Heute schauen wir uns an, welche Größen als umgekehrt proportional bezeichnet werden, wie der umgekehrte Proportionalitätsgraph aussieht und wie Ihnen das alles nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch außerhalb der Schulmauern nützlich sein kann.

So unterschiedliche Proportionen

Verhältnismäßigkeit Nennen Sie zwei voneinander abhängige Größen.

Abhängigkeit kann direkt und umgekehrt sein. Daher beschreiben die Beziehungen zwischen Größen direkte und umgekehrte Proportionalität.

Direkte Proportionalität- Dies ist eine solche Beziehung zwischen zwei Größen, bei der eine Zunahme oder Abnahme der einen zu einer Zunahme oder Abnahme der anderen führt. Jene. ihre Einstellung ändert sich nicht.

Je mehr Aufwand Sie beispielsweise in die Prüfungsvorbereitung stecken, desto besser fallen Ihre Noten aus. Oder je mehr Dinge man auf eine Wanderung mitnimmt, desto schwieriger wird es, den Rucksack zu tragen. Jene. Der Aufwand für die Prüfungsvorbereitung ist direkt proportional zu den erzielten Noten. Und die Anzahl der Dinge, die in einen Rucksack gepackt werden, ist direkt proportional zu seinem Gewicht.

Umgekehrte Proportionalität- Dies ist eine funktionale Abhängigkeit, bei der eine mehrfache Abnahme oder Zunahme eines unabhängigen Werts (dies wird als Argument bezeichnet) eine proportionale (d. h. um denselben Betrag) Zunahme oder Abnahme eines abhängigen Werts (dies wird als a bezeichnet Funktion).

Lassen Sie es uns an einem einfachen Beispiel veranschaulichen. Sie möchten Äpfel auf dem Markt kaufen. Die Äpfel auf dem Tresen und der Geldbetrag in Ihrer Brieftasche sind umgekehrt proportional. Jene. Je mehr Äpfel Sie kaufen, desto weniger Geld haben Sie übrig.

Funktion und ihr Graph

Die umgekehrte Proportionalitätsfunktion kann beschrieben werden als y = k/x. Indem x≠ 0 und k≠ 0.

Diese Funktion hat folgende Eigenschaften:

1. Sein Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen außer x = 0. D(j): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Der Bereich umfasst alle reellen Zahlen außer j= 0. E(j): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Es hat keine Höchst- oder Mindestwerte.
4. ist ungerade und sein Graph ist symmetrisch zum Ursprung.
5. Nicht periodisch.
6. Sein Graph schneidet die Koordinatenachsen nicht.
7. Hat keine Nullen.
8. Wenn ein k> 0 (d. h. das Argument nimmt zu), nimmt die Funktion bei jedem ihrer Intervalle proportional ab. Wenn ein k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Wenn das Argument zunimmt ( k> 0) liegen die negativen Werte der Funktion im Intervall (-∞; 0) und die positiven Werte im Intervall (0; +∞). Wenn das Argument abnimmt ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Der Graph der umgekehrten Proportionalitätsfunktion wird als Hyperbel bezeichnet. Dargestellt wie folgt:

Inverse proportionale Probleme

Um es klarer zu machen, schauen wir uns ein paar Aufgaben an. Sie sind nicht zu kompliziert und ihre Lösung wird Ihnen helfen, sich vorzustellen, was der umgekehrte Anteil ist und wie dieses Wissen in Ihrem Alltag nützlich sein kann.

Aufgabe Nummer 1. Das Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h. Er brauchte 6 Stunden, um sein Ziel zu erreichen. Wie lange braucht er, um die gleiche Strecke zurückzulegen, wenn er sich mit doppelter Geschwindigkeit bewegt?

Wir können damit beginnen, eine Formel aufzuschreiben, die das Verhältnis von Zeit, Weg und Geschwindigkeit beschreibt: t = S/V. Stimmen Sie zu, es erinnert uns sehr an die umgekehrte Proportionalitätsfunktion. Und es zeigt, dass die Zeit, die das Auto auf der Straße verbringt, und die Geschwindigkeit, mit der es sich bewegt, umgekehrt proportional sind.

Um dies zu überprüfen, suchen wir V 2, das aufgrund der Bedingung zweimal höher ist: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Dann berechnen wir die Entfernung mit der Formel S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nun ist es nicht schwer, die je nach Problemstellung benötigte Zeit t 2 von uns zu ermitteln: t 2 = 360/120 = 3 Stunden.

Wie Sie sehen können, sind Fahrzeit und Geschwindigkeit tatsächlich umgekehrt proportional: Bei einer doppelt so hohen Geschwindigkeit wie der ursprünglichen verbringt das Auto doppelt so viel Zeit auf der Straße.

Die Lösung dieses Problems kann auch als Proportion geschrieben werden. Warum erstellen wir ein Diagramm wie dieses:

↓ 60 km/h – 6 Std

↓120 km/h – x h

Pfeile zeigen eine umgekehrte Beziehung an. Und sie schlagen auch vor, dass beim Erstellen des Anteils die rechte Seite der Aufzeichnung umgedreht werden muss: 60/120 \u003d x / 6. Woher bekommen wir x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 Stunden.

