Arithmetische Mittel(in Mathematik und Statistik) Zahlenmengen - die Summe aller Zahlen dividiert durch ihre Zahl. Es ist eines der häufigsten Maße für die zentrale Tendenz.
Es wurde (zusammen mit dem geometrischen Mittel und dem harmonischen Mittel) von den Pythagoräern vorgeschlagen.
Sonderfälle des arithmetischen Mittels sind der Mittelwert (der Grundgesamtheit) und der Stichprobenmittelwert (der Stichproben).
Einführung
Bezeichnen Sie den Datensatz X = (x 1 , x 2 , …, x n), dann wird der Stichprobenmittelwert normalerweise durch einen horizontalen Balken über der Variablen (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , ausgesprochen " x mit Bindestrich").
Der griechische Buchstabe μ wird verwendet, um das arithmetische Mittel der gesamten Bevölkerung zu bezeichnen. Für eine Zufallsvariable, für die ein Mittelwert definiert ist, ist μ Wahrscheinlichkeit bedeuten oder die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen. Wenn der Satz X eine Sammlung von Zufallszahlen mit einem Wahrscheinlichkeitsmittelwert μ ist, dann für jede Stichprobe x ich aus dieser Sammlung μ = E( x ich) ist die Erwartung dieses Beispiels.
In der Praxis besteht der Unterschied zwischen μ und x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) darin, dass μ eine typische Variable ist, da Sie die Stichprobe und nicht die gesamte Population sehen können. Wenn die Stichprobe zufällig dargestellt wird (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie), dann kann x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (aber nicht μ) als Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Stichprobe behandelt werden ( Wahrscheinlichkeitsverteilung des Mittelwerts).
Beide Größen werden auf die gleiche Weise berechnet:
X. ¯ = 1 n ∑ ich = 1 n x ich = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots+x_(n)).)
Wenn ein X eine Zufallsvariable ist, dann die mathematische Erwartung X kann als arithmetisches Mittel der Werte bei wiederholten Messungen der Größe betrachtet werden X. Dies ist eine Manifestation des Gesetzes der großen Zahlen. Daher wird der Stichprobenmittelwert verwendet, um die unbekannte mathematische Erwartung zu schätzen.
In der elementaren Algebra wird bewiesen, dass der Mittelwert n+ 1 Zahlen über dem Durchschnitt n Zahlen genau dann, wenn die neue Zahl größer als der alte Durchschnitt ist, kleiner genau dann, wenn die neue Zahl kleiner als der Durchschnitt ist, und ändert sich nur dann nicht, wenn die neue Zahl gleich dem Durchschnitt ist. Je mehr n, desto geringer ist der Unterschied zwischen dem neuen und dem alten Durchschnitt.
Beachten Sie, dass mehrere andere "Mittel" verfügbar sind, einschließlich Potenzgesetz-Mittelwert, Kolmogorov-Mittelwert, harmonischer Mittelwert, arithmetisch-geometrischer Mittelwert und verschiedene gewichtete Mittelwerte (z. B. arithmetisch gewichteter Mittelwert, geometrisch gewichteter Mittelwert, harmonisch gewichteter Mittelwert). .
Beispiele
- Für drei Zahlen müssen Sie sie addieren und durch 3 dividieren:
- Für vier Zahlen müssen Sie sie addieren und durch 4 dividieren:
Oder einfacher 5+5=10, 10:2. Weil wir 2 Zahlen addiert haben, was bedeutet, dass wir durch so viel dividieren, wie viele Zahlen wir addieren.
Kontinuierliche Zufallsvariable
Für einen kontinuierlich verteilten Wert f (x) (\displaystyle f(x)) ist das arithmetische Mittel auf dem Intervall [ a ; b ] (\displaystyle ) ist über ein bestimmtes Integral definiert:
F (x) ¯ [ ein ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
Einige Probleme bei der Verwendung des Durchschnitts
Mangel an Robustheit
Hauptartikel: Robustheit in der StatistikObwohl das arithmetische Mittel oft als Mittelwerte oder zentrale Trends verwendet wird, gilt dieses Konzept nicht für robuste Statistiken, was bedeutet, dass das arithmetische Mittel stark von "großen Abweichungen" beeinflusst wird. Es ist bemerkenswert, dass bei Verteilungen mit großer Schiefe das arithmetische Mittel möglicherweise nicht dem Konzept des „Durchschnitts“ entspricht und die Mittelwerte aus robusten Statistiken (z. B. der Median) den zentralen Trend möglicherweise besser beschreiben.
Das klassische Beispiel ist die Berechnung des Durchschnittseinkommens. Das arithmetische Mittel kann als Median fehlinterpretiert werden, was zu dem Schluss führen kann, dass es mehr Menschen mit mehr Einkommen gibt, als tatsächlich vorhanden sind. Das „durchschnittliche“ Einkommen wird so interpretiert, dass die Einkommen der meisten Menschen nahe an dieser Zahl liegen. Dieses „durchschnittliche“ (im Sinne des arithmetischen Mittels) Einkommen ist höher als das Einkommen der meisten Menschen, da ein hohes Einkommen bei großer Abweichung vom Durchschnitt das arithmetische Mittel stark verzerrt (im Gegensatz dazu „widersteht“ das Medianeinkommen so eine Schräglage). Dieses „durchschnittliche“ Einkommen sagt jedoch nichts über die Anzahl der Personen in der Nähe des Medianeinkommens aus (und sagt nichts über die Anzahl der Personen in der Nähe des Modaleinkommens aus). Nimmt man jedoch die Begriffe „Durchschnitt“ und „Mehrheit“ auf die leichte Schulter, kann man fälschlicherweise schlussfolgern, dass die meisten Menschen ein höheres Einkommen haben, als sie tatsächlich haben. Beispielsweise wird ein Bericht über das „durchschnittliche“ Nettoeinkommen in Medina, Washington, berechnet als arithmetisches Mittel aller Jahresnettoeinkommen der Einwohner, aufgrund von Bill Gates eine überraschend hohe Zahl ergeben. Betrachten Sie die Stichprobe (1, 2, 2, 2, 3, 9). Der arithmetische Mittelwert liegt bei 3,17, fünf der sechs Werte liegen jedoch unter diesem Mittelwert.
Zinseszins
Hauptartikel: ROIWenn Zahlen multiplizieren, und nicht falten, müssen Sie das geometrische Mittel verwenden, nicht das arithmetische Mittel. Am häufigsten tritt dieser Vorfall bei der Berechnung der Kapitalrendite auf.
Wenn beispielsweise die Aktien im ersten Jahr um 10 % gefallen sind und im zweiten Jahr um 30 % gestiegen sind, dann ist es falsch, den „durchschnittlichen“ Anstieg über diese zwei Jahre als arithmetisches Mittel (−10 % + 30 %) / 2 zu berechnen = 10 %; der richtige Durchschnitt ergibt sich in diesem Fall aus der durchschnittlichen jährlichen Wachstumsrate, von der das jährliche Wachstum nur etwa 8,16653826392 % ≈ 8,2 % beträgt.
Der Grund dafür ist, dass Prozentsätze jedes Mal einen neuen Ausgangspunkt haben: 30 % sind 30 %. ab einer Anzahl unter dem Preis zu Beginn des ersten Jahres: Wenn die Aktie bei 30 US-Dollar gestartet ist und um 10 % gefallen ist, ist sie zu Beginn des zweiten Jahres 27 US-Dollar wert. Wenn die Aktie um 30 % gestiegen ist, ist sie am Ende des zweiten Jahres 35,1 $ wert. Der arithmetische Durchschnitt dieses Wachstums beträgt 10 %, aber da die Aktie in 2 Jahren nur um 5,1 $ gewachsen ist, ergibt ein durchschnittlicher Anstieg von 8,2 % ein Endergebnis von 35,1 $:
[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Wenn wir das arithmetische Mittel von 10 % auf die gleiche Weise verwenden, erhalten wir nicht den tatsächlichen Wert: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].
Zinseszins am Ende des 2. Jahres: 90 % * 130 % = 117 % , d. h. eine Gesamtsteigerung von 17 %, und der durchschnittliche jährliche Zinseszins beträgt 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \approx 108,2\%) , also eine durchschnittliche jährliche Steigerung von 8,2%.
Richtungen
Hauptartikel: ZielstatistikenBei der Berechnung des arithmetischen Mittels einer sich zyklisch ändernden Größe (z. B. Phase oder Winkel) ist besondere Sorgfalt geboten. Zum Beispiel wäre der Durchschnitt von 1° und 359° 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Diese Zahl ist aus zwei Gründen falsch.
- Zunächst sind die Winkelmaße nur für den Bereich von 0° bis 360° (bzw. von 0 bis 2π bei Messung im Bogenmaß) definiert. Somit könnte dasselbe Zahlenpaar als (1° und –1°) oder als (1° und 719°) geschrieben werden. Die Mittelwerte jedes Paares sind unterschiedlich: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
- Zweitens wäre in diesem Fall ein Wert von 0° (entspricht 360°) der geometrisch beste Mittelwert, da die Zahlen von 0° weniger abweichen als von jedem anderen Wert (Wert 0° hat die kleinste Varianz). Vergleichen:
- die Zahl 1° weicht von 0° nur um 1° ab;
- die Zahl 1° weicht vom errechneten Durchschnitt von 180° um 179° ab.
Der nach obiger Formel berechnete Mittelwert einer zyklischen Größe wird gegenüber dem realen Mittelwert künstlich in die Mitte des Zahlenbereichs verschoben. Aus diesem Grund wird der Durchschnitt anders berechnet, nämlich die Zahl mit der kleinsten Varianz (der Mittelpunkt) wird als Durchschnittswert gewählt. Anstatt zu subtrahieren, wird auch die Modulo-Distanz (d. h. die Umfangsdistanz) verwendet. Beispielsweise beträgt der modulare Abstand zwischen 1° und 359° 2°, nicht 358° (auf einem Kreis zwischen 359° und 360°==0° - ein Grad, zwischen 0° und 1° - ebenfalls 1° insgesamt - 2 °).
Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung
Auf der Stufe der statistischen Verarbeitung können verschiedene Forschungsaufgaben gestellt werden, für deren Lösung es notwendig ist, den geeigneten Durchschnitt zu wählen. In diesem Fall ist es notwendig, sich an der folgenden Regel zu orientieren: Die Werte, die Zähler und Nenner des Durchschnitts darstellen, müssen logisch zueinander in Beziehung stehen.
- Leistungsmittelwerte;
- strukturelle Durchschnitte.
Führen wir die folgende Notation ein:
Die Werte, für die der Durchschnitt berechnet wird;
Durchschnitt, wobei die Zeile darüber anzeigt, dass die Mittelung einzelner Werte stattfindet;
Häufigkeit (Wiederholbarkeit einzelner Merkmalswerte).
Aus der allgemeinen Potenzmittelformel werden verschiedene Mittelwerte abgeleitet:
(5.1)
für k = 1 - arithmetisches Mittel; k = -1 - harmonischer Mittelwert; k = 0 - geometrischer Mittelwert; k = -2 - quadratischer Mittelwert.
Durchschnitte sind entweder einfach oder gewichtet. gewichtete Durchschnittswerte werden Mengen genannt, die berücksichtigen, dass einige Varianten der Werte des Attributs unterschiedliche Nummern haben können und daher jede Variante mit dieser Nummer multipliziert werden muss. Mit anderen Worten, die "Gewichte" sind die Anzahl der Bevölkerungseinheiten in verschiedenen Gruppen, d.h. jede Option wird durch ihre Häufigkeit "gewichtet". Die Frequenz f wird aufgerufen Statistisches Gewicht oder wiegender Durchschnitt.
Arithmetisches Mittel- die häufigste Art von Medium. Es wird verwendet, wenn die Berechnung auf nicht gruppierten statistischen Daten durchgeführt wird, wo Sie den durchschnittlichen Summanden erhalten möchten. Das arithmetische Mittel ist ein solcher Mittelwert eines Merkmals, bei dessen Erhalt das Gesamtvolumen des Merkmals in der Grundgesamtheit unverändert bleibt.
