Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

Die Lösung der trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Schritten: Gleichungstransformation um es einfach zu bekommen Typ (siehe oben) und Entscheidungam einfachsten erhalten trigonometrische Gleichung. Es sind sieben grundlegende Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

1. Algebraische Methode.

(Variable Substitution und Substitutionsverfahren).

2. Faktorisierung.

BEISPIEL 1. Lösen Sie die Gleichung: Sünde x+ cos x = 1 .

Lösung: Bewege alle Terme der Gleichung nach links:

Sünde x+ cos x – 1 = 0 ,

Lassen Sie uns den Ausdruck transformieren und faktorisieren in

Linke Seite der Gleichung:

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung: cos 2 x+ Sünde x cos x = 1.

LÖSUNG cos 2 x+ Sünde x cos x– Sünde 2 x– cos 2 x = 0 ,

Sünde x cos x– Sünde 2 x = 0 ,

Sünde x(Kos x– Sünde x ) = 0 ,

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung: cos 2 x– cos 8 x+ cos 6 x = 1.

LÖSUNG cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2 gegen 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

Kos 4 x · (weil 2 x– cos 4 x) = 0 ,

Kos 4 x 2 Sünde 3 x Sünde x = 0 ,

ein). cos 4 x= 0 , 2). Sünde 3 x= 0 , 3). Sünde x = 0 ,

3. Bringen zu einheitliche Gleichung. Die gleichung namens homogen aus verhältnismäßig Sünde und cos , Wenn alles davon Bedingungen in gleichem Maße in Bezug auf Sünde und cos den gleichen Winkel. Um eine homogene Gleichung zu lösen, benötigen Sie: a) alle Mitglieder auf die linke Seite verschieben; b) alle gemeinsamen Faktoren in Klammern setzen; in) alle Faktoren und Klammern gleich Null setzen; G) auf Null gesetzte Klammern geben homogene Gleichung geringeren Grades, die durch geteilt werden sollte cos(oder Sünde) im höheren Studiengang; d) lösen die resultierende algebraische Gleichung in Bezug aufbräunen . Sünde 2 x+ 4 Sünde x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Lösung: 3sin 2 x+ 4 Sünde x cos x+ 5 cos 2 x= 2 Sünde 2 x+ 2 kostet 2 x , Sünde 2 x+ 4 Sünde x cos x+ 3 gegen 2 x = 0 , Braun 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , von hier j 2 + 4j +3 = 0 , Die Wurzeln dieser Gleichung sind:j 1 = - 1, j 2 = - 3, also 1) braun x= –1, 2) hellbraun x = –3,

4. Übergang zur halben Ecke.

Schauen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels an:

BEISPIEL Gleichung lösen: 3 Sünde x– 5 cos x = 7.

Lösung: 6 Sünde ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 Sünde² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 Sünde² ( x/ 2) – 6 Sünde ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

Tan² ( x/ 2) – 3 hellbraun ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Einführung eines Hilfswinkels.

Betrachten Sie eine Gleichung der Form:

a Sünde x + b cos x = c ,

Woher a, b, c– Koeffizienten;x- Unbekannt.

Jetzt haben die Koeffizienten der Gleichung die Eigenschaften von Sinus und Cosinus, nämlich: Modul (Absolutwert) von jedem davon nicht mehr als 1 und die Summe ihrer Quadrate ist 1. Dann kann man benennen sie bzw als cos und sin (hier - sogenannt Hilfswinkel), undunsere gleichung ist

Gegenstand:"Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen".

Unterrichtsziele:

lehrreich:

Fähigkeiten entwickeln, um Arten von trigonometrischen Gleichungen zu unterscheiden;

Vertiefung des Methodenverständnisses zur Lösung trigonometrischer Gleichungen;

lehrreich:

Bildung von kognitivem Interesse am Bildungsprozess;

Bildung der Fähigkeit, die Aufgabe zu analysieren;

Entwicklung:

Die Fähigkeit entwickeln, die Situation zu analysieren und anschließend den rationalsten Ausweg zu wählen.

Ausrüstung: Plakat mit trigonometrischen Grundformeln, Computer, Projektor, Leinwand.

