Unterrichtstyp: Erklärung von neuem Material. Die Arbeit findet in Gruppen statt. Jede Gruppe hat einen Experten, der die Arbeit der Studenten überwacht und leitet. Hilft schwachen Schülern, an ihre Stärke beim Lösen dieser Gleichungen zu glauben.
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Verwandte Lektion
" Homogene trigonometrische Gleichungen"
(10. Klasse)
Ziel:
- das Konzept homogener trigonometrischer Gleichungen I. und II. Grades einführen;
- einen Algorithmus zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen I. und II. Grades formulieren und erarbeiten;
- den Schülern beibringen, homogene trigonometrische Gleichungen I. und II. Grades zu lösen;
- die Fähigkeit entwickeln, Muster zu erkennen, zu verallgemeinern;
- das Interesse an dem Thema wecken, ein Gefühl der Solidarität und eine gesunde Rivalität entwickeln.
Unterrichtstyp : eine Lektion in der Bildung von neuem Wissen.
Formular durchführen: in Gruppen arbeiten.
Ausstattung: Computer, Multimediainstallation
Während des Unterrichts
I. Organisatorischer Moment
Im Unterricht ein Bewertungssystem zur Wissensbewertung (der Lehrer erklärt das System zur Wissensbewertung und füllt den Bewertungsbogen durch einen unabhängigen Experten aus, der vom Lehrer aus den Schülern ausgewählt wird). Der Unterricht wird von einer Präsentation begleitet. Anhang 1.
Bewertungsbogen Nr.
n\n | Name Vorname | Hausaufgaben | kognitive Aktivität | Gleichungen lösen | Unabhängig Arbeit | Klasse |
II. Aktualisierung des Grundwissens..
Wir setzen unsere Beschäftigung mit dem Thema „Trigonometrische Gleichungen“ fort. Heute lernen wir Sie in der Lektion mit einer anderen Art von trigonometrischen Gleichungen und Methoden zu deren Lösung kennen und wiederholen daher das Gelernte. Alle Arten von trigonometrischen Gleichungen werden beim Lösen auf das Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen reduziert. Erinnern wir uns an die Haupttypen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Verwenden Sie die Pfeile, um die Ausdrücke zuzuordnen.
III. Motivation zum Lernen.
Wir müssen an der Lösung eines Kreuzworträtsels arbeiten. Nachdem wir es gelöst haben, werden wir den Namen einer neuen Art von Gleichungen lernen, die wir heute in der Lektion lösen werden.
Fragen werden auf die Tafel projiziert. Die Schüler raten, ein unabhängiger Experte trägt Punkte auf dem Bewertungsbogen für die antwortenden Schüler ein.
Nachdem die Jungs das Kreuzworträtsel gelöst haben, lesen sie das Wort „homogen“.
Kreuzworträtsel.
Wenn Sie die richtigen Wörter eingeben, erhalten Sie den Namen einer der Arten von trigonometrischen Gleichungen.
1. Der Wert der Variablen, der die Gleichung in eine wahre Gleichheit verwandelt? (Wurzel)
2. Maßeinheit für Winkel? (Bogenmaß)
3. Numerischer Multiplikator im Produkt? (Koeffizient)
4. Ein Bereich der Mathematik, der sich mit trigonometrischen Funktionen befasst? (Trigonometrie)
5. Welches mathematische Modell wird benötigt, um trigonometrische Funktionen einzuführen? (Kreis)
6. Welche der trigonometrischen Funktionen ist gerade? (Kosinus)
7. Wie heißt die wahre Gleichheit? (Identität)
8.Gleichheit mit einer Variablen? (Die gleichung)
9. Gleichungen mit gleichen Wurzeln? (äquivalent)
10. Wurzelsatz der Gleichung? (Lösung)
IV. Erklärung des neuen Materials.
Das Thema der Lektion ist „Homogene trigonometrische Gleichungen“. (Präsentation)
Beispiele:
- sin x + cos x = 0
- √3cos x + sin x = 0
- sin4x = cos4x
- 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
- 4 Sünde 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
- sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x + 2 = 0
- 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
- 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
- sin2x + 2cos2x = 1
V. Selbständiges Arbeiten
Ziele: Umfassendes Testen des Wissens der Schüler beim Lösen aller Arten trigonometrischer Gleichungen, Ermutigung der Schüler zur Selbstbeobachtung und Selbstbeherrschung.
Die Studierenden werden gebeten, 10 Minuten lang eine schriftliche Arbeit zu verfassen.
Die Schüler führen zum Kopieren auf leeren Blättern Papier vor. Nach Ablauf der Zeit werden die Spitzen der selbstständigen Arbeiten eingesammelt und die Lösungen zum Abschreiben verbleiben bei den Schülern.
Die Überprüfung der selbstständigen Arbeit (3 min) erfolgt durch gegenseitige Überprüfung.
. Die Schüler überprüfen die schriftliche Arbeit ihres Nachbarn mit einem Farbstift und notieren den Namen des Prüfers. Dann überreichen Sie die Blätter.
Anschließend werden sie einem unabhängigen Gutachter übergeben.
