Fourier-Reihenentwicklung gemäß den Diagrammbeispielen. Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen

Wie füge ich mathematische Formeln auf der Website ein?

Wenn Sie einmal eine oder zwei mathematische Formeln zu einer Webseite hinzufügen müssen, dann geht das am einfachsten wie im Artikel beschrieben: Mathematische Formeln werden einfach in Form von Bildern in die Seite eingefügt, die Wolfram Alpha automatisch generiert. Neben der Einfachheit trägt diese universelle Methode dazu bei, die Sichtbarkeit der Website in Suchmaschinen zu verbessern. Es funktioniert schon lange (und ich denke, es wird ewig funktionieren), aber es ist moralisch überholt.

Wenn Sie auf Ihrer Website ständig mathematische Formeln verwenden, empfehle ich Ihnen, MathJax zu verwenden, eine spezielle JavaScript-Bibliothek, die mathematische Notationen in Webbrowsern mit MathML-, LaTeX- oder ASCIIMathML-Markup anzeigt.

Es gibt zwei Möglichkeiten, mit der Verwendung von MathJax zu beginnen: (1) Mit einem einfachen Code können Sie schnell ein MathJax-Skript mit Ihrer Site verbinden, das automatisch zum richtigen Zeitpunkt von einem Remote-Server geladen wird (Liste der Server); (2) Laden Sie das MathJax-Skript von einem Remote-Server auf Ihren Server hoch und verbinden Sie es mit allen Seiten Ihrer Website. Die zweite Methode ist komplizierter und zeitaufwändiger und ermöglicht es Ihnen, das Laden der Seiten Ihrer Website zu beschleunigen, und wenn der übergeordnete MathJax-Server aus irgendeinem Grund vorübergehend nicht verfügbar ist, hat dies keine Auswirkungen auf Ihre eigene Website. Trotz dieser Vorteile habe ich mich für die erste Methode entschieden, da sie einfacher und schneller ist und keine technischen Fähigkeiten erfordert. Folgen Sie meinem Beispiel und innerhalb von 5 Minuten können Sie alle Funktionen von MathJax auf Ihrer Website nutzen.

Sie können das MathJax-Bibliotheksskript von einem Remote-Server mit zwei Codeoptionen verbinden, die von der Haupt-MathJax-Website oder von der Dokumentationsseite stammen:

Eine dieser Codeoptionen muss kopiert und in den Code Ihrer Webseite eingefügt werden, vorzugsweise zwischen den Tags und oder direkt nach dem Tag . Gemäß der ersten Option lädt MathJax schneller und verlangsamt die Seite weniger. Die zweite Option verfolgt und lädt jedoch automatisch die neuesten Versionen von MathJax. Wenn Sie den ersten Code einfügen, muss dieser regelmäßig aktualisiert werden. Wenn Sie den zweiten Code einfügen, werden die Seiten langsamer geladen, aber Sie müssen MathJax-Updates nicht ständig überwachen.

Der einfachste Weg, MathJax zu verbinden, ist in Blogger oder WordPress: Fügen Sie im Site Control Panel ein Widget hinzu, das zum Einfügen von JavaScript-Code von Drittanbietern entwickelt wurde, kopieren Sie die erste oder zweite Version des oben dargestellten Ladecodes hinein und platzieren Sie das Widget näher an den Anfang des Templates (das ist übrigens überhaupt nicht nötig, da das MathJax-Skript asynchron geladen wird). Das ist alles. Lernen Sie jetzt die MathML-, LaTeX- und ASCIIMathML-Markup-Syntax und Sie können mathematische Formeln in Ihre Webseiten einbetten.

Jedes Fraktal wird nach einer bestimmten Regel aufgebaut, die konsequent und unbegrenzt oft angewendet wird. Jede solche Zeit wird als Iteration bezeichnet.

