Test 15 Transformation wörtlicher Ausdrücke. Potenzausdrücke (Ausdrücke mit Potenzen) und ihre Transformation

THEMA DES WAHLFACHES

UMWANDLUNG VON NUMERISCHEN UND BUCHSTABENAUSDRÜCKEN

Menge 34 Stunden

Lehrer für höhere Mathematik

Absichtserklärung "Sekundarschule Nr. 51"

Saratow, 2008

WAHLFACHPROGRAMM

"UMWANDLUNG VON NUMERISCHEN UND BUCHSTABENAUSDRÜCKEN"

Erläuterungen

In den letzten Jahren werden Abschlussprüfungen an Schulen sowie Aufnahmeprüfungen an Universitäten mit Hilfe von Tests durchgeführt. Diese Prüfungsform unterscheidet sich von der klassischen Prüfung und erfordert eine spezifische Vorbereitung. Ein Merkmal des Testens in der bisher entwickelten Form ist die Notwendigkeit, eine große Anzahl von Fragen in einem begrenzten Zeitraum zu beantworten, dh es ist erforderlich, die gestellten Fragen nicht nur zu beantworten, sondern auch schnell. Daher ist es wichtig, verschiedene Techniken zu beherrschen, Methoden, mit denen Sie das gewünschte Ergebnis erzielen können.

Bei der Lösung fast aller Schulprobleme müssen Sie einige Transformationen vornehmen. Oft wird seine Komplexität vollständig durch den Grad der Komplexität und die Menge der durchzuführenden Transformationen bestimmt. Es ist nicht ungewöhnlich, dass ein Schüler ein Problem nicht lösen kann, nicht weil er nicht weiß, wie es gelöst wird, sondern weil er nicht alle notwendigen Umformungen und Berechnungen in angemessener Zeit fehlerfrei durchführen kann.

Der Wahlpflichtkurs „Umwandlung von Zahlen- und Buchstabenausdrücken“ erweitert und vertieft das Grundprogramm in Mathematik im Gymnasium und ist für das Studium in der 11. Klasse konzipiert. Der vorgeschlagene Kurs zielt darauf ab, Rechenfähigkeiten und Denkschärfe zu entwickeln. Der Studiengang richtet sich an Studierende mit hoher oder mittlerer mathematischer Vorbildung und soll ihnen helfen, sich auf den Hochschulzugang vorzubereiten und zur Fortsetzung einer seriösen mathematischen Ausbildung beizutragen.

Ziele und Ziele:

Systematisierung, Verallgemeinerung und Erweiterung des Schülerwissens über Zahlen und Handlungen mit ihnen;

Entwicklung von Unabhängigkeit, kreativem Denken und kognitivem Interesse der Schüler;

Interessenbildung am Rechenprozess;

Anpassung der Studierenden an die neuen Regelungen zum Hochschulzugang.

Erwartete Ergebnisse:

Kenntnis der Klassifikation von Zahlen;

Verbesserung der Fähigkeiten und Fertigkeiten des schnellen Zählens;

Fähigkeit, mathematische Apparate zur Lösung verschiedener Probleme zu verwenden;

Pädagogischer und thematischer Plan

Geplant sind 34 Stunden. Es wird unter Berücksichtigung des Themas des Diploms zusammengestellt, daher werden zwei getrennte Teile betrachtet: numerische und alphabetische Ausdrücke. Nach Ermessen des Lehrers können alphabetische Ausdrücke zusammen mit numerischen in den entsprechenden Themen berücksichtigt werden.

Anzahl der Stunden

Numerische Ausdrücke

Ganze Zahlen

Methode der mathematischen Induktion

Rationale Zahlen

Dezimale periodische Brüche

Irrationale Zahlen

Wurzeln und Grade

Logarithmen

Trigonometrische Funktionen

Inverse trigonometrische Funktionen

Komplexe Zahlen

Test zum Thema "Numerische Ausdrücke"

Numerische Ausdrücke vergleichen

Wörtliche Ausdrücke

Ausdrücke mit Radikalen umwandeln

Transformation des Machtausdrucks

Konvertieren von logarithmischen Ausdrücken

Konvertieren von trigonometrischen Ausdrücken

Abschlussprüfung

Ganze Zahlen (4h)

Zahlenreihe. Fundamentalsatz der Arithmetik. NOD und NOC. Teilbarkeitszeichen. Methode der mathematischen Induktion.

Rationale Zahlen (2h)

Definition einer rationalen Zahl. Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs. Abgekürzte Multiplikationsformeln. Definition eines periodischen Bruchs. Die Regel für die Umwandlung von einem dezimalen periodischen Bruch in einen gewöhnlichen.

Irrationale Zahlen. Radikale. Grad. Logarithmen (6h)

Definition einer irrationalen Zahl. Beweis der Irrationalität einer Zahl. Irrationalität im Nenner loswerden. Reale Nummern. Grad Eigenschaften. Eigenschaften der Rechenwurzel n-ten Grades. Definition eines Logarithmus. Eigenschaften von Logarithmen.

Trigonometrische Funktionen (4h)

Zahlenkreis. Numerische Werte trigonometrischer Funktionen von Grundwinkeln. Konvertieren eines Winkels von Grad in Radiant und umgekehrt. Grundlegende trigonometrische Formeln. Gießformeln. Inverse trigonometrische Funktionen. Trigonometrische Operationen auf Bogenfunktionen. Grundlegende Beziehungen zwischen Bogenfunktionen.

Komplexe Zahlen (2h)

Das Konzept einer komplexen Zahl. Operationen mit komplexen Zahlen. Trigonometrische und Exponentialformen einer komplexen Zahl.

Zwischenprüfung (2h)

Vergleich numerischer Ausdrücke (4 Stunden)

Numerische Ungleichungen auf der Menge der reellen Zahlen. Eigenschaften numerischer Ungleichungen. Unterstützung von Ungleichheiten. Methoden zum Beweis numerischer Ungleichungen.

Buchstabenausdrücke (8h)

Regeln für die Transformation von Ausdrücken mit Variablen: Polynome; algebraische Brüche; irrationale Ausdrücke; trigonometrische und andere Ausdrücke. Beweise für Identitäten und Ungleichheiten. Ausdrücke vereinfachen.

1. Teil des Wahlfachs: „Numerische Ausdrücke“

AKTIVITÄT 1(2 Stunden)

Unterrichtsthema: Ganze Zahlen

Unterrichtsziele: Zahlenwissen der Schüler verallgemeinern und systematisieren; erinnern Sie sich an die Konzepte von GCD und NOC; Wissen über die Zeichen der Teilbarkeit erweitern; Betrachten Sie Probleme, die in ganzen Zahlen gelöst werden.

Während des Unterrichts

ich. Einführungsvortrag.

Nummernklassifizierung:

Ganze Zahlen;

Rationale Zahlen;

Reale Nummern;

Komplexe Zahlen.

Die Bekanntschaft mit der Zahlenreihe in der Schule beginnt mit dem Konzept einer natürlichen Zahl. Die Zahlen, die beim Zählen von Objekten verwendet werden, werden aufgerufen natürlich. Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Natürliche Zahlen werden in Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen unterteilt. Primzahlen haben nur zwei Teiler, einen und die Zahl selbst, während zusammengesetzte Zahlen mehr als zwei Teiler haben. Fundamentalsatz der Arithmetik heißt es: "Jede natürliche Zahl größer als 1 kann als Produkt von Primzahlen (nicht unbedingt verschiedenen) dargestellt werden, und zwar auf eindeutige Weise (bis zur Reihenfolge der Faktoren)."

Zwei weitere wichtige arithmetische Konzepte sind mit natürlichen Zahlen verbunden: der größte gemeinsame Teiler (GCD) und das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM). Jedes dieser Konzepte definiert sich tatsächlich selbst. Die Lösung vieler Probleme wird durch die Zeichen der Teilbarkeit erleichtert, die man sich merken muss.

Zeichen der Teilbarkeit durch 2 . Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade oder o ist.

Teilbarkeit durch 4 Zeichen . Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern Nullen sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden.

Zeichen der Teilbarkeit durch 8. Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern Nullen sind oder eine durch 8 teilbare Zahl bilden.

Teilbarkeitskriterien für 3 und 9. Nur solche Zahlen sind durch 3 teilbar, deren Quersumme durch 3 teilbar ist; durch 9 - nur solche, bei denen die Quersumme durch 9 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 6. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 5 . Durch 5 teilbar sind Zahlen, deren letzte Ziffer 0 oder 5 ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 25. Durch 25 teilbar sind Zahlen, deren letzte beiden Stellen Nullen sind oder eine durch 25 teilbare Zahl bilden.

Zeichen der Teilbarkeit durch 10.100.1000. Nur die Zahlen, deren letzte Ziffer 0 ist, sind durch 10 teilbar, nur die Zahlen, deren letzte zwei Ziffern 0 sind, sind durch 100 teilbar, nur die Zahlen, deren letzte drei Ziffern 0 sind, sind durch 1000 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 11 . Durch 11 sind nur solche Zahlen teilbar, bei denen die Summe der Ziffern an den ungeraden Stellen entweder gleich der Summe der Ziffern an den geraden Stellen ist oder sich von ihr um eine durch 11 teilbare Zahl unterscheidet.

