Als nächstes beweisen wir, dass die Wurzeln der Frequenzgleichung (4.25) zwei positive Werte sind Zu 2 und zu 2(In der Schwingungstheorie entspricht ein niedrigerer Index einer niedrigeren Frequenz, d. h. k ( Zu diesem Zweck führen wir zunächst das Konzept der Teilfrequenz ein. Unter diesem Begriff versteht man die Eigenfrequenz eines Systems mit einem Freiheitsgrad, die man aus dem ursprünglichen System durch Festlegung aller verallgemeinerten Koordinaten bis auf eine erhält. So beispielsweise wenn in der ersten der Systemgleichungen wir (4.22) akzeptieren q 2 = 0, dann beträgt die Teilfrequenz p ( =yjc u /a n. Ebenso wird p 2 ~^c n /a 21 festgelegt.

Damit die Frequenzgleichung (4.25) zwei reelle Wurzeln hat k x Und k 2 ist es notwendig und ausreichend, dass zunächst der Graph der Funktion A (zu 2) bei k = 0 hätte eine positive Ordinate und zweitens, dass sie die x-Achse schneidet. Der Fall mehrerer Frequenzen k ( = k. ) sowie das Drehen der niedrigsten Frequenz auf Null wird hier nicht berücksichtigt. Die erste dieser Bedingungen ist erfüllt, da d (0) = c„c 22 - mit und> 0 Die Gültigkeit der zweiten Bedingung lässt sich leicht überprüfen, indem man (4.25) einsetzt: k = k = p 2 ; in diesem Fall A(p, 2) Informationen dieser Art in ingenieurtechnischen Berechnungen erleichtern Prognosen und Schätzungen.

Die resultierenden zwei Frequenzwerte Zu, Und zu 2 entsprechen bestimmten Lösungen der Form (4.23), daher hat die allgemeine Lösung die folgende Form:

Somit ist jede der verallgemeinerten Koordinaten an einem komplexen Schwingungsprozess beteiligt, bei dem es sich um die Addition harmonischer Bewegungen mit unterschiedlichen Frequenzen, Amplituden und Phasen handelt (Abb. 4.6). Frequenzen k t Und zu 2 im allgemeinen Fall sind daher inkommensurabel q v c, sind keine periodischen Funktionen.

Reis. 4.6

Das Verhältnis der Amplituden freier Schwingungen bei einer festen Eigenfrequenz wird Formkoeffizient genannt. Für ein System mit zwei Freiheitsgraden sind die Formkoeffizienten (3.= BJA.“ werden direkt aus den Gleichungen (4.24) ermittelt:

Somit sind die Koeffizienten der Form p, = V 1 /A [ und r.,= V.,/A., hängen nur von den Systemparametern und nicht von den Anfangsbedingungen ab. Formkoeffizienten werden für die betrachtete Eigenfrequenz charakterisiert Zu. Verteilung der Amplituden entlang des Schwingkreises. Die Kombination dieser Amplituden bildet die sogenannte Schwingungsform.

Ein negativer Formfaktorwert bedeutet, dass die Schwingungen phasenverschoben sind.

Bei der Verwendung von Standard-Computerprogrammen verwenden sie manchmal normalisierte Formkoeffizienten. Dieser Begriff bedeutet

Im Koeffizienten p' g Index ich entspricht der Koordinatennummer und dem Index G- Frequenznummer. Es ist klar, dass oder Es ist leicht zu erkennen, dass p*

Im Gleichungssystem (4.28) sind die restlichen vier Unbekannten A g A 2, oc, cx 2 werden anhand der Anfangsbedingungen bestimmt:

Das Vorhandensein einer linearen Widerstandskraft führt, wie in einem System mit einem Freiheitsgrad, zur Dämpfung freier Schwingungen.

