Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form y = kx + b, die auf der Menge aller reellen Zahlen definiert ist. Dabei ist k die Steigung (reelle Zahl), b der Achsenabschnitt (reelle Zahl), x die unabhängige Variable.

In einem Sonderfall, wenn k = 0, erhalten wir eine konstante Funktion y = b, deren Graph eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse ist, die durch den Punkt mit den Koordinaten (0; b) geht.

Wenn b = 0, dann erhalten wir die Funktion y = kx, was eine direkte Proportionalität ist.

Die geometrische Bedeutung des Koeffizienten b ist die Länge des Segments, das die gerade Linie entlang der Oy-Achse abschneidet, vom Ursprung aus gezählt.

Die geometrische Bedeutung des Koeffizienten k - der Neigungswinkel der Geraden zur positiven Richtung der Ox-Achse - wird gegen den Uhrzeigersinn betrachtet.

Lineare Funktionseigenschaften:

1) Der Definitionsbereich einer linearen Funktion ist die gesamte reelle Achse;

2) Wenn k ≠ 0, dann ist der Bereich der linearen Funktion die gesamte reelle Achse. Ist k = 0, dann besteht der Wertebereich der linearen Funktion aus der Zahl b;

3) Gerade und Ungerade einer linearen Funktion hängen von den Werten der Koeffizienten k und b ab.

a) b ≠ 0, k = 0, also ist y = b gerade;

b) b = 0, k ≠ 0, also ist y = kx ungerade;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, also ist y = kx + b eine allgemeine Funktion;

d) b = 0, k = 0, also ist y = 0 sowohl eine gerade als auch eine ungerade Funktion.

4) Die lineare Funktion hat nicht die Eigenschaft der Periodizität;

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, daher ist (-b / k; 0) der Schnittpunkt mit der Abszissenachse.

Oy: y = 0k + b = b, also ist (0; b) der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Hinweis: Wenn b = 0 und k = 0, dann verschwindet die Funktion y = 0 für jeden Wert von x. Wenn b ≠ 0 und k = 0, dann verschwindet die Funktion y = b für keinen Wert der Variablen x.

6) Intervalle der Vorzeichenkonstanz hängen vom Koeffizienten k ab.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - positiv für x aus (-b/k; +∞),

y = kx + b - ist negativ für x aus (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - positiv für x aus (-∞; -b/k),

y = kx + b - ist negativ für x aus (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b ist im gesamten Definitionsbereich positiv,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervalle der Monotonie einer linearen Funktion hängen vom Koeffizienten k ab.

k > 0, also wächst y = kx + b über den gesamten Bereich,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Um eine gerade Linie zu zeichnen, reicht es aus, zwei Punkte zu kennen. Die Position der Geraden auf der Koordinatenebene hängt von den Werten der Koeffizienten k und b ab. Nachfolgend finden Sie eine Tabelle, die diese Abbildung 1 deutlich veranschaulicht. (Abb. 1)

Beispiel Betrachten Sie die folgende lineare Funktion: y = 5x - 3.

3) Allgemeine Funktion;

4) nicht periodisch;

5) Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:

Ox: 5x - 3 \u003d 0, x \u003d 3/5, daher ist (3/5; 0) der Schnittpunkt mit der Abszissenachse.

Oy: y = -3, also (0; -3) - Schnittpunkt mit der y-Achse;

6) y = 5x - 3 ist positiv für x aus (3/5; +∞),

y = 5x - 3 - negativ für x von (-∞; 3/5);

7) y = 5x - 3 Zunahmen über den gesamten Definitionsbereich;

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5. Monom heißt das Produkt aus numerischen und alphabetischen Faktoren. Koeffizient heißt Zahlenfaktor des Monoms.

6. Um das Monom in Standardform zu schreiben, benötigen Sie: 1) Multipliziere die numerischen Faktoren und setze ihr Produkt an die erste Stelle; 2) Potenzen mit gleichen Basen multiplizieren und das resultierende Produkt hinter den Zahlenfaktor stellen.

7. Ein Polynom wird aufgerufen algebraische Summe mehrerer Monome.

8. Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, Es ist notwendig, das Monom mit jedem Term des Polynoms zu multiplizieren und die resultierenden Produkte zu addieren.

9. Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, Es ist notwendig, jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen Polynoms zu multiplizieren und die resultierenden Produkte zu addieren.

