Eine der einfachsten Möglichkeiten, ein System linearer Gleichungen zu lösen, ist eine Methode, die auf der Berechnung der Determinanten ( Cramersche Regel). Sein Vorteil ist, dass Sie die Lösung sofort aufzeichnen können. Dies ist besonders praktisch, wenn die Systemkoeffizienten keine Zahlen, sondern einige Parameter sind. Ihr Nachteil ist die Umständlichkeit der Berechnungen bei einer großen Anzahl von Gleichungen, außerdem ist die Cramersche Regel nicht direkt auf Systeme anwendbar, in denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt. In solchen Fällen wird es normalerweise verwendet Gauss-Methode.

Systeme linearer Gleichungen, die denselben Lösungssatz haben, werden aufgerufen gleichwertig. Offensichtlich ändert sich der Lösungssatz eines linearen Systems nicht, wenn irgendwelche Gleichungen vertauscht werden oder wenn eine der Gleichungen mit einer Zahl ungleich Null multipliziert wird oder wenn eine Gleichung zu einer anderen hinzugefügt wird.

Gauss-Methode (Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten) liegt darin, dass das System mit Hilfe elementarer Transformationen auf ein äquivalentes Stufensystem reduziert wird. Zunächst mit Hilfe der 1. Gleichung x 1 aller nachfolgenden Gleichungen des Systems. Dann eliminieren wir mit der 2. Gleichung x 2 der 3. und alle folgenden Gleichungen. Dieser Prozess, genannt direkte Gauss-Methode, wird fortgesetzt, bis nur noch eine Unbekannte auf der linken Seite der letzten Gleichung verbleibt x n. Danach wird es gemacht Gaußsche Umkehrung– Lösen der letzten Gleichung, finden wir x n; danach berechnen wir mit diesem Wert aus der vorletzten Gleichung x n-1 usw. Zuletzt finden wir x 1 aus der ersten Gleichung.

Gaußsche Transformationen werden bequem ausgeführt, indem Transformationen nicht mit den Gleichungen selbst, sondern mit den Matrizen ihrer Koeffizienten durchgeführt werden. Betrachten Sie die Matrix:

namens erweitertes Matrixsystem, weil es neben der Hauptmatrix des Systems eine Spalte mit freien Mitgliedern enthält. Das Gauß-Verfahren basiert darauf, die Hauptmatrix des Systems durch elementare Zeilentransformationen (!) der erweiterten Matrix des Systems auf eine Dreiecksform (bzw. Trapezform bei nichtquadratischen Systemen) zu bringen.

Beispiel 5.1. Lösen Sie das System mit der Gauß-Methode:

Entscheidung. Lassen Sie uns die erweiterte Matrix des Systems schreiben und mit der ersten Zeile danach die restlichen Elemente auf Null setzen:

wir erhalten Nullen in der 2., 3. und 4. Zeile der ersten Spalte:

Jetzt müssen alle Elemente in der zweiten Spalte unter der 2. Zeile gleich Null sein. Dazu kannst du die zweite Zeile mit -4/7 multiplizieren und zur 3. Zeile addieren. Um jedoch nicht mit Brüchen umzugehen, erstellen wir eine Einheit in der 2. Zeile der zweiten Spalte und nur

Um nun eine Dreiecksmatrix zu erhalten, müssen Sie das Element der vierten Zeile der 3. Spalte auf Null setzen, dazu können Sie die dritte Zeile mit 8/54 multiplizieren und zur vierten hinzufügen. Um jedoch keine Brüche zu behandeln, tauschen wir die 3. und 4. Zeile sowie die 3. und 4. Spalte aus und setzen erst danach das angegebene Element auf Null zurück. Beachten Sie, dass beim Umordnen der Spalten die entsprechenden Variablen vertauscht werden, und dies muss beachtet werden; andere elementare Transformationen mit Spalten (Addition und Multiplikation mit einer Zahl) können nicht durchgeführt werden!

Die letzte vereinfachte Matrix entspricht einem Gleichungssystem, das dem ursprünglichen entspricht:

Von hier aus finden wir unter Verwendung des umgekehrten Verlaufs der Gauß-Methode aus der vierten Gleichung x 3 = -1; ab dem dritten x 4 = -2, ab dem zweiten x 2 = 2 und aus der ersten Gleichung x 1 = 1. In Matrixform wird die Antwort geschrieben als

Wir haben den Fall betrachtet, dass das System definitiv ist, d.h. wenn es nur eine Lösung gibt. Mal sehen, was passiert, wenn das System inkonsistent oder unbestimmt ist.

Beispiel 5.2. Untersuchen Sie das System mit der Gaußschen Methode:

Entscheidung. Wir schreiben und transformieren die erweiterte Matrix des Systems

Wir schreiben ein vereinfachtes Gleichungssystem:

Hier in der letzten Gleichung hat sich herausgestellt, dass 0=4, also Widerspruch. Daher hat das System keine Lösung, d.h. Sie ist unvereinbar. à

Beispiel 5.3. Untersuchen und lösen Sie das System mit der Gaußschen Methode:

Entscheidung. Wir schreiben und transformieren die erweiterte Matrix des Systems:

Als Ergebnis der Transformationen wurden in der letzten Zeile nur Nullen erhalten. Das bedeutet, dass sich die Anzahl der Gleichungen um eins verringert hat:

Somit bleiben nach Vereinfachungen zwei Gleichungen und vier Unbekannte, d.h. zwei unbekannte "zusätzlich". Lassen Sie "überflüssig" oder, wie sie sagen, freie Variablen, Wille x 3 und x 4 . Dann

Vorausgesetzt x 3 = 2a und x 4 = b, wir bekommen x 2 = 1–a und x 1 = 2b–a; oder in Matrixform

