Methodische Entwicklungen für das Wahlfach

"Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen"

EINLEITUNG

Das vorgeschlagene Wahlpflichtfach „Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen“ richtet sich an Schülerinnen und Schüler der 11. Klasse einer allgemeinbildenden Schule und ist fachorientiert ausgerichtet, um die theoretischen und praktischen Kenntnisse der Schülerinnen und Schüler zu erweitern. Das Wahlpflichtfach baut auf den Kenntnissen und Fähigkeiten auf, die Schülerinnen und Schüler im Mathematikstudium an der Oberstufe erwerben.

Die Besonderheit dieses Kurses liegt darin, dass er sich in erster Linie an Studierende richtet, die ihr mathematisches Wissen erweitern, vertiefen, systematisieren, verallgemeinern, gängige Methoden und Techniken zum Lösen irrationaler Gleichungen studieren wollen. Das Programm umfasst Fragen, die teilweise über die aktuellen Programme in Mathematik hinausgehen, und nicht standardmäßige Methoden, mit denen Sie verschiedene Probleme effektiver lösen können.

Die meisten USE-Aufgaben erfordern von den Absolventen die Beherrschung verschiedener Methoden zur Lösung verschiedener Arten von Gleichungen und ihrer Systeme. Der Stoff zu Gleichungen und Gleichungssystemen ist ein wesentlicher Bestandteil des Schulmathematikunterrichts. Die Relevanz der Wahl des Wahlpflichtfachthemas ergibt sich aus der Bedeutung des Themas „Irrationale Gleichungen“ im Schulmathematikunterricht und dem gleichzeitigen Mangel an Zeit, sich mit nicht standardisierten Methoden und Ansätzen zur Lösung irrationaler Gleichungen auseinanderzusetzen die in den Aufgaben der Gruppe „C“ der Einheitlichen Staatsprüfung zu finden sind.

Neben der Hauptaufgabe der Mathematikvermittlung – Sicherstellung einer starken und bewussten Beherrschung des Systems mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten durch die Studierenden – dient dieses Wahlfach der Ausbildung eines nachhaltigen Interesses am Fach, der Entwicklung mathematischer Fähigkeiten, der Verbesserung der mathematischen Fähigkeiten das Niveau der mathematischen Kultur der Studierenden, schafft die Grundlage für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung und die Weiterbildung an Hochschulen.

Kursziel:

Erhöhen Sie das Verständnis und die praktische Ausbildung beim Lösen irrationaler Gleichungen;

Die Techniken und Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen zu studieren;

Um die Fähigkeit zur Analyse zu bilden, heben Sie die Hauptsache hervor, bilden Sie Elemente der kreativen Suche, die auf Generalisierungstechniken basieren;

Um das Wissen der Schüler zu diesem Thema zu erweitern, verbessern Sie die Fähigkeiten und Fertigkeiten, um verschiedene Probleme für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung zu lösen.

Kursziele:

Erweiterung der Kenntnisse über Methoden und Wege zur Lösung algebraischer Gleichungen;

Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens beim Unterrichten in den Klassen 10-11 und Vorbereitung auf die Prüfung;

Entwicklung der Fähigkeit, Wissen selbstständig zu erwerben und anzuwenden;

Heranführen der Studierenden an die Arbeit mit mathematischer Literatur;

Entwicklung des logischen Denkens der Studierenden, ihrer algorithmischen Kultur und mathematischen Intuition;

Verbesserung der mathematischen Kultur des Schülers.

Das Programm des Wahlfachs beinhaltet das Studium verschiedener Methoden und Ansätze zur Lösung irrationaler Gleichungen, die Entwicklung praktischer Fähigkeiten zu den betrachteten Themen. Der Kurs ist auf 17 Stunden ausgelegt.

Das Studium ist kompliziert, geht über den üblichen Studienverlauf hinaus, fördert die Entwicklung des abstrakten Denkens und erweitert das Wissensfeld der Studierenden. Gleichzeitig wahrt es die Kontinuität zu bestehenden Programmen und ist deren logische Fortführung.

