Tangente an einen Kreis. Zentrale und eingeschriebene Winkel

Ein Winkel, der durch zwei Sehnen gebildet wird, die vom selben Punkt aus gezogen werden, wird als einbeschriebener Winkel bezeichnet.

THEOREM Ein einbeschriebener Winkel wird durch die Hälfte des Bogens gemessen, den er schneidet.

Konsequenzen:

alle einbeschriebenen Winkel, die auf demselben Bogen basieren, sind gleich;

Ein einbeschriebener Winkel bezogen auf einen Durchmesser ist ein rechter Winkel.

THEOREM Ein Winkel, dessen Scheitel innerhalb eines Kreises liegt, wird durch die Hälfte der Summe zweier Bögen gemessen, die zwischen seinen Seiten eingeschlossen sind

THEOREM Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt außerhalb des Kreises liegt und dessen Seiten den Kreis schneiden, wird durch die halbe Differenz der beiden zwischen seinen Seiten eingeschlossenen Bögen gemessen.

THEOREM Ein Winkel, der durch eine Tangente und eine Sehne gebildet wird, wird durch die Hälfte des Bogens gemessen, der in dem Winkel enthalten ist.

Aufgaben mit Lösung

1. Finden Sie den Winkel ABC. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Entscheidung.

Konstruiere ein Quadrat mit der Seite AC.

Dann ist ersichtlich, dass der Winkel ABC auf Kreisen basiert, also auf einem Bogen von 90º. Ein einbeschriebener Winkel ist die Hälfte des Bogens, den er abfängt, also

2. Der Akkord AB teilt den Kreis in zwei Teile, deren Gradwerte im Verhältnis 6:12 stehen. In welchem ​​Winkel ist diese Sehne vom Punkt C aus sichtbar, der zum kleineren Kreisbogen gehört? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Entscheidung.

Von einem Punkt C Akkord AB schräg gesehen ACB. Der größte Teil des Kreises sei 12x, dann ist der kleinere 6x. Der ganze Kreis ist 360º.

Wir erhalten die Gleichung 12x + 6x \u003d 360º, woher x \u003d 20º.

Injektion DIA ruht auf einem großen Kreisbogen, der gleich 12 20º = 240º ist.

Ein einbeschriebener Winkel ist gleich der Hälfte des Bogens, auf dem er ruht, was bedeutet, dass der Winkel auf einem großen Bogen ruht ACB gleich

Antwort 120º

3. Akkord AB schneidet den Kreisbogen bei 84º ab. Finde einen Winkel ABC zwischen dieser Sehne und der Tangente an den Kreis durch Punkt B. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Entscheidung.

Injektion ABC ist der Winkel zwischen der Tangente und der Sehne. Sie wird durch die Hälfte des in der Ecke eingeschlossenen Bogens gemessen. Der Bogen innerhalb des Winkels beträgt 84º

4. Eine Tangente wird an einen Kreis mit Radius 36 von einem Punkt gezogen, der vom Mittelpunkt um 85 entfernt ist. Ermitteln Sie die Länge der Tangente.


Sei OA = 36, OS = 85. Der zum Kontaktpunkt gezeichnete Radius steht senkrecht zur Tangente. Aus dem rechtwinkligen Dreieck AOC erhalten wir nach dem Satz des Pythagoras

5. Von einem Punkt zu einem Kreis Mit Tangente außerhalb davon gezogen AC und sekant CD, Kreis in einem Punkt schneiden BEIM. Die Summe der Längen von Tangente und Sekante beträgt 30 cm, und das innere Segment der Sekante ist 2 cm kürzer als die Tangente. Berechne die Längen von Tangente und Sekante.


Lassen AC=x und CD=y. Dann x+y=30 und DB=AC-2=x-2 , BC=AC-DB=y-DB=y-(x-2)=y-x+2. Wenn nach dem Satz eine Tangente und eine Sekante von einem Punkt außerhalb des Kreises an sie gezogen werden, ist das Quadrat der Tangente gleich dem Produkt der Sekante durch ihren äußeren Teil, das heißt . Dann

Wir bekommen das System

. X=80 ist nicht geeignet, weil beim>0 Daher erhalten wir

Tangente AC=12, Sekante CD=18.

Antwort 12 und 18

6. Finden Sie den Bereich S des schattierten Sektors. Geben Sie Ihre Antwort S/π an.

Lassen Sie uns ein Quadrat auf dieser Zeichnung bauen

Dann wird deutlich, dass der Sektor ein Viertel des Kreises ist.

Der Radius ist die halbe Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 4.

