Für a=b=R die Gleichung (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 beschreibt einen Kreis mit Radius R, dessen Mittelpunkt der Punkt O"(x_0,y_0) ist.

Parametergleichung einer Ellipse

Parametergleichung einer Ellipse im kanonischen Koordinatensystem hat die Form

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Indem wir diese Ausdrücke in Gleichung (3.49) einsetzen, gelangen wir tatsächlich zur grundlegenden trigonometrischen Identität \cos^2t+\sin^2t=1.

Beispiel 3.20. Ellipse zeichnen \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 im kanonischen Koordinatensystem Oxy . Finden Sie Halbachsen, Brennweite, Exzentrizität, Seitenverhältnis, Fokusparameter, Directrix-Gleichungen.

Lösung. Wenn wir die gegebene Gleichung mit der kanonischen vergleichen, bestimmen wir die Halbachsen: a=2 - die große Halbachse, b=1 - die kleine Halbachse der Ellipse. Wir bauen das Hauptrechteck mit den Seiten 2a=4,~2b=2 im Ursprung zentriert (Abb.3.39). Angesichts der Symmetrie der Ellipse passen wir sie in das Hauptrechteck ein. Bei Bedarf bestimmen wir die Koordinaten einiger Punkte der Ellipse. Wenn wir zum Beispiel x=1 in die Ellipsengleichung einsetzen, erhalten wir

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ Quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Daher Punkte mit Koordinaten \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- zu einer Ellipse gehören.

Berechnen Sie das Kompressionsverhältnis k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Brennweite 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); Exzentrizität e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); Fokusparameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Wir bilden die Directrix-Gleichungen: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

11.1. Grundlegendes Konzept

Betrachten Sie die Linien, die durch Gleichungen zweiten Grades in Bezug auf die aktuellen Koordinaten definiert sind

Die Koeffizienten der Gleichung sind reelle Zahlen, aber mindestens eine der Zahlen A, B oder C ist nicht Null. Solche Linien nennt man Linien (Kurven) zweiter Ordnung. Im Folgenden wird festgestellt, dass Gleichung (11.1) einen Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabel in der Ebene definiert. Bevor wir zu dieser Behauptung übergehen, wollen wir die Eigenschaften der aufgezählten Kurven untersuchen.

11.2. Kreis

Die einfachste Kurve zweiter Ordnung ist ein Kreis. Erinnern Sie sich, dass ein Kreis mit Radius R, der an einem Punkt zentriert ist, die Menge aller Punkte Μ der Ebene ist, die die Bedingung erfüllen. Ein Punkt in einem rechteckigen Koordinatensystem habe die Koordinaten x 0, y 0 a - ein beliebiger Punkt des Kreises (siehe Abb. 48).

Dann erhalten wir aus der Bedingung die Gleichung

(11.2)

Gleichung (11.2) wird von den Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem gegebenen Kreis erfüllt und wird nicht von den Koordinaten eines beliebigen Punktes erfüllt, der nicht auf dem Kreis liegt.

Gleichung (11.2) wird aufgerufen die kanonische Kreisgleichung

Insbesondere unter der Annahme von und erhalten wir die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung .

Die Kreisgleichung (11.2) nimmt nach einfachen Umformungen die Form an. Vergleicht man diese Gleichung mit der allgemeinen Gleichung (11.1) einer Kurve zweiter Ordnung, sieht man leicht, dass für die Kreisgleichung zwei Bedingungen erfüllt sind:

1) die Koeffizienten bei x 2 und y 2 sind einander gleich;

2) es gibt kein Mitglied, das das xy-Produkt der aktuellen Koordinaten enthält.

Betrachten wir das inverse Problem. Setzen wir die Werte und in Gleichung (11.1) ein, erhalten wir

Lassen Sie uns diese Gleichung umwandeln:

(11.4)

Daraus folgt, dass Gleichung (11.3) unter der Bedingung einen Kreis definiert . Sein Zentrum ist am Punkt , und der Radius

.