Die arithmetische Mittelformel ( einfach) hat die Form
wobei n die Populationsgröße ist.
Beispielsweise wird das Durchschnittsgehalt der Mitarbeiter eines Unternehmens als arithmetisches Mittel berechnet:
Die bestimmenden Indikatoren sind hier die Löhne der einzelnen Mitarbeiter und die Anzahl der Mitarbeiter des Unternehmens. Bei der Berechnung des Durchschnitts blieb die Gesamtsumme der Löhne gleich, verteilte sich aber sozusagen gleichmäßig auf alle Arbeiter. Beispielsweise muss das Durchschnittsgehalt der Mitarbeiter eines kleinen Unternehmens berechnet werden, in dem 8 Mitarbeiter beschäftigt sind:
Bei der Berechnung von Durchschnittswerten können einzelne Werte des gemittelten Attributs wiederholt werden, sodass der Durchschnitt anhand gruppierter Daten berechnet wird. In diesem Fall sprechen wir von der Verwendung arithmetisches Mittel gewichtet, was aussieht
(5.3)
Wir müssen also den durchschnittlichen Aktienkurs einer Aktiengesellschaft an der Börse berechnen. Es ist bekannt, dass Transaktionen innerhalb von 5 Tagen (5 Transaktionen) durchgeführt wurden, die Anzahl der verkauften Aktien zum Verkaufskurs verteilte sich wie folgt:
1 - 800 ac. - 1010 Rubel
2 - 650 ac. - 990 Rubel.
3 - 700 ak. - 1015 Rubel.
4 - 550 ac. - 900 reiben.
5 - 850 ak. - 1150 Rubel.
Das Ausgangsverhältnis zur Ermittlung des durchschnittlichen Aktienkurses ist das Verhältnis der Gesamtsumme der Transaktionen (TCA) zur Anzahl der verkauften Aktien (KPA):
OSS = 1010 800 + 990 650 + 1015 700 + 900 550 + 1150 850 = 3 634 500;
CPA = 800+650+700+550+850=3550.
In diesem Fall war der durchschnittliche Aktienkurs gleich
Es ist notwendig, die Eigenschaften des arithmetischen Mittels zu kennen, was sowohl für seine Verwendung als auch für seine Berechnung sehr wichtig ist. Es gibt drei Haupteigenschaften, die vor allem zur weit verbreiteten Verwendung des arithmetischen Mittels in statistischen und wirtschaftlichen Berechnungen geführt haben.
Habe eins (Null): Die Summe der positiven Abweichungen der Einzelwerte eines Merkmals von seinem Mittelwert ist gleich der Summe der negativen Abweichungen. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft, da sie zeigt, dass alle Abweichungen (sowohl mit + als auch mit -) aufgrund zufälliger Ursachen gegenseitig aufgehoben werden.
Nachweisen:
Eigenschaft zwei (Minimum): Die Summe der quadrierten Abweichungen der Einzelwerte des Merkmals vom arithmetischen Mittel ist kleiner als von jeder anderen Zahl (a), d.h. ist die Mindestanzahl.
Nachweisen.
Bilden Sie die Summe der quadrierten Abweichungen von der Variablen a:
(5.4)
Um das Extremum dieser Funktion zu finden, ist es notwendig, ihre Ableitung nach a mit Null gleichzusetzen:
Von hier erhalten wir:
(5.5)
Daher wird das Extremum der Summe der quadrierten Abweichungen bei erreicht. Dieses Extremum ist das Minimum, da die Funktion kein Maximum haben kann.
Eigenschaft drei: das arithmetische Mittel einer Konstanten ist gleich dieser Konstante: bei a = const.
Neben diesen drei wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels gibt es noch sog Gestaltungseigenschaften, die durch den Einsatz elektronischer Rechner allmählich an Bedeutung verlieren:
- wenn der individuelle Wert des Attributs jeder Einheit mit einer konstanten Zahl multipliziert oder dividiert wird, erhöht oder verringert sich das arithmetische Mittel um denselben Betrag;
- das arithmetische Mittel ändert sich nicht, wenn die Gewichtung (Häufigkeit) jedes Merkmalswerts durch eine konstante Zahl dividiert wird;
- Wenn die einzelnen Werte des Attributs jeder Einheit um denselben Betrag verringert oder erhöht werden, verringert oder erhöht sich das arithmetische Mittel um denselben Betrag.
Durchschnittliche Oberschwingung. Dieser Durchschnitt wird reziproker arithmetischer Durchschnitt genannt, da dieser Wert verwendet wird, wenn k = -1 ist.
Einfaches harmonisches Mittel wird verwendet, wenn die Gewichte der Kennwerte gleich sind. Seine Formel kann aus der Grundformel abgeleitet werden, indem k = -1 eingesetzt wird:
Zum Beispiel müssen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit von zwei Autos berechnen, die dieselbe Strecke zurückgelegt haben, aber mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten: das erste mit 100 km/h, das zweite mit 90 km/h. Mit der Methode des harmonischen Mittels berechnen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit:
In der statistischen Praxis wird häufiger eine harmonische Gewichtung verwendet, deren Formel die Form hat
Diese Formel wird in Fällen verwendet, in denen die Gewichte (oder Volumina von Phänomenen) für jedes Attribut nicht gleich sind. Im ursprünglichen Verhältnis ist bekannt, dass der Zähler den Durchschnitt berechnet, aber der Nenner ist unbekannt.
Beispielsweise müssen wir bei der Berechnung des Durchschnittspreises das Verhältnis der verkauften Menge zur Anzahl der verkauften Einheiten verwenden. Wir kennen nicht die Anzahl der verkauften Einheiten (wir sprechen von verschiedenen Waren), aber wir kennen die Verkaufssummen dieser verschiedenen Waren. Angenommen, Sie möchten den Durchschnittspreis der verkauften Waren ermitteln:
Wir bekommen
Geometrisches Mittel. Am häufigsten findet das geometrische Mittel seine Anwendung bei der Bestimmung der durchschnittlichen Wachstumsrate (durchschnittliche Wachstumsraten), wenn die einzelnen Werte des Merkmals als relative Werte dargestellt werden. Es wird auch verwendet, wenn es notwendig ist, den Durchschnitt zwischen den minimalen und maximalen Werten eines Merkmals zu finden (z. B. zwischen 100 und 1000000). Es gibt Formeln für einfaches und gewichtetes geometrisches Mittel.
Für ein einfaches geometrisches Mittel
Für das gewichtete geometrische Mittel
Effektivwert. Der Hauptanwendungsbereich ist die Messung der Variation eines Merkmals in der Population (Berechnung der Standardabweichung).
Einfache Wurzelmittelquadratformel
Gewichtete quadratische Mittelwertformel
(5.11)
Als Ergebnis können wir sagen, dass die erfolgreiche Lösung der Probleme der statistischen Forschung von der richtigen Wahl der Art des Durchschnittswerts in jedem konkreten Fall abhängt. Die Wahl des Durchschnitts geht von folgender Reihenfolge aus:
a) die Einrichtung eines verallgemeinernden Indikators der Bevölkerung;
b) Bestimmung eines mathematischen Werteverhältnisses für einen bestimmten verallgemeinernden Indikator;
c) Ersatz von Einzelwerten durch Durchschnittswerte;
d) Mittelwertbildung nach der entsprechenden Gleichung.
Mittelwerte und Streuung
Durchschnittswert- Dies ist ein verallgemeinernder Indikator, der eine qualitativ homogene Population anhand eines bestimmten quantitativen Attributs charakterisiert. Zum Beispiel das Durchschnittsalter von Personen, die wegen Diebstahls verurteilt wurden.
In der Justizstatistik werden Mittelwerte verwendet, um Folgendes zu charakterisieren:
Durchschnittliche Behandlungsbedingungen für Fälle dieser Kategorie;
Behauptung mittlerer Größe;
Die durchschnittliche Zahl der Angeklagten pro Fall;
Durchschnittliche Schadenshöhe;
Durchschnittliche Arbeitsbelastung der Richter usw.
Der Durchschnittswert wird immer benannt und hat die gleiche Dimension wie das Attribut einer separaten Einheit der Bevölkerung. Jeder Durchschnittswert charakterisiert die untersuchte Population gemäß einem beliebigen unterschiedlichen Attribut, daher gibt es hinter jedem Durchschnitt eine Reihe von Einheitenverteilungen dieser Population gemäß dem untersuchten Attribut. Die Wahl der Art des Durchschnitts wird durch den Inhalt des Indikators und die Ausgangsdaten für die Berechnung des Durchschnitts bestimmt.
Alle Arten von Durchschnittswerten, die in statistischen Studien verwendet werden, fallen in zwei Kategorien:
1) Leistungsmittelwerte;
2) strukturelle Durchschnitte.
Die erste Kategorie von Durchschnittswerten umfasst: arithmetisches Mittel, harmonisches Mittel, geometrisches Mittel und quadratischer Mittelwert . Die zweite Kategorie ist Mode und Median. Darüber hinaus kann jede der aufgeführten Arten von Leistungsdurchschnitten zwei Formen haben: einfach und gewichtet . Die einfache Form des Mittelwerts wird verwendet, um den Mittelwert des untersuchten Merkmals zu erhalten, wenn die Berechnung auf nicht gruppierten Statistiken basiert oder wenn jede Variante nur einmal in der Population vorkommt. Gewichtete Durchschnitte sind Werte, die berücksichtigen, dass die Optionen für die Werte eines Merkmals unterschiedliche Zahlen haben können und daher jede Option mit der entsprechenden Häufigkeit multipliziert werden muss. Mit anderen Worten, jede Option wird nach ihrer Häufigkeit "gewichtet". Die Häufigkeit wird als statistisches Gewicht bezeichnet.
einfaches arithmetisches Mittel- die häufigste Art von Medium. Sie ist gleich der Summe der einzelnen Kennwerte dividiert durch die Gesamtzahl dieser Werte:
,
wo x 1 , x 2 , … , x N sind die individuellen Werte des variablen Merkmals (Optionen) und N ist die Anzahl der Bevölkerungseinheiten.
Arithmetisch gewichteter Durchschnitt verwendet, wenn die Daten in Form von Verteilungsreihen oder Gruppierungen dargestellt werden. Sie errechnet sich aus der Summe der Produkte der Optionen und ihrer entsprechenden Häufigkeiten dividiert durch die Summe der Häufigkeiten aller Optionen:
wo x ich- Bedeutung ich–te Varianten des Merkmals; fi– Frequenz ich-ten Optionen.
Somit wird jeder Variantenwert mit seiner Häufigkeit gewichtet, weshalb die Häufigkeiten manchmal als statistische Gewichte bezeichnet werden.
Kommentar. Wenn es um das arithmetische Mittel ohne Angabe seines Typs geht, ist das einfache arithmetische Mittel gemeint.
Tabelle 12
Entscheidung. Für die Berechnung verwenden wir die Formel des arithmetisch gewichteten Durchschnitts:
Somit gibt es im Durchschnitt zwei Angeklagte pro Strafverfahren.
Wenn die Berechnung des Durchschnittswerts nach Daten erfolgt, die in Form von Intervallverteilungsreihen gruppiert sind, müssen Sie zunächst die Medianwerte jedes Intervalls x "i bestimmen und dann den Durchschnittswert mit berechnen gewichtete arithmetische Mittelformel, in der x" i für x i eingesetzt wird.
Beispiel. Daten zum Alter der wegen Diebstahls verurteilten Kriminellen sind in der Tabelle dargestellt:
Tabelle 13
Bestimmen Sie das Durchschnittsalter der wegen Diebstahls verurteilten Kriminellen.
Entscheidung. Um das Durchschnittsalter von Kriminellen anhand der Intervallvariationsreihe zu ermitteln, müssen Sie zunächst die Medianwerte der Intervalle finden. Da eine Intervallreihe mit offenen ersten und letzten Intervallen gegeben ist, werden die Werte dieser Intervalle gleich den Werten benachbarter geschlossener Intervalle genommen. In unserem Fall ist der Wert des ersten und letzten Intervalls 10.
Nun ermitteln wir das Durchschnittsalter der Kriminellen mit der gewichteten arithmetischen Mittelformel:
So liegt das Durchschnittsalter der wegen Diebstahls verurteilten Täter bei etwa 27 Jahren.
Durchschnittlich harmonisch einfach ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte des Attributs:
wo 1/ x ich sind die Kehrwerte der Varianten und N ist die Anzahl der Bevölkerungseinheiten.
Beispiel. Um die durchschnittliche jährliche Arbeitsbelastung der Richter eines Amtsgerichts bei der Behandlung von Strafsachen zu ermitteln, wurde eine Erhebung zur Arbeitsbelastung von 5 Richtern dieses Gerichts durchgeführt. Die durchschnittliche Zeit, die jeder der befragten Richter mit einem Strafverfahren verbrachte, war gleich (in Tagen): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Finden Sie die durchschnittlichen Kosten für einen Fall heraus Strafverfahren und die durchschnittliche jährliche Arbeitsbelastung der Richter dieses Bezirksgerichts bei der Behandlung von Strafverfahren.
Entscheidung. Um die durchschnittliche Zeit zu bestimmen, die für einen Kriminalfall aufgewendet wird, verwenden wir die harmonische einfache Formel:
Um die Berechnungen im Beispiel zu vereinfachen, nehmen wir die Anzahl der Tage in einem Jahr gleich 365, einschließlich Wochenenden (dies hat keinen Einfluss auf die Berechnungsmethode, und bei der Berechnung eines ähnlichen Indikators in der Praxis muss die Anzahl der Arbeiten ersetzt werden Tage in einem bestimmten Jahr statt 365 Tage). Dann beträgt die durchschnittliche jährliche Arbeitsbelastung für Richter dieses Amtsgerichts bei der Behandlung von Strafsachen: 365 (Tage): 5,56 ≈ 65,6 (Fälle).
Wenn wir die einfache arithmetische Mittelformel verwenden, um die durchschnittliche Zeit zu bestimmen, die für einen Kriminalfall aufgewendet wird, erhalten wir:
365 (Tage): 5,64 ≈ 64,7 (Fälle), d.h. die durchschnittliche Arbeitsbelastung der Richter war geringer.
Lassen Sie uns die Gültigkeit dieses Ansatzes überprüfen. Dazu verwenden wir Daten über die Zeit, die jeder Richter mit einem Strafverfahren verbracht hat, und berechnen die Anzahl der von jedem von ihnen pro Jahr behandelten Strafsachen.
Wir bekommen entsprechend:
365 (Tage) : 6 ≈ 61 (Fall), 365 (Tage) : 5,6 ≈ 65,2 (Fall), 365 (Tage) : 6,3 ≈ 58 (Fall),
365 (Tage) : 4,9 ≈ 74,5 (Fälle), 365 (Tage) : 5,4 ≈ 68 (Fälle).
Nun berechnen wir die durchschnittliche jährliche Arbeitsbelastung für Richter dieses Bezirksgerichts bei der Betrachtung von Strafsachen:
Jene. die durchschnittliche Jahreslast ist die gleiche wie bei Verwendung des harmonischen Mittels.
Daher ist die Verwendung des arithmetischen Mittels in diesem Fall illegal.
In Fällen, in denen die Varianten eines Merkmals bekannt sind, ihre volumetrischen Werte (das Produkt der Varianten mit der Frequenz), aber die Frequenzen selbst unbekannt sind, wird die harmonisch gewichtete Durchschnittsformel angewendet:
,
wo x ich sind die Werte der Merkmalsvarianten und w i sind die volumetrischen Werte der Varianten ( w ich = x ich f ich).
Beispiel. Daten zum Preis einer Einheit derselben Warenart, die von verschiedenen Institutionen des Strafvollzugssystems hergestellt werden, und zum Umfang ihrer Umsetzung sind in Tabelle 14 angegeben.
Tabelle 14
Ermitteln Sie den durchschnittlichen Verkaufspreis des Produkts.
Entscheidung. Bei der Berechnung des Durchschnittspreises müssen wir das Verhältnis der verkauften Menge zur Anzahl der verkauften Einheiten verwenden. Wir kennen die Anzahl der verkauften Einheiten nicht, aber wir kennen die Menge der verkauften Waren. Um den Durchschnittspreis der verkauften Waren zu ermitteln, verwenden wir daher die harmonisch gewichtete Durchschnittsformel. Wir bekommen
Wenn Sie hier die arithmetische Mittelformel verwenden, können Sie einen unrealistischen Durchschnittspreis erhalten:
Geometrisches Mittel wird berechnet, indem die Wurzel des Grades N aus dem Produkt aller Werte der Feature-Optionen gezogen wird:
wo x 1 , x 2 , … , x N sind die einzelnen Werte der Variablen trait (Optionen) und
N ist die Anzahl der Bevölkerungseinheiten.
Diese Art des Durchschnitts wird verwendet, um die durchschnittlichen Wachstumsraten von Zeitreihen zu berechnen.
quadratischer Mittelwert wird verwendet, um die Standardabweichung zu berechnen, die ein Variationsindikator ist, und wird unten diskutiert.
Zur Bestimmung der Bevölkerungsstruktur werden spezielle Durchschnittswerte verwendet, darunter Median und Mode , oder die sogenannten strukturellen Durchschnitte. Wird das arithmetische Mittel aus der Verwendung aller Varianten der Attributwerte berechnet, dann charakterisieren Median und Modus den Wert der Variante, die in der gerankten (geordneten) Reihe eine bestimmte durchschnittliche Position einnimmt. Die Ordnung der Einheiten der statistischen Grundgesamtheit kann in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge der Varianten des untersuchten Merkmals erfolgen.
Median (ich) ist der Wert, der der Variante in der Mitte der Rangfolge entspricht. Der Median ist also diejenige Variante der Rangfolge, auf deren beiden Seiten sich in dieser Reihe gleich viele Bevölkerungseinheiten befinden sollten.
Um den Median zu finden, müssen Sie zunächst seine Seriennummer in der Rangfolge mithilfe der Formel ermitteln:
wobei N das Volumen der Reihe ist (die Anzahl der Bevölkerungseinheiten).
Besteht die Reihe aus einer ungeraden Anzahl von Mitgliedern, so ist der Median gleich der Variante mit der Nummer N Me . Wenn die Reihe aus einer geraden Anzahl von Mitgliedern besteht, dann ist der Median definiert als das arithmetische Mittel zweier benachbarter Optionen, die in der Mitte liegen.
Beispiel. Gegeben sei eine Rangreihe 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Das Volumen der Reihe sei N = 9, was N Me = (9 + 1) / 2 = 5 bedeutet. Daher Me = 6, also . fünfte Möglichkeit. Wenn eine Zeile 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16 enthält, d.h. Reihe mit einer geraden Anzahl von Mitgliedern (N = 8), dann ist N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Der Median ist also gleich der Hälfte der Summe der vierten und fünften Option, d.h. Ich = (9 + 11) / 2 = 10.
Bei einer diskreten Variationsreihe wird der Median durch die akkumulierten Häufigkeiten bestimmt. Variantenhäufigkeiten, beginnend mit der ersten, werden summiert, bis die Medianzahl überschritten wird. Der Wert der zuletzt summierten Optionen ist der Median.
Beispiel. Ermitteln Sie anhand der Daten in Tabelle 12 die mittlere Zahl der Angeklagten pro Strafverfahren.
Entscheidung. In diesem Fall ist das Volumen der Variationsreihe N = 154, daher ist N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Wenn wir die Häufigkeiten der ersten und zweiten Option zusammenfassen, erhalten wir: 75 + 43 = 118, d.h. wir haben den Mittelwert überschritten. Also ich = 2.
Geben Sie in der Intervallvariationsreihe der Verteilung zunächst das Intervall an, in dem sich der Median befinden wird. Sein Name ist Median . Dies ist das erste Intervall, dessen kumulative Häufigkeit die Hälfte des Volumens der Intervallvariationsreihe übersteigt. Dann wird der Zahlenwert des Medians durch die Formel bestimmt:
wo x Ich ist die untere Grenze des Medianintervalls; i ist der Wert des Medianintervalls; S Me-1 ist die kumulative Häufigkeit des Intervalls, das dem Median vorangeht; f Ich ist die Häufigkeit des Medianintervalls.
Beispiel. Ermitteln Sie das Durchschnittsalter der wegen Diebstahls verurteilten Straftäter, basierend auf den Statistiken in Tabelle 13.
Entscheidung. Statistische Daten werden durch eine Intervallvariationsreihe dargestellt, was bedeutet, dass wir zuerst das Medianintervall bestimmen. Das Volumen der Bevölkerung N = 162, daher ist das Medianintervall das Intervall 18-28, weil dies ist das erste Intervall, dessen akkumulierte Häufigkeit (15 + 90 = 105) die Hälfte des Volumens (162: 2 = 81) der Intervallvariationsreihe übersteigt. Nun wird der Zahlenwert des Medians durch die obige Formel bestimmt:
So ist die Hälfte der wegen Diebstahls Verurteilten unter 25 Jahre alt.
Mode (Mo) Nennen Sie den Wert des Attributs, der am häufigsten in Einheiten der Bevölkerung vorkommt. Mode wird verwendet, um den Wert der Eigenschaft zu identifizieren, die die größte Verbreitung hat. Bei einer diskreten Serie ist der Modus die Variante mit der höchsten Frequenz. Beispielsweise für eine in Tabelle 3 dargestellte diskrete Reihe Mo= 1, da dieser Wert der Optionen der höchsten Häufigkeit entspricht - 75. Um den Modus der Intervallreihe zu bestimmen, bestimmen Sie zuerst modal Intervall (Intervall mit der höchsten Frequenz). Dann wird innerhalb dieses Intervalls der Wert des Merkmals gefunden, das ein Modus sein kann.
Sein Wert wird durch die Formel gefunden:
wo x Mo die untere Grenze des modalen Intervalls ist; i ist der Wert des modalen Intervalls; f Mo die Frequenz des modalen Intervalls ist; f Mo-1 ist die Frequenz des Intervalls, das dem Modal vorausgeht; fMo+1 ist die Häufigkeit des Intervalls nach dem Modal.
Beispiel. Finden Sie den Altersmodus von Kriminellen, die wegen Diebstahls verurteilt wurden, Daten dazu sind in Tabelle 13 dargestellt.
Entscheidung. Die höchste Frequenz entspricht dem Intervall 18-28, daher muss der Modus in diesem Intervall liegen. Sein Wert wird durch die obige Formel bestimmt:
Somit ist die größte Zahl der wegen Diebstahls verurteilten Kriminellen 24 Jahre alt.
Der Durchschnittswert gibt ein verallgemeinerndes Merkmal der Gesamtheit des untersuchten Phänomens wieder. Allerdings können sich zwei Populationen mit gleichen Mittelwerten hinsichtlich des Schwankungsgrades (Variation) im Wert des untersuchten Merkmals signifikant voneinander unterscheiden. Zum Beispiel wurden in einem Gericht die folgenden Haftstrafen verhängt: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 Jahre und in einem anderen - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 Jahre alt. In beiden Fällen beträgt das arithmetische Mittel 6,7 Jahre. Allerdings unterscheiden sich diese Aggregate in der Streuung der Einzelwerte der zugewiesenen Freiheitsstrafe relativ zum Durchschnittswert deutlich voneinander.
Und für das erste Gericht, wo diese Schwankung ziemlich groß ist, spiegelt die durchschnittliche Haftzeit die Gesamtbevölkerung nicht gut wider. Wenn sich also die einzelnen Werte des Attributs wenig voneinander unterscheiden, ist das arithmetische Mittel ein ziemlich indikatives Merkmal für die Eigenschaften dieser Population. Andernfalls wird das arithmetische Mittel ein unzuverlässiges Merkmal dieser Grundgesamtheit und seine Anwendung in der Praxis ist unwirksam. Daher ist es notwendig, die Variation der Werte des untersuchten Merkmals zu berücksichtigen.
Variation- Dies sind Unterschiede in den Werten eines Merkmals in verschiedenen Einheiten einer bestimmten Population im selben Zeitraum oder Zeitpunkt. Der Begriff „Variation“ ist lateinischen Ursprungs – variatio, was Differenz, Veränderung, Fluktuation bedeutet. Sie entsteht dadurch, dass die einzelnen Werte des Attributs unter dem kombinierten Einfluss verschiedener Faktoren (Bedingungen) gebildet werden, die im Einzelfall unterschiedlich kombiniert werden. Um die Variation eines Merkmals zu messen, werden verschiedene absolute und relative Indikatoren verwendet.
Zu den wichtigsten Variationsindikatoren gehören:
1) Variationsbereich;
2) durchschnittliche lineare Abweichung;
3) Streuung;
4) Standardabweichung;
5) Variationskoeffizient.
Lassen Sie uns kurz auf jeden von ihnen eingehen.
Span-Variation R ist der am besten zugängliche absolute Indikator in Bezug auf die Einfachheit der Berechnung, der als Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert des Attributs für Einheiten dieser Population definiert ist:
Die Schwankungsbreite (Schwankungsbreite) ist ein wichtiger Indikator für die Variabilität eines Merkmals, lässt aber nur extreme Abweichungen erkennen, was die Aussagekraft einschränkt. Für eine genauere Charakterisierung der Variation eines Merkmals anhand seiner Fluktuation werden andere Indikatoren verwendet.
Durchschnittliche lineare Abweichung stellt das arithmetische Mittel der Absolutwerte der Abweichungen der Einzelwerte des Merkmals vom Mittelwert dar und wird durch die Formeln bestimmt:
1) zum nicht gruppierte Daten
2) zum Variationsreihe
Das am weitesten verbreitete Variationsmaß ist jedoch Streuung . Es charakterisiert das Maß der Streuung der Werte des untersuchten Merkmals relativ zu seinem Durchschnittswert. Die Varianz ist definiert als der Durchschnitt der Abweichungen im Quadrat.
einfache Abweichung für nicht gruppierte Daten:
.
Gewichtete Varianz für die Variationsserie:
Kommentar. In der Praxis ist es besser, die folgenden Formeln zur Berechnung der Varianz zu verwenden:
Für eine einfache Abweichung
.
Für gewichtete Varianz
Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Zuverlässigkeit des Mittelwerts. Je kleiner die Standardabweichung ist, desto homogener ist die Grundgesamtheit und desto besser spiegelt das arithmetische Mittel die gesamte Grundgesamtheit wider.
Die oben betrachteten Streuungsmaße (Variationsbreite, Varianz, Standardabweichung) sind absolute Indikatoren, anhand derer es nicht immer möglich ist, den Grad der Schwankung eines Merkmals zu beurteilen. Bei einigen Problemen ist es notwendig, relative Streuungsindizes zu verwenden, von denen einer ist der Variationskoeffizient.
Der Variationskoeffizient- ausgedrückt in Prozent des Verhältnisses der Standardabweichung zum arithmetischen Mittel:
Der Variationskoeffizient dient nicht nur zur vergleichenden Bewertung der Variation verschiedener Merkmale oder des gleichen Merkmals in verschiedenen Populationen, sondern auch zur Charakterisierung der Homogenität der Population. Die statistische Grundgesamtheit gilt als quantitativ homogen, wenn der Variationskoeffizient 33 % nicht überschreitet (bei Verteilungen nahe der Normalverteilung).
Beispiel.Über die Haftstrafen von 50 Verurteilten, die zur Verbüßung der vom Gericht verhängten Strafe in einer Justizvollzugsanstalt des Strafvollzugs eingeliefert wurden, liegen folgende Daten vor: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.
1. Erstellen Sie eine Verteilungsreihe nach Haftbedingungen.
2. Ermitteln Sie den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung.
3. Berechnen Sie den Variationskoeffizienten und ziehen Sie eine Schlussfolgerung über die Homogenität oder Heterogenität der untersuchten Population.
Entscheidung. Um eine diskrete Verteilungsreihe zu konstruieren, ist es notwendig, die Varianten und Häufigkeiten zu bestimmen. Die Option in diesem Problem ist die Freiheitsstrafe, und die Häufigkeit ist die Anzahl der einzelnen Optionen. Nach Berechnung der Häufigkeiten erhalten wir folgende diskrete Verteilungsreihe:
Finde den Mittelwert und die Varianz. Da die statistischen Daten durch eine diskrete Variationsreihe dargestellt werden, werden wir die Formeln des arithmetisch gewichteten Durchschnitts und der Varianz verwenden, um sie zu berechnen. Wir bekommen:
= 
= 4,1;
= 
5,21.
Nun berechnen wir die Standardabweichung:
Wir finden den Variationskoeffizienten:
Folglich ist die Grundgesamtheit quantitativ heterogen.
einfaches arithmetisches Mittel
Durchschnittliche Werte
Mittelwerte werden in der Statistik häufig verwendet.
Durchschnittswert- Dies ist ein verallgemeinernder Indikator, in dem der Ausdruck der Wirkung allgemeiner Bedingungen und Entwicklungsmuster des untersuchten Phänomens zu finden ist.
Statistische Mittelwerte werden auf Basis von Massendaten einer statistisch korrekt geordneten Beobachtung (kontinuierlich und Stichprobe) berechnet. Der statistische Mittelwert ist jedoch objektiv und typisch, wenn er aus Massendaten für eine qualitativ homogene Grundgesamtheit berechnet wird (Massenphänomene). Wenn wir zum Beispiel das Durchschnittsgehalt in Aktiengesellschaften und staatlichen Unternehmen berechnen und das Ergebnis auf die gesamte Bevölkerung ausdehnen, dann ist der Durchschnitt fiktiv, da er auf einer heterogenen Bevölkerung berechnet wird und ein solcher Durchschnitt alles verliert Bedeutung.
Mit Hilfe des Mittelwerts werden sozusagen Unterschiede in der Größe des Merkmals geglättet, die aus dem einen oder anderen Grund in einzelnen Beobachtungseinheiten auftreten.
Beispielsweise hängt die durchschnittliche Leistung eines einzelnen Verkäufers von vielen Faktoren ab: Qualifikation, Betriebszugehörigkeit, Alter, Betriebsform, Gesundheit und so weiter. Die durchschnittliche Leistung spiegelt die allgemeinen Merkmale der gesamten Bevölkerung wider.
Der Durchschnittswert wird in denselben Einheiten wie das Merkmal selbst gemessen.
Jeder Durchschnittswert charakterisiert die untersuchte Population nach einem beliebigen Merkmal. Um ein vollständiges und umfassendes Bild der untersuchten Bevölkerung in Bezug auf eine Reihe wesentlicher Merkmale zu erhalten, ist ein System von Durchschnittswerten erforderlich, das das Phänomen aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben kann.
Es gibt verschiedene Arten von Durchschnittswerten:
arithmetisches Mittel;
mittlere Harmonische;
geometrisches Mittel;
quadratischer Mittelwert;
durchschnittlich kubisch.
Die Mittelwerte aller oben aufgeführten Typen werden wiederum in einfache (ungewichtete) und gewichtete unterteilt.
Betrachten Sie die Arten von Durchschnittswerten, die in Statistiken verwendet werden.
Das einfache arithmetische Mittel (ungewichtet) ist gleich der Summe der Einzelwerte des Merkmals, dividiert durch die Anzahl dieser Werte.
Separate Werte eines Merkmals werden als Varianten bezeichnet und mit х i ( 
); die Anzahl der Bevölkerungseinheiten wird mit n bezeichnet, der Durchschnittswert des Merkmals - mit 
. Daher ist das einfache arithmetische Mittel:
oder 
Beispiel 1 Tabelle 1
Daten zur Produktion von Produkten A durch Arbeiter pro Schicht
In diesem Beispiel ist das variable Attribut die Produktfreigabe pro Schicht.
Die Zahlenwerte des Attributs (16, 17 usw.) werden als Varianten bezeichnet. Lassen Sie uns die durchschnittliche Produktion von Produkten durch die Arbeiter dieser Gruppe bestimmen:
STCK.
In Fällen, in denen Einzelwerte eines Merkmals vorliegen, wird ein einfaches arithmetisches Mittel verwendet, d.h. Die Daten sind nicht gruppiert. Wenn die Daten in Form von Verteilungsreihen oder Gruppierungen dargestellt werden, wird der Durchschnitt anders berechnet.
Arithmetisch gewichteter Durchschnitt
Der arithmetisch gewichtete Durchschnitt ist gleich der Summe der Produkte jedes einzelnen Wertes des Attributs (Option) mit der entsprechenden Häufigkeit dividiert durch die Summe aller Häufigkeiten.
Die Anzahl identischer Merkmalswerte in der Verteilungsreihe wird Häufigkeit oder Gewicht genannt und mit f i bezeichnet.
Dementsprechend sieht der arithmetisch gewichtete Durchschnitt wie folgt aus:
oder 
Aus der Formel ist ersichtlich, dass der Durchschnitt nicht nur von den Werten des Attributs abhängt, sondern auch von deren Häufigkeiten, d.h. auf die Zusammensetzung der Bevölkerung, auf ihre Struktur.
Beispiel 2 Tabelle 2
Lohndaten der Arbeiter
Anhand der Daten der diskreten Verteilungsreihe ist ersichtlich, dass sich dieselben Werte des Attributs (Optionen) mehrfach wiederholen. Variante x 1 kommt also insgesamt 2 mal vor, Variante x 2 - 6 mal usw.
Berechnen Sie den Durchschnittslohn pro Arbeiter:
Der Lohnfonds für jede Gruppe von Arbeitnehmern ist gleich dem Produkt aus Optionen und Häufigkeit ( 
), und die Summe dieser Produkte ergibt den gesamten Lohnfonds aller Arbeiter ( 
).
Wenn die Berechnung mit der einfachen arithmetischen Durchschnittsformel durchgeführt würde, würde der Durchschnittsverdienst 3.000 Rubel betragen. (). Vergleicht man das erhaltene Ergebnis mit den Ausgangsdaten, so ist offensichtlich, dass der Durchschnittslohn deutlich höher sein sollte (mehr als die Hälfte der Arbeiter erhalten Löhne über 3.000 Rubel). Daher ist die Berechnung des einfachen arithmetischen Mittels in solchen Fällen fehlerhaft.
Statistisches Material als Ergebnis der Verarbeitung kann nicht nur in Form diskreter Verteilungsreihen, sondern auch in Form von Intervallvariationsreihen mit geschlossenen oder offenen Intervallen dargestellt werden.
Betrachten Sie die Berechnung des arithmetischen Mittels für solche Reihen.
Der Durchschnitt ist:
Mittlere BedeutungMittlere Bedeutung- Numerisches Merkmal einer Menge von Zahlen oder Funktionen; - eine Zahl, die zwischen dem kleinsten und größten ihrer Werte eingeschlossen ist.
|
Grundinformation
Ausgangspunkt für die Bildung der Durchschnittstheorie war das Proportionsstudium der Schule des Pythagoras. Dabei wurde nicht streng zwischen den Begriffen Durchschnitt und Proportion unterschieden. Ein bedeutender Impuls für die Entwicklung der Proportionstheorie aus arithmetischer Sicht wurde von griechischen Mathematikern gegeben - Nicomachus von Geras (spätes I. - frühes II. Jahrhundert n. Chr.) Und Pappus von Alexandria (III. Jahrhundert n. Chr.). Die erste Stufe in der Entwicklung des Durchschnittsbegriffs ist die Stufe, in der der Durchschnitt als zentrales Element einer kontinuierlichen Proportion betrachtet wurde. Aber der Begriff des Mittelwerts als zentraler Wert des Verlaufs erlaubt es nicht, den Begriff des Mittelwerts in Bezug auf eine Folge von n Gliedern abzuleiten, unabhängig von der Reihenfolge, in der sie aufeinander folgen. Zu diesem Zweck muss auf eine formale Verallgemeinerung von Durchschnittswerten zurückgegriffen werden. Die nächste Stufe ist der Übergang von kontinuierlichen Proportionen zu Progressionen - arithmetisch, geometrisch und harmonisch.
In der Geschichte der Statistik wird die weit verbreitete Verwendung von Durchschnittswerten erstmals mit dem Namen des englischen Wissenschaftlers W. Petty in Verbindung gebracht. W. Petty war einer der ersten, der versuchte, dem Durchschnittswert eine statistische Bedeutung zu geben, indem er ihn mit ökonomischen Kategorien verknüpfte. Aber Petty lieferte keine Beschreibung des Begriffs des Durchschnittswerts, seiner Zuordnung. A. Quetelet gilt als Begründer der Mittelwerttheorie. Er war einer der ersten, der die Theorie der Mittelwerte konsequent weiterentwickelte und versuchte, sie mathematisch zu begründen. A. Quetelet unterscheidet zwei Arten von Durchschnittswerten – tatsächliche Durchschnittswerte und arithmetische Durchschnittswerte. Richtige Durchschnitte repräsentieren eine Sache, eine Zahl, die wirklich existiert. Eigentlich sollten Mittelwerte oder statistische Mittelwerte aus Phänomenen gleicher Qualität, identischer innerer Bedeutung, abgeleitet werden. Arithmetische Mittelwerte sind Zahlen, die eine möglichst genaue Vorstellung von vielen Zahlen vermitteln, unterschiedlich, wenn auch homogen.
Jeder Durchschnittstyp kann entweder ein einfacher Durchschnitt oder ein gewichteter Durchschnitt sein. Die Richtigkeit der Wahl der Durchschnittsform ergibt sich aus der materiellen Beschaffenheit des Untersuchungsgegenstandes. Einfache Durchschnittsformeln werden verwendet, wenn sich die Einzelwerte des gemittelten Merkmals nicht wiederholen. Wenn in praktischen Studien die Einzelwerte des untersuchten Merkmals mehrfach in den Einheiten der untersuchten Population vorkommen, dann ist die Wiederholungshäufigkeit der einzelnen Merkmalswerte in den Berechnungsformeln der Leistungsmittelwerte enthalten. In diesem Fall werden sie als gewichtete Durchschnittsformeln bezeichnet.
Wikimedia-Stiftung. 2010.
Der Durchschnittswert ist ein verallgemeinernder Indikator, der das typische Ausmaß des Phänomens charakterisiert. Sie drückt den Wert des Attributs bezogen auf die Einheit der Bevölkerung aus.
Der Durchschnittswert beträgt:
1) der typischste Wert des Attributs für die Population;
2) das Volumen des Bevölkerungszeichens, das gleichmäßig auf die Bevölkerungseinheiten verteilt ist.
Das Merkmal, für das der Mittelwert berechnet wird, wird in der Statistik als „gemittelt“ bezeichnet.
Der Durchschnitt verallgemeinert immer die quantitative Variation des Merkmals, d.h. in Durchschnittswerten heben sich individuelle Unterschiede in den Einheiten der Bevölkerung aufgrund zufälliger Umstände auf. Im Gegensatz zum Durchschnitt erlaubt der absolute Wert, der das Niveau eines Merkmals einer einzelnen Einheit der Bevölkerung charakterisiert, keinen Vergleich der Werte des Merkmals für Einheiten, die zu verschiedenen Bevölkerungsgruppen gehören. Wenn Sie also die Höhe der Entlohnung von Arbeitnehmern in zwei Unternehmen vergleichen müssen, können Sie auf dieser Grundlage nicht zwei Arbeitnehmer verschiedener Unternehmen vergleichen. Die Löhne der zum Vergleich ausgewählten Arbeitnehmer sind möglicherweise nicht typisch für diese Unternehmen. Wenn wir die Größe der Lohnfonds in den betrachteten Unternehmen vergleichen, wird die Anzahl der Beschäftigten nicht berücksichtigt, und daher ist es unmöglich festzustellen, wo das Lohnniveau höher ist. Letztlich sind nur Durchschnittswerte vergleichbar, d.h. Wie viel verdient ein Mitarbeiter im Durchschnitt in jedem Unternehmen? Daher ist es notwendig, den Durchschnittswert als verallgemeinerndes Merkmal der Grundgesamtheit zu berechnen.
Es ist wichtig zu beachten, dass bei der Mittelwertbildung der Gesamtwert der Attributstufen bzw. deren Endwert (bei der Berechnung von Durchschnittsstufen in einer Zeitreihe) unverändert bleiben muss. Mit anderen Worten, bei der Berechnung des Durchschnittswerts sollte das Volumen des untersuchten Merkmals nicht verzerrt werden, und die bei der Berechnung des Durchschnitts gemachten Ausdrücke müssen unbedingt sinnvoll sein.
Die Berechnung des Durchschnitts ist eine gängige Verallgemeinerungstechnik; der durchschnittliche Indikator leugnet das Allgemeine, das typisch (typisch) für alle Einheiten der untersuchten Bevölkerung ist, gleichzeitig ignoriert er die Unterschiede zwischen den einzelnen Einheiten. In jedem Phänomen und seiner Entwicklung steckt eine Kombination aus Zufall und Notwendigkeit. Bei der Berechnung von Durchschnittswerten hebt sich die Zufälligkeit aufgrund der Wirkung des Gesetzes der großen Zahlen gegenseitig auf, gleicht sich aus, sodass Sie in jedem Einzelfall von den unbedeutenden Merkmalen des Phänomens und von den quantitativen Werten des Attributs abstrahieren können. In der Fähigkeit, von der Zufälligkeit einzelner Werte, Schwankungen, zu abstrahieren, liegt der wissenschaftliche Wert von Durchschnittswerten als verallgemeinernden Merkmalen von Aggregaten.
Damit der Durchschnitt wirklich typisch ist, muss er unter Berücksichtigung bestimmter Grundsätze berechnet werden.
Lassen Sie uns auf einige allgemeine Prinzipien für die Anwendung von Durchschnittswerten eingehen.
1. Der Durchschnitt sollte für Populationen bestimmt werden, die aus qualitativ homogenen Einheiten bestehen.
2. Der Durchschnitt sollte für eine Population berechnet werden, die aus einer ausreichend großen Anzahl von Einheiten besteht.
3. Der Durchschnitt sollte für die Bevölkerung berechnet werden, deren Einheiten sich in einem normalen, natürlichen Zustand befinden.
4. Der Durchschnitt sollte unter Berücksichtigung des wirtschaftlichen Inhalts des untersuchten Indikators berechnet werden.
5.2. Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung
Betrachten wir nun die Arten von Durchschnittswerten, die Merkmale ihrer Berechnung und Anwendungsbereiche. Mittelwerte werden in zwei große Klassen eingeteilt: Leistungsmittelwerte, Strukturmittelwerte.
Potenzgesetz-Mittelwerte umfassen die bekanntesten und am häufigsten verwendeten Typen, wie geometrisches Mittel, arithmetisches Mittel und mittleres Quadrat.
Der Modus und der Median werden als strukturelle Durchschnitte betrachtet.
Bleiben wir bei den Leistungsdurchschnitten. Leistungsmittelwerte können je nach Darstellung der Ausgangsdaten einfach und gewichtet sein. einfacher Durchschnitt wird aus nicht gruppierten Daten berechnet und hat die folgende allgemeine Form:
,
wobei X i die Variante (Wert) des gemittelten Merkmals ist;
n ist die Anzahl der Optionen.
Gewichteter Durchschnitt wird nach gruppierten Daten berechnet und hat eine allgemeine Form
,
wobei X i die Variante (Wert) des gemittelten Merkmals oder der Mittelwert des Intervalls ist, in dem die Variante gemessen wird;
m ist der Exponent des Mittelwerts;
f i - Häufigkeit, die angibt, wie oft der i-e-Wert des gemittelten Merkmals auftritt.
Wenn wir alle Arten von Durchschnittswerten für dieselben Anfangsdaten berechnen, sind ihre Werte nicht gleich. Hier gilt die Majoranzregel der Mittelwerte: Mit zunehmendem Exponenten m steigt auch der entsprechende Mittelwert:
In der statistischen Praxis werden häufiger als andere Arten von gewichteten Durchschnitten arithmetische und harmonisch gewichtete Durchschnitte verwendet.
Arten von Machtmitteln
|
Art der Macht |
Indikator |
Berechnungsformel |
|
|
Einfach |
gewichtet |
||
|
harmonisch |
|||
|
Geometrisch |
|
|
|
|
Arithmetik |
|||
|
quadratisch |
|||
|
kubisch |
|||
Das harmonische Mittel hat eine komplexere Struktur als das arithmetische Mittel. Das harmonische Mittel wird für Berechnungen verwendet, wenn die Gewichte nicht die Einheiten der Bevölkerung sind - die Träger des Merkmals, sondern die Produkte dieser Einheiten und die Werte des Merkmals (dh m = Xf). Die durchschnittliche harmonische Ausfallzeit sollte verwendet werden, wenn beispielsweise die durchschnittlichen Arbeits-, Zeit- und Materialkosten pro Produktionseinheit pro Teil für zwei (drei, vier usw.) Unternehmen und an der Herstellung beteiligte Arbeitnehmer ermittelt werden sollen gleiche Art von Produkt, gleiches Teil, Produkt.
Die Hauptanforderung an die Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts ist, dass alle Schritte der Berechnung eine echte sinnvolle Begründung haben; der resultierende Durchschnittswert sollte die Einzelwerte des Attributs für jedes Objekt ersetzen, ohne die Verbindung zwischen Einzel- und Summenindikatoren zu brechen. Mit anderen Worten, der Durchschnittswert sollte so berechnet werden, dass, wenn jeder einzelne Wert des gemittelten Indikators durch seinen Durchschnittswert ersetzt wird, ein abschließender zusammenfassender Indikator, der auf die eine oder andere Weise mit dem gemittelten Indikator verbunden ist, unverändert bleibt. Dieses Ergebnis wird aufgerufen bestimmend da die Art seiner Beziehung zu einzelnen Werten die spezifische Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts bestimmt. Zeigen wir diese Regel am Beispiel des geometrischen Mittels.
Geometrische Mittelformel
am häufigsten verwendet, wenn der Durchschnittswert einzelner relativer Werte der Dynamik berechnet wird.
Das geometrische Mittel wird verwendet, wenn eine Folge von Kettenrelativwerten der Dynamik gegeben ist, die beispielsweise eine Produktionssteigerung gegenüber dem Niveau des Vorjahres anzeigen: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Offensichtlich wird das Produktionsvolumen im letzten Jahr durch sein Anfangsniveau (q 0) und das anschließende Wachstum im Laufe der Jahre bestimmt:
q n = q 0 × ich 1 × ich 2 ×…×i n .
Wenn wir q n als definierenden Indikator nehmen und die einzelnen Werte der Dynamikindikatoren durch durchschnittliche ersetzen, gelangen wir zur Beziehung
Von hier
Eine besondere Art von Durchschnittswerten - strukturelle Durchschnitte - wird verwendet, um die interne Struktur der Verteilungsreihen von Attributwerten zu untersuchen und den Durchschnittswert (Leistungstyp) zu schätzen, wenn nach den verfügbaren statistischen Daten seine Berechnung kann nicht durchgeführt werden (z. B. wenn im betrachteten Beispiel keine Daten vorhanden waren) und zum Produktionsvolumen und zur Höhe der Kosten nach Unternehmensgruppen).
Indikatoren werden am häufigsten als strukturelle Durchschnitte verwendet. Mode - der am häufigsten wiederholte Merkmalswert - und Median - der Wert eines Merkmals, das die geordnete Folge seiner Werte in zwei gleich große Teile teilt. Infolgedessen überschreitet der Wert des Attributs in der einen Hälfte der Bevölkerungseinheiten nicht das Medianniveau und in der anderen Hälfte nicht weniger.