Eine so geschriebene Lösung wird aufgerufen Allgemeines, da durch Angabe der Parameter a und b unterschiedlichen Werten ist es möglich, alle möglichen Lösungen des Systems zu beschreiben. a

Gauss-Methode ideal zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen (SLAE). Es hat mehrere Vorteile gegenüber anderen Methoden:

• Erstens besteht keine Notwendigkeit, das Gleichungssystem vorab auf Kompatibilität zu untersuchen;
• zweitens können mit dem Gauß-Verfahren nicht nur SLAEs gelöst werden, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt und die Hauptmatrix des Systems nicht ausgeartet ist, sondern auch Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen nicht übereinstimmt mit der Anzahl der unbekannten Variablen oder der Determinante der Hauptmatrix ist gleich Null;
• drittens führt das Gauß-Verfahren mit relativ wenigen Rechenoperationen zu einem Ergebnis.

Kurze Rezension des Artikels.

Zuerst geben wir die notwendigen Definitionen und führen einige Notationen ein.

Als nächstes beschreiben wir den Algorithmus der Gauß-Methode für den einfachsten Fall, dh für Systeme linearer algebraischer Gleichungen, deren Anzahl mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt und die Determinante der Hauptmatrix des Systems nicht gleich Null. Beim Lösen solcher Gleichungssysteme wird am deutlichsten das Wesen der Gauß-Methode sichtbar, die in der sukzessiven Eliminierung unbekannter Variablen besteht. Daher wird das Gaußsche Verfahren auch als Verfahren der sukzessiven Elimination von Unbekannten bezeichnet. Lassen Sie uns detaillierte Lösungen von mehreren Beispielen zeigen.

Abschließend betrachten wir die Gaußsche Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen, deren Hauptmatrix entweder rechteckig oder entartet ist. Die Lösung solcher Systeme weist einige Besonderheiten auf, die wir anhand von Beispielen im Detail analysieren werden.

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Grundlegende Definitionen und Notation.

Betrachten Sie ein System von p linearen Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein):

Wo sind unbekannte Variablen, sind Zahlen (reell oder komplex), sind freie Mitglieder.

Wenn ein , dann heißt das System linearer algebraischer Gleichungen homogen, sonst - heterogen.

Der Satz von Werten unbekannter Variablen, in denen sich alle Gleichungen des Systems in Identitäten verwandeln, wird aufgerufen SLAU-Entscheidung.

Wenn es zu einem linearen algebraischen Gleichungssystem mindestens eine Lösung gibt, dann heißt es gemeinsam, sonst - unvereinbar.

Wenn eine SLAE eine eindeutige Lösung hat, wird sie aufgerufen sicher. Wenn es mehr als eine Lösung gibt, wird das System aufgerufen unsicher.

Das System soll eingeschrieben sein koordinieren wenn es die Form hat
.

Dieses System im Matrixform Datensätze hat die Form , wo - die Hauptmatrix von SLAE, - die Matrix der Spalte der unbekannten Variablen, - die Matrix der freien Mitglieder.

Fügen wir der Matrix A als (n + 1)-te Spalte die Matrix-Spalte der freien Terme hinzu, dann erhalten wir die sog erweiterte Matrix Systeme linearer Gleichungen. Normalerweise wird die erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet, und die Spalte der freien Elemente ist durch eine vertikale Linie von den übrigen Spalten getrennt, dh

Die quadratische Matrix A heißt degenerieren wenn seine Determinante Null ist. Wenn , dann heißt die Matrix A nicht entartet.

Folgender Punkt ist zu beachten.

Wenn die folgenden Aktionen mit einem System linearer algebraischer Gleichungen durchgeführt werden

• zwei Gleichungen vertauschen,
• beide Seiten einer beliebigen Gleichung mit einer beliebigen reellen (oder komplexen) Zahl k multiplizieren, die nicht Null ist,
• zu beiden Teilen einer beliebigen Gleichung die entsprechenden Teile der anderen Gleichung addieren, multipliziert mit einer beliebigen Zahl k,

dann erhalten wir ein äquivalentes System, das dieselben Lösungen hat (oder, wie das ursprüngliche, keine Lösungen hat).

Für eine erweiterte Matrix eines Systems linearer algebraischer Gleichungen bedeuten diese Aktionen elementare Transformationen mit Zeilen:

• zwei Saiten vertauschen
• Multiplikation aller Elemente einer beliebigen Zeile der Matrix T mit einer Zahl k ungleich Null,
• Hinzufügen der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile zu den Elementen einer beliebigen Zeile der Matrix, multipliziert mit einer beliebigen Zahl k .

Nun können wir zur Beschreibung des Gauß-Verfahrens übergehen.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist und die Hauptmatrix des Systems nicht entartet ist, nach der Gauß-Methode.

Was würden wir in der Schule tun, wenn wir die Aufgabe hätten, eine Lösung für ein Gleichungssystem zu finden? .

Manche würden das tun.

Beachten Sie, dass Sie durch Addieren der linken Seite der ersten Gleichung zur linken Seite der zweiten Gleichung und der rechten Seite zur rechten Seite die unbekannten Variablen x 2 und x 3 loswerden und sofort x 1 finden können:

Wir setzen den gefundenen Wert x 1 \u003d 1 in die erste und dritte Gleichung des Systems ein:

Wenn wir beide Teile der dritten Gleichung des Systems mit -1 multiplizieren und zu den entsprechenden Teilen der ersten Gleichung addieren, dann werden wir die unbekannte Variable x 3 los und können x 2 finden:

Wir setzen den erhaltenen Wert x 2 \u003d 2 in die dritte Gleichung ein und finden die verbleibende unbekannte Variable x 3:

Andere hätten es anders gemacht.