Wenn , dann hat Gleichung (11.3) die Form

.

Es wird durch die Koordinaten eines einzelnen Punktes erfüllt . In diesem Fall sagen sie: „Der Kreis ist zu einem Punkt entartet“ (hat einen Radius von Null).

Wenn ein , dann wird Gleichung (11.4) und damit die äquivalente Gleichung (11.3) keine Gerade bestimmen, da die rechte Seite von Gleichung (11.4) negativ und die linke Seite nicht negativ ist (sagen wir: "imaginärer Kreis").

11.3. Ellipse

Kanonische Gleichung einer Ellipse

Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, genannt Tricks , ist ein konstanter Wert, der größer ist als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Bezeichne die Brennpunkte mit F1 und F2, der Abstand zwischen ihnen in 2 c, und die Summe der Entfernungen von einem beliebigen Punkt der Ellipse zu den Brennpunkten - bis 2 a(siehe Abb. 49). Definitionsgemäß 2 a > 2c, d.h. a > c.

Um die Gleichung einer Ellipse herzuleiten, wählen wir ein Koordinatensystem, damit die Brennpunkte F1 und F2 liegen auf der Achse , und der Ursprung fällt mit dem Mittelpunkt des Segments zusammen F1 F2. Dann haben die Brennpunkte die folgenden Koordinaten: und .

Sei ein beliebiger Punkt der Ellipse. Dann ist gemäß der Definition einer Ellipse, d.h.

Dies ist tatsächlich die Gleichung einer Ellipse.

Wir transformieren Gleichung (11.5) wie folgt in eine einfachere Form:

Als a>Mit, dann . Lasst uns

(11.6)

Dann nimmt die letzte Gleichung die Form oder an

(11.7)

Es kann bewiesen werden, dass Gleichung (11.7) der ursprünglichen Gleichung entspricht. Es heißt die kanonische Gleichung der Ellipse .

Ellipse ist eine Kurve zweiter Ordnung.

Studium der Form einer Ellipse nach ihrer Gleichung

Lassen Sie uns die Form der Ellipse anhand ihrer kanonischen Gleichung ermitteln.

1. Gleichung (11.7) enthält x und y nur in geraden Potenzen, wenn also ein Punkt zu einer Ellipse gehört, dann gehören auch Punkte ,, dazu. Daraus folgt, dass die Ellipse symmetrisch in Bezug auf die Achsen und sowie in Bezug auf den Punkt ist, der als Mittelpunkt der Ellipse bezeichnet wird.

2. Finde die Schnittpunkte der Ellipse mit den Koordinatenachsen. Wenn wir setzen, finden wir zwei Punkte und , an denen die Achse die Ellipse schneidet (siehe Abb. 50). In Gleichung (11.7) finden wir die Schnittpunkte der Ellipse mit der Achse: und . Punkte EIN 1 , A2 , B1, B2 genannt die Eckpunkte der Ellipse. Segmente EIN 1 A2 und B1 B2, sowie ihre Längen 2 a und 2 b werden jeweils genannt Haupt- und Nebenachse Ellipse. Zahlen a und b heißen groß bzw. klein. Achswellen Ellipse.

3. Aus Gleichung (11.7) folgt, dass jeder Term auf der linken Seite Eins nicht überschreitet, d.h. es gibt Ungleichungen und oder und . Daher liegen alle Punkte der Ellipse innerhalb des durch die Geraden gebildeten Rechtecks.

4. In Gleichung (11.7) ist die Summe der nicht negativen Terme und gleich eins. Wenn also ein Term zunimmt, nimmt der andere ab, dh wenn er zunimmt, nimmt er ab und umgekehrt.

Aus dem Gesagten folgt, dass die Ellipse die in Abb. 50 (ovale geschlossene Kurve).