Wenn das untersuchte Merkmal diskrete Werte hat, gibt es keine besonderen Schwierigkeiten bei der Berechnung des Modus und des Medians. Wenn die Daten zu den Werten des Attributs X in Form von geordneten Intervallen seiner Änderung (Intervallreihen) dargestellt werden, wird die Berechnung von Modus und Median etwas komplizierter. Da der Medianwert die gesamte Grundgesamtheit in zwei gleich große Teile teilt, landet er in einem der Intervalle des Merkmals X. Mittels Interpolation findet sich der Medianwert in diesem Medianintervall:
,
wobei X Me die Untergrenze des Medianintervalls ist;
h Me ist sein Wert;
(Summe m) / 2 - die Hälfte der Gesamtzahl der Beobachtungen oder die Hälfte des Volumens des Indikators, der als Gewichtung in den Formeln zur Berechnung des Durchschnittswerts verwendet wird (absolut oder relativ);
S Me-1 ist die Summe der Beobachtungen (oder das Volumen des Gewichtungsmerkmals), die vor Beginn des Medianintervalls angesammelt wurden;
m Me ist die Anzahl der Beobachtungen bzw. das Volumen des Wichtungsmerkmals im Medianintervall (auch absolut oder relativ).
Bei der Berechnung des Modalwerts eines Merkmals nach den Daten der Intervallreihe ist darauf zu achten, dass die Intervalle gleich sind, da davon der Indikator für die Häufigkeit der Merkmalswerte X abhängt eine Intervallreihe mit gleichen Intervallen, der Moduswert wird bestimmt als
,
wobei X Mo der untere Wert des modalen Intervalls ist;
m Mo ist die Anzahl der Beobachtungen oder das Volumen des Gewichtungsmerkmals im modalen Intervall (absolut oder relativ);
m Mo-1 – dasselbe für das Intervall, das dem Modal vorangeht;
m Mo+1 – dasselbe für das Intervall nach dem Modal;
h ist der Wert des Änderungsintervalls des Merkmals in Gruppen.
AUFGABE 1
Für die Gruppe der Industrieunternehmen liegen für das Berichtsjahr folgende Daten vor
|
№ Unternehmen |
Produktionsvolumen, Millionen Rubel |
Durchschnittliche Mitarbeiterzahl, Pers. |
Gewinn, tausend Rubel |
|
|
197,7 |
10,0 |
13,5 |
||
|
22,8 |
1500 |
136,2 |
||
|
465,5 |
18,4 |
1412 |
97,6 |
|
|
296,2 |
12,6 |
1200 |
44,4 |
|
|
584,1 |
22,0 |
1485 |
146,0 |
|
|
480,0 |
119,0 |
1420 |
110,4 |
|
|
57805 |
21,6 |
1390 |
138,7 |
|
|
204,7 |
30,6 |
|||
|
466,8 |
19,4 |
1375 |
111,8 |
|
|
292,2 |
113,6 |
1200 |
49,6 |
|
|
423,1 |
17,6 |
1365 |
105,8 |
|
|
192,6 |
30,7 |
|||
|
360,5 |
14,0 |
1290 |
64,8 |
|
|
280,3 |
10,2 |
33,3 |
Es ist erforderlich, eine Gruppierung von Unternehmen für den Austausch von Produkten in folgenden Intervallen durchzuführen:
von 400 bis 600 Millionen Rubel
Ermitteln Sie für jede Gruppe und für alle zusammen die Anzahl der Unternehmen, das Produktionsvolumen, die durchschnittliche Zahl der Beschäftigten, die durchschnittliche Leistung pro Beschäftigten. Die Gruppierungsergebnisse sollten in Form einer statistischen Tabelle dargestellt werden. Formulieren Sie ein Fazit.
ENTSCHEIDUNG
Lassen Sie uns eine Gruppierung von Unternehmen für den Austausch von Produkten, die Berechnung der Anzahl der Unternehmen, des Produktionsvolumens und der durchschnittlichen Mitarbeiterzahl nach der Formel eines einfachen Durchschnitts erstellen. Die Ergebnisse der Gruppierung und Berechnungen sind in einer Tabelle zusammengefasst.
Gruppen nach Produktionsvolumen
№
Unternehmen
Produktionsvolumen, Millionen Rubel
Durchschnittliche jährliche Kosten des Anlagevermögens, Millionen Rubel
durchschnittlicher Schlaf
saftige Anzahl Mitarbeiter, Pers.
Gewinn, tausend Rubel
Durchschnittliche Leistung pro Arbeiter
1 Gruppe
bis zu 200 Millionen Rubel
1,8,12
197,7
204,7
192,6
10,0
9,4
8,8
900
817
13,5
30,6
30,7
28,2
2567
74,8
0,23
Mittelstufe
198,3
24,9
2 Gruppe
von 200 bis 400 Millionen Rubel
4,10,13,14
196,2
292,2
360,5
280,3
12,6
113,6
14,0
10,2
1200
1200
1290
44,4
49,6
64,8
33,3
1129,2
150,4
4590
192,1
0,25
Mittelstufe
282,3
37,6
1530
64,0
3 Gruppe
von 400 bis
600 Millionen
2,3,5,6,7,9,11
592
465,5
584,1
480,0
578,5
466,8
423,1
22,8
18,4
22,0
119,0
21,6
19,4
17,6
1500
1412
1485
1420
1390
1375
1365
136,2
97,6
146,0
110,4
138,7
111,8
105,8
3590
240,8
9974
846,5
0,36
Mittelstufe
512,9
34,4
1421
120,9
Insgesamt insgesamt
5314,2
419,4
17131
1113,4
0,31
Aggregierter Durchschnitt
379,6
59,9
1223,6
79,5
Fazit. Im betrachteten Aggregat fiel somit die größte Zahl der Unternehmen in Bezug auf die Produktion in die dritte Gruppe – sieben oder die Hälfte der Unternehmen. In dieser Gruppe befindet sich auch der Wert des durchschnittlichen Jahreswerts des Anlagevermögens sowie der große Wert der durchschnittlichen Mitarbeiterzahl - 9974 Personen, die Unternehmen der ersten Gruppe sind am wenigsten rentabel.
AUFGABE 2
Über die Unternehmen der Gesellschaft liegen uns folgende Daten vor
Nummer des zum Unternehmen gehörenden Unternehmens
Ich viertele
II. Quartal
Ausgabe, tausend Rubel
Gearbeitet von Arbeitstagen
Durchschnittliche Leistung pro Arbeiter pro Tag, reiben.
59390,13
bis zu 200 Millionen Rubel
von 200 bis 400 Millionen Rubel
Vor allem in Gl. In der Praxis muss man das arithmetische Mittel verwenden, das sich als einfaches und gewichtetes arithmetisches Mittel berechnen lässt.
Arithmetisches Mittel (CA)-n die häufigste Art von Medium. Es wird in Fällen verwendet, in denen das Volumen eines variablen Attributs für die gesamte Bevölkerung die Summe der Werte der Attribute seiner einzelnen Einheiten ist. Soziale Phänomene sind durch die Additivität (Summierung) der Volumina des variierenden Attributs gekennzeichnet, dies bestimmt den Umfang der SA und erklärt ihre Verbreitung als generalisierender Indikator, Beispiel: Der allgemeine Gehaltsfonds ist die Summe der Gehälter aller Arbeitnehmer.
Um SA zu berechnen, müssen Sie die Summe aller Merkmalswerte durch ihre Anzahl dividieren. SA wird in 2 Formen verwendet.
Betrachten Sie zunächst das einfache arithmetische Mittel.
1-CA einfach (anfängliche, definierende Form) ist gleich der einfachen Summe der Einzelwerte des gemittelten Merkmals, dividiert durch die Gesamtzahl dieser Werte (wird verwendet, wenn es nicht gruppierte Indexwerte des Merkmals gibt):
Die durchgeführten Berechnungen lassen sich in folgender Formel zusammenfassen:
(1)
wo 
- der Durchschnittswert des variablen Attributs, d. h. das einfache arithmetische Mittel;
bedeutet Summierung, also Addition einzelner Merkmale;
x- einzelne Werte eines variablen Attributs, die als Varianten bezeichnet werden;
n - Anzahl der Bevölkerungseinheiten
Beispiel 1, Es ist erforderlich, die durchschnittliche Leistung eines Arbeiters (Schlossers) zu ermitteln, wenn bekannt ist, wie viele Teile jeder der 15 Arbeiter produziert hat, d.h. gegeben eine Anzahl von ind. Merkmalswerte, Stück: 21; 20; 20; neunzehn; 21; neunzehn; achtzehn; 22; neunzehn; 20; 21; 20; achtzehn; neunzehn; 20.
SA einfach errechnet sich nach Formel (1), Stk.:
Beispiel2. Lassen Sie uns SA basierend auf bedingten Daten für 20 Geschäfte berechnen, die Teil eines Handelsunternehmens sind (Tabelle 1). Tabelle 1
Verteilung der Geschäfte der Handelsgesellschaft "Vesna" nach Handelsgebiet, sq. M
|
Shop-Nummer |
Shop-Nummer | ||
Um die durchschnittliche Ladenfläche zu berechnen ( 
) ist es notwendig, die Flächen aller Geschäfte zu addieren und das Ergebnis durch die Anzahl der Geschäfte zu teilen:
Somit beträgt die durchschnittliche Ladenfläche dieser Gruppe von Handwerksbetrieben 71 qm.
Um die SA einfach zu bestimmen, ist es daher erforderlich, die Summe aller Werte eines bestimmten Attributs durch die Anzahl der Einheiten zu dividieren, die dieses Attribut aufweisen.
2
wo f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
Gewicht (Häufigkeit der Wiederholung derselben Merkmale); ist die Summe der Produkte der Größe von Merkmalen und ihrer Häufigkeit; ist die Gesamtzahl der Bevölkerungseinheiten.
(2)
Woher X- Optionen;
f- Häufigkeit (Gewicht).
SA-gewichtet ist der Quotient der Division der Summe der Produkte der Varianten und ihrer entsprechenden Häufigkeiten durch die Summe aller Häufigkeiten. Frequenzen ( f), die in der SA-Formel vorkommen, werden normalerweise aufgerufen Waage, wodurch der unter Berücksichtigung der Gewichte berechnete SA als gewichteter SA bezeichnet wird.
Wir veranschaulichen die Technik zur Berechnung der gewichteten SA anhand des oben betrachteten Beispiels 1. Dazu gruppieren wir die Anfangsdaten und platzieren sie in der Tabelle.
Der Durchschnitt der gruppierten Daten wird wie folgt ermittelt: Zuerst werden die Optionen mit den Häufigkeiten multipliziert, dann werden die Produkte addiert und die resultierende Summe durch die Summe der Häufigkeiten dividiert.
Nach Formel (2) ist die gewichtete SA, Stk.: 
P
Verteilung der Vesna-Filialen nach Verkaufsfläche, m² m
Somit ist das Ergebnis das gleiche. Dies ist jedoch bereits der arithmetisch gewichtete Durchschnitt.
Im vorherigen Beispiel haben wir den arithmetischen Mittelwert berechnet, sofern die absoluten Häufigkeiten (Anzahl der Filialen) bekannt sind. In einigen Fällen gibt es jedoch keine absoluten Häufigkeiten, sondern es sind relative Häufigkeiten bekannt oder, wie sie allgemein genannt werden, Frequenzen, die den Anteil oder zeigen der Anteil der Frequenzen an der Gesamtbevölkerung.
Bei der Berechnung der SA-gewichteten Nutzung Frequenzen ermöglicht es Ihnen, Berechnungen zu vereinfachen, wenn die Häufigkeit in großen, mehrstelligen Zahlen ausgedrückt wird. Die Berechnung erfolgt auf die gleiche Weise, da jedoch der Mittelwert um das 100-fache erhöht wird, muss das Ergebnis durch 100 geteilt werden.
Dann sieht die Formel für den arithmetisch gewichteten Durchschnitt so aus:
wo d– Frequenz, d.h. der Anteil jeder Frequenz an der Gesamtsumme aller Frequenzen.
(3)In unserem Beispiel 2 ermitteln wir zunächst den Anteil der Filialen nach Gruppen an der Gesamtzahl der Filialen der Firma „Spring“. Für die erste Gruppe entspricht das spezifische Gewicht also 10 % 
. Wir erhalten die folgenden Daten Tisch 3
Zeichen von Einheiten statistischer Aggregate haben unterschiedliche Bedeutung, zum Beispiel sind die Löhne der Arbeitnehmer eines Berufs eines Unternehmens für denselben Zeitraum nicht gleich, die Marktpreise für dieselben Produkte sind unterschiedlich, die Ernteerträge in den landwirtschaftlichen Betrieben der Region usw. Um den Wert eines Merkmals zu bestimmen, das für die gesamte Population der untersuchten Einheiten charakteristisch ist, werden daher Durchschnittswerte berechnet.
Durchschnittswert –
es ist ein verallgemeinerndes Merkmal der Menge individueller Werte eines quantitativen Merkmals.
Die von einem quantitativen Attribut untersuchte Population besteht aus individuellen Werten; sie werden sowohl von allgemeinen Ursachen als auch von individuellen Bedingungen beeinflusst. Im Mittelwert heben sich die für die Einzelwerte charakteristischen Abweichungen auf. Der Durchschnitt stellt als Funktion einer Menge einzelner Werte die gesamte Menge mit einem Wert dar und spiegelt die Gemeinsamkeit wider, die allen ihren Einheiten innewohnt.
Der berechnete Durchschnitt für Populationen, die aus qualitativ homogenen Einheiten bestehen, wird aufgerufen typischer Durchschnitt. Sie können beispielsweise das durchschnittliche Monatsgehalt eines Mitarbeiters der einen oder anderen Berufsgruppe (Bergmann, Arzt, Bibliothekar) berechnen. Natürlich unterscheiden sich die monatlichen Löhne der Bergleute aufgrund der unterschiedlichen Qualifikationen, der Betriebszugehörigkeit, der monatlich geleisteten Arbeitsstunden und vieler anderer Faktoren voneinander und von der Höhe des Durchschnittslohns. Das Durchschnittsniveau spiegelt jedoch die Hauptfaktoren wider, die das Lohnniveau beeinflussen, und gleicht die Unterschiede aus, die sich aufgrund der individuellen Merkmale des Arbeitnehmers ergeben. Der Durchschnittslohn spiegelt das typische Lohnniveau für diesen Arbeitnehmertyp wider. Dem Erhalten eines typischen Durchschnitts sollte eine Analyse vorausgehen, inwiefern diese Population qualitativ homogen ist. Wenn die Bevölkerung aus einzelnen Teilen besteht, sollte sie in typische Gruppen (durchschnittliche Temperatur im Krankenhaus) eingeteilt werden.
Mittelwerte, die als Merkmale für heterogene Populationen verwendet werden, werden genannt Systemdurchschnitte. Zum Beispiel der Durchschnittswert des Bruttoinlandsprodukts (BIP) pro Kopf, der durchschnittliche Verbrauch verschiedener Warengruppen pro Person und andere ähnliche Werte, die die allgemeinen Merkmale des Staates als einheitliches Wirtschaftssystem darstellen.
Der Durchschnitt sollte für Populationen berechnet werden, die aus einer ausreichend großen Anzahl von Einheiten bestehen. Die Einhaltung dieser Bedingung ist Voraussetzung für das Inkrafttreten des Gesetzes der großen Zahl, wodurch sich zufällige Abweichungen einzelner Größen vom allgemeinen Trend gegenseitig aufheben.
Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung
Die Wahl des Durchschnittstyps wird durch den wirtschaftlichen Gehalt eines bestimmten Indikators und die Ausgangsdaten bestimmt. Jeder Durchschnittswert muss jedoch so berechnet werden, dass sich beim Ersetzen jeder Variante des gemittelten Merkmals das endgültige, verallgemeinernde oder, wie es allgemein genannt wird, nicht ändert. definierender Indikator, die sich auf den Durchschnitt bezieht. Wenn beispielsweise die tatsächlichen Geschwindigkeiten auf getrennten Streckenabschnitten ersetzt werden, sollte deren Durchschnittsgeschwindigkeit die vom Fahrzeug in derselben Zeit zurückgelegte Gesamtstrecke nicht ändern; Beim Ersetzen der tatsächlichen Löhne einzelner Arbeitnehmer des Unternehmens durch den Durchschnittslohn sollte sich der Lohnfonds nicht ändern. Folglich gibt es in jedem konkreten Fall je nach Art der verfügbaren Daten nur einen wahren Durchschnittswert des Indikators, der den Eigenschaften und dem Wesen des untersuchten sozioökonomischen Phänomens angemessen ist.
Die am häufigsten verwendeten sind das arithmetische Mittel, das harmonische Mittel, das geometrische Mittel, das mittlere Quadrat und das mittlere kubische Mittel.
Die aufgeführten Mittelwerte gehören zur Klasse Energie Durchschnitt und werden durch die allgemeine Formel kombiniert:
,
wo ist der Durchschnittswert des untersuchten Merkmals;
m ist der Exponent des Mittelwerts;
– aktueller Wert (Variante) des gemittelten Merkmals;
n ist die Anzahl der Merkmale.
Abhängig vom Wert des Exponenten m werden folgende Arten von Leistungsmittelwerten unterschieden:
bei m = -1 – mittlere Harmonische ;
bei m = 0 – geometrischer Mittelwert ;
bei m = 1 – arithmetisches Mittel;
bei m = 2 – quadratischer Mittelwert ;
bei m = 3 - durchschnittliche Kubik.
Je größer bei gleichen Ausgangsdaten der Exponent m in obiger Formel, desto größer der Wert des Mittelwertes:
.
Diese Eigenschaft des Potenzgesetzes heißt, mit zunehmendem Exponenten der definierenden Funktion zuzunehmen die Regel der Mehrheit der Mittel.
Jeder der markierten Mittelwerte kann zwei Formen annehmen: einfach und gewichtet.
Die einfache Form der Mitte gilt, wenn der Durchschnitt aus primären (nicht gruppierten) Daten berechnet wird. gewichtete Form– bei der Berechnung des Durchschnitts für sekundäre (gruppierte) Daten.
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel wird verwendet, wenn das Volumen der Bevölkerung die Summe aller Einzelwerte des variierenden Attributs ist. Zu beachten ist, dass bei fehlender Angabe der Art des Mittelwerts vom arithmetischen Mittelwert ausgegangen wird. Seine logische Formel lautet: 
einfaches arithmetisches Mittel berechnet durch nicht gruppierte Daten
nach der formel: 
oder ,
wo sind die einzelnen Werte des Attributs;
j ist die laufende Nummer der Beobachtungseinheit, die durch den Wert gekennzeichnet ist;
N ist die Anzahl der Beobachtungseinheiten (Mengengröße).
Beispiel. In der Vorlesung „Zusammenfassung und Gruppierung statistischer Daten“ wurden die Ergebnisse der Beobachtung der Arbeitserfahrung eines Teams von 10 Personen betrachtet. Berechnen Sie die durchschnittliche Berufserfahrung der Arbeiter der Brigade. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
Nach der Formel des arithmetischen Mittels einfach rechnet man auch chronologische Mittelwerte, wenn die Zeitintervalle, für die die Kennwerte dargestellt werden, gleich sind.
Beispiel. Das Volumen der verkauften Produkte für das erste Quartal betrug 47 den. Einheiten, für die zweite 54, für die dritte 65 und für die vierte 58 den. Einheiten Der durchschnittliche Quartalsumsatz beträgt (47+54+65+58)/4 = 56 den. Einheiten
Wenn in der chronologischen Reihe momentane Indikatoren angegeben sind, werden sie bei der Berechnung des Durchschnitts durch Halbsummen von Werten zu Beginn und am Ende des Zeitraums ersetzt.
Wenn es mehr als zwei Momente gibt und die Intervalle zwischen ihnen gleich sind, wird der Durchschnitt mit der Formel für den chronologischen Durchschnitt berechnet
,
wobei n die Anzahl der Zeitpunkte ist
Wenn die Daten nach Attributwerten gruppiert sind
(d. h. es wird eine diskrete Variationsverteilungsreihe konstruiert) mit gewichtetes arithmetisches Mittel wird entweder anhand von Häufigkeiten oder Beobachtungshäufigkeiten bestimmter Werte des Merkmals berechnet, deren Anzahl (k) deutlich kleiner ist als die Anzahl der Beobachtungen (N) .
,
,
wobei k die Anzahl der Gruppen der Variationsreihe ist,
i ist die Nummer der Gruppe der Variationsreihe.
Da , und , erhalten wir die für praktische Berechnungen verwendeten Formeln:
und
Beispiel. Lassen Sie uns die durchschnittliche Betriebszugehörigkeit der Arbeitsteams für die gruppierten Serien berechnen.
a) Verwendung von Frequenzen:
b) Verwendung von Frequenzen:
Wenn die Daten nach Intervallen gruppiert sind
, d.h. werden in Form von Intervallverteilungsreihen dargestellt, wobei bei der Berechnung des arithmetischen Mittels die Intervallmitte als Wert des Merkmals angenommen wird, wobei von einer gleichmäßigen Verteilung der Bevölkerungseinheiten in diesem Intervall ausgegangen wird. Die Berechnung erfolgt nach den Formeln:
und
wo ist die Mitte des Intervalls: ,
wobei und die unteren und oberen Grenzen der Intervalle sind (vorausgesetzt, dass die obere Grenze dieses Intervalls mit der unteren Grenze des nächsten Intervalls zusammenfällt).
Beispiel. Berechnen wir das arithmetische Mittel der Intervallvariationsreihe, die aus den Ergebnissen einer Untersuchung der Jahreslöhne von 30 Arbeitern konstruiert wurde (siehe Vorlesung "Zusammenfassung und Gruppierung statistischer Daten").
Tabelle 1 – Intervallvariationsreihe der Verteilung.
Intervalle, UAH |
Häufigkeit, pers. |
Frequenz, |
Die Mitte des Intervalls |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
UAH oder 
UAH
Die auf Basis der Ausgangsdaten und Intervallvariationsreihen berechneten arithmetischen Mittel stimmen aufgrund der ungleichmäßigen Verteilung der Attributwerte innerhalb der Intervalle möglicherweise nicht überein. In diesem Fall sollte man für eine genauere Berechnung des arithmetisch gewichteten Durchschnitts nicht die Mitte der Intervalle verwenden, sondern die für jede Gruppe berechneten arithmetischen einfachen Durchschnitte ( Gruppendurchschnitt). Der aus Gruppenmittelwerten mit Hilfe einer gewichteten Berechnungsformel berechnete Durchschnitt wird aufgerufen allgemeiner Durchschnitt.
Das arithmetische Mittel hat eine Reihe von Eigenschaften.
1. Die Summe der Abweichungen der Variante vom Mittelwert ist Null:
.
2. Wenn alle Werte der Option um den Wert A steigen oder sinken, dann steigt oder sinkt der Durchschnittswert um denselben Wert A: 
3. Wenn jede Option um B-mal erhöht oder verringert wird, erhöht oder verringert sich auch der Durchschnittswert um die gleiche Anzahl von Malen:
oder 
4. Die Summe der Produkte der Variante durch die Häufigkeiten ist gleich dem Produkt des Mittelwerts durch die Summe der Häufigkeiten: 
5. Wenn alle Frequenzen mit einer beliebigen Zahl geteilt oder multipliziert werden, ändert sich das arithmetische Mittel nicht: 
6) Wenn in allen Intervallen die Häufigkeiten gleich sind, dann ist der arithmetische gewichtete Durchschnitt gleich dem einfachen arithmetischen Durchschnitt: 
,
wobei k die Anzahl der Gruppen in der Variationsreihe ist.
Durch die Verwendung der Eigenschaften des Durchschnitts können Sie seine Berechnung vereinfachen.
Angenommen, alle Optionen (x) werden zuerst um dieselbe Zahl A und dann um den Faktor B reduziert. Die größte Vereinfachung wird erreicht, wenn der Wert der Mitte des Intervalls mit der höchsten Häufigkeit als A und der Wert des Intervalls als B gewählt wird (für Zeilen mit gleichen Intervallen). Die Größe A wird als Ursprung bezeichnet, daher heißt diese Methode zur Berechnung des Durchschnitts Weg b Ohm-Referenz von bedingter Null oder Weg der Momente.
