Einführung
Zylinderfunktionen sind Lösungen einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung
wo ist eine komplexe Variable,
Ein Parameter, der beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen kann.
Der Begriff „Zylinderfunktionen“ verdankt seinen Ursprung der Tatsache, dass Gleichung (1) bei der Betrachtung von Randwertproblemen der Potentialtheorie für ein Zylindergebiet auftritt.
Spezielle Klassen von Zylinderfunktionen sind in der Literatur als Bessel-Funktionen bekannt, und manchmal wird dieser Name der gesamten Klasse von Zylinderfunktionen zugewiesen.
Die gut entwickelte Theorie der betrachteten Funktionen, die Verfügbarkeit detaillierter Tabellen und ein breites Anwendungsspektrum geben ausreichend Anlass, Zylinderfunktionen als eine der wichtigsten Sonderfunktionen einzustufen.
Die Bessel-Gleichung entsteht, wenn Lösungen der Laplace-Gleichung und der Helmholtz-Gleichung in Zylinder- und Kugelkoordinaten gefunden werden. Daher werden Bessel-Funktionen zur Lösung vieler Probleme der Wellenausbreitung, statischer Potentiale usw. verwendet, zum Beispiel:
1) elektromagnetische Wellen in einem zylindrischen Wellenleiter;
2) Wärmeleitfähigkeit in zylindrischen Objekten;
3) Schwingungsmoden einer dünnen runden Membran;
4) die Geschwindigkeit von Teilchen in einem mit Flüssigkeit gefüllten Zylinder, der sich um seine Achse dreht.
Bessel-Funktionen werden auch zur Lösung anderer Probleme verwendet, beispielsweise in der Signalverarbeitung.
Zylindrische Bessel-Funktionen sind die häufigste aller Sonderfunktionen. Sie finden zahlreiche Anwendungen in allen Natur- und Technikwissenschaften (insbesondere Astronomie, Mechanik und Physik). In einer Reihe von Problemen der mathematischen Physik gibt es Zylinderfunktionen, bei denen das Argument oder der Index (manchmal beide) komplexe Werte annehmen. Um solche Probleme numerisch zu lösen, ist es notwendig, Algorithmen zu entwickeln, die es ermöglichen, Bessel-Funktionen mit hoher Genauigkeit zu berechnen.
Zweck der Studienarbeit: Studium der Bessel-Funktionen und Anwendung ihrer Eigenschaften bei der Lösung von Differentialgleichungen.
1) Studieren Sie die Bessel-Gleichung und die modifizierte Bessel-Gleichung.
2) Betrachten Sie die grundlegenden Eigenschaften von Bessel-Funktionen, asymptotischen Darstellungen.
3) Lösen Sie die Differentialgleichung mit der Bessel-Funktion.
Bessel-Funktionen mit ganzzahligem positivem Vorzeichen
Um viele Probleme im Zusammenhang mit der Verwendung von Zylinderfunktionen zu berücksichtigen, reicht es aus, sich auf die Untersuchung einer speziellen Klasse dieser Funktionen zu beschränken, die dem Fall entspricht, dass der Parameter in Gleichung (1) gleich Null oder eine positive ganze Zahl ist.
Das Studium dieser Klasse ist elementarer als die Theorie über willkürliche Werte und kann als gute Einführung in diese allgemeine Theorie dienen.
Zeigen wir, dass eine der Lösungen der Gleichung ist
0, 1, 2, …, (1.1)
ist die Bessel-Funktion erster Ordnung, die für beliebige Werte als Summe der Reihe definiert ist
Mit dem d'Alembert-Test lässt sich leicht überprüfen, ob die betrachtete Reihe auf der gesamten Ebene einer komplexen Variablen konvergiert und daher eine vollständige Funktion von darstellt.
Wenn wir die linke Seite der Gleichung (1.1) mit bezeichnen und eine abgekürzte Notation für die Koeffizienten der Reihe (1.2) einführen, lautet Folgendes:
dann erhalten wir als Ergebnis der Substitution
Daraus folgt, dass der Ausdruck in geschweiften Klammern gleich Null ist. Somit erfüllt die Funktion die Gleichung (1.1), d. h. sie ist eine Zylinderfunktion.
Die einfachsten Funktionen der betrachteten Klasse sind die Bessel-Funktionen der Ordnung null und eins:
Lassen Sie uns zeigen, dass Bessel-Funktionen anderer Ordnungen durch diese beiden Funktionen ausgedrückt werden können. Um dies zu beweisen, nehmen Sie an, dass a eine positive ganze Zahl ist, multiplizieren Sie die Reihe (1.2) mit und differenzieren Sie durch. Dann kriegen wir es hin
Ebenso finden wir, wenn wir die Reihe mit multiplizieren
Nachdem wir die Gleichungen (1,4 - 1,1) differenziert und durch einen Faktor dividiert haben, kommen wir zu den Formeln:
was direkt folgt:
Die resultierenden Formeln werden als Wiederholungsrelationen für Bessel-Funktionen bezeichnet.
Die erste der Beziehungen ermöglicht es, eine Funktion beliebiger Ordnung durch Funktionen der Ordnungen null und eins auszudrücken, was den Aufwand für die Erstellung von Tabellen mit Bessel-Funktionen erheblich reduziert.
Die zweite Beziehung ermöglicht es, Ableitungen von Bessel-Funktionen durch Bessel-Funktionen darzustellen. Dafür muss diese Beziehung durch die Formel ersetzt werden
direkt aus der Definition dieser Funktionen folgt.
Bessel-Funktionen erster Art hängen einfach mit den Koeffizienten der Laurent-Reihenentwicklung der Funktion zusammen):
Die Koeffizienten dieser Entwicklung können durch Multiplikation von Potenzreihen berechnet werden:
und Vereinigungen von Mitgliedern mit gleichen Abschlüssen. Nachdem wir dies getan haben, erhalten wir:
woraus folgt, dass die betrachtete Erweiterung in der Form geschrieben werden kann
Die Funktion wird als erzeugende Funktion für Bessel-Funktionen mit ganzzahligem Vorzeichen bezeichnet; Die gefundene Beziehung (1.12) spielt in der Theorie dieser Funktionen eine wichtige Rolle.
Um das allgemeine Integral der Gleichung (1.1) zu erhalten, das einen Ausdruck für eine beliebige Zylinderfunktion mit einem ganzzahligen Vorzeichen angibt, ist es notwendig, eine zweite Lösung der Gleichung zu konstruieren, die linear unabhängig von c ist. Als eine solche Lösung kann die Bessel-Funktion zweiter Art genommen werden, auf deren Definition man leicht einen analytischen Ausdruck dafür in Form einer Reihe erhalten kann
(- Euler-Konstante) und in diesem Fall sollte die erste der Summen gleich Null gesetzt werden.
Die Funktion ist in der Ebene mit Schnitt regelmäßig. Ein wesentliches Merkmal der betrachteten Lösung ist, dass sie wann ins Unendliche geht. Der allgemeine Ausdruck der Zylinderfunktion für stellt eine Linearkombination der konstruierten Lösungen dar
wobei und beliebige Konstanten sind,
Um mit der Lösung des Problems der Schwingungen einer kreisförmigen Membran fortzufahren, müssen wir uns zunächst mit den Bessel-Funktionen vertraut machen. Bessel-Funktionen sind Lösungen einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten
Diese Gleichung wird Besselsche Gleichung genannt. Sowohl die Gleichung selbst als auch ihre Lösungen finden sich nicht nur im Problem der Schwingungen einer kreisförmigen Membran, sondern auch in einer Vielzahl anderer Probleme.
Der in Gleichung (10.1) enthaltene Parameter k kann im Allgemeinen jeden positiven Wert annehmen. Lösungen der Gleichung für ein gegebenes k werden Bessel-Funktionen der Ordnung k (manchmal auch Zylinderfunktionen genannt) genannt. Wir werden nur die einfachsten Fälle im Detail betrachten, wenn und da wir in der weiteren Darstellung nur auf Bessel-Funktionen nullter und erster Ordnung stoßen.
Für eine allgemeine Untersuchung der Bessel-Funktionen verweisen wir den Leser auf spezielle Handbücher (siehe z. B. genannt Bessel-Gleichung . Die Zahl \(v\) wird aufgerufen Ordnung der Bessel-Gleichung .
Diese Differentialgleichung wurde nach dem deutschen Mathematiker und Astronomen benannt Friedrich Wilhelm Bessel , der es im Detail untersuchte und (in \(1824\)) zeigte, dass Lösungen der Gleichung durch eine spezielle Klasse von Funktionen namens ausgedrückt werden Zylinderfunktionen oder Bessel-Funktionen .
Die konkrete Darstellung der allgemeinen Lösung hängt von der Zahl \(v.\) ab. Als nächstes betrachten wir getrennt zwei Fälle:
Die Ordnung \(v\) ist keine ganze Zahl;
Die Ordnung von \(v\) ist eine ganze Zahl.
Fall 1. Die Ordnung \(v\) ist keine ganze Zahl
Unter der Annahme, dass die Zahl \(v\) nicht ganzzahlig und positiv ist, kann die allgemeine Lösung der Bessel-Gleichung in der Form \ geschrieben werden, wobei \((C_1),\) \((C_2)\) beliebige Konstanten sind, und \((J_v)\ left(x \right),\) \((J_( - v))\left(x \right)\) − Bessel-Funktionen erster Art .
