Definition 2.7. ist ein Paar von Zufallszahlen (X, Ja), oder ein Punkt auf der Koordinatenebene (Abb. 2.11).
Reis. 2.11.
Eine zweidimensionale Zufallsvariable ist ein Sonderfall einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen oder eines Zufallsvektors.
Definition 2.8. Zufälliger Vektor - ist es eine Zufallsfunktion?,(/) mit einer endlichen Menge möglicher Argumentwerte t, dessen Wert für jeden Wert t ist eine Zufallsvariable.
Eine zweidimensionale Zufallsvariable heißt stetig, wenn ihre Koordinaten stetig sind, und diskret, wenn ihre Koordinaten diskret sind.
Das Verteilungsgesetz zweidimensionaler Zufallsvariablen festzulegen bedeutet, eine Entsprechung zwischen seinen möglichen Werten und der Wahrscheinlichkeit dieser Werte herzustellen. Je nach Art der Einstellung werden Zufallsvariablen in kontinuierliche und diskrete Variablen unterteilt, obwohl es allgemeine Möglichkeiten gibt, das Verteilungsgesetz eines beliebigen RV festzulegen.
Diskrete zweidimensionale Zufallsvariable
Eine diskrete zweidimensionale Zufallsvariable wird mit Hilfe einer Verteilungstabelle angegeben (Tab. 2.1).
Tabelle 2.1
Zuordnungstabelle (gemeinsame Zuordnung) CB ( X, U)
Tabellenelemente werden durch die Formel definiert
Eigenschaften von Verteilertabellenelementen:
Die Verteilung über jede Koordinate wird aufgerufen eindimensional oder marginal:
R 1> = P(X =.d,) - Randverteilung von SW X;
p^2) = P(Y= y,)- Randverteilung von SV U.
Mitteilung über den gemeinsamen Vertrieb von CB X und Y, gegeben durch den Satz von Wahrscheinlichkeiten [p () ), ich = 1,..., NJ = 1,..., t(Verteilungstabelle) und Randverteilung.
Ähnlich beim SV U p-2)= X p, g
Aufgabe 2.14. Gegeben:
Kontinuierliche 2D-Zufallsvariable
/(X, y)dxdy- Element der Wahrscheinlichkeit für eine zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y) - Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable (X, Y) in einem Rechteck mit Seiten zu treffen cbc, dy beim dx, dy -* 0:
f(x,y) - Verteilungsdichte zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y). Aufgabe /(x, j) geben wir vollständige Auskunft über die Verteilung einer zweidimensionalen Zufallsvariablen.
Randverteilungen sind wie folgt gegeben: für X - durch die Verteilungsdichte von CB X/,(x); An Y- SV-Verteilungsdichte f>(j).
Festlegung des Verteilungsgesetzes einer zweidimensionalen Zufallsvariablen durch die Verteilungsfunktion
Eine universelle Möglichkeit, das Verteilungsgesetz für eine diskrete oder kontinuierliche zweidimensionale Zufallsvariable anzugeben, ist die Verteilungsfunktion F(x, y).
Definition 2.9. Verteilungsfunktion F(x, y)- Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens von Ereignissen (Xy), d.h. F(x0,y n) = = P(X y), auf die Koordinatenebene geworfen, fallen in einen unendlichen Quadranten mit einem Scheitelpunkt im Punkt M(x 0, u ich)(im schraffierten Bereich in Abb. 2.12).
Reis. 2.12. Darstellung der Verteilungsfunktion F( x, y)
Funktionseigenschaften F(x,y)
- 1) 0 1;
- 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, j) = 0; F( oo, oo) = 1;
- 3) F(x,y)- nicht abnehmend in jedem Argument;
- 4) F(x,y) - durchgehend links und unten;
- 5) Konsistenz der Verteilungen:
F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - Randverteilung vorbei YF( oo, y) = F 2 (y). Verbindung /(x,y) mit F(x,y):
Zusammenhang zwischen Fugendichte und Randdichte. Dana f(x,y). Wir erhalten die Randverteilungsdichten f(x),f 2 (y)".
