Jobtyp: 14

Zustand

Bei einer regelmäßigen Dreieckspyramide DABC mit Grundfläche ABC ist die Seite der Grundfläche gleich 6\sqrt(3), und die Höhe der Pyramide ist 8 . Die Punkte M, N und K sind jeweils auf den Kanten AB, AC und AD markiert, so dass AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2) und AK=\frac(5)(2).

a) Beweisen Sie, dass die Ebenen MNK und DBC parallel sind.

b) Finden Sie den Abstand vom Punkt K zur Ebene DBC.

Lösung anzeigen

Entscheidung

a) Die Ebenen MNK und DBC sind parallel, wenn zwei Schnittlinien in einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittlinien in der anderen Ebene sind. Beweisen wir es. Betrachten Sie die Linien MN und KM der Ebene MNK und die Linien BC und DB der Ebene DBC.

Im Dreieck AOD : \angle AOD = 90^\circ und nach dem Satz des Pythagoras AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).

Finde AO mit \bigtriangleup ABC ist richtig.

AO=\frac(2)(3)AO_1, wobei AO_1 die Höhe von \bigtriangleup ABC ist, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2), wobei a die Seite von \bigtriangleup ABC ist.

AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9, dann AO=6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.

1. Seit \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4) und \angle DAB allgemein ist, dann \bigtriangleup AKM \sim ADB.

Aus der Ähnlichkeit folgt \angle AKM = \angle ADB. Dies sind die entsprechenden Winkel für die Geraden KM und BD und die Sekante AD . Also KM \parallel BD.

2. Weil \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4) und \angle CAB ist dann üblich \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

Aus der Ähnlichkeit folgt \angle ANM = \angle ACB. Diese Winkel entsprechen den Linien MN und BC und der Sekante AC. Also MN \parallel BC.

Fazit: Da die beiden Schnittgeraden KM und MN der Ebene MNK jeweils parallel zu den beiden Schnittgeraden BD und BC der Ebene DBC sind, sind diese Ebenen parallel - MNK \parallel DBC.

b) Lassen Sie uns die Entfernung vom Punkt K zur Ebene BDC finden.

Da die Ebene MNK parallel zur Ebene DBC ist, ist der Abstand vom Punkt K zur Ebene DBC gleich dem Abstand vom Punkt O_2 zur Ebene DBC und gleich der Länge des Segments O_2 H. Beweisen wir es .

BC \perp AO_1 und BC \perp DO_1 (als die Höhen der Dreiecke ABC und DBC ), also ist BC senkrecht zur Ebene ADO_1, und dann ist BC senkrecht zu jeder Linie dieser Ebene, zum Beispiel O_2 H. Durch Konstruktion O_2H \perp DO_1, dann steht O_2H senkrecht auf zwei sich schneidenden Geraden der BCD-Ebene, und dann steht das Segment O_2 H senkrecht auf der BCD-Ebene und ist gleich dem Abstand von O_2 zur BCD-Ebene.

Im Dreieck O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\angle HO_(1)O_(2).

O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).

O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).

\sin \angle DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73)).

O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).

Antworten

\frac(54)(\sqrt(73))

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 14
Thema: Abstand von einem Punkt zu einer Ebene

Zustand

ABCDA_1B_1C_1D_1 ist ein regelmäßiges viereckiges Prisma.

a) Beweisen Sie, dass das Flugzeug BB_1D_1 \perp AD_1C ist.

b) Wenn Sie AB = 5 und AA_1 = 6 kennen, finden Sie den Abstand vom Punkt B_1 zur Ebene AD_1C.

Lösung anzeigen

Entscheidung

a) Da dieses Prisma regulär ist, gilt BB_1 \perp ABCD , also BB_1 \perp AC . Da ABCD ein Quadrat ist, ist AC \perp BD . Also AC \perp BD und AC \perp BB_1 . Da sich die Geraden BD und BB_1 schneiden, ist gemäß dem Vorzeichen der Rechtwinkligkeit einer Geraden und einer Ebene AC \perp BB_1D_1D . Nun aufgrund der Rechtwinkligkeit der Ebenen AD_1C \perp BB_1D_1 .

b) Bezeichne mit O den Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD des Quadrats ABCD. Die Ebenen AD_1C und BB_1D_1 schneiden sich entlang der geraden Linie OD_1 . Sei B_1H eine Senkrechte in der Ebene BB_1D_1 zur Linie OD_1 . Dann B_1H \perp AD_1C . Sei E=OD_1 \cap BB_1 . Für ähnliche Dreiecke D_1B_1E und OBE (die Gleichheit der entsprechenden Winkel folgt aus der Bedingung BO \parallel B_1D_1 ) gilt \frac(B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.

