Die Videolektion "Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke" soll die Fähigkeiten der Schüler zur Lösung trigonometrischer Probleme unter Verwendung grundlegender trigonometrischer Identitäten verbessern. Während der Videolektion werden Arten trigonometrischer Identitäten betrachtet, Beispiele für die Lösung von Problemen mit ihnen. Mit visuellen Hilfsmitteln ist es für den Lehrer einfacher, die Ziele des Unterrichts zu erreichen. Eine anschauliche Darstellung des Stoffes trägt zum Merken wichtiger Punkte bei. Die Verwendung von Animationseffekten und Sprachausgabe ermöglicht es Ihnen, den Lehrer in der Phase der Erklärung des Materials vollständig zu ersetzen. Somit kann der Lehrer durch den Einsatz dieser Anschauungshilfe im Mathematikunterricht die Effektivität des Unterrichts steigern.

Zu Beginn der Videolektion wird das Thema bekannt gegeben. Dann werden die zuvor untersuchten trigonometrischen Identitäten wieder aufgerufen. Der Bildschirm zeigt die Gleichungen sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, wobei t≠π/2+πk für kϵZ, ctg t=cos t/sin t, wahr für t≠πk, wobei kϵZ, tan t · ctg t=1, bei t≠πk/2, wobei kϵZ, trigonometrische Basisidentitäten genannt. Es wird darauf hingewiesen, dass diese Identitäten häufig zur Lösung von Problemen verwendet werden, bei denen es notwendig ist, die Gleichheit zu beweisen oder den Ausdruck zu vereinfachen.

Ferner werden Beispiele für die Anwendung dieser Identitäten beim Lösen von Problemen betrachtet. Zunächst wird vorgeschlagen, die Lösung von Problemen der Vereinfachung von Ausdrücken in Betracht zu ziehen. In Beispiel 1 muss der Ausdruck cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t vereinfacht werden. Zur Lösung des Beispiels wird zunächst der gemeinsame Faktor cos 2 t eingeklammert. Als Ergebnis einer solchen Transformation in Klammern erhält man den Ausdruck 1-cos 2 t, dessen Wert aus der Grundidentität der Trigonometrie gleich sin 2 t ist. Nach der Transformation des Ausdrucks ist es offensichtlich, dass ein weiterer gemeinsamer Faktor sin 2 t aus Klammern herausgenommen werden kann, wonach der Ausdruck die Form sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) annimmt. Aus derselben Grundidentität leiten wir den Wert des Klammerausdrucks gleich 1 ab. Als Ergebnis der Vereinfachung erhalten wir cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

In Beispiel 2 muss auch der Ausdruck cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) vereinfacht werden. Da der Ausdruck cost in den Zählern beider Brüche steht, kann er als gemeinsamer Teiler ausgeklammert werden. Dann werden die Brüche in Klammern durch Multiplikation von (1- sint)(1+ sint) auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Nach der Reduzierung ähnlicher Terme bleibt 2 im Zähler und 1 - sin 2 t im Nenner. Auf der rechten Seite des Bildschirms wird die grundlegende trigonometrische Identität sin 2 t+cos 2 t=1 aufgerufen. Damit finden wir den Nenner des Bruchs cos 2 t. Nach dem Reduzieren des Bruchs erhalten wir eine vereinfachte Form des Ausdrucks cost / (1- sint) + cost / (1 + sint) \u003d 2 / cost.

Als nächstes betrachten wir Beispiele für den Beweis von Identitäten, in denen das erworbene Wissen über die grundlegenden Identitäten der Trigonometrie angewendet wird. In Beispiel 3 muss die Identität (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t nachgewiesen werden. Auf der rechten Seite des Bildschirms werden drei Identitäten angezeigt, die für den Beweis benötigt werden - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t und tg t=sin t/cos t mit Einschränkungen. Zum Beweis der Identität werden zunächst die Klammern geöffnet, danach wird ein Produkt gebildet, das den Ausdruck der trigonometrischen Hauptidentität tg t·ctg t=1 widerspiegelt. Dann wird gemäß der Identität aus der Definition des Kotangens ctg 2 t transformiert. Als Ergebnis von Transformationen erhält man den Ausdruck 1-cos 2 t. Unter Verwendung der grundlegenden Identität finden wir den Wert des Ausdrucks. Somit ist bewiesen, dass (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