Lösen wir die erste Gleichung des Systems in Bezug auf die unbekannte Variable x 1 und setzen den resultierenden Ausdruck in die zweite und dritte Gleichung des Systems ein, um diese Variable davon auszuschließen:

Lösen wir nun die zweite Gleichung des Systems nach x 2 und setzen das erhaltene Ergebnis in die dritte Gleichung ein, um die unbekannte Variable x 2 daraus auszuschließen:

Aus der dritten Gleichung des Systems ist ersichtlich, dass x 3 = 3 ist. Aus der zweiten Gleichung finden wir , und aus der ersten Gleichung erhalten wir .

Bekannte Lösungen, oder?

Das Interessanteste hier ist, dass die zweite Lösungsmethode im Wesentlichen die Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten ist, also die Gauß-Methode. Als wir unbekannte Variablen ausdrückten (erstes x 1 , nächstes x 2 ) und sie in die restlichen Gleichungen des Systems einsetzten, schlossen wir sie dadurch aus. Wir haben die Ausnahme bis zu dem Moment ausgeführt, an dem die letzte Gleichung nur noch eine unbekannte Variable übrig ließ. Der Prozess der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten wird aufgerufen direkte Gauss-Methode. Nachdem die Vorwärtsbewegung abgeschlossen ist, haben wir die Möglichkeit, die unbekannte Variable in der letzten Gleichung zu berechnen. Mit ihrer Hilfe finden wir aus der vorletzten Gleichung die nächste Unbekannte und so weiter. Der Prozess, unbekannte Variablen sukzessive zu finden, während man sich von der letzten Gleichung zur ersten bewegt, wird als bezeichnet Reverse-Gauß-Methode.

Es sei darauf hingewiesen, dass, wenn wir x 1 in Form von x 2 und x 3 in der ersten Gleichung ausdrücken und dann den resultierenden Ausdruck in die zweite und dritte Gleichung einsetzen, die folgenden Aktionen zum gleichen Ergebnis führen:

Tatsächlich erlaubt uns ein solches Verfahren auch, die unbekannte Variable x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems auszuschließen:

Nuancen bei der Eliminierung unbekannter Variablen nach der Gauß-Methode treten auf, wenn die Gleichungen des Systems einige Variablen nicht enthalten.

Zum Beispiel in SLAU in der ersten Gleichung gibt es keine unbekannte Variable x 1 (mit anderen Worten, der Koeffizient davor ist Null). Daher können wir die erste Gleichung des Systems nicht nach x 1 lösen, um diese unbekannte Variable von den restlichen Gleichungen auszuschließen. Der Ausweg aus dieser Situation besteht darin, die Gleichungen des Systems auszutauschen. Da wir lineare Gleichungssysteme betrachten, deren Determinanten der Hauptmatrizen von Null verschieden sind, gibt es immer eine Gleichung, in der die benötigte Variable vorhanden ist, und wir können diese Gleichung an die benötigte Position umstellen. Für unser Beispiel genügt es, die erste und zweite Gleichung des Systems zu vertauschen , dann können Sie die erste Gleichung nach x 1 auflösen und von den restlichen Gleichungen des Systems ausschließen (obwohl x 1 bereits in der zweiten Gleichung fehlt).

Wir hoffen, Sie verstehen das Wesentliche.

Lassen Sie uns beschreiben Algorithmus der Gauß-Methode.

Lassen Sie uns ein System von n linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen der Form lösen , und die Determinante ihrer Hauptmatrix sei ungleich Null.

Wir nehmen das an, da wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems umstellen. Wir schließen die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems aus, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren Sie die erste Gleichung multipliziert mit zur zweiten Gleichung des Systems, addieren die erste multipliziert mit zur dritten Gleichung und so weiter, addieren die erste multipliziert mit zur n-ten Gleichung. Das Gleichungssystem nimmt nach solchen Transformationen die Form an

wo ein .

Wir würden zu dem gleichen Ergebnis kommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausdrücken und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen einsetzen würden. Damit ist die Variable x 1 ab der zweiten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes gehen wir ähnlich vor, aber nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist

Dazu addieren Sie die zweite Gleichung multipliziert mit zur dritten Gleichung des Systems, addieren die zweite multipliziert mit zur vierten Gleichung und so weiter, addieren die zweite multipliziert mit zur n-ten Gleichung. Das Gleichungssystem nimmt nach solchen Transformationen die Form an

wo ein . Damit ist die Variable x 2 ab der dritten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes fahren wir mit der Eliminierung des Unbekannten x 3 fort, während wir ähnlich mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems verfahren

Wir setzen also den direkten Weg der Gauß-Methode fort, bis das System die Form annimmt

Von diesem Moment an beginnen wir mit dem umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode: Wir berechnen x n aus der letzten Gleichung als , unter Verwendung des erhaltenen Werts von x n finden wir x n-1 aus der vorletzten Gleichung und so weiter, wir finden x 1 aus der erste Gleichung.

Analysieren wir den Algorithmus anhand eines Beispiels.

Beispiel.

Gaußsche Methode.

Entscheidung.

Der Koeffizient a 11 ist von Null verschieden, also fahren wir mit dem direkten Verlauf der Gauß-Methode fort, dh mit der Eliminierung der unbekannten Variablen x 1 aus allen Gleichungen des Systems mit Ausnahme der ersten. Dazu addieren Sie zum linken und rechten Teil der zweiten, dritten und vierten Gleichung den linken und rechten Teil der ersten Gleichung, jeweils multipliziert mit , und :

Die unbekannte Variable x 1 wurde eliminiert, kommen wir zum Ausschluss x 2 . Zum linken und rechten Teil der dritten und vierten Gleichung des Systems addieren wir den linken und rechten Teil der zweiten Gleichung, multipliziert mit und :

Um den Vorwärtskurs des Gauß-Verfahrens zu vervollständigen, müssen wir die unbekannte Variable x 3 aus der letzten Gleichung des Systems ausschließen. Addiere zur linken und rechten Seite der vierten Gleichung jeweils die linke und rechte Seite der dritten Gleichung, multipliziert mit :

Sie können den umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode starten.