Also B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Da B_1D_1=5\sqrt(2) , dann die Hypotenuse D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194). Als nächstes verwenden wir die Flächenmethode im Dreieck D_1B_1E, um die Höhe von B_1H zu berechnen, die auf die Hypotenuse D_1E abgesenkt ist:

S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;

B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).

Antworten

\frac(60\sqrt(97))(97)

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2016. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 14
Thema: Abstand von einem Punkt zu einer Ebene

Zustand

ABCDA_1B_1C_1D_1 ist ein rechteckiges Kästchen. Kanten AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .

a) Beweisen Sie, dass die Abstände der Punkte B und D zur Ebene ACD_(1) gleich sind.

b) Finden Sie diesen Abstand.

Lösung anzeigen

Entscheidung

a) Stellen Sie sich eine dreieckige Pyramide D_1ACD vor.

In dieser Pyramide ist der Abstand vom Punkt D zur Basisebene ACD_1-DH gleich der Höhe der Pyramide, die vom Punkt D zur Basis ACD_1 gezogen wird.

V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, aus dieser Gleichheit erhalten wir

DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).

Betrachten Sie die Pyramide D_1ABC . Der Abstand von Punkt B zur Ebene ACD_1 ist gleich der Höhe, die von der Oberseite von B zur Unterseite von ACD_1 fällt. Lassen Sie uns diesen Abstand mit BK bezeichnen. Dann V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1)\cdot BK, daraus erhalten wir BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\: Aber V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , denn wenn wir die Basen in den Pyramiden ADC und ABC betrachten, dann ist die Höhe D_1D total und S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC auf zwei Beinen). Also BK=DH .

b) Finden Sie das Volumen der Pyramide D_1ACD .

Höhe D_1D=4 .

S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1(3)S_(ACD)\cdot D_1D=\frac1(3)\cdot84\cdot4=112.

Die Gesichtsfläche von ACD_1 ist gleich \frac1(2)AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25

Da wir wissen, dass das Bein eines rechtwinkligen Dreiecks der mittlere Proportionalwert für die Hypotenuse und das Segment der Hypotenuse ist, das zwischen dem Bein und der Höhe eingeschlossen ist, die von der Spitze des rechten Winkels gezogen wird, haben wir im Dreieck ADC AD^(2)=AC \cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).

In einem rechtwinkligen Dreieck AD_1P nach dem Satz des Pythagoras D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\left (\frac(49)(25) \right)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).

S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).

DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).

Jede Ebene im kartesischen Koordinatensystem kann durch die Gleichung "Ax + By + Cz + D = 0" definiert werden, wobei mindestens eine der Zahlen "A", "B", "C" nicht Null ist. Gegeben sei der Punkt `M (x_0;y_0;z_0)`, finde den Abstand von ihm zur Ebene `Ax + By + Cz + D = 0`.

Lassen Sie die Linie durch den Punkt "M" gehen senkrecht zur "Alpha"-Ebene, schneidet sie im Punkt "K". mit Koordinaten `(x; y; z)`. Vektor `vec(MK)` senkrecht zur `alpha`-Ebene, ebenso wie der Vektor `vecn` `(A;B;C)`, d.h. die Vektoren `vec(MK)` und `vecn` kollinear, `vec(MK)=λvecn`.

Seit `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` und `vecn(A,B,C)`, dann `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

Punkt „K“. liegt in der Alpha-Ebene (Abb. 6), seine Koordinaten erfüllen die Gleichung der Ebene. Setzen wir `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` in die Gleichung `Ax+By+Cz+D=0` ein, erhalten wir

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

woher `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.