In Beispiel 4 müssen Sie den Wert des Ausdrucks tg 2 t+ctg 2 t finden, wenn tg t+ctg t=6. Um den Ausdruck auszuwerten, werden zunächst die rechte und die linke Seite der Gleichung (tg t+ctg t) 2 =6 2 quadriert. Die abgekürzte Multiplikationsformel wird auf der rechten Seite des Bildschirms angezeigt. Nach Öffnen der Klammern auf der linken Seite des Ausdrucks wird die Summe tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t gebildet, für deren Transformation eine der trigonometrischen Identitäten tg t ctg t=1 verwendet werden kann, dessen Form auf der rechten Seite des Bildschirms abgerufen wird. Nach der Transformation erhält man die Gleichheit tg 2 t + ctg 2 t=34. Die linke Seite der Gleichheit stimmt mit der Bedingung des Problems überein, also lautet die Antwort 34. Das Problem ist gelöst.

Die Videolektion „Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke“ wird für den Einsatz im klassischen Schulmathematikunterricht empfohlen. Das Material wird auch für einen Lehrer nützlich sein, der Fernunterricht anbietet. Um eine Fähigkeit zur Lösung trigonometrischer Probleme zu entwickeln.

TEXTEINTERPRETATION:

"Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke".

Gleichberechtigung

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (Sinus zum Quadrat von te plus Kosinus zum Quadrat von te ist gleich eins)

2) tgt =, bei t ≠ + πk, kϵZ (der Tangens von te ist gleich dem Verhältnis des Sinus von te zum Kosinus von te, wenn te ungleich pi um zwei plus pi ka ist, ka gehört zu zet)

3) ctgt = , bei t ≠ πk, kϵZ (der Kotangens von te ist gleich dem Verhältnis des Kosinus von te zum Sinus von te, wenn te nicht gleich der Spitze von ka ist, die zu z gehört).

4)tgt ∙ ctgt = 1 für t ≠ , kϵZ

werden trigonometrische Grundidentitäten genannt.

Oft werden sie zur Vereinfachung und zum Beweis trigonometrischer Ausdrücke verwendet.

Betrachten Sie Beispiele für die Verwendung dieser Formeln bei der Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke.

BEISPIEL 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (Ausdruck a Kosinus zum Quadrat te minus Kosinus vierten Grades von te plus Sinus vierten Grades von te).

Lösung. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = Sünde 2 t 1= Sünde 2 t

(Wir nehmen den gemeinsamen Faktor Cosinus Quadrat te heraus, in Klammern erhalten wir die Differenz zwischen Eins und dem Quadrat von Cosinus te, der gleich dem Quadrat von Sinus te durch die erste Identität ist. Wir erhalten die Summe des Sinus der vierten Grad te des Produkts aus Kosinusquadrat te und Sinusquadrat te. Wir nehmen den gemeinsamen Faktor Sinusquadrat te außerhalb der Klammern heraus, in Klammern erhalten wir die Summe der Quadrate des Kosinus und des Sinus, die gemäß der grundlegenden Trigonometrie Identität, ist gleich 1. Als Ergebnis erhalten wir das Quadrat des Sinus te).

BEISPIEL 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck: + .

(Ausdruck ist die Summe zweier Brüche im Zähler des ersten Kosinus te im Nenner eins minus Sinus te, im Zähler des zweiten Kosinus te im Nenner des zweiten plus Sinus te).

(Wir nehmen den gemeinsamen Teiler Cosinus te aus Klammern und bringen ihn in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner, der das Produkt von eins minus Sinus te mal eins plus Sinus te ist.

Im Zähler erhalten wir: eins plus Sinus te plus eins minus Sinus te, wir geben ähnliche, der Zähler ist gleich zwei, nachdem wir ähnliche gebracht haben.

Auf den Nenner kannst du die abgekürzte Multiplikationsformel (Differenz der Quadrate) anwenden und erhältst die Differenz zwischen der Einheit und dem Quadrat des Sinus te, was der trigonometrischen Grundidentität entspricht

ist gleich dem Quadrat des Kosinus te. Nach dem Reduzieren um den Kosinus te erhalten wir die endgültige Antwort: zwei geteilt durch den Kosinus te).

Betrachten Sie Beispiele für die Verwendung dieser Formeln beim Beweis trigonometrischer Ausdrücke.

BEISPIEL 3. Beweisen Sie die Identität (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (das Produkt der Differenz zwischen den Quadraten der Tangente von te und dem Sinus von te und dem Quadrat des Kotangens von te ist gleich dem Quadrat des Sinus von te).