Reis. 4.7

Beispiel. Bestimmen wir die Eigenfrequenzen, Teilfrequenzen und Formfaktoren für das in Abb. dargestellte Schwingsystem. 4,7, A. Nimmt man absolute Verschiebungen der Masse.g als verallgemeinerte Koordinaten, = q v x 2 = q. R Schreiben wir die Ausdrücke für die kinetische und potentielle Energie auf:

Auf diese Weise,

Nach Einsetzen in die Frequenzgleichungen (4.25) erhalten wir

Darüber hinaus gilt nach (4.29)

In Abb. 4,7, B die Schwingungsmoden sind angegeben. Bei der ersten Schwingungsform bewegen sich die Massen synchron in die eine Richtung, bei der zweiten in die entgegengesetzte Richtung. Darüber hinaus erschien im letzteren Fall ein Querschnitt N, nicht mit seiner eigenen Frequenz am Schwingungsprozess beteiligt ist kr Dies ist das sogenannte Vibrationseinheit.

Die Theorie der freien Schwingungen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden ist ähnlich aufgebaut, wie in § 21 eindimensionale Schwingungen betrachtet wurden.

Die potentielle Energie des Systems U als Funktion verallgemeinerter Koordinaten soll ein Minimum bei haben. Einführung kleiner Offsets

und wenn wir U in Bezug auf sie bis zu Termen zweiter Ordnung erweitern, erhalten wir die potentielle Energie in Form einer positiv definiten quadratischen Form

wobei wir wiederum die potentielle Energie von ihrem Minimalwert aus zählen. Da die Koeffizienten und in (23.2) multipliziert mit demselben Wert enthalten sind, ist es klar, dass sie in ihren Indizes immer als symmetrisch betrachtet werden können

In kinetischer Energie, die im allgemeinen Fall die Form hat

(siehe (5.5)), wir setzen es in die Koeffizienten ein und erhalten es, indem wir die Konstanten mit bezeichnen, in Form einer positiv definiten quadratischen Form

Somit ist die Lagrange-Funktion eines Systems, das freie kleine Schwingungen ausführt:

Stellen wir nun die Bewegungsgleichungen auf. Um die darin enthaltenen Ableitungen zu bestimmen, schreiben wir das Gesamtdifferential der Lagrange-Funktion

Da der Wert der Summe natürlich nicht von der Bezeichnung der Summationsindizes abhängt, ändern wir im ersten und dritten Term in Klammern i durch k und k durch i; unter Berücksichtigung der Symmetrie der Koeffizienten erhalten wir:

Daraus geht hervor, dass

Daher die Lagrange-Gleichungen

(23,5)

Sie stellen ein System linearer homogener Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten dar.

Gemäß den allgemeinen Regeln zum Lösen solcher Gleichungen suchen wir nach unbekannten Funktionen in der Form

Wo sind einige, noch nicht definierte Konstanten? Wenn wir (23.6) in das System (23.5) einsetzen, erhalten wir durch Reduktion auf ein System linearer homogener algebraischer Gleichungen, die durch die Konstanten erfüllt sein müssen:

Damit dieses System Lösungen ungleich Null hat, muss seine Determinante verschwinden

Gleichung (23.8) – die sogenannte charakteristische Gleichung ist eine Gleichung vom Grad s bzgl. Sie hat im allgemeinen Fall s verschiedene reelle positive Wurzeln (in Sonderfällen können einige dieser Wurzeln zusammenfallen). Die so ermittelten Größen nennt man Eigenfrequenzen des Systems.

Die Realität und Positivität der Wurzeln der Gleichung (23.8) sind bereits aus physikalischen Überlegungen ersichtlich. Tatsächlich würde das Vorhandensein eines Imaginärteils in y das Vorhandensein eines exponentiell abnehmenden oder exponentiell wachsenden Faktors in der Zeitabhängigkeit der Koordinaten (23.6) (und damit der Geschwindigkeiten) bedeuten. Das Vorhandensein eines solchen Faktors ist in diesem Fall jedoch inakzeptabel, da es entgegen dem Erhaltungssatz zu einer Änderung der Gesamtenergie des Systems im Laufe der Zeit führen würde.