In der ersten Lektion werden wir uns mit natürlichen und ganzen Zahlen befassen. ganz Zahlen sind natürliche Zahlen, ihre Gegenzahlen und Null. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet.

II. Probleme lösen.

BEISPIEL 1. Faktorisiere: a) 899; b) 1000027.

Lösung: a) ;

b) BEISPIEL 2. Finden Sie den ggT der Zahlen 2585 und 7975.

Lösung: Verwenden wir den Euklid-Algorithmus:

Wenn https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Antwort: gcd(2585,7975) = 55.

BEISPIEL 3 Berechnen Sie:

Lösung: = 1987100011989. Das zweite Produkt hat denselben Wert. Daher ist die Differenz 0.

BEISPIEL 4. Finde GCD- und LCM-Nummern a) 5544 und 1404; b) 198, 504 und 780.

Antworten: a) 36; 49896; b) 6; 360360.

BEISPIEL 5. Bestimmen Sie den Quotienten und den Rest beim Dividieren

a) 5 bis 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

c) -529 bis (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

e) 256 bis (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

Lösung: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

Lösung: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

BEISPIEL 7..gif" width="67" height="27 src="> um 17.

Lösung: Lassen Sie uns einen Datensatz eingeben , was bedeutet, dass die Zahlen a, b, c, ... d bei Division durch m denselben Rest ergeben.

Daher wird es für jedes natürliche k eine geben

Aber 1989=16124+5. Meint,

Antwort: Der Rest ist 12.

BEISPIEL 8. Finden Sie die kleinste natürliche Zahl größer als 10, die, wenn sie durch 24, 45 und 56 geteilt wird, einen Rest von 1 ergeben würde.

Antwort: LCM(24;45;56)+1=2521.

BEISPIEL 9. Finden Sie die kleinste natürliche Zahl, die durch 7 teilbar ist und bei der Teilung durch 3, 4 und 5 einen Rest von 1 ergibt.

Antwort: 301. Anweisung. Unter den Zahlen der Form 60k + 1 müssen Sie die kleinste durch 7 teilbare finden; k = 5.

BEISPIEL 10. Ordne 23 rechts und links eine Ziffer zu, sodass die resultierende vierstellige Zahl durch 9 und 11 teilbar ist.

Antwort: 6237.

BEISPIEL 11. Ordnen Sie der Zahl drei Ziffern zu, sodass die resultierende Zahl durch 7, 8 und 9 teilbar ist.

Antwort: 304 oder 808. Angabe. Die Zahl, wenn sie durch = 789 geteilt wird, ergibt einen Rest von 200. Wenn Sie also 304 oder 808 dazu addieren, wird sie durch 504 geteilt.

BEISPIEL 12. Ist es möglich, die Ziffern einer dreistelligen Zahl, die durch 37 teilbar ist, so umzuordnen, dass die resultierende Zahl auch durch 37 teilbar ist?

Antwort: Sie können. Hinweis..gif" width="61" height="24"> ist auch durch 37 teilbar. Wir haben A = 100a + 10b + c = 37k, also c = 37k -100a - 10b. Dann ist B = 100b + 10c + a = 100b + k - 100a - 10b) + a \u003d 370k - 999a, dh B ist durch 37 teilbar.

BEISPIEL 13. Finde die Zahl, durch die die Zahlen 1108, 1453, 1844 und 2281 bei Division denselben Rest ergeben.

Antwort: 23. Hinweis. Die Differenz zweier beliebiger gegebener Zahlen ist durch die erforderliche eins teilbar. Das bedeutet, dass jeder gemeinsame Teiler aller möglichen Datendifferenzen außer 1 für uns geeignet ist

BEISPIEL 14. Stellen Sie 19 als Differenz von Kubikzahlen natürlicher Zahlen dar.

BEISPIEL 15. Das Quadrat einer natürlichen Zahl ist gleich dem Produkt aus vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen. Finde diese Nummer.

Antworten: .

BEISPIEL 16..gif" width="115" height="27"> ist nicht durch 10 teilbar.

Antwort: a) Richtung. Nachdem Sie den ersten und den letzten Term, den zweiten und den vorletzten usw. gruppiert haben, verwenden Sie die Formel für die Summe der Kubikzahlen.

b) Angabe..gif" width="120" height="20">.

4) Finden Sie alle Paare natürlicher Zahlen, deren GCD 5 und LCM 105 ist.

Antwort: 5, 105 oder 15, 35.

AKTIVITÄT 2(2 Stunden)

Unterrichtsthema: Methode der mathematischen Induktion.

Das Ziel des Unterrichts: Betrachten Sie mathematische Aussagen, die einen Beweis erfordern; Einführung in die Methode der mathematischen Induktion; logisches Denken entwickeln.

Während des Unterrichts

ich. Überprüfung der Hausaufgaben.

II. Erklärung des neuen Materials.

Im Schulmathematikkurs gibt es neben den Aufgaben „Finde den Wert des Ausdrucks“ Aufgaben der Form: „Gleichheit beweisen“. Eine der universellsten Methoden zum Beweis mathematischer Aussagen, in denen die Worte „für ein beliebiges natürliches n“ vorkommen, ist die Methode der vollständigen mathematischen Induktion.

Ein Beweis mit dieser Methode besteht immer aus drei Schritten:

1) Induktionsbasis. Die Gültigkeit der Aussage für n = 1 wird überprüft.

In einigen Fällen müssen Sie mehrere ankreuzen, um die Induktion zu starten

Anfangswerte.

2) Induktionsannahme. Es wird angenommen, dass die Aussage für alle wahr ist

3) Induktionsschritt. Wir beweisen die Gültigkeit der Behauptung für

Wir erhalten also ausgehend von n = 1 aufgrund des bewiesenen Induktionsschrittes die Gültigkeit der zu beweisenden Behauptung

n =2, 3,…t. e. für jedes n.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

BEISPIEL 1: Beweisen Sie, dass für jedes natürliche n die Zahl ist durch 7 teilbar.

Beweis: Bezeichne .

Schritt 1..gif" width="143" height="37 src="> ist durch 7 teilbar.

Schritt 3..gif" width="600" height="88">

Die letzte Zahl ist durch 7 teilbar, weil sie die Differenz zwischen zwei durch 7 teilbaren ganzen Zahlen ist.

BEISPIEL 2: Gleichheit beweisen https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> wird bezogen von Ersetzen von n durch k = 1.

III. Probleme lösen

In der ersten Stunde werden aus den unten stehenden Aufgaben (Nr. 1-3) mehrere zur Lösung nach Ermessen des Lehrers zur Analyse an der Tafel ausgewählt. Die zweite Lektion befasst sich mit № 4.5; selbstständige Arbeiten von Nr. 1-3 werden durchgeführt; Nr. 6 wird zusätzlich angeboten, mit zwingendem Vorstandsbeschluss.

1) Beweisen Sie, dass a) durch 83 teilbar ist;

b) ist durch 13 teilbar;

c) ist durch 20801 teilbar.

2) Beweisen Sie, dass für jedes natürliche n gilt:

a) ist durch 120 teilbar;

b) ist durch 27 teilbar;

in) teilbar durch 84;

G) ist durch 169 teilbar;

e) ist durch 8 teilbar;

f) ist durch 8 teilbar;

g) ist durch 16 teilbar;

h) teilbar durch 49;

und) ist durch 41 teilbar;

zu) ist durch 23 teilbar;

l) ist durch 13 teilbar;

m) geteilt durch .

3) Beweisen Sie Folgendes:

G) ;

4) Ausgabe der Summenformel https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Beweisen Sie, dass die Summe der Mitglieder jeder Zeile der Tabelle

…………….

ist gleich dem Quadrat einer ungeraden Zahl, deren Nummer in einer Zeile gleich der Zeilennummer vom Anfang der Tabelle ist.

Antworten und Anleitungen.

1) Verwenden wir den in Beispiel 4 der vorherigen Lektion eingeführten Eintrag.

a) . Also durch 83 teilbar .

b) Weil , dann ;

. Somit, .

c) Da muss man beweisen, dass die gegebene Zahl durch 11, 31 und 61..gif" width="120" height="32 src="> teilbar ist. Die Teilbarkeit durch 11 und 31 wird ähnlich bewiesen.

2) a) Beweisen wir, dass dieser Ausdruck durch 3, 8, 5 teilbar ist. Die Teilbarkeit durch 3 folgt aus der Tatsache, dass , und von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist eine durch 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src="> teilbar. Um die Teilbarkeit durch 5 zu prüfen, genügt es, die Werte n=0,1,2,3,4 zu betrachten.

Das Schreiben der Bedingungen von Problemen unter Verwendung der in der Mathematik akzeptierten Notation führt zum Auftreten sogenannter mathematischer Ausdrücke, die einfach als Ausdrücke bezeichnet werden. In diesem Artikel werden wir ausführlich darüber sprechen numerische, wörtliche und variable Ausdrücke: Wir geben Definitionen und Beispiele für Ausdrücke jedes Typs.