Möglichkeit 1: 1) sin x = √3cos x
2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
3) 3sin x – 2sin x cos x = 1
4) sin2x⁄sinx=0
Möglichkeit 2: 1) cosx + √3sin x = 0
2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0
3)1 + Sünde 2 x = 2 Sünde x cos x
4) cos 2x ⁄ cos x = 0
VI. Zusammenfassung der Lektion
VII. Hausaufgaben:
Hausaufgaben - 12 Punkte (3 Gleichungen 4 x 3 = 12 wurden für Hausaufgaben gegeben)
Studentische Aktivität - 1 Antwort - 1 Punkt (maximal 4 Punkte)
Gleichungen lösen 1 Punkt
Selbständige Arbeit - 4 Punkte
Unterrichtsthema: "Homogene trigonometrische Gleichungen"
(10. Klasse)
Ziel: das Konzept homogener trigonometrischer Gleichungen I. und II. Grades einführen; einen Algorithmus zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen I. und II. Grades formulieren und erarbeiten; den Schülern beibringen, homogene trigonometrische Gleichungen I. und II. Grades zu lösen; die Fähigkeit entwickeln, Muster zu erkennen, zu verallgemeinern; das Interesse an dem Thema wecken, ein Gefühl der Solidarität und eine gesunde Rivalität entwickeln.
Unterrichtsart: eine Lektion in der Bildung von neuem Wissen.
Verhaltensformular: in Gruppen arbeiten.
Ausrüstung: Computer, Multimediainstallation
Während des Unterrichts
Zeit organisieren
Schüler begrüßen, Aufmerksamkeit mobilisieren.
Im Unterricht ein Bewertungssystem zur Wissensbewertung (der Lehrer erklärt das System zur Wissensbewertung und füllt den Bewertungsbogen durch einen unabhängigen Experten aus, der vom Lehrer aus den Schülern ausgewählt wird). Der Unterricht wird von einer Präsentation begleitet. .
Aktualisierung des Grundwissens.
Die Hausaufgaben werden vor dem Unterricht von einem unabhängigen Gutachter und Beratern geprüft und bewertet und ein Bewertungsbogen ausgefüllt.
Der Lehrer fasst die Hausaufgaben zusammen.
Lehrer: Wir setzen unsere Beschäftigung mit dem Thema „Trigonometrische Gleichungen“ fort. Heute lernen wir Sie in der Lektion mit einer anderen Art von trigonometrischen Gleichungen und Methoden zu deren Lösung kennen und wiederholen daher das Gelernte. Alle Arten von trigonometrischen Gleichungen werden beim Lösen auf das Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen reduziert.
In Gruppen erledigte individuelle Hausaufgaben werden kontrolliert. Verteidigung der Präsentation „Lösungen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen“
(Die Arbeit der Gruppe wird von einem unabhängigen Gutachter evaluiert)
Motivation zum Lernen.
Lehrer: Wir müssen an der Lösung eines Kreuzworträtsels arbeiten. Nachdem wir es gelöst haben, werden wir den Namen einer neuen Art von Gleichungen lernen, die wir heute in der Lektion lösen werden.
Fragen werden auf die Tafel projiziert. Die Schüler raten, ein unabhängiger Experte trägt Punkte auf dem Bewertungsbogen für die antwortenden Schüler ein.
Nachdem die Jungs das Kreuzworträtsel gelöst haben, lesen sie das Wort „homogen“.
Assimilation von neuem Wissen.
Lehrer: Das Thema der Lektion ist „Homogene trigonometrische Gleichungen“.
Lassen Sie uns das Thema der Lektion in ein Notizbuch schreiben. Homogene trigonometrische Gleichungen sind ersten und zweiten Grades.
Schreiben wir die Definition einer homogenen Gleichung ersten Grades auf. Ich verwende ein Beispiel, um die Lösung einer solchen Gleichung zu zeigen, Sie stellen einen Algorithmus zur Lösung einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades auf.
Gleichung eingeben a sinx + b cosx = 0 heißt homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades.
Betrachten Sie die Lösung der Gleichung, wenn die Koeffizienten a und in anders als 0.
Beispiel: sinx + cosx = 0
R 
indem wir beide Teile der Gleichung Term für Term durch cosx dividieren, erhalten wir
Aufmerksamkeit! Eine Division durch 0 ist nur möglich, wenn dieser Ausdruck nirgendwo zu 0 wird. Wenn der Kosinus 0 ist, dann ist der Sinus auch 0, da die Koeffizienten von 0 verschieden sind, aber wir wissen, dass der Sinus und der Kosinus an verschiedenen Punkten verschwinden. Daher kann diese Operation durchgeführt werden, wenn diese Art von Gleichung gelöst wird.
Algorithmus zum Lösen einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades: Dividieren beider Teile der Gleichung durch cosx, cosx 0
Gleichung eingeben a Sünde mx +b cos mx = 0 sie nennen auch eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades und lösen auch die Division beider Gleichungsteile durch den Kosinus mx.
Gleichung eingeben a Sünde 2 x +b sinxcox +c cos2x = 0 heißt homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades.