Dann berechnen wir die Fläche des Sektors nach der Formel

Dann ist der gewünschte Wert gleich

Wie groß ist der einbeschriebene Winkel bezogen auf den Durchmesser des Kreises? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. Finden Sie die Sehne, auf der der Winkel 90º ruht, der in einen Kreis mit Radius 1 eingeschrieben ist.
Was ist ein spitzer einbeschriebener Winkel, der eine Sehne schneidet, die gleich dem Radius des Kreises ist? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. Finden Sie die Sehne, auf der der Winkel von 30º ruht, eingeschrieben in einen Kreis mit Radius 3.
Was ist ein stumpfer einbeschriebener Winkel, dem eine Sehne gleich dem Radius des Kreises gegenübersteht? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. Der Radius des Kreises ist 1. Ermitteln Sie den Wert des spitzen einbeschriebenen Winkels basierend auf der Sehne gleich . Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Der Radius des Kreises ist 1. Finden Sie den Wert eines stumpfen einbeschriebenen Winkels basierend auf einer Sehne gleich . Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. Finden Sie die Sehne, auf der der Winkel 120º ruht, eingeschrieben in einen Kreis mit Radius .
Der Mittelpunktswinkel ist um 34º größer als der spitze einbeschriebene Winkel, der auf demselben Kreisbogen basiert. Finden Sie den eingeschriebenen Winkel. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Finden Sie den Winkel ABC. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. Finden Sie den Gradwert des Bogens AC des Kreises, auf dem der Winkel ABC ruht. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Finden Sie den Gradwert des Bogens BC des Kreises, auf dem der Winkel BAC ruht. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. Der Winkel ACO beträgt 25º, wobei O der Mittelpunkt des Kreises ist. Seine Seite CA berührt den Kreis. Finden Sie die Größe des kleineren Bogens AB des Kreises, der in diesem Winkel enthalten ist. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Finden Sie den Winkel ACO, wenn seine Seite CA den Kreis tangiert, O der Mittelpunkt des Kreises ist und der Hauptbogen AD des Kreises, der in diesem Winkel enthalten ist, 110º beträgt. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. Finden Sie den Winkel ACB, wenn die einbeschriebenen Winkel ADB und DAE auf Kreisbögen basieren, deren Gradwerte 116º bzw. 36º betragen. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Der Winkel ACB beträgt 50º. Der Gradwert des Bogens AB eines Kreises, der die Punkte D und E nicht enthält, ist gleich 130º. Finden Sie den Winkel DAE. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. Die Sehne AB bildet einen Kreisbogen bei 86º. Finden Sie den Winkel ABC zwischen dieser Sehne und der Tangente an den Kreis durch Punkt B. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Der Winkel zwischen Sehne AB und Tangente BC an den Kreis beträgt 28º. Ermitteln Sie die Größe des kleineren Bogens, der von Akkord AB subtrahiert wird. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. Die Tangenten AC und BC werden durch die Enden A, B eines Kreisbogens von 72º gezogen. Finde den Winkel ACB. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Die Tangenten CA und CB an den Kreis bilden einen Winkel ACB von 112º. Finde den Wert des kleineren Bogens AB subtrahiert von den Kontaktpunkten. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. Finden Sie den Winkel ACO, wenn seine Seite CA den Kreis tangiert, O der Mittelpunkt des Kreises ist und der kleinere Bogen des Kreises AB, der in diesem Winkel enthalten ist, gleich 62º ist. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Unterrichtsziele: Wissensbildung zum Thema, Organisation der Arbeit zur Assimilation von Konzepten, wissenschaftliche Fakten.

Pädagogische Aufgaben:

  • das Konzept eines einbeschriebenen Winkels einführen;
  • lehren, eingeschriebene Winkel in Zeichnungen zu erkennen;
  • antizipieren Sie eine zusätzliche Konstruktion, die einen einbeschriebenen Winkel enthält, der zur Lösung des Problems führt;
  • Betrachten Sie den Satz über den einbeschriebenen Winkel und seine Konsequenzen.
  • die Anwendung des Theorems beim Lösen von Problemen zeigen;
  • mehr über optische Täuschungen erfahren

Pädagogische Aufgaben: Aktivierung der eigenständigen kognitiven Aktivität der Schüler. Bildung von Teamfähigkeit, Entwicklung von Verantwortungsbewusstsein für das eigene Wissen, Kommunikationskultur, Kennenlernen des Wissens über optische Täuschung und deren Anwendung in der Praxis, Bildung ästhetischer Kultur.

Entwicklungsaufgaben: die Entwicklung der Fähigkeit zum Analysieren, Vergleichen, Vergleichen, Hervorheben der Hauptsache, Herstellen von Ursache-Wirkungs-Beziehungen fortsetzen; Grafikkultur verbessern.

Technologie: problematische Studie mit Informationstechnologie.

Art des Unterrichts: ein Unterricht in der Bildung von neuem Wissen.

Unterrichtsform: Unterricht - Problemstellung.

Unterrichtsmaterial: Präsentation: Präsentation, Selbstbeobachtungsbögen.

Unterrichtsphasen

  1. Motivation für Lernaktivitäten -1 Minute.
  2. Nennen Sie das Problem und erstellen Sie einen Lösungsplan – 2 Minuten.
  3. Wissen aktualisieren - 4 Minuten.
  4. Entdeckung eines neuen Konzepts - 10 Minuten.
  5. Forschungsarbeit, um die Eigenschaften eines neuen Konzepts zu identifizieren - 4 Minuten.
  6. Anwendung neuen Wissens - 11 Minuten.
  7. Das Spiel „Glaube – glaube nicht“ zur Festigung des neuen theoretischen Materials – 2 Minuten.
  8. Individuelle Arbeit mit dem Test - 5 Minuten.
  9. Neues Wissen in ungewohnten Situationen anwenden - 4 Minuten.
  10. Reflexion - 3 Minuten.

Während des Unterrichts

1. Motivation für Lernaktivitäten

Hallo Leute. Hinsetzen. Ich hoffe, dass das Wissen, das Sie in der Lektion erhalten, Ihnen im Leben nützlich sein wird.