Der Fall unabhängiger Koordinaten einer zweidimensionalen Zufallsvariablen
Definition 2.10. SW X und Unabhängig(nc) ob irgendwelche Ereignisse, die mit jedem dieser RVs verbunden sind, unabhängig sind. Aus der Definition von nc CB folgt:
- 1 )Pij = pX)pf
- 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).
Es stellt sich heraus, dass für unabhängige SWs X und Y abgeschlossen und
3 )f(x,y) = J(x)f,(y).
Lassen Sie uns das für unabhängige SWs beweisen X und Y2) 3). Nachweisen, a) Sei 2), d.h.
gleichzeitig F(x,y) = fJ f(u,v)dudv, woraus folgt 3);
b) lass nun also 3 gelten
jene. wahr 2).
Betrachten wir Aufgaben.
Aufgabe 2.15. Die Verteilung ergibt sich aus der folgenden Tabelle:
Wir bilden Randverteilungen:
Wir bekommen P(X= 3, u = 4) = 0,17 * P(X= 3) P (Y \u003d 4) \u003d 0,1485 => => SV X und Angehörige.
Verteilungsfunktion:
Aufgabe 2.16. Die Verteilung ergibt sich aus der folgenden Tabelle:
Wir bekommen Ptl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 \u003d 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; € 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => SW X und Y z.
Aufgabe 2.17. Dana /(x, j) = 1. Erw.| -0,5(d "+ 2xy + 5d/ 2)]. Finden Oh) und /Ja)-
Entscheidung
(selber rechnen).
Sehr oft hat man es bei der Untersuchung von Zufallsvariablen mit zwei, drei oder noch mehr Zufallsvariablen zu tun. Beispielsweise beschreibt die zweidimensionale Zufallsvariable $\left(X,\ Y\right)$ den Trefferpunkt des Projektils, wobei die Zufallsvariablen $X,\ Y$ die Abszisse bzw. die Ordinate sind. Die Leistung eines zufälligen Schülers während der Sitzung wird durch eine $n$-dimensionale Zufallsvariable $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ charakterisiert, wobei die Zufallsvariablen $X_1,\ X_2 sind ,\ \dots ,\ X_n $ - das sind die Noten, die in verschiedenen Fächern im Notenbuch eingetragen sind.
Die Menge von $n$ Zufallsvariablen $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ wird aufgerufen zufälliger Vektor. Wir beschränken uns auf den Fall $\left(X,\ Y\right)$.
Sei $X$ eine diskrete Zufallsvariable mit möglichen Werten $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$ und $Y$ eine diskrete Zufallsvariable mit möglichen Werten $y_1,y_2,\ \dots , \ y_n$.
Dann kann eine diskrete zweidimensionale Zufallsvariable $\left(X,\ Y\right)$ die Werte $\left(x_i,\ y_j\right)$ mit Wahrscheinlichkeiten $p_(ij)=P\left( \left(X=x_i \right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Hier ist $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $Y$ den Wert $y_j$ annimmt, wenn die Zufallsvariable $X$ den Wert $x_i$ annimmt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ den Wert $x_i$ annimmt, ist gleich $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $Y$ den Wert $y_j$ annimmt, ist gleich $q_j=\sum_i(p_(ij))$.
$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ left(Y=y_j\right)))=((p_(ij))\over (q_j)).$$
$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ left(X=x_i\right)))=((p_(ij))\over (p_i)).$$
Beispiel 1 . Die Verteilung einer zweidimensionalen Zufallsvariablen ist gegeben durch:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\Backslash Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(array)$
Lassen Sie uns die Verteilungsgesetze für die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ definieren. Finden wir die bedingten Verteilungen der Zufallsvariablen $X$ unter der Bedingung $Y=2$ und der Zufallsvariablen $Y$ unter der Bedingung $X=0$.