Beispiel : Sünde 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x=0
Der Koeffizient a ist von 0 verschieden und daher ist cosx wie in der vorherigen Gleichung nicht gleich 0, und daher können Sie die Methode verwenden, beide Teile der Gleichung durch cos 2 x zu dividieren.
Wir erhalten tg 2 x + 2tgx - 3 = 0
Wir lösen, indem wir eine neue Variable einführen, sei tgx = a, dann erhalten wir die Gleichung
a 2 + 2a - 3 = 0
D \u003d 4 - 4 (-3) \u003d 16
ein 1 = 1 ein 2 = -3
Zurück zum Ersatz
Antworten:
Wenn der Koeffizient a \u003d 0 ist, hat die Gleichung die Form 2sinx cosx - 3cos2x \u003d 0. Wir lösen sie, indem wir den gemeinsamen Faktor cosx aus Klammern nehmen. Wenn der Koeffizient c \u003d 0 ist, hat die Gleichung die Form sin2x + 2sinx cosx \u003d 0. Wir lösen sie, indem wir den gemeinsamen Faktor sinx aus Klammern nehmen. Algorithmus zur Lösung einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades:
Prüfen Sie, ob der Term asin2 x in der Gleichung enthalten ist.
Wenn der Term asin2 x in der Gleichung enthalten ist (also eine 0), dann wird die Gleichung gelöst, indem beide Seiten der Gleichung durch cos2x geteilt werden und dann eine neue Variable eingeführt wird.
Wenn der Term asin2 x nicht in der Gleichung enthalten ist (d. h. a = 0), dann wird die Gleichung durch die Faktorisierungsmethode gelöst: cosx wird aus Klammern genommen. Homogene Gleichungen der Form a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 werden auf die gleiche Weise gelöst
Der Algorithmus zum Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen ist im Lehrbuch auf Seite 102 beschrieben.
Sportunterricht Minute
Bildung von Fähigkeiten zum Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen
Problembücher öffnen Seite 53
1. und 2. Gruppe entscheiden Nr. 361-c
3. und 4. Gruppe entscheiden Nr. 363-v
Lösung an der Tafel zeigen, erklären, ergänzen. Ein unabhängiger Sachverständiger bewertet.
Lösungsbeispiele aus Problembuch Nr. 361-c
sinx - 3cosx = 0
wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch cosx 0, erhalten wir 
Nr. 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch cos2x, erhalten wir tg2x + tgx – 2 = 0
durch Einführung einer neuen Variablen lösen
sei tgx = a, dann erhalten wir die Gleichung
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
zurück zum Ersatz
Selbstständige Arbeit.
Gleichungen lösen.
2 cos - 2 = 0
2cos2x – 3cosx +1 = 0
3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0
Am Ende der selbstständigen Arbeit wechseln sich Arbeit und gegenseitige Überprüfung ab. Richtige Antworten werden an der Tafel angezeigt.
Anschließend werden sie einem unabhängigen Gutachter übergeben.
Do-It-Yourself-Lösung
Zusammenfassung der Lektion.
Welche trigonometrischen Gleichungen sind uns im Unterricht begegnet?
Algorithmus zum Lösen trigonometrischer Gleichungen ersten und zweiten Grades.
Hausaufgaben: § 20.3 gelesen. Nr. 361 (d), 363 (b), erhöhter Schwierigkeitsgrad zusätzlich Nr. 380 (a).
Kreuzworträtsel.
Wenn Sie die richtigen Wörter eingeben, erhalten Sie den Namen einer der Arten von trigonometrischen Gleichungen.
Der Wert der Variablen, die die Gleichung in eine echte Gleichheit verwandelt? (Wurzel)
Winkeleinheit? (Bogenmaß)
Numerischer Multiplikator im Produkt? (Koeffizient)
Zweig der Mathematik, der trigonometrische Funktionen untersucht? (Trigonometrie)
Welches mathematische Modell wird benötigt, um trigonometrische Funktionen einzuführen? (Kreis)
Welche der trigonometrischen Funktionen ist gerade? (Kosinus)
Wie nennt man wahre Gleichheit? (Identität)
Gleichheit mit einer Variablen? (Die gleichung)
Gleichungen mit gleichen Wurzeln? (äquivalent)
Die Menge der Wurzeln der Gleichung ? (Lösung)
Bewertungspapier
№
n\n
Nachname, Name des Lehrers
Hausaufgaben
Präsentation
kognitive Aktivität
lernen
Gleichungen lösen
Unabhängig
Arbeit
Hausaufgaben - 12 Punkte (3 Gleichungen 4 x 3 = 12 wurden für Hausaufgaben gegeben)
Präsentation - 1 Punkt
Studentische Aktivität - 1 Antwort - 1 Punkt (maximal 4 Punkte)
Gleichungen lösen 1 Punkt
Selbständige Arbeit - 4 Punkte
Gruppenwertung:
"5" - 22 Punkte oder mehr
„4“ - 18 - 21 Punkte
„3“ - 12 - 17 Punkte
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Schutz personenbezogener Daten
Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer – zum Schutz Ihrer personenbezogenen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung.
Wahrung Ihrer Privatsphäre auf Unternehmensebene
Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitspraktiken an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.
