Liste der Prüfungsfragen

1. Technische Mechanik, ihre Definition. Mechanische Bewegung und mechanische Interaktion. Materieller Punkt, mechanisches System, absolut steifer Körper.

Technische Mechanik - die Wissenschaft der mechanischen Bewegung und Wechselwirkung materieller Körper.

Die Mechanik ist eine der ältesten Wissenschaften. Der Begriff „Mechanik“ wurde von dem herausragenden Philosophen der Antike Aristoteles eingeführt.

Die Errungenschaften von Wissenschaftlern auf dem Gebiet der Mechanik ermöglichen es, komplexe praktische Probleme auf dem Gebiet der Technologie zu lösen, und im Wesentlichen kann kein einziges Naturphänomen verstanden werden, ohne es von der mechanischen Seite aus zu verstehen. Und keine einzige Technikschöpfung kann ohne Berücksichtigung gewisser mechanischer Gesetze geschaffen werden.

mechanische Bewegung - Dies ist eine zeitliche Änderung der relativen Position materieller Körper im Raum oder der relativen Position von Teilen eines bestimmten Körpers.

Mechanische Interaktion - Dies sind die Einwirkungen materieller Körper aufeinander, wodurch eine Änderung der Bewegung dieser Körper oder eine Änderung ihrer Form (Verformung) erfolgt.

Grundlegendes Konzept:

Materieller Punkt ist ein Körper, dessen Abmessungen unter gegebenen Bedingungen vernachlässigt werden können. Es hat Masse und die Fähigkeit, mit anderen Körpern zu interagieren.

Mechanisches System ist eine Menge materieller Punkte, deren Position und Bewegung von der Position und Bewegung anderer Punkte im System abhängen.

Absolut starrer Körper (ATT) ist ein Körper, dessen Abstand zwischen je zwei Punkten immer unverändert bleibt.

1. Theoretische Mechanik und ihre Abschnitte. Probleme der Theoretischen Mechanik.

Theoretische Mechanik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das die Bewegungsgesetze von Körpern und die allgemeinen Eigenschaften dieser Bewegungen untersucht.

Theoretische Mechanik besteht aus drei Abschnitten: Statik, Kinematik und Dynamik.

Statik betrachtet das Gleichgewicht von Körpern und ihren Systemen unter Einwirkung von Kräften.

Kinematik berücksichtigt die allgemeinen geometrischen Eigenschaften der Bewegung von Körpern.

Dynamik untersucht die Bewegung von Körpern unter Einwirkung von Kräften.

Statische Aufgaben:

1. Transformation von Kraftsystemen, die auf ATT wirken, in Systeme, die ihnen äquivalent sind, d.h. Reduktion dieses Kräftesystems auf die einfachste Form.

2. Ermittlung der Gleichgewichtsbedingungen für das auf den ATT wirkende Kräftesystem.

Um diese Probleme zu lösen, werden zwei Methoden verwendet: graphisch und analytisch.

1. Gleichgewicht. Kraft, System der Kräfte. Resultierende Kraft, konzentrierte Kraft und verteilte Kräfte.

Gleichgewicht ist der Ruhezustand eines Körpers im Verhältnis zu anderen Körpern.

Gewalt - Dies ist das Hauptmaß für die mechanische Wechselwirkung materieller Körper. Ist eine Vektorgröße, d.h. Stärke wird durch drei Elemente charakterisiert:

Anwendungsstelle;

Wirkungslinie (Richtung);

Modul (Zahlenwert).

Kraftsystem ist die Gesamtheit aller auf den betrachteten absolut starren Körper wirkenden Kräfte (ATT)

Das Kraftsystem wird aufgerufen konvergierend wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden.

Das System wird aufgerufen Wohnung , wenn die Wirkungslinien aller Kräfte in der gleichen Ebene liegen, sonst räumlich.

Das Kraftsystem wird aufgerufen parallel wenn die Wirkungslinien aller Kräfte parallel zueinander verlaufen.

Die beiden Kräftesysteme werden genannt gleichwertig , wenn ein auf einen absolut starren Körper wirkendes Kräftesystem durch ein anderes Kräftesystem ersetzt werden kann, ohne den Ruhe- oder Bewegungszustand des Körpers zu verändern.

Ausgeglichen oder gleich Null wird ein System von Kräften genannt, unter deren Wirkung ein freier ATT in Ruhe sein kann.

resultierende Kraft ist eine Kraft, deren Wirkung auf einen Körper oder materiellen Punkt der Wirkung eines Kräftesystems auf denselben Körper entspricht.

Äußere Kräfte

Die Kraft, die an einem beliebigen Punkt auf den Körper einwirkt, wird als bezeichnet konzentriert .

Kräfte, die auf alle Punkte eines bestimmten Volumens oder einer bestimmten Oberfläche wirken, werden aufgerufen verteilt .

Ein Körper, der von keinem anderen Körper daran gehindert wird, sich in irgendeine Richtung zu bewegen, wird als freier Körper bezeichnet.

1. Äußere und innere Kräfte. Freier und unfreier Körper. Das Prinzip der Befreiung von Bindungen.

Äußere Kräfte bezeichnet die Kräfte, mit denen die Teile eines bestimmten Körpers aufeinander einwirken.

Bei der Lösung der meisten Probleme der Statik ist es erforderlich, einen unfreien Körper als einen freien darzustellen, was nach dem Prinzip der Körperbefreiung geschieht, das wie folgt formuliert ist:

jeder unfreie Körper kann als frei betrachtet werden, wenn wir die Verbindungen verwerfen und sie durch Reaktionen ersetzen.

Durch die Anwendung dieses Prinzips erhält man einen bindungsfreien Körper, der unter der Wirkung eines bestimmten Systems von aktiven und reaktiven Kräften steht.