10. Es ist möglich, eine gerade Linie durch zwei beliebige Punkte zu ziehen, aber nur durch einen.

11. Zwei Geraden haben entweder nur einen gemeinsamen Punkt oder keinen gemeinsamen Punkt.

12. Zwei geometrische Figuren heißen gleich, wenn sie sich überlagern lassen.

13. Der Punkt des Segments, der es halbiert, dh in zwei gleiche Segmente, wird als Mittelpunkt des Segments bezeichnet.

14. Ein Strahl, der vom Scheitelpunkt eines Winkels ausgeht und ihn in zwei gleiche Winkel teilt, wird Winkelhalbierende genannt.

15. Der Abwicklungswinkel beträgt 180°.

16. Ein Winkel heißt rechter Winkel, wenn er 90° beträgt.

17. Ein Winkel heißt spitz, wenn er kleiner als 90° ist, also kleiner als ein rechter Winkel.

18. Ein Winkel heißt stumpf, wenn er größer als 90°, aber kleiner als 180° ist, also größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als ein gerader Winkel.

19. Zwei Winkel, die eine Seite gemeinsam haben und die anderen beiden Verlängerungen voneinander sind, heißen benachbart.

20. Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°.

21. Zwei Winkel heißen vertikal, wenn die Seiten des einen Winkels Verlängerungen der Seiten des anderen sind.

22. Vertikale Winkel sind gleich.

23. Zwei sich schneidende Linien heißen senkrecht (oder gegenseitig

senkrecht), wenn sie vier rechte Winkel bilden.

24. Zwei Geraden senkrecht zu einer dritten schneiden sich nicht.

25. Faktorisiere ein Polynom bedeutet, es als Produkt mehrerer Monome und Polynome darzustellen.

26. Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms:

a) Einklammerung des gemeinsamen Faktors,

b) die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln,

c) Gruppierung.

27. Um ein Polynom zu faktorisieren, indem Sie den gemeinsamen Faktor aus Klammern entfernen, benötigen Sie:

a) Finden Sie diesen gemeinsamen Faktor,

b) aus Klammern nehmen,

c) jeden Term des Polynoms durch diesen Faktor dividieren und die erhaltenen Ergebnisse addieren.

Zeichen der Gleichheit von Dreiecken

1) Sind zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines Dreiecks jeweils gleich zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines anderen Dreiecks, dann sind solche Dreiecke kongruent.

2) Wenn eine Seite und zwei daran angrenzende Winkel eines Dreiecks gleich einer Seite und zwei daran angrenzenden Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

3) Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Pädagogisches Minimum

1. Faktorisierung durch abgekürzte Multiplikationsformeln:

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

2. Abgekürzte Multiplikationsformeln:

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2

(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

3. Die Strecke, die die Spitze eines Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet, heißt Median Dreieck.

4. Die Senkrechte, die von der Spitze eines Dreiecks zu der Linie gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält, heißt Höhe Dreieck.

5. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.

6. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Winkelhalbierende der Median und die Höhe.

7. Kreis wird eine geometrische Figur genannt, die aus allen Punkten der Ebene besteht, die sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden.

8. Ein Liniensegment, das den Mittelpunkt mit einem Punkt auf dem Kreis verbindet, wird aufgerufen Radius Kreise .

9. Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, wird aufgerufen Akkord.

Der Akkord, der durch die Mitte des Kreises geht, wird aufgerufen Durchmesser

10. Direkte Verhältnismäßigkeit y = kx , wo X ist eine unabhängige Variable, zu ist eine Zahl ungleich Null ( zu ist der Proportionalitätskoeffizient).

11. Diagramm der direkten Proportionalität ist eine Gerade, die durch den Ursprung geht.

12. Lineare Funktion ist eine Funktion, die durch die Formel gegeben werden kann y = kx + b , wo X ist eine unabhängige Variable, zu und b - einige Zahlen.

13. Graph einer linearen Funktion- ist eine gerade Linie.

14 X – Funktionsargument (unabhängige Variable)

bei – Funktionswert (abhängige Variable)

15. Bei b=0 die Funktion nimmt die Form an y=kx, geht sein Graph durch den Ursprung.

Bei k=0 die Funktion nimmt die Form an y=b, sein Graph ist eine horizontale Linie, die durch den Punkt ( 0;b).

Korrespondenz zwischen den Graphen einer linearen Funktion und den Vorzeichen der Koeffizienten k und b

1. Zwei Geraden in einer Ebene werden genannt parallel, wenn sie sich nicht schneiden.

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"Funktionen und ihre Graphen" - 3. Tangentenfunktion. Trigonometrisch. Die Funktion ist auf der ganzen Menge reeller Zahlen definiert und stetig. Definition: Die durch die Formel y = cos x gegebene Zahlenfunktion heißt Kosinus. 4. Kotangensfunktion. Am Punkt x = a selbst kann die Funktion existieren oder nicht. Definition 1. Die Funktion y = f(x) sei auf einer Strecke definiert.

