Dieser Artikel behandelt Operationen mit Brüchen. Es werden Regeln zur Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Potenzierung von Brüchen der Form A B gebildet und begründet, wobei A und B Zahlen, numerische Ausdrücke oder Ausdrücke mit Variablen sein können. Abschließend werden Lösungsbeispiele mit detaillierter Beschreibung betrachtet.

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Regeln zum Ausführen von Operationen mit numerischen Brüchen allgemeiner Form

Numerische Brüche einer allgemeinen Form haben einen Zähler und einen Nenner, in denen natürliche Zahlen oder numerische Ausdrücke stehen. Wenn wir Brüche wie 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π betrachten, 2 0 , 5 ln 3 , dann ist klar, dass Zähler und Nenner nicht nur Zahlen, sondern auch Ausdrücke eines anderen Plans haben können.

Bestimmung 1

Es gibt Regeln, nach denen Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen ausgeführt werden. Es eignet sich auch für Brüche einer allgemeinen Form:

• Beim Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner werden nur die Zähler addiert, und der Nenner bleibt gleich, nämlich: a d ± c d \u003d a ± c d, die Werte a, c und d ≠ 0 sind einige Zahlen oder numerische Ausdrücke.
• Beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern ist es notwendig, auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren und dann die resultierenden Brüche mit denselben Indikatoren zu addieren oder zu subtrahieren. Wörtlich sieht es so aus a b ± c d = a p ± c r s , wobei die Werte a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 reelle Zahlen sind und b p = d r = s. Wenn p = d und r = b, dann a b ± c d = a d ± c d b d.
• Beim Multiplizieren von Brüchen wird eine Aktion mit Zählern ausgeführt, danach erhalten wir mit Nennern a b c d \u003d a c b d, wobei a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 als reelle Zahlen fungieren.
• Wenn wir einen Bruch durch einen Bruch dividieren, multiplizieren wir den ersten mit dem zweiten Kehrwert, dh wir vertauschen Zähler und Nenner: a b: c d \u003d a b d c.

Begründung für die Regeln

Bestimmung 2

Es gibt folgende mathematische Punkte, auf die Sie sich bei der Berechnung verlassen sollten:

• ein Bruchstrich bedeutet ein Divisionszeichen;
• Division durch eine Zahl wird als Multiplikation mit ihrem Kehrwert behandelt;
• Anwendung der Wirkungseigenschaft mit reellen Zahlen;
• Anwendung der Grundeigenschaft eines Bruchs und numerischer Ungleichungen.

Mit ihrer Hilfe können Sie Transformationen des Formulars vornehmen:

ein d ± c d = ein d – 1 ± c d – 1 = ein ± c d – 1 = ein ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c rs ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Beispiele

Im vorigen Absatz wurde über Aktionen mit Brüchen gesprochen. Danach muss der Bruch vereinfacht werden. Dieses Thema wurde ausführlich im Abschnitt über die Umwandlung von Brüchen behandelt.

Betrachten Sie zunächst das Beispiel der Addition und Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner.

Beispiel 1

Bei den Brüchen 8 2 , 7 und 1 2 , 7 ist es gemäß der Regel erforderlich, den Zähler zu addieren und den Nenner neu zu schreiben.

Entscheidung

Dann erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2 , 7 . Nach der Addition erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Also 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Antworten: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Es gibt einen anderen Lösungsweg. Zunächst wird in die Form eines gewöhnlichen Bruchs übergegangen, danach führen wir eine Vereinfachung durch. Es sieht aus wie das:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Beispiel 2

Subtrahieren wir von 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 Brüche der Form 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Da gleiche Nenner gegeben sind, bedeutet dies, dass wir einen Bruch mit demselben Nenner berechnen. Das verstehen wir

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Es gibt Beispiele für die Berechnung von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Ein wichtiger Punkt ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Ohne dies können wir keine weiteren Aktionen mit Brüchen durchführen.

Der Vorgang erinnert entfernt an eine Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Das heißt, es wird nach dem kleinsten gemeinsamen Teiler im Nenner gesucht, wonach die fehlenden Faktoren zu den Brüchen addiert werden.

Wenn die addierten Brüche keine gemeinsamen Faktoren haben, kann ihr Produkt eins werden.

Beispiel 3

Betrachten Sie das Beispiel der Addition der Brüche 2 3 5 + 1 und 1 2 .