Aus der letzten Gleichung haben wir ,
aus der dritten Gleichung erhalten wir
ab dem zweiten
vom ersten.

Zur Überprüfung können Sie die erhaltenen Werte unbekannter Variablen in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen. Alle Gleichungen werden zu Identitäten, was bedeutet, dass die Lösung nach der Gauß-Methode richtig gefunden wurde.

Antworten:

Und jetzt geben wir die Lösung desselben Beispiels nach der Gauß-Methode in Matrixform an.

Beispiel.

Finden Sie eine Lösung für das Gleichungssystem Gaußsche Methode.

Entscheidung.

Die erweiterte Matrix des Systems hat die Form . Über jeder Spalte werden unbekannte Variablen geschrieben, die den Elementen der Matrix entsprechen.

Der direkte Ablauf des Gauß-Verfahrens besteht hier darin, die erweiterte Matrix des Systems durch elementare Transformationen in eine Trapezform zu bringen. Dieser Prozess ähnelt dem Ausschluss unbekannter Variablen, den wir mit dem System in Koordinatenform durchgeführt haben. Jetzt werden Sie davon überzeugt sein.

Lassen Sie uns die Matrix so transformieren, dass alle Elemente in der ersten Spalte, beginnend mit der zweiten, Null werden. Dazu addieren Sie zu den Elementen der zweiten, dritten und vierten Reihe die entsprechenden Elemente der ersten Reihe multipliziert mit , bzw. weiter:

Als nächstes transformieren wir die resultierende Matrix so, dass in der zweiten Spalte alle Elemente, beginnend mit der dritten, Null werden. Dies würde dem Ausschluss der unbekannten Variablen x 2 entsprechen. Dazu addieren Sie zu den Elementen der dritten und vierten Reihe die entsprechenden Elemente der ersten Reihe der Matrix, multipliziert mit und :

Es bleibt, die unbekannte Variable x 3 aus der letzten Gleichung des Systems auszuschließen. Dazu addieren wir zu den Elementen der letzten Zeile der resultierenden Matrix die entsprechenden Elemente der vorletzten Zeile, multipliziert mit :

Es sei darauf hingewiesen, dass diese Matrix dem System linearer Gleichungen entspricht

die früher nach dem direkten Umzug erhalten wurde.

Es ist Zeit umzukehren. In der Matrixform der Notation beinhaltet der umgekehrte Verlauf des Gauß-Verfahrens eine solche Transformation der resultierenden Matrix, so dass die in der Abbildung markierte Matrix entsteht

wurde diagonal, das heißt, nahm die Form an

wo sind ein paar Zahlen.

Diese Transformationen ähneln denen des Gauß-Verfahrens, werden jedoch nicht von der ersten Zeile bis zur letzten, sondern von der letzten bis zur ersten Zeile durchgeführt.

Addiere zu den Elementen der dritten, zweiten und ersten Reihe die entsprechenden Elemente der letzten Reihe, multipliziert mit , und weiter bzw:

Nun addieren wir zu den Elementen der zweiten und ersten Reihe die entsprechenden Elemente der dritten Reihe, multipliziert mit bzw. mit:

Im letzten Schritt der Rückwärtsbewegung der Gaußschen Methode addieren wir die entsprechenden Elemente der zweiten Reihe, multipliziert mit , zu den Elementen der ersten Reihe:

Die resultierende Matrix entspricht dem Gleichungssystem , woraus wir die unbekannten Variablen finden.

Antworten:

BEACHTEN SIE.

Bei der Anwendung des Gauß-Verfahrens zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme sollten Näherungsrechnungen vermieden werden, da dies zu absolut falschen Ergebnissen führen kann. Wir empfehlen, Dezimalzahlen nicht zu runden. Es ist besser, von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen überzugehen.

Beispiel.

Lösen Sie das System der drei Gleichungen mit der Gaußschen Methode .

Entscheidung.

Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die unbekannten Variablen eine andere Bezeichnung haben (nicht x 1 , x 2 , x 3 , sondern x, y, z ). Kommen wir zu gewöhnlichen Brüchen:

Eliminiere die Unbekannte x aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems:

In dem resultierenden System gibt es keine unbekannte Variable y in der zweiten Gleichung, und y ist in der dritten Gleichung vorhanden, daher vertauschen wir die zweite und dritte Gleichung:

An dieser Stelle ist der direkte Weg des Gauß-Verfahrens beendet (Sie müssen y nicht aus der dritten Gleichung ausschließen, da diese Unbekannte nicht mehr existiert).

Lass uns zurück gehen.

Aus der letzten Gleichung finden wir ,
vom vorletzten


aus der ersten Gleichung, die wir haben

Antworten:

X=10, y=5, z=-20.

Die Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen, bei denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt oder die Hauptmatrix des Systems entartet ist, nach dem Gauß-Verfahren.

Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix rechteckig oder quadratisch entartet ist, können keine Lösungen haben, können eine einzige Lösung haben oder können unendlich viele Lösungen haben.

Jetzt werden wir verstehen, wie wir mit der Gauß-Methode die Kompatibilität oder Inkonsistenz eines linearen Gleichungssystems feststellen und im Falle seiner Kompatibilität alle Lösungen (oder eine einzelne Lösung) bestimmen können.