2. Nennen Sie das Problem und erstellen Sie einen Lösungsplan

Gegeben ist ein rundes Blumenbeet, auf dessen einer Sehne Rosen gepflanzt sind. An welchen verschiedenen Stellen im Blumenbeet sollen drei Rosenstöcke so gepflanzt werden, dass von diesen Stellen aus alle Rosen aus dem gleichen Blickwinkel zu sehen sind? (Folie 2). Präsentation

Welche Lösungen haben Sie für dieses Problem?

Es entsteht eine Problemsituation. Den Schülern fehlt es an Wissen.

Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie die Eigenschaften des einbeschriebenen Winkels verwenden. Dann lass uns gemeinsam einen Unterrichtsplan erstellen. Was sind die Ziele des Unterrichts und wie erreichen wir sie? Während der Diskussion erscheint der Unterrichtsplan auf dem Bildschirm. (C lag 3)

3. Aktualisierung des Wissens

Lehrer: Definiere einen Winkel. Was heißt Mittelpunktswinkel? (C lag 4)

Aufgaben (Folie 5

4. Entdeckung eines neuen Konzepts

Jetzt sehen Sie sechs Zeichnungen. In welche Gruppen würden Sie sie einteilen und warum? (Folie 6)

Scharf, gerade, stumpf.

Ecken 1, 3, 5 und 2, 4, 6 durch die Lage des Eckenscheitels? Wie heißen die Winkel 1, 3, 5?

Und die Winkel 2, 4, 6 heißen eingeschrieben. Darüber werden wir heute sprechen.

Inwiefern sind die Winkel ABC und KRO ähnlich und wie unterscheiden sie sich? (Folie 7)

Nach Beantwortung dieser Frage versuchen die Schüler, den eingeschriebenen Winkel zu definieren, woraufhin der Lehrer den Wortlaut zeigt und die wichtigen Punkte hervorhebt: (C lag 8)

  • der Scheitelpunkt liegt auf dem Kreis,
  • Seiten schneiden den Kreis.

Finden Sie Bilder, die eingeschriebene Winkel zeigen.

Die Übung. Drücken Sie den Wert des einbeschriebenen Winkels aus, indem Sie wissen, wie der Wert des Mittelpunktswinkels durch den Bogen ausgedrückt wird, auf dem er ruht. Arbeiten mit Folie 10

Welche zusätzlichen Gebäude müssen gebaut werden, um die angegebene Aufgabe zu erfüllen? Wenn die Schüler nicht sofort raten, klären Sie: Welcher zentrale Winkel sollte diesem einbeschriebenen Winkel zugeordnet werden?

Außerdem sehen die Schüler, dass der resultierende Mittelwinkel der Außenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks ist, und kommen zu dem Schluss, dass einer der Winkel (insbesondere einbeschrieben), der ihrer Halbsumme entspricht, gleich der Hälfte des Mittelwinkels ist, d.h. Hälfte des Bogens, auf dem es ruht.

Eine exakte Formulierung des Theorems wird vorgegeben und auf eine Leinwand projiziert. (C lag 11).

Die Schüler übertragen die Zeichnung auf das Heft ( Folie 12), notieren Sie dann den Zustand im Notizbuch. Einer der Schüler kommentiert die Notizen. Der nächste Schüler schreibt den Beweis des Satzes auf und kommentiert ihn. Die Konsistenz und Vollständigkeit des Designs wird mit überprüft Folie 12). Damit ist der Beweis des Satzes für den Fall formalisiert, dass die Seite des einbeschriebenen Winkels durch den Mittelpunkt des Kreises geht.

Der Fall, wenn der Mittelpunkt des Kreises innerhalb der Ecke liegt, wird als verbales Verwenden betrachtet Folie 13.

Im nächsten Fall, wenn der Mittelpunkt des Kreises außerhalb der Ecke liegt, bietet der Lehrer an, ihn während der Vorbereitung zu Hause selbst zu rechtfertigen. (C lag 14). Im Klassenzimmer, laut Zeichnung Folie 15 Finden Sie heraus, dass ein gegebener einbeschriebener Winkel als Differenz zweier Winkel betrachtet werden kann, von denen jeder eine Seite hat, die eine beliebige Seite des gegebenen Winkels ist, und die andere Seite gemeinsam ist und durch den Mittelpunkt des Kreises geht.

5. Forschungsarbeit, um die Eigenschaften eines neuen Konzepts zu identifizieren

Arbeiten mit Folie 15.

Die Übung. Wie kann man mit Zirkel und Lineal schnell mehrere Winkel konstruieren, die einem gegebenen Winkel entsprechen? Sie bemerken, dass ihre Wege nicht rational sind. Es entsteht eine problematische Situation: Altes Wissen liefert keine rationale Lösung des Problems.

