− 4 1+ 4

−6

27≡ 0,

−4 x +4 und +27

+(y +6 )

x = 1, x

(x − 1 )

= −6.

y = –6

Beachten Sie, dass die Lösung der zweiten Gleichung noch nicht die Lösung des Systems ist. Die resultierenden Zahlen müssen in die verbleibende erste Gleichung des Systems eingesetzt werden. In diesem Fall erhalten wir nach Substitution eine Identität.

Antwort: (1, - 6).♦

§5. Homogene Gleichungen und Systeme
Funktion f (x ,y )	namens	homogen		k wenn
f (tx, ty) = tk f(x, y) .	Zum Beispiel die Funktion f (x ,y ) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
ist homogen vom Grad 4, da		f(tx,ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx ) 2 (ty ) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 ) . Gleichung f (x, y) = 0, wobei				f(x,y)-

homogene Funktion heißt homogen. Es reduziert sich auf die Gleichung

mit einer Unbekannten, wenn wir eine neue Variable t = x y einführen.

f (x, y) = a,

System mit zwei Variablen g (x, y) \u003d b, wobei f (x, y), g (x, y) -

homogene Funktionen gleichen Grades heißen homogen. Wenn ab ≠ 0, multipliziere die erste Gleichung mit b, die zweite mit a und du-

wir vergleichen eins miteinander - wir bekommen ein gleichwertiges System

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

Die erste Gleichung durch Änderung der Variablen t =

(oder t =

) reduziert zu

Gleichung mit einer Unbekannten.

Wenn a = 0

(b = 0) , dann wird die Gleichung f (x ,y ) = 0(g (x ,y ) = 0) durch Ersetzen

Variablen t =

(oder t =

) reduziert sich auf eine Gleichung mit einer Unbekannten

−xy+y

21 ,

Beispiel 20. (Staatliche Universität Moskau, 2001, Fachbereich Chemie) Lösen Sie das System

− 2xy + 15= 0.

Studienjahr 2012-2013 Jahr, Nr. 1, 11 Zellen. Mathematik. Algebraische Gleichungen, Ungleichungen, Systeme

− xy + y2 = 21,

− xy +y 2

y2 − 2xy

-2xy = -15

2xy = − 15

x ≠ 0, y ≠ 0;

19 ± 11

5x2 - 19xy + 12y2 = 0 5

− 19

12 = 0

-2xy = -15

x=3y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3;−

3 ) ,(4; 5) ,

(− 4;− 5) .♦

§6. Symmetrische Systeme

f(x,y)

namens

symmetrisch,

f(x,y) = f(y,x) .

f(x, y) = a

Gleichungssystem der Form

wobei f (x ,y ) ,g (x ,y ) – symmet-

g (x, y) = b,

ric, heißt ein symmetrisches System. Solche Systeme

öfters	nur durch die Einführung von neuen	Variablen
x + y = u, xy

x 3+ x 3y 3+ y 3= 17,

Beispiel 21. Gleichungssystem lösen

x + xy+ y= 5 .

♦ Dies ist ein algebraisches (symmetrisches) System, das normalerweise gelöst wird, indem x + y = u , xy = v geändert wird. Das zu bemerken

x 3+ x 3y 3+ y 3= (x + y ) (x 2− xy + y 2) + x 3y 3=

= (x+ y) ((x+ y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u(u2 − 3 v) + v3 ,

Schreiben Sie das System in das Formular um

© 2012, ZFTSH-MIPT. Kolesnikowa Sofia Ilyinichna

Studienjahr 2012-2013 Jahr, Nr. 1, 11 Zellen. Mathematik. Algebraische Gleichungen, Ungleichungen, Systeme

− 3uv+ v

u = 5 − v,

6 =0

V=5

−5 V

v=3, u=2

(in alten Variablen)

x+y=2,

x=2-y ,

xy = 3,

y2 − 2y + 3= 0

x+y=3,

x = 3 − y,

x=2,y=1,

y −3 y +2 = 0

x=1,y=2.

xy = 2,

Antwort: (2;1) ,

(1; 2) .♦

Literatur

1. S. I. Kolesnikova "Intensivkurs zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen." Moskau, Iris - Presse;

2. "Lösung komplexer Probleme des Einheitlichen Staatsexamens" Moskau, Iris - Presse oder "Wako", 2011;

3. Magazin "Potential" №№1-2 für 2005 - Artikel von S. I. Kolesnikova "Irrationale Gleichungen" und "Irrationale Ungleichungen";

4. S. I. Kolesnikov "Irrational Equations", Moskau, 2010,

OOO „Azbuka“;

5. S. I. Kolesnikova „Irrationale Ungleichheiten“, Moskau, 2010, Azbuka LLC;

6. S. I. Kolesnikova „Gleichungen und Ungleichungen, die Module enthalten“, Moskau, 2010, Azbuka LLC.

Testfragen

1(2). Finden Sie die kleinste Länge des Intervalls, das alle Lösungen der Ungleichung 5x + 1≥ 2(x − 1) enthält.

2(2). Lösen Sie die Ungleichung x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (keine Notwendigkeit, die kubische Gleichung zu lösen, da rechts und links ein Faktor x − 2 steht).

3(2). Lösen Sie die Ungleichung 2− x ≥ x − 3.

4(2). Finden Sie die kleinste Länge der Lücke, die dazugehört

alle Lösungen der Ungleichung ernten	x2 + 5 x− 84	≤ 0 .
	(x + 13 )(x + 14 )

5(3). Finden Sie die Summe der Quadrate ganzzahliger Lösungen der Ungleichung

© 2012, ZFTSH-MIPT. Kolesnikowa Sofia Ilyinichna

Studienjahr 2012-2013 Jahr, Nr. 1, 11 Zellen. Mathematik. Algebraische Gleichungen, Ungleichungen, Systeme

4 −x −8 +x ≤x +6 .

