Methode der Variation willkürlicher Konstanten

Verfahren zur Variation beliebiger Konstanten zur Konstruktion einer Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

besteht darin, beliebige Konstanten zu ändern c k in der Allgemeinverfügung

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

entsprechende homogene Gleichung

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

zu Hilfsfunktionen c k (t) , deren Ableitungen das lineare algebraische System erfüllen

Die Determinante von System (1) ist die Wronskische Funktion z 1 ,z 2 ,...,z n , was seine einzigartige Lösbarkeit in Bezug auf gewährleistet.

Wenn bei festen Werten der Integrationskonstanten Stammfunktionen für genommen werden, dann ist die Funktion

ist eine Lösung der ursprünglichen linearen inhomogenen Differentialgleichung. Die Integration einer inhomogenen Gleichung bei Vorhandensein einer allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung wird somit auf Quadraturen reduziert.

Verfahren zur Variation beliebiger Konstanten zur Konstruktion von Lösungen eines Systems linearer Differentialgleichungen in Vektornormalform

besteht darin, eine bestimmte Lösung (1) in der Form zu konstruieren

wo Z(t) ist die Basis von Lösungen der entsprechenden homogenen Gleichung, geschrieben als Matrix, und die Vektorfunktion , die den Vektor beliebiger Konstanten ersetzt hat, ist durch die Beziehung definiert. Die gesuchte besondere Lösung (mit Anfangswerten Null bei t = t 0 hat die Form

Für ein System mit konstanten Koeffizienten vereinfacht sich der letzte Ausdruck:

Matrix Z(t)Z− 1 (τ) namens Cauchy-Matrix Operator L = EIN(t) .

Die Methode der Variation einer beliebigen Konstante oder die Lagrange-Methode ist eine weitere Möglichkeit, lineare Differentialgleichungen erster Ordnung und die Bernoulli-Gleichung zu lösen.

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung sind Gleichungen der Form y’+p(x)y=q(x). Wenn die rechte Seite Null ist: y’+p(x)y=0, dann ist dies eine Lineare homogen Gleichung 1. Ordnung. Dementsprechend ist die Gleichung mit einer rechten Seite ungleich Null, y’+p(x)y=q(x), — heterogen lineare gleichung 1. ordnung.

Methode der willkürlichen konstanten Variation (Lagrange-Methode) besteht aus Folgendem:

1) Wir suchen eine allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y’+p(x)y=0: y=y*.

2) In der allgemeinen Lösung wird C nicht als Konstante betrachtet, sondern als Funktion von x: C=C(x). Wir finden die Ableitung der allgemeinen Lösung (y*)' und setzen den resultierenden Ausdruck für y* und (y*)' in die Anfangsbedingung ein. Aus der resultierenden Gleichung finden wir die Funktion С(x).

3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung ersetzen wir anstelle von C den gefundenen Ausdruck C (x).

Betrachten Sie Beispiele zur Methode der Variation einer beliebigen Konstante. Nehmen wir die gleichen Aufgaben wie in , vergleichen den Verlauf der Lösung und vergewissern uns, dass die erhaltenen Antworten die gleichen sind.

1) y'=3x-y/x

Lassen Sie uns die Gleichung in Standardform umschreiben (im Gegensatz zur Bernoulli-Methode, wo wir die Notation nur brauchten, um zu sehen, dass die Gleichung linear ist).

y'+y/x=3x (I). Jetzt fahren wir nach Plan.

1) Wir lösen die homogene Gleichung y’+y/x=0. Dies ist eine trennbare Variablengleichung. Stellen Sie y’=dy/dx dar, ersetzen Sie: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Wir multiplizieren beide Teile der Gleichung mit dx und dividieren durch xy≠0: dy/y=-dx/x. Wir integrieren:

2) In der erhaltenen allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung betrachten wir С nicht als Konstante, sondern als Funktion von x: С=С(x). Von hier

Die resultierenden Ausdrücke werden in Bedingung (I) eingesetzt:

Wir integrieren beide Seiten der Gleichung:

hier ist C bereits eine neue Konstante.

3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung y \u003d C / x, wo wir C \u003d C (x) betrachtet haben, dh y \u003d C (x) / x, ersetzen wir anstelle von C (x) die gefundener Ausdruck x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x oder y=x²+C/x. Wir erhalten die gleiche Antwort wie beim Lösen nach der Bernoulli-Methode.

Antwort: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Hier ist die Gleichung bereits in Standardform geschrieben, eine Konvertierung ist nicht erforderlich.