Denken Sie darüber nach, wie Sie dieses Problem mit neuem Material lösen können. Es ist möglich, einen Kreis zu zeichnen, der durch den Scheitelpunkt des Winkels verläuft, ohne den Mittelpunkt anzugeben, und verschiedene einbeschriebene Winkel auf der Grundlage desselben Bogens zu konstruieren. Die Problemsituation ist gelöst. Danach wird Korollar 1 formuliert: „Die auf demselben Bogen einbeschriebenen Winkel sind gleich.“

Die Arbeit, die zur Formulierung von Korollar 2 führt, wird ähnlich durchgeführt (C lag 16)

Wie zeichnet man schnell einen rechten Winkel mit Zirkel und Lineal? Es wird klargestellt, dass „schnell“ als „die Mindestanzahl von Schritten“ zu verstehen ist. Wir kommen zur Irrationalität dieser Konstruktion. Wenn die Schüler nicht erraten haben, wie sie die Konstruktion fertigstellen sollen, stellt der Lehrer die Frage: Auf welchem ​​Bogen soll der richtige eingeschriebene Winkel ruhen? Danach skizzieren die Schüler den schrittweisen Bauprozess:

  • Zeichne einen Kreis mit beliebigem Radius.
  • Durchmesser zeichnen.
  • Wählen Sie einen beliebigen Punkt auf dem Kreis, mit Ausnahme der Enden des Durchmessers.
  • Zeichnen Sie Strahlen vom ausgewählten Punkt durch die Enden des Durchmessers.

Danach sagt der Lehrer, dass bei dieser Konstruktion Korollar 2 aus dem Satz über den einbeschriebenen Winkel verwendet wurde. Versuche es zu formulieren.

Der überarbeitete Wortlaut wird auf die Leinwand projiziert. ( Folien 17-19)

6. Anwendung neuen Wissens

Lösen von Problemen, um neues Material zu konsolidieren. Arbeiten mit Folien 20-26.

7. Ein Wiederholungsspiel zur Festigung des theoretischen Materials (C lag 27)

Das Spiel "Glaube - glaube nicht"

  • Glauben Sie, dass wenn der Wert des Zentriwinkels 90° beträgt, der einbeschriebene Winkel auf der Grundlage dieses Bogens 45° beträgt?
  • Glaubst du, dass die Segmente der Tangenten an den Kreis gleich sind und mit der Linie, die durch den Kreismittelpunkt geht, gleiche Winkel bilden? Glaubst du, dass der Winkel, der durch den Kreismittelpunkt geht, sein Zentriwinkel genannt wird?
  • Glaubst du, dass ein einbeschriebener Winkel durch die Hälfte des Bogens gemessen wird, den er überspannt?
  • Glauben Sie, dass die Größe des Zentriwinkels doppelt so groß ist wie der Bogen, auf dem er ruht?
  • Glaubst du, dass ein einbeschriebener Winkel, der auf einem Halbkreis basiert, 180° beträgt?
  • Glauben Sie, dass ein Winkel, dessen Seiten einen Kreis schneiden wird einbeschriebener Winkel genannt?
  • Glauben Sie, dass einbeschriebene Winkel, die auf demselben Bogen basieren, gleich sind?
  • Glauben Sie, dass bei weiterem Studium des Materials nicht nur Winkel, sondern auch Dreiecke und Vierecke mit einem Kreis verbunden werden?

8. Individuelle Arbeit mit dem Test. (C legt 28-30)

Antwortbögen werden der Lehrkraft ausgehändigt. Der Lehrer kommentiert dann die Lösungen.

Variante 1.

1. Der Winkel DAB ist um 38° kleiner als der Winkel AOB. Finden Sie die Summe der Winkel AOB und DAB

a) 96°; b) 114°; c) 104°; d) 76°;

2. MP - Durchmesser, O - Mittelpunkt des Kreises. OM=OK=MK. Finden Sie den RKO-Winkel.

a) 60°; b) 40°; c) 30°; d) 45°;

3. Winkel ABC ist eingeschrieben, Winkel AOC ist zentral. Finde den Winkel ABC, wenn der Winkel AOC=126° ist

a) 112°; b) 123°; c) 117°; d) 113°;

Option 2.

1. Der MSC-Winkel ist 34° kleiner als der IOC-Winkel. Finden Sie die Summe der Winkel MSC und IOC.

a) 112°; b) 102°; c) 96°; d) 68°;

2. AC ist der Durchmesser des Kreises, O ist sein Mittelpunkt. AB=OB=OA. Finden Sie den Winkel OBC.

a) 50°; b) 60°; c) 30°; d) 45°;

3. O - der Mittelpunkt des Kreises, der Winkel L = 136 °. Finde Winkel B.

a) 292°; b) 224°; c) 112°; d) 146°;

Antworten auf Aufgaben werden nach dem Ausfüllen des Tests überprüft.

Aufgaben 1 2 3
1 Option B BEIM BEIM
Option 2 B BEIM BEIM

9. Neues Wissen in ungewohnten Situationen anwenden

a) Arbeiten mit Folien 31-33.

Lehrer: „Zu Hause haben Sie das Problem gelöst, die Winkel eines fünfzackigen Sterns zu berechnen, der in einen Kreis eingeschrieben ist. Wie hast du es gelöst?"

Wie man dieses Problem mit dem einbeschriebenen Winkelsatz löst.

Methode II: Wenn die Eckpunkte eines fünfeckigen Sterns den Kreis in gleiche Bögen teilen, ist das Problem sehr einfach gelöst: 360°: 5:2 *5=180°.

b) Analyse des mathematischen Sophismus über die Anwendung des Satzes auf den Wert des eingeschriebenen Winkels.

Eine Sehne, die nicht durch die Mitte geht, ist gleich dem Durchmesser (C Lage 34-36) Finden Sie einen Denkfehler.

