Um herauszufinden, ob Null durch eine negative Zahl geteilt werden kann, sollte man sich zunächst daran erinnern, wie die Division negativer Zahlen im Allgemeinen durchgeführt wird. Die mathematische Operation der Division ist die Umkehrung der Multiplikation.

Dies kann wie folgt beschrieben werden: Wenn a und b rationale Zahlen sind, dann bedeutet die Division von a durch b, eine Zahl c zu finden, die multipliziert mit b die Zahl a ergibt. Diese Definition der Division gilt sowohl für positive als auch für negative Zahlen, solange die Teiler nicht Null sind. Dabei wird die Bedingung strikt eingehalten, dass eine Division durch Null nicht möglich ist.

Um beispielsweise die Zahl 32 durch die Zahl -8 zu teilen, sollten Sie eine Zahl finden, die multipliziert mit der Zahl -8 die Zahl 32 ergibt. Diese Zahl ist dann -4

(-4) x (-8) \u003d 32. Die Zeichen werden addiert, und ein Minus durch ein Minus ergibt ein Plus.

Auf diese Weise:

Weitere Beispiele für die Division rationaler Zahlen:

21: 7 = 3, da 7 x 3 = 21,

(−9) : (−3) = 3, da 3 (−3) = −9.

Regeln für die Division negativer Zahlen

Um den Modul des Quotienten zu bestimmen, ist es notwendig, den Modul der teilbaren Zahl durch den Modul des Divisors zu teilen. Es ist wichtig, das Vorzeichen beider Elemente der Operation zu berücksichtigen.

Um zwei Zahlen mit demselben Vorzeichen zu dividieren, musst du den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors dividieren und ein Pluszeichen vor das Ergebnis setzen.

Um zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu dividieren, müssen Sie den Dividendenmodul durch den Divisormodul dividieren, aber ein Minuszeichen vor das Ergebnis setzen, und es spielt keine Rolle, welches der Elemente, Divisor oder Dividende, negativ war.

Die angegebenen Regeln und Beziehungen zwischen den Ergebnissen von Multiplikation und Division, die für positive Zahlen bekannt sind, gelten auch für alle rationalen Zahlen außer der Zahl Null.

Es gibt eine wichtige Regel für Null: Der Quotient der Division von Null durch eine beliebige Zahl ungleich Null ist ebenfalls Null.

0: b = 0, b ≠ 0. Außerdem kann b sowohl positiv als auch negativ sein.

Daraus können wir schließen, dass Null durch eine negative Zahl geteilt werden kann und das Ergebnis immer Null sein wird.

Jetzt beschäftigen wir uns mit Multiplikation und Division.

Angenommen, wir müssen +3 mit -4 multiplizieren. Wie kann man das machen?

Betrachten wir einen solchen Fall. Drei Leute haben sich verschuldet, und jeder hat 4 Dollar Schulden. Wie hoch ist die Gesamtverschuldung? Um es zu finden, müssen Sie alle drei Schulden zusammenzählen: 4 $ + 4 $ + 4 $ = 12 $. Wir haben entschieden, dass die Addition von drei Zahlen 4 als 3 × 4 bezeichnet wird. Da es sich in diesem Fall um Schulden handelt, steht vor der 4 ein „-“. Wir wissen, dass die Gesamtverschuldung 12 $ beträgt, also lautet unser Problem jetzt 3x(-4)=-12.

Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn je nach Problemstellung jede der vier Personen eine Schuld von 3 Dollar hat. Mit anderen Worten, (+4)x(-3)=-12. Und da die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle spielt, erhalten wir (-4)x(+3)=-12 und (+4)x(-3)=-12.

Fassen wir die Ergebnisse zusammen. Bei der Multiplikation einer positiven und einer negativen Zahl ist das Ergebnis immer eine negative Zahl. Der Zahlenwert der Antwort ist derselbe wie bei positiven Zahlen. Produkt (+4)x(+3)=+12. Das Vorhandensein des "-"-Zeichens wirkt sich nur auf das Vorzeichen, nicht aber auf den Zahlenwert aus.

Wie multipliziert man zwei negative Zahlen?

Leider ist es sehr schwierig, zu diesem Thema ein passendes Beispiel aus dem Leben zu finden. Es ist leicht, sich 3 oder 4 Dollar Schulden vorzustellen, aber es ist völlig unmöglich, sich vorzustellen, dass -4 oder -3 Menschen Schulden machen.

Vielleicht gehen wir den anderen Weg. Bei der Multiplikation ändert das Vorzeichen eines der Faktoren das Vorzeichen des Produkts. Wenn wir die Vorzeichen beider Faktoren ändern, müssen wir die Vorzeichen zweimal ändern Produktzeichen, zuerst von positiv nach negativ und dann umgekehrt, von negativ nach positiv, das heißt, das Produkt hat sein ursprüngliches Vorzeichen.

Daher ist es ziemlich logisch, wenn auch etwas seltsam, dass (-3)x(-4)=+12.