Das Gleiche lässt sich rein mathematisch verifizieren. Wenn wir Gleichung (23.7) mit multiplizieren und dann summieren, erhalten wir:

Die quadratischen Formen im Zähler und Nenner dieses Ausdrucks sind aufgrund der Realität und Symmetrie der Koeffizienten real und tatsächlich

Sie sind auch deutlich positiv und daher positiv

Nachdem die Frequenzen gefunden wurden, kann man durch Einsetzen jeder von ihnen in die Gleichungen (23.7) die entsprechenden Werte der Koeffizienten finden. Wenn alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung unterschiedlich sind, dann sind bekanntlich die Koeffizienten A sind proportional zu den Minderjährigen der Determinante (23.8), in der der Ersatz Wir bezeichnen diese Minderjährigen mit dem entsprechenden Wert durch Do. Eine bestimmte Lösung des Differentialgleichungssystems (23.5) hat daher die Form

wo ist eine beliebige (komplexe) Konstante.

Die allgemeine Lösung ergibt sich aus der Summe aller Einzellösungen. Kommen wir zum eigentlichen Teil und schreiben ihn in das Formular

wo wir die Notation eingeführt haben

(23,10)

Somit stellt die Änderung jeder Koordinaten des Systems im Laufe der Zeit die Überlagerung einfacher periodischer Schwingungen mit willkürlichen Amplituden und Phasen, aber wohldefinierten Frequenzen dar.

Es stellt sich natürlich die Frage: Ist es möglich, verallgemeinerte Koordinaten so zu wählen, dass jeder von ihnen nur eine einfache Schwingung ausführt? Schon die Form des allgemeinen Integrals (23.9) weist auf den Weg zur Lösung dieses Problems hin.

Wenn wir die s-Beziehungen (23.9) als ein Gleichungssystem mit s unbekannten Größen betrachten, können wir, nachdem wir dieses System gelöst haben, die Größen durch die Koordinaten ausdrücken. Daher können Größen als neue verallgemeinerte Koordinaten betrachtet werden. Diese Koordinaten werden Normalkoordinaten (oder Hauptkoordinaten) genannt, und die einfachen periodischen Schwingungen, die sie ausführen, werden Normalschwingungen des Systems genannt.

Normalkoordinaten erfüllen, wie aus ihrer Definition hervorgeht, die Gleichungen

(23,11)

Das bedeutet, dass in Normalkoordinaten die Bewegungsgleichungen in voneinander unabhängige s-Gleichungen zerfallen. Die Beschleunigung jeder Normalkoordinate hängt nur vom Wert derselben Koordinate ab, und um ihre Zeitabhängigkeit vollständig zu bestimmen, ist es notwendig, nur die Anfangswerte von ihr selbst und ihrer entsprechenden Geschwindigkeit zu kennen. Mit anderen Worten: Die normalen Schwingungen des Systems sind völlig unabhängig.

Aus dem oben Gesagten ist ersichtlich, dass die Lagrange-Funktion, ausgedrückt in Normalkoordinaten, in eine Summe von Ausdrücken zerfällt, von denen jeder einer eindimensionalen Schwingung mit einer der Frequenzen entspricht, d. h. sie hat die Form

(23,12)

wo sind positive Konstanten. Aus mathematischer Sicht bedeutet dies, dass durch die Transformation (23.9) beide quadratischen Formen – kinetische Energie (23.3) und potentielle Energie (23.2) – gleichzeitig auf eine Diagonalform reduziert werden.

Typischerweise werden Normalkoordinaten so gewählt, dass die Koeffizienten der quadrierten Geschwindigkeiten in der Lagrange-Funktion gleich 1/2 sind. Dazu reicht es aus, die Normalkoordinaten (wir bezeichnen sie jetzt) ​​durch die Gleichungen zu definieren

All das ändert sich wenig, wenn es unter den Wurzeln der charakteristischen Gleichung mehrere Wurzeln gibt. Die allgemeine Form (23.9), (23.10) des Integrals der Bewegungsgleichungen bleibt dieselbe (mit der gleichen Anzahl s von Termen), mit dem einzigen Unterschied, dass die Koeffizienten, die mehreren Frequenzen entsprechen, keine Nebenkoeffizienten der Determinante mehr sind , wie bekannt, in diesem Fall zu Null werden.