Aufgabe Nummer 2. Die Werkstatt beschäftigt 6 Arbeiter, die eine bestimmte Menge an Arbeit in 4 Stunden bewältigen. Wenn die Anzahl der Arbeiter halbiert wird, wie lange dauert es, bis die verbleibenden Arbeiter die gleiche Menge an Arbeit erledigen?

Wir schreiben die Bedingungen des Problems in Form eines visuellen Diagramms:

↓ 6 Arbeiter - 4 Stunden

↓ 3 Arbeiter - x h

Schreiben wir dies als Verhältnis: 6/3 = x/4. Und wir bekommen x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 Stunden.Wenn es zweimal weniger Arbeiter gibt, wird der Rest zweimal mehr Zeit aufwenden, um die gesamte Arbeit zu erledigen.

Aufgabe Nummer 3. Zwei Rohre führen zum Pool. Durch ein Rohr tritt Wasser mit einer Geschwindigkeit von 2 l / s ein und füllt den Pool in 45 Minuten. Durch ein weiteres Rohr wird das Becken in 75 Minuten gefüllt. Wie schnell gelangt Wasser durch dieses Rohr in den Pool?

Zunächst bringen wir alle uns gegebenen Größen je nach Problemstellung auf gleiche Maßeinheiten. Dazu drücken wir die Füllrate des Beckens in Litern pro Minute aus: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Da aus der Bedingung folgt, dass das Becken durch die zweite Leitung langsamer gefüllt wird, bedeutet dies, dass die Wasserzuflussrate geringer ist. Auf der Vorderseite des umgekehrten Verhältnisses. Drücken wir die uns unbekannte Geschwindigkeit durch x aus und stellen wir folgendes Schema auf:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

Und dann machen wir einen Anteil: 120 / x \u003d 75/45, von wo aus x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

In der Aufgabe wird die Füllrate des Beckens in Litern pro Sekunde ausgedrückt, bringen wir unsere Antwort auf die gleiche Form: 72/60 = 1,2 l/s.

Aufgabe Nummer 4. Visitenkarten werden in einer kleinen privaten Druckerei gedruckt. Ein Mitarbeiter der Druckerei arbeitet mit einer Geschwindigkeit von 42 Visitenkarten pro Stunde und arbeitet Vollzeit - 8 Stunden. Wenn er schneller arbeiten und 48 Visitenkarten pro Stunde drucken würde, wie viel früher könnte er nach Hause gehen?

Wir gehen in bewährter Weise vor und erstellen ein Schema entsprechend der Problemstellung, wobei wir den gewünschten Wert mit x bezeichnen:

↓ 42 Visitenkarten/h – 8 h

↓ 48 Visitenkarten/h – xh

Vor uns liegt eine umgekehrt proportionale Beziehung: Wie viel Mal mehr Visitenkarten druckt ein Mitarbeiter einer Druckerei pro Stunde, die gleiche Zeit, die er für die Erledigung derselben Arbeit benötigt. Wenn wir dies wissen, können wir den Anteil festlegen:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 Stunden.

So konnte der Druckereiangestellte, nachdem er die Arbeit in 7 Stunden erledigt hatte, eine Stunde früher nach Hause gehen.

Fazit

Es scheint uns, dass diese umgekehrten Proportionalitätsprobleme wirklich einfach sind. Wir hoffen, dass Sie sie jetzt auch so sehen. Und vor allem kann Ihnen das Wissen um die umgekehrt proportionale Abhängigkeit von Mengen wirklich mehr als einmal nützlich sein.

Nicht nur im Matheunterricht und bei Prüfungen. Aber selbst dann, wenn Sie kurz vor einer Reise stehen, einkaufen gehen, sich entscheiden, in den Ferien etwas Geld zu verdienen usw.

Sagen Sie uns in den Kommentaren, welche Beispiele für umgekehrte und direkte Proportionalität Sie um sich herum bemerken. Lass das ein Spiel sein. Sie werden sehen, wie spannend es ist. Vergessen Sie nicht, diesen Artikel in sozialen Netzwerken zu "teilen", damit Ihre Freunde und Klassenkameraden auch spielen können.

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Die beiden Größen werden aufgerufen direkt proportional, wenn einer von ihnen mehrmals erhöht wird, wird der andere um denselben Betrag erhöht. Dementsprechend nimmt, wenn einer von ihnen um mehrere Male abnimmt, der andere um den gleichen Betrag ab.

Die Beziehung zwischen solchen Größen ist eine direkte proportionale Beziehung. Beispiele für eine direkte proportionale Beziehung:

1) bei konstanter Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke direkt proportional zur Zeit;

2) der Umfang eines Quadrats und seine Seite sind direkt proportional;

3) Die Kosten einer zu einem Preis gekauften Ware sind direkt proportional zu ihrer Menge.

Um eine direkte proportionale Beziehung von einer umgekehrten zu unterscheiden, können Sie das Sprichwort verwenden: "Je weiter in den Wald, desto mehr Brennholz."

Es ist bequem, Probleme für direkt proportionale Größen mit Proportionen zu lösen.

1) Für die Herstellung von 10 Teilen werden 3,5 kg Metall benötigt. Wie viel Metall wird verwendet, um 12 solcher Teile herzustellen?