Finde die Länge des Vektors `vec(MK)`, was gleich dem Abstand vom Punkt `M(x_0;y_0;z_0)` ist zur Ebene `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.

Also ist der Abstand „h“ vom Punkt „M(x_0;y_0;z_0)“ zur Ebene „Ax + By + Cz + D = 0“.

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.

Finden Sie mit der geometrischen Methode zum Ermitteln des Abstands vom Punkt „A“ zur „Alpha“-Ebene die Basis der Senkrechten „A A^““, die vom Punkt „A“ zur „Alpha“-Ebene abgesenkt ist. Wenn der Punkt `A^"` außerhalb des Abschnitts der `alpha`-Ebene liegt, der in der Aufgabe angegeben ist, dann wird eine Linie `c` durch den Punkt `A` gezogen, parallel zur Ebene `alpha`, und einen günstigeren Punkt `C ` wird darauf gewählt, dessen orthogonale Projektion `C^"` ist gehört zu dem gegebenen Abschnitt der "Alpha"-Ebene. Segmentlänge `C C^"`gleich dem gewünschten Abstand von Punkt "A" seinbis zur „Alpha“-Ebene.

Finden Sie in einem regulären sechseckigen Prisma „A...F_1“, dessen Kanten alle gleich „1“ sind, den Abstand vom Punkt „B“ zur Ebene „AF F_1“.

Sei „O“ der Mittelpunkt der unteren Basis des Prismas (Abb. 7). Die Linie „BO“ ist parallel zur Linie „AF“, und daher ist der Abstand vom Punkt „B“ zur Ebene „AF F_1“ gleich dem Abstand „OH“ vom Punkt „O“ zur Ebene „AF F_1“. Im Dreieck `AOF` haben wir `AO=OF=AF=1`. Die Höhe „OH“ dieses Dreiecks ist „(sqrt3)/2“. Daher ist der erforderliche Abstand gleich "(sqrt3)/2".

Lassen Sie uns einen anderen Weg zeigen (Hilfsvolumenmethode) Finden der Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene. Es ist bekannt, dass das Volumen der Pyramide „V“. , seine Grundfläche "S".und Höhenlänge "h".verknüpft durch die Formel `h=(3V)/S`. Aber die Länge der Höhe der Pyramide ist nichts anderes als der Abstand von ihrer Spitze zur Basisebene. Um die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene zu berechnen, reicht es daher aus, das Volumen und die Fläche der Basis einer Pyramide mit einem Scheitelpunkt an diesem Punkt und einer in einer bestimmten Ebene liegenden Basis zu ermitteln.

Gegeben sei ein reguläres Prisma 'A...D_1', in dem 'AB=a', 'A A_1=2a'. Finde den Abstand vom Schnittpunkt der Diagonalen der Basis „A_1B_1C_1D_1“ zur Ebene „BDC_1“.

Betrachten Sie den Tetraeder „O_1DBC_1“ (Abb. 8). Der gewünschte Abstand "h" ist die Länge der Höhe dieses Tetraeders, abgesenkt von dem Punkt "O_1" zu der Flächenebene "BDC_1". . Um es zu finden, reicht es aus, das Volumen "V" zu kennenTetraeder `O_1DBC_1` und Bereich Dreieck `DBC_1`. Lassen Sie uns sie berechnen. Beachten Sie, dass die Zeile `O_1C_1` senkrecht zur Ebene `O_1DB`, da es senkrecht zu "BD" steht und "B B_1". . Daher das Volumen des Tetraeders `O_1DBC_1` gleich

Bestimmen des Abstands zwischen: 1 - Punkt und Ebene; 2 - gerade und flach; 3 - Flugzeuge; 4 - sich kreuzende Linien werden gemeinsam betrachtet, da der Lösungsalgorithmus für alle diese Probleme im Wesentlichen derselbe ist und aus geometrischen Konstruktionen besteht, die durchgeführt werden müssen, um den Abstand zwischen dem gegebenen Punkt A und der Ebene α zu bestimmen. Wenn es einen Unterschied gibt, dann besteht er nur darin, dass man in den Fällen 2 und 3, bevor man mit der Lösung des Problems beginnt, einen beliebigen Punkt A auf der Linie m (Fall 2) oder der Ebene β (Fall 3) markieren sollte. Abstände zwischen schiefen Linien, schließen wir sie vorläufig in parallele Ebenen α und β ein mit anschließender Bestimmung des Abstands zwischen diesen Ebenen.