Mehr über die Ellipse

Die Form der Ellipse hängt vom Verhältnis ab. Wenn sich die Ellipse in einen Kreis verwandelt, nimmt die Ellipsengleichung (11.7) die Form an. Als Merkmal für die Form einer Ellipse wird häufiger das Verhältnis verwendet. Das Verhältnis des halben Abstands zwischen den Brennpunkten zur großen Halbachse der Ellipse wird als Exzentrizität der Ellipse bezeichnet und o6o wird mit dem Buchstaben ε ("epsilon") bezeichnet:

mit 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Dies zeigt, dass die Ellipse umso weniger abgeflacht ist, je kleiner die Exzentrizität der Ellipse ist; setzen wir ε = 0, dann verwandelt sich die Ellipse in einen Kreis.

Sei M(x; y) ein beliebiger Punkt der Ellipse mit den Brennpunkten F 1 und F 2 (siehe Abb. 51). Die Streckenlängen F 1 M=r 1 und F 2 M = r 2 heißen Brennradien des Punktes M. Offensichtlich,

Es gibt Formeln

Gerade Linien werden aufgerufen

Satz 11.1. Wenn der Abstand von einem beliebigen Punkt der Ellipse zu einem Brennpunkt ist, d der Abstand von demselben Punkt zu der Leitlinie ist, die diesem Brennpunkt entspricht, dann ist das Verhältnis ein konstanter Wert, der gleich der Exzentrizität der Ellipse ist:

Aus Gleichheit (11.6) folgt, dass . Wenn , dann definiert Gleichung (11.7) eine Ellipse, deren Hauptachse auf der Oy-Achse und deren Nebenachse auf der Ox-Achse liegt (siehe Abb. 52). Die Brennpunkte einer solchen Ellipse sind an den Punkten und , wo .

11.4. Hyperbel

Kanonische Gleichung einer Hyperbel

Hyperbel die Menge aller Punkte der Ebene heißt der Betrag der Abstandsdifferenz von jedem zu zwei gegebenen Punkten dieser Ebene Tricks , ist ein konstanter Wert, kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Bezeichne die Brennpunkte mit F1 und F2 die Entfernung zwischen ihnen durch 2s, und der Betrag der Distanzdifferenz von jedem Punkt der Hyperbel zu den Brennpunkten hindurch 2a. Per Definition 2a < 2s, d.h. a < c.

Um die Hyperbelgleichung herzuleiten, wählen wir ein Koordinatensystem, damit die Brennpunkte F1 und F2 liegen auf der Achse , und der Ursprung fiel mit dem Mittelpunkt des Segments zusammen F1 F2(siehe Abb. 53). Dann haben die Brennpunkte Koordinaten und

Sei ein beliebiger Punkt der Hyperbel. Dann nach der Definition einer Hyperbel oder , d.h. Nach Vereinfachungen, wie sie bei der Ableitung der Ellipsengleichung gemacht wurden, erhalten wir Kanonische Gleichung einer Hyperbel

(11.9)

(11.10)

Eine Hyperbel ist eine Gerade zweiter Ordnung.

Untersuchung der Form einer Hyperbel nach ihrer Gleichung

Lassen Sie uns die Form der Hyperbel unter Verwendung ihrer kakonischen Gleichung bestimmen.

1. Gleichung (11.9) enthält x und y nur in geraden Potenzen. Daher ist die Hyperbel symmetrisch in Bezug auf die Achsen und , sowie in Bezug auf den Punkt , der aufgerufen wird das Zentrum der Hyperbel.

2. Finden Sie die Schnittpunkte der Hyperbel mit den Koordinatenachsen. In Gleichung (11.9) finden wir zwei Schnittpunkte der Hyperbel mit der Achse : und . Setzen wir (11.9) ein, erhalten wir , was nicht sein kann. Daher schneidet die Hyperbel die y-Achse nicht.

Die Punkte und werden aufgerufen Spitzen Hyperbeln und das Segment

echte Achse , Liniensegment - echte Halbachse Hyperbel.

Das Liniensegment, das die Punkte verbindet, wird aufgerufen imaginäre Achse , Nummer b - imaginäre Achse . Rechteck mit Seiten 2a und 2b genannt das Hauptrechteck einer Hyperbel .