6(3). Lösen Sie die Ungleichung 5+ x − 8− x ≤ 3− x .

7(3). Löse die Ungleichung		-x3 -x -1			≤x.
						9 − 4x − (x + 3) )
8(3). Löse die Ungleichung		4 − x − (x +2 ) ) (					≤ 0.
			(x + 1 )(x − 2 )(x − 3 )

9(4). Finden Sie die kleinste Länge der Lücke, die dazugehört

alle Lösungen der Ungleichung ernten
			x+5				x+2				144-x< 0.
			X-2				4 x −5		6x - 6

10(2). Finden Sie die kleinste Länge des Intervalls, das alle Lösungen der Ungleichung 8x − 8≤ 32+ 4x − x 2 enthält.

11(4). Finden Sie die Summe der Quadrate aller ganzzahligen Lösungen der Nicht-

2(2). Finden Sie das kürzeste Intervall, das enthält
			(x − 1 )3 (x + 3 )
alle Lösungen der Ungleichung										≤ 0 .
			2x − 1				x − 2		) (x − 1 )

3(2). Löse die Ungleichung

4 (x− 3 ) 4 ≥ 4 (x− 7 ,5 ) 4 .

4(4). Löse die Ungleichung

x2 + 3 x− 4

x2−16

2x 2 + 3x − 20

5(3). Lösen Sie die Ungleichung (x 2	X +1 ) 2 −2 x 3 +x 2 +x −3 x 2		≥ 0 .
4 − 2x − 1 ≤ 3.	Aufgaben
	- 5x + 6+ 9 - 2x - 5 Studienjahr 2012-2013 Jahr, Nr. 1, 11 Zellen. Mathematik. Algebraische Gleichungen, Ungleichungen, Systeme 7(4). Finden Sie alle Parameterwerte a , für die jeweils Funktion f (x) \u003d x 2 + 4x + x2− x − 1 − a akzeptiert nur nicht negativ solide Werte. 8(4). Lösen Sie die Gleichung 4 x − 3 x − 1 5x + 14− 3 5x + 14 - 1 9(4). Löse die Gleichung x 2− 5 + x 2 −3 \u003d x +1 + x + 3 . 24 - x2 9 2x 10(3). Löse die Ungleichung ≥ 0 . x2 − 4 7 x − 10 11(3). Drei Fahrer starten gleichzeitig vom gleichen Punkt auf der Strecke und fahren mit konstanter Geschwindigkeit in die gleiche Richtung. Der erste Rennfahrer holte zum ersten Mal den zweiten ein, fuhr seine fünfte Runde an einem Punkt genau gegenüber dem Start, und eine halbe Stunde später holte er zum zweiten Mal den dritten Rennfahrer ein, den Startmoment nicht mitgerechnet . Der zweite Fahrer holte den dritten 3 Stunden nach dem Start erstmals ein. Wie viele Runden pro Stunde fährt der erste Fahrer, wenn der zweite die Runde in mindestens zwanzig Minuten absolviert? © 2012, ZFTSH-MIPT. Kolesnikowa Sofia Ilyinichna

Einleitung Das Problem meines Projektes ist, dass die Fähigkeit zum Lösen verschiedener Gleichungssysteme für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung erforderlich ist und ihnen im Laufe des Gymnasiums nicht genügend Zeit gegeben wird, sich mit dieser Thematik tiefer zu beschäftigen. Der Zweck der Arbeit: Vorbereitung auf die erfolgreiche Abgabe der Prüfung. Aufgaben der Arbeit: Erweitern Sie Ihre Kenntnisse im Bereich der Mathematik bezogen auf den Begriff „Symmetrie“. Verbessern Sie Ihre mathematische Kultur, indem Sie das Konzept der "Symmetrie" beim Lösen von Gleichungssystemen, die als symmetrisch bezeichnet werden, sowie bei anderen mathematischen Problemen verwenden.

Das Konzept der Symmetrie. Symmetrie - (altgriechisch συμμετρία) im weitesten Sinne - Unveränderlichkeit unter allen Transformationen. So bedeutet beispielsweise die Kugelsymmetrie eines Körpers, dass sich das Aussehen des Körpers nicht ändert, wenn er um beliebige Winkel im Raum gedreht wird. Bilaterale Symmetrie bedeutet, dass rechts und links in Bezug auf eine Ebene gleich aussehen.

Problemlösung mit Symmetrie. Aufgabe 1 Zwei Personen legen abwechselnd identische Münzen auf einen runden Tisch, wobei sich die Münzen nicht gegenseitig verdecken sollten. Derjenige, der keinen Zug machen kann, verliert. Wer gewinnt, wenn er richtig gespielt wird? (Mit anderen Worten, welcher Spieler hat eine Gewinnstrategie?)

Methoden zur Lösung symmetrischer Systeme. Symmetrische Systeme können durch die Änderung von Variablen gelöst werden, die die wichtigsten symmetrischen Polynome sind. Ein symmetrisches System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten x und y wird durch Einsetzen von u = x + y, v = xy gelöst.

Beispiel Nr. 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 = 78, 2x - 3xy + 2y + 8 = 0 Unter Verwendung der grundlegenden symmetrischen Polynome kann das System in der folgenden Form geschrieben werden: 3uv - 2v = 78, 2u - 3v = - 8. Wenn wir u = aus der zweiten Gleichung ausdrücken und in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir 9v2– 28v – 156 = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung v 1 = 6 und v 2 = - ermöglichen es uns, die entsprechenden Werte u1 = zu finden 5, u2= - aus dem Ausdruck u = .