Betrachten wir jeden der genannten Fälle der Problemlösung.

1. Bestimmen des Abstands zwischen einem Punkt und einer Ebene.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene wird durch die Länge des senkrechten Segments bestimmt, das von dem Punkt auf die Ebene fallen gelassen wird.

Daher besteht die Lösung dieses Problems in der sequentiellen Ausführung der folgenden grafischen Operationen:

1) von Punkt A senken wir die Senkrechte zur Ebene α (Abb. 269);

2) Finde den Schnittpunkt M dieser Senkrechten mit der Ebene M = a ∩ α;

3) Bestimmen Sie die Länge des Segments.

Wenn die Ebene α in allgemeiner Position ist, dann ist es notwendig, um eine Senkrechte auf diese Ebene fallen zu lassen, zuerst die Richtung der Projektionen der Horizontalen und Frontal dieser Ebene zu bestimmen. Das Finden des Treffpunkts dieser Senkrechten mit der Ebene erfordert auch zusätzliche geometrische Konstruktionen.

Die Lösung des Problems vereinfacht sich, wenn die Ebene α eine bestimmte Position relativ zu den Projektionsebenen einnimmt. In diesem Fall erfolgt sowohl die Projektion der Lotrechten als auch die Bestimmung ihres Schnittpunktes mit der Ebene ohne zusätzliche Hilfskonstruktionen.

BEISPIEL 1. Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt A zur Frontalprojektionsebene α (Abb. 270).

ENTSCHEIDUNG. Durch A "zeichnen wir eine horizontale Projektion der Senkrechten l" ⊥ h 0α, und durch A "- ihre Frontalprojektion l" ⊥ f 0α. Wir markieren den Punkt M" = l" ∩ f 0α . Seit AM || π 2 , dann [А" М"] == |AM| = D.

Aus dem betrachteten Beispiel ist ersichtlich, wie einfach das Problem gelöst wird, wenn das Flugzeug eine vorstehende Position einnimmt. Wenn daher in den Anfangsdaten eine generische Ebene angegeben ist, sollte die Ebene, bevor mit der Lösung fortgefahren wird, in eine Position versetzt werden, die senkrecht zu einer beliebigen Projektionsebene steht.

BEISPIEL 2. Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt K zu der durch ΔАВС gegebenen Ebene (Abb. 271).

1. Wir übertragen die Ebene ΔАВС in die Projektionsposition *. Dazu gehen wir vom System xπ 2 / π 1 zu x 1 π 3 / π 1 über: Die Richtung der neuen Achse x 1 wird senkrecht zur horizontalen Projektion der horizontalen Ebene des Dreiecks gewählt.

2. Wir projizieren ΔАВС auf eine neue Ebene π 3 (die ΔАВС-Ebene wird auf π 3 projiziert, in [С" 1 Â" 1 ]).

3. Wir projizieren den Punkt K (K "→ K" 1) auf dieselbe Ebene.

4. Durch den Punkt K "1 zeichnen wir (K" 1 M "1) ⊥ das Segment [C" 1 B "1]. Der gewünschte Abstand d \u003d | K "1 M" 1 |.

Die Lösung des Problems wird vereinfacht, wenn die Ebene durch Spuren gegeben ist, da keine Projektionen von Niveaulinien durchgeführt werden müssen.

BEISPIEL 3. Bestimme den Abstand vom Punkt K zur Ebene α, gegeben durch Spuren (Abb. 272).

* Die rationellste Art, die Ebene des Dreiecks in die Projektionsposition zu übertragen, ist die Methode, die Projektionsebenen zu ersetzen, da in diesem Fall es ausreicht, nur eine Hilfsprojektion zu bauen.