3. Aus Gleichung (11.9) folgt, dass der Minuend nicht kleiner als eins ist, also oder . Das bedeutet, dass die Punkte der Hyperbel rechts von der Geraden (rechter Ast der Hyperbel) und links von der Geraden (linker Ast der Hyperbel) liegen.

4. Aus der Gleichung (11.9) der Hyperbel ist ersichtlich, dass wenn sie zunimmt, sie auch zunimmt. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Differenz einen konstanten Wert gleich Eins behält.

Aus dem Gesagten folgt, dass die Hyperbel die in Abbildung 54 gezeigte Form hat (eine Kurve, die aus zwei unbegrenzten Ästen besteht).

Asymptoten einer Hyperbel

Die Gerade L heißt Asymptote einer unbegrenzten Kurve K, wenn der Abstand d vom Punkt M der Kurve K zu dieser Linie gegen Null tendiert, wenn sich der Punkt M entlang der Kurve K unbegrenzt vom Ursprung wegbewegt. Abbildung 55 veranschaulicht das Konzept einer Asymptote: Die Linie L ist eine Asymptote für die Kurve K.

Zeigen wir, dass die Hyperbel zwei Asymptoten hat:

(11.11)

Da die Geraden (11.11) und die Hyperbel (11.9) symmetrisch zu den Koordinatenachsen sind, genügt es, nur die Punkte der angegebenen Geraden zu betrachten, die im ersten Quadranten liegen.

Nimm auf einer geraden Linie einen Punkt N mit der gleichen Abszisse x wie einen Punkt auf einer Hyperbel (siehe Abb. 56) und finden Sie die Differenz ΜN zwischen den Ordinaten der Geraden und dem Ast der Hyperbel:

Wie Sie sehen können, steigt der Nenner des Bruchs, wenn x zunimmt; Zähler ist ein konstanter Wert. Daher die Länge des Segments ΜN geht gegen Null. Da ΜN größer als der Abstand d vom Punkt Μ zur Geraden ist, strebt d noch stärker gegen Null. Die Geraden sind also Asymptoten der Hyperbel (11.9).

Beim Konstruieren einer Hyperbel (11.9) ist es ratsam, zuerst das Hauptrechteck der Hyperbel zu konstruieren (siehe Abb. 57), Linien zu zeichnen, die durch die gegenüberliegenden Eckpunkte dieses Rechtecks ​​verlaufen - die Asymptoten der Hyperbel, und die Eckpunkte und zu markieren , Hyperbel .

Die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel.

deren Asymptoten die Koordinatenachsen sind

Die Hyperbel (11.9) heißt gleichseitig, wenn ihre Halbachsen gleich sind (). Seine kanonische Gleichung

(11.12)

Die Asymptoten einer gleichseitigen Hyperbel haben Gleichungen und sind daher Winkelhalbierende der Koordinatenwinkel.

Betrachten Sie die Gleichung dieser Hyperbel in einem neuen Koordinatensystem (siehe Abb. 58), das Sie aus dem alten erhalten, indem Sie die Koordinatenachsen um einen Winkel drehen. Wir verwenden die Formeln für die Rotation der Koordinatenachsen:

Wir ersetzen die Werte von x und y in Gleichung (11.12):

Die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel, für die die Achsen Ox und Oy Asymptoten sind, hat die Form .

Mehr über Übertreibung

Exzentrizität Hyperbel (11.9) ist das Verhältnis des Abstands zwischen den Brennpunkten zum Wert der reellen Achse der Hyperbel, bezeichnet mit ε:

Da für eine Hyperbel die Exzentrizität der Hyperbel größer als eins ist: . Exzentrizität charakterisiert die Form einer Hyperbel. Tatsächlich folgt aus Gleichheit (11.10), dass d.h. und .

Dies zeigt, dass je kleiner die Exzentrizität der Hyperbel ist, desto kleiner das Verhältnis - ihrer Halbachsen ist, was bedeutet, dass ihr Hauptrechteck um so mehr verlängert wird.