Entscheidung. Der Durchmesser AB sei in einem Kreis gezeichnet. Durch Punkt B zeichnen wir einen Akkord BC, der nicht durch die Mitte geht, dann zeichnen wir durch die Mitte dieses Akkords D und Punkt A einen neuen Akkord AE. Schließlich werden die Punkte E und C durch ein gerades Liniensegment verbunden. Betrachten Sie ▲ABD und ▲EDC. In diesen Dreiecken: BD = DC (durch Konstruktion), Ð A = Ð C (wie eingeschrieben, basierend auf demselben Bogen). Außerdem ist Ð BDA = Ð EDC (als Vertikal). Wenn die Seite und zwei Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent. Meint,

▲ BDA = ▲ EDC, und in gleichen Dreiecken liegen gleiche Winkel und gleiche Seiten gegenüber.

Daher ist AB=EC.

Finden Sie einen Denkfehler.

c) Test auf optische Täuschung nach Zeichnung mit alternativer Antwort. ( Folien 37-39)

Zeigen Sie, welche illusorischen Verformungen scharfe Mittelwinkel und einbeschriebene Winkel verursachen.

Test1. Hier wird die Scheinverformung durch spitze Zentrierwinkel verursacht. Obwohl die Winkel AOB, BOC, COD gleich sind, geben sie aufgrund der vielen scharfen Winkel, an denen die beiden Winkel gebrochen werden, vor, größer als der durchschnittliche Winkel zu sein.

Prüfung 2-3. Kreise dominieren hier. Die einem Kreis einbeschriebenen Winkel bilden im ersten Fall ein Quadrat, im zweiten ein regelmäßiges Dreieck. Diese Figuren geben sich aufgrund der vielen Kreise als Figuren in der Nähe eines Quadrats und eines Dreiecks wieder. Die Seiten scheinen nach innen konkav zu sein.

So können wir die Illusion praktisch im Alltag anwenden. Mit seiner Hilfe können Sie beispielsweise die Fehler in der Form des Gesichts und der Figur verbergen.

10. Reflexion

Gehen wir zurück zum Unterrichtsplan und sehen, ob wir alle Fragen beantwortet haben?

Eine Frage haben wir nicht beantwortet. Wie also sollen drei Rosen gepflanzt werden? (Folie 40-41)

Nachdem wir den Satz über den Wert eines einbeschriebenen Winkels in einem Kreis gemeistert haben, schließen wir, weil Von allen Punkten des Kreises mit Ausnahme der Enden der Sehne ist diese Sehne im gleichen Winkel sichtbar. Wir können an jedem Punkt des Kreises des Blumenbeets Rosenbüsche pflanzen, mit Ausnahme der Punkte M und N. Dies ist einer der praktischen Anwendungen des Satzes über den Wert des einbeschriebenen Winkels in einem Kreis.

Am Ende des Unterrichts können die Schüler einen Fragebogen zum Ausfüllen erhalten, der ihnen erlaubt, eine Selbstanalyse durchzuführen, den Unterricht qualitativ und quantitativ einzuschätzen und zusätzlich eine Aufgabe zu formulieren, die sie begründet Antworten:

1. Im Unterricht habe ich gearbeitet ...;

2. Mit meiner Arbeit im Unterricht habe ich ...;

3. Die Lektion schien mir ...;

4. Für die Lektion I ...;

5. Das Unterrichtsmaterial war für mich…;

6. Hausaufgaben scheinen mir ...

Hausaufgaben. (C lag 42)

  1. S. 71, lernen Sie die Definition eines einbeschriebenen Winkels kennen;
  2. lernen Sie den Satz über den einbeschriebenen Winkel (indem Sie den Beweis von 3 Fällen aufschreiben) und zwei Folgerungen daraus;
  3. № 654 № 656 № 657.

Referenzliste:

  1. Geometrie: Proc. Für 7–9 Zellen. allgemeine Bilder. Institutionen / L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev und andere - 12. Aufl., - M .: Education, 2002
  2. Ziv B.G., Meyler V.M., Lehrmaterialien zur Geometrie für die 8. Klasse. – 6. Aufl. - M.: Bildung, 2002
  3. Smirnova I. M., Smirnov V. A. Mündliche Übungen in Geometrie für die Klassen 7-11. Das Buch für den Lehrer. M.; Aufklärung, 2003
  4. Rabinowitsch E.M. Aufgaben und Übungen zu fertigen Zeichnungen. Geometrie-Klassen 7–9. „Ileksa“, „Gymnasium“, Moskau-Charkow, 2003

CORs und Internetseiten:

  1. Werkstatt. Multimediale Präsentationen für den Mathematikunterricht. http://www.intergu.ru/infoteka/
  2. Internet State of Teachers in Infothek-Mathematics. http://www.intergu.ru/infoteka/
  3. CERs vom Portal des Creative Teachers Network.



















Eingeschriebene Winkel Eingeschriebener Winkelsatz 1 Fall Strahl BO fällt mit der Seite des Winkels ABC zusammen Eingeschriebener Winkelsatz 1 Fall Strahl BO fällt mit der Winkelseite ABC zusammen AOB ist gleichschenklig, da OB \u003d OA \u003d R, was B \u003d A bedeutet. 2. COA ist ein externer Winkel, daher COA \u003d OVA + OAB COA \u003d 2 OVA, was OVA \u003d ½ SOA CBA \u003d ½ AC bedeutet.



