Die Bessel-Funktion erster Art lässt sich als Reihe darstellen, deren Terme durch die sogenannten ausgedrückt werden Gammafunktion : \[(J_v)\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\left(( - 1) \right))^p)))( (\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p + v + 1) \right)))((\left((\frac(x)(2)) \right)) ^(2p + v))) .\] Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung Fakultätsfunktion von der Menge der ganzen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen. Insbesondere hat es die folgenden Eigenschaften: \[ (\Gamma \left((p + 1) \right) = p!,)\;\; (\Gamma \left((p + v + 1) \right) = \left((v + 1) \right)\left((v + 2) \right) \cdots \left((v + p) \ right)\Gamma \left((v + 1) \right).) \] Bessel-Funktionen erster Art negativer Ordnung (mit Index \(-v\)) werden auf ähnliche Weise geschrieben. Hier nehmen wir an, dass \(v > 0.\) \[(J_( - v))\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\ left (( - 1) \right))^p)))((\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p - v + 1) \right)))((\ left ((\frac(x)(2)) \right))^(2p - v))) .\] Bessel-Funktionen werden in den meisten Mathematikpaketen berechnet. Die Form von Bessel-Funktionen erster Ordnung von \(v = 0\) bis \(v = 4\) ist beispielsweise in Abbildung \(1) dargestellt. Diese Funktionen können auch in MS Excel berechnet werden.
Fall 2. Die Ordnung \(v\) ist ganzzahlig
Wenn die Ordnung \(v\) der Bessel-Differentialgleichung ganzzahlig ist, dann sind die Bessel-Funktionen erster Art \((J_v)\left(x \right)\) und \((J_( - v))\left (x \right)\ ) werden voneinander abhängig. In diesem Fall wird die allgemeine Lösung der Gleichung durch eine andere Formel beschrieben: \ wobei \((Y_v)\left(x \right)\) − Bessel-Funktion zweiter Art . Manchmal wird diese Funktionsfamilie auch aufgerufen Neumann-Funktionen oder Weber-Funktionen .
Bessel-Funktion zweiter Art \((Y_v)\left(x \right)\) kann durch Bessel-Funktionen der ersten Art \((J_v)\left(x \right)\) und \((J_( - v))\left ausgedrückt werden (x \right):\) \[(Y_v)\left(x \right) = \frac(((J_v)\left(x \right)\cos \pi v - (J_( - v))\left (x \ right)))((\sin \pi v)).\] Funktionsgraphen \((Y_v)\left(x \right)\) für die ersten paar Ordnungen \(v\) sind oben in dargestellt Figur 2.\ )
Notiz: Tatsächlich kann die allgemeine Lösung der Bessel-Differentialgleichung auch für den Fall nicht ganzzahliger Ordnung \(v.\) durch Bessel-Funktionen erster und zweiter Art ausgedrückt werden.
Einige auf die Bessel-Gleichung reduzierbare Differentialgleichungen
1. Eine weitere bekannte Gleichung dieser Klasse ist modifizierte Bessel-Gleichung , die aus der regulären Bessel-Gleichung durch Ersetzen von \(x\) durch \(-ix.\) erhalten wird. Diese Gleichung hat die Form: \[(x^2)y"" + xy" - \left(((x ^2) + (v^2)) \right)y = 0.\] Die Lösung dieser Gleichung wird durch das sogenannte ausgedrückt modifizierte Bessel-Funktionen erster und zweiter Art : \[ (y\left(x \right) = (C_1)(J_v)\left(( - ix) \right) + (C_2)(Y_v)\left(( - ix) \right) ) = (( C_1)(I_v)\left(x \right) + (C_2)(K_v)\left(x \right),) \] wobei \((I_v)\left(x \right)\) und \((K_v )\left(x \right)\) bezeichnen modifizierte Bessel-Funktionen erster und zweiter Art.2.
Luftige Differentialgleichung
, in der Astronomie und Physik bekannt, wird in der Form geschrieben: \ Es kann auch auf die Bessel-Gleichung reduziert werden. Die Lösung der Airy-Gleichung wird durch Bessel-Funktionen gebrochener Ordnung ausgedrückt \(\pm \large\frac(1)(3)\normalsize:\) \[ (y\left(x \right) ) = ((C_1) \sqrt x (J_ (\large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\frac(3)(2)\normalsize) )) \right) + (C_2)\sqrt x (J_( - \large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\ frac(3)( 2)\normalsize)))\right).)\]
3.
Eine Differentialgleichung der Form \[(x^2)y"" + xy" + \left(((a^2)(x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] unterscheidet sich aus der Bessel-Gleichung nur einen Faktor \((a^2)\) vor \((x^2)\) und hat eine allgemeine Lösung in der folgenden Form: \
4.
Eine ähnliche Differentialgleichung \[(x^2)y"" + axy" + \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] reduziert sich auch auf die Bessel-Gleichung \[ (x ^2)z"" + xz" + \left(((x^2) - (n^2)) \right)z = 0\] mit Substitution \ Hier der Parameter \((n^2)\ ) bezeichnet \[(n^2) = (v^2) + \frac(1)(4)(\left((a - 1) \right)^2).\] Daraus ergibt sich die allgemeine Lösung zu diese Differentialgleichung wird durch die Formel \.\] bestimmt
Spezielle Bessel-Funktionen werden häufig zur Lösung von Problemen der mathematischen Physik, beispielsweise im Studium, verwendet
Wellenausbreitung;
Wärmeleitfähigkeit;
Membranschwingungen