(Wir argumentieren so:

1. Setzen Sie in der ausgefüllten Spalte den Pfeil in die Richtung von der größten Zahl zur kleinsten.

2. Je mehr Teile, desto mehr Metall wird benötigt, um sie herzustellen. Es handelt sich also um eine direkt proportionale Beziehung.

Es werden x kg Metall benötigt, um 12 Teile herzustellen. Wir bilden den Anteil (in Richtung vom Anfang des Pfeils bis zu seinem Ende):

12:10 = x:3,5

Um zu finden, müssen wir das Produkt der Extremterme durch den bekannten Mittelterm dividieren:

Das bedeutet, dass 4,2 kg Metall benötigt werden.

Antwort: 4,2 kg.

2) Für 15 Meter Stoff wurden 1680 Rubel bezahlt. Wie viel kosten 12 Meter eines solchen Stoffes?

(1. Setzen Sie in der ausgefüllten Spalte den Pfeil in die Richtung von der größten Zahl zur kleinsten.

2. Je weniger Stoff Sie kaufen, desto weniger müssen Sie dafür bezahlen. Es handelt sich also um eine direkt proportionale Beziehung.

3. Daher zeigt der zweite Pfeil in die gleiche Richtung wie der erste).

Lassen Sie x Rubel 12 Meter Stoff kosten. Wir bilden den Anteil (vom Anfang des Pfeils bis zu seinem Ende):

15:12=1680:x

Um das unbekannte extreme Mitglied des Anteils zu finden, dividieren wir das Produkt der Mittelglieder durch das bekannte extreme Mitglied des Anteils:

12 Meter kosten also 1344 Rubel.

Antwort: 1344 Rubel.

Abgeschlossen von: Chepkasov Rodion

Schüler der Klasse 6 "B".

MBOU "Sekundarschule Nr. 53"

Barnaul

Leitung: Bulykina O.G.

Mathematiklehrer

MBOU "Sekundarschule Nr. 53"

Barnaul

Einführung. ein

Beziehungen und Proportionen. 3

Direkte und umgekehrte Proportionen. 4

Anwendung der direkten und umgekehrten Proportionalität 6

Abhängigkeiten bei der Lösung verschiedener Probleme.

Fazit. elf

Literatur. 12

Einführung.

Das Wort Proportion kommt vom lateinischen Wort Proportion und bedeutet allgemein Proportionalität, Gleichmäßigkeit der Teile (ein bestimmtes Verhältnis der Teile zueinander). In der Antike wurde die Proportionslehre von den Pythagoräern hoch geschätzt. Mit Proportionen verbanden sie Gedanken über Ordnung und Schönheit in der Natur, über konsonante Akkorde in der Musik und Harmonie im Universum. Einige Arten von Proportionen nannten sie musikalisch oder harmonisch.

Schon in der Antike entdeckte der Mensch, dass alle Phänomene in der Natur miteinander verbunden sind, dass alles in ständiger Bewegung ist, sich verändert und, in Zahlen ausgedrückt, erstaunliche Muster aufweist.

Die Pythagoräer und ihre Anhänger suchten nach einem numerischen Ausdruck für alles, was es auf der Welt gibt. Sie fanden; dass mathematische Proportionen der Musik zugrunde liegen (das Verhältnis von Saitenlänge zu Tonhöhe, das Verhältnis zwischen Intervallen, das Verhältnis von Tönen in Akkorden, die einen harmonischen Klang ergeben). Die Pythagoräer versuchten, die Idee der Einheit der Welt mathematisch zu untermauern, sie argumentierten, dass die Grundlage des Universums symmetrische geometrische Formen sind. Die Pythagoräer suchten nach einer mathematischen Begründung für Schönheit.

In Anlehnung an die Pythagoräer nannte der mittelalterliche Gelehrte Augustinus die Schönheit „numerische Gleichheit“. Der scholastische Philosoph Bonaventura schrieb: „Es gibt keine Schönheit und kein Vergnügen ohne Verhältnismäßigkeit, während Verhältnismäßigkeit hauptsächlich in Zahlen besteht. Es ist notwendig, dass alles berechenbar ist.“ Leonardo da Vinci schrieb in seiner Abhandlung über die Malerei über die Verwendung von Proportionen in der Kunst: „Der Maler verkörpert in Form der Proportionen dieselben Gesetze, die in der Natur lauern, die der Wissenschaftler in Form eines Zahlengesetzes kennt.“

Sowohl in der Antike als auch im Mittelalter wurden Proportionen zur Lösung verschiedener Probleme verwendet. Bestimmte Arten von Problemen lassen sich jetzt einfach und schnell mit Proportionen lösen. Proportionen und Proportionalität wurden und werden nicht nur in der Mathematik, sondern auch in Architektur und Kunst verwendet. Proportionalität in Architektur und Kunst bedeutet die Einhaltung bestimmter Verhältnisse zwischen den Größen verschiedener Teile eines Gebäudes, einer Figur, einer Skulptur oder eines anderen Kunstwerks. Verhältnismäßigkeit ist in solchen Fällen eine Bedingung für die richtige und schöne Konstruktion und Darstellung

In meiner Arbeit habe ich versucht, die Verwendung von direkten und umgekehrten proportionalen Beziehungen in verschiedenen Bereichen des umgebenden Lebens zu berücksichtigen, um die Verbindung zu akademischen Themen durch Aufgaben nachzuvollziehen.