Zeichenposition multipliziert ändert sich das so:

• positive Zahl x positive Zahl = positive Zahl;
• negative Zahl x positive Zahl = negative Zahl;
• positive Zahl x negative Zahl = negative Zahl;
• negative Zahl x negative Zahl = positive Zahl.

Mit anderen Worten, Wenn wir zwei Zahlen mit demselben Vorzeichen multiplizieren, erhalten wir eine positive Zahl. Wenn wir zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen multiplizieren, erhalten wir eine negative Zahl.

Die gleiche Regel gilt für die der Multiplikation entgegengesetzte Aktion - z.

Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie ausführen umgekehrte Multiplikationsoperationen. Wenn Sie in jedem der obigen Beispiele den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren, erhalten Sie den Dividenden und stellen sicher, dass er dasselbe Vorzeichen hat, wie (-3)x(-4)=(+12).

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Der Schwerpunkt dieses Artikels liegt Division negativer Zahlen. Zuerst wird die Regel für die Division einer negativen Zahl durch eine negative angegeben, ihre Begründungen werden angegeben, und dann werden Beispiele für die Division negativer Zahlen mit einer detaillierten Beschreibung der Lösungen gegeben.

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Regel zur Division negativer Zahlen

Bevor wir die Regel für die Division negativer Zahlen angeben, erinnern wir uns an die Bedeutung der Divisionsaktion. Die Division stellt im Wesentlichen das Auffinden eines unbekannten Faktors durch ein bekanntes Produkt und einen bekannten anderen Faktor dar. Das heißt, die Zahl c ist der Quotient von a geteilt durch b, wenn c b=a , und umgekehrt, wenn c b=a , dann a:b=c .

Regel zur Division negativer Zahlen Folgendes: Der Quotient der Division einer negativen Zahl durch eine andere ist gleich dem Quotienten der Division des Zählers durch den Betrag des Nenners.

Schreiben wir die stimmhafte Regel mit Buchstaben auf. Wenn a und b negative Zahlen sind, dann ist die Gleichheit a:b=|a|:|b| .

Die Gleichheit a:b=a b −1 ist einfach zu beweisen, ausgehend von Eigenschaften der Multiplikation reeller Zahlen und Definitionen von reziproken Zahlen. Tatsächlich kann man auf dieser Basis eine Kette von Gleichheiten der Form schreiben (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, was aufgrund des eingangs erwähnten Divisionssinns beweist, dass a · b − 1 der Quotient der Division von a durch b ist.

Und diese Regel ermöglicht es Ihnen, von der Division negativer Zahlen zur Multiplikation überzugehen.

Es bleibt die Anwendung der betrachteten Regeln zum Teilen negativer Zahlen beim Lösen von Beispielen zu betrachten.

Beispiele für die Division negativer Zahlen

Lassen Sie uns analysieren Beispiele für die Division negativer Zahlen. Beginnen wir mit einfachen Fällen, an denen wir die Anwendung der Divisionsregel erarbeiten werden.

Beispiel.

Teilen Sie die negative Zahl −18 durch die negative Zahl −3 und berechnen Sie dann den Quotienten (−5):(−2) .

Lösung.

Nach der Divisionsregel negativer Zahlen ist der Quotient der Division von –18 durch –3 gleich dem Quotienten der Division der Module dieser Zahlen. Da |−18|=18 und |−3|=3 , dann (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 bleibt nur noch die Division der natürlichen Zahlen durchzuführen, wir haben 18:3=6.

Den zweiten Teil des Problems lösen wir auf die gleiche Weise. Da |−5|=5 und |−2|=2 , dann (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Dieser Quotient entspricht einem gewöhnlichen Bruch 5/2, der als gemischte Zahl geschrieben werden kann.

Die gleichen Ergebnisse werden mit einer anderen Regel zum Teilen negativer Zahlen erhalten. In der Tat ist die Zahl −3 dann umgekehrt die Zahl , jetzt führen wir die Multiplikation negativer Zahlen durch: . Ebenfalls, .

Antworten:

(−18):(−3)=6 und .

Beim Dividieren von gebrochenen rationalen Zahlen ist es am bequemsten, mit gewöhnlichen Brüchen zu arbeiten. Aber wenn es praktisch ist, können Sie Dezimalbrüche dividieren und beenden.

Beispiel.

Teilen Sie die Zahl -0,004 durch -0,25 .

Lösung.

Die Module des Dividenden und des Divisors sind 0,004 bzw. 0,25, dann haben wir gemäß der Regel zum Teilen negativer Zahlen (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• oder Division von Dezimalbrüchen durch eine Spalte durchführen,
• oder gehen Sie von Dezimalzahlen zu gewöhnlichen Brüchen und dividieren Sie dann die entsprechenden gewöhnlichen Brüche.

Werfen wir einen Blick auf beide Ansätze.

Um 0,004 durch 0,25 in einer Spalte zu dividieren, verschieben Sie zuerst das Komma um 2 Ziffern nach rechts, während Sie 0,4 durch 25 dividieren. Jetzt führen wir eine Division durch eine Spalte durch:

Also 0,004:0,25=0,016 .

Und jetzt zeigen wir, wie die Lösung aussehen würde, wenn wir uns entscheiden würden, Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Als und dann , und ausführen

Dieser Artikel gibt einen detaillierten Überblick dividieren von zahlen mit unterschiedlichen vorzeichen. Zunächst wird die Regel zum Teilen von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen angegeben. Nachfolgend finden Sie Beispiele für die Division positiver Zahlen durch negative und negativer Zahlen durch positive.

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Regel zum Teilen von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen

Bei der Artikelteilung von ganzen Zahlen wurde die Regel zum Teilen von ganzen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen erhalten. Es kann sowohl auf rationale Zahlen als auch auf reelle Zahlen erweitert werden, indem alle Argumente aus dem angegebenen Artikel wiederholt werden.

So, Regel zum Teilen von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen hat die folgende Formulierung: Um eine positive Zahl durch eine negative oder eine negative Zahl durch eine positive zu dividieren, ist es notwendig, den Dividenden durch den Betrag des Divisors zu dividieren und der resultierenden Zahl ein Minuszeichen voranzustellen.

Wir schreiben diese Teilungsregel mit Buchstaben. Wenn die Zahlen a und b unterschiedliche Vorzeichen haben, gilt die Formel a:b=−|a|:|b| .

Aus der stimmhaften Regel geht hervor, dass das Ergebnis der Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen eine negative Zahl ist. Da nämlich der Modul des Dividenden und der Modul des Divisors positiver sind als die Zahl, ist ihr Quotient eine positive Zahl, und das Minuszeichen macht diese Zahl negativ.

Beachten Sie, dass die betrachtete Regel die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen auf die Division positiver Zahlen reduziert.

Sie können die Regel für die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen auch anders formulieren: Um die Zahl a durch die Zahl b zu teilen, müssen Sie die Zahl a mit der Zahl b −1, dem Kehrwert der Zahl b, multiplizieren. Also, a:b=ab −1 .

Diese Regel kann verwendet werden, wenn es möglich ist, über die Menge der ganzen Zahlen hinauszugehen (da nicht jede ganze Zahl eine Inverse hat). Mit anderen Worten, es gilt sowohl für die Menge der rationalen Zahlen als auch für die Menge der reellen Zahlen.

Es ist klar, dass Sie mit dieser Regel zum Teilen von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen von der Division zur Multiplikation wechseln können.

Die gleiche Regel wird beim Teilen negativer Zahlen verwendet.

Es bleibt zu überlegen, wie diese Regel zum Teilen von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen bei der Lösung von Beispielen angewendet wird.

Beispiele für die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen

Betrachten wir Lösungen mehrerer Merkmale Beispiele für die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen das Prinzip der Anwendung der Regeln aus dem vorherigen Absatz zu verstehen.

Beispiel.

Teilen Sie die negative Zahl −35 durch die positive Zahl 7 .

Lösung.

Die Regel zur Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen schreibt vor, zuerst die Module des Dividenden und des Divisors zu finden. Der Modul von −35 ist 35 und der Modul von 7 ist 7. Jetzt müssen wir den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors teilen, das heißt, wir müssen 35 durch 7 teilen. Wenn wir uns daran erinnern, wie die Division natürlicher Zahlen durchgeführt wird, erhalten wir 35:7=5. Der letzte Schritt der Regel zum Teilen von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen bleibt bestehen - setzen Sie ein Minus vor die resultierende Zahl, wir haben -5.

Hier ist die ganze Lösung: .

Man könnte von einer anderen Formulierung der Regel zur Division von Zahlen mit anderen Vorzeichen ausgehen. In diesem Fall finden wir zuerst die Zahl, die der Kehrwert des Teilers 7 ist. Diese Zahl ist der gemeinsame Bruch 1/7. Auf diese Weise, . Es bleibt die Multiplikation von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen durchzuführen: . Offensichtlich kamen wir zum gleichen Ergebnis.

Antworten:

(−35):7=−5 .

Beispiel.

Berechnen Sie den Quotienten 8:(−60) .

Lösung.

Nach der Regel, Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu teilen, haben wir 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Der resultierende Ausdruck entspricht einem negativen gewöhnlichen Bruch (siehe das Divisionszeichen als Bruchstrich), Sie können den Bruch um 4 kürzen, wir erhalten .

Wir schreiben die ganze Lösung kurz auf: .

Antworten:

.

Beim Dividieren von gebrochenen rationalen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen werden deren Dividende und Divisor normalerweise als gewöhnliche Brüche dargestellt. Dies liegt daran, dass es nicht immer bequem ist, eine Division mit Zahlen in einer anderen Notation (z. B. in Dezimalschreibweise) durchzuführen.

Beispiel.

Lösung.

Der Modul des Dividenden ist , und der Modul des Divisors ist 0,(23) . Um den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors zu dividieren, gehen wir zu gewöhnlichen Brüchen über.

Lassen Sie uns eine gemischte Zahl in einen gewöhnlichen Bruch übersetzen: , und auch