Aslamazov L.G. Kreisbewegung // Kvant. - 1972. - Nr. 9. - S. 51-57.

Nach besonderer Vereinbarung mit der Redaktion und den Herausgebern der Zeitschrift "Kvant"

Um die Bewegung auf einem Kreis zusammen mit der linearen Geschwindigkeit zu beschreiben, wird das Konzept der Winkelgeschwindigkeit eingeführt. Bewegt sich ein Punkt entlang eines Kreises in der Zeit Δ t beschreibt einen Bogen, dessen Winkelmaß Δφ ist, dann die Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit ω steht in Beziehung zur linearen Geschwindigkeit υ durch die Beziehung υ = ω r, wo r- der Radius des Kreises, entlang dem sich der Punkt bewegt (Abb. 1). Das Konzept der Winkelgeschwindigkeit ist besonders praktisch, um die Drehung eines starren Körpers um eine Achse zu beschreiben. Obwohl die linearen Geschwindigkeiten von Punkten, die sich in unterschiedlichen Abständen von der Achse befinden, nicht gleich sein werden, sind ihre Winkelgeschwindigkeiten gleich, und wir können von der Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Körpers als Ganzes sprechen.

Aufgabe 1. Scheibenradius r rollt, ohne auf einer horizontalen Ebene zu rutschen. Die Geschwindigkeit des Scheibenmittelpunkts ist konstant und gleich υ p. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotiert die Scheibe in diesem Fall?

Jeder Punkt der Scheibe nimmt an zwei Bewegungen teil - an einer Translationsbewegung mit einer Geschwindigkeit υ n zusammen mit dem Mittelpunkt der Scheibe und an einer Rotationsbewegung um den Mittelpunkt mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit ω.

Um ω zu finden, verwenden wir die Abwesenheit von Schlupf, d. h. die Tatsache, dass die Geschwindigkeit eines Scheibenpunkts in Kontakt mit der Ebene zu jedem Zeitpunkt Null ist. Das bedeutet für den Punkt SONDERN(Bild 2) die Translationsgeschwindigkeit υ p ist betragsmäßig gleich und entgegengesetzt gerichtet zur linearen Rotationsgeschwindigkeit υ vr = ω· r. Von hier bekommen wir sofort .

Aufgabe 2. Geschwindigkeitspunkte finden BEIM, Mit und D dieselbe Scheibe (Abb. 3).

Betrachten Sie zuerst den Punkt BEIM. Die Lineargeschwindigkeit seiner Drehbewegung ist senkrecht nach oben gerichtet und gleich groß , also betragsmäßig gleich der Geschwindigkeit der Translationsbewegung, die jedoch horizontal gerichtet ist. Wenn wir diese beiden Geschwindigkeiten vektoriell addieren, finden wir, dass die resultierende Geschwindigkeit υ B gleich groß ist und mit dem Horizont einen Winkel von 45º bildet. Am Punkt Mit Rotations- und Translationsgeschwindigkeit sind in die gleiche Richtung gerichtet. Resultierende Geschwindigkeit υ C gleich 2υ n und horizontal gerichtet. Ebenso wird die Geschwindigkeit eines Punktes gefunden D(Siehe Abb. 3).

Selbst wenn sich die Geschwindigkeit eines Punktes, der sich entlang eines Kreises bewegt, in der Größe nicht ändert, weist der Punkt eine gewisse Beschleunigung auf, da sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert. Diese Beschleunigung heißt zentripetal. Sie ist auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet und gleich ( R ist der Radius des Kreises, ω und υ sind die Winkel- und Lineargeschwindigkeiten des Punktes).

Wenn sich die Geschwindigkeit eines Punktes, der sich entlang eines Kreises bewegt, nicht nur in Richtung, sondern auch in Größe ändert, gibt es neben der Zentripetalbeschleunigung auch die sogenannte tangential Beschleunigung. Sie ist tangential zum Kreis gerichtet und gleich dem Verhältnis (Δυ ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit Δ t).

Aufgabe 3. Finden Sie Beschleunigungen von Punkten SONDERN, BEIM, Mit und D Scheibenradius r Rollen ohne Rutschen auf einer horizontalen Ebene. Die Geschwindigkeit des Mittelpunkts der Scheibe ist konstant und gleich υ p (Abb. 3).

In dem dem Mittelpunkt der Scheibe zugeordneten Koordinatensystem dreht sich die Scheibe mit einer Winkelgeschwindigkeit ω und die Ebene bewegt sich vorwärts mit einer Geschwindigkeit υ p. Es gibt keinen Schlupf zwischen der Scheibe und der Ebene, daher . Die Geschwindigkeit der Translationsbewegung υ p ändert sich nicht, daher ist die Rotationswinkelgeschwindigkeit der Scheibe konstant und die Punkte der Scheibe haben nur eine Zentripetalbeschleunigung, die auf die Mitte der Scheibe gerichtet ist. Da sich das Koordinatensystem ohne Beschleunigung (mit konstanter Geschwindigkeit υ p) bewegt, sind in einem festen Koordinatensystem die Beschleunigungen der Scheibenpunkte gleich.