Entscheidung

In diesem Fall ist der gemeinsame Nenner das Produkt der Nenner. Dann bekommen wir das 2 · 3 5 + 1 . Wenn wir dann zusätzliche Faktoren setzen, haben wir, dass der erste Bruch gleich 2 und der zweite 3 5 + 1 ist. Nach der Multiplikation werden die Brüche auf die Form 4 2 3 5 + 1 gekürzt. Die allgemeine Besetzung 1 2 ist 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Wir addieren die resultierenden Bruchausdrücke und erhalten das

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Antworten: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Wenn wir es mit Brüchen einer allgemeinen Form zu tun haben, dann ist der kleinste gemeinsame Nenner normalerweise nicht der Fall. Es ist unrentabel, das Produkt von Zählern als Nenner zu nehmen. Zuerst müssen Sie prüfen, ob es eine Zahl gibt, die weniger wert ist als ihr Produkt.

Beispiel 4

Betrachten Sie das Beispiel 1 6 2 1 5 und 1 4 2 3 5, wenn ihr Produkt gleich 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 ist. Dann nehmen wir 12 · 2 3 5 als gemeinsamen Nenner.

Betrachten Sie Beispiele für Multiplikationen von Brüchen einer allgemeinen Form.

Beispiel 5

Dazu müssen 2 + 1 6 und 2 · 5 3 · 2 + 1 multipliziert werden.

Entscheidung

Nach der Regel ist es notwendig, das Produkt von Zählern als Nenner umzuschreiben und zu schreiben. Wir bekommen das 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Wenn der Bruch multipliziert wird, können Kürzungen vorgenommen werden, um ihn zu vereinfachen. Dann 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Unter Verwendung der Übergangsregel von der Division zur Multiplikation mit einem Kehrwert erhalten wir den Kehrwert des gegebenen. Dazu werden Zähler und Nenner vertauscht. Schauen wir uns ein Beispiel an:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Danach müssen sie multiplizieren und den resultierenden Bruch vereinfachen. Beseitigen Sie ggf. die Irrationalität im Nenner. Das verstehen wir

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Antworten: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Dieser Absatz ist anwendbar, wenn eine Zahl oder ein numerischer Ausdruck als Bruch mit einem Nenner gleich 1 dargestellt werden kann, dann wird die Operation mit einem solchen Bruch als separater Absatz betrachtet. Beispielsweise zeigt der Ausdruck 1 6 7 4 - 1 3, dass die Wurzel von 3 durch einen anderen 3 1-Ausdruck ersetzt werden kann. Dann sieht dieser Datensatz wie eine Multiplikation zweier Brüche der Form 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 aus.

Ausführen einer Aktion mit Brüchen, die Variablen enthalten

Die im ersten Artikel besprochenen Regeln gelten für Operationen mit Brüchen, die Variablen enthalten. Betrachten Sie die Subtraktionsregel, wenn die Nenner gleich sind.

Es muss bewiesen werden, dass A , C und D (D ungleich Null) beliebige Ausdrücke sein können und dass die Gleichheit A D ± C D = A ± C D ihrem gültigen Wertebereich entspricht.

Es ist notwendig, einen Satz von ODZ-Variablen zu nehmen. Dann müssen A, C, D die entsprechenden Werte a 0 , c 0 und annehmen d0. Eine Substitution der Form A D ± C D ergibt eine Differenz der Form a 0 d 0 ± c 0 d 0 , wobei wir nach der Additionsregel eine Formel der Form a 0 ± c 0 d 0 erhalten. Wenn wir den Ausdruck A ± C D ersetzen, erhalten wir denselben Bruch der Form a 0 ± c 0 d 0 . Daraus schließen wir, dass der gewählte Wert, der die ODZ erfüllt, A ± C D und A D ± C D als gleich angesehen werden.

Für jeden Wert der Variablen sind diese Ausdrücke gleich, das heißt, sie werden identisch gleich genannt. Das bedeutet, dass dieser Ausdruck als beweisbare Gleichheit der Form A D ± C D = A ± C D angesehen wird.

Beispiele für Addition und Subtraktion von Brüchen mit Variablen

Bei gleichen Nennern müssen nur die Zähler addiert oder subtrahiert werden. Dieser Bruch kann vereinfacht werden. Manchmal muss man mit identisch gleichen Brüchen arbeiten, was aber auf den ersten Blick nicht auffällt, da einige Umformungen vorgenommen werden müssen. Zum Beispiel x 2 3 x 1 3 + 1 und x 1 3 + 1 2 oder 1 2 sin 2 α und sin a cos a. Meistens ist eine Vereinfachung des ursprünglichen Ausdrucks erforderlich, um dieselben Nenner zu sehen.