Lassen Sie uns nun die folgende Menge von Systemen lösen Lassen Sie uns nun die folgende Menge von Systemen lösen x + y = 5 und x + y = - , xy = 6 xy = - . x \u003d 5 - y und y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5 - y und y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -. x \u003d 5 - y und y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3 und x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= Antwort: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Theoreme zur Lösung symmetrischer Systeme. Satz 1. (über symmetrische Polynome) Jedes symmetrische Polynom in zwei Variablen kann als Funktion von zwei grundlegenden symmetrischen Polynomen dargestellt werden Mit anderen Worten, für jedes symmetrische Polynom f (x, y) gibt es eine Funktion von zwei Variablen φ (u, v) so dass

Satz 2. (über symmetrische Polynome) Satz 2. (über symmetrische Polynome) Jedes symmetrische Polynom in drei Variablen kann als Funktion von drei grundlegenden symmetrischen Polynomen dargestellt werden: Mit anderen Worten, für jedes symmetrische Polynom gibt es f (x, y). eine solche Funktion von drei Variablen θ (u, v, w) so dass

Komplexere symmetrische Systeme - Systeme mit dem Modul: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y-1 | = 2. Betrachten Sie dieses System getrennt für x< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) für x ≤ y< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) das System hat die Form - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2 oder - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, woraus wir x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1 finden. Das zweite Zahlenpaar gehört zum betrachteten Bereich, dh es ist eine Lösung zu diesem System.

Wenn x ≥ 1, dann: Wenn x ≥ 1, dann: a) x > y und y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y und y ≥ 1 hat das System die Form x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, oder x - y + y 2 = 3, x + y = 4, woraus wir x finden = 1, y = 3. Dieses Zahlenpaar gehört nicht zum betrachteten Bereich;

c) für x ≤ y (dann y ≥ 1) hat das System die Form c) für x ≤ y (dann y ≥ 1) hat das System die Form - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, oder - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, woraus wir x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8 finden; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Diese Zahlenpaare gehören nicht zum betrachteten Bereich. Also x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. Antwort: (- 1; 1); (elf).

Fazit Mathematik entwickelt das menschliche Denken, lehrt durch Logik, verschiedene Lösungen zu finden. Nachdem ich gelernt hatte, symmetrische Systeme zu lösen, wurde mir klar, dass sie nicht nur zur Vervollständigung bestimmter Beispiele verwendet werden können, sondern dass ich auch verschiedene Arten von Problemen lösen kann. Ich denke, dass das Projekt nicht nur mir zugute kommen kann. Für diejenigen, die sich ebenfalls mit diesem Thema vertraut machen wollen, wird meine Arbeit eine gute Hilfe sein.

Liste der verwendeten Literatur: Bashmakov M.I., "Algebra and the Beginnings of Analysis", 2. Auflage, Moskau, "Prosveshchenie", 1992, 350 Seiten. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "Algebra and elementary functions", Verzeichnis; dritte Auflage, überarbeitet und erweitert; Kyiv, Naukova, Dumka, 1987, 648 Seiten Sharygin I. F., „Mathematics for high school students“, Moskau, Drofa Verlag, 1995, 490 Seiten Internetquellen: http://www.college.en/

Die Arbeit kann für den Unterricht und Referate zum Fach "Mathematik" verwendet werden

Vorgefertigte Mathe-Präsentationen werden als visuelle Hilfsmittel verwendet, die es einem Lehrer oder Elternteil ermöglichen, das zu lernende Thema aus dem Lehrbuch anhand von Folien und Tabellen zu demonstrieren, Beispiele für das Lösen von Problemen und Gleichungen zu zeigen und Wissen zu testen. In diesem Bereich der Website können Sie viele vorgefertigte Präsentationen in Mathematik für Schüler der Klassen 1,2,3,4,5,6 sowie Präsentationen in höherer Mathematik für Universitätsstudenten finden und herunterladen.

Als ich zusätzliche Literatur zum Lösen von Gleichungssystemen studierte, stieß ich auf eine neue Art von Systemen - symmetrisch. Und ich habe mir ein Ziel gesetzt:

Wissenschaftliche Informationen zum Thema "Gleichungssysteme" zusammenfassen.

Verstehen und lernen Sie, wie Sie die Art und Weise der Einführung neuer Variablen lösen können;

3) Betrachten Sie die wichtigsten Theorien zu symmetrischen Gleichungssystemen

4) Lernen Sie, symmetrische Gleichungssysteme zu lösen.

Geschichte der Lösung von Gleichungssystemen.

Die Eliminierung von Unbekannten aus linearen Gleichungen wird seit langem verwendet. Im 17.-18. Jahrhundert. in. Ausschlusstechniken wurden von Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange entwickelt.

In der modernen Notation hat das System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten die Form: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 Lösungen dieses Systems werden durch Formeln ausgedrückt.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Dank der im 17. Jahrhundert geschaffenen Koordinatenmethode. Fermat und Descartes wurde es möglich, Gleichungssysteme grafisch zu lösen.

In alten babylonischen Texten, die 3-2 Jahrtausende v. Chr. Geschrieben wurden. e. , enthält viele Probleme, die durch das Erstellen von Gleichungssystemen gelöst werden, in denen auch Gleichungen zweiten Grades eingeführt werden.

Beispiel 1:

Ich habe die Flächen meiner beiden Quadrate zusammengezählt: 25. Die Seite des zweiten Quadrats ist gleich der Seite des ersten und 5 weitere Das entsprechende Gleichungssystem in der entsprechenden Notation sieht so aus: x2 + y2 = 25, y = x = 5

Diophantus, der für viele Unbekannte keine Notation hatte, gab sich große Mühe, die Unbekannten so zu wählen, dass die Lösung des Systems auf die Lösung einer einzigen Gleichung reduziert wurde.

Beispiel #2:

"Finde zwei natürliche Zahlen und weiß, dass ihre Summe 20 und die Summe ihrer Quadrate 208 ist."

Das Problem wurde auch gelöst, indem ein Gleichungssystem erstellt wurde, x + y = 20, aber x2 + y2 = 208 gelöst

Diophantus, der als unbekannte Hälfte die Differenz der gewünschten Zahlen wählt, d.h.

