trigonometrischer Kreis. Einzelner Kreis. Zahlenkreis. Was ist das?

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Sehr oft die Bedingungen Dreieckskreis, Einheitskreis, Zahlenkreis von Schülern schlecht verstanden. Und völlig vergebens. Diese Konzepte sind ein mächtiger und universeller Helfer in allen Bereichen der Trigonometrie. Tatsächlich ist dies ein legaler Spickzettel! Ich habe einen trigonometrischen Kreis gezeichnet - und sofort die Antworten gesehen! Verlockend? Also lasst uns lernen, es ist eine Sünde, so etwas nicht zu benutzen. Außerdem ist es ganz einfach.

Um erfolgreich mit einem trigonometrischen Kreis zu arbeiten, müssen Sie nur drei Dinge wissen.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Ihre Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Informationen verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzerklärung und lassen Sie uns wissen, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Verwendung personenbezogener Daten

Personenbezogene Daten sind Daten, mit denen eine bestimmte Person identifiziert oder kontaktiert werden kann.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie uns kontaktieren.

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Arten von personenbezogenen Daten, die wir möglicherweise erfassen, und wie wir diese Daten möglicherweise verwenden.

Welche personenbezogenen Daten wir erheben:

• Wenn Sie eine Bewerbung auf der Website einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer E-Mail-Adresse usw.

Wie wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden:

• Die von uns gesammelten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie zu kontaktieren und Sie über einzigartige Angebote, Werbeaktionen und andere Veranstaltungen und bevorstehende Veranstaltungen zu informieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden, um Ihnen wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu senden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, z. B. zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Recherchen, um die von uns angebotenen Dienstleistungen zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Dienstleistungen zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einem ähnlichen Anreiz teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen verwenden, um solche Programme zu verwalten.

Weitergabe an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Für den Fall, dass es erforderlich ist - in Übereinstimmung mit dem Gesetz, der gerichtlichen Anordnung, in Gerichtsverfahren und / oder aufgrund öffentlicher Anfragen oder Anfragen staatlicher Stellen im Hoheitsgebiet der Russischen Föderation - Ihre personenbezogenen Daten offenzulegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir feststellen, dass eine solche Offenlegung für Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder andere Zwecke von öffentlichem Interesse notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den entsprechenden Drittnachfolger übertragen.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer – zum Schutz Ihrer personenbezogenen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung.

Wahrung Ihrer Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitspraktiken an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Die Trigonometrie als Wissenschaft hat ihren Ursprung im Alten Osten. Die ersten trigonometrischen Verhältnisse wurden von Astronomen entwickelt, um einen genauen Kalender zu erstellen und sich an den Sternen zu orientieren. Diese Berechnungen beziehen sich auf die sphärische Trigonometrie, während sie im Schulkurs das Seiten- und Winkelverhältnis eines flachen Dreiecks untersuchen.

Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und der Beziehung zwischen Seiten und Winkeln von Dreiecken befasst.

Während der Blütezeit von Kultur und Wissenschaft im 1. Jahrtausend n. Chr. verbreitete sich das Wissen vom Alten Orient bis nach Griechenland. Aber die wichtigsten Entdeckungen der Trigonometrie sind das Verdienst der Männer des arabischen Kalifats. Insbesondere der turkmenische Wissenschaftler al-Marazvi führte Funktionen wie Tangens und Kotangens ein und erstellte die ersten Wertetabellen für Sinus, Tangens und Kotangens. Das Konzept von Sinus und Cosinus wurde von indischen Wissenschaftlern eingeführt. In den Werken so großer Persönlichkeiten der Antike wie Euklid, Archimedes und Eratosthenes wird der Trigonometrie viel Aufmerksamkeit geschenkt.

Grundgrößen der Trigonometrie

Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen eines numerischen Arguments sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Jeder von ihnen hat seinen eigenen Graphen: Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.

Die Formeln zur Berechnung der Werte dieser Größen basieren auf dem Satz des Pythagoras. Schulkindern ist sie besser bekannt in der Formulierung: „Pythagoräische Hose, in allen Richtungen gleich“, da der Beweis am Beispiel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks geführt wird.