Pädagogischer und thematischer Plan

№Art.-Nr

Thema

Anzahl der Stunden

Lösen von Gleichungen unter Berücksichtigung des Bereichs akzeptabler Werte

Lösen irrationaler Gleichungen durch Potenzieren

Lösen von Gleichungen durch Einführen von Hilfsvariablen (Ersetzungsverfahren)

Lösung einer Gleichung mit einem Radikal dritten Grades.

Identitätstransformationen beim Lösen irrationaler Gleichungen

nicht traditionelle Aufgaben. Aufgaben der Gruppe "C" USE

Formen der Kontrolle: Heimkontrolle, selbstständiges Arbeiten, Essays und Forschungsarbeiten.

Als Ergebnis des Unterrichts dieses Wahlfachs sollten die Studierenden in der Lage sein, verschiedene irrationale Gleichungen mit Standard- und Nicht-Standardmethoden und -techniken zu lösen;

den Algorithmus zum Lösen irrationaler Standardgleichungen beherrschen;

die Eigenschaften von Gleichungen nutzen können, um nicht standardmäßige Aufgaben zu lösen;

in der Lage sein, beim Lösen von Gleichungen identische Transformationen durchzuführen;

haben ein klares Verständnis für die Themen des einheitlichen Staatsexamens, die wichtigsten Methoden zu deren Lösung;

sammeln Sie Erfahrung in der Auswahl von Methoden zur Lösung von nicht standardmäßigen Problemen.

HAUPTTEIL.

Gleichungen, in denen die unbekannte Größe unter dem Vorzeichen des Radikals steht, werden genannt irrational.

Die einfachsten irrationalen Gleichungen umfassen Gleichungen der Form:

Hauptgedanke der Lösung irrationale Gleichung ist, sie auf eine rationale algebraische Gleichung zu reduzieren, die entweder der ursprünglichen irrationalen Gleichung entspricht oder ihre Konsequenz ist. Beim Lösen irrationaler Gleichungen geht es immer darum, echte Wurzeln zu finden.

Betrachten Sie einige Möglichkeiten, irrationale Gleichungen zu lösen.

1. Die Lösung irrationaler Gleichungen unter Berücksichtigung des zulässigen Wertebereichs (ODZ).

Der Bereich der zulässigen Werte einer irrationalen Gleichung besteht aus den Werten der Unbekannten, für die alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen eines Radikals mit geradem Grad nicht negativ sind.

Manchmal erlaubt uns die Kenntnis der ODZ zu beweisen, dass die Gleichung keine Lösungen hat, und manchmal erlaubt sie uns, Lösungen für die Gleichung zu finden, indem wir Zahlen aus der ODZ direkt ersetzen.

Beispiel 1 . löse die Gleichung.

Lösung . Nachdem wir die ODZ dieser Gleichung gefunden haben, kommen wir zu dem Schluss, dass die ODZ der ursprünglichen Gleichung eine Menge mit einem Element ist. Ersetzenx=2in diese Gleichung schließen wir darausx=2ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antworten : 2 .

Beispiel2.

Die Gleichung hat keine Lösungen, weil für jeden gültigen Wert der Variablen darf die Summe zweier nicht negativer Zahlen nicht negativ sein.

Beispiel 3
+ 3 =
.

ODZ:

Die ODZ-Gleichung ist eine leere Menge.

Antwort: Die Gleichung hat keine Wurzeln.

Beispiel 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. Durch Überprüfung sind wir davon überzeugt, dass x \u003d 1 die Wurzel der Gleichung ist.

Antwort 1.

Beweisen Sie, dass die Gleichung keine hat

Wurzeln.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Löse die Gleichung.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005-x)=0.

2. Ein beide Seiten einer Gleichung zu einer natürlichen Potenz erheben , also der Übergang von der Gleichung

(1)

zur Gleichung

. (2)

Folgende Aussagen sind wahr:

1) für jede Gleichung (2) ist eine Folge von Gleichung (1);

2) wenn ( n eine ungerade Zahl ist), dann sind die Gleichungen (1) und (2 ) sind gleichwertig;

3) wenn ( n eine gerade Zahl ist), dann ist Gleichung (2) äquivalent zu der Gleichung

, (3)

und Gleichung (3) ist äquivalent zu dem Satz von Gleichungen

. (4)

Insbesondere die Gleichung

(5)

ist äquivalent zu dem Satz von Gleichungen (4).

Beispiel 1. löse die Gleichung

.