(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- erfüllt nicht die Bedingung des Problems, also wenn z = 2x = 12 und y = 8

Konzepte eines Systems algebraischer Gleichungen.

Bei vielen Problemen kann es notwendig sein, mehrere unbekannte Größen zu finden, in dem Wissen, dass andere Größen, die mit ihrer Hilfe gebildet werden (Funktionen von Unbekannten), einander oder einigen gegebenen Größen gleich sind. Betrachten wir ein einfaches Beispiel.

Ein rechteckiges Grundstück mit einer Fläche von 2400 m2 ist mit einem 200 m langen Zaun eingezäunt. Finden Sie die Länge und Breite des Segments. Tatsächlich ist das "algebraische Modell" dieses Problems ein System aus zwei Gleichungen und einer Ungleichung.

Mögliche Einschränkungen-Ungleichheiten sollten immer im Auge behalten werden. Beim Lösen von Aufgaben zur Erstellung von Gleichungssystemen. Aber die Hauptsache ist immer noch, die Gleichungen selbst zu lösen. Ich erkläre Ihnen die angewandten Methoden.

Beginnen wir mit Definitionen.

Ein Gleichungssystem ist ein Satz von mehreren (mehr als einer) Gleichungen, die durch eine geschweifte Klammer verbunden sind.

Die geschweifte Klammer bedeutet, dass alle Gleichungen des Systems gleichzeitig ausgeführt werden müssen, und zeigt, dass Sie ein Zahlenpaar (x; y) finden müssen, das jede Gleichung in eine wahre Gleichheit umwandelt.

Eine Lösung für ein System ist ein Zahlenpaar x und y, das, wenn es in dieses System eingesetzt wird, jede seiner Gleichungen in eine echte numerische Gleichheit verwandelt.

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet, alle seine Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.

Substitutionsmethode.

Die Substitutionsmethode besteht darin, dass in einer der Gleichungen eine Variable durch eine andere ausgedrückt wird. Der resultierende Ausdruck wird in eine andere Gleichung eingesetzt, die sich dann in eine Gleichung mit einer Variablen verwandelt, und dann wird sie gelöst. Die resultierenden Werte dieser Variablen werden in eine beliebige Gleichung des ursprünglichen Systems eingesetzt und die zweite Variable wird gefunden.

Algorithmus.

1. Drücken Sie y durch x aus einer Gleichung des Systems aus.

2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle von y in eine andere Gleichung des Systems ein.

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung nach x auf.

4. Setze der Reihe nach jede der Wurzeln der im dritten Schritt gefundenen Gleichung anstelle von x in den im ersten Schritt erhaltenen Ausdruck y bis x ein.

5) Schreiben Sie die Antwort in Form von Wertepaaren (x; y) auf.

Beispiel Nr. 1 y \u003d x - 1,

Ersetzen Sie in der zweiten Gleichung y \u003d x - 1, wir erhalten 5x + 2 (x - 1) \u003d 16, von denen x \u003d 2. Wir ersetzen den resultierenden Ausdruck in der ersten Gleichung: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.

Antwort: (2; 1).

Beispiel #2:

8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2

2x - 21 Jahre \u003d 2 16 Jahre - 8 - 21 Jahre \u003d 2

5 Jahre \u003d 10 x \u003d 8 Jahre - 4, y \u003d -2

2x - 21y \u003d 2

2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20

2 (8y - 4) - 21y \u003d 2 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2

Antwort: (-20; -2).

Beispiel #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - quadratische Gleichung y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8

Daher (-2; -4); (4; 8) sind Lösungen dieses Systems.

Additionsmethode.

Die Additionsmethode besteht darin, dass wir, wenn ein bestimmtes System aus Gleichungen besteht, die zusammen eine Gleichung mit einer Variablen bilden, durch Lösen dieser Gleichung die Werte einer der Variablen erhalten. Der Wert der zweiten Variablen wird wie bei der Substitutionsmethode gefunden.

Algorithmus zum Lösen von Systemen nach dem Additionsverfahren.

1. Gleiche Module von Koeffizienten für eine der Unbekannten aus.

2. Addieren oder subtrahieren Sie die resultierenden Gleichungen und finden Sie eine Unbekannte.

3. Setzen Sie den gefundenen Wert in eine der Gleichungen des ursprünglichen Systems ein und finden Sie die zweite Unbekannte.

Beispiel 1. Lösen Sie das Gleichungssystem durch Hinzufügen von: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10

Wenn wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren, erhalten wir

Wir drücken aus dem zweiten Ausdruck x \u003d 20 - y aus

Ersetzen Sie y \u003d 5 in diesen Ausdruck: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.

Antwort: (15; 5).

Beispiel #2:

Stellen wir die Gleichungen des vorgeschlagenen Systems als Differenz dar, erhalten wir

7y = 21, womit y = 3

Setzen Sie diesen Wert in den Wert ein, der durch die zweite Gleichung des Systems x = ausgedrückt wird, erhalten wir x = 4.

Antwort: (4; 3).

Beispiel #3:

2x + 11y = 15,

10x - 11y = 9

Wenn wir diese Gleichungen hinzufügen, haben wir:

2x + 10x = 15 + 9

12x \u003d 24 x \u003d 2, wenn wir diesen Wert in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir:

10 * 2 - 11y \u003d 9, von wo y \u003d 1.

Die Lösung dieses Systems ist das Paar: (2; 1).

Grafischer Weg, um Gleichungssysteme zu lösen.

Algorithmus.

1. Erstellen Sie Graphen von jeder der Gleichungen des Systems.

2. Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts der konstruierten Linien.

Der Fall der gegenseitigen Anordnung von Linien in der Ebene.

1. Wenn sich die Geraden schneiden, also einen gemeinsamen Punkt haben, dann hat das Gleichungssystem eine Lösung.

2. Wenn die Geraden parallel sind, also keine gemeinsamen Punkte haben, dann hat das Gleichungssystem keine Lösungen.

3. Wenn die Geraden zusammenfallen, also viele Punkte haben, dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Beispiel 1:

Lösen Sie grafisch das Gleichungssystem x - y \u003d -1,

Wir drücken aus der ersten und zweiten Gleichung y aus: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x

Lassen Sie uns Graphen für jede der Gleichungen des Systems erstellen:

1) y \u003d 1 + x - der Graph der Funktion ist eine gerade Linie x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y \u003d 4 - 2x - der Graph der Funktion ist eine gerade Linie x 0 1 y 4 2

Antwort: (1; 2).

Beispiel #2: y x ​​+ 2y = 6,

4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - der Graph der Funktion ist eine gerade Linie x 0 2 y 3 2 y \u003d - der Graph der Funktion ist eine gerade Linie x 0 2 y 2 1

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

Beispiel Nr. 3: y x ​​​​- 2y \u003d 2,

3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - der Graph der Funktion ist eine gerade Linie x 0 2 y -1 0

Antwort: Das System hat unendlich viele Lösungen.

Verfahren zur Einführung neuer Variablen.

Die Methode zum Einführen neuer Variablen besteht darin, dass eine neue Variable in nur eine Gleichung oder zwei neue Variablen für beide Gleichungen gleichzeitig eingeführt wird, dann die Gleichung oder Gleichungen in Bezug auf die neuen Variablen gelöst werden, wonach ein einfacheres System gelöst werden muss von Gleichungen, aus denen wir die gewünschte Lösung finden.

Beispiel 1:

x + y = 5

Bezeichne = z, dann =.

Die erste Gleichung hat die Form z + = , sie ist äquivalent zu 6z - 13 + 6 = 0. Nachdem wir die resultierende Gleichung gelöst haben, haben wir z = ; z=. Dann = oder = , mit anderen Worten, die erste Gleichung wird in zwei Gleichungen aufgeteilt, daher haben wir zwei Systeme:

x + y = 5 x + y = 5

Die Lösungen dieser Systeme sind die Lösungen des gegebenen Systems.

Die Lösung des ersten Systems ist das Paar: (2; 3), und die zweite ist das Paar (3; 2).

Daher sind die Lösungen des Systems + = , x + y = 5

Die Paare sind (2; 3); (3; 2)

Beispiel #2:

Sei = X, a = Y.

X \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1

5X - 2Y \u003d 1 2,5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1

20 - 7,5 HE - 2 HE \u003d 1

X \u003d, -9,5Y \u003d -19

5 * - 2Y = 1 Y = 2

Machen wir einen Ersatz.

2 x = 1, y = 0,5

Antwort: (1; 0,5).

Symmetrische Gleichungssysteme.

Ein System mit n Unbekannten heißt symmetrisch, wenn es sich nicht ändert, wenn die Unbekannten umgeordnet werden.

Ein symmetrisches System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten x und y wird durch Einsetzen von u = x + y, v = xy gelöst. Beachten Sie, dass die in symmetrischen Systemen auftretenden Ausdrücke in Form von u und v ausgedrückt werden. Lassen Sie uns einige solcher Beispiele geben, die zweifellos für die Lösung vieler symmetrischer Systeme interessant sind: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v usw.

Das symmetrische System aus drei Gleichungen für die Unbekannten x y, z wird durch Einsetzen von x + y + z = u, xy + yz + xz = w gelöst. Wenn u, v, w gefunden werden, dann wird die kubische Gleichung t2 – ut2 + vt – w = 0 aufgestellt, deren Wurzeln t1, t2, t3 in verschiedenen Permutationen Lösungen des ursprünglichen Systems sind. Die gebräuchlichsten Ausdrücke in solchen Systemen werden in Bezug auf u, v, w wie folgt ausgedrückt: x2 + y2 + z2 = u2 – 2v x3 + y3 + z3 = u3 – 3uv + 3w

Beispiel #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Sei x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Machen wir einen Ersatz.

Antwort: (1; 3); (3; 1).

Beispiel #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Sei x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Machen wir einen Ersatz.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Antwort: (1; 3); (3; 1).

Beispiel #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Sei x = y = u, xy = v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Machen wir einen Ersatz.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Antwort: (1; 3); (3; 1).

Beispiel #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Sei x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Machen wir einen Ersatz.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Antwort: (4; 1); (vierzehn).

Beispiel #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Nehmen wir eine Änderung der Unbekannten vor, das System nimmt die Form u2 + v = 49, u + v = 23 an

Wenn wir diese Gleichungen addieren, erhalten wir u2 + u - 72 = 0 mit Wurzeln u1 = 8, u2 = -9. Dementsprechend ist v1 = 15, v2 = 32. Es bleibt noch die Systemmenge x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32 zu lösen

Das System x + y = 8 hat Lösungen x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

Das System x + y = -9 hat keine reellen Lösungen.

Antwort: (3; 5), (5; 3).

Beispiel Nummer 6. Lösen Sie das Gleichungssystem.

2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Unter Verwendung der grundlegenden symmetrischen Polynome u = y + x und v = xy erhalten wir das folgende Gleichungssystem

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

Durch Einsetzen des Ausdrucks v = –3 – u aus der zweiten Gleichung des Systems in die erste Gleichung erhalten wir die folgende Gleichung 2u2 + 7u + 5 = 0, deren Wurzeln u1 = –1 und u2 = –2,5 sind; und dementsprechend werden die Werte v1 = -2 und v2 = -0,5 aus v = -3 - u erhalten.

Jetzt muss noch der folgende Satz von Systemen x + y \u003d -1 und x + y \u003d -2,5, xy \u003d -2 xy \u003d -0,5 gelöst werden

Die Lösungen dieser Reihe von Systemen und damit des ursprünglichen Systems (aufgrund ihrer Äquivalenz) lauten wie folgt: (1; -2), (-2; 1), (;).