Beziehungen und Proportionen.

Der Quotient zweier Zahlen heißt Attitüde diese Zahlen.

Haltung zeigt, wie oft die erste Zahl größer ist als die zweite, oder welcher Teil der ersten Zahl von der zweiten ist.

Aufgabe.

2,4 Tonnen Birnen und 3,6 Tonnen Äpfel wurden in den Laden gebracht. Welcher Teil der importierten Früchte sind Birnen?

Entscheidung . Finden Sie heraus, wie viel Obst insgesamt gebracht wurde: 2,4 + 3,6 = 6 (t). Um herauszufinden, welcher Anteil der mitgebrachten Früchte Birnen sind, machen wir das Verhältnis 2,4:6 =. Die Antwort kann auch als Dezimalzahl oder in Prozent geschrieben werden: = 0,4 = 40 %.

gegenseitig invers namens Zahlen, deren Produkte gleich 1 sind. Also die Beziehung wird als umgekehrte Beziehung bezeichnet.

Stellen Sie sich zwei gleiche Verhältnisse vor: 4,5:3 und 6:4. Lassen Sie uns ein Gleichheitszeichen dazwischen setzen und das Verhältnis erhalten: 4,5: 3 = 6: 4.

Anteil ist die Gleichheit zweier Relationen: a : b = c : d oder = , wo a und d sind extreme Verhältnisse, c und b mittlere Mitglieder(alle Terme des Anteils sind ungleich Null).

Grundeigenschaft der Proportion:

im richtigen Verhältnis ist das Produkt der äußersten Terme gleich dem Produkt der mittleren Terme.

Wenn wir das Kommutativgesetz der Multiplikation anwenden, erhalten wir das im richtigen Verhältnis, Sie können die äußersten Terme oder die mittleren Terme vertauschen. Die resultierenden Proportionen werden ebenfalls korrekt sein.

Unter Verwendung der Grundeigenschaft eines Anteils kann man sein unbekanntes Mitglied finden, wenn alle anderen Mitglieder bekannt sind.

Um den unbekannten Extremwert des Anteils zu finden, ist es notwendig, die Mittelwerte zu multiplizieren und durch den bekannten Extremwert zu dividieren. x : b = c : d , x =

Um den unbekannten mittleren Term des Anteils zu finden, muss man die extremen Terme multiplizieren und durch den bekannten mittleren Term dividieren. a : b = x : d , x = .

Direkte und umgekehrte Proportionen.

Die Werte zweier unterschiedlicher Größen können voneinander abhängen. Die Fläche eines Quadrats hängt also von der Seitenlänge ab und umgekehrt - die Seitenlänge eines Quadrats hängt von seiner Fläche ab.

Zwei Größen heißen proportional, wenn mit zunehmendem

(Reduzierung) eines von ihnen um ein Vielfaches, das andere erhöht (sinkt) um den gleichen Betrag.

Wenn zwei Größen direkt proportional sind, sind die Verhältnisse der entsprechenden Werte dieser Größen gleich.

Beispiel direkte proportionale Beziehung .

An der Tankstelle 2 Liter Benzin wiegen 1,6 kg. Wie viel werden sie wiegen 5 Liter Benzin?

Entscheidung:

Das Gewicht von Kerosin ist proportional zu seinem Volumen.

2 l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x \u003d 5 * 1,6 x \u003d 4

Antwort: 4 kg.

Dabei bleibt das Verhältnis von Gewicht zu Volumen unverändert.

Zwei Größen heißen umgekehrt proportional, wenn, wenn eine von ihnen mehrmals zunimmt (abnimmt), die andere um denselben Betrag abnimmt (zunimmt).

Wenn Mengen umgekehrt proportional sind, ist das Verhältnis der Werte einer Größe gleich dem umgekehrten Verhältnis der entsprechenden Werte der anderen Größe.

P Beispielumgekehrt proportionales Verhältnis.

Die beiden Rechtecke haben den gleichen Flächeninhalt. Die Länge des ersten Rechtecks ​​beträgt 3,6 m und die Breite 2,4 m. Die Länge des zweiten Rechtecks ​​beträgt 4,8 m. Finde die Breite des zweiten Rechtecks.

Entscheidung:

1 Rechteck 3,6 m 2,4 m

2 Rechteck 4,8 m x m

3,6m x m

4,8m 2,4m

x \u003d 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 m

Antwort: 1,8 m.

Wie Sie sehen können, können Probleme mit proportionalen Mengen mithilfe von Proportionen gelöst werden.

Nicht alle zwei Größen sind direkt proportional oder umgekehrt proportional. Beispielsweise nimmt die Körpergröße eines Kindes mit zunehmendem Alter zu, aber diese Werte sind nicht proportional, da sich bei einer Verdoppelung des Alters die Körpergröße des Kindes nicht verdoppelt.

Praktische Anwendung der direkten und umgekehrten Proportionalität.