Der iterative Algorithmus zur Konstruktion eines Menger-Schwamms ist recht einfach: Der ursprüngliche Würfel mit der Seite 1 wird durch Ebenen parallel zu seinen Flächen in 27 gleiche Würfel geteilt. Ein zentraler Würfel und 6 benachbarte Würfel entlang der Flächen werden davon entfernt. Es stellt sich ein Satz heraus, der aus 20 verbleibenden kleineren Würfeln besteht. Machen wir dasselbe mit jedem dieser Würfel, erhalten wir ein Set bestehend aus 400 kleineren Würfeln. Wenn wir diesen Prozess unbegrenzt fortsetzen, erhalten wir den Menger-Schwamm.

In der Theorie der Funktionsreihen nimmt der Abschnitt über die Entwicklung einer Funktion zu einer Reihe einen zentralen Platz ein.

Somit stellt sich das Problem: für eine gegebene Funktion es ist erforderlich, eine solche Potenzreihe zu finden

die in einem bestimmten Intervall konvergierte und ihre Summe gleich war
, diese.

= ..

Diese Aufgabe wird aufgerufen das Problem, eine Funktion in eine Potenzreihe zu erweitern.

Eine notwendige Bedingung für die Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe ist seine Differenzierbarkeit unendlich oft - dies folgt aus den Eigenschaften konvergenter Potenzreihen. Diese Bedingung ist in der Regel für elementare Funktionen in ihrem Definitionsbereich erfüllt.

Nehmen wir also an, dass die Funktion
hat Ableitungen beliebiger Ordnung. Kann sie zu einer Potenzreihe erweitert werden, wenn ja, wie findet man diese Reihe? Der zweite Teil des Problems ist einfacher zu lösen, also fangen wir damit an.

Nehmen wir an, die Funktion
kann als Summe einer Potenzreihe dargestellt werden, die in einem Intervall konvergiert, das einen Punkt enthält X 0 :

= .. (*)

wo a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a P ,... – unsichere (noch) Koeffizienten.

Lassen Sie uns den Wert in Gleichheit (*) setzen x = x 0 , dann bekommen wir

Wir differenzieren die Potenzreihen (*) Glied für Glied

= ..

und hier setzen x = x 0 , wir bekommen

Mit der nächsten Differentiation erhalten wir die Reihe

= ..

vorausgesetzt x = x 0 , wir bekommen
, wo
.

Nach P-fache Differenzierung erhalten wir

Angenommen in der letzten Gleichheit x = x 0 , wir bekommen
, wo

Also sind die Koeffizienten gefunden

,
,
, …,
,….,

Wenn wir which in eine Zeile (*) einsetzen, erhalten wir

Die resultierende Reihe wird aufgerufen in der nähe von taylor für Funktion
.

Damit haben wir das festgestellt wenn sich die Funktion zu einer Potenzreihe in Potenzen (x - x 0 ), dann ist diese Entwicklung eindeutig und die resultierende Reihe ist notwendigerweise eine Taylor-Reihe.

Beachten Sie, dass die Taylor-Reihe für jede Funktion erhalten werden kann, die an diesem Punkt Ableitungen beliebiger Ordnung hat x = x 0 . Dies bedeutet aber noch nicht, dass zwischen der Funktion und der resultierenden Reihe ein Gleichheitszeichen gesetzt werden kann, d.h. dass die Summe der Reihe gleich der ursprünglichen Funktion ist. Erstens kann eine solche Gleichheit nur im Bereich der Konvergenz sinnvoll sein, und die für die Funktion erhaltene Taylor-Reihe kann divergieren, und zweitens, wenn die Taylor-Reihe konvergiert, dann stimmt ihre Summe möglicherweise nicht mit der ursprünglichen Funktion überein.

3.2. Hinreichende Bedingungen für die Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe

Lassen Sie uns eine Aussage formulieren, mit deren Hilfe das gestellte Problem gelöst wird.

Wenn die Funktion
in irgendeiner Umgebung des Punktes x 0 hat Ableitungen bis (n+ 1)-te Bestellung inklusive, dann haben wir in dieser NachbarschaftFormel Taylor

woR n (X)-Restterm der Taylor-Formel - hat die Form (Lagrange-Form)

wo Punktξ liegt zwischen x und x 0 .