1. Axiome der Statik.

Bedingungen, unter denen ein Körper gleich sein kann Vesi, werden aus mehreren Grundbestimmungen abgeleitet, ohne Beweis akzeptiert, aber durch Experimente bestätigt , und angerufen Axiome der Statik. Die grundlegenden Axiome der Statik wurden von dem englischen Wissenschaftler Newton (1642-1727) formuliert und sind daher nach ihm benannt.

Axiom I (Trägheitsaxiom oder erstes Newtonsches Gesetz).

Jeder Körper behält seinen Ruhezustand oder seine geradlinige, gleichmäßige Bewegung, solange einige Kräfte bringt ihn nicht aus diesem Zustand.

Die Fähigkeit eines Körpers, seinen Ruhezustand oder eine geradlinige gleichförmige Bewegung aufrechtzuerhalten, wird als bezeichnet Trägheit. Auf der Grundlage dieses Axioms betrachten wir den Zustand des Gleichgewichts als einen Zustand, in dem der Körper ruht oder sich geradlinig und gleichförmig bewegt (d. h. die PO der Trägheit).

Axiom II (das Wechselwirkungsaxiom oder das dritte Newtonsche Gesetz).

Wirkt ein Körper auf den zweiten mit einer bestimmten Kraft, so wirkt gleichzeitig der zweite Körper auf den ersten mit einer Kraft, die dem Betrage nach in entgegengesetzter Richtung gleich ist.

Die Gesamtheit der auf einen gegebenen Körper (oder System von Körpern) wirkenden Kräfte wird als bezeichnet Kraftsystem. Die Wirkungskraft eines Körpers auf einen bestimmten Körper und die Reaktionskraft eines bestimmten Körpers stellen kein System von Kräften dar, da sie auf verschiedene Körper wirken.

Wenn ein Kräftesystem eine solche Eigenschaft hat, dass es, nachdem es auf einen freien Körper angewendet wurde, seinen Gleichgewichtszustand nicht ändert, dann wird ein solches Kräftesystem genannt ausgewogen.

Axiom III (Zustand des Gleichgewichts zweier Kräfte).

Für das Gleichgewicht eines freien starren Körpers unter der Wirkung zweier Kräfte ist es notwendig und hinreichend, dass diese Kräfte betragsmäßig gleich sind und auf einer geraden Linie in entgegengesetzten Richtungen wirken.

notwendig um die beiden Kräfte auszugleichen. Das heißt, wenn das System zweier Kräfte im Gleichgewicht ist, dann müssen diese Kräfte betragsmäßig gleich sein und auf einer Geraden in entgegengesetzte Richtungen wirken.

Die in diesem Axiom formulierte Bedingung lautet reicht aus um die beiden Kräfte auszugleichen. Das bedeutet, dass die umgekehrte Formulierung des Axioms gilt, nämlich: Wenn zwei Kräfte betragsmäßig gleich sind und auf derselben Geraden in entgegengesetzte Richtungen wirken, dann befindet sich ein solches Kräftesystem notwendigerweise im Gleichgewicht.

Im Folgenden lernen wir die Gleichgewichtsbedingung kennen, die für das Gleichgewicht notwendig, aber nicht hinreichend ist.

Axiom IV.

Das Gleichgewicht eines starren Körpers wird nicht gestört, wenn ein System ausgeglichener Kräfte auf ihn ausgeübt oder entfernt wird.

Folge aus den Axiomen III und IV.

Das Gleichgewicht eines starren Körpers wird durch die Übertragung einer Kraft entlang seiner Wirkungslinie nicht gestört.

Parallelogramm-Axiom. Dieses Axiom wird wie folgt formuliert:

Die Resultierende aus zwei aufgebrachten Kräften zu Körper an einem Punkt, ist betragsmäßig gleich und fällt in der Richtung mit der Diagonalen des auf diesen Kräften aufgebauten Parallelogramms zusammen und wird an demselben Punkt aufgebracht.

1. Verbindungen, Reaktionen von Verbindungen. Anschlussbeispiele.

Verbindungen Körper, die die Bewegung eines bestimmten Körpers im Raum begrenzen, werden genannt. Die Kraft, mit der der Körper auf die Bindung einwirkt, wird genannt Druck; heißt die Kraft, mit der eine Bindung auf einen Körper wirkt Reaktion. Nach dem Wechselwirkungsaxiom sind die Reaktion und der Druck modulo gleich und wirken in der gleichen geraden Linie in entgegengesetzte Richtungen. Reaktion und Druck werden auf unterschiedliche Körper ausgeübt. Die auf den Körper einwirkenden äußeren Kräfte werden unterteilt in aktiv und reaktiv. Aktive Kräfte neigen dazu, den Körper, auf den sie einwirken, zu bewegen, und reaktive Kräfte verhindern durch Bindungen diese Bewegung. Der grundlegende Unterschied zwischen aktiven Kräften und reaktiven Kräften besteht darin, dass die Größe der reaktiven Kräfte im Allgemeinen von der Größe der aktiven Kräfte abhängt, aber nicht umgekehrt. Aktive Kräfte werden oft gerufen

Die Richtung der Reaktionen wird durch die Richtung bestimmt, in der diese Verbindung den Körper daran hindert, sich zu bewegen. Die Regel zur Richtungsbestimmung von Reaktionen lässt sich wie folgt formulieren:

die Richtung der Reaktion der Verbindung ist der Richtung der durch diese Verbindung zerstörten Verschiebung entgegengesetzt.

1. Perfekt glatte Ebene

In diesem Fall die Reaktion R senkrecht zur Bezugsebene auf den Körper gerichtet.

2. Idealerweise glatte Oberfläche (Abb. 16).

In diesem Fall ist die Reaktion R senkrecht zur Tangentialebene t - t gerichtet, also entlang der Normalen zur Auflagefläche zum Körper hin.

3. Fixpunkt oder Eckkante (Abb. 17, Kante B).

In diesem Fall die Reaktion R ein entlang der Oberflächennormalen eines ideal glatten Körpers auf den Körper gerichtet.

4. Flexible Verbindung (Abb. 17).

Die Reaktion T einer flexiblen Bindung ist entlang gerichtet c bis i s und. Von Abb. 17 ist ersichtlich, dass die flexible Verbindung, über den Block geworfen, die Richtung der übertragenen Kraft ändert.

5. Ideal glattes zylindrisches Scharnier (Abb. 17, Scharnier SONDERN; Reis. 18, Lager D).

In diesem Fall ist nur vorher bekannt, dass die Reaktion R durch die Gelenkachse verläuft und senkrecht zu dieser Achse steht.

6. Perfekt glattes Drucklager (Abb. 18, Drucklager SONDERN).

Das Axiallager kann als eine Kombination aus einem zylindrischen Scharnier und einer Lagerebene betrachtet werden. Deshalb werden wir

7. Perfekt glattes Kugelgelenk (Abb. 19).

In diesem Fall ist nur im Voraus bekannt, dass die Reaktion R durch die Mitte des Scharniers geht.

8. Eine Stange, die an beiden Enden in ideal glatten Scharnieren befestigt ist und nur an den Enden belastet wird (Abb. 18, Stange BC).

In diesem Fall richtet sich die Reaktion der Stange entlang der Stange, da nach Axiom III die Reaktionen der Scharniere B und C im Gleichgewicht kann der Stab nur entlang der Linie geführt werden Sonne, d.h. entlang der Stange.

1. System konvergierender Kräfte. Addition der an einem Punkt angreifenden Kräfte.

konvergierend werden Kräfte genannt, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden.

Dieses Kapitel befasst sich mit Systemen konvergierender Kräfte, deren Wirkungslinien in der gleichen Ebene liegen (flache Systeme).

Stellen Sie sich vor, dass auf den Körper ein flaches System aus fünf Kräften wirkt, deren Wirkungslinien sich im Punkt O schneiden (Abb. 10, a). In § 2 wurde festgestellt, dass die Zwangs- gleitender Vektor. Daher können alle Kräfte von ihren Angriffspunkten auf den Punkt O des Schnittpunkts ihrer Wirkungslinien übertragen werden (Abb. 10, b).

Auf diese Weise, Jedes System konvergierender Kräfte, die auf verschiedene Punkte des Körpers wirken, kann durch ein äquivalentes System von Kräften ersetzt werden, die auf einen Punkt wirken. Dieses System von Kräften wird oft genannt Bündel von Kräften.

Als Teil eines jeden Lehrplans beginnt das Studium der Physik mit der Mechanik. Nicht aus theoretischer, nicht aus angewandter und nicht rechnerischer, sondern aus der guten alten klassischen Mechanik. Diese Mechanik wird auch als Newtonsche Mechanik bezeichnet. Der Legende nach ging der Wissenschaftler im Garten spazieren, sah einen Apfel fallen, und dieses Phänomen veranlasste ihn, das Gesetz der universellen Gravitation zu entdecken. Natürlich hat das Gesetz schon immer existiert, und Newton hat ihm nur eine für die Menschen verständliche Form gegeben, aber sein Verdienst ist unbezahlbar. In diesem Artikel werden wir die Gesetze der Newtonschen Mechanik nicht so detailliert wie möglich beschreiben, aber wir werden die Grundlagen, Grundkenntnisse, Definitionen und Formeln skizzieren, die Ihnen immer in die Hände spielen können.

Mechanik ist ein Zweig der Physik, einer Wissenschaft, die die Bewegung materieller Körper und die Wechselwirkungen zwischen ihnen untersucht.

Das Wort selbst ist griechischen Ursprungs und bedeutet übersetzt „die Kunst, Maschinen zu bauen“. Aber bevor wir Maschinen bauen, haben wir noch einen langen Weg vor uns, also treten wir in die Fußstapfen unserer Vorfahren und untersuchen die Bewegung von Steinen, die schräg zum Horizont geworfen werden, und von Äpfeln, die aus einer Höhe h auf den Kopf fallen.

Warum beginnt das Studium der Physik mit der Mechanik? Weil es völlig natürlich ist, nicht vom thermodynamischen Gleichgewicht aus zu starten?!

Die Mechanik ist eine der ältesten Wissenschaften, und historisch gesehen begann das Studium der Physik genau mit den Grundlagen der Mechanik. Eingebettet in den Rahmen von Zeit und Raum konnten die Menschen tatsächlich nicht von etwas anderem ausgehen, ganz gleich, wie sehr sie es wollten. Bewegte Körper sind das erste, worauf wir achten.

Was ist Bewegung?

Mechanische Bewegung ist eine Änderung der Position von Körpern im Raum relativ zueinander im Laufe der Zeit.

Nach dieser Definition kommen wir ganz natürlich zum Begriff des Bezugsrahmens. Veränderung der Position von Körpern im Raum relativ zueinander. Stichworte hier: relativ zueinander . Schließlich bewegt sich ein Insasse in einem Auto relativ zu einer am Straßenrand stehenden Person mit einer bestimmten Geschwindigkeit und ruht relativ zu seinem Nachbarn auf einem Sitz in der Nähe und bewegt sich mit einer anderen Geschwindigkeit relativ zu einem Insassen in einem Auto überholt sie.

Deshalb brauchen wir, um die Parameter von sich bewegenden Objekten normalerweise zu messen und nicht verwirrt zu werden Bezugssystem - fest miteinander verbundener Bezugskörper, Koordinatensystem und Uhr. Beispielsweise bewegt sich die Erde in einem heliozentrischen Bezugssystem um die Sonne. Im Alltag führen wir fast alle unsere Messungen in einem der Erde zugeordneten geozentrischen Bezugssystem durch. Die Erde ist ein Bezugskörper, relativ zu dem sich Autos, Flugzeuge, Menschen, Tiere bewegen.