Sinus, Cosinus und andere Abhängigkeiten stellen eine Beziehung zwischen spitzen Winkeln und Seiten eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks her. Wir geben Formeln zur Berechnung dieser Größen für den Winkel A an und verfolgen die Beziehung trigonometrischer Funktionen:

Wie Sie sehen können, sind tg und ctg Umkehrfunktionen. Wenn wir Bein a als Produkt von sin A und Hypotenuse c und Bein b als cos A * c darstellen, erhalten wir die folgenden Formeln für Tangens und Kotangens:

trigonometrischer Kreis

Grafisch lässt sich das Verhältnis der genannten Größen wie folgt darstellen:

Der Kreis repräsentiert in diesem Fall alle möglichen Werte des Winkels α - von 0° bis 360°. Wie aus der Abbildung ersichtlich, nimmt jede Funktion je nach Winkel einen negativen oder positiven Wert an. Zum Beispiel wird sin α mit einem „+“-Zeichen versehen, wenn α zu den Vierteln I und II des Kreises gehört, dh im Bereich von 0 ° bis 180 ° liegt. Bei α von 180° bis 360° (III. und IV. Viertel) kann sin α nur ein negativer Wert sein.

Versuchen wir, trigonometrische Tabellen für bestimmte Winkel zu erstellen und die Bedeutung der Größen herauszufinden.

Die Werte von α gleich 30°, 45°, 60°, 90°, 180° usw. werden als Sonderfälle bezeichnet. Die Werte der trigonometrischen Funktionen für sie werden berechnet und in Form von speziellen Tabellen dargestellt.

Diese Winkel wurden nicht zufällig gewählt. Die Bezeichnung π in den Tabellen steht für Radiant. Rad ist der Winkel, bei dem die Länge eines Kreisbogens seinem Radius entspricht. Dieser Wert wurde eingeführt, um einen allgemeingültigen Zusammenhang herzustellen, bei der Berechnung im Bogenmaß spielt die tatsächliche Länge des Radius in cm keine Rolle.

Die Winkel in den Tabellen für trigonometrische Funktionen entsprechen Radiantwerten:

Es ist also nicht schwer zu erraten, dass 2π ein Vollkreis oder 360° ist.

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen: Sinus und Cosinus

Um die grundlegenden Eigenschaften von Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens zu betrachten und zu vergleichen, ist es notwendig, ihre Funktionen zu zeichnen. Dies kann in Form einer in einem zweidimensionalen Koordinatensystem liegenden Kurve erfolgen.

Betrachten Sie eine Vergleichstabelle mit Eigenschaften für eine Sinuswelle und eine Kosinuswelle:

sinusförmig	Kosinuswelle
y = Sünde x	y = cos x
ODZ [-1; eines]	ODZ [-1; eines]
sin x = 0, für x = πk, wobei k ϵ Z	cos x = 0, für x = π/2 + πk, wobei k ϵ Z
sin x = 1, für x = π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z	cos x = 1, für x = 2πk, wobei k ϵ Z
sin x = - 1, bei x = 3π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z	cos x = - 1, für x = π + 2πk, wobei k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, also ungerade Funktion	cos (-x) = cos x, d.h. die Funktion ist gerade
	die Funktion ist periodisch, die kleinste Periode ist 2π
sin x › 0, wobei x zu den Vierteln I und II oder von 0° bis 180° gehört (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, wobei x zu den Vierteln I und IV oder von 270° bis 90° gehört (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, wobei x zu den Vierteln III und IV oder von 180° bis 360° gehört (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, wobei x zu den Vierteln II und III oder von 90° bis 270° gehört (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
steigt auf dem Intervall [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	nimmt auf dem Intervall [-π + 2πk, 2πk] zu
nimmt auf den Intervallen [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] ab	nimmt in Intervallen ab
Ableitung (sin x)' = cos x	Ableitung (cos x)’ = - sin x

Zu bestimmen, ob eine Funktion gerade ist oder nicht, ist sehr einfach. Es reicht aus, sich einen trigonometrischen Kreis mit Vorzeichen trigonometrischer Größen vorzustellen und den Graphen mental relativ zur OX-Achse zu „falten“. Bei gleichen Vorzeichen ist die Funktion gerade, sonst ungerade.

Die Einführung des Bogenmaßes und die Aufzählung der Haupteigenschaften der Sinus- und Cosinuswelle ermöglichen uns, das folgende Muster zu bringen:

Es ist sehr einfach, die Richtigkeit der Formel zu überprüfen. Beispielsweise ist für x = π/2 der Sinus gleich 1, ebenso wie der Kosinus von x = 0. Die Überprüfung kann durch Betrachten von Tabellen oder durch Verfolgen von Funktionskurven für gegebene Werte erfolgen.

Eigenschaften von Tangenten und Kotangenten

Die Graphen der Tangens- und Kotangensfunktionen unterscheiden sich erheblich von der Sinus- und Kosinuswelle. Die Werte tg und ctg sind zueinander invers.

1. Y = tx.
2. Die Tangente strebt bei x = π/2 + πk den Werten von y zu, erreicht sie aber nie.
3. Die kleinste positive Periode der Tangente ist π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, d. H. Die Funktion ist ungerade.
5. Tg x = 0, für x = πk.
6. Die Funktion nimmt zu.
7. Tg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, für x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Ableitung (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Betrachten Sie die grafische Darstellung des Kotangens unten im Text.

Die Haupteigenschaften des Kotangens:

1. Y = ctgx.
2. Im Gegensatz zu den Sinus- und Kosinusfunktionen kann Y in der Tangente die Werte der Menge aller reellen Zahlen annehmen.
3. Der Kotangens strebt bei x = πk den Werten von y zu, erreicht sie aber nie.
4. Die kleinste positive Periode des Kotangens ist π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, d. H. Die Funktion ist ungerade.
6. Ctg x = 0, für x = π/2 + πk.
7. Die Funktion nimmt ab.
8. Ctg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, für x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Ableitung (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Zurück vorwärts

Aufmerksamkeit! Die Folienvorschau dient nur zu Informationszwecken und stellt möglicherweise nicht den vollen Umfang der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Ziel: lehren, wie man den Einheitskreis beim Lösen verschiedener trigonometrischer Aufgaben verwendet.

Im Schulfach Mathematik sind verschiedene Möglichkeiten zur Einführung trigonometrischer Funktionen möglich. Der bequemste und am häufigsten verwendete ist der "numerische Einheitskreis". Ihre Anwendung im Thema "Trigonometrie" ist sehr umfangreich.

Der Einheitskreis wird verwendet für:

– Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels;
– Finden der Werte trigonometrischer Funktionen für einige Werte des numerischen und Winkelarguments;
- Herleitung der Grundformeln der Trigonometrie;
– Herleitung von Reduktionsformeln;
– Finden des Definitionsbereichs und des Wertebereichs trigonometrischer Funktionen;
– Bestimmung der Periodizität trigonometrischer Funktionen;
– Definitionen von geraden und ungeraden trigonometrischen Funktionen;
– Bestimmung der Zunahme- und Abnahmeintervalle trigonometrischer Funktionen;
– Bestimmung der Konstanzintervalle trigonometrischer Funktionen;
– Bogenmaß von Winkeln;
– Finden der Werte von inversen trigonometrischen Funktionen;
– Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen;
– Lösung einfachster Ungleichungen usw.

Daher bietet der aktive bewusste Besitz dieser Art der Visualisierung durch die Schüler unbestreitbare Vorteile für die Beherrschung des mathematischen Teils "Trigonometrie".

Der Einsatz von IKT im Mathematikunterricht erleichtert die Beherrschung des numerischen Einheitskreises. Natürlich hat das interaktive Whiteboard das breiteste Anwendungsspektrum, aber nicht alle Klassen haben es. Wenn wir über die Verwendung von Präsentationen sprechen, dann gibt es im Internet eine große Auswahl davon, und jeder Lehrer kann die am besten geeignete Option für seinen Unterricht finden.

Was ist das Besondere an meiner Präsentation?