"Funktionen mehrerer Variablen" - Die größten und kleinsten Werte der Funktion. Satz von Weierstraß. Interne und Grenzpunkte. Grenzwert einer Funktion von 2 Variablen. Funktionsgraph. Satz. Kontinuität. Begrenztes Gebiet. Offene und geschlossene Bereiche. Ableitungen höherer Ordnung. Private Derivate. Teilinkremente einer Funktion von 2 Variablen.

„3D-Zeichnungen auf Asphalt“ – Kurt begann seine ersten Werke im Alter von 16 Jahren in Santa Barbara zu schaffen, wo er der Street Art verfallen war. 3D-Zeichnungen auf Asphalt. Kurt Wenner ist einer der bekanntesten Straßenkünstler, der mit gewöhnlichen Buntstiften 3D-Zeichnungen auf Asphalt zeichnet. VEREINIGTE STAATEN VON AMERIKA. In seiner Jugend arbeitete Kurt Wenner als Illustrator für die NASA, wo er die ersten Bilder zukünftiger Raumfahrzeuge schuf.

"Themenfunktion" - Wenn die Schüler auf unterschiedliche Weise arbeiten, sollte der Lehrer auf unterschiedliche Weise mit ihnen arbeiten. Es ist nicht notwendig herauszufinden, was der Student nicht weiß, sondern was er weiß. Verallgemeinerung. Synthese. USE Ergebnisse in Mathematik. Optionales Kursprogramm. Verband. Pädagogischer und thematischer Plan (24 Stunden). Analogie. Wenn der Schüler den Lehrer übertroffen hat, ist dies das Glück des Lehrers.

Aufgaben zu den Eigenschaften und Graphen einer quadratischen Funktion verursachen, wie die Praxis zeigt, ernsthafte Schwierigkeiten. Das ist ziemlich seltsam, denn die quadratische Funktion wird in der 8. Klasse bestanden, und dann wird das gesamte erste Viertel der 9. Klasse durch die Eigenschaften der Parabel "erpresst" und ihre Graphen für verschiedene Parameter gebaut.

Dies liegt daran, dass die Schüler, die gezwungen sind, Parabeln zu bauen, praktisch keine Zeit für das "Lesen" von Diagrammen aufwenden, dh sie üben nicht, die aus dem Bild erhaltenen Informationen zu verstehen. Anscheinend wird davon ausgegangen, dass ein kluger Student, nachdem er zwei Dutzend Diagramme erstellt hat, selbst die Beziehung zwischen den Koeffizienten in der Formel und dem Aussehen des Diagramms entdeckt und formuliert. In der Praxis funktioniert dies nicht. Für eine solche Verallgemeinerung ist ernsthafte Erfahrung in mathematischer Mini-Forschung erforderlich, die die meisten Neuntklässler natürlich nicht haben. In der Zwischenzeit schlagen sie in der GIA vor, die Vorzeichen der Koeffizienten genau nach dem Zeitplan zu bestimmen.

Wir werden Schülern nicht das Unmögliche abverlangen und einfach einen der Algorithmen zur Lösung solcher Probleme anbieten.

Also eine Funktion der Form y=ax2+bx+c heißt quadratisch, ihr Graph ist eine Parabel. Wie der Name schon sagt, ist die Hauptkomponente Axt 2. Also a nicht gleich Null sein sollen, die restlichen Koeffizienten ( b und Mit) kann gleich Null sein.

Mal sehen, wie die Vorzeichen ihrer Koeffizienten das Aussehen der Parabel beeinflussen.

Die einfachste Abhängigkeit für den Koeffizienten a. Die meisten Schüler antworten selbstbewusst: "Wenn a> 0, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, und wenn a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

In diesem Fall a = 0,5

Und jetzt für a < 0:

y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1

In diesem Fall a = - 0,5

Einfluss des Koeffizienten Mit auch leicht genug zu folgen. Stellen Sie sich vor, wir wollen den Wert einer Funktion an einem Punkt finden X= 0. Setzen Sie Null in die Formel ein:

j = a 0 2 + b 0 + c = c. Es stellt sich heraus, dass y = c. Also Mit ist die Ordinate des Schnittpunktes der Parabel mit der y-Achse. In der Regel ist dieser Punkt auf der Grafik leicht zu finden. Und bestimmen Sie, ob es über Null oder unter Null liegt. Also Mit> 0 bzw Mit < 0.