Nachweisen.

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichheit transformieren:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = Sünde 2 t

(Lassen Sie uns die Klammern öffnen, aus der zuvor erhaltenen Beziehung ist bekannt, dass das Produkt der Quadrate der Tangente von te durch den Kotangens von te gleich eins ist. Erinnern Sie sich, dass der Kotangens von te gleich dem Verhältnis des Kosinus von ist te zum Sinus von te, was bedeutet, dass das Quadrat des Kotangens das Verhältnis des Quadrats des Kosinus von te zum Quadrat des Sinus von te ist.

Nach Reduktion um das Sinusquadrat von te erhalten wir die Differenz zwischen Eins und dem Kosinus des Quadrats von te, der gleich dem Sinus des Quadrats von te ist). Q.E.D.

BEISPIEL 4. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks tg 2 t + ctg 2 t, wenn tgt + ctgt = 6.

(die Summe der Quadrate des Tangens von te und des Kotangens von te, wenn die Summe aus Tangens und Kotangens sechs ist).

Lösung. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Lassen Sie uns beide Teile der ursprünglichen Gleichheit quadrieren:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (das Quadrat der Summe des Tangens von te und des Kotangens von te ist sechs zum Quadrat). Erinnern Sie sich an die abgekürzte Multiplikationsformel: Das Quadrat der Summe zweier Größen ist gleich dem Quadrat der ersten plus zweimal dem Produkt der ersten und zweiten plus dem Quadrat der zweiten. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Wir erhalten tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Da das Produkt aus dem Tangens von te und dem Kotangens von te gleich eins ist, ist tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (die Summe der Quadrate des Tangens von te und des Kotangens von te und zwei ist sechsunddreißig),

Lektion 1

Thema: Klasse 11 (Vorbereitung auf die Prüfung)

Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke.

Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. (2 Stunden)

Ziele:

• Systematisieren, verallgemeinern und erweitern Sie das Wissen und die Fähigkeiten der Schüler in Bezug auf die Verwendung trigonometrischer Formeln und die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Ausrüstung für den Unterricht:

Unterrichtsstruktur:

1. OrgMoment
2. Testen auf Laptops. Die Diskussion der Ergebnisse.
3. Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke
4. Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen
5. Selbstständige Arbeit.
6. Zusammenfassung der Lektion. Erklärung der Hausaufgaben.

1. Organisierender Moment. (2 Minuten.)

Der Lehrer begrüßt das Publikum, gibt das Unterrichtsthema bekannt, erinnert daran, dass zuvor die Aufgabe gestellt wurde, die Trigonometrieformeln zu wiederholen, und bereitet die Schüler auf die Prüfung vor.

2. Testen. (15min + 3min Diskussion)

Ziel ist es, die Kenntnis trigonometrischer Formeln und die Fähigkeit, diese anzuwenden, zu testen. Jeder Student hat auf seinem Schreibtisch einen Laptop, in dem sich eine Testmöglichkeit befindet.

Es kann eine beliebige Anzahl von Optionen geben, ich werde ein Beispiel für eine davon geben:

Ich wähle.

Ausdrücke vereinfachen:

a) grundlegende trigonometrische Identitäten

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) Additionsformeln

3. sin5x - sin3x;

c) Umwandeln eines Produkts in eine Summe

6. 2sin8y cos3y;

d) Doppelwinkelformeln

7.2sin5x cos5x;

e) Halbwinkelformeln

f) Dreifachwinkelformeln

g) universelle Substitution

h) Herabsetzung des Grades

16. cos 2 (3x/7);

Schüler auf einem Laptop vor jeder Formel sehen ihre Antworten.

Die Arbeit wird sofort vom Computer überprüft. Die Ergebnisse werden auf einem großen Bildschirm für alle sichtbar angezeigt.

Auch nach Abschluss der Arbeit werden die richtigen Antworten auf den Laptops der Schüler angezeigt. Jeder Schüler sieht, wo der Fehler gemacht wurde und welche Formeln er wiederholen muss.

3. Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke. (25 Minuten)

Ziel ist es, die Anwendung der Grundformeln der Trigonometrie zu wiederholen, zu erarbeiten und zu festigen. Aufgaben lösen B7 aus der Klausur.

In dieser Phase empfiehlt es sich, die Klasse in Gruppen von starken (selbstständiges Arbeiten mit anschließender Überprüfung) und schwachen Schülern, die mit dem Lehrer arbeiten, zu unterteilen.