Aufgabe 1

Die Schulbibliothek verfügt über 210 Mathematiklehrbücher, das sind 15 % des gesamten Bibliotheksbestandes. Wie viele Bücher befinden sich im Bibliotheksbestand?

Entscheidung:

Lehrbücher insgesamt - ? - 100%

Mathematiker - 210 -15%

15% 210 Konten

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 Lehrbücher

100 % x-Konto. fünfzehn

Antwort: 1400 Lehrbücher.

Aufgabe Nr. 2

Ein Radfahrer legt in 3 Stunden 75 km zurück. Wie lange braucht der Radfahrer für 125 km mit der gleichen Geschwindigkeit?

Entscheidung:

3 Std. – 75 km

H - 125 km

Zeit und Weg sind direkt proportional, also

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Antwort: 5 Stunden.

Aufgabe Nr. 3

8 identische Rohre füllen den Pool in 25 Minuten. Wie viele Minuten brauchen 10 solcher Rohre, um den Pool zu füllen?

Entscheidung:

8 Rohre - 25 Minuten

10 Pfeifen - ? Protokoll

Die Anzahl der Rohre ist also umgekehrt proportional zur Zeit

8:10 = x:25,

x=

x = 20

Antwort: 20 Minuten.

Aufgabe Nr. 4

Ein Team von 8 Arbeitern erledigt die Aufgabe in 15 Tagen. Wie viele Arbeiter können die Aufgabe in 10 Tagen mit der gleichen Produktivität erledigen?

Entscheidung:

8 arbeiten - 15 Tage

Arbeiten - 10 Tage

Die Anzahl der Arbeiter ist also umgekehrt proportional zur Anzahl der Tage

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Antwort: 12 Arbeiter.

Aufgabe Nummer 5

Aus 5,6 kg Tomaten werden 2 Liter Soße gewonnen. Wie viel Liter Soße können aus 54 kg Tomaten gewonnen werden?

Entscheidung:

5,6kg - 2l

54 kg - ? l

Die Anzahl der Kilogramm Tomaten ist daher direkt proportional zur Menge der erhaltenen Soße

5.6: 54 = 2: x,

x=
,

x = 19 .

Antwort: 19 l.

Aufgabe Nummer 6

Für die Beheizung des Schulgebäudes wurde 180 Tage lang Kohle im Verbrauchstarif geerntet

0,6 Tonnen Kohle pro Tag. Wie viele Tage reicht diese Reserve bei einem täglichen Verbrauch von 0,5 Tonnen?

Entscheidung:

Anzahl der Tage

Verbrauchsrate

Die Anzahl der Tage ist also umgekehrt proportional zur Kohleverbrauchsrate

180: x = 0,5: 0,6,

x \u003d 180 * 0,6: 0,5,

x = 216.

Antwort: 216 Tage.

Aufgabe Nummer 7

In Eisenerz machen 7 Teile Eisen 3 Teile Verunreinigungen aus. Wie viele Tonnen Verunreinigungen enthält ein Erz, das 73,5 Tonnen Eisen enthält?

Entscheidung:

Stückzahl, Anzahl der Stücke

Gewicht

Eisen

73,5

Verunreinigungen

Die Anzahl der Teile ist direkt proportional zur Masse, also

7: 73,5 = 3: x.

x \u003d 73,5 * 3: 7,

x = 31,5.

Antwort: 31,5 Tonnen

Aufgabe Nummer 8

Das Auto fuhr 500 km, nachdem es 35 Liter Benzin verbraucht hatte. Wie viel Liter Benzin braucht man für 420 km?

Entscheidung:

Entfernung, km

Benzin, l

Die Strecke ist also direkt proportional zum Benzinverbrauch

500: 35 = 420: x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x = 29,4.

Antwort: 29,4 Liter

Aufgabe Nummer 9

In 2 Stunden haben wir 12 Karauschen gefangen. Wie viele Karpfen werden in 3 Stunden gefangen?

Entscheidung:

Die Anzahl der Karauschen hängt nicht von der Zeit ab. Diese Größen sind weder direkt proportional noch umgekehrt proportional.

Antwort: Es gibt keine Antwort.

Aufgabe Nummer 10

Ein Bergbauunternehmen muss 5 neue Maschinen für einen bestimmten Geldbetrag zu einem Preis von 12.000 Rubel pro Stück kaufen. Wie viele dieser Autos kann das Unternehmen kaufen, wenn der Preis für ein Auto 15.000 Rubel beträgt?

Entscheidung:

Anzahl Autos, Stk.

Preis, tausend Rubel

Die Anzahl der Autos ist also umgekehrt proportional zu den Kosten

5:x=15:12,

x= 5*12:15,

x=4.

Antwort: 4 Autos.

Aufgabe Nummer 11

In der Stadt N auf dem Platz P gibt es ein Geschäft, dessen Besitzer so streng ist, dass er 70 Rubel vom Lohn abzieht, weil er 1 Verspätung pro Tag hat. Zwei Mädchen Yulia und Natasha arbeiten in einer Abteilung. Ihr Lohn richtet sich nach der Anzahl der Arbeitstage. Julia erhielt in 20 Tagen 4.100 Rubel, und Natasha hätte in 21 Tagen mehr erhalten sollen, aber sie war 3 Tage hintereinander zu spät. Wie viele Rubel bekommt Natascha?