Die Gleichung ist äquivalent zum System

woraus folgt, dass x = 1, und die Wurzel die zweite Ungleichung nicht erfüllt. Gleichzeitig erfordert eine kompetente Lösung keine Überprüfung.

Antworten:x=1 .

Beispiel 2. Löse die Gleichung.

Lösen der ersten Gleichung dieses Systems, die der Gleichung entspricht , wir bekommen die Wurzeln und . Allerdings für diese Werte x die Ungleichung ist nicht erfüllt, und daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Antworten: Keine Wurzeln.

Beispiel 3. löse die Gleichung

Nachdem wir das erste Radikal isoliert haben, erhalten wir die Gleichung

entspricht dem Original.

Wenn wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, da sie beide positiv sind, erhalten wir die Gleichung

,

was eine Folge der ursprünglichen Gleichung ist. Quadrieren wir beide Seiten dieser Gleichung unter der Bedingung, dass wir zur Gleichung kommen

.

Diese Gleichung hat Wurzeln , . Die erste Wurzel erfüllt die Anfangsbedingung, die zweite nicht.

Antworten: x=2 .

Wenn die Gleichung zwei oder mehr Radikale enthält, werden sie zuerst isoliert und dann quadriert.

Beispiel 1

Nachdem wir das erste Radikal isoliert haben, erhalten wir eine Gleichung, die der gegebenen äquivalent ist. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren:

Nachdem wir die notwendigen Transformationen durchgeführt haben, quadrieren wir die resultierende Gleichung

Nach der Überprüfung stellen wir das fest

liegt nicht im zulässigen Bereich.

Antwort: 8.

Antwort: 2

Antwort: 3; 1.4.

3. Viele irrationale Gleichungen werden durch Einführung von Hilfsvariablen gelöst.

Ein bequemes Mittel zum Lösen irrationaler Gleichungen ist manchmal die Methode, eine neue Variable einzuführen, oder Ersatzmethode. Die Methode wird normalerweise angewendet, wenn in der Gleichung Einige Ausdrücke kommen wiederholt vor, abhängig von der unbekannten Größe. Dann ist es sinnvoll, diesen Ausdruck mit einem neuen Buchstaben zu bezeichnen und zu versuchen, die Gleichung zunächst nach der eingeführten Unbekannten zu lösen und dann die ursprüngliche Unbekannte zu finden.

Eine gute Wahl einer neuen Variablen macht die Struktur der Gleichung transparenter. Die neue Variable ist manchmal offensichtlich, manchmal etwas verschleiert, aber „gefühlt“, und manchmal „erscheint“ sie erst im Prozess der Transformation.

Beispiel 1

Lassen
t > 0, dann

t =
,

t 2 +5t-14=0,

t 1 \u003d -7, t 2 \u003d 2. t=-7 erfüllt also nicht die Bedingung t>0

,

x 2 -2x-5 \u003d 0,

x 1 \u003d 1-
, x 2 \u003d 1+
.

Antwort 1-
; 1+
.

Beispiel 2 Löse eine irrationale Gleichung

Ersatz:

Umgekehrter Ersatz: /

Antworten:

Beispiel 3 Löse die Gleichung .

Machen wir Ersetzungen: , . Die ursprüngliche Gleichung wird in die Form umgeschrieben, woraus wir das finden a = 4b und . Außerdem werden beide Seiten der Gleichung angehoben quadriert erhalten wir: Ab hier X= 15 . Es bleibt zu prüfen:

- Rechts!

Antworten: 15.

Beispiel 4. löse die Gleichung

Einstellung erhalten wir eine viel einfachere irrationale Gleichung. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren: .

; ;

; ; , .

Das Überprüfen der gefundenen Werte und das Einsetzen in die Gleichung zeigt, dass dies die Wurzel der Gleichung und eine Fremdwurzel ist.

Rückkehr zur ursprünglichen Variable x, erhalten wir eine Gleichung, dh eine quadratische Gleichung, bei deren Lösung wir zwei Wurzeln finden: ,. Beide Wurzeln erfüllen die ursprüngliche Gleichung.

Antworten: , .

Die Substitution ist vor allem dann sinnvoll, wenn dadurch eine neue Qualität erreicht wird, zB eine irrationale Gleichung rational wird.