Beachten Sie, dass es einen Unterschied zwischen der Taylor-Reihe und der Taylor-Formel gibt: Die Taylor-Formel ist eine endliche Summe, d.h. P - Feste Nummer.

Daran erinnern, dass die Summe der Reihe S(x) kann als Grenze der funktionalen Folge von Partialsummen definiert werden S P (x) in irgendeinem Abstand X:

Eine Funktion zu einer Taylor-Reihe zu entwickeln heißt demnach, eine Reihe so zu finden, dass für beliebige XX

Wir schreiben die Taylor-Formel in der Form wo

beachte das
definiert den Fehler, den wir erhalten, ersetzen Sie die Funktion f(x) Polynom S n (x).

Wenn ein
, dann
,diese. die Funktion erweitert sich zu einer Taylor-Reihe. Umgekehrt, wenn
, dann
.

Damit haben wir bewiesen Kriterium für die Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe.

Damit in irgendeinem Intervall die Funktionf(x) in einer Taylor-Reihe entwickelt, ist es notwendig und ausreichend, dass auf diesem Intervall
, woR n (x) ist der Rest der Taylor-Reihe.

Mit Hilfe des formulierten Kriteriums kann man erhalten reicht ausBedingungen für die Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe.

Wenn drineine Umgebung des Punktes x 0 die Beträge aller Ableitungen einer Funktion sind durch die gleiche Zahl M begrenzt≥ 0, d.h.

, to In dieser Nachbarschaft expandiert die Funktion zu einer Taylor-Reihe.

Aus obigem folgt AlgorithmusFunktionserweiterung f(x) in einer Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes X 0 :

1. Ableitungsfunktionen finden f(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Wir berechnen den Wert der Funktion und die Werte ihrer Ableitungen an dem Punkt X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f“(x 0 ), f’“(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Wir schreiben formal die Taylor-Reihe und finden den Konvergenzbereich der resultierenden Potenzreihe.

4. Wir prüfen die Erfüllung ausreichender Bedingungen, d.h. festlegen, wofür X aus dem Konvergenzgebiet, Restlaufzeit R n (x) tendiert gegen Null bei
oder
.

Die Entwicklung von Funktionen in einer Taylor-Reihe nach diesem Algorithmus wird aufgerufen Erweiterung einer Funktion in einer Taylor-Reihe per Definition oder direkte Zerlegung.

Wie füge ich mathematische Formeln auf der Website ein?

Sie können das MathJax-Bibliotheksskript von einem Remote-Server mit zwei Codeoptionen verbinden, die von der Haupt-MathJax-Website oder von der Dokumentationsseite stammen:

Jedes Fraktal wird nach einer bestimmten Regel aufgebaut, die konsequent und unbegrenzt oft angewendet wird. Jede solche Zeit wird als Iteration bezeichnet.

Wenn die Funktion f(x) hat ein Intervall, das einen Punkt enthält a, Ableitungen aller Ordnungen, dann lässt sich darauf die Taylor-Formel anwenden:

wo rn- der sogenannte Residualterm oder der Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden:

, wobei die Zahl x dazwischen eingeschlossen ist X und a.

Wenn für einen gewissen Wert xr n®0 bei n®¥, dann geht die Taylor-Formel für diesen Wert im Grenzfall in eine konvergente Formel über Taylor-Reihe:

Also die Funktion f(x) kann an der betrachteten Stelle zu einer Taylorreihe entwickelt werden X, wenn:

1) es hat Ableitungen aller Aufträge;

2) die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.

Bei a=0 erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:

Beispiel 1 f(x)= 2x.

Lösung. Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x In2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x In 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 Protokoll 2 2 = Protokoll 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die Formel der Taylor-Reihe einsetzen, erhalten wir:

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, also gilt diese Erweiterung für -¥<x<+¥.

Beispiel 2 X+4) für die Funktion f(x)= e x.

Lösung. Bestimmung der Ableitungen der Funktion e x und ihre Werte an der Stelle X=-4.

f(x)= z x, f(-4) = z -4 ;

f¢(x)= z x, f¢(-4) = z -4 ;

f¢¢(x)= z x, f¢¢(-4) = z -4 ;

f(n)(x)= z x, f(n)( -4) = z -4 .