1) Wir lösen eine homogene lineare Gleichung y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Wir integrieren:

Um eine bequemere Notation zu erhalten, werden wir den Exponenten zur Potenz von C als neues C nehmen:

Diese Transformation wurde durchgeführt, um es bequemer zu machen, die Ableitung zu finden.

2) In der erhaltenen allgemeinen Lösung einer linearen homogenen Gleichung betrachten wir С nicht als Konstante, sondern als Funktion von x: С=С(x). Unter dieser Bedingung

Die resultierenden Ausdrücke y und y' werden in die Bedingung eingesetzt:

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit

Wir integrieren beide Teile der Gleichung mit der Integration-by-Parts-Formel, wir erhalten:

Hier ist C keine Funktion mehr, sondern eine gewöhnliche Konstante.

3) In die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

wir ersetzen die gefundene Funktion С(x):

Wir erhalten die gleiche Antwort wie beim Lösen nach der Bernoulli-Methode.

Die Methode der Variation einer beliebigen Konstante ist auch auf die Lösung anwendbar.

y’x+y=-xy².

Wir bringen die Gleichung auf die Normalform: y’+y/x=-y² (II).

1) Wir lösen die homogene Gleichung y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dx und dividiere durch y: dy/y=-dx/x. Jetzt integrieren wir:

Wir setzen die erhaltenen Ausdrücke in Bedingung (II) ein:

Vereinfachung:

Wir haben eine Gleichung mit trennbaren Variablen für C und x:

Hier ist C bereits eine gewöhnliche Konstante. Bei der Integration haben wir statt C(x) einfach C geschrieben, um die Notation nicht zu überladen. Und am Ende kehrten wir zu C(x) zurück, um C(x) nicht mit dem neuen C zu verwechseln.

3) Wir setzen die gefundene Funktion С(x) in die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y=C(x)/x ein:

Wir erhalten die gleiche Antwort wie beim Lösen nach der Bernoulli-Methode.

Beispiele für Selbsttest:

1. Schreiben wir die Gleichung in Standardform um: y'-2y=x.

1) Wir lösen die homogene Gleichung y'-2y=0. y’=dy/dx, also dy/dx=2y, beide Seiten der Gleichung mit dx multiplizieren, durch y dividieren und integrieren:

Von hier aus finden wir y:

Wir ersetzen die Ausdrücke für y und y’ in der Bedingung (der Kürze halber füttern wir C anstelle von C (x) und C’ anstelle von C "(x)):

Um das Integral auf der rechten Seite zu finden, verwenden wir die Formel für die partielle Integration:

Jetzt setzen wir u, du und v in die Formel ein:

Hier ist C = const.

3) Jetzt substituieren wir in die Lösung des Homogenen

Vorlesung 44. Lineare inhomogene Gleichungen zweiter Ordnung. Methode zur Variation beliebiger Konstanten. Lineare inhomogene Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. (spezielle rechte Seite).

Gesellschaftliche Transformationen. Staat und Kirche.

Die Sozialpolitik der Bolschewiki wurde weitgehend von ihrer Klasseneinstellung diktiert. Mit Dekret vom 10. November 1917 wurde das Standeswesen abgeschafft, vorrevolutionäre Ränge, Titel und Auszeichnungen wurden abgeschafft. Die Wahl der Richter ist eingerichtet; die Säkularisierung der Zivilstaaten wurde durchgeführt. Einrichtung einer kostenlosen Bildung und medizinischen Versorgung (Dekret vom 31. Oktober 1918). Die Frauen wurden den Männern gleichgestellt (Dekrete vom 16. und 18. Dezember 1917). Das Ehedekret führte die Institution der standesamtlichen Eheschließung ein.

Durch einen Erlass des Rates der Volkskommissare vom 20. Januar 1918 wurde die Kirche vom Staat und vom Bildungswesen getrennt. Ein Großteil des Kirchenbesitzes wurde beschlagnahmt. Patriarch Tichon von Moskau und ganz Russland (gewählt am 5. November 1917) verfluchte am 19. Januar 1918 die Sowjetmacht und rief zum Kampf gegen die Bolschewiki auf.

Betrachten Sie eine lineare inhomogene Gleichung zweiter Ordnung

Die Struktur der allgemeinen Lösung einer solchen Gleichung wird durch den folgenden Satz bestimmt:

Satz 1. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung (1) wird als Summe einer bestimmten Lösung dieser Gleichung und der allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung dargestellt

Nachweisen. Wir müssen beweisen, dass die Summe

ist die allgemeine Lösung von Gleichung (1). Lassen Sie uns zuerst beweisen, dass Funktion (3) eine Lösung von Gleichung (1) ist.