Beispiel #7:

3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,

2x - 3xy + 2y + 8 = 0

Unter Verwendung der grundlegenden symmetrischen Polynome kann das System in der folgenden Form geschrieben werden

3uv - 2v = 78,

Wenn wir u = aus der zweiten Gleichung ausdrücken und in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir 9v2 - 28v - 156 = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung v1 = 6 und v2 = - ermöglichen es uns, die entsprechenden Werte u1 = 5 zu finden, u2 = - aus dem Ausdruck u =.

Wir lösen nun den folgenden Satz von Systemen x + y \u003d 5 und x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y und y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y und y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -.

x = 5 – y und y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 und x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Antwort: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Fazit.

Beim Schreiben des Artikels lernte ich verschiedene Arten von Systemen algebraischer Gleichungen kennen. Zusammengefasste wissenschaftliche Informationen zum Thema "Gleichungssysteme".

Verstanden und gelernt, wie man durch Einführung neuer Variablen löst;

Die wichtigsten Theorien zu symmetrischen Gleichungssystemen überprüft

Sie haben gelernt, symmetrische Gleichungssysteme zu lösen.

Startseite > Lösung

Rationale Gleichungen und Ungleichungen

I. Rationale Gleichungen.

Lineare Gleichungen.

Systeme linearer Gleichungen.

Gleichungen zurückgeben.

Vietas Formel für Polynome höheren Grades.

Gleichungssysteme zweiten Grades.

Verfahren zur Einführung neuer Unbekannter beim Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen.

Homogene Gleichungen.

Lösung symmetrischer Gleichungssysteme.

Gleichungen und Gleichungssysteme mit Parametern.

Graphisches Verfahren zum Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen.

Gleichungen, die das Modulzeichen enthalten.

Grundlegende Methoden zum Lösen rationaler Gleichungen

II. Rationale Ungleichheiten.

Eigenschaften äquivalenter Ungleichungen.

Algebraische Ungleichungen.

Intervallmethode.

Bruchrationale Ungleichungen.

Ungleichungen, die die Unbekannte unter dem Betragszeichen enthalten.

Ungleichungen mit Parametern.

Systeme rationaler Ungleichungen.

Grafische Lösung von Ungleichungen.

III. Verifizierungstest.

Rationale Gleichungen

Ansichtsfunktion

P(x) \u003d ein 0 x n + ein 1 x n - 1 + ein 2 x n - 2 + ... + ein n - 1 x + ein n,

wobei n eine natürliche Zahl ist, a 0 , a 1 ,…, a n einige reelle Zahlen sind, nennt man eine ganze rationale Funktion.

Eine Gleichung der Form P(x) = 0, wobei P(x) eine ganze rationale Funktion ist, wird eine ganze rationale Gleichung genannt.

Gleichung eingeben

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,

wobei P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) ganze rationale Funktionen sind, nennt man eine rationale Gleichung .

Das Lösen der rationalen Gleichung P (x) / Q (x) = 0, wobei P (x) und Q (x) Polynome sind (Q (x)  0), reduziert sich auf das Lösen der Gleichung P (x) = 0 und das Überprüfen ob die Wurzeln die Bedingung Q (x)  0 erfüllen.

Lineare Gleichungen.

Eine Gleichung der Form ax+b=0, wobei a und b einige Konstanten sind, wird als lineare Gleichung bezeichnet.

Wenn a0, dann hat die lineare Gleichung eine einzelne Wurzel: x = -b /a.

Wenn a = 0; b0, dann hat die lineare Gleichung keine Lösungen.

Wenn a = 0; b=0, wenn man die ursprüngliche Gleichung in die Form ax = -b umschreibt, ist es leicht zu sehen, dass jedes x eine Lösung einer linearen Gleichung ist.

Die Geradengleichung hat die Form: y = ax + b.

Wenn die Gerade durch einen Punkt mit den Koordinaten X 0 und Y 0 verläuft, dann erfüllen diese Koordinaten die Geradengleichung, d. h. Y 0 = aX 0 + b.

Beispiel 1.1. löse die Gleichung

2x - 3 + 4(x - 1) = 5.

Entscheidung. Lassen Sie uns die Klammern einzeln erweitern, ähnliche Terme angeben und x finden: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Beispiel 1.2. löse die Gleichung

2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.

Entscheidung. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.

Antwort: .

Beispiel 1.3. Löse die Gleichung.

2x + 3 - 6(x - 1) = 4(x - 1) + 5.

Entscheidung. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 - 9,

Antwort: Beliebige Zahl.

Systeme linearer Gleichungen.

Gleichung eingeben

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + ein n x n = b,

wobei a 1 , b 1 , … ,a n , b einige Konstanten sind, heißt eine lineare Gleichung mit n Unbekannten x 1 , x 2 , …, x n .

Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle Gleichungen des Systems linear sind. Wenn das System aus n Unbekannten besteht, dann sind die folgenden drei Fälle möglich:

das System hat keine Lösungen;

das System hat genau eine Lösung;

Das System hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 2.4. Gleichungssystem lösen

Entscheidung. Ein System linearer Gleichungen kann durch die Substitutionsmethode gelöst werden, die darin besteht, eine Unbekannte durch andere Unbekannte einer beliebigen Gleichung des Systems auszudrücken und dann den Wert dieser Unbekannten in den Rest der Gleichungen einzusetzen.

Aus der ersten Gleichung drücken wir aus: x = (8 - 3y) / 2. Wir setzen diesen Ausdruck in die zweite Gleichung ein und erhalten ein Gleichungssystem

X \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. Aus der zweiten Gleichung erhalten wir y \u003d 2. Unter Berücksichtigung dessen aus der ersten Gleichung x \u003d 1. Antwort: (1; 2) Beispiel 2.5. Lösen Sie ein Gleichungssystem

Entscheidung. Das System hat keine Lösungen, da zwei Gleichungen des Systems nicht gleichzeitig erfüllt werden können (von der ersten Gleichung x + y = 3 und von der zweiten x + y = 3,5).