Jede mehrfache (oder, wie man sagt, entartete) Frequenz entspricht so vielen verschiedenen Normalkoordinaten wie der Grad der Multiplizität, aber die Wahl dieser Normalkoordinaten ist nicht eindeutig. Da die Normalkoordinaten (bei gleichen Koordinaten) in Form identisch transformierbarer Summen in die kinetischen und potentiellen Energien eingehen, können sie jeder linearen Transformation unterzogen werden, die die Quadratsumme invariant lässt.

Es ist sehr einfach, Normalkoordinaten für dreidimensionale Schwingungen eines materiellen Punktes zu finden, der sich in einem konstanten äußeren Feld befindet. Indem wir den Ursprung des kartesischen Koordinatensystems auf den Punkt minimaler potentieller Energie legen, erhalten wir letztere in Form einer quadratischen Form der Variablen x, y, z und der kinetischen Energie

(m ist die Masse der Teilchen) hängt nicht von der Wahl der Richtung der Koordinatenachsen ab. Daher ist es lediglich erforderlich, die potentielle Energie durch entsprechende Drehung der Achsen in eine diagonale Form zu bringen. Dann

und Schwingungen entlang der x-, y-, z-Achse sind die wichtigsten mit Frequenzen

Im Spezialfall eines zentralsymmetrischen Feldes fallen diese drei Frequenzen zusammen (siehe Aufgabe 3).

Die Verwendung von Normalkoordinaten ermöglicht es, das Problem erzwungener Schwingungen eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden auf Probleme eindimensionaler erzwungener Schwingungen zu reduzieren. Die Lagrange-Funktion des Systems hat unter Berücksichtigung der auf es einwirkenden variablen äußeren Kräfte die Form

(23,15)

Wo ist die Lagrange-Funktion der freien Schwingungen?

Durch die Einführung normaler Koordinaten anstelle von Koordinaten erhalten wir:

wo die Bezeichnung eingeführt wird

Dementsprechend sind die Bewegungsgleichungen

(23.17)

Aufgaben

1. Bestimmen Sie die Schwingungen eines Systems mit zwei Freiheitsgraden anhand seiner Lagrange-Funktion

Im besonderen Fall eines Systems mit zwei Freiheitsgraden sind die quadratischen Formen T, P, Ф jeweils gleich

und die Differentialgleichungen kleiner Schwingungen werden die Form annehmen

Betrachten wir freie Schwingungen eines konservativen Systems. In diesem Fall

und die Differentialgleichungen haben die Form:

Die Anfangsbedingungen für haben die Form:

Aufgrund der positiven Bestimmtheit der quadratischen Form der kinetischen Energie erfüllen die verallgemeinerten Trägheitskoeffizienten die Beziehungen

und ähnliche Beziehungen für quasielastische Koeffizienten

sind ausreichende Bedingungen für die Stabilität der Gleichgewichtslage des Systems.

Die Koeffizienten und, die die verallgemeinerten Koordinaten und in den Gleichungen (4.5) verbinden, werden als Trägheits- bzw. elastische Kopplungskoeffizienten bezeichnet. Wenn das schwingende System einen Koeffizienten hat, spricht man von einem System mit elastischer Verbindung, und wenn es sich um ein System mit Trägheitsverbindung handelt.

Ein Teilsystem, das der verallgemeinerten Koordinate entspricht, wird als bedingtes Schwingungssystem mit einem Freiheitsgrad bezeichnet, das aus dem ursprünglichen System erhalten wird, wenn die Änderung aller verallgemeinerten Koordinaten außer verboten ist. Partialfrequenzen sind die Eigenfrequenzen von Teilsystemen:

Da die Gleichungen (4.5) nur verallgemeinerte Koordinaten und ihre zweiten Ableitungen nach der Zeit enthalten, suchen wir ihre Lösung in der Form

wo sind noch unbekannte Mengen.