Daher hat die gesuchte Taylorreihe der Funktion die Form:

Diese Zerlegung gilt auch für -¥<x<+¥.

Beispiel 3 . Funktion erweitern f(x)=ln x in einer Reihe nach Grad ( X- 1),

(also in einer Taylorreihe in der Nähe des Punktes X=1).

Lösung. Wir finden die Ableitungen dieser Funktion.

Setzen wir diese Werte in die Formel ein, erhalten wir die gewünschte Taylor-Reihe:

Mit Hilfe des d'Alembert-Tests kann man überprüfen, ob die Reihe wann konvergiert

½ X- 1½<1. Действительно,

Die Reihe konvergiert, falls ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 erhalten wir eine alternierende Reihe, die die Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt. Bei X=0 Funktion ist nicht definiert. Somit ist der Konvergenzbereich der Taylor-Reihe das halboffene Intervall (0;2).

Stellen wir uns die so erhaltenen Entwicklungen in der Maclaurin-Reihe vor (also in einer Umgebung des Punktes X=0) für einige elementare Funktionen:

(2) ,

(3) ,

( die letzte Erweiterung wird aufgerufen Binomialreihe)

Beispiel 4 . Erweitern Sie die Funktion zu einer Potenzreihe

Lösung. In Zerlegung (1) ersetzen wir X auf der - X 2 erhalten wir:

Beispiel 5 . Erweitern Sie die Funktion in einer Maclaurin-Reihe

Lösung. Wir haben

Mit Formel (4) können wir schreiben:

ersetzen statt X in die Formel -X, wir bekommen:

Von hier aus finden wir:

Wenn wir die Klammern erweitern, die Terme der Reihe neu anordnen und ähnliche Terme kürzen, erhalten wir

Diese Reihe konvergiert im Intervall

(-1;1), da sie aus zwei Reihen abgeleitet ist, die jeweils in diesem Intervall konvergieren.

Kommentar .

Die Formeln (1)-(5) können auch verwendet werden, um die entsprechenden Funktionen in einer Taylor-Reihe zu entwickeln, d.h. zur Entwicklung von Funktionen in positive ganzzahlige Potenzen ( Ha). Dazu müssen solche identischen Transformationen an einer gegebenen Funktion durchgeführt werden, um eine der Funktionen (1) - (5) zu erhalten, in denen anstelle von X kostet k( Ha) m , wobei k eine konstante Zahl ist, m eine positive ganze Zahl ist. Es ist oft bequem, die Variable zu ändern t=Ha und erweitern Sie die resultierende Funktion in Bezug auf t in der Maclaurin-Reihe.

Diese Methode veranschaulicht den Satz über die Eindeutigkeit der Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe. Der Kern dieses Satzes besteht darin, dass in der Nähe desselben Punktes keine zwei verschiedenen Potenzreihen erhalten werden können, die zu derselben Funktion konvergieren würden, egal wie ihre Entwicklung durchgeführt wird.

Beispiel 6 . Erweitern Sie die Funktion in einer Taylor-Reihe in der Umgebung eines Punktes X=3.

Lösung. Dieses Problem kann nach wie vor mit der Definition der Taylor-Reihe gelöst werden, für die es notwendig ist, die Ableitungen der Funktionen und ihre Werte bei zu finden X=3. Es ist jedoch einfacher, die vorhandene Zerlegung (5) zu verwenden:

Die resultierende Reihe konvergiert bei oder -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Beispiel 7 . Schreiben Sie eine Taylorreihe in Potenzen ( X-1) Funktionen .

Lösung.

Die Reihe konvergiert bei , oder 2< x£5.

Fourier-Reihe periodischer Funktionen mit Periode 2π.

Mit der Fourier-Reihe können Sie periodische Funktionen untersuchen, indem Sie sie in Komponenten zerlegen. Wechselströme und -spannungen, Verschiebungen, Geschwindigkeit und Beschleunigung von Kurbeltrieben und Schallwellen sind typische praktische Anwendungen periodischer Funktionen in technischen Berechnungen.