Beispiel 6

Berechnen Sie: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Entscheidung

1. Um eine Berechnung durchzuführen, müssen Sie Brüche subtrahieren, die denselben Nenner haben. Dann erhalten wir x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Danach können Sie die Klammern mit der Reduzierung ähnlicher Begriffe öffnen. Wir erhalten, dass x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Da die Nenner gleich sind, müssen nur noch die Zähler addiert werden, wobei der Nenner übrig bleibt: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Die Ergänzung ist abgeschlossen. Es ist ersichtlich, dass der Anteil reduziert werden kann. Sein Zähler kann mit der Quadratsummenformel gefaltet werden, dann erhalten wir (l g x + 2) 2 aus den abgekürzten Multiplikationsformeln. Dann bekommen wir das
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Gegebene Brüche der Form x - 1 x - 1 + x x + 1 mit unterschiedlichen Nennern. Nach der Transformation können Sie mit der Addition fortfahren.

Betrachten wir eine Zwei-Wege-Lösung.

Die erste Methode besteht darin, dass der Nenner des ersten Bruchs einer Faktorisierung mit Quadraten und anschließender Reduktion unterzogen wird. Wir erhalten einen Bruchteil der Form

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Also x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

In diesem Fall ist es notwendig, die Irrationalität im Nenner loszuwerden.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Die zweite Möglichkeit besteht darin, Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit x-1 zu multiplizieren. So werden wir die Irrationalität los und fahren fort, einen Bruch mit demselben Nenner zu addieren. Dann

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Antworten: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Im letzten Beispiel haben wir festgestellt, dass eine Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner unvermeidlich ist. Dazu müssen Sie die Brüche vereinfachen. Um zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie immer nach einem gemeinsamen Nenner suchen, der wie das Produkt der Nenner mit der Addition zusätzlicher Faktoren zu den Zählern aussieht.

Beispiel 7

Berechnen Sie die Werte der Brüche: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Entscheidung

1. Der Nenner erfordert keine komplizierten Berechnungen, daher müssen Sie sein Produkt in der Form 3 x 7 + 2 2 wählen, dann wird zum ersten Bruch x 7 + 2 2 als zusätzlicher Faktor und 3 zum zweiten gewählt. Beim Multiplizieren erhalten wir einen Bruch der Form x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Es ist ersichtlich, dass die Nenner als Produkt dargestellt werden, was bedeutet, dass zusätzliche Transformationen unnötig sind. Der gemeinsame Nenner ist das Produkt der Form x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Ab hier x 4 ein zusätzlicher Faktor zum ersten Bruch ist und ln (x + 1) zum zweiten. Dann subtrahieren wir und erhalten:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - Sünde x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - Sünde x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Dieses Beispiel ist sinnvoll, wenn man mit Nennern von Brüchen arbeitet. Es ist notwendig, die Formeln der Quadratdifferenz und des Summenquadrats anzuwenden, da sie es ermöglichen, zu einem Ausdruck der Form 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Es ist ersichtlich, dass die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Wir erhalten cos x - x cos x + x 2 .

Dann bekommen wir das

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Antworten:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Beispiele für die Multiplikation von Brüchen mit Variablen

Bei der Multiplikation von Brüchen wird der Zähler mit dem Zähler und der Nenner mit dem Nenner multipliziert. Dann können Sie die Reduktionseigenschaft anwenden.

Beispiel 8

Multipliziere Brüche x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 und 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Entscheidung

Du musst die Multiplikation machen. Das verstehen wir

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 In x + 1 Sünde (2 x - x)

Die Zahl 3 wird zur Vereinfachung der Berechnungen an die erste Stelle übertragen, und Sie können den Bruch um x 2 reduzieren, dann erhalten wir einen Ausdruck des Formulars

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 Sünde (2 x - x)

Antworten: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 Sünde (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 Sünde (2x-x) .

Aufteilung

Die Division von Brüchen ähnelt der Multiplikation, da der erste Bruch mit dem zweiten Kehrwert multipliziert wird. Nehmen wir zum Beispiel den Bruch x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 und dividieren ihn durch 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, dann lässt sich das schreiben als

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , dann durch ein Produkt der Form x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + ersetzen 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 Sünde (2 x - x)

Potenzierung

Betrachten wir nun die Aktion mit Brüchen einer allgemeinen Form mit Potenzierung. Wenn es einen Grad mit einem natürlichen Exponenten gibt, wird die Aktion als Multiplikation identischer Brüche betrachtet. Es wird jedoch empfohlen, einen allgemeinen Ansatz zu verwenden, der auf den Eigenschaften von Potenzen basiert. Alle Ausdrücke A und C, wobei C nicht identisch gleich Null ist, und jedes reelle r auf der ODZ für einen Ausdruck der Form A C r, die Gleichheit A C r = A r C r ist wahr. Das Ergebnis ist ein potenzierter Bruch. Betrachten Sie zum Beispiel:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Die Reihenfolge der Operationen mit Brüchen

Aktionen auf Fraktionen werden nach bestimmten Regeln durchgeführt. In der Praxis stellen wir fest, dass ein Ausdruck mehrere Brüche oder Bruchausdrücke enthalten kann. Dann müssen alle Aktionen in einer strengen Reihenfolge ausgeführt werden: potenzieren, multiplizieren, dividieren, dann addieren und subtrahieren. Wenn Klammern vorhanden sind, wird die erste Aktion in ihnen ausgeführt.