Beispiel 6. Löse die Gleichung.

Schreiben wir die Gleichung wie folgt um:

Dies ist ersichtlich, wenn wir eine neue Variable einführen , dann nimmt die Gleichung die Form an , woher ist eine fremde Wurzel und .

Aus der Gleichung erhalten wir , .

Antworten: , .

Beispiel 7. löse die Gleichung .

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen , .

Als Ergebnis nimmt die ursprüngliche irrationale Gleichung die Form einer quadratischen Gleichung an

,

woraus wir unter Berücksichtigung der Nebenbedingung erhalten. Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir die Wurzel. Antworten: 2,5.

Aufgaben zur selbstständigen Entscheidung.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Methode zur Einführung von zwei Hilfsvariablen.

Gleichungen der Form (hier a , b , c , d – einige Zahlen m , n – natürliche Zahlen) und eine Reihe anderer Gleichungen können oft gelöst werden durch Einführung von zwei Hilfsunbekannten: und , wo und der anschließende Übergang zu Äquivalentes System rationaler Gleichungen.

Beispiel 1. Löse die Gleichung.

Beide Seiten dieser Gleichung in die vierte Potenz zu erheben, verheißt nichts Gutes. Wenn wir , setzen, wird die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben: . Da wir zwei neue Unbekannte eingeführt haben, müssen wir eine weitere Gleichung finden, die sich darauf bezieht j und z. Dazu erheben wir die Gleichungen in die vierte Potenz und stellen fest, dass . Wir müssen also das Gleichungssystem lösen

Durch Quadrieren erhalten wir:

Nach Substitution haben wir: oder . Dann hat das System zwei Lösungen: , ; , , und das System hat keine Lösungen.

Es bleibt, das System aus zwei Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen

und das System Der erste von ihnen gibt, der zweite gibt.

Antworten: , .

Beispiel 2

Lassen

Antworten:

5. Gleichungen mit einem Radikal dritten Grades.
Beim Lösen von Gleichungen mit Radikalen dritten Grades kann es hilfreich sein, Additionsidentitäten zu verwenden:

Beispiel 1 .
Lassen Sie uns beide Seiten dieser Gleichung in die 3. Potenz erheben und die obige Identität verwenden:

Beachten Sie, dass der Ausdruck in Klammern gleich 1 ist, was aus der ursprünglichen Gleichung folgt. Wenn wir dies berücksichtigen und ähnliche Terme verwenden, erhalten wir:
Lassen Sie uns die Klammern öffnen, ähnliche Terme angeben und die quadratische Gleichung lösen. seine Wurzelnund. Wenn wir (per Definition) annehmen, dass die Wurzel eines ungeraden Grades auch aus negativen Zahlen gezogen werden kann, dann sind beide erhaltenen Zahlen Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Antworten:.

6. Multiplikation beider Teile der Gleichung mit dem konjugierten Ausdruck von einem von ihnen.

Manchmal lässt sich eine irrationale Gleichung recht schnell lösen, wenn beide Seiten mit einer gut gewählten Funktion multipliziert werden. Wenn beide Seiten der Gleichung mit einer Funktion multipliziert werden, können natürlich Fremdlösungen auftreten, die sich als Nullstellen dieser Funktion selbst herausstellen können. Daher erfordert das vorgeschlagene Verfahren eine obligatorische Untersuchung der resultierenden Werte.

Beispiel 1 Löse die Gleichung

Lösung: Wählen wir eine Funktion aus

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit der gewählten Funktion:

Wir bringen gleiche Terme und erhalten eine äquivalente Gleichung

Wir addieren die ursprüngliche Gleichung und die letzte erhalten wir

Antworten: .

7. Identitätstransformationen beim Lösen irrationaler Gleichungen

Beim Lösen irrationaler Gleichungen ist es oft notwendig, identische Transformationen anzuwenden, die mit der Verwendung bekannter Formeln verbunden sind. Leider sind diese Aktionen manchmal so unsicher wie das Erhöhen auf eine gleichmäßige Potenz - Lösungen können gewonnen oder verloren werden.

Sehen wir uns einige Situationen an, in denen diese Probleme auftreten, und erfahren Sie, wie Sie sie erkennen und verhindern können.