Einsetzen der Summe in Gleichung (1) statt beim, werde haben

Da es eine Lösung für Gleichung (2) gibt, ist der Ausdruck in der ersten Klammer identisch gleich Null. Da es eine Lösung für Gleichung (1) gibt, ist der Ausdruck in der zweiten Klammer gleich f(x). Daher ist Gleichheit (4) eine Identität. Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen.

Beweisen wir die zweite Behauptung: Ausdruck (3) ist Allgemeines Lösung von Gleichung (1). Wir müssen beweisen, dass die in diesem Ausdruck enthaltenen beliebigen Konstanten so gewählt werden können, dass die Anfangsbedingungen erfüllt sind:

was auch immer die Zahlen x0, y0 und (wenn nur x 0 wurde aus dem Bereich genommen, wo die Funktionen eine 1, eine 2 und f(x) kontinuierlich).

Beachten Sie, dass es möglich ist, in der Form darzustellen. Dann gilt aufgrund der Bedingungen (5).

Lassen Sie uns dieses System lösen und finden Ab 1 und Ab 2. Schreiben wir das System um als:

Beachten Sie, dass die Determinante dieses Systems die Wronsky-Determinante für die Funktionen ist 1 und um 2 am Punkt x = x 0. Da diese Funktionen nach Annahme linear unabhängig sind, ist die Wronsky-Determinante ungleich Null; daher hat System (6) eine bestimmte Lösung Ab 1 und Ab 2, d.h. Es gibt solche Werte Ab 1 und Ab 2, für die Formel (3) die Lösung von Gleichung (1) bestimmt, die die gegebenen Anfangsbedingungen erfüllt. Q.E.D.

Wenden wir uns der allgemeinen Methode zu, bestimmte Lösungen einer inhomogenen Gleichung zu finden.

Schreiben wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (2)

Wir suchen nach einer bestimmten Lösung der inhomogenen Gleichung (1) in der Form (7) und betrachten Ab 1 und Ab 2 ebenso einige noch unbekannte Features aus X.

Differenzieren wir die Gleichheit (7):

Wir wählen die gewünschten Funktionen aus Ab 1 und Ab 2 damit die Gleichheit

Berücksichtigt man diese Zusatzbedingung, so nimmt die erste Ableitung die Form an

Wenn wir nun diesen Ausdruck differenzieren, finden wir:

Durch Einsetzen in Gleichung (1) erhalten wir

Die Ausdrücke in den ersten beiden Klammern verschwinden, weil ja 1 und y2 sind Lösungen einer homogenen Gleichung. Daher nimmt die letzte Gleichheit die Form an

Somit ist Funktion (7) eine Lösung der inhomogenen Gleichung (1), wenn die Funktionen Ab 1 und Ab 2 die Gleichungen (8) und (9) erfüllen. Lassen Sie uns aus den Gleichungen (8) und (9) ein Gleichungssystem zusammenstellen.

Denn die Determinante dieses Systems ist die Vronsky-Determinante für linear unabhängige Lösungen ja 1 und y2 Gleichung (2), dann ist sie ungleich Null. Wenn wir also das System lösen, werden wir beide bestimmte Funktionen von finden X:

Wenn wir dieses System lösen, finden wir , woraus wir als Ergebnis der Integration erhalten. Als nächstes setzen wir die gefundenen Funktionen in die Formel ein, wir erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung , wobei beliebige Konstanten sind.

Es wird ein Verfahren zur Lösung linearer inhomogener Differentialgleichungen höherer Ordnungen mit konstanten Koeffizienten durch die Methode der Variation der Lagrange-Konstanten betrachtet. Das Lagrange-Verfahren ist auch auf die Lösung beliebiger linearer inhomogener Gleichungen anwendbar, wenn das fundamentale Lösungssystem der homogenen Gleichung bekannt ist.

Inhalt

Siehe auch:

Lagrange-Verfahren (Variation von Konstanten)

Betrachten Sie eine lineare inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beliebiger n-ter Ordnung:
(1) .
Die Methode der konstanten Variation, die wir für die Gleichung erster Ordnung betrachtet haben, ist auch auf Gleichungen höherer Ordnung anwendbar.

Die Lösung erfolgt in zwei Stufen. Im ersten Schritt verwerfen wir die rechte Seite und lösen die homogene Gleichung. Als Ergebnis erhalten wir eine Lösung mit n beliebigen Konstanten. Im zweiten Schritt variieren wir die Konstanten. Das heißt, wir betrachten diese Konstanten als Funktionen der unabhängigen Variablen x und finden die Form dieser Funktionen.