Beispiel 9

Berechnen Sie 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x .

Entscheidung

Da wir den gleichen Nenner haben, also 1 - x cos x und 1 cos x , aber es ist unmöglich, gemäß der Regel zu subtrahieren, werden zuerst die Aktionen in Klammern ausgeführt, danach die Multiplikation und dann die Addition. Wenn wir dann rechnen, bekommen wir das

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Wenn wir den Ausdruck durch den ursprünglichen ersetzen, erhalten wir 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Beim Multiplizieren von Brüchen haben wir: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Nachdem wir alle Substitutionen vorgenommen haben, erhalten wir 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Jetzt müssen Sie mit Brüchen arbeiten, die unterschiedliche Nenner haben. Wir bekommen:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Antworten: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

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Fraktion- eine Darstellungsform einer Zahl in der Mathematik. Der Schrägstrich zeigt die Divisionsoperation an. Zähler Brüche heißt Dividende, und Nenner- Teiler. Beispiel: Bei einem Bruch ist der Zähler 5 und der Nenner 7.

Korrekt Ein Bruch wird aufgerufen, wenn der Betrag des Zählers größer ist als der Betrag des Nenners. Wenn der Bruch richtig ist, dann ist der Modul seines Werts immer kleiner als 1. Alle anderen Brüche sind es falsch.

Bruch wird aufgerufen gemischt, wenn es als ganze Zahl und als Bruch geschrieben wird. Dies ist dasselbe wie die Summe dieser Zahl und eines Bruchs:

Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht, d. h. zum Beispiel

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Um zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, braucht man:

1. Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten
2. Multipliziere den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten
3. Ersetze die Nenner beider Brüche durch ihr Produkt

Aktionen mit Brüchen

Zusatz. Um zwei Brüche zu addieren, benötigen Sie

1. Addiere neue Zähler beider Brüche und lasse den Nenner unverändert

Beispiel:

Subtraktion. Um einen Bruch von einem anderen zu subtrahieren,

1. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
2. Subtrahiere den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und lasse den Nenner unverändert

Beispiel:

Multiplikation. Um einen Bruch mit einem anderen zu multiplizieren, multiplizieren Sie ihre Zähler und Nenner:

Aufteilung. Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und multiplizieren Sie den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten:

Nachdem wir nun gelernt haben, wie man einzelne Brüche addiert und multipliziert, können wir komplexere Strukturen betrachten. Was ist zum Beispiel, wenn Addition, Subtraktion und Multiplikation von Brüchen in einer Aufgabe vorkommen?

Zuerst müssen Sie alle Brüche in unechte umwandeln. Dann führen wir nacheinander die erforderlichen Aktionen aus - in der gleichen Reihenfolge wie bei gewöhnlichen Zahlen. Nämlich:

1. Zuerst wird die Potenzierung durchgeführt - alle Ausdrücke entfernen, die Exponenten enthalten;
2. Dann - Division und Multiplikation;
3. Der letzte Schritt ist Addition und Subtraktion.

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, ändert sich natürlich die Reihenfolge der Aktionen - alles, was innerhalb der Klammern steht, muss zuerst berücksichtigt werden. Und denken Sie an unechte Brüche: Sie müssen den ganzen Teil erst auswählen, wenn alle anderen Aktionen bereits abgeschlossen sind.

Lassen Sie uns alle Brüche aus dem ersten Ausdruck in unechte übersetzen und dann die folgenden Aktionen ausführen:

Lassen Sie uns nun den Wert des zweiten Ausdrucks finden. Es gibt keine Brüche mit einem ganzzahligen Teil, aber es gibt Klammern, also führen wir zuerst eine Addition und erst dann eine Division durch. Beachten Sie, dass 14 = 7 2 . Dann:

Betrachten Sie abschließend das dritte Beispiel. Hier gibt es Klammern und einen Abschluss - es ist besser, sie separat zu zählen. Da 9 = 3 3 ist, haben wir:

Achten Sie auf das letzte Beispiel. Um einen Bruch zu potenzieren, musst du den Zähler separat potenzieren und den Nenner separat.

Sie können sich anders entscheiden. Erinnern wir uns an die Definition des Grades, reduziert sich das Problem auf die übliche Multiplikation von Brüchen:

Mehrstöckige Fraktionen

Bisher haben wir nur "reine" Brüche betrachtet, bei denen Zähler und Nenner gewöhnliche Zahlen sind. Dies steht im Einklang mit der Definition eines numerischen Bruchs, die in der allerersten Lektion gegeben wurde.