Die Mechanik als Wissenschaft hat ihre eigene Aufgabe. Die Aufgabe der Mechanik ist es, jederzeit die Position des Körpers im Raum zu kennen. Mit anderen Worten, die Mechanik konstruiert eine mathematische Beschreibung der Bewegung und findet Verbindungen zwischen den physikalischen Größen, die sie charakterisieren.

Um weiterzukommen, brauchen wir den Begriff „ materieller Punkt ". Sie sagen, dass die Physik eine exakte Wissenschaft ist, aber Physiker wissen, wie viele Annäherungen und Annahmen getroffen werden müssen, um sich auf genau diese Genauigkeit zu einigen. Niemand hat jemals einen materiellen Punkt gesehen oder ein ideales Gas geschnüffelt, aber es gibt sie! Es ist einfach viel einfacher, mit ihnen zu leben.

Ein materieller Punkt ist ein Körper, dessen Größe und Form im Rahmen dieses Problems vernachlässigt werden können.

Abschnitte der klassischen Mechanik

Mechanik besteht aus mehreren Abschnitten

• Kinematik
• Dynamik
• Statik

Kinematik untersucht aus physikalischer Sicht genau, wie sich der Körper bewegt. Mit anderen Worten befasst sich dieser Abschnitt mit den quantitativen Merkmalen der Bewegung. Geschwindigkeit finden, Weg finden – typische Aufgaben der Kinematik

Dynamik löst die Frage, warum es sich so bewegt, wie es sich bewegt. Das heißt, es berücksichtigt die auf den Körper einwirkenden Kräfte.

Statik untersucht das Gleichgewicht von Körpern unter Einwirkung von Kräften, das heißt, es beantwortet die Frage: Warum fällt es überhaupt nicht?

Grenzen der Anwendbarkeit der klassischen Mechanik

Die klassische Mechanik erhebt nicht mehr den Anspruch, eine Wissenschaft zu sein, die alles erklärt (zu Beginn des letzten Jahrhunderts war alles ganz anders) und einen klaren Anwendungsbereich hat. Generell gelten die Gesetze der klassischen Mechanik für die uns der Größe nach vertraute Welt (Makrowelt). Sie funktionieren nicht mehr im Fall der Teilchenwelt, wenn die klassische Mechanik durch die Quantenmechanik ersetzt wird. Außerdem ist die klassische Mechanik nicht auf Fälle anwendbar, in denen die Bewegung von Körpern mit einer Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit erfolgt. In solchen Fällen werden relativistische Effekte ausgeprägt. Grob gesagt ist dies im Rahmen der Quanten- und relativistischen Mechanik – der klassischen Mechanik – ein Sonderfall, wenn die Abmessungen des Körpers groß und die Geschwindigkeit klein ist.

Im Allgemeinen verschwinden Quanten- und relativistische Effekte nie, sie treten auch während der üblichen Bewegung makroskopischer Körper mit einer Geschwindigkeit auf, die viel niedriger als die Lichtgeschwindigkeit ist. Eine andere Sache ist, dass die Wirkung dieser Effekte so gering ist, dass sie nicht über die genauesten Messungen hinausgeht. Die klassische Mechanik wird daher nie ihre grundlegende Bedeutung verlieren.

Wir werden die physikalischen Grundlagen der Mechanik in zukünftigen Artikeln weiter untersuchen. Für ein besseres Verständnis der Mechanik können Sie sich jederzeit auf beziehen unsere Autoren, die individuell den dunklen Fleck der schwierigsten Aufgabe beleuchten.

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Die Statik ist ein Zweig der theoretischen Mechanik, der die Gleichgewichtsbedingungen materieller Körper unter Einwirkung von Kräften sowie Methoden zur Umrechnung von Kräften in äquivalente Systeme untersucht.

Unter dem Gleichgewichtszustand versteht man in der Statik den Zustand, in dem alle Teile des mechanischen Systems relativ zu einem Trägheitskoordinatensystem in Ruhe sind. Einer der Grundgegenstände der Statik sind Kräfte und ihre Angriffspunkte.

Die auf einen materiellen Punkt mit einem Radiusvektor von anderen Punkten wirkende Kraft ist ein Maß für den Einfluss anderer Punkte auf den betrachteten Punkt, wodurch er eine Beschleunigung relativ zum Trägheitsbezugssystem erhält. Wert Stärke wird durch die Formel bestimmt:
,
wobei m die Masse des Punktes ist - ein Wert, der von den Eigenschaften des Punktes selbst abhängt. Diese Formel wird Newtons zweites Gesetz genannt.

Anwendung der Statik in der Dynamik

Ein wichtiges Merkmal der Bewegungsgleichungen eines absolut starren Körpers ist, dass Kräfte in äquivalente Systeme umgerechnet werden können. Bei einer solchen Transformation behalten die Bewegungsgleichungen ihre Form, aber das System der auf den Körper wirkenden Kräfte kann in ein einfacheres System transformiert werden. Somit kann der Kraftangriffspunkt entlang seiner Wirkungslinie verschoben werden; Kräfte können nach der Parallelogrammregel entwickelt werden; an einem Punkt angreifende Kräfte können durch ihre geometrische Summe ersetzt werden.

Ein Beispiel für solche Transformationen ist die Schwerkraft. Sie wirkt auf alle Punkte eines starren Körpers. Das Bewegungsgesetz des Körpers ändert sich jedoch nicht, wenn die über alle Punkte verteilte Schwerkraft durch einen einzigen Vektor ersetzt wird, der am Massenmittelpunkt des Körpers anliegt.

Es stellt sich heraus, dass, wenn wir dem Hauptsystem der auf den Körper wirkenden Kräfte ein äquivalentes System hinzufügen, in dem die Richtungen der Kräfte umgekehrt sind, der Körper unter der Wirkung dieser Systeme im Gleichgewicht sein wird. Damit reduziert sich die Aufgabe, äquivalente Kräftesysteme zu bestimmen, auf das Gleichgewichtsproblem, also auf das Problem der Statik.

Die Hauptaufgabe der Statik ist die Aufstellung von Gesetzen zur Umwandlung eines Kräftesystems in äquivalente Systeme. So werden die Methoden der Statik nicht nur bei der Untersuchung von Körpern im Gleichgewicht verwendet, sondern auch bei der Dynamik eines starren Körpers, bei der Transformation von Kräften in einfachere äquivalente Systeme.

Materielle Punktstatik

Stellen Sie sich einen materiellen Punkt vor, der sich im Gleichgewicht befindet. Und es wirken n Kräfte, k = 1, 2, ..., Anm.

Befindet sich der materielle Punkt im Gleichgewicht, so ist die Vektorsumme der auf ihn einwirkenden Kräfte gleich Null:
(1) .

Im Gleichgewicht ist die geometrische Summe der auf einen Punkt wirkenden Kräfte Null.

Geometrische Deutung. Wenn der Anfang des zweiten Vektors an das Ende des ersten Vektors und der Anfang des dritten an das Ende des zweiten Vektors gelegt wird und dieser Vorgang dann fortgesetzt wird, dann wird das Ende des letzten, n-ten Vektors mit dem Beginn des ersten Vektors kombiniert werden. Das heißt, wir erhalten eine geschlossene geometrische Figur, deren Seitenlängen gleich den Modulen der Vektoren sind. Liegen alle Vektoren in derselben Ebene, so erhalten wir ein geschlossenes Polygon.

Es ist oft bequem zu wählen rechtwinkliges Koordinatensystem Oxyz. Dann sind die Summen der Projektionen aller Kraftvektoren auf die Koordinatenachsen gleich Null:

Wenn Sie eine beliebige Richtung wählen, die durch einen Vektor definiert ist, dann ist die Summe der Projektionen der Kraftvektoren auf diese Richtung gleich Null:
.
Wir multiplizieren Gleichung (1) skalar mit dem Vektor:
.
Hier ist das Skalarprodukt der Vektoren und .
Beachten Sie, dass die Projektion eines Vektors auf die Richtung des Vektors durch die Formel bestimmt wird:
.

Starre Körperstatik

Kraftmoment um einen Punkt

Kraftmoment bestimmen

Kraftmoment, angewendet auf den Körper im Punkt A, relativ zum festen Mittelpunkt O, heißt ein Vektor, der gleich dem Vektorprodukt der Vektoren ist und:
(2) .

Geometrische Deutung

Das Kraftmoment ist gleich dem Produkt aus der Kraft F und dem Arm OH.

Die Vektoren und seien in der Ebene der Figur angeordnet. Gemäß der Eigenschaft des Kreuzprodukts steht der Vektor senkrecht auf den Vektoren und , also senkrecht auf der Bildebene. Seine Richtung wird durch die rechte Schraubenregel bestimmt. In der Abbildung ist der Momentenvektor auf uns gerichtet. Der absolute Wert des Moments:
.
Weil dann
(3) .

Mit Hilfe der Geometrie kann man das Kraftmoment anders interpretieren. Ziehen Sie dazu eine Gerade AH durch den Kraftvektor . Vom Zentrum O lassen wir das senkrechte OH zu dieser Linie fallen. Die Länge dieser Senkrechten wird genannt Schulter der Stärke. Dann
(4) .
Da sind die Formeln (3) und (4) äquivalent.

Auf diese Weise, Absolutwert des Kraftmoments relativ zum Mittelpunkt O ist Kraftprodukt auf der Schulter diese Kraft relativ zum gewählten Zentrum O .

Bei der Berechnung des Moments ist es oft zweckmäßig, die Kraft in zwei Komponenten zu zerlegen:
,
wo . Die Kraft geht durch den Punkt O. Daher ist sein Impuls Null. Dann
.
Der absolute Wert des Moments:
.

Momentkomponenten in rechtwinkligen Koordinaten

Wenn wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem Oxyz wählen, dessen Mittelpunkt der Punkt O ist, dann hat das Kraftmoment die folgenden Komponenten:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Hier sind die Koordinaten von Punkt A im ausgewählten Koordinatensystem:
.
Die Komponenten sind jeweils die Werte des Kraftmoments um die Achsen.

Eigenschaften des Kraftmoments um den Mittelpunkt

Das Moment um den Mittelpunkt O von der Kraft, die durch diesen Mittelpunkt geht, ist gleich Null.

Wenn der Angriffspunkt der Kraft entlang einer Linie bewegt wird, die durch den Kraftvektor verläuft, ändert sich das Moment während einer solchen Bewegung nicht.

Das Moment aus der Vektorsumme der Kräfte, die auf einen Punkt des Körpers wirken, ist gleich der Vektorsumme der Momente von jeder der Kräfte, die auf denselben Punkt wirken:
.

Gleiches gilt für Kräfte, deren Hilfslinien sich in einem Punkt schneiden.

Wenn die Vektorsumme der Kräfte Null ist:
,
dann hängt die Summe der Momente aus diesen Kräften nicht von der Position des Zentrums ab, relativ zu dem die Momente berechnet werden:
.

Power-Paar

Power-Paar- Dies sind zwei Kräfte mit gleichem Absolutwert und entgegengesetzter Richtung, die auf verschiedene Punkte des Körpers wirken.

Ein Kräftepaar zeichnet sich durch den Moment aus, in dem es entsteht. Da die Vektorsumme der im Paar enthaltenen Kräfte Null ist, hängt das durch das Paar erzeugte Moment nicht von dem Punkt ab, relativ zu dem das Moment berechnet wird. Aus Sicht des statischen Gleichgewichts ist die Art der Kräfte im Paar unerheblich. Ein Kräftepaar wird verwendet, um anzuzeigen, dass ein Kräftemoment mit einem bestimmten Wert auf den Körper wirkt.

Kraftmoment um eine gegebene Achse

Oft gibt es Fälle, in denen wir nicht alle Komponenten des Kraftmoments um einen ausgewählten Punkt kennen müssen, sondern nur das Kraftmoment um eine ausgewählte Achse kennen müssen.

Das Kraftmoment um die durch den Punkt O verlaufende Achse ist die Projektion des Vektors des Kraftmoments um den Punkt O auf die Richtung der Achse.

Eigenschaften des Kraftmoments um die Achse

Das Moment um die Achse aus der Kraft, die durch diese Achse geht, ist gleich Null.

Das Moment um eine Achse aus einer Kraft parallel zu dieser Achse ist Null.

Berechnung des Kraftmoments um eine Achse

An Punkt A eine Kraft auf den Körper wirken lassen. Finden wir das Moment dieser Kraft relativ zur O′O′′-Achse.

Lassen Sie uns ein rechteckiges Koordinatensystem erstellen. Lassen Sie die Oz-Achse mit O′O′′ zusammenfallen. Vom Punkt A lassen wir das senkrechte OH auf O′O′′ fallen. Durch die Punkte O und A ziehen wir die Achse Ox. Wir zeichnen die Achse Oy senkrecht zu Ox und Oz. Wir zerlegen die Kraft in Komponenten entlang der Achsen des Koordinatensystems:
.
Die Kraft kreuzt die O′O′′-Achse. Daher ist sein Impuls Null. Die Kraft ist parallel zur O′O′′-Achse. Daher ist sein Moment auch Null. Nach Formel (5.3) finden wir:
.

Beachten Sie, dass die Komponente tangential zum Kreis gerichtet ist, dessen Mittelpunkt der Punkt O ist. Die Richtung des Vektors wird durch die rechte Schraubenregel bestimmt.

Gleichgewichtsbedingungen für einen starren Körper

Im Gleichgewicht ist die Vektorsumme aller auf den Körper wirkenden Kräfte gleich Null und die Vektorsumme der Momente dieser Kräfte bezogen auf einen beliebigen festen Mittelpunkt ist gleich Null:
(6.1) ;
(6.2) .

Wir betonen, dass der Mittelpunkt O , relativ zu dem die Kraftmomente berechnet werden, beliebig gewählt werden kann. Punkt O kann entweder zum Körper gehören oder außerhalb liegen. Normalerweise wird das Zentrum O gewählt, um die Berechnungen zu vereinfachen.

Die Gleichgewichtsbedingungen können auch anders formuliert werden.

Im Gleichgewicht ist die Summe der Kraftprojektionen in eine beliebige Richtung, die durch einen beliebigen Vektor gegeben ist, gleich Null:
.
Die Summe der Kräftemomente um eine beliebige Achse O′O′′ ist ebenfalls gleich Null:
.

Manchmal sind diese Bedingungen bequemer. Es gibt Zeiten, in denen Berechnungen durch die Auswahl von Achsen vereinfacht werden können.

Schwerpunkt des Körpers

Betrachten Sie eine der wichtigsten Kräfte - die Schwerkraft. Dabei werden die Kräfte nicht punktuell in den Körper eingeleitet, sondern kontinuierlich über sein Volumen verteilt. Für jeden Körperteil mit einem verschwindend kleinen Volumen ∆V, wirkt die Gravitationskraft. Hier ist ρ die Dichte der Substanz des Körpers, ist die Beschleunigung des freien Falls.

Sei die Masse eines unendlich kleinen Körperteils. Und der Punkt A k definiere die Position dieses Abschnitts. Lassen Sie uns die Größen finden, die sich auf die Schwerkraft beziehen, die in den Gleichgewichtsgleichungen (6) enthalten sind.

Finden wir die Summe der Schwerkräfte, die von allen Körperteilen gebildet werden:
,
wo ist die masse des körpers. Somit kann die Summe der Gravitationskräfte einzelner infinitesimaler Körperteile durch einen Gravitationsvektor des gesamten Körpers ersetzt werden:
.

Lassen Sie uns die Summe der Momente der Schwerkraft relativ zum gewählten Zentrum O auf beliebige Weise finden:

.
Hier haben wir Punkt C eingeführt, der aufgerufen wird Schwerpunkt Karosserie. Die Position des Schwerpunkts in einem Koordinatensystem mit Mittelpunkt im Punkt O wird durch die Formel bestimmt:
(7) .

So kann bei der Bestimmung des statischen Gleichgewichts die Summe der Gewichtskräfte einzelner Körperabschnitte durch die Resultierende ersetzt werden
,
auf den Massenmittelpunkt des Körpers C aufgetragen, dessen Position durch Formel (7) bestimmt wird.

Die Lage des Schwerpunkts für verschiedene geometrische Formen kann den einschlägigen Fachbüchern entnommen werden. Wenn der Körper eine Achse oder Symmetrieebene hat, dann liegt der Schwerpunkt auf dieser Achse oder Ebene. Die Schwerpunkte einer Kugel, eines Kreises oder eines Kreises befinden sich also in den Mittelpunkten der Kreise dieser Figuren. Die Schwerpunkte eines rechteckigen Parallelepipeds, Rechtecks ​​oder Quadrats befinden sich ebenfalls in ihren Mittelpunkten - an den Schnittpunkten der Diagonalen.

Gleichmäßig (A) und linear (B) verteilte Last.

Es gibt auch Fälle ähnlich der Schwerkraft, bei denen die Kräfte nicht an bestimmten Punkten des Körpers angreifen, sondern sich kontinuierlich über dessen Oberfläche oder Volumen verteilen. Solche Kräfte werden gerufen verteilte Kräfte oder .

(Abbildung A). Außerdem kann sie wie im Fall der Schwerkraft durch die resultierende Kraft der Größe ersetzt werden, die im Schwerpunkt des Diagramms angesetzt wird. Da das Diagramm in Abbildung A ein Rechteck ist, liegt der Schwerpunkt des Diagramms in seinem Mittelpunkt – Punkt C: | AC| = | CB |.

(Bild B). Sie kann auch durch die Resultierende ersetzt werden. Der Wert der Resultierenden ist gleich der Fläche des Diagramms:
.
Der Angriffspunkt liegt im Schwerpunkt des Diagramms. Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Höhe h, hat einen Abstand von der Grundfläche. So .

Reibungskräfte

Gleitreibung. Lassen Sie den Körper auf einer ebenen Fläche liegen. Und sei eine Kraft senkrecht zur Fläche, mit der die Fläche auf den Körper wirkt (Druckkraft). Dann ist die Gleitreibungskraft parallel zur Oberfläche und zur Seite gerichtet und verhindert, dass sich der Körper bewegt. Sein größter Wert ist:
,
wobei f der Reibungskoeffizient ist. Der Reibungskoeffizient ist eine dimensionslose Größe.

Rollreibung. Lassen Sie den abgerundeten Körper rollen oder rollen Sie auf der Oberfläche. Und sei die Druckkraft senkrecht zur Oberfläche, mit der die Oberfläche auf den Körper einwirkt. Auf den Körper wirkt dann am Kontaktpunkt mit der Oberfläche das Moment der Reibungskräfte, das die Bewegung des Körpers verhindert. Der größte Wert des Reibmoments ist:
,
wobei δ der Rollreibungskoeffizient ist. Es hat die Dimension der Länge.

Verweise:
S. M. Targ, Short Course in Theoretical Mechanics, Higher School, 2010.

Der Kurs umfasst: Kinematik eines Punktes und eines starren Körpers (und aus verschiedenen Blickwinkeln wird vorgeschlagen, das Problem der Orientierung eines starren Körpers zu betrachten), klassische Probleme der Dynamik mechanischer Systeme und der Dynamik eines starren Körpers, Elemente der Himmelsmechanik, Bewegung von Systemen variabler Zusammensetzung, Stoßtheorie, Differentialgleichungen der Analytischen Dynamik.

Der Kurs deckt alle traditionellen Bereiche der theoretischen Mechanik ab, besonderes Augenmerk wird jedoch auf die für Theorie und Anwendung sinnvollsten und wertvollsten Bereiche der Dynamik und Methoden der analytischen Mechanik gelegt; Statik wird als Teilgebiet der Dynamik studiert, und im Teilgebiet Kinematik werden die für das Teilgebiet Dynamik notwendigen Konzepte und der mathematische Apparat ausführlich eingeführt.

Informationsquellen

Gantmacher F.R. Vorlesungen über Analytische Mechanik. - 3. Aufl. – M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Grundlagen der Theoretischen Mechanik. - 2. Aufl. -M.: Fizmatlit, 2001; 3. Aufl. – M.: Fizmatlit, 2008.
Markeev A.P. Theoretische Mechanik. - Moskau - Ischewsk: Forschungszentrum "Reguläre und chaotische Dynamik", 2007.

Anforderungen

Der Kurs richtet sich an Studierende, die im Rahmen des Grundstudiums einer Technischen Universität den Apparat der Analytischen Geometrie und der Linearen Algebra besitzen.

Kursprogramm

1. Kinematik eines Punktes
1.1. Probleme der Kinematik. Kartesisches Koordinatensystem. Zerlegung eines Vektors auf orthonormaler Basis. Radiusvektor und Punktkoordinaten. Punktgeschwindigkeit und Beschleunigung. Bewegungsbahn.
1.2. Natürlich dreieckig. Entwicklung von Geschwindigkeit und Beschleunigung in den Achsen eines natürlichen Trieders (Satz von Huygens).
1.3. Krummlinige Punktkoordinaten, Beispiele: Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinatensysteme. Geschwindigkeitskomponenten und Projektionen der Beschleunigung auf die Achsen eines krummlinigen Koordinatensystems.

2. Methoden zum Spezifizieren der Orientierung eines starren Körpers
2.1. Fest. Feste und körpergebundene Koordinatensysteme.
2.2. Orthogonale Rotationsmatrizen und ihre Eigenschaften. Eulers Satz über endliche Wendungen.
2.3. Aktive und passive Gesichtspunkte zur orthogonalen Transformation. Windungen hinzufügen.
2.4. Endliche Rotationswinkel: Euler-Winkel und "Flugzeug"-Winkel. Ausdruck einer orthogonalen Matrix in Bezug auf endliche Rotationswinkel.

3. Räumliche Bewegung eines starren Körpers
3.1. Translations- und Rotationsbewegung eines starren Körpers. Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung.
3.2. Verteilung der Geschwindigkeiten (Formel von Euler) und Beschleunigungen (Formel von Rivalen) von Punkten eines starren Körpers.
3.3. Kinematische Invarianten. Kinematische Schraube. Sofortige Schraubenachse.

4. Planparallele Bewegung
4.1. Der Begriff der planparallelen Bewegung des Körpers. Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung bei planparalleler Bewegung. Momentaner Geschwindigkeitsschwerpunkt.

