teiler – die Zahl 1. Solche Nummern werden angerufen teilerfremde Zahlen.
Erinnern!
Koprime-Zahlen sind natürliche Zahlen, die nur einen gemeinsamen Teiler haben - die Zahl 1. Ihr GCD ist 1.
So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler
Um den ggT von zwei oder mehr natürlichen Zahlen zu finden, benötigen Sie:
- die Teiler von Zahlen in Primfaktoren zerlegen;
Berechnungen werden bequem mit einem vertikalen Balken geschrieben. Schreiben Sie links von der Zeile zuerst den Dividenden auf, rechts den Divisor. Weiter in der linken Spalte schreiben wir die Werte von privat auf.
Lassen Sie es uns gleich an einem Beispiel erklären. Zerlegen wir die Zahlen 28 und 64 in Primfaktoren.
- Unterstreiche in beiden Zahlen dieselben Primfaktoren.
28 = 2 2 764 = 2 2 2 2 2 2
- Wir finden das Produkt identischer Primfaktoren und schreiben die Antwort auf;
ggT (28; 64) = 2 2 = 4Antwort: ggT (28; 64) = 4
Sie können die Position des GCD auf zwei Arten anordnen: in einer Spalte (wie oben) oder „in einer Zeile“.
Wir gehen jetzt und im Folgenden davon aus, dass mindestens eine dieser Zahlen von Null verschieden ist. Wenn alle gegebenen Zahlen gleich Null sind, dann ist ihr gemeinsamer Teiler eine beliebige ganze Zahl, und da es unendlich viele ganze Zahlen gibt, können wir nicht über die größte von ihnen sprechen. Daher kann man nicht vom größten gemeinsamen Teiler von Zahlen sprechen, die alle gleich Null sind.
Jetzt können wir geben Den größten gemeinsamen Teiler finden zwei Nummern.
Definition.
Größter gemeinsamer Teiler von zwei ganzen Zahlen ist die größte ganze Zahl, die die zwei gegebenen ganzen Zahlen teilt.
Die Abkürzung GCD wird oft verwendet, um den größten gemeinsamen Teiler abzukürzen - Greatest Common Divisor. Auch der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b wird oft als ggT(a, b) bezeichnet.
Lassen Sie uns bringen Beispiel für den größten gemeinsamen Teiler (ggT). zwei ganze Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler von 6 und −15 ist 3 . Lassen Sie uns das begründen. Schreiben wir alle Teiler der Zahl Sechs auf: ±6, ±3, ±1, und die Teiler der Zahl −15 sind die Zahlen ±15, ±5, ±3 und ±1. Jetzt kannst du alle gemeinsamen Teiler der Zahlen 6 und −15 finden, das sind die Zahlen −3, −1, 1 und 3. Da −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .
Die Definition des größten gemeinsamen Teilers von drei oder mehr ganzen Zahlen ähnelt der Definition von ggT zweier Zahlen.
Definition.
Größter gemeinsamer Teiler drei oder mehr ganze Zahlen ist die größte ganze Zahl, die gleichzeitig alle gegebenen Zahlen teilt.
Den größten gemeinsamen Teiler von n ganzen Zahlen a 1 , a 2 , …, a n bezeichnen wir als ggT(a 1 , a 2 , …, a n) . Wenn der Wert b des größten gemeinsamen Teilers dieser Zahlen gefunden wird, können wir schreiben ggT(a 1 , a 2 , …, a n)=b.
Als Beispiel ist der ggT von vier ganzen Zahlen −8 , 52 , 16 und −12 gleich 4 , d. h. ggT(−8, 52, 16, −12)=4 . Dies kann überprüft werden, indem man alle Teiler der gegebenen Zahlen aufschreibt, daraus die gemeinsamen Teiler auswählt und den größten gemeinsamen Teiler bestimmt.