Entscheidung:

Arbeitstage

Gehalt, reiben.

Julia

4100

Natascha

Das Gehalt ist also direkt proportional zur Anzahl der Arbeitstage

20: 21 = 4100: x,

x= 4305.

4305 reiben. Natascha hätte es tun sollen.

4305 - 3 * 70 = 4095 (reiben)

Antwort: Natasha erhält 4095 Rubel.

Aufgabe Nummer 12

Der Abstand zwischen zwei Städten auf der Karte beträgt 6 cm. Finden Sie die Entfernung zwischen diesen Städten auf dem Boden, wenn der Kartenmaßstab 1: 250000 beträgt.

Entscheidung:

Lassen Sie uns die Entfernung zwischen Städten auf dem Boden durch x (in Zentimetern) bezeichnen und das Verhältnis der Länge des Segments auf der Karte zur Entfernung auf dem Boden ermitteln, das dem Maßstab der Karte entspricht: 6: x \ u003d 1: 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Antwort: 15 km.

Aufgabe Nummer 13

4000 g Lösung enthalten 80 g Salz. Wie hoch ist die Salzkonzentration in dieser Lösung?

Entscheidung:

Gewicht, gr

Konzentration, %

Lösung

4000

Salz

4000: 80 = 100: x,

x=
,

x = 2.

Antwort: Die Salzkonzentration beträgt 2 %.

Aufgabe Nummer 14

Die Bank vergibt einen Kredit zu 10 % pro Jahr. Sie haben ein Darlehen von 50.000 Rubel erhalten. Wie viel müssen Sie in einem Jahr an die Bank zurückzahlen?

Entscheidung:

50 000 Rubel.

100%

x reiben.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 Rubel. beträgt 10 %.

50.000 + 5000 = 55.000 (Rubel)

Antwort: In einem Jahr werden 55.000 Rubel an die Bank zurückgegeben.

Fazit.

Wie wir an den obigen Beispielen sehen können, sind direkte und umgekehrte proportionale Beziehungen in verschiedenen Lebensbereichen anwendbar:

Wirtschaft,

handeln,

im verarbeitenden Gewerbe und in der Industrie,

Schulleben,

Kochen,

Bau und Architektur.

Sport,

Tierhaltung,

Topographie,

Physiker,

Chemie usw.

Im Russischen gibt es auch Sprichwörter und Redewendungen, die direkte und umgekehrte Beziehungen herstellen:

Wie es herumkommt, so wird es reagieren.

Je höher der Stumpf, desto höher der Schatten.

Je mehr Menschen, desto weniger Sauerstoff.

Und bereit, ja dumm.

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften, sie entstand aus den Bedürfnissen und Nöten der Menschheit. Nachdem es seit dem antiken Griechenland die Entstehungsgeschichte durchlaufen hat, bleibt es im täglichen Leben eines jeden Menschen immer noch relevant und notwendig. Das Konzept der direkten und umgekehrten Proportionalität ist seit der Antike bekannt, da es die Proportionsgesetze waren, die die Architekten bei jeder Konstruktion oder Schaffung einer Skulptur bewegten.

Das Wissen um Proportionen ist in allen Bereichen des menschlichen Lebens und Handelns weit verbreitet - beim Malen von Bildern (Landschaften, Stillleben, Porträts usw.) kann man darauf nicht verzichten, es ist auch unter Architekten und Ingenieuren weit verbreitet - im Allgemeinen ist es schwierig sich die Erschaffung von irgendetwas vorzustellen, ohne das Wissen über Proportionen und ihre Beziehung zu nutzen.

Literatur.

Mathematik-6, N.Ya. Wilenkin und andere.

Algebra -7, G.V. Dorofeev und andere.

Mathematik-9, GIA-9, herausgegeben von F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhow

Mathematik-6, didaktische Materialien, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Aufgaben in Mathematik für die Klassen 4-5, I. V. Baranova et al., M. "Enlightenment" 1988

Sammlung von Aufgaben und Beispielen in Mathematik Klasse 5-6, N.A. Tereschin,

TN Tereshina, M. "Aquarium" 1997

Neben direkt proportionalen Größen in der Arithmetik wurden auch umgekehrt proportionale Größen betrachtet.

Lassen Sie uns Beispiele geben.

1) Die Längen der Grundfläche und die Höhe des Rechtecks ​​mit konstantem Flächeninhalt.

Lassen Sie es erforderlich sein, eine rechteckige Fläche für den Garten mit einer Fläche von zuzuweisen

Wir können zum Beispiel die Länge des Abschnitts beliebig festlegen. Aber dann hängt die Breite des Abschnitts davon ab, welche Länge wir gewählt haben. Verschiedene (mögliche) Längen und Breiten sind in der Tabelle aufgeführt.

Wenn wir im Allgemeinen die Länge des Abschnitts durch x und die Breite durch y bezeichnen, kann die Beziehung zwischen ihnen durch die Formel ausgedrückt werden:

Wenn wir y durch x ausdrücken, erhalten wir:

Indem wir x willkürliche Werte angeben, erhalten wir die entsprechenden y-Werte.