Was aber, wenn ein komplexeres Objekt im Zähler oder Nenner platziert wird? Zum Beispiel ein anderer numerischer Bruch? Solche Konstruktionen kommen recht häufig vor, besonders wenn mit langen Ausdrücken gearbeitet wird. Hier sind ein paar Beispiele:

Es gibt nur eine Regel für die Arbeit mit mehrstöckigen Fraktionen: Sie müssen sie sofort loswerden. Das Entfernen von "zusätzlichen" Stockwerken ist ganz einfach, wenn Sie sich daran erinnern, dass der Bruchstrich die Standardteilungsoperation bedeutet. Daher kann jeder Bruch wie folgt umgeschrieben werden:

Mit dieser Tatsache und nach dem Verfahren können wir jeden mehrstöckigen Teil leicht auf einen normalen reduzieren. Schauen Sie sich die Beispiele an:

Aufgabe. Konvertieren Sie mehrstöckige Brüche in gemeinsame Brüche:

In jedem Fall schreiben wir den Hauptbruch um und ersetzen die Trennlinie durch ein Divisionszeichen. Denken Sie auch daran, dass jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden kann. Das heißt, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Wir bekommen:

Im letzten Beispiel wurden die Brüche vor der endgültigen Multiplikation gekürzt.

Die Besonderheiten der Arbeit mit mehrstöckigen Fraktionen

Es gibt eine Feinheit bei mehrstöckigen Brüchen, die man sich immer merken muss, sonst kann man die falsche Antwort bekommen, selbst wenn alle Berechnungen richtig waren. Schau mal:

1. Im Zähler gibt es eine separate Zahl 7 und im Nenner - den Bruch 12/5;
2. Der Zähler ist der Bruch 7/12 und der Nenner die einzelne Zahl 5.

Für eine Platte haben wir also zwei völlig unterschiedliche Interpretationen bekommen. Wenn Sie zählen, werden die Antworten auch anders sein:

Damit die Eingabe immer eindeutig gelesen wird, gilt eine einfache Regel: Der Trennstrich des Hauptbruchs muss länger sein als der Verschachtelungsstrich. Am besten mehrmals.

Wenn Sie diese Regel befolgen, sollten die obigen Brüche wie folgt geschrieben werden:

Ja, es ist wahrscheinlich hässlich und nimmt zu viel Platz ein. Aber Sie werden richtig zählen. Zum Schluss noch ein paar Beispiele, wo mehrstufige Brüche wirklich vorkommen:

Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Arbeiten wir also mit dem ersten Beispiel. Lassen Sie uns alle Brüche in unechte Brüche umwandeln und dann die Additions- und Divisionsoperationen ausführen:

Machen wir dasselbe mit dem zweiten Beispiel. Wandeln Sie alle Brüche in unechte um und führen Sie die erforderlichen Operationen durch. Um den Leser nicht zu langweilen, werde ich einige offensichtliche Berechnungen weglassen. Wir haben:

Da Zähler und Nenner der Hauptbrüche Summen enthalten, wird die Schreibregel für mehrstöckige Brüche automatisch eingehalten. Auch im letzten Beispiel haben wir die Zahl 46/1 bewusst in Form eines Bruchs belassen, um die Division durchzuführen.

Ich stelle auch fest, dass in beiden Beispielen der Bruchstrich tatsächlich die Klammern ersetzt: Zuerst haben wir die Summe gefunden und erst dann - den Quotienten.

Jemand wird sagen, dass der Übergang zu unechten Brüchen im zweiten Beispiel eindeutig überflüssig war. Vielleicht ist es so. Aber so sichern wir uns gegen Fehler ab, denn beim nächsten Mal kann das Beispiel viel komplizierter ausfallen. Entscheiden Sie selbst, was wichtiger ist: Schnelligkeit oder Zuverlässigkeit.

Dieser Abschnitt befasst sich mit Operationen mit gewöhnlichen Brüchen. Wenn eine mathematische Operation mit gemischten Zahlen durchgeführt werden muss, reicht es aus, den gemischten Bruch in einen außerordentlichen umzuwandeln, die erforderlichen Operationen durchzuführen und das Endergebnis gegebenenfalls erneut als gemischte Zahl darzustellen. Dieser Vorgang wird nachstehend beschrieben.