Nach einer solchen Transformation erhalten wir eine neue Variationsverteilungsreihe, deren Varianten gleich sind. Ihr arithmetisches Mittel, genannt Moment der ersten Bestellung, wird durch die Formel ausgedrückt und gemäß der zweiten und dritten Eigenschaft ist das arithmetische Mittel gleich dem Mittel der ursprünglichen Version, reduziert zuerst um A und dann um B-mal, d.h.
Bekommen echter Durchschnitt(Mitte der ursprünglichen Zeile) müssen Sie den Moment der ersten Ordnung mit B multiplizieren und A hinzufügen: 
Die Berechnung des arithmetischen Mittels nach der Momentenmethode wird durch die Daten in der Tabelle veranschaulicht. 2.
Tabelle 2 - Verteilung der Mitarbeiter des Unternehmensshops nach Betriebszugehörigkeit
Berufserfahrung, Jahre |
Anzahl der Arbeiter |
Intervallmittelpunkt |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Den Moment der ersten Bestellung finden 
. Da wir wissen, dass A = 17,5 und B = 5 ist, berechnen wir dann die durchschnittliche Berufserfahrung der Ladenarbeiter:
Jahre
Durchschnittliche Oberschwingung
Wie oben gezeigt, wird das arithmetische Mittel verwendet, um den Mittelwert eines Merkmals zu berechnen, wenn seine Varianten x und ihre Häufigkeit f bekannt sind.
Wenn die statistischen Informationen keine Häufigkeiten f für einzelne Optionen x der Grundgesamtheit enthalten, sondern als deren Produkt dargestellt werden, wird die Formel angewendet durchschnittlich harmonisch gewichtet. Um den Durchschnitt zu berechnen, bezeichnen Sie , woher . Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die gewichtete arithmetische Mittelformel erhalten wir die gewichtete harmonische Mittelformel: 
,
wo ist das Volumen (Gewicht) der Indikatorattributwerte im Intervall mit der Nummer i (i=1,2, …, k).
Das harmonische Mittel wird also in Fällen verwendet, in denen nicht die Optionen selbst summiert werden, sondern ihre Kehrwerte: 
.
In Fällen, in denen das Gewicht jeder Option gleich eins ist, d. h. einzelne Werte des inversen Merkmals einmal vorkommen, gelten einfaches harmonisches Mittel:
,
wo sind einzelne Varianten des inversen Merkmals, die einmal vorkommen;
N ist die Anzahl der Optionen.
Wenn es für zwei Teile der Bevölkerung harmonische Mittelwerte mit einer Anzahl von und gibt, wird der Gesamtmittelwert für die gesamte Bevölkerung nach folgender Formel berechnet: 
und angerufen gewichteter harmonischer Mittelwert der Gruppenmittelwerte.
Beispiel. Während der ersten Handelsstunde an der Devisenbörse wurden drei Abschlüsse getätigt. Daten über die Höhe der Griwna-Verkäufe und den Wechselkurs der Griwna gegenüber dem US-Dollar sind in der Tabelle angegeben. 3 (Spalten 2 und 3). Bestimmen Sie den durchschnittlichen Wechselkurs der Griwna gegenüber dem US-Dollar für die erste Handelsstunde.
Tabelle 3 - Daten zum Handelsverlauf an der Devisenbörse
Der durchschnittliche Dollarkurs wird durch das Verhältnis der Menge an Griwna bestimmt, die im Laufe aller Transaktionen verkauft wird, zu der Menge an Dollar, die als Ergebnis derselben Transaktionen erworben werden. Der Gesamtbetrag des Hryvnia-Verkaufs ist aus Spalte 2 der Tabelle bekannt, und der bei jeder Transaktion gekaufte Dollarbetrag wird bestimmt, indem der Hryvnia-Verkaufsbetrag durch seinen Wechselkurs geteilt wird (Spalte 4). Bei drei Transaktionen wurden insgesamt 22 Millionen US-Dollar gekauft. Dies bedeutet, dass der durchschnittliche Griwna-Wechselkurs für einen Dollar war 
.
Der resultierende Wert ist real, weil seine Ersetzung der tatsächlichen Griwna-Wechselkurse in Transaktionen wird den Gesamtbetrag der Verkäufe der Griwna, die als fungiert, nicht ändern definierender Indikator: Mio. UAH
Wurde für die Berechnung das arithmetische Mittel verwendet, d.h. 
Griwna, dann zum Wechselkurs für den Kauf von 22 Millionen Dollar. Dafür müssten 110,66 Mio. UAH ausgegeben werden, was nicht stimmt.
Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel wird verwendet, um die Dynamik von Phänomenen zu analysieren, und ermöglicht die Bestimmung des durchschnittlichen Wachstumsfaktors. Bei der Berechnung des geometrischen Mittels sind die einzelnen Werte des Attributs relative Dynamikindikatoren, die in Form von Kettenwerten als Verhältnis jeder Ebene zur vorherigen aufgebaut sind.
Der geometrische einfache Mittelwert wird nach folgender Formel berechnet: 
,
Wo ist das Zeichen des Produkts,
N ist die Anzahl der gemittelten Werte.
Beispiel. Die Zahl der registrierten Straftaten über 4 Jahre stieg um das 1,57-fache, darunter für das 1. - um das 1,08-fache, für das 2. - um das 1,1-fache, für das 3. - um 1,18 und für das 4. - 1,12-fach. Dann beträgt die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate der Zahl der Straftaten: , d.h. Die Zahl der registrierten Straftaten ist jährlich um durchschnittlich 12 % gestiegen.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Um den quadratischen Mittelwert zu berechnen, bestimmen wir und tragen in die Tabelle und ein. Dann ist der Durchschnittswert der Abweichungen der Länge der Produkte von einer bestimmten Norm gleich: 
Das arithmetische Mittel wäre in diesem Fall ungeeignet, weil als Ergebnis würden wir eine Nullabweichung erhalten.
Die Verwendung des quadratischen Mittelwerts wird später bei den Variationsexponenten besprochen.
Im Verlauf des Mathematikstudiums lernen die Studierenden den Begriff des arithmetischen Mittels kennen. In der Statistik und einigen anderen Wissenschaften werden die Studierenden künftig mit dem Rechnen anderer konfrontiert: Was können sie sein und wie unterscheiden sie sich voneinander?
Bedeutung und Unterschied
Nicht immer genaue Indikatoren vermitteln ein Verständnis der Situation. Um diese oder jene Situation zu beurteilen, ist es manchmal notwendig, eine Vielzahl von Zahlen zu analysieren. Und dann kommen Durchschnittswerte zur Rettung. Sie ermöglichen es Ihnen, die Situation im Allgemeinen einzuschätzen.
Seit der Schulzeit erinnern sich viele Erwachsene an die Existenz des arithmetischen Mittels. Es ist sehr einfach zu berechnen - die Summe einer Folge von n Termen ist durch n teilbar. Das heißt, wenn Sie das arithmetische Mittel in der Folge der Werte 27, 22, 34 und 37 berechnen müssen, müssen Sie den Ausdruck (27 + 22 + 34 + 37) / 4 lösen, da 4 Werte vorliegen \u200b\u200werden in den Berechnungen verwendet. In diesem Fall ist der gewünschte Wert gleich 30.
Oftmals wird im Rahmen des Schulunterrichts auch das geometrische Mittel studiert. Die Berechnung dieses Wertes basiert auf dem Ziehen der Wurzel n-ten Grades aus dem Produkt von n Gliedern. Wenn wir die gleichen Zahlen nehmen: 27, 22, 34 und 37, dann ist das Ergebnis der Berechnungen 29,4.
Die harmonische Mitte in einer allgemeinbildenden Schule ist in der Regel nicht Gegenstand des Studiums. Es wird jedoch recht häufig verwendet. Dieser Wert ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels und errechnet sich als Quotient aus n - der Anzahl der Werte und der Summe 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Wenn wir dasselbe noch einmal zur Berechnung nehmen, dann ist die Harmonische 29,6.
Gewichteter Durchschnitt: Merkmale
Alle oben genannten Werte dürfen jedoch nicht überall verwendet werden. Beispielsweise spielt in der Statistik bei der Berechnung einiger Zahlen das "Gewicht" jeder in Berechnungen verwendeten Zahl eine wichtige Rolle. Die Ergebnisse sind aufschlussreicher und korrekter, weil sie mehr Informationen berücksichtigen. Diese Gruppe von Werten wird zusammenfassend als „gewichteter Durchschnitt“ bezeichnet. Sie werden in der Schule nicht bestanden, daher lohnt es sich, näher darauf einzugehen.
Zunächst einmal lohnt es sich zu erklären, was mit dem „Gewicht“ eines bestimmten Werts gemeint ist. Am einfachsten lässt sich dies anhand eines konkreten Beispiels erklären. Die Körpertemperatur jedes Patienten wird im Krankenhaus zweimal täglich gemessen. Von den 100 Patienten in verschiedenen Abteilungen des Krankenhauses haben 44 eine normale Temperatur - 36,6 Grad. Weitere 30 haben einen erhöhten Wert - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39 und die restlichen zwei - 40. Und wenn wir das arithmetische Mittel nehmen, dann wird dieser Wert im Allgemeinen für das Krankenhaus über 38 Grad liegen ! Aber fast die Hälfte der Patienten hat absolut Und hier wäre es richtiger, den gewichteten Durchschnitt zu verwenden, und das "Gewicht" jedes Werts ist die Anzahl der Personen. In diesem Fall beträgt das Ergebnis der Berechnung 37,25 Grad. Der Unterschied ist offensichtlich.
Bei gewichteten Durchschnittsberechnungen kann das „Gewicht“ als die Anzahl der Sendungen, die Anzahl der an einem bestimmten Tag arbeitenden Personen, im Allgemeinen alles, was gemessen werden kann und das Endergebnis beeinflusst, genommen werden.
Sorten
Der gewichtete Durchschnitt entspricht dem am Anfang des Artikels diskutierten arithmetischen Durchschnitt. Der erste Wert berücksichtigt jedoch, wie bereits erwähnt, auch das Gewicht jeder in den Berechnungen verwendeten Zahl. Darüber hinaus gibt es auch gewichtete geometrische und harmonische Werte.
Es gibt eine weitere interessante Variante, die in Zahlenreihen verwendet wird. Dies ist ein gewichteter gleitender Durchschnitt. Auf ihrer Grundlage werden Trends berechnet. Neben den Werten selbst und deren Gewicht wird dort auch die Periodizität verwendet. Und bei der Berechnung des Durchschnittswertes zu einem bestimmten Zeitpunkt werden auch Werte für vergangene Zeiträume berücksichtigt.
Die Berechnung all dieser Werte ist nicht so schwierig, aber in der Praxis wird meist nur der übliche gewichtete Durchschnitt verwendet.
Berechnungsmethoden
Im Zeitalter der Computerisierung muss der gewichtete Durchschnitt nicht mehr manuell berechnet werden. Es wäre jedoch hilfreich, die Berechnungsformel zu kennen, um die erhaltenen Ergebnisse überprüfen und gegebenenfalls korrigieren zu können.
Am einfachsten ist es, die Berechnung an einem konkreten Beispiel zu betrachten.
Es ist notwendig, den Durchschnittslohn in diesem Unternehmen unter Berücksichtigung der Anzahl der Arbeitnehmer zu ermitteln, die ein bestimmtes Gehalt erhalten.
Die Berechnung des gewichteten Durchschnitts erfolgt also nach folgender Formel:
x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)
Die Berechnung wäre zum Beispiel:
x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48
Offensichtlich gibt es keine besonderen Schwierigkeiten bei der manuellen Berechnung des gewichteten Durchschnitts. Die Formel zur Berechnung dieses Werts in einer der beliebtesten Anwendungen mit Formeln - Excel - sieht aus wie die Funktion SUMPRODUCT (Zahlenreihe; Gewichtsreihe) / SUM (Gewichtsreihe).
