1.1. Bestimmung des Grads für einen ganzzahligen Exponenten

X1 = X
X2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N mal

1.2. Null Grad.

Per Definition ist es üblich anzunehmen, dass die Nullpotenz einer beliebigen Zahl gleich 1 ist:

1.3. negativer Grad.

X-N = 1/XN

1.4. Bruchexponent, Wurzel.

X 1/N = N-te Wurzel von X.

Zum Beispiel: X 1/2 = √X.

1.5. Die Formel für das Addieren von Potenzen.

X(N+M) = XN * XM

1.6 Formel zum Subtrahieren von Graden.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Formel zur Potenzmultiplikation.

XN*M = (XN)M

1.8. Die Formel zur Potenzierung eines Bruchs.

(X/Y)N = XN/YN

2. Nummer z.

Der Wert der Zahl e ist gleich der folgenden Grenze:

E = lim(1+1/N), da N → ∞.

Mit einer Genauigkeit von 17 Stellen ist die Zahl e 2,71828182845904512.

3. Eulersche Gleichheit.

Diese Gleichheit verbindet fünf Zahlen, die in der Mathematik eine besondere Rolle spielen: 0, 1, die Zahl e, die Zahl Pi, die imaginäre Einheit.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Exponentialfunktion exp (x)

exp(x) = e x

5. Ableitung der Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft: Die Ableitung einer Funktion ist gleich der Exponentialfunktion selbst:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logarithmus.

6.1. Definition der Logarithmusfunktion

Wenn x = b y , dann ist der Logarithmus die Funktion

Y = Logb(x).

Der Logarithmus zeigt, um wie viel es notwendig ist, eine Zahl zu erhöhen - die Basis des Logarithmus (b), um eine bestimmte Zahl (X) zu erhalten. Die Logarithmusfunktion ist für X größer Null definiert.

Beispiel: Protokoll 10 (100) = 2.

6.2. Dezimaler Logarithmus

Dies ist der Logarithmus zur Basis 10:

Y = Protokoll 10 (x) .

Bezeichnet Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Ein Beispiel für die Verwendung des Dezimallogarithmus ist Dezibel.

6.3. Dezibel

Artikel wird auf einer separaten Seite hervorgehoben Dezibel

6.4. binärer Logarithmus

Dies ist der Logarithmus zur Basis 2:

Y = Log2(x).

Bezeichnet mit Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. natürlicher Logarithmus

Dies ist der Logarithmus zur Basis e:

Y = Loge(x) .

Bezeichnet mit Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion exp(X).

6.6. charakteristische Punkte

Loga(1) = 0
Log a(a) = 1

6.7. Die Formel für den Logarithmus des Produkts

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Die Formel für den Logarithmus des Quotienten

Protokoll a (x/y) = Protokoll a (x) - Protokoll a (y)

6.9. Formel für den Potenzlogarithmus

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formel zur Umrechnung in einen Logarithmus mit anderer Basis

Protokoll b (x) = (Protokoll a (x)) / Protokoll a (b)

Beispiel:

Protokoll 2 (8) = Protokoll 10 (8) / Protokoll 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formeln, die im Leben nützlich sind

Oft gibt es Probleme bei der Umrechnung von Volumen in Fläche oder Länge, und das umgekehrte Problem ist die Umrechnung von Fläche in Volumen. Zum Beispiel werden Bretter in Würfeln (Kubikmeter) verkauft, und wir müssen berechnen, wie viel Wandfläche mit Brettern ummantelt werden kann, die in einem bestimmten Volumen enthalten sind, siehe Berechnung von Brettern, wie viele Bretter in einem Würfel sind. Oder, die Abmessungen der Wand sind bekannt, es ist notwendig, die Anzahl der Ziegel zu berechnen, siehe Ziegelberechnung.

Es ist erlaubt, die Materialien der Website zu verwenden, sofern ein aktiver Link zur Quelle gesetzt wird.

Exponential- und Logarithmusfunktionen VIII

§ 184. Logarithmus von Grad und Wurzel

Satz 1. Der Logarithmus der Potenz einer positiven Zahl ist gleich dem Produkt des Exponenten dieser Potenz mit dem Logarithmus ihrer Basis.

Mit anderen Worten, wenn a und X positiv u a =/= 1, dann für jede reelle Zahl k

Protokoll ein x k = k Protokoll ein x . (1)

Um diese Formel zu beweisen, genügt es, das zu zeigen

= a k Protokoll ein x . (2)

= x k

a k Protokoll ein x = (a Protokoll ein x ) k = x k .

Dies impliziert die Gültigkeit von Formel (2) und damit auch (1).

Beachten Sie, dass wenn die Nummer k ist natürlich ( k = n ), dann ist Formel (1) ein Sonderfall der Formel

Protokoll a (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = Protokoll ein x 1 + log ein x 2 + log ein x 3 + ... log ein x n .

im vorigen Abschnitt bewiesen. In der Tat, in dieser Formel vorausgesetzt

x 1 = x 2 = ... = x n = x ,

wir bekommen:

Protokoll ein x n = n Protokoll ein x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.