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

Beispiel 2.6. Gleichungssystem lösen

Entscheidung. Das System hat unendlich viele Lösungen, da die zweite Gleichung aus der ersten durch Multiplikation mit 2 erhalten wird (d. h. es gibt tatsächlich nur eine Gleichung mit zwei Unbekannten).

Antwort: Unendlich viele Lösungen.

Beispiel 2.7. Gleichungssystem lösen

x + y - z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Entscheidung. Beim Lösen von linearen Gleichungssystemen ist es zweckmäßig, die Gauß-Methode zu verwenden, die darin besteht, das System in eine Dreiecksform umzuwandeln.

Wir multiplizieren die erste Gleichung des Systems mit - 2 und addieren das mit der zweiten Gleichung erhaltene Ergebnis und erhalten - 3y + 6z \u003d - 3. Diese Gleichung kann umgeschrieben werden als y - 2z \u003d 1. Hinzufügen der ersten Gleichung mit dem dritten erhalten wir 7y \u003d 7 oder y = 1.

Dadurch erhielt das System eine dreieckige Form

x + y - z = 2,

Setzen wir y = 1 in die zweite Gleichung ein, finden wir z = 0. Setzen wir y = 1 und z = 0 in die erste Gleichung ein, finden wir x = 1. Antwort: (1; 1; 0) Beispiel 2.8. für welche Werte des Parameters a das Gleichungssystem

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

hat unendlich viele Lösungen? Entscheidung. Aus der ersten Gleichung drücken wir x aus:

x = - (a / 2)y + a / 2 +1.

Setzen wir diesen Ausdruck in die zweite Gleichung ein, erhalten wir

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ja(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ja(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Bei der Analyse der letzten Gleichung stellen wir fest, dass sie für a = 3 die Form 0y = 0 hat, d.h. es ist für alle Werte von y erfüllt. Antwort: 3.

Quadratische Gleichungen und auf sie reduzierende Gleichungen.

Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei a, b und c Zahlen sind (a0);

x ist eine Variable, die als quadratische Gleichung bezeichnet wird.

Die Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung.

Zuerst dividieren wir beide Seiten der Gleichung ax 2 + bx + c = 0 durch a - dies ändert ihre Wurzeln nicht. Um die resultierende Gleichung zu lösen

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

Wählen Sie ein volles Quadrat auf der linken Seite aus

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).

Der Kürze halber bezeichnen wir den Ausdruck (b 2 - 4ac) mit D. Dann nimmt die resultierende Identität die Form an

Drei Fälle sind möglich:

wenn die Zahl D positiv ist (D > 0), dann ist es in diesem Fall möglich, die Quadratwurzel von D zu ziehen und D als D = (D) 2 zu schreiben. Dann

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , also nimmt die Identität die Form an

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2 .

Nach der Formel für die Differenz von Quadraten leiten wir hieraus ab:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).

Satz: Wenn die Identität gilt

ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),

dann hat die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c \u003d 0 für X 1  X 2 zwei Wurzeln X 1 und X 2 und für X 1 \u003d X 2 - nur eine Wurzel X 1.

Aufgrund dieses Satzes folgt aus der oben hergeleiteten Identität, dass die Gleichung

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

und somit hat die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 zwei Wurzeln:

X 1 \u003d (-b +  D) / 2a; X 2 \u003d (-b -  D) / 2a.

Also x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1)(x - x2).

Normalerweise werden diese Wurzeln in einer Formel geschrieben:

wo b 2 - 4ac \u003d D.

wenn die Zahl D gleich Null ist (D = 0), dann die Identität

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

nimmt die Form x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 an.

Daraus folgt, dass für D = 0 die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 eine Wurzel der Multiplizität 2 hat: X 1 = - b / 2a

3) Wenn die Zahl D negativ ist (D< 0), то – D >0, und damit der Ausdruck

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

ist die Summe zweier Terme, von denen einer nicht negativ und der andere positiv ist. Eine solche Summe kann nicht gleich Null sein, so die Gleichung

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

hat keine wirklichen Wurzeln. Auch die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 gilt nicht.

Um die quadratische Gleichung zu lösen, sollte man also die Diskriminante berechnen

D \u003d b 2 - 4ac.

Wenn D = 0, dann hat die quadratische Gleichung eine eindeutige Lösung:

Wenn D > 0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln:

X 1 \u003d (-b + D) / (2a); X 2 \u003d (-b - D) / (2a).

Wenn d< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Wenn einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, kann die quadratische Gleichung ohne Berechnung der Diskriminante gelöst werden:

b = 0; c  0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Die Wurzeln einer allgemeinen quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 werden durch die Formel gefunden

Eine quadratische Gleichung, bei der der Koeffizient bei x 2 gleich 1 ist, heißt reduziert. Üblicherweise wird die gegebene quadratische Gleichung wie folgt bezeichnet:

x 2 + px + q = 0.

Satz von Vieta.

Wir haben die Identität abgeleitet

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d (x - x1) (x - x2),

wobei X 1 und X 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c =0 sind. Lassen Sie uns die Klammern auf der rechten Seite dieser Identität erweitern.

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .

Daraus folgt, dass X 1 + X 2 = - b / a und X 1 X 2 = c / a. Wir haben den folgenden Satz bewiesen, der erstmals von dem französischen Mathematiker F. Viet (1540 - 1603) aufgestellt wurde:

Satz 1 (Vieta). Die Summe der Wurzeln der quadratischen Gleichung ist gleich dem Koeffizienten bei X, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen und dividiert durch den Koeffizienten bei X 2; das Produkt der Wurzeln dieser Gleichung ist gleich dem freien Term dividiert durch den Koeffizienten bei X 2 .