ICH. Beispiel 1. Löse die Gleichung.

Lösung. Hier gilt die Formel .

Sie müssen nur an die Sicherheit seiner Verwendung denken. Es ist leicht zu erkennen, dass seine linke und rechte Seite unterschiedliche Definitionsbereiche haben und dass diese Gleichheit nur unter der Bedingung gilt. Daher ist die ursprüngliche Gleichung dem System äquivalent

Wenn wir die Gleichung dieses Systems lösen, erhalten wir die Wurzeln und . Die zweite Wurzel erfüllt nicht die Menge der Ungleichungen des Systems und ist daher eine Fremdwurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antworten: -1 .

II.Die nächste gefährliche Transformation beim Lösen irrationaler Gleichungen wird durch die Formel bestimmt.

Wenn Sie diese Formel von links nach rechts verwenden, erweitert sich der DPV und es können Lösungen von Drittanbietern erworben werden. Tatsächlich funktionieren beide und müssen auf der linken Seite nichtnegativ sein; und ihr Produkt muss rechts nichtnegativ sein.

Betrachten Sie ein Beispiel, in dem das Problem mithilfe der Formel implementiert wird.

Beispiel 2. Löse die Gleichung.

Lösung. Versuchen wir, diese Gleichung durch Faktorisieren zu lösen

Beachten Sie, dass sich während dieser Aktion herausstellte, dass die Lösung verloren gegangen ist, da sie auf die ursprüngliche Gleichung passt und nicht mehr auf die resultierende Gleichung passt: Sie ergibt keinen Sinn für . Daher wird diese Gleichung am besten durch das übliche Quadrieren gelöst

Wenn wir die Gleichung dieses Systems lösen, erhalten wir die Wurzeln und . Beide Wurzeln erfüllen die Ungleichung des Systems.

Antworten: , .

III.Es gibt eine noch gefährlichere Aktion - die Reduzierung um einen gemeinsamen Faktor.

Beispiel 3. löse die Gleichung .

Falsche Argumentation: Wir reduzieren beide Seiten der Gleichung um , erhalten wir .

Nichts ist gefährlicher und falscher als diese Aktion. Erstens ging eine geeignete Lösung der ursprünglichen Gleichung verloren; Zweitens wurden zwei Lösungen von Drittanbietern gekauft. Es stellt sich heraus, dass die neue Gleichung nichts mit dem Original zu tun hat! Wir geben die richtige Lösung.

Lösung. Wir übertragen alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und faktorisieren sie

.

Diese Gleichung entspricht dem System

die eine eindeutige Lösung hat.

Antworten: 3 .

FAZIT.

Im Rahmen des Studiums des Wahlfachs werden nicht standardmäßige Methoden zur Lösung komplexer Probleme gezeigt, die das logische Denken erfolgreich entwickeln, die Fähigkeit, unter den vielen Lösungsmöglichkeiten diejenige zu finden, die für den Schüler angenehm und rational ist. Dieser Studiengang erfordert von den Studierenden viel Eigenarbeit, bereitet die Studierenden auf die Weiterbildung vor und erhöht das Niveau der mathematischen Kultur.

Das Papier betrachtete die wichtigsten Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen, einige Ansätze zum Lösen von Gleichungen höheren Grades, deren Verwendung beim Lösen von USE-Aufgaben sowie beim Eintritt in Universitäten und bei der Fortsetzung der mathematischen Ausbildung verwendet werden soll. Der Inhalt der wichtigsten Konzepte und Aussagen zur Theorie der Lösung irrationaler Gleichungen wurde ebenfalls offengelegt. Nachdem wir die gebräuchlichste Methode zum Lösen von Gleichungen ermittelt hatten, zeigten wir ihre Anwendung in Standard- und Nicht-Standard-Situationen. Darüber hinaus wurden typische Fehler bei der Durchführung identischer Transformationen und Möglichkeiten zu deren Überwindung betrachtet.

Während des Kurses haben die Studierenden die Möglichkeit, verschiedene Methoden und Techniken zum Lösen von Gleichungen zu beherrschen, während sie lernen, theoretische Informationen zu systematisieren und zu verallgemeinern, selbstständig nach Lösungen für einige Probleme zu suchen und in diesem Zusammenhang eine Reihe von Aufgaben und Übungen zu verfassen diese Themen. Die Auswahl komplexer Materialien hilft den Schülern, sich in Forschungsaktivitäten auszudrücken.