Mit > 0:

y=x2+4x+3

Mit < 0

y = x 2 + 4x - 3

Dementsprechend, wenn Mit= 0, dann geht die Parabel zwangsläufig durch den Ursprung:

y=x2+4x

Schwieriger mit dem Parameter b. Der Punkt, an dem wir es finden, hängt nicht nur davon ab b sondern auch von a. Dies ist die Spitze der Parabel. Seine Abszisse (Achsenkoordinate X) wird durch die Formel gefunden x in \u003d - b / (2a). Auf diese Weise, b = - 2x Zoll. Das heißt, wir gehen wie folgt vor: Auf dem Diagramm finden wir die Spitze der Parabel, bestimmen das Vorzeichen ihrer Abszisse, das heißt, wir schauen rechts von Null ( x ein> 0) oder nach links ( x ein < 0) она лежит.

Dies ist jedoch noch nicht alles. Wir müssen auch auf das Vorzeichen des Koeffizienten achten a. Das heißt, um zu sehen, wohin die Zweige der Parabel gerichtet sind. Und erst danach, laut Formel b = - 2x Zoll Vorzeichen bestimmen b.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Äste nach oben gerichtet a> 0, die Parabel schneidet die Achse bei unter Null bedeutet Mit < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x ein> 0. Also b = - 2x Zoll = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, Mit < 0.

Lineare Funktion heißt Funktion der Form y = kx + b, definiert auf der Menge aller reellen Zahlen. Hier k– Winkelkoeffizient (reelle Zahl), b – freies Mitglied (Realnummer), x ist eine unabhängige Variable.

Im Einzelfall ggf k = 0, erhalten wir eine konstante Funktion y=b, dessen Graph eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse ist, die durch den Punkt mit Koordinaten verläuft (0;b).

Wenn ein b = 0, dann erhalten wir die Funktion y=kx, welches ist im direkten Verhältnis.

b – Segmentlänge, die die Linie entlang der Oy-Achse abschneidet, vom Ursprung aus gezählt.

Die geometrische Bedeutung des Koeffizienten k – Neigungswinkel gerade zur positiven Richtung der Ochsenachse gilt als entgegen dem Uhrzeigersinn.

Lineare Funktionseigenschaften:

1) Der Definitionsbereich einer linearen Funktion ist die gesamte reelle Achse;

2) Wenn ein k ≠ 0, dann ist der Bereich der linearen Funktion die gesamte reelle Achse. Wenn ein k = 0, dann besteht der Wertebereich der linearen Funktion aus der Zahl b;

3) Gerade und Ungerade einer linearen Funktion hängen von den Werten der Koeffizienten ab k und b.

a) b ≠ 0, k = 0, Folglich, y = b ist gerade;

b) b = 0, k ≠ 0, Folglich y = kx ist ungerade;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, Folglich y = kx + b ist eine allgemeine Funktion;

d) b = 0, k = 0, Folglich y = 0 ist sowohl eine gerade als auch eine ungerade Funktion.

4) Eine lineare Funktion hat nicht die Eigenschaft der Periodizität;

5) Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:

Ochse: y = kx + b = 0, x = -b/k, Folglich (-b/k; 0)- Schnittpunkt mit der Abszissenachse.

Oy: y=0k+b=b, Folglich (0;b) ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Hinweis.Wenn b = 0 und k = 0, dann die Funktion y=0 verschwindet für jeden Wert der Variablen X. Wenn ein b ≠ 0 und k = 0, dann die Funktion y=b verschwindet für keinen Wert der Variablen X.

6) Die Intervalle der Vorzeichenkonstanz hängen vom Koeffizienten k ab.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- positiv bei x aus (-b/k; +∞),

y = kx + b- negativ bei x aus (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- positiv bei x aus (-∞; -b/k),

y = kx + b- negativ bei x aus (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b positiv im gesamten Definitionsbereich,

k = 0, b< 0; y = kx + b ist im gesamten Definitionsbereich negativ.

7) Intervalle der Monotonie einer linearen Funktion hängen vom Koeffizienten ab k.

k > 0, Folglich y = kx + b nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu,

k< 0 , Folglich y = kx + b nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab.

8) Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Um eine gerade Linie zu zeichnen, reicht es aus, zwei Punkte zu kennen. Die Position der Geraden auf der Koordinatenebene hängt von den Werten der Koeffizienten ab k und b. Nachfolgend finden Sie eine Tabelle, die dies deutlich macht.