Mit Hilfe dieser Videolektion können die Schüler das Thema der homogenen trigonometrischen Gleichungen studieren.
Lassen Sie uns Definitionen geben:
1) eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades sieht aus wie a sin x + b cos x = 0;
2) eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades sieht aus wie a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Betrachten Sie die Gleichung a sin x + b cos x = 0. Wenn a Null ist, dann sieht die Gleichung so aus: b cos x = 0; wenn b Null ist, dann sieht die Gleichung aus wie eine Sünde x = 0. Dies sind die Gleichungen, die wir als die einfachsten bezeichnet und früher in früheren Themen gelöst haben.
Betrachten Sie nun die Option, wenn a und b ungleich Null sind. Indem wir die Teile der Gleichung durch den Kosinus x dividieren, führen wir die Transformation durch. Wir erhalten a tg x + b = 0, dann ist tg x gleich - b/a.
Aus dem Obigen folgt, dass die Gleichung a sin mx + b cos mx = 0 eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades ist. Um eine Gleichung zu lösen, teilen Sie ihre Teile durch cos mx.
Schauen wir uns Beispiel 1 an. Lösen Sie 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. Teilen Sie zuerst die Teile der Gleichung durch Kosinus (x / 2). Da wir wissen, dass der Sinus dividiert durch den Kosinus der Tangens ist, erhalten wir 7 tg (x / 2) - 5 = 0. Durch Transformation des Ausdrucks finden wir heraus, dass der Wert des Tangens (x / 2) 5/7 ist. Die Lösung dieser Gleichung ist x = arctan a + πn, in unserem Fall x = 2 arctan (5/7) + 2πn.
Betrachten Sie die Gleichung a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:
1) mit a gleich Null sieht die Gleichung wie folgt aus: b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Durch Transformation erhalten wir den Ausdruck cos x (b sin x + c cos x) = 0 und fahren mit der Lösung fort von zwei Gleichungen. Nachdem wir die Teile der Gleichung durch den Kosinus x geteilt haben, erhalten wir b tg x + c = 0, was bedeutet, dass tg x = - c/b. Wenn Sie wissen, dass x \u003d arctan a + πn ist, lautet die Lösung in diesem Fall x \u003d arctg (- c / b) + πn.
2) Wenn a nicht gleich Null ist, erhalten wir durch Dividieren der Teile der Gleichung durch das Kosinusquadrat eine Gleichung, die eine Tangente enthält, die quadratisch ist. Diese Gleichung kann gelöst werden, indem eine neue Variable eingeführt wird.
3) Wenn c gleich Null ist, nimmt die Gleichung die Form a sin 2 x + b sin x cos x = 0 an. Diese Gleichung kann gelöst werden, indem der Sinus von x aus der Klammer genommen wird.
1. sehen, ob es eine Sünde 2 x in der Gleichung gibt;
2. wenn der Term a sin 2 x in der Gleichung enthalten ist, dann kann die Gleichung gelöst werden, indem man beide Teile durch das Kosinusquadrat dividiert und dann eine neue Variable einführt.
3. Wenn die Gleichung a sin 2 x nicht enthält, dann kann die Gleichung durch Weglassen der Klammern cosx gelöst werden.
Betrachten Sie Beispiel 2. Wir nehmen den Kosinus heraus und erhalten zwei Gleichungen. Die Wurzel der ersten Gleichung ist x = π/2 + πn. Um die zweite Gleichung zu lösen, dividieren wir die Teile dieser Gleichung durch den Kosinus x, durch Transformationen erhalten wir x = π/3 + πn. Antwort: x = π/2 + πn und x = π/3 + πn.
Lassen Sie uns Beispiel 3 lösen, eine Gleichung der Form 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 und ihre Wurzeln finden, die zum Segment von - π bis π gehören. Da Da diese Gleichung inhomogen ist, muss sie auf eine homogene Form gebracht werden. Unter Verwendung der Formel sin 2 x + cos 2 x = 1 erhalten wir die Gleichung sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Teilen wir alle Teile der Gleichung durch cos 2 x, erhalten wir tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Durch die Einführung einer neuen Variablen z = tg 2x lösen wir die Gleichung, deren Wurzel z = 1 ist. Dann ist tg 2x = 1, was impliziert, dass x = π/8 + (πn)/2. Da Je nach Zustand des Problems müssen Sie die Wurzeln finden, die zum Segment von - π bis π gehören. Die Lösung sieht wie folgt aus: - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
TEXTEINTERPRETATION:
Homogene trigonometrische Gleichungen
Heute werden wir analysieren, wie die "homogenen trigonometrischen Gleichungen" gelöst werden. Das sind Gleichungen besonderer Art.
Machen wir uns mit der Definition vertraut.
Gleichung eingeben und sinx+bcosx = 0 (und sinus x plus be cosinus x ist null) heißt eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades;
Gleichung der Form eine Sünde 2 x+bSünde xcosx+ccos 2 x= 0 (und Sinusquadrat x plus be Sinus x Kosinus x plus se Kosinusquadrat x gleich Null) heißt homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades.
Wenn ein a=0, dann nimmt die Gleichung die Form an bcosx = 0.