Die Exzentrizität einer gleichseitigen Hyperbel ist . Wirklich,

Fokusradien und denn die Punkte des rechten Astes der Hyperbel haben die Form und , und für den linken - und .

Geraden werden Leitlinien einer Hyperbel genannt. Da für die Hyperbel ε > 1, dann . Das heißt, die rechte Leitlinie befindet sich zwischen der Mitte und dem rechten Scheitel der Hyperbel, die linke Leitlinie zwischen der Mitte und dem linken Scheitel.

Die Leitlinien einer Hyperbel haben die gleiche Eigenschaft wie die Leitlinien einer Ellipse.

Die durch die Gleichung definierte Kurve ist ebenfalls eine Hyperbel, deren reelle Achse 2b auf der Oy-Achse und deren imaginäre Achse 2 liegt a- auf der Ox-Achse. In Abbildung 59 ist es als gepunktete Linie dargestellt.

Offensichtlich haben die Hyperbeln und gemeinsame Asymptoten. Solche Hyperbeln nennt man konjugiert.

11.5. Parabel

Kanonische Parabelgleichung

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, von denen jeder gleich weit von einem bestimmten Punkt, genannt Brennpunkt, und einer bestimmten Linie, genannt Leitlinie, entfernt ist. Der Abstand vom Brennpunkt F zur Leitlinie wird Parameter der Parabel genannt und mit p bezeichnet (p > 0).

Zur Herleitung der Parabelgleichung wählen wir das Oxy-Koordinatensystem so, dass die Oxy-Achse durch den Fokus F senkrecht zur Leitlinie in Richtung von der Leitlinie zu F verläuft und der Ursprung O in der Mitte zwischen Fokus und Leitlinie liegt (siehe Abb. 60). Im ausgewählten System hat der Fokus F die Koordinaten , und die Leitliniengleichung hat die Form , oder .

1. In Gleichung (11.13) ist die Variable y in einem geraden Grad enthalten, was bedeutet, dass die Parabel symmetrisch zur Ox-Achse ist; die x-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel.

2. Wegen ρ > 0 folgt aus (11.13) . Daher befindet sich die Parabel rechts von der y-Achse.

3. Wenn wir haben y \u003d 0. Daher geht die Parabel durch den Ursprung.

4. Bei unbegrenzter Vergrößerung von x wächst auch der Modul y unbegrenzt. Die Parabel hat die in Abbildung 61 gezeigte Form (Form). Der Punkt O (0; 0) wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet, das Segment FM \u003d r wird als Brennradius des Punktes M bezeichnet.

Gleichungen , , ( p>0) definieren ebenfalls Parabeln, sie sind in Abbildung 62 dargestellt

Es ist leicht zu zeigen, dass der Graph eines quadratischen Trinoms, bei dem , B und C beliebige reelle Zahlen sind, eine Parabel im Sinne der obigen Definition ist.

11.6. Allgemeine Gleichung der Linien zweiter Ordnung

Kurvengleichungen zweiter Ordnung mit Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen

Lassen Sie uns zuerst die Gleichung einer Ellipse finden, die in einem Punkt zentriert ist, dessen Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen Ox und Oy sind und deren Halbachsen jeweils gleich sind a und b. Setzen wir in die Mitte der Ellipse O 1 den Ursprung des neuen Koordinatensystems , dessen Achsen und Halbachsen a und b(siehe Abb. 64):

Und schließlich haben die in Abbildung 65 gezeigten Parabeln entsprechende Gleichungen.

Die gleichung

Die Gleichungen einer Ellipse, Hyperbel, Parabel und die Kreisgleichung nach Transformationen (Klammern öffnen, alle Terme der Gleichung in eine Richtung verschieben, gleiche Terme einbringen, neue Notation für die Koeffizienten einführen) können mit einer einzigen Gleichung von geschrieben werden die Form

wobei die Koeffizienten A und C gleichzeitig ungleich Null sind.