Beginnen wir die Lektion, indem wir die grundlegende Technik zum Lösen einer beliebigen Gleichung wiederholen: sie auf eine Standardform reduzieren. Durch Transformationen werden lineare Gleichungen auf die Form ax \u003d b reduziert, quadratische auf die Form ax2+bx +c=0. Bei trigonometrischen Gleichungen müssen sie auf die einfachsten der Form reduziert werden: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, die leicht gelöst werden können.

Dazu müssen natürlich zunächst die trigonometrischen Grundformeln verwendet werden, die auf dem Poster vorgestellt werden: Additionsformeln, Doppelwinkelformeln, Absenken der Multiplizität einer Gleichung. Wir wissen bereits, wie man solche Gleichungen löst. Wiederholen wir einige davon:

Gleichzeitig gibt es Gleichungen, deren Lösung die Kenntnis einiger spezieller Techniken erfordert.

Das Thema unserer Lektion ist die Betrachtung dieser Techniken und die Systematisierung von Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

1. Transformation in eine quadratische Gleichung in Bezug auf eine trigonometrische Funktion, gefolgt von einem Variablenwechsel.

Wir werden jede der aufgelisteten Methoden mit Beispielen betrachten, aber wir werden uns ausführlicher mit den letzten beiden befassen, da wir die ersten beiden bereits beim Lösen von Gleichungen verwendet haben.

1. Transformation in eine quadratische Gleichung bezüglich einer beliebigen trigonometrischen Funktion.

2. Lösung von Gleichungen nach der Faktorisierungsmethode.

3. Lösung homogener Gleichungen.

Homogene Gleichungen ersten und zweiten Grades heißen Gleichungen der Form:

(a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

Beim Lösen homogener Gleichungen werden beide Teile der Gleichung Term für Term durch cosx für (1) der Gleichung und durch cos 2 x für (2) dividiert. Eine solche Teilung ist möglich, da sinx und cosx nicht gleichzeitig Null sind – sie verschwinden an unterschiedlichen Stellen. Betrachten Sie Beispiele zum Lösen homogener Gleichungen ersten und zweiten Grades.

Erinnern wir uns an diese Gleichung: Wenn wir die nächste Methode in Betracht ziehen - die Einführung eines Hilfsarguments -, werden wir sie auf andere Weise lösen.

4. Einführung eines Hilfsarguments.

Betrachten Sie die bereits durch die vorherige Methode gelöste Gleichung:

Wie Sie sehen können, wird das gleiche Ergebnis erzielt.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an:

In den betrachteten Beispielen war im Allgemeinen klar, in was die ursprüngliche Gleichung zerlegt werden muss, um ein Hilfsargument einzuführen. Aber es kann vorkommen, dass es nicht offensichtlich ist, welchen Teiler man wählen soll. Dafür gibt es eine spezielle Technik, die wir nun allgemein betrachten werden. Gegeben sei eine Gleichung.

Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen Inhalt

• Variablenersetzungsmethode
• Faktorisierungsmethode
• Homogene trigonometrische Gleichungen
• Mit trigonometrischen Formeln:
• Additionsformeln
• Gießen Sie Formeln
• Formeln mit doppelten Argumenten

Variablenersetzungsmethode

Durch Ersetzen von t = sinx oder t = cosx, wobei t∈ [−1;1] die Lösung der ursprünglichen Gleichung wird auf die Lösung einer quadratischen oder anderen algebraischen Gleichung reduziert.

Siehe Beispiele 1 - 3

Manchmal wird eine universelle trigonometrische Substitution verwendet: t = tg

Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 Factoring-Methode

Die Essenz dieser Methode besteht darin, dass das Produkt mehrerer Faktoren gleich Null ist, wenn mindestens einer von ihnen gleich Null ist, während die anderen ihre Bedeutung nicht verlieren:

f(x)g(x)h(x) … = 0⟺ f(x) = 0 oder g(x) = 0 oder h(x) = 0

usw. vorausgesetzt, dass jeder der Faktoren vorhanden ist

Siehe Beispiele 4 - 5

Beispiel 4 Beispiel 5 Homogene trigonometrische Gleichungen Eine Gleichung der Form a sin x + b cos x = 0 heißt homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades.

a sin x + b cos x = 0

Kommentar.

Die Division durch cos x ist gültig, da Lösungen der Gleichung cos x = 0 keine Lösungen der Gleichung a sin x + b cos x = 0 sind.

a sin x b cos x 0

a tg x + b = 0

tg x = -

Homogene trigonometrische Gleichungen

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

Eine Gleichung der Form a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 heißt homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades.

a tg2x + b tg x + c = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

Kommentar. Wenn in dieser Gleichung a \u003d 0 oder c \u003d 0 ist, wird die Gleichung durch die Expansionsmethode gelöst

für Multiplikatoren.