Lassen Sie uns die folgende Tabelle ausfüllen:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(array)$
Lassen Sie uns erklären, wie die Tabelle gefüllt wird. Die Werte der ersten drei Spalten der ersten vier Zeilen werden der Bedingung entnommen. Die Summe der Zahlen der Spalten $2$th und $3$th der Zeile $2$th ($3$th) wird in der Spalte $4$th der Zeile $2$th ($3$th) angezeigt. Die Summe der Zahlen in den Spalten $2$th und $3$th der Zeile $4$th wird in der Spalte $4$th der Zeile $4$th angezeigt.
Die Summe der Zahlen in den Zeilen $2$th, $3$th und $4$th der Spalte $2$th ($3$th) wird in die Zeile $5$th der Spalte $2$th ($3$th) geschrieben. Jede Zahl in der Spalte $2$ wird durch $q_1=0,52$ geteilt, das Ergebnis wird auf zwei Dezimalstellen aufgerundet und in die Spalte $5$ geschrieben. Die Zahlen aus den Spalten $2$th und $3$th der Zeile $3$th werden durch $p_2=0.41$ dividiert, das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen gerundet und in die letzte Zeile geschrieben.
Dann hat das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $X$ folgende Form.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end(array)$
Das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $Y$.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
J & 2 & 3 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end(array)$
Die bedingte Verteilung der Zufallsvariablen $X$ unter der Bedingung $Y=2$ hat folgende Form.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end(array)$
Die bedingte Verteilung der Zufallsvariablen $Y$ unter der Bedingung $X=0$ hat folgende Form.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
J & 2 & 3 \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end(array)$
Beispiel 2 . Wir haben sechs Stifte, von denen zwei rot sind. Wir legen die Bleistifte in zwei Kisten. In den ersten werden 2$-Stücke gesteckt, in den zweiten zwei. $X$ ist die Anzahl der Rotstifte im ersten Kästchen und $Y$ im zweiten. Schreiben Sie das Verteilungsgesetz für das Zufallsvariablensystem $(X,\ Y)$.
Die diskrete Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der Rotstifte im ersten Kästchen und die diskrete Zufallsvariable $Y$ die Anzahl der Rotstifte im zweiten Kästchen. Die möglichen Werte der Zufallsvariablen $X,\ Y$ sind jeweils $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Dann kann eine diskrete zweidimensionale Zufallsvariable $\left(X,\ Y\right)$ die Werte $\left(x,\ y\right)$ mit Wahrscheinlichkeiten $P=P\left(\left( X=x\right) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, wobei $P\left(Y =y|X=x\right)$ - die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $Y$ den Wert $y$ annimmt, vorausgesetzt, dass die Zufallsvariable $X$ den Wert $x$ annimmt. Stellen wir die Entsprechung zwischen den Werten $\left(x,\ y\right)$ und den Wahrscheinlichkeiten $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) dar \right)$ wie folgt Tabellen.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\Backslash Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 & ((1)\über (15)) & ((4)\über (15)) & ((1)\über (15)) \\
\hline
1 & ((4)\über (15)) & ((4)\über (15)) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\über (15)) & 0 & 0 \\
\hline
\end(array)$
Die Zeilen einer solchen Tabelle geben die Werte $X$ an, und die Spalten geben die Werte $Y$ an, dann die Wahrscheinlichkeiten $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y =y\right)\right)$ werden am Schnittpunkt der entsprechenden Zeile und Spalte angezeigt. Berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten mit der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit und dem Produktsatz der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse.
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((2\cdot 2)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((3)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((1\cdot 3)\over (6))=(( 4)\über(15));$$
$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\over (15))\cdot 1=((1)\over (15)).$$
Da im Verteilungsgesetz (der resultierenden Tabelle) die gesamte Menge von Ereignissen eine vollständige Gruppe von Ereignissen bildet, sollte die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1 sein. Überprüfen wir dies:
$$\sum_(i,\ j)(p_(ij))=((1)\over (15))+((4)\over (15))+((1)\over (15))+ ((4)\über (15))+((4)\über (15))+((1)\über (15))=1.$$
Verteilungsfunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion Eine zweidimensionale Zufallsvariable $\left(X,\ Y\right)$ ist eine Funktion $F\left(x,\ y\right)$, die für beliebige reelle Zahlen $x$ und $y$ gleich ist die Wahrscheinlichkeit der gemeinsamen Ausführung zweier Ereignisse $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\left(x,\ y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$
Für eine diskrete zweidimensionale Zufallsvariable ergibt sich die Verteilungsfunktion durch Summieren aller Wahrscheinlichkeiten $p_(ij)$ für die $x_i< x,\ y_j < y$, то есть
$$F\left(x,\ y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
Eigenschaften der Verteilungsfunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariablen.
1 . Die Verteilungsfunktion $F\left(x,\ y\right)$ ist beschränkt, also $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.
2 . $F\left(x,\ y\right)$ nicht abnehmend für jedes seiner Argumente, wobei die anderen fest sind, d.h. $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1,\ y\ rechts )$ für $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ für $y_2>y_1$.
3 . Wenn mindestens eines der Argumente den Wert $-\infty $ annimmt, dann ist die Verteilungsfunktion gleich Null, also $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ - \infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.
4 . Wenn beide Argumente den Wert $+\infty $ annehmen, dann ist die Verteilungsfunktion gleich $1$, also $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.
5 . Für den Fall, dass genau eines der Argumente den Wert $+\infty $ annimmt, wird die Verteilungsfunktion $F\left(x,\ y\right)$ zur Verteilungsfunktion der dem anderen Element entsprechenden Zufallsvariablen, also $ F\left(x ,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\ y\right)=F_y\left (y\rechts) =F_Y\links(y\rechts)$.
6 . $F\left(x,\ y\right)$ ist linksstetig für jedes seiner Argumente, d.h.
$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\ y\right)\ )=F\left(x_0,\ y\right),\ (\mathop(lim) _(y\to y_0-0) F\links(x,\ y\rechts)\ )=F\links(x,\ y_0\rechts).$$
Beispiel 3 . Eine diskrete zweidimensionale Zufallsvariable $\left(X,\ Y\right)$ sei durch eine Verteilungsreihe gegeben.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\Backslash Y & 0 & 1 \\
\hline
0 & ((1)\über (6)) & ((2)\über (6)) \\
\hline
1 & ((2)\über (6)) & ((1)\über (6)) \\
\hline
\end(array)$
Dann die Verteilungsfunktion:
$F(x,y)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0,\ at\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ für\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ bei\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\über (6)),\ bei\ 0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\über (6))+((2)\über (6))=((1)\über (2)),\ wenn\ 0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ für\ x>1,\ y\le 0 \\
((1)\über (6))+((2)\über (6))=((1)\über (2)),\ wenn\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\über (6))+((2)\über (6))+((2)\über (6))+((1)\über (6))=1,\ für\ x >1,\ y>1 \\
\end(matrix)\right.$
bivariate diskrete Verteilung zufällig
Oft wird das Ergebnis des Experiments durch mehrere Zufallsvariablen beschrieben: . Beispielsweise kann das Wetter an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Tageszeit durch folgende Zufallsvariablen charakterisiert werden: X 1 - Temperatur, X 2 - Druck, X 3 - Luftfeuchtigkeit, X 4 - Windgeschwindigkeit.
Man spricht in diesem Fall von einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen oder einem System von Zufallsvariablen.
Stellen Sie sich eine zweidimensionale Zufallsvariable vor, deren mögliche Werte Zahlenpaare sind. Geometrisch kann eine zweidimensionale Zufallsvariable als zufälliger Punkt auf einer Ebene interpretiert werden.
Wenn die Komponenten X und Y diskrete Zufallsvariablen sind, then eine diskrete zweidimensionale Zufallsvariable ist und if X und Y stetig sind, dann ist eine stetige zweidimensionale Zufallsvariable.
Das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer zweidimensionalen Zufallsvariablen ist die Entsprechung zwischen möglichen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten.
Das Verteilungsgesetz einer zweidimensionalen diskreten Zufallsvariablen kann in Form einer doppelten Tabelle angegeben werden (siehe Tabelle 6.1), wobei die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Komponente X nahm die Bedeutung an x ich, und die Komponente Y- Bedeutung j j .
Tabelle 6.1.1.
|
j 1 |
j 2 |
j j |
j m |
|||
|
x 1 |
p 11 |
p 12 |
p 1j |
p 1m |
||
|
x 2 |
p 21 |
p 22 |
p 2j |
p 2m |
||
|
x ich |
p i1 |
p i2 |
p ij |
p ich bin |
||
|
x n |
p n1 |
p n2 |
p NJ |
p nm |
Da Ereignisse eine vollständige Gruppe von paarweise inkompatiblen Ereignissen bilden, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1, d.h.
Aus Tabelle 6.1 können Sie die Verteilungsgesetze eindimensionaler Komponenten entnehmen X und Y.
Beispiel 6.1.1 . Finden Sie die Verteilungsgesetze von Komponenten X und Ja, wenn die Verteilung einer zweidimensionalen Zufallsvariablen in Form von Tabelle 6.1.2 gegeben ist.
Tabelle 6.1.2.
Wenn wir zum Beispiel den Wert eines der Argumente festlegen, dann ergibt sich die Verteilung der Menge X wird als bedingte Verteilung bezeichnet. Die bedingte Verteilung ist ähnlich definiert Y.
Beispiel 6.1.2 . Gemäß der in Tabelle angegebenen Verteilung einer zweidimensionalen Zufallsvariablen. 6.1.2, finde: a) das bedingte Verteilungsgesetz der Komponente X angesichts dessen; b) bedingtes Verteilungsrecht Y unter der Vorraussetzung, dass.
Entscheidung. Bedingte Wahrscheinlichkeiten von Komponenten X und Y nach Formeln berechnet
Bedingtes Verteilungsrecht X Zustand hat die Form
Die Kontrolle: .
Das Verteilungsgesetz einer zweidimensionalen Zufallsvariablen kann wie folgt angegeben werden Verteilungsfunktionen, die für jedes Zahlenpaar die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass X nimmt einen Wert kleiner als an X, und worin Y nimmt einen Wert kleiner als an j:
Geometrisch bedeutet die Funktion die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Punkt in ein unendliches Quadrat mit einer Ecke an diesem Punkt fällt (Abb. 6.1.1).
Notieren wir uns die Eigenschaften.
- 1. Der Bereich der Funktion - , d.h. .
- 2. Funktion – nicht abnehmende Funktion für jedes Argument.
- 3. Es gibt einschränkende Beziehungen:
Bei wird die Verteilungsfunktion des Systems gleich der Verteilungsfunktion der Komponente X, d.h. .
Ebenfalls, .
Wenn Sie das wissen, können Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass ein zufälliger Punkt in das Rechteck ABCD fällt.
Nämlich,
Beispiel 6.1.3. Bivariate diskrete Zufallsvariable definiert durch Verteilungstabelle
Finden Sie die Verteilungsfunktion.
Entscheidung. Wert bei diskreten Komponenten X und Y wird gefunden, indem alle Wahrscheinlichkeiten mit Indizes summiert werden ich und j, wofür, . Then, if and, then (die Ereignisse und sind unmöglich). Ebenso erhalten wir:
wenn und dann;
wenn und dann;
wenn und dann;
wenn und dann;
wenn und dann;
wenn und dann;
wenn und dann;
wenn und dann;
wenn und dann.