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Numerische Ausdrücke – was ist das?

Die Bekanntschaft mit numerischen Ausdrücken beginnt fast schon in den ersten Mathematikstunden. Aber ihren Namen - numerische Ausdrücke - erwerben sie offiziell etwas später. Wenn Sie zum Beispiel dem Kurs von M. I. Moro folgen, dann geschieht dies auf den Seiten eines Mathematik-Lehrbuchs für die 2. Klasse. Dort ist die Darstellung numerischer Ausdrücke wie folgt angegeben: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 usw. - das ist alles numerische Ausdrücke, und wenn wir die angegebenen Aktionen im Ausdruck ausführen, werden wir finden Ausdruckswert.

Daraus lässt sich schließen, dass in diesem Stadium des Mathematikstudiums numerische Ausdrücke als Aufzeichnungen mit mathematischer Bedeutung bezeichnet werden, die aus Zahlen, Klammern und Additions- und Subtraktionszeichen bestehen.

Etwas später, nachdem Sie sich mit Multiplikation und Division vertraut gemacht haben, beginnen die Eingaben von numerischen Ausdrücken, die Zeichen "·" und ":" zu enthalten. Hier sind einige Beispiele: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 usw.

Und in der High School wächst die Vielfalt der Eingaben für numerische Ausdrücke wie ein Schneeball, der einen Berg hinunterrollt. In ihnen erscheinen gemeinsame und dezimale Brüche, gemischte Zahlen und negative Zahlen, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus, Cosinus usw.

Fassen wir alle Informationen in der Definition eines numerischen Ausdrucks zusammen:

Definition.

Numerischer Ausdruck ist eine Kombination aus Zahlen, Zeichen von arithmetischen Operationen, Bruchstrichen, Wurzelzeichen (Wurzelzeichen), Logarithmen, Notation von trigonometrischen, inversen trigonometrischen und anderen Funktionen sowie Klammern und anderen speziellen mathematischen Symbolen, die gemäß den akzeptierten Regeln zusammengestellt wurden Mathematik.

Lassen Sie uns alle Bestandteile der stimmhaften Definition erklären.

Absolut beliebige Zahlen können an numerischen Ausdrücken teilnehmen: von natürlich bis reell und sogar komplex. Das heißt, in numerischen Ausdrücken kann man sich treffen

Mit den Zeichen der arithmetischen Operationen ist alles klar - das sind die Zeichen der Addition, Subtraktion, Multiplikation bzw. Division, die die Form "+", "−", "·" und ":" haben. In numerischen Ausdrücken kann eines dieser Zeichen, einige davon oder alle gleichzeitig und mehr als einmal vorhanden sein. Hier sind Beispiele für numerische Ausdrücke mit ihnen: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.

Was Klammern betrifft, so gibt es sowohl numerische Ausdrücke, in denen Klammern vorkommen, als auch Ausdrücke ohne Klammern. Wenn es in einem numerischen Ausdruck Klammern gibt, dann sind sie es im Grunde

Und manchmal haben Klammern in numerischen Ausdrücken einen bestimmten, separat angegebenen besonderen Zweck. Beispielsweise finden Sie eckige Klammern, die den ganzzahligen Teil der Zahl bezeichnen, sodass der numerische Ausdruck +2 bedeutet, dass die Zahl 2 zum ganzzahligen Teil der Zahl 1,75 hinzugefügt wird.

Aus der Definition eines numerischen Ausdrucks geht auch hervor, dass der Ausdruck , , log , ln , lg , Bezeichnungen usw. enthalten kann. Hier sind Beispiele für numerische Ausdrücke mit ihnen: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 und .

Die Division in numerischen Ausdrücken kann mit bezeichnet werden. In diesem Fall gibt es numerische Ausdrücke mit Brüchen. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 und .

Als spezielle mathematische Symbole und Notationen, die in Zahlenausdrücken vorkommen, geben wir an. Lassen Sie uns zum Beispiel einen numerischen Ausdruck mit einem Modul zeigen .

Was sind wörtliche Ausdrücke?

Das Konzept der wörtlichen Ausdrücke wird fast unmittelbar nach dem Kennenlernen numerischer Ausdrücke gegeben. Es wird so eingegeben. Bei einem bestimmten Zahlenausdruck wird eine der Zahlen nicht aufgeschrieben, sondern ein Kreis (oder ein Quadrat oder etwas Ähnliches) an ihre Stelle gesetzt, und es wird gesagt, dass der Kreis durch eine bestimmte Zahl ersetzt werden kann. Nehmen wir den Eintrag als Beispiel. Wenn Sie beispielsweise anstelle eines Quadrats die Zahl 2 eingeben, erhalten Sie einen numerischen Ausdruck 3 + 2. Also statt Kreise, Quadrate etc. stimmten zu, Briefe zu schreiben, und solche Ausdrücke mit Buchstaben wurden genannt wörtliche Ausdrücke. Kehren wir zu unserem Beispiel zurück: Wenn wir in diesem Eintrag anstelle eines Quadrats den Buchstaben a einfügen, erhalten wir einen wörtlichen Ausdruck der Form 3+a.

Wenn wir also in einem numerischen Ausdruck das Vorhandensein von Buchstaben zulassen, die einige Zahlen bezeichnen, erhalten wir den sogenannten wörtlichen Ausdruck. Lassen Sie uns eine angemessene Definition geben.

Definition.

Ein Ausdruck, der Buchstaben enthält, die einige Zahlen bezeichnen, wird aufgerufen wörtlicher Ausdruck.

Aus dieser Definition wird deutlich, dass sich ein wörtlicher Ausdruck von einem numerischen Ausdruck grundsätzlich dadurch unterscheidet, dass er Buchstaben enthalten kann. In wörtlichen Ausdrücken werden normalerweise kleine Buchstaben des lateinischen Alphabets verwendet (a, b, c, ...), und wenn Winkel bezeichnet werden, kleine Buchstaben des griechischen Alphabets (α, β, γ, ...).

Literale Ausdrücke können also aus Zahlen, Buchstaben bestehen und alle mathematischen Symbole enthalten, die in numerischen Ausdrücken vorkommen, wie Klammern, Wurzelzeichen, Logarithmen, trigonometrische und andere Funktionen usw. Unabhängig davon betonen wir, dass ein wörtlicher Ausdruck mindestens einen Buchstaben enthält. Es kann aber auch mehrere gleiche oder unterschiedliche Buchstaben enthalten.

Nun geben wir einige Beispiele für wörtliche Ausdrücke. Beispielsweise ist a+b ein wörtlicher Ausdruck mit den Buchstaben a und b . Hier ist ein weiteres Beispiel für den wörtlichen Ausdruck 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5. Und wir geben ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck einer komplexen Form: .

Ausdrücke mit Variablen

Wenn in einem wörtlichen Ausdruck ein Buchstabe einen Wert bezeichnet, der keinen bestimmten Wert annehmen kann, sondern verschiedene Werte annehmen kann, dann heißt dieser Buchstabe Variable und der Ausdruck heißt variabler Ausdruck.

Definition.

Ausdruck mit Variablen ist ein wörtlicher Ausdruck, bei dem die Buchstaben (alle oder einige) Größen bezeichnen, die unterschiedliche Werte annehmen.

Angenommen, im Ausdruck x 2 −1 kann der Buchstabe x beliebige natürliche Werte aus dem Intervall von 0 bis 10 annehmen, dann ist x eine Variable und der Ausdruck x 2 −1 ist ein Ausdruck mit der Variablen x .

Beachten Sie, dass ein Ausdruck mehrere Variablen enthalten kann. Wenn wir zum Beispiel x und y als Variablen betrachten, dann ist der Ausdruck ist ein Ausdruck mit zwei Variablen x und y .

Im Allgemeinen erfolgt der Übergang vom Konzept eines wörtlichen Ausdrucks zu einem Ausdruck mit Variablen in der 7. Klasse, wenn sie mit dem Studium der Algebra beginnen. Bis zu diesem Punkt haben wörtliche Ausdrücke einige spezifische Aufgaben modelliert. In der Algebra beginnen sie, den Ausdruck allgemeiner zu betrachten, ohne an eine bestimmte Aufgabe gebunden zu sein, mit dem Verständnis, dass dieser Ausdruck für eine Vielzahl von Aufgaben geeignet ist.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Absatzes noch auf einen weiteren Punkt achten: Durch das Auftreten eines wörtlichen Ausdrucks ist es unmöglich zu wissen, ob die darin enthaltenen Buchstaben Variablen sind oder nicht. Daher hindert uns nichts daran, diese Buchstaben als Variablen zu betrachten. In diesem Fall verschwindet der Unterschied zwischen den Begriffen „literaler Ausdruck“ und „Ausdruck mit Variablen“.

Referenzliste.

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Mathematik: Studien. für 5 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 S.: mit Abb. ISBN 5-346-00699-0.
Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.

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Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Arten von personenbezogenen Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Daten verwenden können.