Beispiel 6

Beispiel 8 Beispiel 9 Beispiel 10 Beispiel 11 1. Additionsformeln:

sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x + y) = cosx gemütlich − sinx siny

tgx + tgy

tg(x + y) =

1 − tgx tgy

sin(x − y) = sinx cosy + cosx siny

cos(x − y) = cosx cosy + sinx siny

tgx − tgy

tg (x − y) =

1 + tgx tgy

сtgx сtgy − 1

ctg (x + y) =

сtgу + с tgх

ctgx ctgy + 1

сtg (x − y) =

сtgу − с tgх

Beispiel 12 Beispiel 13 Verwendung trigonometrischer Formeln 2. Gießformeln:

Pferderegel

In der guten alten Zeit lebte ein zerstreuter Mathematiker, der bei der Suche nach einer Antwort den Namen einer Funktion änderte oder nicht änderte ( Sinus auf der Kosinus), blickte auf sein schlaues Pferd, und sie nickte mit dem Kopf entlang der Koordinatenachse, die zu dem Punkt gehörte, der dem ersten Begriff des Arguments entsprach π/ 2 + α oder π + α .

Wenn das Pferd mit dem Kopf entlang der Achse nickte OU, dann hielt der Mathematiker die Antwort für erhalten "Ja, ändern" wenn entlang der Achse OH, dann "Nein, nicht ändern".

Verwenden von trigonometrischen Formeln 3. Formeln mit doppeltem Argument:

sin2x = 2sinx cosx

cos2x = cos2x – sin2x

cos2x = 2cos2x - 1

cos2x = 1 – 2sin2x

1-tg2x

ctg 2x =

ctg2x - 1

Beispiel 14 Verwendung trigonometrischer Formeln 4. Gradreduktionsformeln:

5. Halbwinkelformeln:

Verwenden von trigonometrischen Formeln 6. Summen- und Differenzformeln: Verwenden von trigonometrischen Formeln 7. Produktformeln: Merkregel „Trigonometrie in der Handfläche“

Sehr oft ist es erforderlich, die Bedeutungen auswendig zu kennen cos, Sünde, tg, ctg für Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Aber wenn plötzlich irgendein Wert vergessen wird, dann können Sie die Regel der Hand verwenden.

Regel: Wenn Sie Linien durch den kleinen Finger und den Daumen ziehen,

dann werden sie sich an einem Punkt schneiden, der als „Mondhügel“ bezeichnet wird.

Es entsteht ein Winkel von 90°. Die kleine Fingerlinie bildet einen Winkel von 0°.

Nachdem wir die Strahlen vom „Mondhügel“ durch den Ring-, Mittel- und Zeigefinger gezogen haben, erhalten wir Winkel von 30 °, 45 ° bzw. 60 °.

Substituieren statt n: 0, 1, 2, 3, 4, wir bekommen die Werte Sünde, für Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Für cos Die Zählung erfolgt in umgekehrter Reihenfolge.

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Eine Gleichung, die eine Unbekannte unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion (`sin x, cos x, tg x` oder `ctg x`) enthält, wird als trigonometrische Gleichung bezeichnet, und wir werden ihre Formeln weiter betrachten.

Die einfachsten Gleichungen sind `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, wobei `x` der zu findende Winkel ist, `a` eine beliebige Zahl. Lassen Sie uns die Wurzelformeln für jeden von ihnen schreiben.

1. Gleichung „sin x=a“.

Für `|a|>1` hat es keine Lösungen.

Mit `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.

Wurzelformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Gleichung `cos x=a`

Für `|a|>1` gibt es - wie beim Sinus - keine Lösungen unter reellen Zahlen.

Mit `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.

Wurzelformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Sonderfälle für Sinus und Cosinus in Graphen.

3. Gleichung „tg x=a“.

Hat unendlich viele Lösungen für beliebige Werte von `a`.

Wurzelformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Gleichung „ctg x=a“.

Es hat auch unendlich viele Lösungen für beliebige Werte von `a`.

Wurzelformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formeln für die Wurzeln trigonometrischer Gleichungen in der Tabelle

Für Nebenhöhlen:
Für Kosinus:
Für Tangens und Kotangens:
Formeln zum Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen:

Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen

Die Lösung einer trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Schritten:

• Verwenden, um es in das einfachste umzuwandeln;
• Lösen Sie die resultierende einfache Gleichung unter Verwendung der obigen Formeln für die Wurzeln und Tabellen.

Betrachten wir die wichtigsten Lösungsmethoden anhand von Beispielen.

algebraische Methode.

Bei dieser Methode erfolgt die Ersetzung einer Variablen und ihre Substitution in Gleichheit.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

Ersetzen: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, dann `2y^2-3y+1=0`,

wir finden die Wurzeln: `y_1=1, y_2=1/2`, woraus zwei Fälle folgen:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Antwort: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisierung.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `sin x+cos x=1`.

Entscheidung. Alle Gleichheitsterme nach links verschieben: `sin x+cos x-1=0`. Mit transformieren und faktorisieren wir die linke Seite:

`sünde x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Antwort: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduktion auf eine homogene Gleichung

Zuerst müssen Sie diese trigonometrische Gleichung in eine von zwei Formen bringen:

`a sin x+b cos x=0` (homogene Gleichung ersten Grades) oder `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogene Gleichung zweiten Grades).

Teilen Sie dann beide Teile durch `cos x \ne 0` für den ersten Fall und durch `cos^2 x \ne 0` für den zweiten. Wir erhalten Gleichungen für `tg x`: `a tg x+b=0` und `a tg^2 x + b tg x +c =0`, die mit bekannten Methoden gelöst werden müssen.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Entscheidung. Schreiben wir die rechte Seite als `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Dies ist eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades, deren linker und rechter Teil durch `cos^2 x \ne 0` geteilt wird, erhalten wir:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Führen wir die Ersetzung `tg x=t` ein, als Ergebnis `t^2 + t - 2=0`. Die Wurzeln dieser Gleichung sind `t_1=-2` und `t_2=1`. Dann:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Antworten. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Gehe zur halben Ecke

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Entscheidung. Bei Anwendung der Doppelwinkelformeln lautet das Ergebnis: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Mit der oben beschriebenen algebraischen Methode erhalten wir:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Antworten. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Einführung eines Hilfswinkels

In der trigonometrischen Gleichung `a sin x + b cos x =c`, wo a,b,c Koeffizienten und x eine Variable sind, dividieren wir beide Teile durch `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Die Koeffizienten auf der linken Seite haben die Eigenschaften von Sinus und Cosinus, nämlich die Summe ihrer Quadrate ist 1 und ihr Betrag ist höchstens 1. Bezeichnen wir sie wie folgt: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , dann:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an:

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `3 sin x+4 cos x=2`.

Entscheidung. Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch `sqrt (3^2+4^2)`, erhalten wir:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))‘

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Bezeichne `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Da `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` ist, nehmen wir als Hilfswinkel `\varphi=arcsin 4/5`. Dann schreiben wir unsere Gleichheit in der Form:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Mit der Winkelsummenformel für den Sinus schreiben wir unsere Gleichheit in folgender Form:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Antworten. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Bruchrationale trigonometrische Gleichungen

Dies sind Gleichheiten mit Brüchen, in deren Zählern und Nennern sich trigonometrische Funktionen befinden.

Beispiel. Löse die Gleichung. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Entscheidung. Multipliziere und dividiere die rechte Seite der Gleichung mit `(1+cos x)`. Als Ergebnis erhalten wir:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Da der Nenner nicht Null sein kann, erhalten wir `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Den Zähler des Bruchs mit Null gleichsetzen: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Dann `sin x=0` oder `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Da ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ist, sind die Lösungen `x=2\pi n, n \in Z` und `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Antworten. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrie und insbesondere trigonometrische Gleichungen werden in fast allen Bereichen der Geometrie, Physik und Ingenieurwissenschaften verwendet. Das Studium beginnt in der 10. Klasse, es gibt immer Aufgaben für die Prüfung. Versuchen Sie also, sich alle Formeln trigonometrischer Gleichungen zu merken - sie werden Ihnen auf jeden Fall nützlich sein!

Sie müssen sie jedoch nicht einmal auswendig lernen, die Hauptsache ist, die Essenz zu verstehen und daraus schließen zu können. Es ist nicht so schwierig, wie es scheint. Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie sich das Video ansehen.