Die positive Seite des Kurses ist die Möglichkeit der weiteren Anwendung des studierten Materials durch Studenten, wenn sie die Prüfung bestehen und Universitäten betreten.

Die negative Seite ist, dass nicht jeder Student aufgrund der Schwierigkeit der meisten zu lösenden Aufgaben in der Lage ist, alle Techniken dieses Kurses zu beherrschen, selbst wenn er es möchte.

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Balayan E. N. Komplexe Übungen und Möglichkeiten für Trainingsaufgaben für die Prüfung in Mathematik. Rostow am Don: Phoenix-Verlag, 2004.

Scanavi M.I. "Aufgabensammlung in Mathematik für Studienbewerber." - M., "Höhere Schule", 1998.

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Gleichungen, in denen eine Variable unter dem Vorzeichen der Wurzel steht, heißen irrational.

Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen basieren in der Regel auf der Möglichkeit, eine irrationale Gleichung (mit Hilfe einiger Transformationen) durch eine rationale Gleichung zu ersetzen, die entweder der ursprünglichen irrationalen Gleichung entspricht oder deren Folge ist. Meistens werden beide Seiten der Gleichung gleich potenziert. In diesem Fall wird eine Gleichung erhalten, die eine Folge der ursprünglichen ist.

Beim Lösen irrationaler Gleichungen ist Folgendes zu beachten:

1) Wenn der Wurzelindex eine gerade Zahl ist, muss der Wurzelausdruck nicht negativ sein; der Wert der Wurzel ist ebenfalls nicht negativ (die Definition einer Wurzel mit einem geraden Exponenten);

2) wenn der Wurzelindex eine ungerade Zahl ist, dann kann der Wurzelausdruck jede reelle Zahl sein; in diesem Fall ist das Vorzeichen der Wurzel dasselbe wie das Vorzeichen des Wurzelausdrucks.

Beispiel 1 löse die Gleichung

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren.
x 2 - 3 \u003d 1;
Wir übertragen -3 von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite und führen die Reduktion ähnlicher Terme durch.
x 2 \u003d 4;
Die resultierende unvollständige quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln -2 und 2.

Lassen Sie uns die erhaltenen Wurzeln überprüfen, dazu werden wir die Werte der Variablen x in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Untersuchung.
Wenn x 1 \u003d -2 - wahr:
Wenn x 2 \u003d -2- wahr ist.
Daraus folgt, dass die ursprüngliche irrationale Gleichung zwei Wurzeln hat -2 und 2.

Beispiel 2 löse die Gleichung .

Diese Gleichung kann mit der gleichen Methode wie im ersten Beispiel gelöst werden, aber wir werden es anders machen.

Lassen Sie uns die ODZ dieser Gleichung finden. Aus der Definition der Quadratwurzel folgt, dass in dieser Gleichung zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen:

ODZ der gegebenen Gleichung: x.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 3 löse die Gleichung =+ 2.

Das Auffinden der ODZ in dieser Gleichung ist eine ziemlich schwierige Aufgabe. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2=0.
Nach der Überprüfung stellen wir fest, dass x 2 \u003d 0 eine zusätzliche Wurzel ist.
Antwort: x 1 \u003d 1.

Beispiel 4 Lösen Sie die Gleichung x =.

In diesem Beispiel ist die ODZ einfach zu finden. ODZ dieser Gleichung: x[-1;).

Lassen Sie uns beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, als Ergebnis erhalten wir die Gleichung x 2 \u003d x + 1. Die Wurzeln dieser Gleichung:

Es ist schwierig, die gefundenen Wurzeln zu überprüfen. Aber trotz der Tatsache, dass beide Wurzeln zur ODZ gehören, ist es unmöglich zu behaupten, dass beide Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind. Dies führt zu einem Fehler. In diesem Fall entspricht die irrationale Gleichung der Kombination zweier Ungleichungen und einer Gleichung:

x+10 und x0 und x 2 \u003d x + 1, woraus folgt, dass die negative Wurzel für die irrationale Gleichung irrelevant ist und verworfen werden muss.