Die erhaltenen Ergebnisse werden in Form einer Wertetabelle (6.1.3) dargestellt:
Für zweidimensional kontinuierlich Zufallsvariable wird das Konzept der Wahrscheinlichkeitsdichte eingeführt
Die geometrische Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine Verteilungsfläche im Raum
Eine zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte hat die folgenden Eigenschaften:
3. Die Verteilungsfunktion kann durch die Formel ausgedrückt werden
4. Die Wahrscheinlichkeit, eine stetige Zufallsvariable im Bereich zu treffen, ist gleich
5. Gemäß Eigenschaft (4) der Funktion erfolgen die Formeln:
Beispiel 6.1.4. Gegeben ist die Verteilungsfunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariablen
Ein geordnetes Paar (X , Y) von Zufallsvariablen X und Y wird als zweidimensionale Zufallsvariable oder Zufallsvektor eines zweidimensionalen Raums bezeichnet. Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) wird auch als System von Zufallsvariablen X und Y bezeichnet. Die Menge aller möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariablen mit ihren Wahrscheinlichkeiten nennt man das Verteilungsgesetz dieser Zufallsvariablen. Eine diskrete zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y) gilt als gegeben, wenn ihr Verteilungsgesetz bekannt ist:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
Dienstzuweisung. Mit dem Dienst können Sie gemäß einem bestimmten Vertriebsgesetz finden:
- Verteilungsreihen X und Y, mathematischer Erwartungswert M[X], M[Y], Varianz D[X], D[Y];
- Kovarianz cov(x,y), Korrelationskoeffizient r x,y , bedingte Verteilungsreihe X, bedingter Erwartungswert M;
Anweisung. Geben Sie die Dimension der Wahr(Anzahl der Zeilen und Spalten) und ihre Form an. Die resultierende Lösung wird in einer Word-Datei gespeichert.
Beispiel 1. Eine zweidimensionale diskrete Zufallsvariable hat eine Verteilungstabelle:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Entscheidung. Wir finden den Wert q aus der Bedingung Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Daraus ergibt sich q = 0,09
Unter Verwendung der Formel ∑P(x ich, ja j) = p ich(j=1..n), finde die Verteilungsreihe X.
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Streuung D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Standardabweichungσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801
Kovarianz cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 20 0,02 + 1 30 0,02 + 2 30 0,11 + 3 30 0,08 + 4 30 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,2 2,59 = -0,068
Korrelationskoeffizient rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
Beispiel 2 . Die Daten der statistischen Verarbeitung von Informationen bezüglich zweier Indikatoren X und Y werden in der Korrelationstabelle widergespiegelt. Erforderlich:
- Verteilungsreihen für X und Y schreiben und Stichprobenmittelwerte und Stichprobenstandardabweichungen für sie berechnen;
- bedingte Verteilungsreihen Y/x schreiben und bedingte Mittelwerte Y/x berechnen;
- die Abhängigkeit der bedingten Mittelwerte Y/x von den Werten von X grafisch darstellen;
- Berechnen des Probenkorrelationskoeffizienten Y auf X;
- Schreiben Sie ein Beispiel für eine direkte Regressionsgleichung.
- die Daten der Korrelationstabelle geometrisch darstellen und eine Regressionsgerade bilden.
Die Menge aller möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariablen mit ihren Wahrscheinlichkeiten nennt man das Verteilungsgesetz dieser Zufallsvariablen.
Eine diskrete zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) gilt als gegeben, wenn ihr Verteilungsgesetz bekannt ist:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Abhängigkeit der Zufallsvariablen X und Y.
Finden Sie die Verteilungsreihen X und Y.
Unter Verwendung der Formel ∑P(x ich, ja j) = p ich(j=1..n), finde die Verteilungsreihe X. Mathematischer Erwartungswert M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Streuung D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Standardabweichung σ(y).
Da P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, dann sind die Zufallsvariablen X und Y abhängig.