Fraktionsreduktion

mathematische Operation. Fraktionsreduktion

Um den Bruch \frac(m)(n) zu kürzen, musst du den größten gemeinsamen Teiler seines Zählers und Nenners finden: ggT(m,n), dann dividiere Zähler und Nenner des Bruchs durch diese Zahl. Ist ggT(m,n)=1, dann kann der Bruch nicht gekürzt werden. Beispiel: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Normalerweise ist es eine schwierige Aufgabe, sofort den größten gemeinsamen Teiler zu finden, und in der Praxis wird der Bruch in mehreren Stufen gekürzt, wobei Schritt für Schritt offensichtliche gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner hervorgehoben werden. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

mathematische Operation. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Um zwei Brüche \frac(a)(b) und \frac(c)(d) auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, braucht man:

• finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner: M=LCM(b,d);
• multiplizieren Sie den Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit M / b (danach wird der Nenner des Bruchs gleich der Zahl M);
• multipliziere Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit M/d (wonach der Nenner des Bruchs gleich der Zahl M wird).

Daher wandeln wir die ursprünglichen Brüche in Brüche mit denselben Nennern um (die gleich der Zahl M sein werden).

Zum Beispiel haben die Brüche \frac(5)(6) und \frac(4)(9) LCM(6,9) = 18. Dann: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Somit haben die resultierenden Brüche einen gemeinsamen Nenner.

In der Praxis ist es nicht immer einfach, das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von Nennern zu finden. Daher wird als gemeinsamer Nenner eine Zahl gewählt, die gleich dem Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche ist. Beispielsweise werden die Brüche \frac(5)(6) und \frac(4)(9) auf einen gemeinsamen Nenner N=6\cdot9 gebracht:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Bruchvergleich

mathematische Operation. Bruchvergleich

So vergleichen Sie zwei gemeinsame Brüche:

• vergleiche die Zähler der resultierenden Brüche; ein Bruch mit einem größeren Zähler wird größer sein.

Zum Beispiel \frac(9)(14)

Beim Vergleich von Brüchen gibt es mehrere Sonderfälle:

1. Aus zwei Fraktionen mit gleichen Nennern größer ist der Bruch, dessen Zähler größer ist. Zum Beispiel \frac(3)(15)
2. Aus zwei Fraktionen mit den gleichen Zählern größer ist der Bruch, dessen Nenner kleiner ist. Zum Beispiel \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Dieser Bruchteil, der gleichzeitig größerer Zähler und kleinerer Nenner, mehr. Zum Beispiel \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Beachtung! Regel 1 gilt für Brüche, deren gemeinsamer Nenner eine positive Zahl ist. Die Regeln 2 und 3 gelten für positive Brüche (bei denen sowohl Zähler als auch Nenner größer als Null sind).

Addition und Subtraktion von Brüchen

mathematische Operation. Addition und Subtraktion von Brüchen

Um zwei Brüche zu addieren, benötigen Sie:

• bringen sie auf einen gemeinsamen Nenner;
• ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen.

Beispiel: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Um einen weiteren Bruch von einem zu subtrahieren, benötigen Sie:

• Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen;
• subtrahiere den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und lasse den Nenner unverändert.

Beispiel: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Wenn die ursprünglichen Brüche zunächst einen gemeinsamen Nenner haben, wird Punkt 1 (Kürzen auf einen gemeinsamen Nenner) übersprungen.

Umwandlung einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch und umgekehrt

mathematische Operation. Umwandlung einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch und umgekehrt

Um einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umzuwandeln, reicht es aus, den ganzen Teil des gemischten Bruchs mit dem Bruchteil zu summieren. Das Ergebnis einer solchen Summe ist ein unechter Bruch, dessen Zähler gleich der Summe des Produkts des ganzzahligen Teils und des Nenners des Bruchs mit dem Zähler des gemischten Bruchs ist und der Nenner gleich bleibt. Zum Beispiel 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+). 6)(11)=\frac(28)(11)

Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln:

• dividiere den Zähler eines Bruchs durch seinen Nenner;
• schreibe den Rest der Division in den Zähler und lasse den Nenner gleich;
• Schreiben Sie das Ergebnis der Division als ganzzahligen Teil.

Zum Beispiel der Bruch \frac(23)(4) . Wenn 23:4=5,75 dividiert wird, das heißt, der ganzzahlige Teil ist 5, ist der Rest der Division 23-5*4=3. Dann wird die gemischte Zahl geschrieben: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Konvertieren einer Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch

mathematische Operation. Konvertieren einer Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch

Um eine Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch umzuwandeln:

1. nehmen Sie die n-te Zehnerpotenz als Nenner (hier ist n die Anzahl der Dezimalstellen);
2. als Zähler die Zahl nach dem Komma nehmen (wenn der ganzzahlige Teil der ursprünglichen Zahl ungleich Null ist, dann auch alle führenden Nullen);
3. der ganzzahlige Teil ungleich Null wird ganz am Anfang in den Zähler geschrieben; der ganzzahlige Teil mit Null wird weggelassen.