Die Fourier-Reihenentwicklung basiert auf der Annahme, dass alle Funktionen von praktischer Bedeutung im Intervall -π ≤ x ≤ π als konvergente trigonometrische Reihe ausgedrückt werden können (eine Reihe gilt als konvergent, wenn die Folge von Partialsummen aus ihren Termen konvergiert) :

Standard (=übliche) Notation durch die Summe von sinx und cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

wobei a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. reelle Konstanten sind, d.h.

Wobei für den Bereich von -π bis π die Koeffizienten der Fourier-Reihe nach den Formeln berechnet werden:

Die Koeffizienten a o , a n und b n werden aufgerufen Fourier-Koeffizienten, und wenn sie gefunden werden können, wird Reihe (1) aufgerufen in der Nähe von Fourier, entsprechend der Funktion f(x). Für die Reihe (1) wird der Term (a 1 cosx+b 1 sinx) das erste Oder genannt Hauptharmonika,

Eine andere Möglichkeit, eine Reihe zu schreiben, ist die Verwendung der Beziehung acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Wo a o eine Konstante ist, sind c 1 \u003d (a 1 2 + b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 + b n 2) 1/2 die Amplituden der verschiedenen Komponenten und gleich a n \ u003d arctg ein n /b n.

Für die Reihe (1) wird der Term (a 1 cosx + b 1 sinx) oder c 1 sin (x + α 1) das erste Oder genannt Hauptharmonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) oder c 2 sin(2x+α 2) heißt zweite Harmonische usw.

Um ein komplexes Signal genau darzustellen, ist normalerweise eine unendliche Anzahl von Termen erforderlich. Bei vielen praktischen Problemen reicht es jedoch aus, nur die ersten Terme zu betrachten.

Fourier-Reihe nichtperiodischer Funktionen mit Periode 2π.

Zerlegung nichtperiodischer Funktionen.

Wenn die Funktion f(x) nicht periodisch ist, dann kann sie nicht für alle Werte von x in eine Fourier-Reihe entwickelt werden. Es ist jedoch möglich, eine Fourier-Reihe zu definieren, die eine Funktion über einen beliebigen Bereich der Breite 2π darstellt.

Bei einer nichtperiodischen Funktion kann man eine neue Funktion zusammensetzen, indem man f(x)-Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs wählt und sie außerhalb dieses Bereichs in 2π-Intervallen wiederholt. Da die neue Funktion periodisch mit einer Periode von 2π ist, kann sie für alle Werte von x in eine Fourier-Reihe entwickelt werden. Beispielsweise ist die Funktion f(x)=x nicht periodisch. Wenn es jedoch notwendig ist, es zu einer Fourier-Reihe auf dem Intervall von 0 bis 2π zu entwickeln, dann wird eine periodische Funktion mit einer Periode von 2π außerhalb dieses Intervalls konstruiert (wie in der folgenden Abbildung gezeigt).

Für nichtperiodische Funktionen wie f(x)=x ist die Summe der Fourier-Reihe an allen Punkten im gegebenen Bereich gleich dem Wert von f(x), aber für Punkte ist sie nicht gleich f(x). außerhalb der Reichweite. Um die Fourier-Reihe einer nichtperiodischen Funktion im Bereich 2π zu finden, wird die gleiche Formel der Fourier-Koeffizienten verwendet.

Gerade und ungerade Funktionen.

Sie sagen die Funktion y=f(x) eben wenn f(-x)=f(x) für alle Werte von x. Graphen gerader Funktionen sind immer symmetrisch zur y-Achse (also gespiegelt). Zwei Beispiele für gerade Funktionen: y=x 2 und y=cosx.

Sie sagen, dass die Funktion y=f(x) seltsam, wenn f(-x)=-f(x) für alle Werte von x. Graphen ungerader Funktionen sind immer symmetrisch zum Ursprung.

Viele Funktionen sind weder gerade noch ungerade.

Fourier-Reihenentwicklung in Cosinus.