Wir betrachten hier zwar Gleichungen mit konstanten Koeffizienten, aber Das Lagrange-Verfahren ist auch auf die Lösung beliebiger linearer inhomogener Gleichungen anwendbar. Dazu muss allerdings das fundamentale Lösungssystem der homogenen Gleichung bekannt sein.

Schritt 1. Lösung der homogenen Gleichung

Wie bei den Gleichungen erster Ordnung suchen wir zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, indem wir den rechten inhomogenen Teil gleich Null setzen:
(2) .
Die allgemeine Lösung einer solchen Gleichung hat die Form:
(3) .
Hier sind beliebige Konstanten; - n linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung (2), die das fundamentale Lösungssystem dieser Gleichung bilden.

Schritt 2. Variation von Konstanten – Ersetzen von Konstanten durch Funktionen

Im zweiten Schritt beschäftigen wir uns mit der Variation der Konstanten. Mit anderen Worten, wir ersetzen die Konstanten durch Funktionen der unabhängigen Variablen x :
.
Das heißt, wir suchen nach einer Lösung der ursprünglichen Gleichung (1) in der folgenden Form:
(4) .

Wenn wir (4) in (1) einsetzen, erhalten wir eine Differentialgleichung für n Funktionen. In diesem Fall können wir diese Funktionen mit zusätzlichen Gleichungen verbinden. Dann erhält man n Gleichungen, aus denen man n Funktionen bestimmen kann. Zusätzliche Gleichungen können auf verschiedene Arten geschrieben werden. Aber wir werden es so machen, dass die Lösung die einfachste Form hat. Dazu müssen Sie beim Differenzieren Nullterme gleichsetzen, die Ableitungen von Funktionen enthalten. Lassen Sie uns dies demonstrieren.

Um die vorgeschlagene Lösung (4) in die ursprüngliche Gleichung (1) einzusetzen, müssen wir die Ableitungen der ersten n Ordnungen der Funktion finden, die in der Form (4) geschrieben ist. Differenzieren Sie (4) indem Sie die Regeln zur Differenzierung der Summe und des Produkts anwenden:
.
Lassen Sie uns die Mitglieder gruppieren. Zuerst schreiben wir die Terme mit Ableitungen von aus, und dann die Terme mit Ableitungen von :

.
Wir stellen die erste Bedingung an die Funktionen:
(5.1) .
Dann hat der Ausdruck für die erste Ableitung nach eine einfachere Form:
(6.1) .

Auf die gleiche Weise finden wir die zweite Ableitung:

.
Die zweite Bedingung stellen wir an die Funktionen:
(5.2) .
Dann
(6.2) .
Usw. Unter zusätzlichen Bedingungen setzen wir die Terme, die die Ableitungen der Funktionen enthalten, mit Null gleich.

Wenn wir also die folgenden zusätzlichen Gleichungen für die Funktionen wählen:
(5.k) ,
dann haben die ersten Ableitungen nach will die einfachste Form:
(6.k) .
Hier .

Wir finden die n-te Ableitung:
(6.n)
.

Wir setzen in die ursprüngliche Gleichung (1) ein:
(1) ;






.
Wir berücksichtigen, dass alle Funktionen Gleichung (2) erfüllen:
.
Dann ergibt die Summe der enthaltenden Terme Null. Als Ergebnis erhalten wir:
(7) .

Als Ergebnis erhalten wir ein System linearer Gleichungen für Ableitungen:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Beim Lösen dieses Systems finden wir Ausdrücke für Ableitungen als Funktionen von x . Integrierend erhalten wir:
.
Hier sind Konstanten, die nicht mehr von x abhängen. Durch Einsetzen in (4) erhalten wir die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Beachten Sie, dass wir nie die Tatsache verwendet haben, dass die Koeffizienten a i konstant sind, um die Werte der Ableitungen zu bestimmen. So Die Lagrange-Methode ist anwendbar, um beliebige lineare inhomogene Gleichungen zu lösen, wenn das fundamentale Lösungssystem der homogenen Gleichung (2) bekannt ist.

Beispiele

Lösen Sie Gleichungen mit der Methode der Variation von Konstanten (Lagrange).


Lösung von Beispielen > > >

Siehe auch: Lösung von Gleichungen erster Ordnung durch konstante Variationsmethode (Lagrange)
Lösen von Gleichungen höherer Ordnung nach der Bernoulli-Methode
Lösen linearer inhomogener Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten durch lineare Substitution