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Ein wörtlicher Ausdruck (oder ein Ausdruck mit Variablen) ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Buchstaben und Zeichen mathematischer Operationen besteht. Der folgende Ausdruck ist beispielsweise ein Literal:

a+b+4

Mit wörtlichen Ausdrücken können Sie Gesetze, Formeln, Gleichungen und Funktionen aufschreiben. Die Fähigkeit, wörtliche Ausdrücke zu manipulieren, ist der Schlüssel zu guten Kenntnissen in Algebra und höherer Mathematik.

Jedes ernsthafte Problem in der Mathematik läuft auf das Lösen von Gleichungen hinaus. Und um Gleichungen lösen zu können, müssen Sie mit wörtlichen Ausdrücken arbeiten können.

Um mit wörtlichen Ausdrücken zu arbeiten, müssen Sie die Grundrechenarten gut lernen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Grundgesetze der Mathematik, Brüche, Aktionen mit Brüchen, Proportionen. Und nicht nur zu studieren, sondern gründlich zu verstehen.

Unterrichtsinhalt

Variablen

Buchstaben, die in wörtlichen Ausdrücken enthalten sind, werden aufgerufen Variablen. Zum Beispiel im Ausdruck a+b+ 4 Variablen sind Buchstaben a und b. Wenn wir anstelle dieser Variablen irgendwelche Zahlen ersetzen, dann den wörtlichen Ausdruck a+b+ 4 wird zu einem numerischen Ausdruck, dessen Wert gefunden werden kann.

Zahlen, die Variablen ersetzen, werden aufgerufen variable Werte. Lassen Sie uns zum Beispiel die Werte der Variablen ändern a und b. Verwenden Sie das Gleichheitszeichen, um Werte zu ändern

ein = 2, b = 3

Wir haben die Werte der Variablen geändert a und b. Variable a einen Wert zugewiesen 2 , variabel b einen Wert zugewiesen 3 . Als Ergebnis der wörtliche Ausdruck a+b+4 wird in einen normalen numerischen Ausdruck umgewandelt 2+3+4 dessen Wert gefunden werden kann:

Wenn Variablen multipliziert werden, werden sie zusammengeschrieben. Zum Beispiel der Eintrag ab bedeutet dasselbe wie der Eintrag ein x b. Wenn wir statt Variablen ersetzen a und b Zahlen 2 und 3 , dann bekommen wir 6

Zusammen kann man auch die Multiplikation einer Zahl mit einem Ausdruck in Klammern schreiben. Zum Beispiel statt a×(b + c) kann geschrieben werden a(b+c). Wenden wir das Distributivgesetz der Multiplikation an, erhalten wir a(b+c)=ab+ac.

Chancen

In wörtlichen Ausdrücken findet man oft eine Schreibweise, in der zum Beispiel eine Zahl und eine Variable zusammen geschrieben werden 3a. Tatsächlich ist dies eine Abkürzung für die Multiplikation der Zahl 3 mit einer Variablen. a und dieser Eintrag sieht aus wie 3×a .

Mit anderen Worten, der Ausdruck 3a ist das Produkt aus der Zahl 3 und der Variablen a. Anzahl 3 in dieser Arbeit heißt Koeffizient. Dieser Koeffizient zeigt, wie oft die Variable erhöht wird a. Dieser Ausdruck kann gelesen werden als " a dreimal oder dreimal a", oder "Erhöhen Sie den Wert der Variablen a dreimal", wird aber meistens als "drei mal" gelesen a«

Wenn zum Beispiel die Variable a entspricht 5 , dann der Wert des Ausdrucks 3a gleich 15 sein.

3 x 5 = 15

Vereinfacht ausgedrückt ist der Koeffizient die Zahl, die vor dem Buchstaben (vor der Variablen) steht.

Es können zB mehrere Buchstaben sein 5abc. Hier ist der Koeffizient die Zahl 5 . Dieser Koeffizient zeigt, dass das Produkt der Variablen ABC fünfmal erhöht. Dieser Ausdruck kann gelesen werden als " ABC fünf Mal" oder "Erhöhen Sie den Wert des Ausdrucks ABC fünfmal" oder "fünf ABC «.

Wenn anstelle von Variablen ABC ersetzen Sie die Zahlen 2, 3 und 4, dann den Wert des Ausdrucks 5abc wird gleich sein 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Sie können sich vorstellen, wie die Zahlen 2, 3 und 4 zuerst multipliziert wurden und sich der resultierende Wert um das Fünffache erhöhte:

Das Vorzeichen des Koeffizienten bezieht sich nur auf den Koeffizienten und gilt nicht für Variablen.

Betrachten Sie den Ausdruck −6b. Minus vor dem Koeffizienten 6 , gilt nur für den Koeffizienten 6 , und gilt nicht für die Variable b. Wenn Sie diese Tatsache verstehen, können Sie in Zukunft keine Fehler mehr mit Zeichen machen.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks −6b beim b = 3.

−6b −6×b. Zur Verdeutlichung schreiben wir den Ausdruck −6b in erweiterter Form und ersetzen Sie den Wert der Variablen b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks −6b beim b = −5

Lassen Sie uns den Ausdruck schreiben −6b in erweiterter Form

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks −5a+b beim a = 3 und b = 2

−5a+b ist die Kurzform für −5 × a + b, daher schreiben wir der Klarheit halber den Ausdruck −5×a+b in erweiterter Form und ersetzen die Werte der Variablen a und b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Manchmal werden zum Beispiel Buchstaben ohne Koeffizienten geschrieben a oder ab. In diesem Fall ist der Koeffizient eins:

aber die Einheit wird traditionell nicht aufgeschrieben, also schreiben sie einfach a oder ab

Wenn vor dem Buchstaben ein Minus steht, ist der Koeffizient eine Zahl −1 . Zum Beispiel der Ausdruck -a sieht tatsächlich so aus −1a. Dies ist das Produkt aus minus eins und der Variablen a. Es kam so heraus:

−1 × a = −1a

Hier liegt ein kleiner Trick. Im Ausdruck -a Minus vor Variable a bezieht sich eigentlich auf die "unsichtbare Einheit" und nicht auf die Variable a. Daher sollten Sie beim Lösen von Problemen vorsichtig sein.

Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks -a und wir werden gebeten, seinen Wert bei zu finden a = 2, dann haben wir in der Schule eine Zwei anstelle einer Variablen eingesetzt a und Antwort bekommen −2 , ohne sich wirklich darauf zu konzentrieren, wie es ausgegangen ist. Tatsächlich gab es eine Multiplikation von minus eins mit einer positiven Zahl 2

-a = -1 × ein

−1 × a = −1 × 2 = −2

Wenn ein Ausdruck angegeben ist -a und es ist erforderlich, seinen Wert bei zu finden a = −2, dann ersetzen wir −2 statt einer Variablen a

-a = -1 × ein

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Um Fehler zu vermeiden, können zunächst unsichtbare Einheiten explizit geschrieben werden.

Beispiel 4 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks ABC beim a=2 , b=3 und c=4

Ausdruck ABC 1×a×b×c. Zur Verdeutlichung schreiben wir den Ausdruck ABC ein, b und c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Beispiel 5 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks ABC beim a=−2 , b=−3 und c=−4

Lassen Sie uns den Ausdruck schreiben ABC in erweiterter Form und ersetzen die Werte der Variablen ein, b und c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Beispiel 6 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks − ABC beim a=3 , b=5 und c=7

Ausdruck − ABC ist die Kurzform für −1×a×b×c. Zur Verdeutlichung schreiben wir den Ausdruck − ABC in erweiterter Form und ersetzen die Werte der Variablen ein, b und c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Beispiel 7 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks − ABC beim a=−2 , b=−4 und c=−3

Lassen Sie uns den Ausdruck schreiben − ABC erweitert:

−abc = −1 × a × b × c

Ersetzen Sie den Wert der Variablen a , b und c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

So bestimmen Sie den Koeffizienten

Manchmal ist es erforderlich, ein Problem zu lösen, bei dem es erforderlich ist, den Koeffizienten eines Ausdrucks zu bestimmen. Im Prinzip ist diese Aufgabe sehr einfach. Es reicht aus, Zahlen richtig multiplizieren zu können.

Um den Koeffizienten in einem Ausdruck zu bestimmen, müssen Sie die in diesem Ausdruck enthaltenen Zahlen separat multiplizieren und die Buchstaben separat multiplizieren. Der resultierende numerische Faktor ist der Koeffizient.

Beispiel 1 7m×5a×(−3)×n

Der Ausdruck setzt sich aus mehreren Faktoren zusammen. Dies ist deutlich zu sehen, wenn der Ausdruck in erweiterter Form geschrieben wird. Das heißt, funktioniert 7m und 5a ins Formular schreiben 7×m und 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Wir wenden das assoziative Multiplikationsgesetz an, das es uns erlaubt, Faktoren in beliebiger Reihenfolge zu multiplizieren. Multiplizieren Sie nämlich die Zahlen separat und multiplizieren Sie die Buchstaben separat (Variablen):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 Mann

Der Koeffizient ist −105 . Nach Fertigstellung wird der Briefteil vorzugsweise in alphabetischer Reihenfolge geordnet:

-105 Uhr

Beispiel 2 Bestimmen Sie den Koeffizienten im Ausdruck: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Der Koeffizient ist 6.

Beispiel 3 Bestimmen Sie den Koeffizienten im Ausdruck:

Lassen Sie uns Zahlen und Buchstaben getrennt multiplizieren:

Der Koeffizient ist –1. Bitte beachten Sie, dass die Einheit nicht erfasst wird, da der Koeffizient 1 normalerweise nicht erfasst wird.

Diese scheinbar einfachen Aufgaben können uns einen sehr grausamen Streich spielen. Es stellt sich oft heraus, dass das Vorzeichen des Koeffizienten falsch gesetzt ist: Entweder wird ein Minus weggelassen oder im Gegenteil vergebens gesetzt. Um diese ärgerlichen Fehler zu vermeiden, muss es auf einem guten Niveau studiert werden.

Begriffe in wörtlichen Ausdrücken

Wenn Sie mehrere Zahlen addieren, erhalten Sie die Summe dieser Zahlen. Zahlen, die sich addieren, werden Terme genannt. Es können mehrere Begriffe sein, zum Beispiel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Wenn ein Ausdruck aus Termen besteht, ist es viel einfacher, ihn zu berechnen, da es einfacher ist, zu addieren als zu subtrahieren. Der Ausdruck kann aber nicht nur Addition, sondern auch Subtraktion enthalten, zum Beispiel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

In diesem Ausdruck werden die Zahlen 3 und 5 subtrahiert, nicht addiert. Aber nichts hindert uns daran, die Subtraktion durch Addition zu ersetzen. Dann erhalten wir wieder einen Ausdruck, der aus Termen besteht:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Es spielt keine Rolle, dass die Zahlen -3 und -5 jetzt mit einem Minuszeichen versehen sind. Die Hauptsache ist, dass alle Zahlen in diesem Ausdruck durch das Additionszeichen verbunden sind, dh der Ausdruck ist eine Summe.

Beide Ausdrücke 1 + 2 − 3 + 4 − 5 und 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) sind gleich dem gleichen Wert - minus eins

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Der Wert des Ausdrucks leidet also nicht darunter, dass wir irgendwo Subtraktion durch Addition ersetzen.

Sie können in wörtlichen Ausdrücken auch die Subtraktion durch die Addition ersetzen. Betrachten Sie beispielsweise den folgenden Ausdruck:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Für beliebige Werte von Variablen A B C D und s Ausdrücke 7a + 6b - 3c + 2d - 4s und 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) gleich dem gleichen Wert sein.

Sie müssen darauf vorbereitet sein, dass ein Lehrer an einer Schule oder ein Lehrer an einem Institut Begriffe nennen kann, sogar solche Zahlen (oder Variablen), die sie nicht sind.

Zum Beispiel, wenn die Differenz an die Tafel geschrieben wird a-b, dann wird der Lehrer das nicht sagen a ist der Minuend, und b- abzugsfähig. Er wird beide Variablen ein gemeinsames Wort nennen - Bedingungen. Und das alles wegen des Ausdrucks der Form a-b Mathematiker sieht, wie die Summe a + (−b). In diesem Fall wird der Ausdruck zu einer Summe und die Variablen a und (-b) Komponenten werden.

Ausdrucksvereinfachung

"den Ausdruck vereinfachen" und das Folgende ist der zu vereinfachende Ausdruck. Ausdruck vereinfachen bedeutet, es einfacher und kürzer zu machen.

Tatsächlich haben wir uns bereits mit der Vereinfachung von Ausdrücken beim Kürzen von Brüchen beschäftigt. Nach der Kürzung wurde der Bruch kürzer und besser lesbar.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.

Wörtlich kann diese Aufgabe wie folgt verstanden werden: „Machen Sie mit diesem Ausdruck, was Sie können, aber machen Sie es einfacher“ .

In diesem Fall können Sie den Bruch kürzen, nämlich Zähler und Nenner des Bruchs durch 2 teilen:

Was kann noch getan werden? Sie können den resultierenden Bruch berechnen. Dann erhalten wir die Dezimalzahl 0,5

Als Ergebnis wurde der Bruch auf 0,5 vereinfacht.

Die erste Frage, die Sie sich stellen sollten, wenn Sie solche Probleme lösen, sollte sein „Was kann man tun?“ . Denn es gibt Dinge, die man tun kann, und es gibt Dinge, die man nicht tun kann.

Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass sich der Wert eines Ausdrucks nicht ändern darf, nachdem der Ausdruck vereinfacht wurde. Kehren wir zum Ausdruck zurück. Dieser Ausdruck ist eine Division, die durchgeführt werden kann. Nachdem wir diese Division durchgeführt haben, erhalten wir den Wert dieses Ausdrucks, der gleich 0,5 ist

Aber wir haben den Ausdruck vereinfacht und einen neuen vereinfachten Ausdruck erhalten. Der Wert des neuen vereinfachten Ausdrucks ist immer noch 0,5

Aber wir haben auch versucht, den Ausdruck zu vereinfachen, indem wir ihn berechnet haben. Als Ergebnis war die endgültige Antwort 0,5.

Unabhängig davon, wie wir den Ausdruck vereinfachen, ist der Wert der resultierenden Ausdrücke immer noch 0,5. Dies bedeutet, dass die Vereinfachung in jeder Phase korrekt durchgeführt wurde. Das müssen wir anstreben, wenn wir Ausdrücke vereinfachen – die Bedeutung des Ausdrucks sollte nicht unter unseren Handlungen leiden.

Oft ist es notwendig, wörtliche Ausdrücke zu vereinfachen. Für sie gelten die gleichen Vereinfachungsregeln wie für numerische Ausdrücke. Sie können jede gültige Aktion ausführen, solange sich der Wert des Ausdrucks nicht ändert.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1 Ausdruck vereinfachen 5,21 s × t × 2,5

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, kannst du die Zahlen separat multiplizieren und die Buchstaben separat multiplizieren. Diese Aufgabe ist derjenigen sehr ähnlich, die wir betrachtet haben, als wir lernten, den Koeffizienten zu bestimmen:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Also der Ausdruck 5,21 s × t × 2,5 vereinfacht zu 13.025.

Beispiel 2 Ausdruck vereinfachen −0,4×(−6,3b)×2

Zweites Werk (−6.3b) kann in eine für uns verständliche Form übersetzt werden, nämlich geschrieben in der Form ( −6,3)×b , multiplizieren Sie dann die Zahlen separat und multiplizieren Sie die Buchstaben separat:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (–6,3) × b × 2 = 5,04b

Also der Ausdruck −0,4×(−6,3b)×2 vereinfacht zu 5.04b

Beispiel 3 Ausdruck vereinfachen

Lassen Sie uns diesen Ausdruck detaillierter schreiben, um klar zu sehen, wo die Zahlen und wo die Buchstaben sind:

Jetzt multiplizieren wir die Zahlen separat und multiplizieren die Buchstaben separat:

Also der Ausdruck vereinfacht zu −abc. Diese Lösung kann kürzer geschrieben werden:

Beim Vereinfachen von Ausdrücken können Brüche während des Lösungsprozesses gekürzt werden und nicht ganz am Ende, wie wir es bei gewöhnlichen Brüchen getan haben. Wenn wir zum Beispiel beim Lösen auf einen Ausdruck der Form stoßen, dann ist es überhaupt nicht nötig, Zähler und Nenner zu berechnen und so etwas zu tun:

Einen Bruch kann man kürzen, indem man sowohl den Faktor im Zähler als auch im Nenner wählt und diese Faktoren um ihren größten gemeinsamen Teiler kürzt. Mit anderen Worten, verwenden Sie , wobei wir nicht im Detail beschreiben, in was Zähler und Nenner aufgeteilt wurden.

Zum Beispiel kann im Zähler der Faktor 12 und im Nenner der Faktor 4 um 4 reduziert werden. Wir behalten die Vier im Gedächtnis, und indem wir 12 und 4 durch diese Vier teilen, schreiben wir die Antworten neben diese Zahlen, vorher durchgestrichen haben

Jetzt können Sie die resultierenden kleinen Faktoren multiplizieren. In diesem Fall gibt es nicht viele davon und Sie können sie in Gedanken multiplizieren:

Im Laufe der Zeit stellen Sie möglicherweise fest, dass die Ausdrücke beim Lösen eines bestimmten Problems „dicker“ werden. Daher ist es ratsam, sich an schnelle Berechnungen zu gewöhnen. Was im Kopf berechnet werden kann, muss im Kopf berechnet werden. Was schnell geschnitten werden kann, sollte schnell geschnitten werden.

Beispiel 4 Ausdruck vereinfachen

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Beispiel 5 Ausdruck vereinfachen

Wir multiplizieren Zahlen separat und Buchstaben separat:

Also der Ausdruck vereinfacht zu Mn.

Beispiel 6 Ausdruck vereinfachen

Lassen Sie uns diesen Ausdruck detaillierter schreiben, um klar zu sehen, wo die Zahlen und wo die Buchstaben sind:

Jetzt multiplizieren wir die Zahlen separat und die Buchstaben separat. Zur Vereinfachung der Berechnungen können der Dezimalbruch −6,4 und die gemischte Zahl in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden:

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Die Lösung für dieses Beispiel kann viel kürzer geschrieben werden. Es wird so aussehen:

Beispiel 7 Ausdruck vereinfachen

Wir multiplizieren Zahlen separat und Buchstaben separat. Zur Vereinfachung der Berechnung können die gemischten Zahlen- und Dezimalbrüche 0,1 und 0,6 in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden:

Also der Ausdruck vereinfacht zu A B C D. Wenn Sie die Details überspringen, kann diese Lösung viel kürzer geschrieben werden:

Beachte, wie der Bruch gekürzt wurde. Auch neue Multiplikatoren, die durch Reduzierung der bisherigen Multiplikatoren erhalten werden, können reduziert werden.

Lassen Sie uns jetzt darüber sprechen, was Sie nicht tun sollten. Bei der Vereinfachung von Ausdrücken ist es strengstens verboten, Zahlen und Buchstaben zu multiplizieren, wenn der Ausdruck eine Summe und kein Produkt ist.

Zum Beispiel, wenn Sie den Ausdruck vereinfachen möchten 5a + 4b, dann kann es nicht wie folgt geschrieben werden:

Dies entspricht der Tatsache, dass wir, wenn wir aufgefordert würden, zwei Zahlen zu addieren, sie multiplizieren würden, anstatt sie zu addieren.

Beim Ersetzen beliebiger Werte von Variablen a und b Ausdruck 5a+4b verwandelt sich in einen einfachen numerischen Ausdruck. Nehmen wir die Variablen an a und b haben folgende Bedeutung:

a = 2 , b = 3

Dann ist der Wert des Ausdrucks 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Zuerst wird die Multiplikation durchgeführt und dann werden die Ergebnisse addiert. Und wenn wir versuchen würden, diesen Ausdruck zu vereinfachen, indem wir Zahlen und Buchstaben multiplizieren, würden wir Folgendes erhalten:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Es stellt sich eine ganz andere Bedeutung des Ausdrucks heraus. Im ersten Fall stellte sich heraus 22 , im zweiten Fall 120 . Dies bedeutet, dass die Vereinfachung des Ausdrucks 5a + 4b falsch durchgeführt wurde.

Nach der Vereinfachung des Ausdrucks sollte sich sein Wert bei gleichen Werten der Variablen nicht ändern. Wenn beim Ersetzen beliebiger Variablenwerte in den ursprünglichen Ausdruck ein Wert erhalten wird, sollte nach dem Vereinfachen des Ausdrucks derselbe Wert wie vor der Vereinfachung erhalten werden.

Mit Ausdruck 5a + 4b eigentlich kann man nichts machen. Einfacher geht es nicht.

Wenn der Ausdruck ähnliche Begriffe enthält, können diese hinzugefügt werden, wenn unser Ziel darin besteht, den Ausdruck zu vereinfachen.

Beispiel 8 Ausdruck vereinfachen 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

oder kürzer: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Also der Ausdruck 0,3a−0,4a+a vereinfacht zu 0,9a

Beispiel 9 Ausdruck vereinfachen −7,5a − 2,5b + 4a

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können Sie ähnliche Begriffe hinzufügen:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

oder kürzer −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Begriff (−2,5 b) blieb unverändert, da es nichts zu falten gab.

Beispiel 10 Ausdruck vereinfachen

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können Sie ähnliche Begriffe hinzufügen:

Der Koeffizient diente der Vereinfachung der Berechnung.

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Beispiel 11. Ausdruck vereinfachen

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können Sie ähnliche Begriffe hinzufügen:

Also der Ausdruck vereinfacht zu.

In diesem Beispiel wäre es sinnvoller, den ersten und den letzten Koeffizienten zuerst zu addieren. In diesem Fall würden wir eine kurze Lösung bekommen. Es würde so aussehen:

Beispiel 12. Ausdruck vereinfachen

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können Sie ähnliche Begriffe hinzufügen:

Also der Ausdruck vereinfacht zu .

Der Begriff blieb unverändert, da es nichts hinzuzufügen gab.

Diese Lösung kann viel kürzer geschrieben werden. Es wird so aussehen:

Die kurze Lösung lässt die Schritte aus, die Subtraktion durch Addition zu ersetzen, und eine detaillierte Aufzeichnung, wie die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht wurden.

Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass in der Detaillösung die Antwort so aussieht , aber kurz als . Eigentlich ist es derselbe Ausdruck. Der Unterschied besteht darin, dass im ersten Fall die Subtraktion durch die Addition ersetzt wird, weil wir am Anfang, als wir die Lösung im Detail aufgeschrieben haben, wo immer möglich die Subtraktion durch die Addition ersetzt haben und diese Ersetzung für die Antwort beibehalten haben.

Identitäten. Identische gleiche Ausdrücke

Nachdem wir einen Ausdruck vereinfacht haben, wird er einfacher und kürzer. Um zu überprüfen, ob der Ausdruck korrekt vereinfacht ist, reicht es aus, alle Werte der Variablen zuerst in den vorherigen Ausdruck zu ersetzen, der vereinfacht werden musste, und dann in den neuen, der vereinfacht wurde. Wenn der Wert in beiden Ausdrücken gleich ist, wird der Ausdruck korrekt vereinfacht.

Betrachten wir das einfachste Beispiel. Es sei erforderlich, den Ausdruck zu vereinfachen 2a × 7b. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können Sie die Zahlen und Buchstaben separat multiplizieren:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Prüfen wir, ob wir den Ausdruck richtig vereinfacht haben. Ersetzen Sie dazu beliebige Werte der Variablen a und b zuerst zum ersten Ausdruck, der vereinfacht werden musste, und dann zum zweiten, der vereinfacht wurde.

Lassen Sie die Werte der Variablen a , b wird wie folgt sein:

a = 4 , b = 5

Ersetzen Sie sie im ersten Ausdruck 2a × 7b

Lassen Sie uns nun die gleichen Werte der Variablen in den Ausdruck einsetzen, der sich aus der Vereinfachung ergibt 2a×7b, nämlich im Ausdruck 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Das sehen wir an a=4 und b=5 der Wert des ersten Ausdrucks 2a×7b und den Wert des zweiten Ausdrucks 14ab gleich

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Das Gleiche gilt für alle anderen Werte. Lassen Sie zum Beispiel a=1 und b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Somit sind für beliebige Werte der Variablen die Ausdrücke 2a×7b und 14ab sind gleich groß. Solche Ausdrücke werden aufgerufen identisch gleich.

Das schließen wir zwischen den Ausdrücken 2a×7b und 14ab Sie können ein Gleichheitszeichen setzen, da sie denselben Wert haben.

2a × 7b = 14ab

Eine Gleichheit ist ein beliebiger Ausdruck, der durch ein Gleichheitszeichen (=) verbunden ist.

Und die Gleichheit der Form 2a×7b = 14ab namens Identität.

Eine Identität ist eine Gleichheit, die für beliebige Werte der Variablen gilt.

Andere Beispiele für Identitäten:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ja, die Gesetze der Mathematik, die wir untersucht haben, sind Identitäten.

Echte numerische Gleichheiten sind auch Identitäten. Zum Beispiel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Bei der Lösung eines komplexen Problems wird zur Erleichterung der Berechnung der komplexe Ausdruck durch einen einfacheren Ausdruck ersetzt, der identisch mit dem vorherigen ist. Ein solcher Ersatz wird aufgerufen identische Transformation des Ausdrucks oder einfach Ausdruckskonvertierung.

Zum Beispiel haben wir den Ausdruck vereinfacht 2a × 7b, und erhalten Sie einen einfacheren Ausdruck 14ab. Diese Vereinfachung kann als Identitätstransformation bezeichnet werden.

Sie können oft eine Aufgabe finden, die sagt „Beweise, dass Gleichheit Identität ist“ und dann ist die zu beweisende Gleichheit gegeben. Normalerweise besteht diese Gleichheit aus zwei Teilen: dem linken und dem rechten Teil der Gleichheit. Unsere Aufgabe ist es, identische Transformationen mit einem der Teile der Gleichheit durchzuführen und den anderen Teil zu erhalten. Oder führen Sie identische Transformationen mit beiden Teilen der Gleichheit durch und stellen Sie sicher, dass beide Teile der Gleichheit dieselben Ausdrücke enthalten.

Lassen Sie uns zum Beispiel beweisen, dass die Gleichheit 0,5a × 5b = 2,5ab ist eine Identität.

Vereinfache die linke Seite dieser Gleichheit. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen und Buchstaben separat:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Als Ergebnis einer kleinen Identitätstransformation wurde die linke Seite der Gleichheit gleich der rechten Seite der Gleichheit. Damit haben wir die Gleichheit bewiesen 0,5a × 5b = 2,5ab ist eine Identität.

Durch identische Transformationen haben wir gelernt, Zahlen zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren, Brüche zu kürzen, ähnliche Terme zu verwenden und auch einige Ausdrücke zu vereinfachen.

Aber das sind bei weitem nicht alle identischen Transformationen, die es in der Mathematik gibt. Es gibt viele weitere identische Transformationen. Das werden wir in Zukunft immer wieder sehen.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

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Ausdrücke, Ausdrucksumwandlung

Potenzausdrücke (Ausdrücke mit Potenzen) und ihre Transformation

In diesem Artikel werden wir über das Transformieren von Ausdrücken mit Kräften sprechen. Zunächst werden wir uns auf die Transformationen konzentrieren, die mit Ausdrücken jeglicher Art, einschließlich Potenzausdrücken, wie dem Öffnen von Klammern, dem Reduzieren ähnlicher Terme, durchgeführt werden. Und dann analysieren wir die Transformationen, die Ausdrücken mit Potenzen innewohnen: Arbeiten mit der Basis und dem Exponenten, Verwenden der Eigenschaften von Potenzen usw.

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Was sind Machtausdrücke?

Der Begriff „Power Expressions“ findet sich praktisch nicht in Schulbüchern der Mathematik, taucht aber häufig in Aufgabensammlungen auf, die beispielsweise speziell zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und die OGE konzipiert sind. Nach der Analyse von Aufgaben, bei denen es erforderlich ist, Aktionen mit Machtausdrücken auszuführen, wird deutlich, dass unter Machtausdrücken Ausdrücke verstanden werden, die Grade in ihren Einträgen enthalten. Daher können Sie für sich die folgende Definition nehmen:

Definition.

Machtausdrücke sind Ausdrücke, die Potenzen enthalten.

Lassen Sie uns bringen Beispiele für Machtausdrücke. Außerdem stellen wir sie danach dar, wie sich die Ansichten von einem Abschluss mit natürlichem Indikator zu einem Abschluss mit echtem Indikator entwickeln.

Wie Sie wissen, gibt es zunächst eine Bekanntschaft mit dem Grad einer Zahl mit natürlichem Exponenten, zu diesem Zeitpunkt die ersten einfachsten Potenzausdrücke des Typs 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 usw.

Etwas später wird die Potenz einer Zahl mit ganzzahligem Exponenten untersucht, was zum Auftreten von Potenzausdrücken mit negativen ganzzahligen Potenzen führt, wie z. B.: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

In den Oberstufenklassen kehren sie wieder zu den Abschlüssen zurück. Dort wird ein Grad mit rationalem Exponenten eingeführt, was zum Auftreten der entsprechenden Potenzausdrücke führt: , , usw. Schließlich werden Grade mit irrationalen Exponenten und Ausdrücke, die diese enthalten, betrachtet: , .

Die Sache beschränkt sich nicht auf die aufgeführten Potenzausdrücke: weiter dringt die Variable in den Exponenten ein, und es gibt zum Beispiel solche Ausdrücke 2 x 2 +1 oder . Und nach dem Kennenlernen beginnen Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen zu erscheinen, zum Beispiel x 2 lgx −5 x lgx.

Also haben wir die Frage geklärt, was Machtausdrücke sind. Als nächstes werden wir lernen, wie man sie umwandelt.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Mit Potenzausdrücken können Sie jede der grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken durchführen. Sie können beispielsweise Klammern erweitern, numerische Ausdrücke durch ihre Werte ersetzen, ähnliche Begriffe hinzufügen und so weiter. Natürlich ist es in diesem Fall notwendig, das akzeptierte Verfahren zur Durchführung von Maßnahmen zu befolgen. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Potenzausdrucks 2 3 ·(4 2 −12) .

Entscheidung.

Entsprechend der Reihenfolge der Aktionen führen wir zuerst die Aktionen in Klammern aus. Dort ersetzen wir erstens die Potenz von 4 2 durch ihren Wert 16 (siehe ggf.), und zweitens berechnen wir die Differenz 16−12=4 . Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Im resultierenden Ausdruck ersetzen wir die Potenz von 2 3 durch ihren Wert 8 , danach berechnen wir das Produkt 8·4=32 . Dies ist der gewünschte Wert.

So, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Antworten:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Beispiel.

Vereinfachen Sie Potenzausdrücke 3 ein 4 b −7 −1+2 ein 4 b −7.

Entscheidung.

Offensichtlich enthält dieser Ausdruck ähnliche Terme 3 · a 4 · b − 7 und 2 · a 4 · b − 7 , und wir können sie reduzieren: .

Antworten:

3 ein 4 b −7 −1+2 ein 4 b −7 =5 ein 4 b −7 −1.

Beispiel.

Drücken Sie einen Ausdruck mit Potenzen als Produkt aus.

Entscheidung.

Zur Bewältigung der Aufgabe erlaubt die Darstellung der Zahl 9 als Potenz von 3 2 und die anschließende Anwendung der reduzierten Multiplikationsformel die Differenz von Quadraten:

Antworten:

Es gibt auch eine Reihe identischer Transformationen, die Machtausdrücken innewohnen. Als nächstes werden wir sie analysieren.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Es gibt Grade, in deren Basis und / oder Indikator nicht nur Zahlen oder Variablen sind, sondern einige Ausdrücke. Als Beispiel schreiben wir (2+0.3 7) 5−3.7 und (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Beim Arbeiten mit solchen Ausdrücken ist es möglich, sowohl den Ausdruck in der Basis des Grades als auch den Ausdruck im Indikator durch einen identisch gleichen Ausdruck auf dem DPV seiner Variablen zu ersetzen. Mit anderen Worten, nach den uns bekannten Regeln können wir die Basis des Abschlusses und den Indikator separat umrechnen. Es ist klar, dass als Ergebnis dieser Transformation ein Ausdruck erhalten wird, der identisch gleich dem ursprünglichen ist.

Solche Transformationen ermöglichen es uns, Ausdrücke mit Potenzen zu vereinfachen oder andere Ziele zu erreichen, die wir brauchen. In dem oben erwähnten Potenzausdruck (2+0,3 7) 5−3,7 können Sie beispielsweise Operationen mit Zahlen in der Basis und im Exponenten durchführen, wodurch Sie zur Potenz von 4,1 1,3 gehen können. Und nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Terme in die Basis des Grades (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) gebracht haben, erhalten wir einen Potenzausdruck einer einfacheren Form a 2 (x+1) .

Power-Eigenschaften verwenden

Eines der wichtigsten Werkzeuge zum Transformieren von Ausdrücken mit Potenzen sind Gleichungen, die . Erinnern wir uns an die wichtigsten. Für beliebige positive Zahlen a und b und beliebige reelle Zahlen r und s gelten die folgenden Potenzeigenschaften:

ein r ein s = ein r+s ;
a r:a s =a r−s ;
(ein b) r = ein r b r ;
(a:b) r = a r: b r ;
(a r) s = a r s .

Beachten Sie, dass für natürliche, ganzzahlige und positive Exponenten die Beschränkungen für die Zahlen a und b möglicherweise nicht so streng sind. Beispielsweise gilt für die natürlichen Zahlen m und n die Gleichheit a m ·a n = a m+n nicht nur für positive a , sondern auch für negative und für a=0 .

In der Schule liegt das Hauptaugenmerk bei der Transformation von Machtausdrücken gerade auf der Fähigkeit, die passende Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden. In diesem Fall sind die Basen der Abschlüsse in der Regel positiv, wodurch Sie die Eigenschaften der Abschlüsse uneingeschränkt nutzen können. Dasselbe gilt für die Transformation von Ausdrücken, die Variablen in Gradbasen enthalten - der Bereich der akzeptablen Werte von Variablen ist normalerweise so, dass die Basen nur positive Werte annehmen, wodurch Sie die Eigenschaften frei verwenden können von Grad. Im Allgemeinen müssen Sie sich ständig fragen, ob es möglich ist, eine Eigenschaft von Graden in diesem Fall anzuwenden, da eine ungenaue Verwendung von Eigenschaften zu einer Einengung der ODZ und anderen Problemen führen kann. Diese Punkte werden detailliert und mit Beispielen im Artikel Transformation von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften von Graden besprochen. Wir beschränken uns hier auf einige einfache Beispiele.

Beispiel.

Drücken Sie den Ausdruck a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 als Potenz mit Basis a aus.

Entscheidung.

Zuerst transformieren wir den zweiten Faktor (a 2) −3 durch die Eigenschaft, eine Potenz zu einer Potenz zu erheben: (a 2) –3 = a 2 (–3) = a –6. In diesem Fall nimmt der anfängliche Potenzausdruck die Form a 2,5 ·a –6:a –5,5 an. Offensichtlich bleibt es, die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen mit derselben Basis zu verwenden, die wir haben
ein 2,5 ein -6: ein -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5 − (−5,5) = a 2 .

Antworten:

ein 2,5 (ein 2) -3: ein -5,5 \u003d ein 2.

Potenzeigenschaften werden verwendet, wenn Potenzausdrücke sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links transformiert werden.