2. Bedingtes Verteilungsrecht X.
Bedingtes Verteilungsgesetz X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Bedingte Erwartung M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Bedingte Varianz D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Bedingtes Verteilungsgesetz X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Bedingte Erwartung M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Bedingte Varianz D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Bedingtes Verteilungsgesetz X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Bedingte Erwartung M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Bedingte Varianz D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Bedingtes Verteilungsgesetz X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Bedingte Erwartung M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Bedingte Varianz D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Bedingtes Verteilungsgesetz X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Bedingte Erwartung M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Bedingte Varianz D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Bedingtes Verteilungsgesetz Y.
Bedingtes Verteilungsgesetz Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Bedingte Erwartung M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Bedingte Varianz D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Bedingtes Verteilungsgesetz Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Bedingte Erwartung M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Bedingte Varianz D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Bedingtes Verteilungsgesetz Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Bedingte Erwartung M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Bedingte Varianz D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Bedingtes Verteilungsgesetz Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Bedingte Erwartung M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Bedingte Varianz D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Bedingtes Verteilungsgesetz Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Bedingte Erwartung M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Bedingte Varianz D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Bedingtes Verteilungsgesetz Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Bedingte Erwartung M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Bedingte Varianz D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Kovarianz.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind, dann ist ihre Kovarianz Null. In unserem Fall gilt cov(X,Y) ≠ 0.
Korrelationskoeffizient.
Die lineare Regressionsgleichung von y nach x lautet:
Die lineare Regressionsgleichung von x nach y lautet:
Finden Sie die notwendigen numerischen Merkmale.
Beispiel bedeutet:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Dispersionen:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Woher bekommen wir die Standardabweichungen:
σ x = 9,99 und σ y = 4,9
und Kovarianz:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Lassen Sie uns den Korrelationskoeffizienten definieren:
Schreiben wir die Gleichungen der Regressionsgeraden y(x) auf:
und rechnend erhalten wir:
yx = 0,38x + 9,14
Schreiben wir die Gleichungen der Regressionsgeraden x(y) auf:
und rechnend erhalten wir:
x y = 1,59 y + 2,15
Wenn wir die durch die Tabelle definierten Punkte und die Regressionsgeraden bilden, sehen wir, dass beide Linien durch den Punkt mit den Koordinaten (42.3; 25.3) verlaufen und die Punkte in der Nähe der Regressionsgeraden liegen.
Bedeutung des Korrelationskoeffizienten.
Nach der Student-Tabelle mit Signifikanzniveau α=0,05 und Freiheitsgraden k=100-m-1 = 98 ergibt sich t crit:
tkrit (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
wobei m = 1 die Anzahl der erklärenden Variablen ist.
Wenn t obs > t kritisch ist, dann wird der erhaltene Wert des Korrelationskoeffizienten als signifikant erkannt (die Nullhypothese, die besagt, dass der Korrelationskoeffizient gleich Null ist, wird verworfen).
Da t obl > t crit verwerfen wir die Hypothese, dass der Korrelationskoeffizient gleich 0 ist. Mit anderen Worten, der Korrelationskoeffizient ist statistisch signifikant.
Die Übung. Die Anzahl der Treffer von Wertepaaren der Zufallsvariablen X und Y in den entsprechenden Intervallen sind in der Tabelle angegeben. Ermitteln Sie aus diesen Daten den Sticund die Stichprobengleichungen der geraden Regressionslinien Y auf X und X auf Y .
Entscheidung
Beispiel. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer zweidimensionalen Zufallsvariablen (X, Y) ist durch eine Tabelle gegeben. Finden Sie die Verteilungsgesetze der Komponentengrößen X, Y und den Korrelationskoeffizienten p(X, Y).
Lösung herunterladen
Die Übung. Ein zweidimensionaler diskreter Wert (X, Y) ist durch ein Verteilungsgesetz gegeben. Finden Sie die Verteilungsgesetze der X- und Y-Komponenten, der Kovarianz und des Korrelationskoeffizienten.