Die Fourier-Reihe einer geradzahligen periodischen Funktion f(x) mit der Periode 2π enthält nur Cosinus-Terme (d. h. enthält keine Sinus-Terme) und kann einen konstanten Term enthalten. Folglich,

wo sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe,

Die Fourier-Reihe einer ungeradzahligen periodischen Funktion f(x) mit Periode 2π enthält nur Terme mit Sinus (d. h. enthält keine Terme mit Cosinus).

Folglich,

wo sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe,

Fourier-Reihe auf einem Halbzyklus.

Wenn eine Funktion für einen Bereich definiert ist, sagen wir 0 bis π, und nicht nur 0 bis 2π, kann sie nur in Bezug auf Sinus oder nur in Bezug auf Kosinus in eine Reihe expandiert werden. Die resultierende Fourier-Reihe wird aufgerufen in der Nähe von Fourier auf einem Halbzyklus.

Wenn Sie eine Zerlegung erhalten möchten Fourier auf einem Halbzyklus in Cosinus Funktionen f(x) im Bereich von 0 bis π, dann ist es notwendig, eine gerade periodische Funktion zu bilden. Auf Abb. unten ist die Funktion f(x)=x, die auf dem Intervall von x=0 bis x=π aufgebaut ist. Da die gerade Funktion symmetrisch zur f(x)-Achse ist, zeichnen wir die Linie AB, wie in Abb. unter. Wenn wir davon ausgehen, dass außerhalb des betrachteten Intervalls die resultierende Dreiecksform periodisch mit einer Periode von 2π ist, dann hat der endgültige Graph die Form display. in Abb. unter. Da es erforderlich ist, die Fourier-Entwicklung nach wie vor in Cosinus zu erhalten, berechnen wir die Fourier-Koeffizienten a o und a n

Wenn Sie bekommen müssen Sinus-Halbzyklus-Fourier-Entwicklung Funktion f(x) im Bereich von 0 bis π, dann ist es notwendig, eine ungerade periodische Funktion zu bilden. Auf Abb. unten ist die Funktion f(x)=x, die auf dem Intervall von x=0 bis x=π aufgebaut ist. Da die ungerade Funktion symmetrisch zum Ursprung ist, konstruieren wir die Gerade CD, wie in Abb. Wenn wir davon ausgehen, dass das empfangene Sägezahnsignal außerhalb des betrachteten Intervalls periodisch mit einer Periode von 2π ist, dann hat der endgültige Graph die in Abb. Da es erforderlich ist, die Fourier-Entwicklung auf einem Halbzyklus in Form von Sinus zu erhalten, berechnen wir wie zuvor den Fourier-Koeffizienten. b

Fourier-Reihe für ein beliebiges Intervall.

Erweiterung einer periodischen Funktion mit der Periode L.

Die periodische Funktion f(x) wiederholt sich, wenn x um L zunimmt, d.h. f(x+L)=f(x). Der Übergang von den bisher betrachteten Funktionen mit Periode 2π zu Funktionen mit Periode L ist recht einfach, da er über einen Variablenwechsel erfolgen kann.

Um die Fourier-Reihe der Funktion f(x) im Bereich –L/2≤x≤L/2 zu finden, führen wir eine neue Variable u ein, sodass die Funktion f(x) eine Periode von 2π bezüglich u hat. Wenn u=2πx/L, dann x=-L/2 für u=-π und x=L/2 für u=π. Sei auch f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Die Fourier-Reihe F(u) hat die Form

(Integrationsgrenzen können durch beliebige Intervalle der Länge L ersetzt werden, z. B. von 0 bis L)

Fourierreihen auf einer Halbperiode für Funktionen, die im Intervall L≠2π gegeben sind.

Für die Substitution u=πx/L entspricht das Intervall von x=0 bis x=L dem Intervall von u=0 bis u=π. Daher kann die Funktion nur nach Cosinus oder nur nach Sinus in eine Reihe entwickelt werden, d.h. in Fourier-Reihe auf einem Halbzyklus.

Die Kosinusentwicklung im Bereich von 0 bis L hat die Form

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3.2. Hinreichende Bedingungen für die Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe

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