°


Wiederholungsspiel „Glauben Sie es oder nicht“ Glauben Sie, dass, wenn der Wert des Zentriwinkels 90° beträgt, der einbeschriebene Winkel basierend auf diesem Bogen 45° beträgt? Glaubst du, dass die Segmente der Tangenten an den Kreis gleich sind und mit der Linie, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, gleiche Winkel bilden? Glaubst du, dass der Winkel, der durch den Mittelpunkt eines Kreises geht, sein Zentriwinkel genannt wird? Glaubst du, dass ein einbeschriebener Winkel durch die Hälfte des Bogens gemessen wird, den er überspannt? Glauben Sie, dass die Größe des Zentriwinkels doppelt so groß ist wie der Bogen, auf dem er ruht? Glaubst du, dass ein einbeschriebener Winkel, der auf einem Halbkreis basiert, 180° beträgt? Glaubst du, dass ein Winkel, dessen Seiten einen Kreis schneiden, einbeschriebener Winkel genannt wird? Glauben Sie, dass einbeschriebene Winkel, die auf demselben Bogen basieren, gleich sind? Glauben Sie, dass bei weiterem Studium des Materials nicht nur Winkel, sondern auch Dreiecke und Vierecke mit einem Kreis verbunden werden? Nein, die Segmente der Tangenten an den Kreis (von einem Punkt aus gezogen) sind gleich und bilden gleiche Winkel mit der Linie, die durch (diesen Punkt und) den Mittelpunkt des Kreises verläuft. JA, wenn der Wert des Zentriwinkels 90˚ beträgt, dann beträgt der einbeschriebene Winkel basierend auf diesem Bogen 45˚. Nein, der Winkel, der durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft (austritt), wird sein Mittelpunktswinkel genannt. Ja, ein einbeschriebener Winkel wird durch die Hälfte des Bogens gemessen, den er überspannt. Nein, der Wert des Zentriwinkels ist doppelt so groß (gleich) wie der Wert des Bogens, auf dem er ruht. Nein, der einbeschriebene Winkel bezogen auf den Halbkreis beträgt 180˚ (rechts). Nein, ein Winkel, dessen Seiten den Kreis schneiden (und dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt), wird als einbeschriebener Winkel bezeichnet. Ja, einbeschriebene Winkel, die demselben Bogen gegenüberstehen, sind gleich. Ja, bei weiterem Studium des Materials werden einem Kreis nicht nur Winkel zugeordnet, sondern auch Dreiecke und Vierecke.






Eingeschriebene Winkel Arbeiten Sie am Test mit programmierter Lösungssteuerung. Variante Winkel DAB ist 38° kleiner als Winkel AOB. Finden Sie die Summe der Winkel AOB und DAB a) 96 °; b) 114°; c) 104°; d) 76°; 2. MP - Durchmesser, O - Mittelpunkt des Kreises. OM=OK=MK. Finden Sie den RKO-Winkel. a) 60°; b) 40°; c) 30°; d) 45°; 3. Winkel ABC ist eingeschrieben, Winkel AOC ist zentral. Finden Sie den Winkel ABC, wenn der Winkel AOC \u003d 126 ° a) 112 °; b) 123°; c) 117°; d) 113°; Variante Der MSC-Winkel ist um 34° kleiner als der IOC-Winkel. Finden Sie die Summe der Winkel MSC und IOC. a) 112°; b) 102°; c) 96°; d) 68°; 2. AC ist der Durchmesser des Kreises, O ist sein Mittelpunkt. AB=OB=OA. Finden Sie den Winkel OBC. a) 50°; b) 60°; c) 30°; d) 45°; 3. O - der Mittelpunkt des Kreises, der Winkel L = 136 °. Finden Sie den Winkel B. a) 292 °; b) 224°; c) 112°; d) 146°;










Eine Sehne, die nicht durch die Mitte geht, ist gleich dem Durchmesser. Der Durchmesser AB sei in einem Kreis gezeichnet. Durch Punkt B zeichnen wir einen Akkord BC, der nicht durch die Mitte geht, dann zeichnen wir durch die Mitte dieses Akkords D und Punkt A einen neuen Akkord AE. Schließlich werden die Punkte E und C durch ein gerades Liniensegment verbunden. Betrachten Sie ABD und EDC. In diesen Dreiecken: BD = DC (durch Konstruktion), A = C (wie eingeschrieben, basierend auf demselben Bogen). Außerdem BDA = EDC (als Vertikal). Wenn die Seite und zwei Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent. Daher liegen BDA \u003d EDC und gleiche Seiten in gleichen Dreiecken gegenüber gleichen Winkeln. Daher ist AB=EC.


Finden wir den Fehler Nach dem Dreiecksgleichheitssatz: Wenn die Seite und zwei daran angrenzende Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei daran angrenzenden Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke gleich. Und in unserem Fall grenzt der Winkel A nicht an die Seite BD.