Grundsätzlich bleibt der Prozess der Eliminierung unbekannter Variablen bei solchen SLAEs gleich. Es lohnt sich jedoch, sich ausführlich mit einigen Situationen zu befassen, die auftreten können.

Kommen wir zum wichtigsten Schritt.

Nehmen wir also an, dass das System der linearen algebraischen Gleichungen nach Abschluss des Vorwärtslaufs des Gauß-Verfahrens die Form annimmt und keine der Gleichungen reduziert auf (in diesem Fall würden wir schlussfolgern, dass das System inkonsistent ist). Eine logische Frage stellt sich: „Was tun als nächstes“?

Wir schreiben die unbekannten Variablen aus, die in allen Gleichungen des resultierenden Systems an erster Stelle stehen:

In unserem Beispiel sind dies x 1 , x 4 und x 5 . In den linken Teilen der Gleichungen des Systems lassen wir nur die Terme, die die ausgeschriebenen Unbekannten x 1, x 4 und x 5 enthalten, die restlichen Terme übertragen wir mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite der Gleichungen:

Lassen Sie uns den unbekannten Variablen, die auf den rechten Seiten der Gleichungen stehen, beliebige Werte zuweisen, wo - beliebige Zahlen:

Danach finden sich die Zahlen in den rechten Teilen aller Gleichungen unserer SLAE und wir können zum umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode übergehen.

Aus der letzten Gleichung des Systems haben wir , aus der vorletzten Gleichung finden wir , aus der ersten Gleichung bekommen wir

Die Lösung des Gleichungssystems ist die Menge der Werte unbekannter Variablen

Zahlen geben unterschiedliche Werte erhalten wir unterschiedliche Lösungen des Gleichungssystems. Das heißt, unser Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Antworten:

wo - willkürliche Zahlen.

Um das Material zu konsolidieren, werden wir die Lösungen mehrerer weiterer Beispiele im Detail analysieren.

Beispiel.

Lösen Sie das homogene System linearer algebraischer Gleichungen Gaußsche Methode.

Entscheidung.

Lassen Sie uns die unbekannte Variable x aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen. Dazu addieren Sie jeweils den linken und rechten Teil der ersten Gleichung zum linken und rechten Teil der zweiten Gleichung, multipliziert mit , und zum linken und rechten Teil der dritten Gleichung den linken und rechten Teil von erste Gleichung, multipliziert mit :

Nun schließen wir y aus der dritten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems aus:

Die resultierende SLAE entspricht dem System .

Wir lassen nur die Terme mit den Unbekannten x und y auf der linken Seite der Gleichungen des Systems und übertragen die Terme mit den Unbekannten z auf die rechte Seite:

Heute beschäftigen wir uns mit dem Gauß-Verfahren zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen. Was diese Systeme sind, können Sie im vorherigen Artikel nachlesen, der der Lösung desselben SLAE mit der Cramer-Methode gewidmet ist. Die Gauß-Methode erfordert keine besonderen Kenntnisse, nur Sorgfalt und Konsequenz sind erforderlich. Trotz der Tatsache, dass aus mathematischer Sicht die Schulvorbereitung für ihre Anwendung ausreicht, bereitet die Beherrschung dieser Methode den Schülern oft Schwierigkeiten. In diesem Artikel werden wir versuchen, sie auf nichts zu reduzieren!

Gauss-Methode

M Gauss-Methode ist die universellste Methode zur Lösung von SLAE (mit Ausnahme sehr großer Systeme). Im Gegensatz zu dem zuvor besprochenen ist es nicht nur für Systeme geeignet, die eine eindeutige Lösung haben, sondern auch für Systeme, die eine unendliche Anzahl von Lösungen haben. Hier gibt es drei Möglichkeiten.

1. Das System hat eine eindeutige Lösung (die Determinante der Hauptmatrix des Systems ist ungleich Null);
2. Das System hat unendlich viele Lösungen;
3. Es gibt keine Lösungen, das System ist inkonsistent.

Wir haben also ein System (es soll eine Lösung haben) und wir werden es mit der Gaußschen Methode lösen. Wie es funktioniert?

Die Gaußsche Methode besteht aus zwei Stufen - direkt und invers.

Direkte Gauß-Methode

Zuerst schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems. Dazu fügen wir der Hauptmatrix eine Spalte mit freien Mitgliedern hinzu.

Die ganze Essenz der Gaußschen Methode besteht darin, diese Matrix durch elementare Transformationen auf eine abgestufte (oder, wie sie sagen, dreieckige) Form zu bringen. In dieser Form sollten unter (oder über) der Hauptdiagonalen der Matrix nur Nullen stehen.

Was kann getan werden:

1. Sie können die Zeilen der Matrix neu anordnen;
2. Wenn es identische (oder proportionale) Zeilen in der Matrix gibt, können Sie alle bis auf eine davon löschen;
3. Sie können eine Zeichenfolge mit einer beliebigen Zahl (außer Null) multiplizieren oder dividieren;
4. Nulllinien werden entfernt;
5. Sie können eine Zeichenfolge multipliziert mit einer Zahl ungleich Null zu einer Zeichenfolge hinzufügen.

Reverse-Gauß-Methode

Nachdem wir das System auf diese Weise transformiert haben, ist man unbekannt xn bekannt wird, und es ist möglich, alle verbleibenden Unbekannten in umgekehrter Reihenfolge zu finden, indem die bereits bekannten x in die Gleichungen des Systems bis zur ersten eingesetzt werden.

Wenn das Internet immer zur Hand ist, können Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode lösen online. Alles, was Sie tun müssen, ist die Quoten in den Online-Rechner einzugeben. Aber Sie müssen zugeben, es ist viel angenehmer zu erkennen, dass das Beispiel nicht von einem Computerprogramm, sondern von Ihrem eigenen Gehirn gelöst wurde.