Beachten Sie, dass der größte gemeinsame Teiler von ganzen Zahlen gleich einer dieser Zahlen sein kann. Diese Aussage ist wahr, wenn alle gegebenen Zahlen durch eine von ihnen teilbar sind (der Beweis wird im nächsten Absatz dieses Artikels gegeben). Zum Beispiel ggT(15, 60, −45)=15 . Dies ist wahr, weil 15 15 , 60 und –45 teilt und es keinen gemeinsamen Teiler von 15 , 60 und –45 gibt, der größer als 15 ist.
Von besonderem Interesse sind die sogenannten teilerfremden Zahlen, also ganze Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler gleich eins ist.
Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers, Euklids Algorithmus
Der größte gemeinsame Teiler hat eine Reihe charakteristischer Ergebnisse, also eine Reihe von Eigenschaften. Wir werden jetzt die wichtigsten auflisten Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers (ggT), werden wir sie in Form von Sätzen formulieren und gleich Beweise liefern.
Wir werden alle Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers für positive ganze Zahlen formulieren, während wir nur positive Teiler dieser Zahlen betrachten werden.
Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist gleich dem größten gemeinsamen Teiler von b und a , also ggT(a, b)=ggT(a, b) .
Diese ggT-Eigenschaft folgt direkt aus der Definition des größten gemeinsamen Teilers.
Wenn a durch b teilbar ist, dann ist die Menge der gemeinsamen Teiler von a und b dieselbe wie die Menge der Teiler von b , insbesondere ggT(a, b)=b .
Nachweisen.
Jeder gemeinsame Teiler der Zahlen a und b ist ein Teiler jeder dieser Zahlen, einschließlich der Zahl b. Da andererseits a ein Vielfaches von b ist, ist jeder Teiler der Zahl b auch ein Teiler der Zahl a, da Teilbarkeit die Eigenschaft der Transitivität hat, daher ist jeder Teiler der Zahl b a gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b. Dies beweist, dass wenn a durch b teilbar ist, die Menge der Teiler der Zahlen a und b mit der Menge der Teiler einer Zahl b übereinstimmt. Und da der größte Teiler der Zahl b die Zahl b selbst ist, ist auch der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b gleich b , also ggT(a, b)=b .
Insbesondere dann, wenn die Zahlen a und b gleich sind ggT(a, b)=ggT(a, a)=ggT(b, b)=a=b. Beispiel: gcd(132, 132)=132 .
Die bewiesene Eigenschaft des größten Teilers erlaubt es uns, den ggT zweier Zahlen zu finden, wenn eine von ihnen durch die andere teilbar ist. In diesem Fall ist der ggT gleich einer dieser Zahlen, durch die eine andere Zahl teilbar ist. Beispiel: ggT(8, 24)=8, da 24 ein Vielfaches von acht ist.
Wenn a=b q+c , wobei a , b , c und q ganze Zahlen sind, dann stimmt die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b mit der Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen b und c überein, insbesondere ggT( a, b)=ggT (b, c) .
Lassen Sie uns diese Eigenschaft des GCD begründen.
Da die Gleichheit a=b·q+c gilt, teilt jeder gemeinsame Teiler der Zahlen a und b auch c (dies folgt aus den Eigenschaften der Teilbarkeit). Aus dem gleichen Grund teilt jeder gemeinsame Teiler von b und c a . Daher ist die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b dieselbe wie die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen b und c. Insbesondere muss auch der größte dieser gemeinsamen Teiler übereinstimmen, d. h. es muss folgende Gleichheit gelten ggT(a, b)=ggT(b, c) .
Nun formulieren und beweisen wir einen Satz, der lautet Euklids Algorithmus. Mit dem Euklid-Algorithmus können Sie den ggT zweier Zahlen finden (siehe ggT mit dem Euklid-Algorithmus ermitteln). Darüber hinaus ermöglicht uns der Algorithmus von Euklid, die folgenden Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers zu beweisen.