Diese Präsentation soll auf vielfältige Weise verwendet werden und ist nicht als visuelle Darstellung einer bestimmten Lektion in Trigonometrie gedacht. Jede Folie dieser Präsentation kann separat verwendet werden, sowohl in der Phase der Erläuterung des Materials, der Entwicklung von Fähigkeiten als auch zur Reflexion. Bei der Erstellung dieser Präsentation wurde besonderes Augenmerk auf die „Lesbarkeit“ aus großer Entfernung gelegt, da die Zahl der sehbehinderten Schüler stetig zunimmt. Die Farblösung ist durchdacht, logisch verwandte Objekte werden durch eine einzige Farbe vereint. Die Präsentation ist so animiert, dass der Lehrer die Möglichkeit hat, einen Ausschnitt der Folie zu kommentieren, und der Schüler eine Frage stellen kann. Somit ist diese Präsentation eine Art „bewegter“ Tisch. Die letzten Folien sind nicht animiert und dienen der Überprüfung der Stoffaufnahme im Zuge der Lösung trigonometrischer Aufgaben. Der Kreis auf den Folien ist äußerlich maximal vereinfacht und so nah wie möglich an dem von den Schülern auf dem Notizbuchblatt abgebildeten. Ich halte diese Bedingung für grundlegend. Für die Studierenden ist es wichtig, sich bei der Lösung trigonometrischer Aufgaben eine Meinung über den Einheitskreis als zugängliche und mobile (aber nicht einzige) Art der Sichtbarkeit zu bilden.

Diese Präsentation wird Lehrern helfen, Schüler in der 9. Klasse im Geometrieunterricht während des Studiums des Themas "Verhältnisse zwischen Seiten und Winkeln eines Dreiecks" mit dem Einheitskreis vertraut zu machen. Und natürlich hilft es, die Fähigkeit, mit einem Einheitskreis zu arbeiten, beim Lösen trigonometrischer Aufgaben für ältere Schüler im Algebra-Unterricht zu erweitern und zu vertiefen.

Folien 3, 4 den Aufbau eines Einheitskreises erklären; das Prinzip der Bestimmung der Position eines Punktes auf einem Einheitskreis in den Koordinatenvierteln I und II; Übergang von geometrischen Definitionen der Funktionen Sinus und Cosinus (im rechtwinkligen Dreieck) zu algebraischen Definitionen auf dem Einheitskreis.

Folien 5-8 erklären, wie man die Werte trigonometrischer Funktionen für die Hauptwinkel des I-Koordinatenviertels findet.

Folien 9-11 erklärt Zeichen von Funktionen in Koordinatenvierteln; Bestimmung von Konstanzintervallen trigonometrischer Funktionen.

Folie 12 verwendet, um Ideen über positive und negative Winkelwerte zu bilden; Bekanntschaft mit dem Begriff der Periodizität trigonometrischer Funktionen.

Folien 13, 14 werden verwendet, wenn auf ein Winkelmaß im Bogenmaß umgeschaltet wird.

Folien 15-18 sind nicht animiert und werden verwendet, um verschiedene trigonometrische Aufgaben zu lösen, die Ergebnisse der Beherrschung des Materials zu fixieren und zu überprüfen.

1. Titelblatt.
2. Ziele setzen.
3. Konstruktion eines Einheitskreises. Grundwerte der Winkel in Grad.
4. Definition von Sinus und Cosinus eines Winkels auf einem Einheitskreis.
5. Tabellenwerte für Sinus in aufsteigender Reihenfolge.
6. Tabellenwerte für Kosinus in aufsteigender Reihenfolge.
7. Tabellenwerte für Tangente in aufsteigender Reihenfolge.
8. Tabellenwerte für Kotangens in aufsteigender Reihenfolge.
9. Funktionszeichen sinα.
10. Funktionszeichen weil ein.
11. Funktionszeichen tga und ctgα.
12. Positive und negative Winkelwerte auf dem Einheitskreis.
13. Das Bogenmaß eines Winkels.
14. Positive und negative Winkelwerte im Bogenmaß auf dem Einheitskreis.
15. Verschiedene Varianten des Einheitskreises zur Konsolidierung und Überprüfung der Ergebnisse der Assimilation des Materials.

Wenn Sie sich bereits auskennen trigonometrischer Kreis , und du möchtest nur einzelne Elemente in deinem Gedächtnis auffrischen, oder bist ganz ungeduldig, dann ist es hier, :

Hier werden wir Schritt für Schritt alles im Detail analysieren.

Der trigonometrische Kreis ist kein Luxus, sondern eine Notwendigkeit

Trigonometrie Viele sind mit einem unpassierbaren Dickicht verbunden. Plötzlich häufen sich so viele Werte trigonometrischer Funktionen, so viele Formeln ... Aber es ist so, als hätte es zuerst nicht geklappt, und ... ab und zu ... reines Missverständnis ...

Es ist sehr wichtig, nicht mit der Hand zu winken Werte trigonometrischer Funktionen,- Sie sagen, Sie können sich den Sporn immer mit einer Wertetabelle ansehen.

Wenn Sie ständig auf die Tabelle mit den Werten trigonometrischer Formeln schauen, lassen Sie uns diese Angewohnheit los!

Wird uns retten! Sie werden mehrmals damit arbeiten, und dann taucht es von selbst in Ihrem Kopf auf. Warum ist es besser als ein Tisch? Ja, in der Tabelle finden Sie eine begrenzte Anzahl von Werten, aber auf dem Kreis - ALLES!

Sagen wir zum Beispiel: Betrachten Standardwertetabelle trigonometrischer Formeln , was der Sinus von beispielsweise 300 Grad oder -45 ist.

Auf keinen Fall? .. Sie können sich natürlich verbinden Reduktionsformeln... Und wenn man sich den trigonometrischen Kreis ansieht, kann man solche Fragen leicht beantworten. Und Sie werden bald wissen, wie!

Und beim Lösen trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen ohne trigonometrischen Kreis - nirgendwo.

Einführung in den trigonometrischen Kreis

Lass uns der Reihe nach gehen.

Schreiben Sie zunächst folgende Zahlenreihe auf:

Und jetzt das:

Und zu guter Letzt dieses:

Natürlich ist klar, dass an erster Stelle, an zweiter Stelle und an letzter Stelle -. Das heißt, wir werden uns mehr für die Kette interessieren.

Aber wie schön es geworden ist! In diesem Fall stellen wir diese „wunderbare Leiter“ wieder her.

Und warum brauchen wir es?

Diese Kette ist die Hauptwerte von Sinus und Cosinus im ersten Quartal.

Lassen Sie uns einen Kreis mit einem Einheitsradius in einem rechteckigen Koordinatensystem zeichnen (das heißt, wir nehmen einen beliebigen Radius entlang der Länge und deklarieren seine Länge als Einheit).

Ab dem „0-Start“-Balken legen wir in Pfeilrichtung (siehe Abb.) Ecken beiseite.

Wir erhalten die entsprechenden Punkte auf dem Kreis. Wenn wir also die Punkte auf jede der Achsen projizieren, erhalten wir genau die Werte aus der obigen Kette.

Warum ist das so, fragst du?

Nehmen wir nicht alles auseinander. In Betracht ziehen Prinzip, die es Ihnen ermöglichen, mit anderen, ähnlichen Situationen fertig zu werden.

Dreieck AOB ist ein rechtwinkliges Dreieck mit . Und wir wissen, dass dem Winkel bei ein Bein gegenüberliegt, das doppelt so klein ist wie die Hypotenuse (unsere Hypotenuse = der Radius des Kreises, also 1).

Daher AB= (und daher OM=). Und nach dem Satz des Pythagoras

Ich hoffe, jetzt ist etwas klar.

Punkt B entspricht also dem Wert und Punkt M entspricht dem Wert

Ähnlich verhält es sich mit den restlichen Werten des ersten Quartals.

Wie Sie verstehen, wird die uns bekannte Achse (Ochse) sein Kosinusachse, und die Achse (oy) - Sinusachse . später.

Links von Null auf der Kosinusachse (unter Null auf der Sinusachse) befinden sich natürlich negative Werte.

Hier ist er also, der ALLMÄCHTIGE, ohne den es nirgendwo in der Trigonometrie geht.

Aber wie man den trigonometrischen Kreis benutzt, wir werden uns unterhalten.