Ein Beispiel für die Lösung eines Gleichungssystems mit der Gauß-Methode

Und jetzt - ein Beispiel, damit alles klar und verständlich wird. Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem, das nach der Gauß-Methode gelöst werden muss:

Lassen Sie uns zuerst die erweiterte Matrix schreiben:

Schauen wir uns nun die Transformationen an. Denken Sie daran, dass wir eine dreieckige Form der Matrix erreichen müssen. Multiplizieren Sie die 1. Reihe mit (3). Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Addieren wir die 2. Zeile zur 1. und erhalten:

Dann multiplizieren Sie die 3. Reihe mit (-1). Fügen wir die 3. Zeile zur 2. hinzu:

Multiplizieren Sie die 1. Reihe mit (6). Multiplizieren Sie die 2. Reihe mit (13). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

Voila - das System wird in die entsprechende Form gebracht. Es bleibt, die Unbekannten zu finden:

Das System in diesem Beispiel hat eine einzigartige Lösung. Wir werden die Lösung von Systemen mit unendlich vielen Lösungen in einem separaten Artikel betrachten. Vielleicht wissen Sie zunächst nicht, wo Sie mit Matrizentransformationen anfangen sollen, aber nach entsprechender Übung werden Sie es in den Griff bekommen und die Gaußsche SLAE wie Nüsse klicken. Und wenn Sie plötzlich auf einen SLAU stoßen, der sich als zu harte Nuss herausstellt, wenden Sie sich an unsere Autoren! Sie können dies tun, indem Sie eine Bewerbung in der Korrespondenz hinterlassen. Gemeinsam lösen wir jedes Problem!

Gegeben sei ein System linearer algebraischer Gleichungen, die gelöst werden müssen (finde solche Werte der Unbekannten хi, die jede Gleichung des Systems in eine Gleichheit verwandeln).

Wir wissen, dass ein System linearer algebraischer Gleichungen:

1) Habe keine Lösungen (be unvereinbar).
2) Unendlich viele Lösungen haben.
3) Haben Sie eine eindeutige Lösung.

Wie wir uns erinnern, sind die Cramersche Regel und die Matrixmethode ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Gauss-Methode – das leistungsstärkste und vielseitigste Werkzeug zum Finden von Lösungen für beliebige lineare Gleichungssysteme, welche in jedem Fall führen Sie uns zur Antwort! Der Algorithmus des Verfahrens funktioniert in allen drei Fällen gleich. Wenn das Cramer- und das Matrizenverfahren die Kenntnis von Determinanten erfordern, erfordert die Anwendung des Gauß-Verfahrens nur die Kenntnis von arithmetischen Operationen, was sie auch Grundschülern zugänglich macht.

Erweiterte Matrixtransformationen ( dies ist die Matrix des Systems - eine Matrix, die nur aus den Koeffizienten der Unbekannten besteht, plus einer Spalte mit freien Termen) Systeme linearer algebraischer Gleichungen im Gauß-Verfahren:

1) mit troky Matrizen kann neu anordnen setzt.

2) wenn es (oder sind) proportionale (als Sonderfall - identische) Zeilen in der Matrix gibt, dann folgt es löschen aus der Matrix alle diese Zeilen bis auf eine.

3) Wenn während der Transformationen eine Nullzeile in der Matrix auftaucht, folgt dies auch löschen.

4) die Zeile der Matrix kann multiplizieren (dividieren) auf eine andere Zahl als Null.

5) in die Zeile der Matrix, können Sie füge eine weitere Zeichenfolge hinzu, die mit einer Zahl multipliziert wird, von Null verschieden.

Beim Gauß-Verfahren verändern elementare Transformationen die Lösung des Gleichungssystems nicht.

Die Gauß-Methode besteht aus zwei Stufen:

1. "Direkte Bewegung" - Bringen Sie die erweiterte Matrix des Systems linearer algebraischer Gleichungen mithilfe elementarer Transformationen in eine "dreieckige" Stufenform: Die Elemente der erweiterten Matrix, die sich unter der Hauptdiagonale befinden, sind gleich Null (Bewegung von oben nach unten ). Zum Beispiel zu dieser Art:

Führen Sie dazu die folgenden Schritte aus:

1) Betrachten wir die erste Gleichung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen und der Koeffizient bei x 1 ist gleich K. Die zweite, dritte usw. Wir wandeln die Gleichungen wie folgt um: Wir teilen jede Gleichung (Koeffizienten für Unbekannte, einschließlich freier Terme) durch den Koeffizienten für Unbekannte x 1, der in jeder Gleichung enthalten ist, und multiplizieren mit K. Danach subtrahieren wir die erste von der zweiten Gleichung ( Koeffizienten für Unbekannte und freie Terme). Wir erhalten bei x 1 in der zweiten Gleichung den Koeffizienten 0. Von der dritten transformierten Gleichung subtrahieren wir die erste Gleichung, bis alle Gleichungen außer der ersten mit unbekanntem x 1 keinen Koeffizienten 0 haben.

2) Fahren Sie mit der nächsten Gleichung fort. Sei dies die zweite Gleichung und der Koeffizient bei x 2 ist gleich M. Mit allen "untergeordneten" Gleichungen gehen wir wie oben beschrieben vor. Somit werden "unter" der Unbekannten x 2 in allen Gleichungen Nullen sein.

3) Wir gehen zur nächsten Gleichung über und so weiter, bis ein letzter unbekannter und transformierter freier Term übrig bleibt.