Aufgabe für starke Schüler (vorab auf gedruckter Basis vorbereitet). Der Schwerpunkt liegt auf den Reduktions- und Doppelwinkelformeln nach USE 2011.

Ausdrücke vereinfachen (für starke Lerner):

Parallel dazu arbeitet der Lehrer mit schwachen Schülern, diskutiert und löst Aufgaben auf dem Bildschirm unter dem Diktat der Schüler.

Berechnung:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Vereinfachen:

Es war an der Reihe, die Ergebnisse der Arbeit der starken Gruppe zu diskutieren.

Die Antworten erscheinen auf dem Bildschirm, und mit Hilfe einer Videokamera wird auch die Arbeit von 5 verschiedenen Schülern angezeigt (jeweils eine Aufgabe).

Die schwache Gruppe sieht die Bedingung und den Lösungsweg. Es wird diskutiert und analysiert. Mit dem Einsatz technischer Mittel geht das schnell.

4. Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. (30 Minuten.)

Ziel ist es, die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu wiederholen, zu systematisieren und zu verallgemeinern und dabei ihre Wurzeln aufzuzeichnen. Lösung von Problem B3.

Jede trigonometrische Gleichung, egal wie wir sie lösen, führt zur einfachsten.

Bei der Bearbeitung der Aufgabe sollten die Schüler darauf achten, die Wurzeln der Gleichungen von Sonderfällen und allgemeiner Form zu schreiben und die Wurzeln in der letzten Gleichung auszuwählen.

Gleichungen lösen:

Schreiben Sie die kleinste positive Wurzel der Antwort auf.

5. Selbständiges Arbeiten (10 Min.)

Ziel ist es, die erworbenen Fähigkeiten zu testen, Probleme, Fehler und Wege zu ihrer Beseitigung zu identifizieren.

Eine Vielzahl von Arbeiten wird nach Wahl des Studenten angeboten.

Option für "3"

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2) Vereinfachen Sie den Ausdruck 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Lösen Sie die Gleichung

Option für "4"

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2) Lösen Sie die Gleichung Notieren Sie die kleinste positive Wurzel Ihrer Antwort.

Option für "5"

1) Finde tgα wenn

2) Finden Sie die Wurzel der Gleichung Notieren Sie die kleinste positive Wurzel Ihrer Antwort.

6. Zusammenfassung der Lektion (5 Min.)

Der Lehrer fasst die Tatsache zusammen, dass die Lektion trigonometrische Formeln wiederholt und konsolidiert, die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Hausaufgaben werden stichprobenartig in der nächsten Unterrichtsstunde vergeben (vorher auf gedruckter Basis vorbereitet).

Gleichungen lösen:

9)

10) Geben Sie Ihre Antwort als kleinste positive Wurzel an.

Lektion 2

Thema: Klasse 11 (Vorbereitung auf die Prüfung)

Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen. Root-Auswahl. (2 Stunden)

Ziele:

• Verallgemeinern und systematisieren Sie das Wissen zur Lösung trigonometrischer Gleichungen verschiedener Art.
• Um die Entwicklung des mathematischen Denkens der Schüler zu fördern, die Fähigkeit zu beobachten, zu vergleichen, zu verallgemeinern, einzuordnen.
• Ermutigen Sie die Schüler, Schwierigkeiten im Prozess der geistigen Aktivität zu überwinden, sich selbst zu kontrollieren und ihre Aktivitäten zu überprüfen.

Ausrüstung für den Unterricht: KRMU, Laptops für jeden Schüler.

Unterrichtsstruktur:

1. OrgMoment
2. Diskussion d / s und samot. die Arbeit der letzten Stunde
3. Wiederholung von Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.
4. Lösen trigonometrischer Gleichungen
5. Auswahl von Wurzeln in trigonometrischen Gleichungen.
6. Selbstständige Arbeit.
7. Zusammenfassung der Lektion. Hausaufgaben.

1. Organisierender Moment (2 Min.)

Der Lehrer begrüßt das Publikum, gibt das Unterrichtsthema und den Arbeitsplan bekannt.

2. a) Analyse der Hausaufgaben (5 Min.)

Ziel ist es, die Leistung zu überprüfen. Eine Arbeit mit Hilfe einer Videokamera wird auf dem Bildschirm angezeigt, die anderen werden selektiv zur Kontrolle durch den Lehrer gesammelt.

b) Analyse der selbstständigen Arbeit (3 Min.)