Beispiel 5 . Lösen Sie die Gleichung += 7.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren und die Reduktion ähnlicher Terme durchführen, die Terme von einem Teil der Gleichung auf den anderen übertragen und beide Teile mit 0,5 multiplizieren. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung
= 12, (*) was eine Folge der ursprünglichen ist. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung noch einmal quadrieren. Wir erhalten die Gleichung (x + 5) (20 - x) = 144, die eine Folge der ursprünglichen ist. Die resultierende Gleichung wird auf die Form x 2 - 15x + 44 = 0 reduziert.

Diese Gleichung (die auch eine Folge der ursprünglichen ist) hat Wurzeln x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Beide Wurzeln erfüllen, wie der Test zeigt, die ursprüngliche Gleichung.

Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.

Kommentar. Beim Quadrieren von Gleichungen multiplizieren Schüler in Gleichungen wie (*) häufig Wurzelausdrücke, das heißt, statt Gleichung = 12 schreiben sie die Gleichung = 12. Dies führt nicht zu Fehlern, da die Gleichungen Folgen der Gleichungen sind. Es ist jedoch zu beachten, dass eine solche Multiplikation von Radikalausdrücken im allgemeinen nicht äquivalente Gleichungen ergibt.

In den oben diskutierten Beispielen war es möglich, zunächst einen der Reste auf die rechte Seite der Gleichung zu übertragen. Dann verbleibt ein Radikal auf der linken Seite der Gleichung, und nach dem Quadrieren beider Seiten der Gleichung wird eine rationale Funktion auf der linken Seite der Gleichung erhalten. Diese Technik (Einsamkeit des Radikals) wird häufig beim Lösen irrationaler Gleichungen verwendet.

Beispiel 6. Löse Gleichung-= 3.

Nachdem wir das erste Radikal isoliert haben, erhalten wir die Gleichung
=+ 3, was dem Original entspricht.

Wenn wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, erhalten wir die Gleichung

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, was der Gleichung entspricht

4x - 5 = 3(*). Diese Gleichung ist eine Folge der ursprünglichen Gleichung. Wenn wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, kommen wir zur Gleichung
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3) oder

7x2 - 13x - 2 = 0.

Diese Gleichung ist eine Folge der Gleichung (*) (und damit der ursprünglichen Gleichung) und hat Wurzeln. Die erste Wurzel x 1 = 2 erfüllt die ursprüngliche Gleichung, die zweite x 2 =- nicht.

Antwort: x = 2.

Beachten Sie, dass wir, wenn wir sofort, ohne eines der Radikale zu isolieren, beide Teile der ursprünglichen Gleichung quadrieren würden, ziemlich umständliche Transformationen durchführen müssten.

Beim Lösen irrationaler Gleichungen werden neben der Isolierung von Radikalen auch andere Methoden verwendet. Betrachten Sie ein Beispiel für die Verwendung der Methode zum Ersetzen des Unbekannten (die Methode zum Einführen einer Hilfsvariablen).

Lösung irrationaler Gleichungen.

In diesem Artikel werden wir über Lösungsmöglichkeiten sprechen die einfachsten irrationalen Gleichungen.

Irrationale Gleichung eine Gleichung genannt, die die Unbekannte unter dem Vorzeichen der Wurzel enthält.

Schauen wir uns zwei Arten an irrationale Gleichungen, die auf den ersten Blick sehr ähnlich sind, sich aber in Wirklichkeit stark voneinander unterscheiden.

(1)

(2)

In der ersten Gleichung wir sehen, dass das Unbekannte unter dem Zeichen der Wurzel dritten Grades steht. Wir können aus einer negativen Zahl eine ungerade Wurzel ziehen, daher gibt es in dieser Gleichung weder für den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen noch für den Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung Einschränkungen. Wir können beide Seiten der Gleichung in die dritte Potenz erheben, um die Wurzel loszuwerden. Wir erhalten eine äquivalente Gleichung:

Wenn wir die rechte und die linke Seite der Gleichung zu einer ungeraden Potenz erheben, können wir keine Angst haben, fremde Wurzeln zu bekommen.