1. Die "umgekehrte Bewegung" der Gauß-Methode besteht darin, eine Lösung für ein System linearer algebraischer Gleichungen zu erhalten (die "Bottom-up"-Bewegung). Aus der letzten "unteren" Gleichung erhalten wir eine erste Lösung - die Unbekannte x n. Dazu lösen wir die Elementargleichung A * x n \u003d B. Im obigen Beispiel x 3 \u003d 4. Wir ersetzen den gefundenen Wert in der „oberen“ nächsten Gleichung und lösen ihn in Bezug auf die nächste Unbekannte. Zum Beispiel x 2 - 4 \u003d 1, d.h. x 2 \u003d 5. Und so weiter, bis wir alle Unbekannten gefunden haben.

Beispiel.

Wir lösen das lineare Gleichungssystem mit der Gauß-Methode, wie einige Autoren raten:

Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform:

Wir betrachten die obere linke "Stufe". Da sollten wir eine Einheit haben. Das Problem ist, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einsen gibt, also kann nichts durch Umordnen der Zeilen gelöst werden. In solchen Fällen muss die Einheit durch eine elementare Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf mehrere Arten erfolgen. Machen wir es so:
1 Schritt . Zur ersten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -1. Das heißt, wir haben die zweite Zeile gedanklich mit -1 multipliziert und die Addition der ersten und zweiten Zeile durchgeführt, während sich die zweite Zeile nicht geändert hat.

Jetzt oben links "minus eins", was perfekt zu uns passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Aktion ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -1 (ändern Sie ihr Vorzeichen).

2 Schritt . Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert.

3 Schritt . Die erste Zeile wurde mit -1 multipliziert, im Prinzip steht dies für Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, somit hatten wir auf der zweiten „Stufe“ die gewünschte Einheit.

4 Schritt . Fügen Sie zur dritten Zeile die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit 2.

5 Schritt . Die dritte Zeile wird durch 3 geteilt.

Ein Zeichen, das auf einen Fehler in Berechnungen hinweist (seltener ein Tippfehler), ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir unten etwas wie (0 0 11 | 23) und dementsprechend 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 erhalten, können wir mit hoher Wahrscheinlichkeit sagen, dass in der Grundschule ein Fehler gemacht wurde Transformationen.

Wir machen einen umgekehrten Zug, bei der Gestaltung von Beispielen wird das System selbst oft nicht umgeschrieben und die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix entnommen“. Ich erinnere Sie daran, dass die umgekehrte Bewegung „von unten nach oben“ funktioniert. In diesem Beispiel stellte sich das Geschenk heraus:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, also x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Antworten: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lassen Sie uns dasselbe System mit dem vorgeschlagenen Algorithmus lösen. Wir bekommen

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Teilen Sie die zweite Gleichung durch 5 und die dritte durch 3. Wir erhalten:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplizieren Sie die zweite und dritte Gleichung mit 4, wir erhalten:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten und dritten Gleichung, wir haben:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Teilen Sie die dritte Gleichung durch 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multipliziere die dritte Gleichung mit 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Subtrahieren Sie die zweite Gleichung von der dritten Gleichung, wir erhalten die „gestufte“ erweiterte Matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da sich im Berechnungsprozess ein Fehler angesammelt hat, erhalten wir also x 3 \u003d 0,96 oder ungefähr 1.

x 2 \u003d 3 und x 1 \u003d -1.

Wenn Sie auf diese Weise lösen, kommen Sie bei den Berechnungen nie durcheinander und erhalten trotz der Berechnungsfehler das Ergebnis.

Diese Methode zur Lösung eines linearen algebraischen Gleichungssystems ist leicht programmierbar und berücksichtigt nicht die Besonderheiten der Koeffizienten für Unbekannte, da man es in der Praxis (bei wirtschaftlichen und technischen Berechnungen) mit nicht ganzzahligen Koeffizienten zu tun hat.

Wünsch dir Glück! Wir sehen uns in der Klasse! Tutor.

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Das System sei gegeben, ∆≠0. (ein)
Gauss-Methode ist eine Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten.

Das Wesen der Gauß-Methode besteht darin, (1) in ein System mit einer Dreiecksmatrix zu transformieren, aus der dann nacheinander (umgekehrt) die Werte aller Unbekannten gewonnen werden. Betrachten wir eines der Rechenschemata. Diese Schaltung wird als Einzelteilungsschaltung bezeichnet. Werfen wir also einen Blick auf dieses Diagramm. Sei a 11 ≠ 0 (führendes Element) die erste Gleichung durch a 11 teilen. Werden
(2)
Unter Verwendung von Gleichung (2) ist es einfach, die Unbekannten x 1 aus den verbleibenden Gleichungen des Systems auszuschließen (dazu reicht es aus, Gleichung (2) von jeder Gleichung subtrahieren, die vorläufig mit dem entsprechenden Koeffizienten bei x 1 multipliziert wird), das ist, im ersten Schritt erhalten wir
.
Mit anderen Worten, bei Schritt 1 ist jedes Element der nachfolgenden Zeilen, beginnend mit der zweiten, gleich der Differenz zwischen dem ursprünglichen Element und dem Produkt seiner „Projektion“ auf die erste Spalte und die erste (transformierte) Zeile.
Danach führen wir unter Beibehaltung der ersten Gleichung über den Rest der Gleichungen des im ersten Schritt erhaltenen Systems eine ähnliche Transformation durch: Wir wählen eine Gleichung mit einem führenden Element aus und verwenden sie, um x 2 davon auszuschließen die restlichen Gleichungen (Schritt 2).
Nach n Schritten erhalten wir statt (1) ein äquivalentes System
(3)
So erhalten wir im ersten Schritt ein Dreieckssystem (3). Dieser Schritt wird vorwärts aufgerufen.
In der zweiten Stufe (Rückwärtsbewegung) finden wir nacheinander aus (3) die Werte x n , x n -1 , …, x 1 .
Lassen Sie uns die erhaltene Lösung als x 0 bezeichnen. Dann ist die Differenz ε=b-A x 0 heißt Residuum.
Ist ε=0, so ist die gefundene Lösung x 0 richtig.