Für negative Werte X Formel (1) verliert ihre Bedeutung. Beispielsweise können Sie nicht log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (-4) schreiben, da der Ausdruck log 2 (-4) nicht definiert ist. Beachten Sie, dass der Ausdruck auf der linken Seite dieser Formel sinnvoll ist:

log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.

Im Allgemeinen, wenn die Nummer X negativ ist, dann der Ausdruck log ein x 2k = 2k Protokoll ein x bestimmt weil x 2k > 0. Der Ausdruck ist 2 k Protokoll ein x in diesem Fall macht es keinen Sinn. Also schreiben

Protokoll ein x 2k = 2k Protokoll ein x

es ist verboten. Allerdings kann man schreiben

Protokoll ein x 2k = 2k Protokoll ein | x | (3)

Diese Formel erhält man leicht aus (1), wenn man das berücksichtigt

x 2k = | x | 2k

Zum Beispiel,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 Log 3 3 = 4.

Satz 2. Der Logarithmus der Wurzel einer positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus des Wurzelausdrucks dividiert durch den Exponenten der Wurzel.

Mit anderen Worten, wenn die Zahlen a und X sind positiv a =/= 1 und P ist dann eine natürliche Zahl

Protokoll a n √x = 1 / n Protokoll ein x

Wirklich, n √x = . Also nach Satz 1

Protokoll a n √x = anmelden a = 1 / n Protokoll ein x .

1) log 3 √ 8 = 1 / 2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1/5 log 2 27.

Übungen

1408. Wie ändert sich der Logarithmus einer Zahl, wenn ohne Änderung der Basis:

a) Quadratiere die Zahl

b) aus einer Zahl die Quadratwurzel ziehen?

1409. Wie sich das Differenzprotokoll 2 ändern wird a - Protokoll 2 b wenn Zahlen a und b entsprechend ersetzen durch:

a) a 3 und b 3; b) 3 a und 3 b ?

1410. Da Sie wissen, dass log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771, finden Sie die Logarithmen zur Basis von 10 Zahlen:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Beweisen Sie, dass die Logarithmen aufeinanderfolgender Glieder einer geometrischen Folge eine arithmetische Folge bilden.

1412. Unterscheiden sich die Funktionen voneinander?

bei = Protokoll 3 X 2 und bei = 2 log 3 X

Erstellen Sie Graphen dieser Funktionen.

1413. Finden Sie einen Fehler in den folgenden Transformationen:

Log 2 1 / 3 = Log 2 1 / 3

2log 2 1/3 > log 2 1/3 ;

log 2 (1 / 3) 2 > log 2 1 / 3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;

Der Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a (a>0, a ist ungleich 1) ist eine Zahl c mit a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Beachten Sie, dass der Logarithmus einer nicht positiven Zahl nicht definiert ist. Außerdem muss die Basis des Logarithmus eine positive Zahl ungleich 1 sein. Wenn wir zum Beispiel -2 quadrieren, erhalten wir die Zahl 4, aber das bedeutet nicht, dass der Logarithmus zur Basis -2 von 4 gleich 2 ist.

Grundlegende logarithmische Identität

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Wichtig ist, dass die Definitionsbereiche des rechten und linken Teils dieser Formel unterschiedlich sind. Die linke Seite ist nur für b>0, a>0 und a ≠ 1 definiert. Die rechte Seite ist für jedes b definiert und hängt überhaupt nicht von a ab. Somit kann die Anwendung der grundlegenden logarithmischen "Identität" beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen zu einer Änderung des DPV führen.

Zwei offensichtliche Konsequenzen der Definition des Logarithmus

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

In der Tat, wenn wir die Zahl a zur ersten Potenz erheben, erhalten wir dieselbe Zahl, und wenn wir sie zur Nullpotenz erheben, erhalten wir eins.

Der Logarithmus des Produkts und der Logarithmus des Quotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ich möchte Schulkinder vor dem gedankenlosen Gebrauch dieser Formeln beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen warnen. Wenn sie "von links nach rechts" verwendet werden, verengt sich die ODZ, und wenn sie sich von der Summe oder Differenz von Logarithmen zum Logarithmus des Produkts oder Quotienten bewegen, erweitert sich die ODZ.

Tatsächlich ist der Ausdruck log a (f (x) g (x)) in zwei Fällen definiert: wenn beide Funktionen streng positiv sind oder wenn f(x) und g(x) beide kleiner als Null sind.

Wenn wir diesen Ausdruck in die Summe log a f (x) + log a g (x) umwandeln, müssen wir uns nur auf den Fall beschränken, wenn f(x)>0 und g(x)>0. Es kommt zu einer Einengung des Bereichs der zulässigen Werte, was grundsätzlich nicht akzeptabel ist, da dies zum Verlust von Lösungen führen kann. Ein ähnliches Problem besteht für Formel (6).

Der Grad kann aus dem Vorzeichen des Logarithmus genommen werden

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Und wieder möchte ich zur Genauigkeit auffordern. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Die linke Seite der Gleichheit ist offensichtlich für alle Werte von f(x) außer Null definiert. Die rechte Seite gilt nur für f(x)>0! Wenn wir die Potenz aus dem Logarithmus entfernen, verengen wir erneut die ODZ. Der umgekehrte Vorgang führt zu einer Erweiterung des zulässigen Wertebereichs. All diese Bemerkungen gelten nicht nur für die Zweierpotenz, sondern auch für jede gerade Potenz.

Formel für den Umzug in eine neue Basis

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Der seltene Fall, dass sich die ODZ während der Konvertierung nicht ändert. Wenn Sie die Basis c mit Bedacht gewählt haben (positiv und ungleich 1), ist die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis vollkommen sicher.

Wenn wir als neue Basis c die Zahl b wählen, erhalten wir einen wichtigen Spezialfall von Formel (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Einige einfache Beispiele mit Logarithmen

Beispiel 1 Berechnen: lg2 + lg50.
Lösung. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Wir haben die Formel für die Summe der Logarithmen (5) und die Definition des dezimalen Logarithmus verwendet.

Beispiel 2 Berechnen: lg125/lg5.
Lösung. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Wir haben die neue Basisübergangsformel (8) verwendet.

Formeltabelle für Logarithmen

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Was ist ein Logarithmus?

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders - Gleichungen mit Logarithmen.

Das stimmt absolut nicht. Unbedingt! Glauben Sie nicht? Gut. Nun, für etwa 10 - 20 Minuten:

1. Verstehen was ist ein logarithmus.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse von Exponentialgleichungen zu lösen. Auch wenn Sie noch nie von ihnen gehört haben.

3. Lernen Sie einfache Logarithmen zu berechnen.

Außerdem müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie eine Zahl potenziert wird ...

Ich spüre, dass Sie zweifeln ... Nun, halten Sie Zeit! Gehen!

Löse zuerst die folgende Gleichung in Gedanken:

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Grundeigenschaften.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

gleiche Gründe

log6 4 + log6 9.

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x >

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Übergang in eine neue Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

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Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.

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4. wo .

Beispiel 2 Finde x wenn

Beispiel 3. Gegeben sei der Wert von Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Formeln von Logarithmen. Logarithmen sind Beispiele für Lösungen.

Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass es möglich ist, die Basis und das Argument des Logarithmus zu vertauschen, aber in diesem Fall wird der gesamte Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine solche Potenz x () zu finden, bei der die Gleichheit wahr ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Die obigen Eigenschaften müssen bekannt sein, da auf ihrer Grundlage fast alle Probleme und Beispiele mit Logarithmen gelöst werden. Die restlichen exotischen Eigenschaften können durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

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Bei der Berechnung der Formeln für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) begegnet man recht häufig. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gewöhnlichen Logarithmen sind solche, bei denen die Basis sogar zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird normalerweise als Logarithmus zur Basis zehn bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus dem Protokoll ist ersichtlich, dass die Grundlagen nicht im Protokoll festgehalten sind. Beispielsweise

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus, dessen Basis der Exponent ist (als ln(x) bezeichnet).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und ein weiterer wichtiger Logarithmus zur Basis zwei ist

Die Ableitung des Logarithmus der Funktion ist gleich Eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Abhängigkeit bestimmt

Das obige Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um das Material zu assimilieren, werde ich nur einige gängige Beispiele aus dem Schullehrplan und den Universitäten geben.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.
Durch die Differenzeneigenschaft von Logarithmen haben wir

3.
Unter Verwendung der Eigenschaften 3.5 finden wir

4. wo .

Ein scheinbar komplexer Ausdruck, der eine Reihe von Regeln verwendet, wird zur Form vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2 Finde x wenn

Lösung. Für die Berechnung wenden wir die Eigenschaften 5 und 13 bis zum letzten Term an

Ersatz in der Aufzeichnung und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Gegeben seien die Werte der Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nimm den Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe der Terme zu schreiben

Dies ist nur der Anfang der Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie Rechnen, bereichern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – schon bald benötigen Sie das erworbene Wissen, um logarithmische Gleichungen zu lösen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zum Lösen solcher Gleichungen studiert haben, erweitern wir Ihr Wissen um ein weiteres ebenso wichtiges Thema - logarithmische Ungleichungen ...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben.

Logarithmen lösen

Das wird am häufigsten verlangt.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass es möglich ist, die Basis und das Argument des Logarithmus zu vertauschen, aber in diesem Fall wird der gesamte Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.