Bevor wir die Aussage des Satzes geben, empfehlen wir, die Erinnerung an den Satz aus dem Theorieteil aufzufrischen, der besagt, dass der Dividende a als b q + r dargestellt werden kann, wobei b ein Teiler ist, q eine ganze Zahl ist, die als partieller Quotient bezeichnet wird, und r eine ganze Zahl ist, die die Bedingung erfüllt, die als Rest bezeichnet wird.
Also sei für zwei positive ganze Zahlen a und b ungleich Null eine Reihe von Gleichheiten wahr 
endet, wenn r k+1 = 0 (was unvermeidlich ist, da b > r 1 > r 2 > r 3 , … eine Reihe abnehmender ganzer Zahlen ist und diese Reihe nicht mehr als eine endliche Anzahl positiver Zahlen enthalten kann), dann ist r k – ist der größte gemeinsame Teiler von a und b , also r k =ggT(a, b) .
Nachweisen.
Lassen Sie uns zuerst beweisen, dass r k ein gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b ist, danach werden wir zeigen, dass r k nicht nur ein Teiler ist, sondern der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b .
Wir bewegen uns entlang der geschriebenen Gleichungen von unten nach oben. Aus der letzten Gleichheit können wir sagen, dass r k−1 durch r k teilbar ist. Angesichts dieser Tatsache sowie der vorherigen ggT-Eigenschaft erlaubt uns die vorletzte Gleichung r k−2 =r k−1 q k +r k zu behaupten, dass r k−2 durch r k teilbar ist, da r k−1 durch r k teilbar ist und r k teilbar ist von rk. Analog schließen wir aus der dritten Gleichheit von unten, dass r k−3 durch r k teilbar ist. Usw. Aus der zweiten Gleichheit erhalten wir, dass b durch r k teilbar ist, und aus der ersten Gleichheit erhalten wir, dass a durch r k teilbar ist. Daher ist r k ein gemeinsamer Teiler von a und b.
Es bleibt zu beweisen, dass r k = ggT(a, b) . Denn es genügt zu zeigen, dass jeder gemeinsame Teiler der Zahlen a und b (wir bezeichnen ihn mit r 0 ) r k teilt.
Wir werden uns entlang der anfänglichen Gleichheiten von oben nach unten bewegen. Aufgrund der vorherigen Eigenschaft folgt aus der ersten Gleichheit, dass r 1 durch r 0 teilbar ist. Dann erhalten wir aus der zweiten Gleichheit, dass r 2 durch r 0 teilbar ist. Usw. Aus der letzten Gleichheit erhalten wir, dass r k durch r 0 teilbar ist. Somit ist rk = gcd(a, b) .
Aus der betrachteten Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers folgt, dass die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b mit der Menge der Teiler des größten gemeinsamen Teilers dieser Zahlen übereinstimmt. Diese Folgerung aus Euklids Algorithmus erlaubt es uns, alle gemeinsamen Teiler zweier Zahlen als Teiler des ggT dieser Zahlen zu finden.
Seien a und b ganze Zahlen ungleich Null, dann gibt es solche ganzen Zahlen u 0 und v 0 , dann gilt die Gleichheit ggT(a, b)=a u 0 + b v 0 . Die letzte Gleichheit ist eine lineare Darstellung des größten gemeinsamen Teilers der Zahlen a und b, diese Gleichheit wird Bezout-Verhältnis genannt, und die Zahlen u 0 und v 0 sind die Bezout-Koeffizienten.
Nachweisen.