Berechnungen nach der Gauß-Methode werden in zwei Schritten durchgeführt:

1. Die erste Stufe wird als direkter Verfahrensablauf bezeichnet. Im ersten Schritt wird das ursprüngliche System in eine Dreiecksform umgewandelt.
2. Die zweite Stufe wird als Umkehrung bezeichnet. In der zweiten Stufe wird ein Dreieckssystem gelöst, das dem ursprünglichen entspricht.

Die Koeffizienten a 11 , a 22 , ... werden führende Elemente genannt.
Bei jedem Schritt wurde angenommen, dass das führende Element von Null verschieden ist. Wenn dies nicht der Fall ist, kann jedes andere Element als Führungselement verwendet werden, als ob die Gleichungen des Systems neu angeordnet würden.

Zweck der Gauß-Methode

Das Gauß-Verfahren ist zum Lösen linearer Gleichungssysteme bestimmt. Bezieht sich auf direkte Lösungsmethoden.

Arten der Gauß-Methode

1. Klassische Gauß-Methode;
2. Modifikationen der Gauß-Methode. Eine der Modifikationen der Gaußschen Methode ist die Schaltung mit der Wahl des Hauptelements. Ein Merkmal des Gauß-Verfahrens bei der Wahl des Hauptelements ist eine solche Permutation der Gleichungen, dass im k-ten Schritt das führende Element das größte Element in der k-ten Spalte ist.
3. Jordan-Gauß-Verfahren;

Der Unterschied zwischen der Jordan-Gauß-Methode und der klassischen Gauss-Methode besteht darin, die Rechteckregel anzuwenden, wenn die Richtung der Lösungssuche entlang der Hauptdiagonalen verläuft (Transformation in die Identitätsmatrix). Beim Gauß-Verfahren erfolgt die Richtung der Lösungssuche entlang der Spalten (Transformation in ein System mit Dreiecksmatrix).
Veranschaulichen Sie den Unterschied Jordan-Gauß-Verfahren aus der Gauß-Methode an Beispielen.

Beispiel für eine Gauss-Lösung
Lösen wir das System:

Zur Vereinfachung der Berechnungen tauschen wir die Zeilen aus:

Multiplizieren Sie die 2. Reihe mit (2). Fügen Sie die 3. Zeile zur 2. hinzu

Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Fügen Sie die 2. Reihe zur 1. hinzu

Ab der 1. Zeile drücken wir x 3 aus:
Ab der 2. Zeile drücken wir x 2 aus:
Ab der 3. Zeile drücken wir x 1 aus:

Ein Beispiel für eine Lösung nach dem Jordan-Gauß-Verfahren
Wir werden dasselbe SLAE mit der Jordano-Gauss-Methode lösen.

Wir werden sequentiell das auflösende Element des RE wählen, das auf der Hauptdiagonalen der Matrix liegt.
Das Freigabeelement ist gleich (1).



NO \u003d SE - (A * B) / RE
RE - Aktivierungselement (1), A und B - Matrixelemente, die ein Rechteck mit Elementen von STE und RE bilden.
Lassen Sie uns die Berechnung jedes Elements in Form einer Tabelle darstellen:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Das Freigabeelement ist gleich (3).
Anstelle des Auflösungselements erhalten wir 1 und in die Spalte selbst schreiben wir Nullen.
Alle anderen Elemente der Matrix, einschließlich der Elemente der Spalte B, werden durch die Rechteckregel bestimmt.
Wählen Sie dazu vier Zahlen aus, die sich an den Eckpunkten des Rechtecks ​​befinden und immer das aktivierende Element des RE enthalten.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Das Freigabeelement ist (-4).
Anstelle des Auflösungselements erhalten wir 1 und in die Spalte selbst schreiben wir Nullen.
Alle anderen Elemente der Matrix, einschließlich der Elemente der Spalte B, werden durch die Rechteckregel bestimmt.
Wählen Sie dazu vier Zahlen aus, die sich an den Eckpunkten des Rechtecks ​​befinden und immer das aktivierende Element des RE enthalten.
Lassen Sie uns die Berechnung jedes Elements in Form einer Tabelle darstellen:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Antworten: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementierung der Gauß-Methode

Die Gauss-Methode ist in vielen Programmiersprachen implementiert, insbesondere: Pascal, C++, PHP, Delphi, und es gibt auch eine Online-Implementierung der Gauss-Methode.

Mit der Gauß-Methode

Anwendung der Gauß-Methode in der Spieltheorie

In der Spieltheorie wird beim Auffinden der maximal optimalen Strategie eines Spielers ein Gleichungssystem aufgestellt, das nach der Gauß-Methode gelöst wird.

Anwendung der Gauß-Methode beim Lösen von Differentialgleichungen

Um nach einer bestimmten Lösung für eine Differentialgleichung zu suchen, finden Sie zuerst die Ableitungen des entsprechenden Grades für die geschriebene bestimmte Lösung (y = f (A, B, C, D)), die in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden. Um die Variablen A, B, C, D zu finden, wird ferner ein Gleichungssystem erstellt, das durch das Gauß-Verfahren gelöst wird.

Anwendung der Jordan-Gauß-Methode in der linearen Programmierung

Bei der linearen Programmierung, insbesondere bei der Simplex-Methode, wird zur Transformation einer Simplex-Tabelle bei jeder Iteration die Rechteckregel verwendet, die die Jordan-Gauß-Methode verwendet.