Satz 2 (umgekehrt). Wenn die Gleichheiten

X 1 + X 2 \u003d - b / a und X 1 X 2 \u003d c / a,

dann sind die Zahlen X 1 und X 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0.

Kommentar. Die Formeln X 1 + X 2 \u003d - b / a und X 1 X 2 \u003d c / a bleiben auch dann wahr, wenn die Gleichung ax 2 + bx + c \u003d 0 eine Wurzel X 1 der Multiplizität 2 hat, wenn wir setzen die angegebenen Formeln X 2 = X 1 ein. Daher wird allgemein angenommen, dass für D = 0 die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 zwei Wurzeln hat, die miteinander übereinstimmen.

Bei der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit dem Vieta-Theorem ist es nützlich, die Beziehungen zu verwenden

(1 / X 1) + (1 / X 2) \u003d (X 1 + X 2) / X 1 X 2;

X 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 \u003d (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 \u003d ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =

\u003d (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).

Beispiel 3.9. Lösen Sie die Gleichung 2x 2 + 5x - 1 = 0.

Entscheidung. D = 25 – 42 (– 1) = 33 > 0;

X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

Antwort: X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

Beispiel 3.10. Löse die Gleichung x 3 - 5x 2 + 6x = 0

Entscheidung. Zerlegen wir die linke Seite der Gleichung x(x 2 - 5x + 6) = 0,

daher x \u003d 0 oder x 2 - 5x + 6 \u003d 0.

Beim Lösen der quadratischen Gleichung erhalten wir X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3.

Antwort: 0; 2; 3.

Beispiel 3.11.

x 3 - 3x + 2 = 0. Lösung. Schreiben wir die Gleichung um und schreiben -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0, und jetzt gruppieren wir x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x - 1) (x( x + 1) - 2) = 0,x - 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. Antwort: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = - 2. Beispiel 3.12. Lösen Sie Gleichung 7

Unterrichtsziele:

• lehrreich: Lernen, Gleichungssysteme zu lösen, die eine homogene Gleichung enthalten, symmetrische Gleichungssysteme;
• Entwicklung: Entwicklung von Denken, Aufmerksamkeit, Gedächtnis, Fähigkeit, die Hauptsache hervorzuheben;
• lehrreich: Entwicklung von Kommunikationsfähigkeiten.

Unterrichtsart: Lektion lernen neues Material.

Verwendete Lerntechnologien:

• in Gruppen arbeiten;
• Entwurfsmethode.

Ausrüstung: Computer, Multimedia-Projektor.

Eine Woche vor dem Unterricht erhalten die Studierenden Themen für kreative Aufgaben (nach Wahl).
Ich wähle. Symmetrische Gleichungssysteme. Lösungen.
II-Option. Systeme, die eine homogene Gleichung enthalten. Lösungen.

Jeder Schüler muss unter Verwendung zusätzlicher Lehrliteratur das geeignete Lehrmaterial finden, ein Gleichungssystem auswählen und es lösen.
Ein Student aus jeder Option erstellt Multimedia-Präsentationen zum Thema der kreativen Aufgabe. Der Lehrer leitet die Schüler bei Bedarf an.

I. Motivation für Lernaktivitäten der Studierenden

Einführungsrede des Lehrers
In der vorherigen Lektion haben wir die Lösung von Gleichungssystemen durch die Methode des Ersetzens von Unbekannten betrachtet. Es gibt keine allgemeine Regel für die Auswahl neuer Variablen. Bei sinnvoller Wahl der Variablen lassen sich jedoch zwei Arten von Gleichungssystemen unterscheiden:

• symmetrische Gleichungssysteme;
• Gleichungssysteme, von denen eines homogen ist.

II. Neues Material lernen

Studierende der zweiten Option berichten über ihre Hausaufgaben.

1. Slideshow einer Multimedia-Präsentation „Systeme, die eine homogene Gleichung enthalten“ (Präsentation 1).

2. Arbeiten Sie zu zweit am selben Tisch: Ein Student der zweiten Option erklärt einem Tischnachbarn die Lösung eines Systems, das eine homogene Gleichung enthält.

Bericht der Studierenden der 1. Option.

1. Slideshow der Multimedia-Präsentation „Symmetrische Gleichungssysteme“ (Präsentation 2).

Die Schüler schreiben in ihre Hefte:

2. Arbeiten Sie zu zweit am selben Tisch: Ein Student der Option I erklärt einem Tischnachbarn die Lösung eines symmetrischen Gleichungssystems.

III. Konsolidierung des studierten Materials

Arbeiten Sie in Gruppen (in einer Gruppe von 4 Studenten vereinigen Sie Studenten, die an benachbarten Tischen sitzen).
Jede der 6 Gruppen führt die folgende Aufgabe aus.

Bestimmen Sie die Art des Systems und lösen Sie es:

Die Studierenden analysieren in Gruppen Systeme, bestimmen ihren Typ und diskutieren dann in der Frontalarbeit Lösungen für Systeme.

ein System

symmetrisch führen wir neue Variablen ein x+y=u, xy=v

b) System

enthält eine homogene Gleichung.

Ein Zahlenpaar (0;0) ist keine Lösung des Systems.

IV. Kontrolle über das Wissen der Schüler

Selbständiges Arbeiten an Optionen.

Lösen Sie das Gleichungssystem:

Die Schüler geben ihre Hefte dem Lehrer zur Durchsicht ab.

V. Hausaufgaben

1. Von allen Schülern durchgeführt.

Lösen Sie das Gleichungssystem:

2. Führen Sie "starke" Schüler durch.

Lösen Sie das Gleichungssystem:

VI. Zusammenfassung der Lektion

Fragen:
Welche Arten von Gleichungssystemen hast du im Unterricht gelernt?
Welche Methode zur Lösung von Gleichungssystemen wird verwendet, um sie zu lösen?

Berichten von Noten, die Schüler während des Unterrichts erhalten haben.