Eingeschriebener Winkel Optischer Täuschungstest basierend auf Zeichnungen mit einer alternativen Antwort. Wir beobachten ziemlich oft eine optische Täuschung und verwenden sie sogar in unserer Praxis, aber wir wissen sehr wenig über ihre Essenz. Die Illusion des Sehens wird von Architekten beim Bau von Gebäuden, Modedesignern beim Erstellen von Modellen und Künstlern beim Erstellen von Landschaften genutzt. Wir wissen, dass ein heller Körper größer erscheint als ein dunkler Körper gleicher Größe. Es gibt Gründe, die optische Täuschungen verursachen. Einbeschriebene Winkel Test 2 Test 3 Test 2 Test 3 In einen Kreis einbeschrieben: 1. Quadrat 2. Figur in der Nähe eines Quadrats Test 2, 3: Hier dominieren Kreise. In einen Kreis eingeschriebene Winkel bilden im ersten Fall ein Quadrat, im zweiten ein regelmäßiges Dreieck. Diese Figuren geben sich aufgrund der vielen Kreise als Figuren in der Nähe eines Quadrats und eines Dreiecks wieder. Die Seiten scheinen nach innen konkav zu sein. So können wir die Illusion praktisch im Alltag anwenden. Mit seiner Hilfe können Sie beispielsweise die Fehler in der Form des Gesichts und der Figur verbergen. In einem Kreis eingeschrieben: 1. Dreieck 2. Figur in der Nähe eines Dreiecks




Eingeschriebene Winkel Von allen Punkten des Kreises mit Ausnahme der Enden der Sehne ist diese Sehne im gleichen Winkel sichtbar. Wir können an jedem Punkt des Kreises des Blumenbeets Rosenbüsche pflanzen, mit Ausnahme der Punkte M und N. Dies ist einer der praktischen Anwendungen des Satzes über den Wert des einbeschriebenen Winkels in einem Kreis.


Eingeschriebene Winkel Hausaufgaben. S. 71, lernen Sie die Definition eines einbeschriebenen Winkels kennen; lernen Sie den Satz über den einbeschriebenen Winkel (indem Sie den Beweis von 3 Fällen aufschreiben) und zwei Folgerungen daraus;



Winkelberechnung II

  1. Der Winkel A des in einen Kreis einbeschriebenen Vierecks ABCD beträgt 126°. Finden Sie den Winkel C dieses Vierecks. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  2. Die Seiten des Vierecks ABCD AB, BC, CD und AD grenzen an die Bögen des umschriebenen Kreises an, deren Gradwerte jeweils 63 o , 62 o , 90 o und 145 o sind. Finden Sie den Winkel B dieses Vierecks. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  3. Die Punkte A, B, C und D, die sich auf einem Kreis befinden, teilen diesen Kreis in vier Bögen AB, BC, CD und AD, deren Gradwerte jeweils als 1: 4: 12: 19 zusammenhängen. Finden Sie den Winkel A des Vierecks ABCD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  4. Die Punkte A, B, C und D, die sich auf einem Kreis befinden, teilen diesen Kreis in vier Bögen AB, BC, CD und AD, deren Gradwerte jeweils als 1: 5: 10: 20 zusammenhängen. Finden Sie den Winkel A des Vierecks ABCD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  5. Das Viereck ABCD ist in einen Kreis eingeschrieben. Winkel ABC ist 58o, Winkel CAD ist 43o. Finde den Winkel ABD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  6. Die beiden Winkel eines in einen Kreis einbeschriebenen Vierecks sind 25° und 51°. Finden Sie die größte der verbleibenden Ecken. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  7. Die Winkel A, B und C des Vierecks ABCD stehen im Verhältnis 1: 13: 17. Bestimmen Sie den Winkel D, wenn dieses Viereck von einem Kreis umschrieben werden kann. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  8. Der Mittelpunktswinkel ist um 45° größer als der spitze einbeschriebene Winkel, bezogen auf denselben Kreisbogen. Finden Sie den eingeschriebenen Winkel. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  9. Der Zentriwinkel ist um 47° größer als der spitze einbeschriebene Winkel bezogen auf denselben Kreisbogen. Finden Sie den eingeschriebenen Winkel. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  10. Finden Sie den einbeschriebenen Winkel basierend auf dem Bogen, der den Kreis bildet. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  11. Finden Sie den einbeschriebenen Winkel basierend auf dem Bogen, der 20 % des Kreises ausmacht. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  12. Finden Sie einen einbeschriebenen Winkel basierend auf einem Bogen, der 10 % des Kreises ausmacht. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  13. Der Bogen eines Kreises AC, der den Punkt B nicht enthält, beträgt 180°. Und der Bogen des Kreises BC, der den Punkt A nicht enthält, ist 45°. Finden Sie den eingeschriebenen Winkel ACB. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  14. Die Punkte A, B und C, die sich auf dem Kreis befinden, teilen ihn in drei Bögen, deren Gradwerte sich wie 1: 4: 13 beziehen. Finden Sie den größten Winkel des Dreiecks ABC. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  15. AC und BD sind die Durchmesser des Kreises mit Mittelpunkt O. Der Winkel DIA beträgt 35 o . Finden Sie den Winkel AOD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  16. AC und BD sind die Durchmesser des Kreises mit Mittelpunkt O. Der Winkel DIA beträgt 39 o . Finden Sie den Winkel AOD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  17. Der Akkord AB subtrahiert den Kreisbogen auf 6 o. Finden Sie den spitzen Winkel ABC zwischen dieser Sehne und der Tangente an den Kreis durch Punkt B. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  18. Der Akkord AB subtrahiert den Kreisbogen auf 114 o. Finden Sie den spitzen Winkel ABC zwischen dieser Sehne und der Tangente an den Kreis durch Punkt B. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  19. Dem Winkel C ist ein Kreis mit einem Wert von 107 o einbeschrieben, der die Seiten des Winkels an den Punkten A und B berührt. Finden Sie den Winkel AOB, wobei Punkt O der Mittelpunkt des Kreises ist. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  20. Die Tangenten an Punkt A und B an den Kreis mit Mittelpunkt O schneiden sich unter einem Winkel von 2 o . Finden Sie den Winkel ABO. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  21. Finden Sie den Winkel CDB, wenn die einbeschriebenen Winkel ADB und ADC auf Kreisbögen basieren, deren Gradwerte 67 o bzw. 25 o betragen. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
  22. Der Winkel zwischen der Seite eines regelmäßigen -Ecks, das einem Kreis einbeschrieben ist, und dem Radius dieses Kreises, der in einen der Eckpunkte der Seite eingezeichnet ist, beträgt 75 o . Finden .
  23. Der Winkel zwischen der Seite eines regelmäßigen -Ecks, das einem Kreis einbeschrieben ist, und dem Radius dieses Kreises, der in einen der Eckpunkte der Seite eingezeichnet ist, beträgt 54°. Finden .
  24. Der Winkel zwischen der Seite eines regelmäßigen -Ecks, das einem Kreis einbeschrieben ist, und dem Radius dieses Kreises, der in einen der Eckpunkte der Seite eingezeichnet ist, beträgt 30 o . Finden .