5. Komplexe Bewegung eines Punktes und eines starren Körpers
5.1. Feste und bewegliche Koordinatensysteme. Absolute, relative und bildliche Bewegung eines Punktes.
5.2. Der Satz über die Geschwindigkeitsaddition bei komplexer Bewegung eines Punktes, relative und figurative Geschwindigkeiten eines Punktes. Der Coriolis-Satz über die Addition von Beschleunigungen für eine komplexe Bewegung eines Punktes, Relativ-, Translations- und Coriolis-Beschleunigungen eines Punktes.
5.3. Absolute, relative und übertragbare Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung eines Körpers.

6. Bewegung eines starren Körpers mit Fixpunkt (Quaternionsdarstellung)
6.1. Das Konzept der komplexen und hyperkomplexen Zahlen. Algebra der Quaternionen. Quaternion-Produkt. Konjugierte und inverse Quaternion, Norm und Modul.
6.2. Trigonometrische Darstellung der Einheitsquaternion. Quaternion-Methode zur Angabe der Körperdrehung. Eulers Satz über endliche Wendungen.
6.3. Beziehung zwischen Quaternionkomponenten in verschiedenen Basen. Windungen hinzufügen. Rodrigues-Hamilton-Parameter.

7. Prüfungsarbeit

8. Grundbegriffe der Dynamik.
8.1 Impuls, Drehimpuls (kinetisches Moment), kinetische Energie.
8.2 Kräfteleistung, Kräftearbeit, Potential und Gesamtenergie.
8.3 Masseschwerpunkt (Trägheitszentrum) des Systems. Das Trägheitsmoment des Systems um die Achse.
8.4 Trägheitsmomente um parallele Achsen; das Huygens-Steiner-Theorem.
8.5 Tensor und Trägheitsellipsoid. Hauptträgheitsachsen. Eigenschaften axialer Trägheitsmomente.
8.6 Berechnung des Drehimpulses und der kinetischen Energie des Körpers mit dem Trägheitstensor.

9. Grundlegende Sätze der Dynamik in inertialen und nicht-inertialen Bezugsrahmen.
9.1 Satz über die Impulsänderung des Systems in einem Inertialbezugssystem. Der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes.
9.2 Satz über die Änderung des Drehimpulses des Systems in einem Inertialbezugssystem.
9.3 Satz über die Änderung der kinetischen Energie des Systems in einem Inertialbezugssystem.
9.4 Potentielle, gyroskopische und dissipative Kräfte.
9.5 Grundsätze der Dynamik in nicht-inertialen Bezugssystemen.

10. Bewegung eines starren Körpers mit einem festen Punkt durch Trägheit.
10.1 Dynamische Euler-Gleichungen.
10.2 Euler-Fall, erste Integrale dynamischer Gleichungen; permanente Drehungen.
10.3 Interpretationen von Poinsot und Macculag.
10.4 Reguläre Präzession bei dynamischer Symmetrie des Körpers.

11. Bewegung eines schweren starren Körpers mit einem Fixpunkt.
11.1 Allgemeine Formulierung des Problems der Bewegung eines schweren starren Körpers um sich herum.
Fixpunkt. Dynamische Euler-Gleichungen und ihre ersten Integrale.
11.2 Qualitative Analyse der Bewegung eines starren Körpers bei Lagrange.
11.3 Erzwungene regelmäßige Präzession eines dynamisch symmetrischen starren Körpers.
11.4 Die Grundformel der Gyroskopie.
11.5 Das Konzept der elementaren Kreiseltheorie.

12. Dynamik eines Punktes im Zentralfeld.
12.1 Binets Gleichung.
12.2 Bahngleichung. Keplers Gesetze.
12.3 Das Streuproblem.
12.4 Das Problem der zwei Körper. Bewegungsgleichungen. Flächenintegral, Energieintegral, Laplace-Integral.

13. Dynamik von Systemen variabler Zusammensetzung.
13.1 Grundbegriffe und Theoreme zur Änderung grundlegender dynamischer Größen in Systemen variabler Zusammensetzung.
13.2 Bewegung eines materiellen Punktes variabler Masse.
13.3 Bewegungsgleichungen eines Körpers variabler Zusammensetzung.

14. Theorie impulsiver Bewegungen.
14.1 Grundbegriffe und Axiome der Theorie impulsiver Bewegungen.
14.2 Sätze über die Änderung der grundlegenden dynamischen Größen bei impulsiver Bewegung.
14.3 Impulsbewegung eines starren Körpers.
14.4 Kollision zweier starrer Körper.
14.5 Sätze von Carnot.

15. Kontrollarbeit

Lernerfolge

Als Ergebnis der Beherrschung der Disziplin muss der Student:

• Wissen:
  • Grundbegriffe und Theoreme der Mechanik und die sich daraus ergebenden Methoden zur Untersuchung der Bewegung mechanischer Systeme;
• In der Lage sein:
  • Probleme der Theoretischen Mechanik richtig formulieren;
  • mechanische und mathematische Modelle zu entwickeln, die die Haupteigenschaften der betrachteten Phänomene angemessen widerspiegeln;
  • das erworbene Wissen anwenden, um relevante spezifische Probleme zu lösen;
• Besitzen:
  • Fähigkeiten zur Lösung klassischer Probleme der theoretischen Mechanik und Mathematik;
  • die Fähigkeit, die Probleme der Mechanik zu studieren und mechanische und mathematische Modelle zu erstellen, die eine Vielzahl mechanischer Phänomene angemessen beschreiben;
  • Befähigung zur praktischen Anwendung von Methoden und Prinzipien der Theoretischen Mechanik bei Problemlösungen: Kraftberechnung, Bestimmung der kinematischen Eigenschaften von Körpern mit verschiedenen Methoden der Bewegungssetzung, Bestimmung des Bewegungsgesetzes von materiellen Körpern und mechanischen Systemen unter Krafteinwirkung;
  • Fähigkeiten zur selbstständigen Beherrschung neuer Informationen im Produktionsprozess und bei wissenschaftlichen Aktivitäten unter Verwendung moderner Bildungs- und Informationstechnologien;