Das Ziel ist es, die Fehler zu beseitigen und Wege aufzuzeigen, wie sie überwunden werden können.

Auf dem Bildschirm sind die Antworten und Lösungen, die die Schüler ihre Arbeit vorab ausgestellt haben. Die Analyse geht schnell voran.

3. Wiederholung von Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen (5 Min.)

Ziel ist es, Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen in Erinnerung zu rufen.

Fragen Sie die Schüler, welche Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen sie kennen. Betonen Sie, dass es sogenannte grundlegende (häufig verwendete) Methoden gibt:

• variable Substitution,
• Faktorisierung,
• homogene Gleichungen,

und es gibt angewandte Methoden:

• nach den Formeln zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt und eines Produkts in eine Summe,
• durch die Reduktionsformeln,
• universelle trigonometrische Substitution
• Einführung eines Hilfswinkels,
• Multiplikation mit einer trigonometrischen Funktion.

Es sollte auch daran erinnert werden, dass eine Gleichung auf verschiedene Arten gelöst werden kann.

4. Lösen trigonometrischer Gleichungen (30 Min.)

Ziel ist es, Kenntnisse und Fähigkeiten zu diesem Thema zu verallgemeinern und zu festigen, um sich auf das Lösen von C1 aus dem USE vorzubereiten.

Ich halte es für sinnvoll, Gleichungen für jede Methode gemeinsam mit den Studierenden zu lösen.

Der Schüler diktiert die Lösung, der Lehrer notiert auf dem Tablet, der ganze Ablauf wird auf dem Bildschirm angezeigt. Auf diese Weise können Sie zuvor behandeltes Material schnell und effizient in Ihrem Gedächtnis wiederherstellen.

Gleichungen lösen:

1) Variablenänderung 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) Faktorisierung 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene Gleichungen sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) Umwandlung der Summe in das Produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) Umwandlung des Produkts in die Summe 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) Verringerung des Sin2x - Sin 2 2x + Sin 2 3x \u003d 0,5

7) universelle trigonometrische Substitution sinx + 5cosx + 5 = 0.

Bei der Lösung dieser Gleichung ist zu beachten, dass die Anwendung dieser Methode zu einer Einengung des Definitionsbereichs führt, da Sinus und Cosinus durch tg(x/2) ersetzt werden. Bevor Sie die Antwort schreiben, müssen Sie daher prüfen, ob die Zahlen aus der Menge π + 2πn, n Z Pferde dieser Gleichung sind.

8) Einführung eines Hilfswinkels √3sinx + cosx - √2 = 0

9) Multiplikation mit einer trigonometrischen Funktion cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Auswahl von Wurzeln trigonometrischer Gleichungen (20 Min.)

Da unter den Bedingungen des harten Wettbewerbs beim Eintritt in die Universitäten die Lösung eines ersten Teils der Prüfung nicht ausreicht, sollten die meisten Studenten die Aufgaben des zweiten Teils (C1, C2, C3) beachten.

Daher besteht der Zweck dieser Unterrichtsphase darin, sich an das zuvor erlernte Material zu erinnern, um sich auf die Lösung des Problems C1 aus dem USE im Jahr 2011 vorzubereiten.

Es gibt trigonometrische Gleichungen, bei denen Sie beim Schreiben der Antwort die Wurzeln auswählen müssen. Dies liegt an einigen Einschränkungen, zum Beispiel: Der Nenner eines Bruchs ist nicht gleich Null, der Ausdruck unter der Wurzel eines geraden Grads ist nicht negativ, der Ausdruck unter dem Vorzeichen des Logarithmus ist positiv usw.

Solche Gleichungen gelten als Gleichungen mit erhöhter Komplexität und befinden sich in der USE-Version im zweiten Teil, nämlich C1.

Löse die Gleichung:

Der Bruch ist dann null Mit dem Einheitskreis wählen wir die Wurzeln aus (siehe Abbildung 1)

Bild 1.

erhalten wir x = π + 2πn, n Z

Antwort: π + 2πn, n Z

Auf dem Bildschirm wird die Auswahl der Wurzeln auf einem Kreis in einem Farbbild angezeigt.

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist und der Bogen gleichzeitig seine Bedeutung nicht verliert. Dann

Wählen Sie mithilfe des Einheitskreises die Wurzeln aus (siehe Abbildung 2).