Wenn ein b = 0 , dann bekommen wir und sin x = 0.
Diese Gleichungen sind elementar trigonometrisch, und wir haben ihre Lösung in unseren vorherigen Themen betrachtet
In Betracht ziehen der Fall, wenn beide Koeffizienten nicht Null sind. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung aSündex+ bcosx = 0 Begriff für Begriff auf cosx.
Wir können dies tun, da der Kosinus x nicht Null ist. Immerhin, wenn cosx = 0 , dann die Gleichung aSündex+ bcosx = 0 wird die Form annehmen aSündex = 0 , a≠ 0, also Sündex = 0 . Was unmöglich ist, weil nach der trigonometrischen Grundidentität Sünde 2x+cos 2 x=1 .
Dividieren beider Seiten der Gleichung aSündex+ bcosx = 0 Begriff für Begriff auf cosx, erhalten wir: + =0
Machen wir die Transformationen:
1. Seit = tg x, dann =und TG x
2 Vermindere um cosx, dann
Damit erhalten wir folgenden Ausdruck und tg x + b = 0.
Machen wir die Transformation:
1. Verschieben Sie b auf die rechte Seite des Ausdrucks mit dem entgegengesetzten Vorzeichen
und tg x \u003d - b
2. Den Multiplikator loswerden und Dividieren beider Seiten der Gleichung durch a
tg x= -.
Fazit: Eine Gleichung der Form und Sündemx+bcosmx = 0 (und der Sinus em x plus der Kosinus em x ist Null) wird auch eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades genannt. Um es zu lösen, teilen Sie beide Seiten durch cosmx.
BEISPIEL 1. Lösen Sie die Gleichung 7 sin - 5 cos \u003d 0 (sieben Sinus x mal zwei minus fünf Kosinus x mal zwei ist Null)
Lösung. Wir dividieren beide Teile der Gleichung Term für Term durch cos, erhalten wir
1. \u003d 7 tg (da das Verhältnis von Sinus zu Kosinus Tangens ist, ist sieben Sinus x mal zwei geteilt durch Kosinus x mal zwei gleich 7 Tangens x mal zwei)
2. -5 = -5 (wenn cos abgekürzt)
Damit haben wir die Gleichung bekommen
7tg - 5 = 0, lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln, minus fünf auf die rechte Seite verschieben und das Vorzeichen ändern.
Wir haben die Gleichung auf die Form tg t = a reduziert, wobei t=, a =. Und da diese Gleichung für jeden Wert eine Lösung hat a und diese Lösungen aussehen
x \u003d arctg a + πn, dann sieht die Lösung unserer Gleichung so aus:
Arctg + πn, finde x
x \u003d 2 Arctan + 2πn.
Antwort: x \u003d 2 arctg + 2πn.
Kommen wir zu einer homogenen trigonometrischen Gleichung zweiten Grades
asin 2 x+b sin x cos x +Mitcos2 x = 0.
Betrachten wir mehrere Fälle.
Ich. Wenn a=0, dann nimmt die Gleichung die Form an bSündexcosx+ccos 2 x= 0.
Beim Lösen z dann verwenden wir die Faktorisierungsmethode der Gleichungen. Nehmen wir heraus cosx Klammern und wir erhalten: cosx(bSündex+ccosx)= 0 . Wo cosx= 0 bzw
b Sünde x +Mitcos x = 0. Und wir wissen bereits, wie man diese Gleichungen löst.
Wir dividieren beide Teile der Gleichung Term für Term durch cosx, erhalten wir
1 (weil das Verhältnis von Sinus zu Cosinus der Tangens ist).
Damit erhalten wir die Gleichung: b tgx+c=0
Wir haben die Gleichung auf die Form tg t = a reduziert, wobei t= x, a =. Und da diese Gleichung für jeden Wert eine Lösung hat a und diese Lösungen aussehen
x \u003d arctg a + πn, dann lautet die Lösung unserer Gleichung:
x \u003d arctg + πn, .
II. Wenn ein a≠0, dann teilen wir beide Teile der Gleichung Term für Term in cos 2 x.
(Ähnlich argumentieren, wie im Fall einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades, Kosinus x kann nicht verschwinden).
III. Wenn ein c=0, dann nimmt die Gleichung die Form an aSünde 2 x+ bSündexcosx= 0. Diese Gleichung wird durch die Faktorisierungsmethode gelöst (Take out Sündex für Klammern).
Also beim Lösen der Gleichung aSünde 2 x+ bSündexcosx+ccos 2 x= 0 Sie können dem Algorithmus folgen:
BEISPIEL 2. Lösen Sie die Gleichung sinxcosx - cos 2 x= 0 (Sinus x mal Cosinus x minus die Wurzel aus drei mal Cosinus zum Quadrat x ist gleich Null).
Lösung. Lassen Sie uns faktorisieren (Klammer cosx). Erhalten
cos x(sin x - cos x)= 0, d.h. cos x=0 oder sin x - cos x= 0.
Antwort: x \u003d + πn, x \u003d + πn.
BEISPIEL 3. Lösen Sie die Gleichung 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (drei Sinusquadrat von zwei x minus zweimal das Produkt aus dem Sinus von zwei x und dem Kosinus von zwei x plus drei Kosinusquadrat von zwei x) und finde seine Wurzeln, die zum Intervall (- π; π) gehören.
Lösung. Diese Gleichung ist nicht homogen, also führen wir Transformationen durch. Die auf der rechten Seite der Gleichung enthaltene Zahl 2 wird durch das Produkt 2 1 ersetzt
Da dann nach der trigonometrischen Grundidentität sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 ist
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = durch Öffnen der Klammern erhalten wir: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Die Gleichung 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 nimmt also die Form an:
3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,
sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x =0.
Wir haben eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades erhalten. Wenden wir die Term-für-Term-Division durch cos 2 2x an:
tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.
Lassen Sie uns eine neue Variable z= tg2х einführen.
Wir haben z 2 - 2 z + 1 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung. Wenn wir die abgekürzte Multiplikationsformel auf der linken Seite beachten - das Quadrat der Differenz (), erhalten wir (z - 1) 2 = 0, d.h. z = 1. Kehren wir zur umgekehrten Substitution zurück:
Wir haben die Gleichung auf die Form tg t \u003d a reduziert, wobei t \u003d 2x, a \u003d 1. Und da diese Gleichung für jeden Wert eine Lösung hat a und diese Lösungen aussehen
x \u003d arctg x a + πn, dann lautet die Lösung unserer Gleichung:
2x \u003d arctg1 + πn,
x \u003d + , (x ist gleich der Summe von pi mal acht und pi en mal zwei).
Es bleibt uns, solche Werte von x zu finden, die im Intervall enthalten sind
(- π; π), d.h. erfüllen die doppelte Ungleichung - π x π. Als
x= + , dann - π + π. Teilen Sie alle Teile dieser Ungleichung durch π und multiplizieren Sie mit 8, wir erhalten
Bewegen Sie die Einheit nach rechts und nach links und ändern Sie das Vorzeichen auf minus eins
geteilt durch vier erhalten wir
der Einfachheit halber wählen wir in Brüchen ganzzahlige Teile aus
- Diese Ungleichung wird durch die folgende ganze Zahl n erfüllt: -2, -1, 0, 1 "Die Größe eines Mannes liegt in seiner Fähigkeit zu denken." Unterrichtsziele: 1) Lehrreich- die Schüler in homogene Gleichungen einzuführen, Methoden zu ihrer Lösung zu erwägen, zur Bildung von Fähigkeiten beizutragen, um zuvor untersuchte Arten trigonometrischer Gleichungen zu lösen. 2) Lehrreich- Entwicklung der kreativen Aktivität der Schüler, ihrer kognitiven Aktivität, des logischen Denkens, des Gedächtnisses, der Fähigkeit, in einer Problemsituation zu arbeiten, die Fähigkeit zu erreichen, ihre Gedanken korrekt, konsequent und rational auszudrücken, den Horizont der Schüler zu erweitern, zu heben das Niveau ihrer mathematischen Kultur. 3) Lehrreich- den Wunsch nach Selbstverbesserung, harter Arbeit zu kultivieren, die Fähigkeit zu bilden, mathematische Aufzeichnungen kompetent und genau durchzuführen, Aktivität zu kultivieren, Interesse an Mathematik zu fördern. Unterrichtsart: kombiniert. Ausrüstung: Während des Unterrichts 1. Organisationsphase (2 Minuten) Gegenseitige Begrüßung; Überprüfung der Unterrichtsbereitschaft der Schüler (Arbeitsplatz, Erscheinungsbild); Organisation der Aufmerksamkeit. Der Lehrer teilt den Schülern das Thema der Stunde mit (Folie 2) und erklärt, dass das Handout, das auf den Tischen liegt, während des Unterrichts verwendet wird. 2. Wiederholung des theoretischen Stoffs (15 Minuten) Aufgaben auf Lochkarten(6 Leute) .
Arbeitszeit auf Lochkarten - 10 min (Anhang 2) Durch das Lösen von Aufgaben lernen die Schüler, wo trigonometrische Berechnungen angewendet werden. Die folgenden Antworten werden erhalten: Triangulation (eine Technik, die es ermöglicht, Entfernungen zu nahen Sternen in der Astronomie zu messen), Akustik, Ultraschall, Tomographie, Geodäsie, Kryptographie. (Folie 5) vordere Umfrage. Spiel "Rate das Chiffrewort" Blaise Pascal hat einmal gesagt, Mathematik sei eine so ernsthafte Wissenschaft, dass man sich keine Gelegenheit entgehen lassen sollte, sie etwas unterhaltsamer zu gestalten. Also schlage ich vor, dass Sie spielen. Bestimmen Sie nach dem Lösen der Beispiele die Ziffernfolge, aus der sich das verschlüsselte Wort zusammensetzt. Im Lateinischen bedeutet dieses Wort „Sinus“. (Folie 3) 2) Arctan (-√3) 4) tg(Arkus cos(1/2)) 5) tg (Bogen ctg √3) Antwort: „Biegen“ Das Spiel „Verstreuter Mathematiker» Aufgaben für die mündliche Arbeit werden auf den Bildschirm projiziert: Überprüfen Sie die Richtigkeit der Lösung der Gleichungen.(Die richtige Antwort erscheint auf der Folie nach der Antwort des Schülers). (Folie 4) Antworten mit Fehlern Richtige Antworten x = ± π/6+2πn x = ± π/3+2πn x= π/3+πn X = (-1)
nπ/3+πn tg x = π/4 x= 1
+πn tg x \u003d 1, x \u003d π / 4 + πn x = ±π/6+ π
n x = ± π/6+2πn x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + 2πn x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + Pn x = ± π/6+2πn x = ± 5π/6+2πn cos x = π/3 x = ± 1/2
+2πn cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn Überprüfung der Hausaufgaben. Der Lehrer stellt die Korrektheit und das Bewusstsein der Hausaufgaben bei allen Schülern fest; identifiziert Wissenslücken; verbessert die Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schüler im Bereich der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. 1 Gleichung.
Der Schüler kommentiert die Lösung der Gleichung, deren Zeilen auf der Folie in der Reihenfolge des Kommentars erscheinen). (Folie 6) √3tg2x = 1; tg2x=1/√3;
2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈Z. 2x \u003d π / 6 + πn, n ∈Z. x \u003d π / 12 +
π/2
n,
n
∈Z.
2 Gleichung.
Lösung h an die Schüler an der Tafel geschrieben. 2 sin 2 x + 3 cosx = 0. 3. Aktualisierung des neuen Wissens (3 Minuten) Die Schüler erinnern sich auf Wunsch des Lehrers an Wege zur Lösung trigonometrischer Gleichungen. Sie wählen die Gleichungen aus, deren Lösung sie bereits kennen, nennen die Methode zur Lösung der Gleichung und das Ergebnis .
Die Antworten erscheinen auf der Folie. (Folie 7) . Einführung einer neuen Variablen: Nr. 1. 2sin 2x - 7sinx + 3 = 0. Sei sinx = t, dann: 2t 2 – 7t + 3 = 0. Faktorisierung: №2.
3sinx cos4x – cos4x = 0; cos4x(3sinx - 1) = 0; cos4x = 0 oder 3 sinx - 1 = 0; … Nummer 3. 2 sinx - 3 cosx = 0, Nummer 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0. Lehrer: Sie wissen noch nicht, wie Sie die letzten beiden Arten von Gleichungen lösen können. Beide sind vom gleichen Typ. Sie können nicht auf eine Gleichung für die Funktionen sinx oder cosx reduziert werden. Werden genannt homogene trigonometrische Gleichungen. Aber nur die erste ist eine homogene Gleichung ersten Grades und die zweite eine homogene Gleichung zweiten Grades. Heute lernen Sie in der Lektion solche Gleichungen kennen und lernen, wie man sie löst. 4. Neues Material erklären (25 Minuten) Der Lehrer gibt den Schülern die Definitionen homogener trigonometrischer Gleichungen und stellt die Möglichkeiten vor, sie zu lösen. Definition. Eine Gleichung der Form a sinx + b cosx =0, wobei a ≠ 0, b ≠ 0 genannt wird homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades.(Folie 8) Ein Beispiel einer solchen Gleichung ist Gleichung #3. Schreiben wir die allgemeine Form der Gleichung auf und analysieren sie. und sinx + b cosx = 0. Wenn cosx = 0, dann sinx = 0. – Könnte eine solche Situation eintreten? - Nein. Wir haben einen Widerspruch zur trigonometrischen Grundidentität erhalten. Daher ist cosx ≠ 0. Führen wir eine Term-für-Term-Division durch cosx durch: ein tgx + b = 0 tgx = -b / a ist die einfachste trigonometrische Gleichung. Fazit: Homogene trigonometrische Gleichungen ersten Grades werden gelöst, indem beide Seiten der Gleichung durch cosx (sinx) dividiert werden. Zum Beispiel: 2 sinx - 3 cosx = 0, Da cosx ≠ 0, dann tx = 3/2 ;
x = arctg (3/2) + πn, n ∈Z. Definition. Eine Gleichung der Form a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , wobei a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 genannt wird trigonometrische Gleichung zweiten Grades. (Folie 8) Ein Beispiel einer solchen Gleichung ist Gleichung #4. Schreiben wir die allgemeine Form der Gleichung auf und analysieren sie. a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0. Wenn cosx = 0, dann sinx = 0. Wieder haben wir einen Widerspruch zur trigonometrischen Grundidentität. Daher ist cosx ≠ 0. Führen wir eine Term-für-Term-Division durch cos 2 x durch: und tg 2 x + b tgx + c = 0 ist eine quadratische Gleichung. Fazit: Ach homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades werden gelöst, indem beide Seiten der Gleichung durch cos 2 x (sin 2 x) dividiert werden. Zum Beispiel: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0. Da cos 2 x ≠ 0, dann 3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (Bitten Sie den Schüler, zur Tafel zu gehen und die Gleichung selbst zu vervollständigen). Ersatz: tgx = y. 3 Jahre 2 - 4 Jahre + 1 = 0 D = 16 - 12 = 4 y 1 = 1 oder y 2 = 1/3 tgx=1 oder tgx=1/3 x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z. x = arctg1 + πn, n ∈Z. x = π/4 + πn, n ∈Z. 5. Phase der Überprüfung des Verständnisses der Schüler für neuen Stoff (1 Min.) Wählen Sie die zusätzliche Gleichung: sinx=2cosx; 2sinx + cosx = 2; √3sinx + cosx = 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0; 4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0. (Folie 9) 6. Konsolidierung von neuem Material (24 min). Die Schüler lösen zusammen mit denen, die an der Tafel antworten, Gleichungen für neues Material. Aufgaben werden in Form einer Tabelle auf die Folie geschrieben. Beim Lösen der Gleichung öffnet sich der entsprechende Teil des Bildes auf der Folie. Als Ergebnis der Ausführung von 4 Gleichungen eröffnet sich den Studierenden das Porträt eines Mathematikers, der die Entwicklung der Trigonometrie maßgeblich beeinflusst hat. (Die Schüler werden das Porträt von Francois Vieta erkennen - dem großen Mathematiker, der einen großen Beitrag zur Trigonometrie geleistet, die Eigenschaft der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung entdeckt und sich mit Kryptographie beschäftigt hat) . (Folie 10) 1)