ENTSCHEIDUNG. Wir ersetzen die Ebene π 1 durch die Ebene π 3, dazu zeichnen wir eine neue Achse x 1 ⊥ f 0α. Auf h 0α markieren wir einen beliebigen Punkt 1 " und bestimmen seine neue horizontale Projektion auf die Ebene π 3 (1" 1). Durch die Punkte X α 1 (X α 1 \u003d h 0α 1 ∩ x 1) und 1 "1 zeichnen wir h 0α 1. Wir definieren eine neue horizontale Projektion des Punktes K → K" 1. Vom Punkt K "1 senken wir die Senkrechte auf h 0α 1 und markieren den Schnittpunkt mit h 0α 1 - M" 1. Die Länge des Segments K "1 M" 1 gibt den gewünschten Abstand an.

2. Bestimmen des Abstands zwischen einer geraden Linie und einer Ebene.

Der Abstand zwischen der Geraden und der Ebene wird bestimmt durch die Länge des Abschnitts der Senkrechten, der von einem beliebigen Punkt der Geraden auf die Ebene fällt (siehe Abb. 248).

Daher unterscheidet sich die Lösung des Problems der Bestimmung des Abstands zwischen der Linie m und der Ebene α nicht von den in Absatz 1 betrachteten Beispielen zur Bestimmung des Abstands zwischen einem Punkt und einer Ebene (siehe Abb. 270 ... 272). Jeder Punkt, der zur Linie m gehört, kann als Punkt genommen werden.

3. Bestimmung des Abstands zwischen den Ebenen.

Der Abstand zwischen den Ebenen wird durch den Wert des Segments der Senkrechten bestimmt, die von einem Punkt auf einer Ebene zu einer anderen Ebene fällt.

Aus dieser Definition folgt, dass sich der Algorithmus zum Lösen des Problems zum Finden des Abstands zwischen den Ebenen α und β von dem ähnlichen Algorithmus zum Lösen des Problems zum Bestimmen des Abstands zwischen der Linie m und der Ebene α nur dadurch unterscheidet, dass die Linie m muss zur Ebene α gehören, d.h. um den Abstand zwischen den Ebenen α und β zu bestimmen gilt:

1) nimm eine Linie m in der Ebene α;

2) einen beliebigen Punkt A auf der Linie m auswählen;

3) Senken Sie von Punkt A aus die Senkrechte l auf die Ebene β;

4) Bestimmen Sie den Punkt M - den Treffpunkt der Senkrechten l mit der Ebene β;

5) Bestimmen Sie den Wert des Segments.

In der Praxis ist es ratsam, einen anderen Lösungsalgorithmus zu verwenden, der sich von dem angegebenen nur dadurch unterscheidet, dass vor dem Fortfahren mit dem ersten Schritt die Ebenen in die Projektionsposition überführt werden sollten.

Die Aufnahme dieser zusätzlichen Operation in den Algorithmus vereinfacht die Umsetzung aller anderen Punkte ausnahmslos, was letztendlich zu einer einfacheren Lösung führt.

BEISPIEL 1. Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Ebenen α und β (Abb. 273).

ENTSCHEIDUNG. Wir gehen vom System xπ 2 /π 1 zu x 1 π 1 /π 3 über. Bezüglich der neuen Ebene π 3 nehmen die Ebenen α und β eine vorstehende Position ein, so dass der Abstand zwischen den neuen Frontalspuren f 0α 1 und f 0β 1 der erforderliche ist.

In der Ingenieurpraxis ist es oft notwendig, das Problem zu lösen, eine Ebene parallel zu einer bestimmten Ebene und in einem bestimmten Abstand von ihr zu konstruieren. Beispiel 2 unten veranschaulicht die Lösung eines solchen Problems.

BEISPIEL 2. Es ist erforderlich, Projektionen der Ebene β parallel zur gegebenen Ebene α (m || n) zu konstruieren, wenn bekannt ist, dass der Abstand zwischen ihnen gleich d ist (Abb. 274).

1. In die Ebene α zeichnen wir ein beliebiges horizontales h (1, 3) und ein frontales f (1,2).

2. Von Punkt 1 stellen wir die Senkrechte l auf die Ebene α(l" ⊥ h", l" ⊥ f") wieder her.

3. Markieren Sie einen beliebigen Punkt A auf der Senkrechten l.

4. Bestimmen Sie die Länge des Segments - (die Position gibt die metrisch unverzerrte Richtung der Geraden l im Diagramm an).