Beispiel 1. Lösen wir die Gleichung

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung in die dritte Potenz erheben. Wir erhalten eine äquivalente Gleichung:

Lassen Sie uns alle Terme in eine Richtung verschieben und x aus Klammern entfernen:

Wir setzen jeden Faktor gleich Null, wir erhalten:

Antwort: (0;1;2)

Schauen wir uns die zweite Gleichung genauer an: . Auf der linken Seite der Gleichung befindet sich die Quadratwurzel, die nur nicht negative Werte annehmen kann. Damit die Gleichung Lösungen hat, muss daher auch die rechte Seite nicht negativ sein. Daher wird der rechten Seite der Gleichung folgende Bedingung auferlegt:

Title="(!LANG:g(x)>=0"> - это !} die Bedingung für die Existenz von Wurzeln.

Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie beide Seiten der Gleichung quadrieren:

(3)

Das Quadrieren kann fremde Wurzeln einführen, also brauchen wir Gleichungen:

Title="(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}

Die Ungleichung (4) folgt jedoch aus Bedingung (3): Wenn die rechte Seite der Gleichheit das Quadrat eines Ausdrucks ist und das Quadrat eines beliebigen Ausdrucks nur nicht negative Werte annehmen kann, dann muss die linke Seite auch nicht sein. Negativ. Daher folgt Bedingung (4) automatisch aus Bedingung (3) und unserer Die gleichung entspricht dem System:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Beispiel 2 . Lösen wir die Gleichung:

.

Kommen wir zu einem äquivalenten System:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Wir lösen die erste Gleichung des Systems und prüfen, welche Wurzeln die Ungleichung erfüllen.

Ungleichheit title="(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Antwort: x=1

Aufmerksamkeit! Wenn wir beim Lösen beide Seiten der Gleichung quadrieren, müssen wir uns daran erinnern, dass Fremdwurzeln auftreten können. Daher müssen Sie entweder zu einem äquivalenten System wechseln oder am Ende der Lösung EINE ÜBERPRÜFUNG MACHEN: Finden Sie die Wurzeln und setzen Sie sie in die ursprüngliche Gleichung ein.

Beispiel 3. Lösen wir die Gleichung:

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir auch beide Seiten quadrieren. Kümmern wir uns nicht um die ODZ und die Bedingung für das Vorhandensein von Wurzeln in dieser Gleichung, aber erst am Ende der Lösung werden wir überprüfen.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren:

Verschieben Sie den Begriff mit der Wurzel nach links und alle anderen Begriffe nach rechts:

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung noch einmal quadrieren:

Nach dem Terem Vieta:

Machen wir einen Check. Dazu setzen wir die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung ein. Offensichtlich ist für die rechte Seite der ursprünglichen Gleichung negativ, während die linke Seite positiv ist.

Wenn wir die richtige Gleichheit bekommen.

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Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, Konstruktionen und sogar im Sport verwendet. Gleichungen werden seit der Antike vom Menschen verwendet, und seitdem hat ihre Verwendung nur zugenommen. Ziemlich oft wird das Wurzelzeichen in Gleichungen gefunden, und viele glauben fälschlicherweise, dass solche Gleichungen schwer zu lösen sind. Für solche Gleichungen in der Mathematik gibt es einen speziellen Begriff, der als Gleichungen mit einer Wurzel bezeichnet wird - irrationale Gleichungen.

Der Hauptunterschied beim Lösen von Gleichungen mit einer Wurzel von anderen Gleichungen, z. B. quadratisch, logarithmisch, linear, besteht darin, dass sie keinen Standardlösungsalgorithmus haben. Um eine irrationale Gleichung zu lösen, ist es daher notwendig, die Ausgangsdaten zu analysieren und eine geeignetere Lösung zu wählen.

In den meisten Fällen wird zur Lösung dieser Art von Gleichungen die Methode verwendet, beide Teile der Gleichung mit der gleichen Potenz zu erheben.

Nehmen wir an, die folgende Gleichung ist gegeben:

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung:

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], woraus wir nacheinander erhalten:

Nachdem wir eine quadratische Gleichung erhalten haben, finden wir ihre Wurzeln:

Antworten: \

Wenn wir diese Werte in die Gleichung einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichheit, die die Richtigkeit der erhaltenen Daten anzeigt.

Wo kann ich eine Gleichung mit Wurzeln mit einem Online-Löser lösen?

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