Beispiel 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 Nachkommastellen, also der Nenner 10 4 =10000, da der ganzzahlige Teil 0 ist, ist der Zähler die Zahl nach dem Komma ohne führende Nullen)

Beispiel 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (in den Zähler schreiben wir die Zahl hinter dem Komma mit lauter Nullen: „0109“, und dann fügen wir davor den ganzzahligen Teil der ursprünglichen Zahl „31“ hinzu)

Wenn der ganzzahlige Teil eines Dezimalbruchs von Null verschieden ist, kann er in einen gemischten Bruch umgewandelt werden. Dazu übersetzen wir die Zahl in einen gewöhnlichen Bruch, als ob der ganzzahlige Teil gleich Null wäre (Punkte 1 und 2), und schreiben einfach den ganzzahligen Teil vor dem Bruch neu - dies ist der ganzzahlige Teil der gemischten Zahl. Beispiel:

3.014=3\frac(14)(100)

Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, reicht es aus, einfach den Zähler durch den Nenner zu dividieren. Manchmal erhalten Sie eine unendliche Dezimalzahl. In diesem Fall muss auf die gewünschte Dezimalstelle gerundet werden. Beispiele:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667

Multiplikation und Division von Brüchen

mathematische Operation. Multiplikation und Division von Brüchen

Um zwei gemeinsame Brüche zu multiplizieren, musst du die Zähler und Nenner der Brüche multiplizieren.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Um einen gemeinsamen Bruch durch einen anderen zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren ( wechselseitig ist ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner vertauscht sind.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Wenn einer der Brüche eine natürliche Zahl ist, bleiben die obigen Multiplikations- und Divisionsregeln in Kraft. Denken Sie nur daran, dass eine ganze Zahl derselbe Bruch ist, dessen Nenner gleich eins ist. Zum Beispiel: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Aktionen mit Brüchen. In diesem Artikel werden wir Beispiele analysieren, alles ist mit Erklärungen detailliert. Wir betrachten gewöhnliche Brüche. In Zukunft werden wir Dezimalzahlen analysieren. Ich empfehle, das Ganze anzuschauen und der Reihe nach zu studieren.

1. Summe von Brüchen, Differenz von Brüchen.

Regel: Beim Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner ist das Ergebnis ein Bruch, dessen Nenner gleich bleibt und dessen Zähler gleich der Summe der Zähler der Brüche ist.

Regel: Wenn wir die Differenz von Brüchen mit demselben Nenner berechnen, erhalten wir einen Bruch - der Nenner bleibt gleich und der Zähler des zweiten wird vom Zähler des ersten Bruchs subtrahiert.

Formale Schreibweise der Summe und Differenz von Brüchen mit gleichem Nenner:

Beispiele (1):

Es ist klar, dass, wenn gewöhnliche Brüche gegeben sind, alles einfach ist, aber wenn sie gemischt sind? Nichts kompliziertes...

Variante 1- Sie können sie in gewöhnliche umwandeln und dann berechnen.

Option 2- Sie können separat mit den ganzzahligen und gebrochenen Teilen "arbeiten".

Beispiele (2):

Noch:

Und wenn die Differenz zweier gemischter Brüche gegeben ist und der Zähler des ersten Bruchs kleiner ist als der Zähler des zweiten? Es kann auch auf zwei Arten erfolgen.

Beispiele (3):

* Umgerechnet in gewöhnliche Brüche, berechnete die Differenz, wandelte den resultierenden unechten Bruch in einen gemischten um.

* In ganze und gebrochene Teile geteilt, drei bekommen, dann 3 als Summe von 2 und 1 dargestellt, mit der Einheit als 11/11 dargestellt, dann die Differenz zwischen 11/11 und 7/11 gefunden und das Ergebnis berechnet. Die Bedeutung der obigen Transformationen besteht darin, eine Einheit zu nehmen (auszuwählen) und sie als Bruch mit dem benötigten Nenner darzustellen, dann können wir von diesem Bruch bereits einen anderen subtrahieren.

Ein anderes Beispiel:

Fazit: Es gibt einen universellen Ansatz - um die Summe (Differenz) gemischter Brüche mit gleichen Nennern zu berechnen, können sie immer in unechte Brüche umgewandelt und dann die erforderliche Aktion ausgeführt werden. Wenn wir danach einen unechten Bruch erhalten, übersetzen wir ihn in einen gemischten.

Oben haben wir uns Beispiele mit Brüchen angesehen, die denselben Nenner haben. Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind? In diesem Fall werden die Brüche auf denselben Nenner gekürzt und die angegebene Aktion ausgeführt. Um einen Bruch zu ändern (zu transformieren), wird die Haupteigenschaft des Bruchs verwendet.

Betrachten Sie einfache Beispiele:

In diesen Beispielen sehen wir sofort, wie einer der Brüche umgewandelt werden kann, um gleiche Nenner zu erhalten.