√3sinx + cosx = 0, Da cosx ≠ 0, dann √3tgx + 1 = 0; tgx = –1/√3; х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z. x = –π/6 + πn, n ∈Z. 2)
sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \u003d 0. Da cos 2 x ≠ 0, dann ist tg 2 x - 10 tgx + 21 = 0 Ersatz: tgx = y. y 2 - 10 y + 21 = 0 y1 = 7 oder y2 = 3 tgx=7 oder tgx=3 x = arctg7 + πn, n ∈Z x = arctg3 + πn, n ∈Z 3)
sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0. Da cos 2 2x ≠ 0, dann 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0 Ersatz: tg2x = y. 3 Jahre 2 - 6 Jahre + 5 = 0 D \u003d 36 - 20 \u003d 16 y 1 = 5 oder y 2 = 1 tg2x=5 oder tg2x=1 2x = arctg5 + πn, n ∈Z x = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z
2x = arctg1 + πn, n ∈Z x = π/8 + π/2 n, n ∈Z 4)
6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1. 6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1. 6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0. 5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0. Da cos 2 x ≠ 0, dann 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0 Ersatz: tg x = y. 5 Jahre 2 + 4 Jahre - 1 = 0 D=16+20=36 y 1 = 1/5 oder y 2 = –1 tgx = 1/5 oder tgx = -1 x = arctg1/5 + πn, n ∈Z x = arctg(–1) + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z Extras (auf der Karte): Lösen Sie die Gleichung und wählen Sie eine der vier vorgeschlagenen Optionen aus und erraten Sie den Namen des Mathematikers, der die Reduktionsformeln abgeleitet hat: 2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0. Antwortmöglichkeiten: х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev x = arctan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euklid
х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofia Kovalevskaya
x = arctg2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonard Euler Richtige Antwort: Leonhard Euler. 7. Differenziertes selbstständiges Arbeiten (8 Min.) Der große Mathematiker und Philosoph schlug vor mehr als 2500 Jahren einen Weg vor, geistige Fähigkeiten zu entwickeln. „Denken beginnt mit Staunen“, sagte er. Von der Richtigkeit dieser Worte sind wir heute immer wieder überzeugt worden. Nach Abschluss der unabhängigen Arbeit an 2 Optionen können Sie zeigen, wie Sie den Stoff gelernt haben, und den Namen dieses Mathematikers herausfinden. Verwenden Sie für selbstständiges Arbeiten das Handout, das auf Ihren Schreibtischen liegt. Sie können selbst eine der drei vorgeschlagenen Gleichungen auswählen. Aber denken Sie daran, dass Sie durch Lösen der Gleichung, die Gelb entspricht, nur "3" erhalten können, indem Sie die Gleichung lösen, die Grün - "4", Rot - "5" entspricht. (Anhang 3) Welchen Schwierigkeitsgrad auch immer die Schüler wählen, nach der richtigen Lösung der Gleichung erhält die erste Option das Wort "ARIST", die zweite - "HOTEL". Auf der Folie erhält man das Wort: „ARIST-HOTEL“. (Folie 11) Merkblätter mit selbstständiger Arbeit werden zur Überprüfung ausgehändigt. (Anhang 4) 8. Hausaufgaben aufnehmen (1 min) D/z: §7.17. Stellen Sie 2 homogene Gleichungen ersten Grades und 1 homogene Gleichung zweiten Grades auf und lösen Sie sie (unter Verwendung des Satzes von Vieta zum Kompilieren). (Folie 12) 9. Zusammenfassung der Lektion, Benotung (2 Minuten) Der Lehrer macht noch einmal auf diese Arten von Gleichungen und theoretischen Fakten aufmerksam, an die er sich im Unterricht erinnert hat, und spricht von der Notwendigkeit, sie zu lernen. Die Schüler beantworten die Fragen: Der Lehrer notiert die erfolgreichste Arbeit im Unterricht einzelner Schüler, setzt Noten.
Blaise Paskal.