Wenn wir (4.8) in (4.5) einsetzen und die Koeffizienten der Sinuswerte gleichsetzen, erhalten wir ein homogenes algebraisches System bezüglich und:

Damit das homogene algebraische System (4.9) eine von Null verschiedene Lösung hat, muss es entartet sein, d. h. seine Determinante muss gleich Null sein:

Folglich ist Lösung (4.7) nur für die Werte sinnvoll, die die Bedingung (4.9) erfüllen. Wenn wir (4.10) erweitern, erhalten wir

Eine Gleichung in der Form (4.10), (4.11) oder (4.12) heißt Frequenz Wie aus (4.12) ersichtlich ist, handelt es sich bei der Frequenzgleichung um eine biquadratische Gleichung. Die aus (4.10)–(4.12) gefundenen Werte werden aufgerufen Eigenfrequenzen der Schwingungen des Systems.

Die Untersuchung der Wurzeln der Frequenzgleichung lässt uns folgende Schlussfolgerungen ziehen:

1) Wenn die Gleichgewichtslage stabil ist, sind beide Wurzeln der Frequenzgleichung positiv;

2) Die erste Eigenfrequenz des Systems ist immer kleiner als die kleinere Teilfrequenz und die zweite ist immer größer als die größere Teilfrequenz.

Für schwingungsfähige Systeme mit elastischer Kopplung ( = 0) gilt die Gleichheit

Schreiben wir zwei teilweise unabhängige Lösungen, die den Frequenzen und entsprechen, in der Form

wobei die zweite Ziffer im Index der Häufigkeitszahl oder Zahl entspricht Vibrationstöne.

Die Konstanten sind nicht unabhängig, da das System (4.9) entartet ist. Die Koeffizienten stehen durch die Beziehungen zueinander in Beziehung

Wo . (4.15)

Wo . (4.16)

Unter Berücksichtigung von (4.15) und (4.16) haben bestimmte Lösungen (4.14) die Form

Schwingungen, deren Gleichungen die Form (4.17) haben, heißen Hauptschwankungen. Sie repräsentieren harmonische Schwingungen mit Frequenzen bzw. Die Koeffizienten werden aufgerufen Amplitudenverteilungskoeffizienten. Sie charakterisieren das Verhältnis der Amplituden in den Hauptschwingungen bzw bilden Hauptschwankungen.

Die Verteilungskoeffizienten der Amplituden und damit die Formen der Hauptschwingungen sowie der Eigenfrequenzen werden durch die Parameter des Schwingungssystems selbst bestimmt und sind nicht von den Anfangsbedingungen abhängig. Daher werden die Schwingungsmoden, ebenso wie die Frequenzen, eigene Vibrationsmodi beim Schwingen entsprechend dem entsprechenden Ton.

Die allgemeine Lösung des Gleichungssystems (4.5) kann als Summe der gefundenen Teillösungen (4.17) dargestellt werden.

Die allgemeine Lösung enthält vier unbestimmte Konstanten, die aus den Anfangsbedingungen (4.6) bestimmt werden müssen.

Unter beliebigen Anfangsbedingungen sind beide Konstanten und von Null verschieden. Dies bedeutet, dass die zeitliche Änderung jeder verallgemeinerten Koordinate die Summe harmonischer Schwingungen mit den Frequenzen und ist. Und solche Schwingungen sind nicht nur nicht harmonisch, sondern im Allgemeinen auch nicht periodisch.

Betrachten wir den Fall freier Schwingungen des Systems, bei dem sich die Eigenfrequenzen der Schwingungen des Systems kaum voneinander unterscheiden:

Bezeichnen wir den Unterschied in den Argumenten der Sinus in der allgemeinen Lösung (4.18) der Gleichungen freier Schwingungen

Bei einem Wert von , und mit zunehmender Zeit nimmt diese Abhängigkeit aufgrund ihrer Kleinheit nur sehr langsam zu. Dann

Unter Berücksichtigung der letzten Gleichung kann die allgemeine Lösung der Gleichungen der freien Schwingungen (4.18) wie folgt geschrieben werden:

In diesen Gleichungen

Da die Ausdrücke (4.21) von und abhängen und sich der Winkel mit der Zeit langsam ändert, handelt es sich bei den betrachteten Schwingungen (4.20) um Schwingungen mit periodisch variierender Amplitude. Die Periode der Amplitudenänderung ist in diesem Fall viel länger als die Schwingungsperiode (Abb. 4.1). Wenn die Amunterschiedliche Vorzeichen haben, entspricht das Minimum dem Maximum und umgekehrt. Wenn sich die erste Hauptschwingung verstärkt, nimmt die Intensität der zweiten Hauptschwingung ab und umgekehrt, das heißt, die Bewegungsenergie des Systems scheint periodisch in der einen oder anderen Verbindung dieses Schwingsystems konzentriert zu sein. Dieses Phänomen nennt man Prügel.

Ein anderer Ansatz zur Lösung des Problems der freien Schwingungen des Systems besteht darin, einige neue verallgemeinerte und aufgerufene Koordinaten zu finden normal oder hauptsächlich, bei dem die Bewegung unter allen Anfangsbedingungen einfrequent und harmonisch ist.

Die Beziehung zwischen den willkürlich gewählten verallgemeinerten Koordinaten und und den Hauptkoordinaten kann wie folgt ausgedrückt werden:

wobei und Am(Formkoeffizienten) sind. Es kann gezeigt werden, dass der Übergang von den ursprünglichen Koordinaten zu den Hauptkoordinaten die quadratischen Formen der kinetischen und potentiellen Energie zur kanonischen Form führt:

Wenn wir die Ausdrücke (4.23) für und in die Lagrange-Gleichungen zweiter Art einsetzen, erhalten wir die Gleichungen für kleine Schwingungen des Systems in Hauptkoordinaten: . Die Ausdrücke für kinetische und potentielle Energie haben die kanonische Form: und

Betrachten wir kleine Schwingungen eines Systems mit zwei Freiheitsgraden, das den Kräften eines Potentialfeldes und sich im Laufe der Zeit periodisch ändernden Kräften ausgesetzt ist. Die daraus resultierenden Bewegungen des Systems werden als erzwungene Schwingungen bezeichnet.

Lassen Sie die störenden verallgemeinerten Kräfte nach einem harmonischen Gesetz mit der Zeit variieren und gleiche Perioden und Anfangsphasen haben. Dann haben die Bewegungsgleichungen des betrachteten Systems die Form:

Bei den Bewegungsgleichungen handelt es sich im betrachteten Fall um ein System linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und einer rechten Seite.

Gehen Sie zu den Hauptkoordinaten

Um das Studium der Bewegungsgleichungen zu erleichtern, gehen wir zu den Hauptkoordinaten des Systems über. Die Beziehung zwischen den Koordinaten wird durch die Formeln des vorherigen Absatzes des Formulars bestimmt:

Bezeichnen wir entsprechend die verallgemeinerten Kräfte, die den Normalkoordinaten entsprechen. Da die verallgemeinerten Kräfte Koeffizienten für die entsprechenden Variationen der verallgemeinerten Koordinaten im Ausdruck der Elementararbeit der auf das System wirkenden Kräfte darstellen, dann

Somit:

Somit haben die Bewegungsgleichungen in Hauptkoordinaten die Form:

Die Gleichungen erzwungener Schwingungen eines Systems mit zwei Freiheitsgraden in Normalkoordinaten sind unabhängig voneinander und können separat integriert werden.

Kritische Frequenzen der Störkraft

Die Gleichung für oder bestimmt die oszillierende Natur der Änderung der Normalkoordinaten und wird im Detail untersucht, wenn man die erzwungene Schwingung eines Punktes entlang einer geraden Linie betrachtet, da die Differentialgleichungen der Bewegung in beiden Fällen gleich sind. Insbesondere wenn die Frequenz der Störkraft gleich der Frequenz einer der Eigenschwingungen des Systems ist oder die Lösung die Zeit t als Faktor einbezieht. Folglich wird eine der normalen verallgemeinerten Koordinaten für ein ausreichend großes t beliebig groß sein, oder wir haben das Phänomen der Resonanz.