Nach Euklids Algorithmus können wir die folgenden Gleichungen schreiben
Aus der ersten Gleichheit haben wir r 1 = a − b q 1 , und wenn wir 1 = s 1 und −q 1 = t 1 bezeichnen, nimmt diese Gleichheit die Form r 1 = s 1 a + t 1 b und die Zahlen s 1 an und t 1 ganze Zahlen sind. Dann erhalten wir aus der zweiten Gleichheit r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. Bezeichnend für −s 1 q 2 =s 2 und 1−t 1 q 2 =t 2 , kann die letzte Gleichheit geschrieben werden als r 2 =s 2 a+t 2 b , und s 2 und t 2 sind ganze Zahlen (weil die Summe , Differenz und Produkt von ganzen Zahlen ist eine ganze Zahl). Entsprechend erhalten wir aus der dritten Gleichheit r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, aus der vierten r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b und so weiter. Schließlich ist r k = sk · a + t k · b , wobei sk und t k ganze Zahlen sind. Da r k = ggT(a, b) und s k = u 0 und t k = v 0 bezeichnen, erhalten wir eine lineare Darstellung des ggT der erforderlichen Form: ggT(a, b)=a u 0 + b v 0 .
Wenn m eine natürliche Zahl ist, dann ggT(m a, m b)=m ggT(a, b).
Die Begründung für diese Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers ist wie folgt. Wenn wir beide Seiten jeder der Gleichheiten des Euklid-Algorithmus mit m multiplizieren, erhalten wir ggT(m a, m b)=m r k , und r k ist ggT(a, b) . Somit, ggT(m a, m b)=m ggT(a, b).
Diese Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers ist die Grundlage für die Methode, ggT durch Primfaktorzerlegung zu finden.
Sei p also ein beliebiger gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b ggT(a:p, b:p)=ggT(a, b):p, insbesondere wenn p=ggT(a, b) gilt ggT(a:ggT(a, b), b:ggT(a, b))=1, das heißt, die Zahlen a:ggT(a, b) und b:ggT(a, b) sind Teilerfremde.
Da a=p (a:p) und b=p (b:p) , und aufgrund der vorherigen Eigenschaft, können wir eine Gleichheitskette der Form schreiben ggT(a, b)=ggT(p (a:p), p (b:p))= p·ggT(a:p, b:p) , woraus die zu beweisende Gleichheit folgt.
Die soeben bewiesene größte gemeinsame Teilereigenschaft liegt zugrunde.
Lassen Sie uns nun die ggT-Eigenschaft aussprechen, die das Problem, den größten gemeinsamen Teiler von drei oder mehr Zahlen zu finden, auf das sukzessive Finden des ggT von zwei Zahlen reduziert.
Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a 1 , a 2 , ..., a k ist gleich der Zahl d k , die sich bei der sequentiellen Berechnung von ggT(a 1 , a 2)=d 2 , ggT(d 2 , a 3)=d 3 , ggT(d 3 , a 4)=d 4 , …, ggT(d k-1 , a k)=d k .
Der Beweis basiert auf einer Folgerung aus Euklids Algorithmus. Die gemeinsamen Teiler der Zahlen a 1 und a 2 sind die gleichen wie die Teiler von d 2 . Dann stimmen die gemeinsamen Teiler der Zahlen a 1 , a 2 und a 3 mit den gemeinsamen Teilern der Zahlen d 2 und a 3 überein, also stimmen sie mit den Teilern von d 3 überein. Die gemeinsamen Teiler der Zahlen a 1 , a 2 , a 3 und a 4 sind dieselben wie die gemeinsamen Teiler von d 3 und a 4 , also dieselben wie die Teiler von d 4 . Usw. Schließlich stimmen die gemeinsamen Teiler der Zahlen a 1 , a 2 , …, a k mit den Teilern von d k überein. Und da der größte Teiler der Zahl dk die Zahl dk selbst ist, dann ggT(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.
Damit ist die Überprüfung der Haupteigenschaften des größten gemeinsamen Teilers abgeschlossen.
Referenzliste.
- Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
- Winogradov I. M. Grundlagen der Zahlentheorie.
- Michelowitsch Sh.Kh. Zahlentheorie.
- Kulikov L. Ya. ua Aufgabensammlung der Algebra und Zahlentheorie: Lehrbuch für Studierende der fiz.-mat. Spezialgebiete pädagogischer Institute.