Wenn wir Wege angeben, um Brüche auf einen Nenner zu bringen, wird dieser aufgerufen METHODE EINS.

Das heißt, Sie müssen sofort beim „Auswerten“ des Bruchs herausfinden, ob ein solcher Ansatz funktioniert - wir prüfen, ob der größere Nenner durch den kleineren teilbar ist. Und wenn es geteilt wird, führen wir die Transformation durch - wir multiplizieren Zähler und Nenner, sodass die Nenner beider Brüche gleich werden.

Sehen Sie sich nun diese Beispiele an:

Für sie gilt dieser Ansatz nicht. Es gibt andere Möglichkeiten, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, ziehen Sie sie in Betracht.

Methode ZWEITE.

Multipliziere Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten:

*Tatsächlich bringen wir Brüche in die Form, wenn die Nenner gleich werden. Als nächstes wenden wir die Regel an, ängstlich mit gleichen Nennern zu addieren.

Beispiel:

*Diese Methode kann als universell bezeichnet werden und funktioniert immer. Das einzig Negative ist, dass sich nach den Berechnungen möglicherweise ein Bruchteil herausstellt, der weiter reduziert werden muss.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Es ist ersichtlich, dass Zähler und Nenner durch 5 teilbar sind:

Methode DRITT.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner. Dies wird der gemeinsame Nenner sein. Was ist das für eine Nummer? Dies ist die kleinste natürliche Zahl, die durch jede der Zahlen teilbar ist.

Schauen Sie, hier sind zwei Zahlen: 3 und 4, es gibt viele Zahlen, die durch sie teilbar sind - das sind 12, 24, 36, ... Die kleinste von ihnen ist 12. Oder 6 und 15, 30, 60, 90 sind durch sie teilbar .... Mindestens 30. Frage - wie bestimmt man dieses kleinste gemeinsame Vielfache?

Es gibt einen klaren Algorithmus, aber oft kann dies sofort ohne Berechnungen durchgeführt werden. Zum Beispiel wird nach den obigen Beispielen (3 und 4, 6 und 15) kein Algorithmus benötigt, wir haben große Zahlen (4 und 15) genommen, verdoppelt und gesehen, dass sie durch die zweite Zahl teilbar sind, aber Zahlenpaare können andere sein, wie 51 und 119.

Algorithmus. Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen zu bestimmen, müssen Sie:

- jede der Zahlen in EINFACHE Faktoren zerlegen

- Schreiben Sie die Zerlegung des GRÖSSEREN von ihnen auf

- multipliziere es mit den FEHLENDEN Faktoren anderer Zahlen

Betrachten Sie Beispiele:

50 und 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt eine Fünf

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 und 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlen zwei und drei

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Primzahlen ist gleich ihrem Produkt

Frage! Und warum ist es sinnvoll, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, weil man die zweite Methode verwenden und den resultierenden Bruch einfach kürzen kann? Ja, das können Sie, aber es ist nicht immer bequem. Sehen Sie, was der Nenner für die Zahlen 48 und 72 ist, wenn Sie sie einfach mit 48∙72 = 3456 multiplizieren. Stimmen Sie zu, dass es angenehmer ist, mit kleineren Zahlen zu arbeiten.

Betrachten Sie Beispiele:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt ein Tripel

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

Und jetzt wenden wir die erste Methode an:

* Sehen Sie sich den Unterschied in den Berechnungen an, im ersten Fall gibt es ein Minimum davon, und im zweiten Fall müssen Sie separat auf einem Blatt Papier arbeiten, und sogar der Bruchteil, den Sie erhalten haben, muss reduziert werden. Das Auffinden des LCM vereinfacht die Arbeit erheblich.

Mehr Beispiele:

* Im zweiten Beispiel ist bereits klar, dass die kleinste Zahl, die durch 40 und 60 teilbar ist, 120 ist.

GESAMT! ALLGEMEINER BERECHNUNGSALGORITHMUS!

- Wir bringen Brüche zu gewöhnlichen, wenn es einen ganzzahligen Teil gibt.

- Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (zuerst schauen wir, ob ein Nenner durch einen anderen teilbar ist, wenn er teilbar ist, dann multiplizieren wir Zähler und Nenner dieses anderen Bruchs; wenn er nicht teilbar ist, handeln wir mit dem andere oben angegebene Methoden).

- Nachdem wir Brüche mit gleichem Nenner erhalten haben, führen wir Aktionen durch (Addition, Subtraktion).

- gegebenenfalls kürzen wir das Ergebnis.

- Wählen Sie ggf. den gesamten Teil aus.

2. Produkt von Brüchen.

Die Regel ist einfach. Beim Multiplizieren von Brüchen werden deren Zähler und Nenner multipliziert:

Beispiele: