Mit diesem Mathe-Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.
Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess auf zwei Arten an:
- Verwendung der Diskriminante
- Verwendung des Vieta-Theorems (wenn möglich).
Außerdem wird die Antwort genau und nicht ungefähr angezeigt.
Beispielsweise wird für die Gleichung \(81x^2-16x-1=0\) die Antwort in dieser Form angezeigt:
Dieses Programm kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Kenntnissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, für Eltern nützlich sein, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.
Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.
Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.
Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms
Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.
Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Außerdem können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.
Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil von der ganzen Zahl entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2
Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen einer quadratischen Gleichung zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
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Ein bisschen Theorie.
Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen
Jede der Gleichungen
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
hat die Form
\(ax^2+bx+c=0, \)
wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind.
In der ersten Gleichung a = -1, b = 6 und c = 1,4, in der zweiten a = 8, b = -7 und c = 0, in der dritten a = 1, b = 0 und c = 4/9. Solche Gleichungen werden aufgerufen quadratische Gleichungen.
Definition.
quadratische Gleichung eine Gleichung der Form ax 2 +bx+c=0 wird aufgerufen, wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind und \(a \neq 0 \).
Die Zahlen a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl a wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als zweiter Koeffizient und die Zahl c als Achsenabschnitt.
In jeder der Gleichungen der Form ax 2 +bx+c=0, wobei \(a \neq 0 \), ist die größte Potenz der Variablen x ein Quadrat. Daher der Name: quadratische Gleichung.
Beachten Sie, dass eine quadratische Gleichung auch als Gleichung zweiten Grades bezeichnet wird, da ihre linke Seite ein Polynom zweiten Grades ist.
Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient bei x 2 gleich 1 ist, wird aufgerufen reduzierte quadratische Gleichung. Beispielsweise sind die gegebenen quadratischen Gleichungen die Gleichungen
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Wenn in der quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische gleichung. Die Gleichungen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sind also unvollständige quadratische Gleichungen. Im ersten b=0, im zweiten c=0, im dritten b=0 und c=0.
Es gibt drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:
1) ax 2 +c=0, wobei \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, wobei \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
Betrachten Sie die Lösung von Gleichungen für jeden dieser Typen.
Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +c=0 nach \(c \neq 0 \) zu lösen, wird ihr freier Term auf die rechte Seite übertragen und beide Gleichungsteile durch a dividiert:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Da \(c \neq 0 \), dann \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Wenn \(-\frac(c)(a)>0 \), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.
Wenn \(-\frac(c)(a) Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) zu lösen, faktorisiere ihre linke Seite und erhalte die Gleichung
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)
Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) hat also immer zwei Wurzeln.
Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 \u003d 0 entspricht der Gleichung x 2 \u003d 0 und hat daher eine einzelne Wurzel 0.
Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Betrachten wir nun, wie quadratische Gleichungen gelöst werden, bei denen beide Koeffizienten der Unbekannten und der freie Term ungleich Null sind.
Wir lösen die quadratische Gleichung in allgemeiner Form und erhalten als Ergebnis die Formel der Wurzeln. Dann kann diese Formel angewendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.
Lösen Sie die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0
Wenn wir beide Teile durch a dividieren, erhalten wir die äquivalente reduzierte quadratische Gleichung
\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \)
Wir wandeln diese Gleichung um, indem wir das Quadrat des Binoms hervorheben:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
Der Stammausdruck wird aufgerufen Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 („Diskriminant“ auf Latein – Unterscheider). Es wird mit dem Buchstaben D bezeichnet, d.h.
\(D = b^2-4ac\)
Nun schreiben wir unter Verwendung der Notation der Diskriminante die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung um:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), wobei \(D= b^2-4ac \)
Es ist klar, dass:
1) Wenn D>0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn D=0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Wenn D Je nach Wert der Diskriminante kann die quadratische Gleichung also zwei Wurzeln (für D > 0), eine Wurzel (für D = 0) oder keine Wurzeln (für D) haben. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel , ist es ratsam, den folgenden Weg zu gehen:
1) Berechne die Diskriminante und vergleiche sie mit Null;
2) wenn die Diskriminante positiv oder gleich Null ist, dann verwende die Wurzelformel, wenn die Diskriminante negativ ist, dann schreibe auf, dass es keine Wurzeln gibt.
Satz von Vieta
Die gegebene quadratische Gleichung ax 2 -7x+10=0 hat die Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7 und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Jede reduzierte quadratische Gleichung, die Wurzeln hat, hat diese Eigenschaft.
Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.
Diese. Der Satz von Vieta besagt, dass die Wurzeln x 1 und x 2 der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 die Eigenschaft haben:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Ich hoffe, dass Sie nach dem Studium dieses Artikels lernen, wie man die Wurzeln einer vollständigen quadratischen Gleichung findet.
Mit Hilfe der Diskriminante werden nur vollständige quadratische Gleichungen gelöst, zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen kommen andere Methoden zum Einsatz, die Sie im Artikel "Unvollständige quadratische Gleichungen lösen" finden.
Welche quadratischen Gleichungen heißen vollständig? Das Gleichungen der Form ax 2 + b x + c = 0, wobei die Koeffizienten a, b und c ungleich Null sind. Um also die vollständige quadratische Gleichung zu lösen, müssen Sie die Diskriminante D berechnen.
D \u003d b 2 - 4ac.
Je nachdem, welchen Wert die Diskriminante hat, schreiben wir die Antwort auf.
Wenn die Diskriminante eine negative Zahl ist (D< 0),то корней нет.
Wenn die Diskriminante Null ist, dann x \u003d (-b) / 2a. Wenn die Diskriminante eine positive Zahl ist (D > 0),
dann x 1 = (-b - √D)/2a und x 2 = (-b + √D)/2a.
Zum Beispiel. löse die Gleichung x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Antwort: 2.
Lösen Sie Gleichung 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Antwort: keine Wurzeln.
Lösen Sie Gleichung 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Antwort: - 3,5; eines.
Stellen wir uns also die Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen nach dem Schema in Abbildung 1 vor.
Diese Formeln können verwendet werden, um jede vollständige quadratische Gleichung zu lösen. Man muss nur darauf achten Die Gleichung wurde als Polynom der Standardform geschrieben
a x 2 + bx + c, sonst kann man sich irren. Wenn Sie beispielsweise die Gleichung x + 3 + 2x 2 = 0 schreiben, können Sie dies fälschlicherweise entscheiden
a = 1, b = 3 und c = 2. Dann
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 und dann hat die Gleichung zwei Wurzeln. Und das ist nicht wahr. (Siehe Beispiel 2 Lösung oben).
Wenn also die Gleichung nicht als Polynom der Standardform geschrieben wird, muss zunächst die vollständige quadratische Gleichung als Polynom der Standardform geschrieben werden (das Monom mit dem größten Exponenten sollte also an erster Stelle stehen). a x 2 , dann mit weniger – bx, und dann der freie Begriff Mit.
Beim Lösen der obigen quadratischen Gleichung und der quadratischen Gleichung mit einem geraden Koeffizienten für den zweiten Term können auch andere Formeln verwendet werden. Machen wir uns mit diesen Formeln vertraut. Wenn in der vollständigen quadratischen Gleichung mit dem zweiten Term der Koeffizient gerade ist (b = 2k), dann kann die Gleichung mit den im Diagramm von Abbildung 2 gezeigten Formeln gelöst werden.
Eine vollständige quadratische Gleichung heißt reduziert, wenn der Koeffizient at x 2 gleich Eins ist und die Gleichung die Form annimmt x 2 + px + q = 0. Eine solche Gleichung kann zum Lösen gegeben werden oder wird erhalten, indem alle Koeffizienten der Gleichung durch den Koeffizienten dividiert werden a stehen an x 2 .
Abbildung 3 zeigt ein Diagramm der Lösung des reduzierten Quadrats 
Gleichungen. Betrachten Sie das Beispiel der Anwendung der in diesem Artikel besprochenen Formeln.
Beispiel. löse die Gleichung
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Lösen wir diese Gleichung mit den in Abbildung 1 gezeigten Formeln.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
Antwort: -1 - √3; –1 + √3
Sie können sehen, dass der Koeffizient bei x in dieser Gleichung eine gerade Zahl ist, dh b \u003d 6 oder b \u003d 2k, woher k \u003d 3. Versuchen wir dann, die Gleichung mit den im Abbildungsdiagramm gezeigten Formeln zu lösen D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Antwort: -1 - √3; –1 + √3. Wenn wir bemerken, dass alle Koeffizienten in dieser quadratischen Gleichung durch 3 teilbar sind, erhalten wir beim Teilen die reduzierte quadratische Gleichung x 2 + 2x - 2 = 0. Wir lösen diese Gleichung unter Verwendung der Formeln für das reduzierte Quadrat 
Gleichungen Abbildung 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
Antwort: -1 - √3; –1 + √3.
Wie Sie sehen können, haben wir beim Lösen dieser Gleichung mit verschiedenen Formeln dieselbe Antwort erhalten. Wenn Sie also die im Diagramm von Abbildung 1 gezeigten Formeln gut beherrschen, können Sie jederzeit jede vollständige quadratische Gleichung lösen.
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Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Es werden die Fälle von reellen, multiplen und komplexen Wurzeln betrachtet. Faktorisierung eines quadratischen Trinoms. Geometrische Deutung. Beispiele für Wurzelfindung und Faktorisierung.
Grundlegende Formeln
Betrachten Sie die quadratische Gleichung:
(1)
.
Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung(1) werden durch die Formeln bestimmt:
;
.
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung bekannt, so lässt sich das Polynom zweiten Grades als Produkt von Faktoren darstellen (faktorisiert):
.
Weiterhin nehmen wir an, dass es sich um reelle Zahlen handelt.
In Betracht ziehen Diskriminante einer quadratischen Gleichung:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
;
.
Dann hat die Faktorisierung des quadratischen Trinoms die Form:
.
Wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrfache (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist die imaginäre Einheit, ;
und sind die Real- und Imaginärteile der Wurzeln:
;
.
Dann
.
Grafische Interpretation
Wenn wir die Funktion grafisch darstellen
,
was eine Parabel ist, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Wenn , schneidet der Graph die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten.
Wenn , berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt.
Wenn , schneidet der Graph die x-Achse nicht.
Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Diagramme.
Nützliche Formeln im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Wir führen Transformationen durch und wenden die Formeln (f.1) und (f.3) an:
,
wo
;
.
Wir haben also die Formel für das Polynom zweiten Grades in der Form:
.
Daraus ist ersichtlich, dass die Gleichung
durchgeführt bei
und .
Das heißt, und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.
Beispiele zur Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Beispiel 1
(1.1)
.
Lösung
.
Im Vergleich zu unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.
Daraus erhalten wir die Zerlegung des quadratischen Trinoms in Faktoren:
.
Graph der Funktion y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die x-Achse an zwei Punkten.
Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die x-Achse (Achse) an zwei Punkten:
und .
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).
Antworten
;
;
.
Beispiel 2
Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1)
.
Lösung
Wir schreiben die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
.
Im Vergleich zur ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.
Dann hat die Faktorisierung des Trinoms die Form:
.
Graph der Funktion y = x 2 - 4 x + 4 berührt die x-Achse an einem Punkt.
Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die x-Achse (Achse) an einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Da diese Wurzel zweimal faktorisiert wird:
,
dann heißt eine solche Wurzel ein Vielfaches. Das heißt, sie gehen davon aus, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.
Antworten
;
.
Beispiel 3
Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1)
.
Lösung
Wir schreiben die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1)
.
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Die Diskriminante ist negativ, . Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.
Sie können komplexe Wurzeln finden:
;
;
.
Dann
.
Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse nicht. Es gibt keine wirklichen Wurzeln.
Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die Abszisse (Achse) nicht. Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.
Antworten
Es gibt keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:
;
;
.
Landschule Kopyevskaya
10 Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen
Leitung: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
Mathematiklehrer
s.Kopyevo, 2007
1. Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen
1.1 Quadratische Gleichungen im alten Babylon
1.2 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste
1.3 Quadratische Gleichungen in Indien
1.4 Quadratische Gleichungen in al-Khwarizmi
1.5 Quadratische Gleichungen in Europa XIII - XVII Jahrhundert
1.6 Über den Satz von Vieta
2. Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen
Fazit
Literatur
1. Entwicklungsgeschichte quadratischer Gleichungen
1.1 Quadratische Gleichungen im alten Babylon
Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur des ersten, sondern auch des zweiten Grades in der Antike zu lösen, wurde durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Land- und Erdarbeiten militärischer Natur sowie der Entwicklung der Astronomie und zu lösen Mathematik selbst. Quadratische Gleichungen konnten etwa 2000 v. Chr. gelöst werden. e. Babylonier.
Unter Verwendung der modernen algebraischen Notation können wir sagen, dass es in ihren Keilschrifttexten neben unvollständigen zum Beispiel auch vollständige quadratische Gleichungen gibt:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Die Regel zur Lösung dieser Gleichungen, die in den babylonischen Texten angegeben ist, stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, aber es ist nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel kamen. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte geben nur Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten an, ohne Hinweis darauf, wie sie gefunden wurden.
Trotz des hohen Entwicklungsstandes der Algebra in Babylon fehlen den Keilschrifttexten das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen.
1.2 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste.
Die Arithmetik von Diophantus enthält keine systematische Darstellung der Algebra, aber sie enthält eine systematische Reihe von Problemen, die von Erklärungen begleitet und durch die Formulierung von Gleichungen verschiedener Grade gelöst werden.
Beim Zusammenstellen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen.
Hier ist zum Beispiel eine seiner Aufgaben.
Aufgabe 11.„Finde zwei Zahlen in dem Wissen, dass ihre Summe 20 und ihr Produkt 96 ist“
Diophantus argumentiert wie folgt: Aus der Bedingung des Problems folgt, dass die gewünschten Zahlen nicht gleich sind, denn wenn sie gleich wären, wäre ihr Produkt nicht gleich 96, sondern gleich 100. Eine von ihnen wäre also größer als die Hälfte ihrer Summe, d.h. 10+x, der andere ist kleiner, d.h. 10er. Der Unterschied zwischen ihnen 2x .
Daher die Gleichung:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Von hier x = 2. Eine der gewünschten Nummern ist 12 , Sonstiges 8 . Lösung x = -2 denn Diophantus existiert nicht, da die griechische Mathematik nur positive Zahlen kannte.
Wenn wir dieses Problem lösen, indem wir eine der gewünschten Zahlen als Unbekannte wählen, dann kommen wir zur Lösung der Gleichung
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Es ist klar, dass Diophantus die Lösung vereinfacht, indem er die halbe Differenz der gesuchten Zahlen als Unbekannte wählt; er schafft es, das Problem auf die Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung (1) zu reduzieren.
1.3 Quadratische Gleichungen in Indien
Probleme zu quadratischen Gleichungen finden sich bereits im astronomischen Traktat "Aryabhattam", zusammengestellt 499 vom indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta (7. Jahrhundert), skizzierte die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden:
äh 2+ b x = c, a > 0. (1)
In Gleichung (1) sind die Koeffizienten, außer z a, kann auch negativ sein. Brahmaguptas Regel stimmt im Wesentlichen mit unserer überein.
Im alten Indien waren öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme üblich. In einem der alten indischen Bücher wird über solche Wettbewerbe Folgendes gesagt: „Wie die Sonne die Sterne mit ihrem Glanz überstrahlt, so wird eine gelehrte Person den Ruhm einer anderen in öffentlichen Versammlungen überstrahlen, indem sie algebraische Probleme vorschlägt und löst.“ Aufgaben wurden oft in poetische Form gekleidet.
Hier ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskara.
Aufgabe 13.
„Ein munterer Schwarm Affen und zwölf in Reben ...
Macht gegessen, Spaß gehabt. Sie begannen zu springen, hängend ...
Teil acht von ihnen in einem Quadrat Wie viele Affen waren da,
Spaß auf der Wiese. Du sagst mir, in dieser Herde?
Bhaskaras Lösung weist darauf hin, dass er um die Zweiwertigkeit der Wurzeln quadratischer Gleichungen wusste (Abb. 3).
Die Gleichung zu Aufgabe 13 lautet:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara schreibt unter dem Deckmantel von:
x 2 - 64x = -768
und um die linke Seite dieser Gleichung zu einem Quadrat zu vervollständigen, addiert er zu beiden Seiten 32 2 , immer dann:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Quadratische Gleichungen in al-Khorezmi
Die algebraische Abhandlung von Al-Khorezmi gibt eine Klassifizierung von linearen und quadratischen Gleichungen. Der Autor listet 6 Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus:
1) "Quadrate sind gleich Wurzeln", d.h. Axt 2 + c = b X.
2) „Quadrate sind gleich Zahl“, d.h. Axt 2 = s.
3) "Die Wurzeln sind gleich der Zahl", d.h. ah = s.
4) "Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln", d.h. Axt 2 + c = b X.
5) "Quadrate und Wurzeln sind gleich der Zahl", d.h. äh 2+ bx = s.
6) "Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten", d.h. bx + c \u003d Axt 2.
Für al-Khwarizmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Additionen, keine Subtraktionen. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor skizziert die Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Methoden von al-jabr und al-muqabala. Seine Entscheidungen stimmen natürlich nicht vollständig mit unseren überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sei beispielsweise darauf hingewiesen, dass beim Lösen einer unvollständigen quadratischen Gleichung des ersten Typs
al-Khorezmi berücksichtigt, wie alle Mathematiker vor dem 17. Jahrhundert, die Nulllösung nicht, wahrscheinlich weil sie bei bestimmten praktischen Problemen keine Rolle spielt. Beim Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen legt al-Khorezmi die Regeln zum Lösen und dann geometrische Beweise anhand bestimmter numerischer Beispiele fest.
Aufgabe 14.„Das Quadrat und die Zahl 21 sind gleich 10 Wurzeln. Finde die Wurzel“ (unter der Annahme der Wurzel der Gleichung x 2 + 21 = 10x).
Die Lösung des Autors geht ungefähr so: Teilen Sie die Anzahl der Wurzeln in zwei Hälften, Sie erhalten 5, multiplizieren Sie 5 mit sich selbst, subtrahieren Sie 21 vom Produkt, es bleibt 4. Ziehen Sie die Wurzel aus 4, Sie erhalten 2. Subtrahieren Sie 2 von 5, Sie Holen Sie sich 3, dies wird die gewünschte Wurzel sein. Oder addiere 2 zu 5, was 7 ergibt, das ist auch eine Wurzel.
Die Abhandlung al-Khorezmi ist das erste uns überlieferte Buch, in dem die Klassifikation quadratischer Gleichungen systematisch dargelegt und Formeln zu ihrer Lösung angegeben werden.
1.5 Quadratische Gleichungen in Europa XIII - XVIII Jahrhunderte
Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von al-Khorezmi in Europa wurden erstmals im „Buch des Abakus“ niedergelegt, das 1202 vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci verfasst wurde. Dieses umfangreiche Werk, das den Einfluss der Mathematik sowohl auf die Länder des Islam als auch auf das antike Griechenland widerspiegelt, zeichnet sich sowohl durch Vollständigkeit als auch durch Klarheit der Darstellung aus. Der Autor hat eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Problemlösung entwickelt und sich als erster in Europa der Einführung negativer Zahlen genähert. Sein Buch trug zur Verbreitung des algebraischen Wissens nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Aufgaben aus dem "Buch des Abakus" sind in fast alle europäischen Lehrbücher des 16. - 17. Jahrhunderts übergegangen. und teilweise XVIII.
Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form:
x 2+ bx = mit,
für alle möglichen Vorzeichenkombinationen der Koeffizienten b , Mit wurde in Europa erst 1544 von M. Stiefel formuliert.
Vieta hat eine allgemeine Ableitung der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, aber Vieta erkannte nur positive Wurzeln. Die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli gehörten zu den ersten im 16. Jahrhundert. Berücksichtigen Sie neben positiven auch negative Wurzeln. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Arbeit von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern erhält die Lösung quadratischer Gleichungen ein modernes Aussehen.
1.6 Über den Satz von Vieta
Der Satz, der die Beziehung zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln ausdrückt und den Namen Vieta trägt, wurde von ihm erstmals 1591 wie folgt formuliert: „If B + D multipliziert mit EIN - EIN 2 , gleich BD, dann EIN gleich BEI und gleich D ».
Um Vieta zu verstehen, muss man sich das merken ABER, wie jeder Vokal, bedeutete für ihn das Unbekannte (unser X), die Vokale BEI, D- Koeffizienten für das Unbekannte. In der Sprache der modernen Algebra bedeutet Vietas obige Formulierung: wenn
(ein + b ) x - x 2 = ab ,
x 2 - (ein + b )x + ein b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Viet drückte die Beziehung zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten von Gleichungen durch allgemeine Formeln aus, die unter Verwendung von Symbolen geschrieben wurden, und stellte eine Einheitlichkeit in den Methoden zum Lösen von Gleichungen her. Die Symbolik von Vieta ist jedoch noch weit von ihrer modernen Form entfernt. Er erkannte keine negativen Zahlen und betrachtete daher beim Lösen von Gleichungen nur Fälle, in denen alle Wurzeln positiv sind.
2. Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen
Quadratische Gleichungen sind die Grundlage, auf der das majestätische Gebäude der Algebra ruht. Quadratische Gleichungen werden häufig zur Lösung trigonometrischer, exponentieller, logarithmischer, irrationaler und transzendentaler Gleichungen und Ungleichungen verwendet. Von der Schule (8. Klasse) bis zum Abitur wissen wir alle, wie man quadratische Gleichungen löst.
Ich hoffe, dass Sie nach dem Studium dieses Artikels lernen, wie man die Wurzeln einer vollständigen quadratischen Gleichung findet.
Mit Hilfe der Diskriminante werden nur vollständige quadratische Gleichungen gelöst, zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen kommen andere Methoden zum Einsatz, die Sie im Artikel "Unvollständige quadratische Gleichungen lösen" finden.
Welche quadratischen Gleichungen heißen vollständig? Das Gleichungen der Form ax 2 + b x + c = 0, wobei die Koeffizienten a, b und c ungleich Null sind. Um also die vollständige quadratische Gleichung zu lösen, müssen Sie die Diskriminante D berechnen.
D \u003d b 2 - 4ac.
Je nachdem, welchen Wert die Diskriminante hat, schreiben wir die Antwort auf.
Wenn die Diskriminante eine negative Zahl ist (D< 0),то корней нет.
Wenn die Diskriminante Null ist, dann x \u003d (-b) / 2a. Wenn die Diskriminante eine positive Zahl ist (D > 0),
dann x 1 = (-b - √D)/2a und x 2 = (-b + √D)/2a.
Zum Beispiel. löse die Gleichung x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Antwort: 2.
Lösen Sie Gleichung 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Antwort: keine Wurzeln.
Lösen Sie Gleichung 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Antwort: - 3,5; eines.
Stellen wir uns also die Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen nach dem Schema in Abbildung 1 vor.
Diese Formeln können verwendet werden, um jede vollständige quadratische Gleichung zu lösen. Man muss nur darauf achten Die Gleichung wurde als Polynom der Standardform geschrieben
a x 2 + bx + c, sonst kann man sich irren. Wenn Sie beispielsweise die Gleichung x + 3 + 2x 2 = 0 schreiben, können Sie dies fälschlicherweise entscheiden
a = 1, b = 3 und c = 2. Dann
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 und dann hat die Gleichung zwei Wurzeln. Und das ist nicht wahr. (Siehe Beispiel 2 Lösung oben).
Wenn also die Gleichung nicht als Polynom der Standardform geschrieben wird, muss zunächst die vollständige quadratische Gleichung als Polynom der Standardform geschrieben werden (das Monom mit dem größten Exponenten sollte also an erster Stelle stehen). a x 2 , dann mit weniger – bx, und dann der freie Begriff Mit.
Beim Lösen der obigen quadratischen Gleichung und der quadratischen Gleichung mit einem geraden Koeffizienten für den zweiten Term können auch andere Formeln verwendet werden. Machen wir uns mit diesen Formeln vertraut. Wenn in der vollständigen quadratischen Gleichung mit dem zweiten Term der Koeffizient gerade ist (b = 2k), dann kann die Gleichung mit den im Diagramm von Abbildung 2 gezeigten Formeln gelöst werden.
Eine vollständige quadratische Gleichung heißt reduziert, wenn der Koeffizient at x 2 gleich Eins ist und die Gleichung die Form annimmt x 2 + px + q = 0. Eine solche Gleichung kann zum Lösen gegeben werden oder wird erhalten, indem alle Koeffizienten der Gleichung durch den Koeffizienten dividiert werden a stehen an x 2 .
Abbildung 3 zeigt ein Diagramm der Lösung des reduzierten Quadrats Gleichungen. Betrachten Sie das Beispiel der Anwendung der in diesem Artikel besprochenen Formeln.
Beispiel. löse die Gleichung
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Lösen wir diese Gleichung mit den in Abbildung 1 gezeigten Formeln.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
Antwort: -1 - √3; –1 + √3
Sie können sehen, dass der Koeffizient bei x in dieser Gleichung eine gerade Zahl ist, dh b \u003d 6 oder b \u003d 2k, woher k \u003d 3. Versuchen wir dann, die Gleichung mit den im Abbildungsdiagramm gezeigten Formeln zu lösen D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Antwort: -1 - √3; –1 + √3. Wenn wir bemerken, dass alle Koeffizienten in dieser quadratischen Gleichung durch 3 teilbar sind, erhalten wir beim Teilen die reduzierte quadratische Gleichung x 2 + 2x - 2 = 0. Wir lösen diese Gleichung unter Verwendung der Formeln für das reduzierte Quadrat Gleichungen Abbildung 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
Antwort: -1 - √3; –1 + √3.
Wie Sie sehen können, haben wir beim Lösen dieser Gleichung mit verschiedenen Formeln dieselbe Antwort erhalten. Wenn Sie also die im Diagramm von Abbildung 1 gezeigten Formeln gut beherrschen, können Sie jederzeit jede vollständige quadratische Gleichung lösen.
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