2) Zeit und Geschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung in einer bestimmten Entfernung.

Die Entfernung zwischen zwei Städten sei 200 km. Je höher die Geschwindigkeit, desto weniger Zeit wird benötigt, um eine bestimmte Strecke zurückzulegen. Dies ist aus der folgenden Tabelle ersichtlich:

Wenn wir im Allgemeinen die Geschwindigkeit durch x und die Bewegungszeit durch y bezeichnen, wird die Beziehung zwischen ihnen durch die Formel ausgedrückt:

Definition. Die Beziehung zwischen zwei Größen, ausgedrückt als , wobei k eine bestimmte Zahl (ungleich Null) ist, wird als inverse Beziehung bezeichnet.

Die Zahl wird hier auch als Proportionalitätskoeffizient bezeichnet.

Genau wie bei der direkten Proportionalität können bei Gleichheit die Werte x und y im allgemeinen Fall positive und negative Werte annehmen.

Aber in allen Fällen umgekehrter Proportionalität kann keine der Größen gleich Null sein. Wenn mindestens einer der Werte x oder y gleich Null ist, ist die linke Seite in der Gleichheit gleich Null

Und die richtige - bis zu einer bestimmten Zahl, die (per Definition) ungleich Null ist, wird eine falsche Gleichheit erhalten.

2. Diagramm des umgekehrten Verhältnisses.

Lassen Sie uns einen Abhängigkeitsgraphen erstellen

Wenn wir y durch x ausdrücken, erhalten wir:

Wir geben x beliebige (zulässige) Werte und berechnen die entsprechenden Werte von y. Holen wir uns einen Tisch:

Konstruieren wir die entsprechenden Punkte (Abb. 28).

Wenn wir die Werte von x in kleineren Intervallen nehmen, werden die Punkte enger lokalisiert.

Für alle möglichen Werte von x befinden sich die entsprechenden Punkte auf zwei Zweigen des Diagramms, die symmetrisch zum Ursprung sind und in den Vierteln I und III der Koordinatenebene verlaufen (Abb. 29).

Wir sehen also, dass der umgekehrte Proportionalitätsgraph eine gekrümmte Linie ist. Diese Linie hat zwei Zweige.

Ein Zweig wird mit positiven, der andere mit negativen Werten von x erhalten.

Ein umgekehrt proportionaler Graph heißt Hyperbel.

Um ein genaueres Diagramm zu erhalten, müssen Sie so viele Punkte wie möglich erstellen.

Mit ausreichend hoher Genauigkeit kann beispielsweise anhand von Mustern eine Hyperbel gezeichnet werden.

In Zeichnung 30 ist ein umgekehrt proportionales Verhältnis mit einem negativen Koeffizienten aufgetragen. Zum Beispiel, indem Sie eine Tabelle wie diese erstellen:

wir bekommen eine Hyperbel, deren Zweige sich in den Vierteln II und IV befinden.

Grundlegende Ziele:

• das Konzept der direkten und umgekehrt proportionalen Abhängigkeit von Größen einführen;
• lehren, wie man Probleme mit diesen Abhängigkeiten löst;
• Förderung der Entwicklung von Fähigkeiten zur Problemlösung;
• festigen Sie die Fähigkeit, Gleichungen mithilfe von Proportionen zu lösen;
• Aktionen mit gewöhnlichen und Dezimalbrüchen wiederholen;
• das logische Denken der Schüler entwickeln.

WÄHREND DER KLASSEN

ICH. Selbstbestimmung zum Handeln(Organisationszeit)

- Leute! Heute lernen wir in der Lektion die Probleme kennen, die mit Proportionen gelöst werden.

II. Aktualisieren von Wissen und Beheben von Schwierigkeiten bei Aktivitäten

2.1. Mündliche Arbeit (3 Minuten)

- Finden Sie die Bedeutung von Ausdrücken heraus und finden Sie das in den Antworten verschlüsselte Wort heraus.

14 - s; 0,1 - und; 7 - l; 0,2 - a; 17 - hinein; 25 - zu

- Das Wort kam heraus - Stärke. Gut erledigt!
- Das Motto unseres heutigen Unterrichts: Im Wissen liegt die Macht! Ich schaue – also lerne ich!
- Machen Sie einen Anteil der resultierenden Zahlen. (14:7=0,2:0,1 usw.)

2.2. Betrachten Sie die Beziehung zwischen bekannten Größen (7 Minuten)

- der vom Auto mit konstanter Geschwindigkeit zurückgelegte Weg und die Zeit seiner Bewegung: S = v t ( mit zunehmender Geschwindigkeit (Zeit) nimmt der Weg zu);
- die Geschwindigkeit des Autos und die auf der Straße verbrachte Zeit: v=S:t(mit zunehmender Zeit zum Zurücklegen des Pfades nimmt die Geschwindigkeit ab);
– die Kosten der zu einem Preis gekauften Waren und ihre Menge: C \u003d a n (mit steigendem (fallendem) Preis steigen (sinken) die Anschaffungskosten);
- der Preis des Produkts und seine Menge: a \u003d C: n (mit zunehmender Menge sinkt der Preis)
- die Fläche des Rechtecks ​​​​und seine Länge (Breite): S = a b (mit zunehmender Länge (Breite) nimmt die Fläche zu;
- die Länge des Rechtecks ​​und die Breite: a = S: b (mit zunehmender Länge nimmt die Breite ab;
- die Anzahl der Arbeiter, die eine Arbeit mit der gleichen Arbeitsproduktivität ausführen, und die Zeit, die für die Erledigung dieser Arbeit benötigt wird: t \u003d A: n (mit zunehmender Anzahl der Arbeiter nimmt die für die Arbeit aufgewendete Zeit ab), etc.