5. Legen Sie auf einer geraden Linie (1 "A 0) von Punkt 1" Segment = d.

6. Wir markieren auf den Projektionen l "und l" die Punkte B "und B", die dem Punkt B 0 entsprechen.

7. Zeichnen Sie eine Ebene β durch den Punkt B (h 1 ∩ f 1). Damit β || α ist die Bedingung h 1 || zu beachten h und f 1 || f.

4. Bestimmen des Abstands zwischen Schräglinien.

Der Abstand zwischen den Schräglinien wird durch die Länge der Senkrechten bestimmt, die zwischen den parallelen Ebenen eingeschlossen ist, zu denen die Schräglinien gehören.

Um die zueinander parallelen Ebenen α und β durch die Schnittlinien m und f zu zeichnen, genügt es, die Linie p parallel zur Linie f durch Punkt A (A ∈ m) und durch Punkt B (B ∈ f) - Linie k parallel zu zu ziehen Linie m. Schnittlinien m und p, f und k definieren zueinander parallele Ebenen α und β (siehe Abb. 248, e). Der Abstand zwischen den Ebenen α und β ist gleich dem gewünschten Abstand zwischen den Schräglinien m und f.

Zur Bestimmung des Abstands zwischen schiefen Linien kann ein anderer Weg vorgeschlagen werden, der darin besteht, dass mit Hilfe eines Verfahrens zur Transformation orthogonaler Projektionen eine der schiefen Linien in die Projektionsposition übertragen wird. In diesem Fall degeneriert eine Projektion der Linie zu einem Punkt. Der Abstand zwischen den neuen Projektionen der Schräglinien (Punkt A'' 2 und Segment C'' 2 D'' 2) ist der erforderliche.

Auf Abb. 275 zeigt die Lösung des Problems der Bestimmung des Abstands zwischen sich schneidenden Linien a und b bei gegebenen Segmenten [AB] und [CD]. Die Lösung wird in der folgenden Reihenfolge durchgeführt:

1. Übertrage eine der Schnittlinien (a) in eine Position parallel zur Ebene π 3; dazu bewegen sie sich vom System der Projektionsebenen xπ 2 / π 1 zu einem neuen x 1 π 1 / π 3, dessen x 1 -Achse parallel zur horizontalen Projektion der Geraden a verläuft. Bestimme a" 1 [A" 1 B" 1 ] und b" 1 .

2. Durch Ersetzen der Ebene π 1 durch die Ebene π 4 wird eine Gerade verschoben

und in Position a "2, senkrecht zur Ebene π 4 (die neue Achse x 2 wird senkrecht zu a" 1 gezeichnet).

3. Erstellen Sie eine neue horizontale Projektion der geraden Linie b "2 - [ C" 2 D "2].

4. Der Abstand vom Punkt A "2 zur geraden Linie C" 2 D "2 (Segment (A" 2 M "2] (ist der gewünschte.

Es sei daran erinnert, dass die Übertragung einer der Schnittlinien in die vorstehende Position nichts anderes ist als die Übertragung der Parallelitätsebenen, in denen die Linien a und b eingeschlossen sein können, ebenfalls in die vorstehende Position.

Indem wir die Linie a in eine Position senkrecht zur Ebene π 4 verschieben, stellen wir tatsächlich sicher, dass jede Ebene, die die Linie a enthält, senkrecht zur Ebene π 4 ist, einschließlich der Ebene α, die durch die Linien a und m definiert ist (a ∩ m, m || b ). Wenn wir nun eine Linie n parallel zu a zeichnen und Linie b schneiden, dann erhalten wir die Ebene β, die die zweite Parallelitätsebene ist, die die Schnittlinien a und b enthält. Da β || α, dann β ⊥ π 4 .

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Ziele:

• Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen und Fähigkeiten der Studierenden;
• Entwicklung von Fähigkeiten zum Analysieren, Vergleichen, Schlussfolgerungen ziehen.

Ausrüstung:

• Multimedia-Projektor;
• Computer;
• Aufgabenblätter

STUDIENPROZESS

I. Organisatorischer Moment

II. Die Phase der Wissensaktualisierung(Folie 2)

Wir wiederholen, wie die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene bestimmt wird

III. Vorlesung(Folien 3-15)

In der Lektion werden wir uns verschiedene Methoden ansehen, um die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene zu bestimmen.

Erste Methode: Schritt für Schritt rechnerisch

Abstand vom Punkt M zur Ebene α:
– ist gleich dem Abstand zur Ebene α von einem beliebigen Punkt P, der auf der Linie a liegt, die durch den Punkt M geht und parallel zur Ebene α ist;
– ist gleich dem Abstand zur Ebene α von einem beliebigen Punkt P, der auf der Ebene β liegt, die durch den Punkt M geht und parallel zur Ebene α ist.

Wir werden folgende Aufgaben lösen:

№1. Finden Sie im Würfel A ... D 1 die Entfernung vom Punkt C 1 zur Ebene AB 1 C.

Es bleibt der Wert der Länge des Segments O 1 N zu berechnen.

№2. Finden Sie in einem regelmäßigen sechseckigen Prisma A ... F 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, den Abstand von Punkt A zur Ebene DEA 1.

Nächste Methode: Volumenmethode.

Wenn das Volumen der Pyramide ABCM V ist, dann wird der Abstand vom Punkt M zur Ebene α, die ∆ABC enthält, durch die Formel ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = berechnet
Bei der Lösung von Problemen verwenden wir die Gleichheit der Volumina einer Figur, die auf zwei verschiedene Arten ausgedrückt wird.

Lassen Sie uns das folgende Problem lösen:

№3. Die Kante AD der Pyramide DABC steht senkrecht auf der Ebene der Basis ABC. Finden Sie den Abstand von A zu der Ebene, die durch die Mittelpunkte der Kanten AB, AC und AD verläuft, wenn.

Beim Lösen von Problemen koordinieren methode der Abstand vom Punkt M zur Ebene α kann nach der Formel ρ(M; α) = berechnet werden , wobei M(x 0; y 0; z 0) und die Ebene durch die Gleichung ax + by + cz + d = 0 gegeben ist

Lassen Sie uns das folgende Problem lösen:

№4. Finden Sie im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand vom Punkt A 1 zur Ebene BDC 1 .

Wir führen ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt A ein, die y-Achse verläuft entlang der Kante AB, die x-Achse - entlang der Kante AD, die z-Achse - entlang der Kante AA 1. Dann sind die Koordinaten der Punkte B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Lassen Sie uns die Gleichung der Ebene aufstellen, die durch die Punkte B, D, C 1 verläuft.

Dann ist – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Also ρ =

Die folgende Methode, die zur Lösung von Problemen dieser Art verwendet werden kann - Methode der Referenzaufgaben.

Die Anwendung dieser Methode besteht in der Anwendung bekannter Referenzprobleme, die als Theoreme formuliert sind.

Lassen Sie uns das folgende Problem lösen:

№5. Finden Sie in einem Einheitswürfel A ... D 1 den Abstand vom Punkt D 1 zur Ebene AB 1 C.

Betrachten Sie die Anwendung Vektormethode.

№6. Finden Sie in einem Einheitswürfel A ... D 1 den Abstand vom Punkt A 1 zur Ebene BDC 1.

Daher haben wir verschiedene Methoden in Betracht gezogen, die zur Lösung dieser Art von Problem verwendet werden können. Die Wahl der einen oder anderen Methode hängt von der konkreten Aufgabe und Ihren Vorlieben ab.

IV. Gruppenarbeit

Versuchen Sie, das Problem auf unterschiedliche Weise zu lösen.

№1. Die Kante des Würfels А…D 1 ist gleich . Finden Sie den Abstand vom Scheitelpunkt C zur Ebene BDC 1 .

№2. Finden Sie in einem regelmäßigen Tetraeder ABCD mit einer Kante den Abstand von Punkt A zur Ebene BDC

№3. Finden Sie in einem regelmäßigen dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, den Abstand von A zur Ebene BCA 1.

№4. Finden Sie in einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD, deren Kanten alle gleich 1 sind, den Abstand von A zur Ebene SCD.

V. Zusammenfassung der Lektion, Hausaufgaben, Reflexion