Es stellt sich die Frage: Bestimmt irgendeine Gleichung der Form (11.14) eine der Kurven (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel) zweiter Ordnung? Die Antwort liefert der folgende Satz.

Satz 11.2. Gleichung (11.14) definiert immer: entweder einen Kreis (für A = C) oder eine Ellipse (für A C > 0) oder eine Hyperbel (für A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Allgemeine Gleichung zweiter Ordnung

Betrachten Sie nun die allgemeine Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten:

Sie unterscheidet sich von Gleichung (11.14) durch das Vorhandensein eines Terms mit dem Koordinatenprodukt (B¹ 0). Durch Drehen der Koordinatenachsen um einen Winkel a kann diese Gleichung so umgeformt werden, dass der Term mit dem Koordinatenprodukt darin fehlt.

Verwenden von Formeln für Drehachsen

Drücken wir die alten Koordinaten durch die neuen aus:

Wir wählen den Winkel a so, dass der Koeffizient bei x "y" verschwindet, also damit die Gleichheit

Wenn also die Achsen um einen Winkel a gedreht werden, der die Bedingung (11.17) erfüllt, reduziert sich Gleichung (11.15) auf Gleichung (11.14).

Fazit: Die allgemeine Gleichung zweiter Ordnung (11.15) definiert in der Ebene (außer bei Entartung und Verfall) folgende Kurven: Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel.

Hinweis: Wenn A = C, dann verliert Gleichung (11.17) ihre Bedeutung. In diesem Fall ist cos2α = 0 (siehe (11.16)), dann ist 2α = 90°, also α = 45°. Bei A = C sollte also das Koordinatensystem um 45° gedreht werden.

Eine Ellipse ist der Ort von Punkten in einer Ebene, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten F_1 und F_2 ist ein konstanter Wert (2a), größer als der Abstand (2c) zwischen diesen gegebenen Punkten (Abb. 3.36, a). Diese geometrische Definition drückt aus Fokaleigenschaft einer Ellipse.

Brenneigenschaft einer Ellipse

Die Punkte F_1 und F_2 heißen Brennpunkte der Ellipse, der Abstand zwischen ihnen 2c=F_1F_2 ist die Brennweite, der Mittelpunkt O des Segments F_1F_2 ist der Mittelpunkt der Ellipse, die Zahl 2a ist die Länge der Hauptachse der Ellipse (entsprechend ist die Zahl a die große Halbachse der Ellipse). Die Strecken F_1M und F_2M, die einen beliebigen Punkt M der Ellipse mit seinen Brennpunkten verbinden, heißen Brennradien des Punktes M . Eine Strecke, die zwei Punkte einer Ellipse verbindet, wird Sehne der Ellipse genannt.

Das Verhältnis e=\frac(c)(a) heißt Exzentrizität der Ellipse. Aus der Definition (2a>2c) folgt, dass 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Geometrische Definition einer Ellipse, die ihre Fokuseigenschaft ausdrückt, entspricht ihrer analytischen Definition - einer Linie, die durch die kanonische Gleichung einer Ellipse gegeben ist:

Führen wir tatsächlich ein rechteckiges Koordinatensystem ein (Abb. 3.36, c). Der Mittelpunkt O der Ellipse wird als Ursprung des Koordinatensystems genommen; die gerade Linie, die durch die Brennpunkte verläuft (die Brennachse oder die erste Achse der Ellipse), nehmen wir als Abszissenachse (die positive Richtung darauf vom Punkt F_1 zum Punkt F_2); als y-Achse wird die senkrecht zur Brennachse verlaufende Gerade genommen, die durch den Mittelpunkt der Ellipse (zweite Achse der Ellipse) verläuft (die Richtung auf der y-Achse ist so gewählt, dass das rechtwinklige Koordinatensystem Oxy rechts liegt ).