Wir haben Abhängigkeiten erhalten, bei denen bei mehrfacher Erhöhung eines Wertes ein anderer sofort um den gleichen Betrag zunimmt (beispielhaft mit Pfeilen dargestellt) und Abhängigkeiten, bei denen bei mehrfacher Erhöhung eines Wertes der zweite Wert um sinkt gleich oft.
Solche Beziehungen werden als direkte und inverse Proportionen bezeichnet.
Direkt proportionale Abhängigkeit- eine Abhängigkeit, bei der bei mehrmaliger Erhöhung (Verringerung) eines Werts der zweite Wert um denselben Betrag zunimmt (abnimmt).
Umgekehrtes proportionales Verhältnis- eine Abhängigkeit, bei der bei mehrmaliger Erhöhung (Verringerung) eines Werts der zweite Wert um denselben Betrag abnimmt (ansteigt).

III. Erklärung der Lernaufgabe

Was ist das Problem, mit dem wir konfrontiert sind? (Lernen Sie, zwischen direkten und inversen Beziehungen zu unterscheiden)
- Das - Tor unsere Lektion. Jetzt formulieren Thema Lektion. (Direkte und umgekehrte Proportionalität).
- Gut erledigt! Schreiben Sie das Thema der Lektion in Ihre Hefte. (Der Lehrer schreibt das Thema an die Tafel.)

IV. "Entdeckung" von neuem Wissen(10 Minuten)

Lassen Sie uns Probleme Nummer 199 analysieren.

1. Der Drucker druckt 27 Seiten in 4,5 Minuten. Wie lange dauert es, 300 Seiten zu drucken?

27 Seiten - 4,5 Min.
300 S. - x?

2. In einer Schachtel befinden sich 48 Packungen Tee à 250 g. Wie viele Packungen mit 150 g kommen aus diesem Tee?

48 Packungen - 250 g.
X? - 150 gr.

3. Das Auto fuhr 310 km, nachdem es 25 Liter Benzin verbraucht hatte. Wie weit kann ein Auto mit einer Tankfüllung von 40 Litern fahren?

310 km - 25 l
X? – 40 l

4. Eines der Kupplungszahnräder hat 32 Zähne und das andere 40. Wie viele Umdrehungen macht das zweite Zahnrad, während das erste 215 Umdrehungen macht?

32 Zähne - 315 U/min
40 Zähne - x?

Zur Erstellung einer Proportion ist eine Richtung der Pfeile notwendig, dazu wird bei umgekehrter Proportion ein Verhältnis durch das Inverse ersetzt.

An der Tafel finden die Schüler den Wert der Größen, im Feld lösen die Schüler eine Aufgabe ihrer Wahl.

– Formulieren Sie eine Regel zur Lösung von Problemen mit direkter und umgekehrter Proportionalität.

An der Tafel erscheint eine Tabelle:

V. Primäre Konsolidierung in der Außensprache(10 Minuten)

Aufgaben auf den Blättern:

1. Aus 21 kg Baumwollsaat wurden 5,1 kg Öl gewonnen. Wie viel Öl wird aus 7 kg Baumwollsamen gewonnen?
2. Für den Bau des Stadions räumten 5 Bulldozer das Gelände in 210 Minuten. Wie lange würden 7 Bulldozer brauchen, um dieses Gebiet zu räumen?

VI. Eigenständiges Arbeiten mit Selbsttest nach Norm(5 Minuten)

Zwei Schüler erledigen die Aufgaben Nr. 225 selbstständig an versteckten Tafeln, den Rest in Heften. Dann überprüfen sie die Arbeit nach dem Algorithmus und vergleichen sie mit der Lösung an der Tafel. Fehler werden behoben, ihre Ursachen geklärt. Wenn die Aufgabe erledigt ist, richtig, setzen Sie neben den Schülern ein „+“ -Zeichen für sich.
Studierende, die bei selbstständiger Arbeit Fehler machen, können Berater hinzuziehen.

VII. Aufnahme in das Wissenssystem und Wiederholung№ 271, № 270.

Sechs Personen arbeiten an der Tafel. Nach 3-4 Minuten stellen die Schüler, die an der Tafel gearbeitet haben, ihre Lösungen vor, der Rest überprüft die Aufgaben und beteiligt sich an ihrer Diskussion.

VIII. Reflexion der Aktivität (das Ergebnis des Unterrichts)

- Was hast du Neues im Unterricht gelernt?
- Was hast du wiederholt?
Wie lautet der Algorithmus zur Lösung von Proportionsproblemen?
Haben wir unser Ziel erreicht?
- Wie bewerten Sie Ihre Arbeit?