Zentrale Ecke ist der Winkel, dessen Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises liegt.
Eingeschriebener Winkel Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt und dessen Seiten ihn schneiden.

Die Abbildung zeigt zentrale und einbeschriebene Winkel sowie ihre wichtigsten Eigenschaften.

So, der Wert des Zentriwinkels ist gleich dem Winkelwert des Bogens, auf dem er ruht. Dies bedeutet, dass ein Mittelpunktswinkel von 90 Grad auf einem Bogen von 90 ° basiert, dh einem Kreis. Der Mittelpunktswinkel, gleich 60°, basiert auf einem Bogen von 60 Grad, also auf dem sechsten Teil des Kreises.

Der Wert des einbeschriebenen Winkels ist zweimal kleiner als der zentrale Winkel, basierend auf demselben Bogen.

Um Probleme zu lösen, brauchen wir auch das Konzept des "Akkords".

Gleiche Mittelpunktswinkel werden durch gleiche Sehnen unterstützt.

1. Wie groß ist der einbeschriebene Winkel bezogen auf den Durchmesser des Kreises? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Ein einbeschriebener Winkel bezogen auf einen Durchmesser ist ein rechter Winkel.

2. Der Zentriwinkel ist um 36° größer als der spitze einbeschriebene Winkel bezogen auf denselben Kreisbogen. Finden Sie den eingeschriebenen Winkel. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Der Mittelpunktswinkel sei x und der einbeschriebene Winkel, der auf demselben Bogen basiert, sei y.

Wir wissen, dass x = 2y.
Also 2y = 36 + y,
y = 36.

3. Der Radius des Kreises ist 1. Finden Sie den Wert eines stumpfen einbeschriebenen Winkels basierend auf einer Sehne gleich . Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Der Akkord AB sei . Ein stumpfer einbeschriebener Winkel, der auf dieser Sehne basiert, wird mit α bezeichnet.
Im Dreieck AOB sind die Seiten AO und OB gleich 1, die Seite AB ist gleich . Solche Dreiecke haben wir schon einmal gesehen. Offensichtlich ist das Dreieck AOB rechtwinklig und gleichschenklig, dh der Winkel AOB beträgt 90°.
Dann ist der Bogen ASV gleich 90° und der Bogen AKB ist gleich 360° – 90° = 270°.
Der einbeschriebene Winkel α liegt auf dem AKB-Bogen und ist gleich dem halben Winkelwert dieses Bogens, also 135°.

Antwort: 135.

4. Der Akkord AB teilt den Kreis in zwei Teile, deren Gradwerte im Verhältnis 5:7 stehen. In welchem ​​Winkel ist diese Sehne vom Punkt C aus sichtbar, der zum kleineren Kreisbogen gehört? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Die Hauptsache bei dieser Aufgabe ist das korrekte Zeichnen und Verstehen des Zustands. Wie verstehen Sie die Frage: „In welchem ​​Winkel ist die Sehne von Punkt C aus sichtbar?“
Stellen Sie sich vor, Sie sitzen an Punkt C und müssen alles sehen, was auf Akkord AB passiert. Also, als wäre der Akkord AB eine Kinoleinwand :-)
Offensichtlich müssen Sie den Winkel ACB finden.
Die Summe der beiden Bögen, in die die Sehne AB den Kreis teilt, beträgt 360°, d.h.
5x + 7x = 360°
Also x = 30°, und dann liegt der einbeschriebene Winkel ACB auf einem Bogen gleich 210°.
Der Wert des einbeschriebenen Winkels ist gleich dem halben Winkelwert des Bogens, auf dem er ruht, was bedeutet, dass der Winkel ACB gleich 105° ist.

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