Lassen Sie uns die Gleichung einer Ellipse unter Verwendung ihrer geometrischen Definition formulieren, die die Fokuseigenschaft ausdrückt. Im gewählten Koordinatensystem bestimmen wir die Koordinaten der Fokusse F_1(-c,0),~F_2(c,0). Für einen beliebigen zur Ellipse gehörenden Punkt M(x,y) gilt:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Schreiben wir diese Gleichheit in Koordinatenform, erhalten wir:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Wir übertragen das zweite Radikal auf die rechte Seite, quadrieren beide Seiten der Gleichung und geben gleiche Terme an:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Teilen durch 4, wir quadrieren beide Seiten der Gleichung:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Bezeichnung b=\sqrt(a^2-c^2)>0, wir bekommen b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Teilen wir beide Teile durch a^2b^2\ne0 , erhalten wir die kanonische Gleichung der Ellipse:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Daher ist das gewählte Koordinatensystem kanonisch.

Fallen die Brennpunkte der Ellipse zusammen, so ist die Ellipse ein Kreis (Abb. 3.36.6), da a=b. In diesem Fall ein beliebiges rechtwinkliges Koordinatensystem mit Ursprung am Punkt O\equiv F_1\equiv F_2, und die Gleichung x^2+y^2=a^2 ist die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt O und Radius a .

Durch Rückwärtsüberlegung kann gezeigt werden, dass alle Punkte, deren Koordinaten Gleichung (3.49) erfüllen, und nur sie, zu dem Ort der Punkte gehören, der Ellipse genannt wird. Mit anderen Worten, die analytische Definition einer Ellipse entspricht ihrer geometrischen Definition, die die fokale Eigenschaft der Ellipse ausdrückt.

Verzeichniseigenschaft einer Ellipse

Die Leitlinien einer Ellipse sind zwei gerade Linien, die parallel zur Ordinatenachse des kanonischen Koordinatensystems im gleichen Abstand \frac(a^2)(c) davon verlaufen. Für c=0, wenn die Ellipse ein Kreis ist, gibt es keine Leitlinien (wir können annehmen, dass die Leitlinien unendlich entfernt sind).

Ellipse mit Exzentrizität 0 Ort von Punkten in der Ebene, für die jeweils das Verhältnis des Abstands zu einem gegebenen Punkt F (Brennpunkt) zum Abstand zu einer gegebenen geraden Linie d (Leitlinie), die nicht durch einen gegebenen Punkt verläuft, konstant und gleich ist Exzentrizität e ( Ellipse-Verzeichniseigenschaft). Hier sind F und d einer der Brennpunkte der Ellipse und eine ihrer Leitlinien, die sich auf derselben Seite der y-Achse des kanonischen Koordinatensystems befinden, d.h. F_1,d_1 oder F_2,d_2 .

Tatsächlich gilt zum Beispiel für Fokus F_2 und Leitlinie d_2 (Abb. 3.37.6) die Bedingung \frac(r_2)(\rho_2)=e kann in Koordinatenform geschrieben werden:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Irrationalität beseitigen und ersetzen e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kommen wir zur kanonischen Gleichung der Ellipse (3.49). Ähnliche Überlegungen können für den Fokus F_1 und die Leitlinie angestellt werden d_1\Doppelpunkt\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Ellipsengleichung in Polarkoordinaten

Die Ellipsengleichung im Polarkoordinatensystem F_1r\varphi (Abb.3.37,c und 3.37(2)) hat die Form

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

wobei p=\frac(b^2)(a) der Fokusparameter der Ellipse ist.