Beispiel.

Ermitteln Sie den Wert des Potenzausdrucks.

Entscheidung.

Gleichheit (a · b) r = a r · b r , von rechts nach links angewendet, ermöglicht es Ihnen, vom ursprünglichen Ausdruck zum Produkt der Form und weiter zu gehen. Und wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, summieren sich die Indikatoren: .

Es war möglich, die Transformation des ursprünglichen Ausdrucks auf andere Weise durchzuführen:

Antworten:

Beispiel.

Geben Sie bei einem Potenzausdruck a 1,5 −a 0,5 −6 eine neue Variable t=a 0,5 ein.

Entscheidung.

Der Grad a 1,5 kann als 0,5 3 dargestellt werden und weiter auf der Grundlage der Eigenschaft des Grads im Grad (a r ) s = a r s von rechts nach links angewendet, in die Form (a 0,5) 3 umgewandelt werden. Auf diese Weise, a 1,5 – a 0,5 – 6 = (a 0,5) 3 – a 0,5 – 6. Jetzt ist es einfach, eine neue Variable t=a 0,5 einzuführen, wir erhalten t 3 −t−6 .

Antworten:

t 3 – t – 6 .

Brüche mit Potenzen umwandeln

Potenzausdrücke können Brüche mit Potenzen enthalten oder solche Brüche darstellen. Alle grundlegenden Bruchtransformationen, die Brüchen jeglicher Art innewohnen, sind vollständig auf solche Brüche anwendbar. Das heißt, Brüche, die Grade enthalten, können gekürzt, auf einen neuen Nenner gekürzt, getrennt mit ihrem Zähler und getrennt mit dem Nenner usw. Um die obigen Worte zu veranschaulichen, betrachten Sie die Lösungen mehrerer Beispiele.

Beispiel.

Machtausdruck vereinfachen .

Entscheidung.

Dieser Leistungsausdruck ist ein Bruchteil. Lassen Sie uns mit seinem Zähler und Nenner arbeiten. Im Zähler öffnen wir die Klammern und vereinfachen den danach erhaltenen Ausdruck mit den Eigenschaften von Potenzen, und im Nenner präsentieren wir ähnliche Begriffe:

Und wir ändern auch das Vorzeichen des Nenners, indem wir dem Bruch ein Minus voranstellen: .

Antworten:

Das Kürzen von Brüchen mit Potenzen auf einen neuen Nenner erfolgt ähnlich wie das Kürzen von rationalen Brüchen auf einen neuen Nenner. Gleichzeitig wird auch ein zusätzlicher Faktor gefunden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multipliziert. Wenn Sie diese Aktion ausführen, sollten Sie daran denken, dass die Reduzierung auf einen neuen Nenner zu einer Verengung des DPV führen kann. Damit dies nicht passiert, ist es notwendig, dass der zusätzliche Faktor für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel.

Brüche auf einen neuen Nenner bringen: a) auf den Nenner a, b) zum Nenner.

Entscheidung.

a) In diesem Fall ist es ziemlich einfach herauszufinden, welcher zusätzliche Faktor hilft, das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Dies ist ein Faktor a 0,3, da a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Beachten Sie, dass im Bereich der akzeptablen Werte der Variablen a (dies ist die Menge aller positiven reellen Zahlen) der Grad a 0,3 nicht verschwindet, daher haben wir das Recht, Zähler und Nenner des angegebenen Bruchs zu multiplizieren durch diesen zusätzlichen Faktor:

b) Wenn wir uns den Nenner genauer ansehen, finden wir das

und die Multiplikation dieses Ausdrucks mit ergibt die Summe der Kubikzahlen und , also . Und das ist der neue Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Wir haben also einen zusätzlichen Faktor gefunden. Der Ausdruck verschwindet nicht im Bereich der akzeptablen Werte der Variablen x und y, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:

Antworten:

a) , b) .

Auch die Kürzung von Brüchen mit Gradzahlen ist nichts Neues: Zähler und Nenner werden als eine bestimmte Anzahl von Faktoren dargestellt, und dieselben Faktoren von Zähler und Nenner werden gekürzt.

Beispiel.

Kürze den Bruch: a) , b).

Entscheidung.

a) Zunächst lassen sich Zähler und Nenner um die Zahlen 30 und 45 kürzen, was 15 ergibt. Außerdem können Sie natürlich um x 0,5 +1 und um reduzieren . Hier ist, was wir haben:

b) In diesem Fall sind die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner nicht sofort sichtbar. Um sie zu erhalten, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall bestehen sie darin, den Nenner gemäß der Quadratdifferenzformel in Faktoren zu zerlegen:

Antworten:

a)

b) .

Das Kürzen von Brüchen auf einen neuen Nenner und das Kürzen von Brüchen wird hauptsächlich verwendet, um Operationen mit Brüchen durchzuführen. Aktionen werden nach bekannten Regeln ausgeführt. Beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen werden diese auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, danach werden die Zähler addiert (subtrahiert) und der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Die Division durch einen Bruch ist die Multiplikation mit seinem Kehrwert.

Beispiel.

Folge den Schritten .

Entscheidung.

Zuerst subtrahieren wir die Brüche in Klammern. Dazu bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner, nämlich , dann die Zähler subtrahieren:

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

Offensichtlich ist eine Reduktion um die Potenz x 1/2 möglich, danach haben wir .

Sie können den Potenzausdruck im Nenner auch vereinfachen, indem Sie die Quadratdifferenzformel verwenden: .

Antworten:

Beispiel.

Machtausdruck vereinfachen .

Entscheidung.

Offensichtlich kann dieser Bruch um (x 2,7 +1) 2 gekürzt werden, das ergibt den Bruch . Es ist klar, dass mit den Potenzen von x etwas anderes getan werden muss. Dazu wandeln wir die resultierende Fraktion in ein Produkt um. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Eigenschaft der Teilung von Potenzen mit gleichen Basen zu nutzen: . Und am Ende des Prozesses gehen wir vom letzten Produkt zur Fraktion über.

Antworten:

Und wir fügen hinzu, dass es möglich und in vielen Fällen wünschenswert ist, Faktoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Solche Transformationen vereinfachen oft weitere Aktionen. Beispielsweise kann ein Potenzausdruck durch ersetzt werden.

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

Oft gibt es in Ausdrücken, in denen einige Transformationen erforderlich sind, neben Graden mit gebrochenen Exponenten auch Wurzeln. Um einen solchen Ausdruck in die gewünschte Form zu bringen, reicht es in den meisten Fällen aus, nur zu Wurzeln oder nur zu Potenzen zu gehen. Da es jedoch bequemer ist, mit Graden zu arbeiten, bewegen sie sich normalerweise von Wurzeln zu Graden. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang durchzuführen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Grade zu ersetzen, ohne auf das Modul zugreifen zu müssen, oder die ODZ in mehrere Intervalle aufzuteilen (wir haben dies ausführlich in der beschrieben). Artikel, der Übergang von Wurzeln zu Potenzen und umgekehrt Nachdem Sie sich mit dem Grad mit einem rationalen Exponenten vertraut gemacht haben, wird ein Grad mit einem irrationalen Indikator eingeführt, der es ermöglicht, von einem Grad mit einem beliebigen reellen Indikator zu sprechen Die Schule beginnt zu lernen Exponentialfunktion, die analytisch durch den Grad gegeben ist, auf dessen Basis eine Zahl steht, und im Indikator - eine Variable. Wir haben es also mit Exponentialausdrücken zu tun, die Zahlen in der Basis des Grades und im Exponenten enthalten - Ausdrücke mit Variablen, und natürlich entsteht die Notwendigkeit, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Transformation von Ausdrücken des angegebenen Typs normalerweise beim Lösen durchgeführt werden muss Exponentialgleichungen und exponentielle Ungleichungen, und diese Transformationen sind ziemlich einfach. In den allermeisten Fällen basieren sie auf den Eigenschaften des Abschlusses und zielen meist darauf ab, zukünftig eine neue Variable einzuführen. Die Gleichung wird uns erlauben, sie zu demonstrieren 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Zunächst werden die Exponenten, in deren Exponenten die Summe einer Variablen (oder eines Ausdrucks mit Variablen) und einer Zahl steht, durch Produkte ersetzt. Dies gilt für das erste und letzte Glied des Ausdrucks auf der linken Seite:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Als nächstes werden beide Teile der Gleichheit durch den Ausdruck 7 2 x geteilt, der nur positive Werte auf der ODZ der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung annimmt (dies ist eine Standardtechnik zum Lösen von Gleichungen dieser Art, wir sind es nicht Wenn wir jetzt darüber sprechen, konzentrieren Sie sich also auf nachfolgende Transformationen von Ausdrücken mit Potenzen ):

Nun werden Brüche mit Potenzen gestrichen, was ergibt .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zur Gleichung führt , was gleichbedeutend ist mit . Die durchgeführten Transformationen ermöglichen es uns, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung reduziert

I. V. Boikov, L. D. Romanova Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung. Teil 1. Pensa 2003.

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