Wählen wir nämlich den linken Brennpunkt F_1 der Ellipse als Pol des Polarkoordinatensystems und den Strahl F_1F_2 als Polarachse (Abb. 3.37, c). Dann gilt für einen beliebigen Punkt M(r,\varphi) gemäß der geometrischen Definition (Fokuseigenschaft) einer Ellipse r+MF_2=2a . Wir drücken den Abstand zwischen den Punkten M(r,\varphi) und F_2(2c,0) aus (siehe Punkt 2 von Bemerkung 2.8):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)

Daher hat die Ellipsengleichung in Koordinatenform F_1M+F_2M=2a die Form

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Wir isolieren das Radikal, quadrieren beide Seiten der Gleichung, dividieren durch 4 und geben ähnliche Terme an:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Wir drücken den Polarradius r aus und nehmen die Substitution vor e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten in der Ellipsengleichung

Finden wir die Schnittpunkte der Ellipse (siehe Abb. 3.37, a) mit den Koordinatenachsen (Eckpunkten der zllips). Setzen wir y=0 in die Gleichung ein, finden wir die Schnittpunkte der Ellipse mit der Abszissenachse (mit der Brennachse): x=\pm a . Daher ist die Länge des von der Ellipse eingeschlossenen Segments der Brennachse gleich 2a. Dieses Segment wird, wie oben erwähnt, die Hauptachse der Ellipse genannt, und die Zahl a ist die Haupthalbachse der Ellipse. Setzen wir x=0 ein, erhalten wir y=\pm b . Daher ist die Länge des Segments der zweiten Achse der Ellipse, die innerhalb der Ellipse eingeschlossen ist, gleich 2b. Dieses Segment wird die kleine Achse der Ellipse genannt, und die Zahl b wird die kleine Halbachse der Ellipse genannt.

Wirklich, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, und die Gleichheit b = a wird nur im Fall c = 0 erhalten, wenn die Ellipse ein Kreis ist. Attitüde k=\frac(b)(a)\leqslant1 heißt Kontraktionsfaktor der Ellipse.

Bemerkungen 3.9

1. Die Linien x=\pm a,~y=\pm b begrenzen das Hauptrechteck auf der Koordinatenebene, in dem sich die Ellipse befindet (siehe Abb. 3.37, a).

2. Eine Ellipse kann definiert werden als die Ortskurve der Punkte, die man erhält, indem man einen Kreis auf seinen Durchmesser zusammenzieht.

In der Tat, im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy hat die Kreisgleichung die Form x^2+y^2=a^2 . Bei Komprimierung auf die x-Achse mit Faktor 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Setzen wir x=x" und y=\frac(1)(k)y" in die Kreisgleichung ein, so erhalten wir eine Gleichung für die Koordinaten des Bildes M"(x",y") des Punktes M(x). ,j) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

da b=k\cdot a . Dies ist die kanonische Gleichung der Ellipse.

3. Die Koordinatenachsen (des kanonischen Koordinatensystems) sind die Symmetrieachsen der Ellipse (Hauptachsen der Ellipse genannt), und ihr Zentrum ist das Symmetriezentrum.

Wenn nämlich der Punkt M(x,y) zur Ellipse gehört . dann gehören auch die Punkte M"(x,-y) und M""(-x,y) , symmetrisch zum Punkt M bezüglich der Koordinatenachsen, zu derselben Ellipse.

4. Aus der Gleichung einer Ellipse in einem Polarkoordinatensystem r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(siehe Abb. 3.37, c) wird die geometrische Bedeutung des Fokusparameters verdeutlicht - dies ist die halbe Länge der Sehne der Ellipse, die senkrecht zur Fokusachse durch ihren Fokus verläuft ( r = p bei \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Die Exzentrizität e charakterisiert die Form der Ellipse, nämlich den Unterschied zwischen Ellipse und Kreis. Je größer e, desto gestreckter ist die Ellipse, und je näher e an Null liegt, desto näher ist die Ellipse am Kreis (Abb. 3.38, a). In der Tat, vorausgesetzt dass e=\frac(c)(a) und c^2=a^2-b^2 , erhalten wir

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

wobei k der Kontraktionsfaktor der Ellipse ist, 0

6. Gleichung \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 Für ein

7. Gleichung \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiert eine Ellipse mit dem Mittelpunkt O "(x_0, y_0), deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind (Abb. 3.38, c). Diese Gleichung wird durch Paralleltranslation (3.36) auf die kanonische reduziert.