Wenden wir uns nun Problemen zur Dynamik der Drehbewegung zu. Betrachten wir zunächst den einfachsten Fall, bei dem die Bewegung auf einem Kreis mit konstanter Geschwindigkeit erfolgt. Da die Beschleunigung des Körpers zum Zentrum gerichtet ist, muss auch die Vektorsumme aller auf den Körper wirkenden Kräfte zum Zentrum gerichtet sein, und zwar gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz.

Es sollte daran erinnert werden, dass die rechte Seite dieser Gleichung nur reale Kräfte enthält, die von anderen Körpern auf einen bestimmten Körper wirken. Nein Zentripetalkraft tritt nicht auf, wenn man sich im Kreis bewegt. Dieser Begriff wird einfach verwendet, um die Resultierende von Kräften zu bezeichnen, die auf einen Körper wirken, der sich im Kreis bewegt. Hinsichtlich Zentrifugalkraft, dann entsteht sie nur bei der Beschreibung der Bewegung entlang eines Kreises in einem nicht-trägen (rotierenden) Koordinatensystem. Wir werden hier den Begriff der Zentripetal- und Zentrifugalkraft überhaupt nicht verwenden.

Aufgabe 4. Bestimmen Sie den kleinsten Krümmungsradius der Straße, den das Auto mit einer Geschwindigkeit von υ = 70 km/h passieren kann, und den Reifenreibwert auf der Straße k =0,3.

R = m g, Straßenreaktionskraft N und Reibungskraft F tr zwischen den Reifen des Autos und der Straße. Kräfte R und N vertikal gerichtet und gleich groß: P = N. Die Reibungskraft, die das Rutschen („Schleudern“) des Autos verhindert, ist auf die Kurvenmitte gerichtet und bewirkt eine Zentripetalbeschleunigung: . Der Maximalwert der Reibungskraft F tr max = k· N = k· m g, daher wird aus der Gleichung der minimale Wert des Radius des Kreises bestimmt, auf dem man sich noch mit einer Geschwindigkeit υ bewegen kann. Von hier (m).

Straßenreaktionskraft N Wenn sich das Auto im Kreis bewegt, passiert es nicht den Schwerpunkt des Autos. Dies liegt daran, dass sein Moment relativ zum Schwerpunkt das zum Umkippen des Autos neigende Reibungsmoment kompensieren muss. Die Größe der Reibungskraft ist umso größer, je größer die Geschwindigkeit des Autos ist. Ab einer bestimmten Geschwindigkeit übersteigt das Moment der Reibungskraft das Moment der Reaktionskraft und das Auto kippt um.

Aufgabe 5. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Auto auf einem Kreisbogen R= 130 m, kann umkippen? Der Schwerpunkt des Fahrzeugs liegt auf einer Höhe h= 1 m über Straße, Fahrzeugspurbreite l= 1,5 m (Bild 4).

Zum Zeitpunkt des Umkippens des Autos als Reaktionskraft der Straße N, und die Reibungskraft F mp sind am "äußeren" Rad befestigt. Wenn sich ein Auto mit der Geschwindigkeit υ im Kreis bewegt, wirkt auf es eine Reibungskraft. Diese Kraft erzeugt ein Moment um den Schwerpunkt des Fahrzeugs. Das maximale Moment der Reaktionskraft der Straße N = m g relativ zum Schwerpunkt ist (im Moment des Umkippens geht die Reaktionskraft durch das kurvenäußere Rad). Durch Gleichsetzen dieser Momente finden wir die Gleichung für die Höchstgeschwindigkeit, bei der das Auto noch nicht umkippen wird:

Von wo ≈ 30 m/s ≈ 110 km/h.

Damit sich ein Auto mit einer solchen Geschwindigkeit bewegt, ist ein Reibungskoeffizient erforderlich (siehe vorherige Aufgabe).

Eine ähnliche Situation tritt beim Wenden eines Motorrads oder Fahrrads auf. Die Reibungskraft, die die Zentripetalbeschleunigung erzeugt, hat ein Moment um den Schwerpunkt herum, das dazu neigt, das Motorrad umzuwerfen. Um dieses Moment durch das Moment der Reaktionskraft der Straße zu kompensieren, lehnt sich der Motorradfahrer daher in Richtung der Kurve (Abb. 5).

Aufgabe 6. Ein Motorradfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von υ = 70 km/h auf einer waagerechten Straße und macht dabei eine Kurve mit Radius R\u003d 100 m. In welchem ​​​​Winkel α zum Horizont sollte er kippen, um nicht zu fallen?

Die Reibungskraft zwischen dem Motorrad und der Straße, da sie dem Motorradfahrer eine Zentripetalbeschleunigung verleiht. Straßenreaktionskraft N = m g. Die Bedingung der Gleichheit der Momente der Reibungskraft und der Reaktionskraft relativ zum Schwerpunkt ergibt die Gleichung: F tp l sinα = N· l cos α, wo l- Distanz OA vom Schwerpunkt zur Spur des Motorrads (siehe Abb. 5).

Ersetzen Sie hier die Werte F tp und N, etwas finden oder . Beachten Sie, dass die Resultierende der Kräfte N und F tp geht bei diesem Neigungswinkel des Motorrads durch den Schwerpunkt, wodurch sichergestellt wird, dass das Gesamtkraftmoment gleich Null ist N und F tp .

Um die Bewegungsgeschwindigkeit entlang der Straßenrundung zu erhöhen, wird der Straßenabschnitt an der Kurve geneigt gemacht. Gleichzeitig ist zusätzlich zur Reibungskraft auch die Reaktionskraft der Straße an der Erzeugung der Zentripetalbeschleunigung beteiligt.

Aufgabe 7. Mit welcher maximalen Geschwindigkeit υ kann sich ein Auto auf einer geneigten Strecke mit einem Neigungswinkel α mit einem Krümmungsradius bewegen? R und Reibungskoeffizient der Reifen auf der Straße k?

Auf das Auto wirkt die Schwerkraft m g, Reaktionskraft N, senkrecht zur Gleisebene gerichtet, und der Reibungskraft F tp entlang der Strecke gerichtet (Abb. 6).

Da uns in diesem Fall die auf den Wagen wirkenden Kräftemomente nicht interessieren, haben wir alle auf den Schwerpunkt des Wagens wirkenden Kräfte gezeichnet. Die Vektorsumme aller Kräfte muss auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet sein, auf dem sich das Auto bewegt, und ihm eine Zentripetalbeschleunigung verleihen. Daher ist die Summe der Projektionen der Kräfte auf die Richtung zum Zentrum (horizontale Richtung) , das heißt

Die Summe der Projektionen aller Kräfte auf die vertikale Richtung ist Null:

N cos α - m g – F tp sinα = 0.

Setzen Sie in diese Gleichungen den maximal möglichen Wert der Reibungskraft ein F tp = kN und Gewalt ausschließen N, finden Sie die Höchstgeschwindigkeit , mit dem man sich noch auf einer solchen Strecke bewegen kann. Dieser Ausdruck ist immer größer als der einer horizontalen Straße entsprechende Wert.

Nachdem wir uns mit der Rotationsdynamik befasst haben, gehen wir zu Problemen für Rotationsbewegungen in der vertikalen Ebene über.

Aufgabe 8. Massenauto m= 1,5 t bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von υ = 70 km/h entlang der in Bild 7 dargestellten Straße. Straßenabschnitte AB und Sonne können als Bögen von Kreisen mit Radius betrachtet werden R= 200 m berühren sich an einem Punkt BEIM. Bestimmen Sie die Druckkraft des Autos auf der Straße in Punkten SONDERN und Mit. Wie ändert sich die Druckkraft, wenn ein Auto einen Punkt passiert? BEIM?

Am Punkt SONDERN Auf das Auto wirkt die Schwerkraft R = m g und Straßenreaktionskraft N / A. Die Vektorsumme dieser Kräfte muss zum Kreismittelpunkt, also senkrecht nach unten gerichtet sein und eine Zentripetalbeschleunigung erzeugen: , woher (H). Die Druckkraft des Autos auf der Fahrbahn ist gleich groß und entgegengesetzt gerichtet zur Reaktionskraft. Am Punkt Mit die Vektorsumme der Kräfte ist senkrecht nach oben gerichtet: und (H). Also an der Stelle SONDERN die Druckkraft ist kleiner als die Schwerkraft und an einem Punkt Mit- mehr.

Am Punkt BEIM Das Auto bewegt sich von einem konvexen Abschnitt der Straße zu einem konkaven Abschnitt (oder umgekehrt). Beim Befahren einer konvexen Strecke muss die Projektion der Schwerkraft in Richtung Mitte die Reaktionskraft der Fahrbahn übersteigen NB 1 und . Beim Fahren auf einem konkaven Abschnitt der Straße dagegen die Reaktionskraft der Straße N B 2 übertrifft die Projektion der Schwerkraft: .

Aus diesen Gleichungen erhalten wir das beim Durchgang durch den Punkt BEIM die Druckkraft des Autos auf der Fahrbahn ändert sich schlagartig um einen Wert von ≈ 6·10 3 N. Natürlich wirken solche Stoßbelastungen sowohl auf das Auto als auch auf die Fahrbahn zerstörerisch. Daher versuchen Straßen und Brücken immer, ihre Krümmung sanft zu ändern.

Wenn sich ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Kreis bewegt, muss die Summe der Projektionen aller Kräfte auf die Richtung, die den Kreis tangiert, gleich Null sein. In unserem Fall wird die tangentiale Komponente der Schwerkraft durch die Reibungskraft zwischen den Rädern des Autos und der Straße ausgeglichen.

Die Größe der Reibungskraft wird durch das vom Motor auf die Räder ausgeübte Drehmoment gesteuert. Dieses Moment neigt dazu, die Räder dazu zu bringen, relativ zur Straße zu rutschen. Daher entsteht eine Reibungskraft, die ein Durchrutschen verhindert und proportional zum aufgebrachten Moment ist. Der Maximalwert der Reibungskraft ist kN, wo k ist der Reibungskoeffizient zwischen den Reifen des Autos und der Straße, N- Druckkraft auf der Straße. Bei der Abwärtsbewegung des Autos spielt die Reibungskraft die Rolle einer Bremskraft und bei der Aufwärtsbewegung dagegen die Rolle der Zugkraft.

Aufgabe 9. Fahrzeugmasse m= 0,5 t, die sich mit einer Geschwindigkeit von υ = 200 km/h bewegt, bildet eine "tote Schleife" mit Radius R= 100 m (Bild 8). Bestimmen Sie die Druckkraft des Autos auf der Straße am oberen Ende der Schleife SONDERN; am Punkt BEIM, dessen Radiusvektor mit der Vertikalen einen Winkel α = 30º bildet; am Punkt Mit wo die Geschwindigkeit des Autos vertikal gerichtet ist. Ist es möglich, dass sich ein Auto mit einer so konstanten Geschwindigkeit mit einem Reifenreibungskoeffizienten auf der Straße auf einer Schleife bewegt? k = 0,5?

An der Spitze der Schleife die Schwerkraft und die Reaktionskraft der Straße N / A senkrecht nach unten gerichtet. Die Summe dieser Kräfte erzeugt eine Zentripetalbeschleunigung: . So N.

Die Druckkraft des Autos auf der Fahrbahn ist gleich groß und entgegengesetzt gerichtet zur Kraft N / A.

Am Punkt BEIM Die Zentripetalbeschleunigung entsteht aus der Summe der Reaktionskraft und der Projektion der Schwerkraft auf die Richtung zum Zentrum: . Von hier N.

Das ist leicht zu sehen NB > N / A; wenn der Winkel &agr; zunimmt, nimmt die Reaktionskraft der Straße zu.

Am Punkt Mit Reaktionskraft H; Die Zentripetalbeschleunigung an diesem Punkt wird nur durch die Reaktionskraft erzeugt, und die Schwerkraft ist tangential gerichtet. Wenn Sie sich entlang des unteren Teils der Schleife bewegen, überschreitet die Reaktionskraft ebenfalls den Maximalwert H Reaktionskraft hat an der Stelle D. Bedeutung ist also der Mindestwert der Reaktionskraft.

Die Geschwindigkeit des Autos ist konstant, wenn die Tangentialkomponente der Schwerkraft die maximale Reibungskraft nicht überschreitet kN an allen Punkten in der Schleife. Diese Bedingung ist sicherlich erfüllt, wenn der Mindestwert den Maximalwert der Tangentialkomponente der Gewichtskraft überschreitet. In unserem Fall ist dieser Maximalwert gleich m g(es wird an dem Punkt erreicht Mit) und die Bedingung für erfüllt ist k= 0,5, υ = 200 km/h, R= 100m.

Somit ist in unserem Fall die Bewegung des Autos entlang der "toten Schleife" mit konstanter Geschwindigkeit möglich.

Betrachten Sie nun die Bewegung des Autos entlang der "toten Schleife" bei ausgeschaltetem Motor. Wie bereits erwähnt, wirkt normalerweise das Moment der Reibungskraft dem vom Motor auf die Räder ausgeübten Moment entgegen. Wenn sich das Auto mit ausgeschaltetem Motor bewegt, fehlt dieser Moment, und die Reibungskraft zwischen den Rädern des Autos und der Straße kann vernachlässigt werden.

Die Geschwindigkeit des Autos ist nicht mehr konstant - die tangentiale Komponente der Schwerkraft verlangsamt oder beschleunigt die Bewegung des Autos entlang der "toten Schleife". Auch die Zentripetalbeschleunigung ändert sich. Sie wird wie üblich durch die resultierende Reaktionskraft der Straße und die Projektion der Schwerkraft auf die Richtung zum Zentrum der Schleife erzeugt.

Aufgabe 10. Welche Mindestgeschwindigkeit sollte das Auto am Ende der Schleife haben? D(siehe Abb. 8), um es bei ausgeschaltetem Motor zu machen? Wie hoch wird die Druckkraft des Autos auf der Straße zu diesem Zeitpunkt sein? BEIM? Schleifenradius R= 100 m, Fahrzeuggewicht m= 0,5 t.

Mal sehen, was die Mindestgeschwindigkeit ist, die das Auto am Ende der Schleife haben kann SONDERN im Kreis weitergehen?

Die Zentripetalbeschleunigung an diesem Punkt auf der Straße wird durch die Summe der Schwerkraft und der Reaktionskraft der Straße erzeugt . Je niedriger die Geschwindigkeit des Autos ist, desto geringer ist die Reaktionskraft. N / A. Bei einem Wert verschwindet diese Kraft. Bei einer langsameren Geschwindigkeit übersteigt die Schwerkraft den Wert, der zum Erzeugen einer Zentripetalbeschleunigung erforderlich ist, und das Auto hebt von der Straße ab. Bei Geschwindigkeit verschwindet die Reaktionskraft der Straße nur am oberen Ende der Schleife. Tatsächlich wird die Geschwindigkeit des Autos in anderen Abschnitten der Schleife größer sein, und wie aus der Lösung des vorherigen Problems leicht ersichtlich ist, wird auch die Reaktionskraft der Straße größer sein als an diesem Punkt SONDERN. Wenn also das Auto am oberen Ende der Schleife Geschwindigkeit hat, wird es die Schleife nirgendwo verlassen.

Jetzt legen wir fest, welche Geschwindigkeit das Auto am Ende der Schleife haben soll D bis zum oberen Rand der Schleife SONDERN seine Geschwindigkeit. Um die Geschwindigkeit υ zu finden D Sie können den Energieerhaltungssatz anwenden, als würde sich das Auto nur unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegen. Tatsache ist, dass die Reaktionskraft der Straße in jedem Moment senkrecht zur Bewegung des Autos gerichtet ist und daher ihre Arbeit Null ist (denken Sie daran, dass die Arbeit Δ EIN = F·Δ s cos α, wobei α der Winkel zwischen der Kraft ist F und Bewegungsrichtung Δ s). Die Reibungskraft zwischen den Rädern des Autos und der Straße beim Fahren mit ausgeschaltetem Motor kann vernachlässigt werden. Daher ändert sich die Summe aus potentieller und kinetischer Energie des Autos beim Fahren mit ausgeschaltetem Motor nicht.

Lassen Sie uns die Werte der Energie des Autos an den Punkten gleichsetzen SONDERN und D. In diesem Fall zählen wir die Höhe von der Höhe des Punktes D, das heißt, die potenzielle Energie des Autos an diesem Punkt wird als gleich Null angesehen. Dann bekommen wir

Setzen Sie hier den Wert für die gewünschte Geschwindigkeit υ ein D, finden wir: ≈ 70 m/s ≈ 260 km/h.

Wenn das Auto mit dieser Geschwindigkeit in die Schleife einfährt, kann es sie mit ausgeschaltetem Motor beenden.

Lassen Sie uns nun bestimmen, mit welcher Kraft das Auto an der Stelle auf die Straße drücken wird BEIM. Fahrzeuggeschwindigkeit am Punkt BEIM wieder ist es leicht aus dem Energieerhaltungssatz zu finden:

Wenn wir den Wert hier ersetzen, finden wir, dass die Geschwindigkeit .

Unter Verwendung der Lösung des vorherigen Problems finden wir für eine gegebene Geschwindigkeit die Druckkraft an dem Punkt B:

Ebenso findet man die Druckkraft an jedem anderen Punkt der „Totschleife“.

Übungen

1. Finden Sie die Winkelgeschwindigkeit eines künstlichen Erdsatelliten, der sich auf einer Kreisbahn mit einer Umlaufperiode dreht T= 88min. Finden Sie die lineare Geschwindigkeit dieses Satelliten, wenn bekannt ist, dass sich seine Umlaufbahn in einiger Entfernung befindet R= 200 km von der Erdoberfläche entfernt.

2. Scheibenradius R zwischen zwei parallelen Stäben platziert. Die Schienen bewegen sich mit Geschwindigkeiten υ 1 und υ 2. Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe und die Geschwindigkeit ihres Zentrums. Es gibt keinen Schlupf.

3. Die Scheibe rollt auf einer horizontalen Fläche, ohne zu rutschen. Zeigen Sie, dass die Enden der Geschwindigkeitsvektoren der vertikalen Durchmesserpunkte auf derselben Geraden liegen.

4. Das Flugzeug bewegt sich im Kreis mit einer konstanten Horizontalgeschwindigkeit υ = 700 km/h. Radius definieren R dieser Kreis, wenn der Rumpf des Flugzeugs um einen Winkel α = 5° geneigt ist.

5. Massenbelastung m\u003d 100 g, an einem langen Faden aufgehängt l= 1 m, dreht sich in einer horizontalen Ebene gleichmäßig im Kreis. Ermitteln Sie die Rotationsdauer der Last, wenn der Faden bei seiner Rotation um einen Winkel α = 30° vertikal ausgelenkt wird. Bestimmen Sie auch die Spannung des Fadens.

6. Das Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit υ = 80 km/h entlang der Innenfläche eines senkrechten Zylinders mit Radius R= 10 m in einem horizontalen Kreis. Bei welchem ​​minimalen Reibungskoeffizienten zwischen den Reifen des Autos und der Oberfläche des Zylinders ist dies möglich?

7. Massenbelastung m an einem undehnbaren Faden aufgehängt, dessen maximal mögliche Spannung 1,5 beträgt m g. Bei welchem ​​maximalen Winkel α darf der Faden aus der Senkrechten ausgelenkt werden, damit der Faden bei der Weiterbewegung der Last nicht reißt? Welche Spannung hat der Faden in dem Moment, in dem der Faden mit der Senkrechten einen Winkel α/2 bildet?

Antworten

I. Winkelgeschwindigkeit eines künstlichen Erdsatelliten ≈ 0,071 rad/s. Lineargeschwindigkeit des Satelliten υ = ω· R. wo R ist der Radius der Umlaufbahn. Hier ersetzen R = R 3 + h, wo R 3 ≈ 6400 km, finden wir υ ≈ 467 km/s.

2. Hier sind zwei Fälle möglich (Abb. 1). Wenn die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ω und die Geschwindigkeit ihres Zentrums υ ist, dann sind die Geschwindigkeiten der mit den Schienen in Kontakt stehenden Punkte jeweils gleich

im Fall a) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = υ – ω R;

im Fall b) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = ω R – υ.

(Wir haben zur Eindeutigkeit angenommen, dass υ 1 > υ 2). Beim Lösen dieser Systeme finden wir:

a)

b)

3. Geschwindigkeit von jedem Punkt M auf dem Segment liegen OV(siehe Abb. 2) ergibt sich aus der Formel υ M = υ + ω· rM, wo rM- Entfernung vom Punkt M in die Mitte der Scheibe Ö. Für jeden Punkt N Zugehörigkeit zum Segment OA, haben wir: υ N = υ – ω· rN, wo rN- Entfernung vom Punkt N in die Mitte. Bezeichne mit ρ den Abstand von jedem Punkt des Durchmessers VA auf den Punkt SONDERN Kontakt der Scheibe mit der Ebene. Dann ist das klar rM = ρ – R und rN = R – ρ = –(ρ – R). wo R ist der Scheibenradius. Daher die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes auf dem Durchmesser VA ergibt sich aus der Formel: υ ρ = υ + ω (ρ – R). Da die Scheibe ohne Schlupf abrollt, erhalten wir für die Geschwindigkeit υ ρ υ ρ = ω · ρ. Daraus folgt, dass die Enden der Geschwindigkeitsvektoren auf der vom Punkt ausgehenden Geraden liegen SONDERN und zum Durchmesser geneigt VA in einem Winkel proportional zur Drehwinkelgeschwindigkeit der Scheibe ω.

Die bewiesene Aussage lässt den Schluss zu, dass sich die komplexe Bewegung von Punkten auf dem Durchmesser befindet VA, kann zu jedem Zeitpunkt als einfache Drehung um einen festen Punkt betrachtet werden SONDERN mit einer Winkelgeschwindigkeit ω gleich der Rotationswinkelgeschwindigkeit um den Mittelpunkt der Scheibe. Tatsächlich sind die Geschwindigkeiten dieser Punkte in jedem Moment senkrecht zum Durchmesser gerichtet VA, und sind betragsmäßig gleich dem Produkt aus ω und der Entfernung zum Punkt SONDERN.

Es stellt sich heraus, dass diese Aussage für jeden Punkt auf der Scheibe gilt. Darüber hinaus ist es eine allgemeine Regel. Bei jeder Bewegung eines starren Körpers gibt es in jedem Moment eine Achse, um die sich der Körper einfach dreht - die momentane Rotationsachse.

4. Das Flugzeug wird durch die Schwerkraft beeinflusst (siehe Abb. 3). R = m g und Auftriebskraft N, senkrecht zur Ebene der Flügel gerichtet (da sich das Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, gleichen sich Schubkraft und Widerstandskraft der Luft aus). Resultierende Kraft R

6. Das Auto wird durch die Schwerkraft beeinflusst (Abb. 5). R = m g, die Reaktionskraft von der Seite des Zylinders N und Reibungskraft F tp . Da sich das Auto in einem horizontalen Kreis bewegt, werden die Kräfte R und F tp balancieren sich gegenseitig und die Kraft N erzeugt Zentripetalbeschleunigung. Der Maximalwert der Reibungskraft steht in Beziehung zur Reaktionskraft N Verhältnis: F tp = kN. Als Ergebnis erhalten wir ein Gleichungssystem: , woraus sich der Mindestwert des Reibungskoeffizienten ergibt

7. Die Last bewegt sich in einem Radiuskreis l(Abb. 6). Die Zentripetalbeschleunigung der Last (υ - die Geschwindigkeit der Last) wird durch die Differenz der Werte der Fadenspannungskraft erzeugt T und Schwerkraftprojektionen m g Gewinderichtung: . So , wobei β der Winkel ist, den das Gewinde mit der Vertikalen bildet. Beim Absenken der Last nimmt ihre Geschwindigkeit zu und der Winkel β ab. Die Fadenspannung wird maximal beim Winkel β = 0 (in dem Moment, in dem der Faden senkrecht steht): . Die maximale Geschwindigkeit der Last υ 0 ergibt sich aus dem Winkel α, um den der Faden ausgelenkt wird, aus dem Energieerhaltungssatz:

Unter Verwendung dieses Verhältnisses erhalten wir für den Maximalwert der Fadenspannung die Formel: T maximal = m g(3 – 2 cos α). Je nach Aufgabe T max = 2m g. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, finden wir cos α = 0,5 und daher α = 60°.

Bestimmen wir nun die Spannung des Fadens bei . Die Geschwindigkeit der Last in diesem Moment ergibt sich auch aus dem Energieerhaltungssatz:

Setzen wir den Wert von υ 1 in die Formel für die Zugkraft ein, finden wir:

Probleme mit Lösungen und Antworten auf Aufgaben

Ein Rad der Masse M und des Radius r rollt ohne Schlupf auf einer geraden horizontalen Schiene. Bestimmen Sie den Hauptvektor und das Hauptmoment der Trägheitskräfte um die Achse, die durch den Schwerpunkt des Rades senkrecht zur Bewegungsebene verläuft. Betrachten Sie das Rad als eine feste homogene Scheibe. Der Massenmittelpunkt bewegt sich nach dem Gesetz xC=at2/2, wobei a ein konstanter positiver Wert ist Bestimmen Sie den Hauptvektor und das Hauptträgheitsmoment des beweglichen Rades 2 des Planetengetriebes relativ zu der durch ihn verlaufenden Achse Schwerpunkt senkrecht zur Bewegungsebene. Die OC-Kurbel dreht sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit. Die Masse von Rad 2 ist gleich M. Die Radien der Räder sind r. Das Ende A eines homogenen dünnen Stabes AB der Länge 2l und der Masse M bewegt sich entlang einer horizontalen Führung mit Hilfe eines Anschlags E mit konstanter Geschwindigkeit v , und die Stange ruht immer auf dem Winkel D. Bestimmen Sie den Hauptvektor und das Hauptmoment der Kräfte Trägheit der Stange relativ zu der Achse, die durch den Massenmittelpunkt C der Stange senkrecht zur Bewegungsebene verläuft, in Abhängigkeit vom Winkel φ Bestimmen Sie zur vorherigen Aufgabe den dynamischen Druck ND der Stange im Winkel D. Um die Verzögerung eines Oberleitungsbusses experimentell zu bestimmen, wird ein Flüssigkeitsbeschleunigungsmesser verwendet, der aus einem gebogenen Rohr besteht, das mit Öl gefüllt ist und sich in einer vertikalen Ebene befindet. Bestimmen Sie die Verzögerung des Trolleybusses beim Bremsen, wenn gleichzeitig der Flüssigkeitsstand am in Fahrtrichtung befindlichen Ende des Rohrs auf h2 ansteigt und am gegenüberliegenden Ende auf h1 abfällt. α1=α2=45°, h1=25 mm, h2=75 mm Mit welcher Beschleunigung soll sich ein Prisma entlang einer horizontalen Ebene bewegen, deren Seitenfläche mit dem Horizont einen Winkel α bildet, so dass die Last seitlich aufliegt Stirnfläche bewegt sich nicht relativ zum Prisma? Untersuchung der Wirkung von schnell wechselnden Zug- und Druckkräften auf einen Metallstab (Ermüdungsversuch), der Prüfstab A wird am oberen Ende am Gleiter B des Kurbeltriebs BCO befestigt, und am unteren Ende hängt ein Gewicht der Masse M. Finden Sie die Kraft Zugstab, falls sich die Kurbel OC mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die Achse O dreht Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen des Axiallagers A und des Lagers B des Drehkran beim Heben einer Last E mit einer Masse von 3 Tonnen mit einer Beschleunigung von (1/3)g. Die Masse des Krans beträgt 2 Tonnen, sein Schwerpunkt liegt im Punkt C. Die Masse der Laufkatze D beträgt 0,5 t. Der Kran und die Laufkatze stehen still Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen des Axiallagers A und des Lagers B von dem in der vorherigen Aufgabe betrachteten Drehkran, wenn sich die Katze mit einer Beschleunigung von 0,5 g ohne Last E nach links bewegt. Der Massenmittelpunkt der Laufkatze liegt auf Höhe der Stütze B. Ein 7 Tonnen schwerer Lastwagen fährt mit 12 km/h auf die mit zwei parallelen Seilen am Ufer festgebundene Fähre; die Bremsen halten den LKW für 3 m. Unter der Annahme, dass die Reibungskraft der Räder auf dem Fährdeck konstant ist, bestimmen Sie die Spannung der Seile. Masse und Beschleunigung der Fähre vernachlässigen Ein Auto der Masse M bewegt sich auf einer geraden Linie mit der Beschleunigung w. Bestimmen Sie den vertikalen Druck der Vorder- und Hinterräder des Autos, wenn sich sein Massenschwerpunkt C in einer Höhe h von der Bodenoberfläche befindet. Die Abstände der Vorder- und Hinterachse des Fahrzeugs von der durch den Schwerpunkt verlaufenden Vertikalen sind gleich a bzw. b. Ignorieren Sie die Massen der Räder. Wie soll sich das Auto bewegen, damit der Druck der Vorder- und Hinterräder gleich ist? Mit welcher Beschleunigung w fällt die Last der Masse M1 und hebt die Last der Masse M2 mit dem in der Abbildung gezeigten Kettenzug? Was ist die Bedingung für die gleichmäßige Bewegung der Last M1? Vernachlässigen Sie die Massen der Blöcke und des Kabels: Ein glatter Keil der Masse M und mit einem Winkel von 2α an der Spitze drückt jeweils zwei Platten der Masse M1, die auf einem glatten horizontalen Tisch ruhen. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen von Keil und Platten auf und bestimmen Sie die Druckkraft des Keils auf jede der Platten: Ein herunterfallendes Gewicht A der Masse M1 setzt durch einen geworfenen undehnbaren Faden ein Gewicht B der Masse M2 in Bewegung über einen festen Block C. Bestimmen Sie die Druckkraft des Tisches D auf den Boden, wenn seine Masse M3 ist. Vernachlässigen Sie die Masse des Fadens: Eine Last A der Masse M1, die eine schiefe Ebene D hinabfährt und mit dem Horizont einen Winkel α bildet, setzt eine Last B der Masse M2 durch einen nicht dehnbaren Faden in Bewegung, der über einen festen Block C geworfen wird . Bestimmen Sie die horizontale Komponente des Drucks der schiefen Ebene D auf den Bodenvorsprung E. Vernachlässigen Sie die Masse des Fadens: Ein homogener Stab der Masse M und der Länge l rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine feste vertikale Achse senkrecht zum Stab und geht durch sein Ende. Bestimmen Sie die Zugkraft im Querschnitt des Stabes im Abstand a von der Drehachse: Eine homogene rechteckige Platte der Masse M dreht sich gleichmäßig um eine senkrechte Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Bestimmen Sie die Kraft, die die Platte senkrecht zur Rotationsachse im Schnitt durch die Rotationsachse zerreißt: Eine gleichmäßige runde Scheibe mit Radius R und Masse M rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um ihren vertikalen Durchmesser. Bestimmen Sie die Kraft, die die Scheibe entlang des Durchmessers zerreißt: Ein dünner, geradliniger, homogener Stab der Länge l und der Masse M rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um einen festen Punkt O (Kugelgelenk) und beschreibt eine Kegelfläche mit der Achse OA und dem Scheitel im Punkt O . Berechnen Sie den Abweichungswinkel der Stange von der vertikalen Richtung sowie den Wert N des Drucks der Stange auf das Scharnier O. In einem Fliehkrafttachometer sind zwei dünne gleichmäßige gerade Stangen der Länge a und b bei a starr verbunden rechtwinklig, dessen Oberteil O schwenkbar mit einer vertikalen Welle verbunden ist; die Welle dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. Finden Sie die Beziehung zwischen ω und dem Ablenkungswinkel, der durch die Richtung eines Stabs der Länge a und der Vertikalen gebildet wird Ein dünner, gleichmäßiger gerader Stab AB ist schwenkbar mit einer vertikalen Welle am Punkt O verbunden. Die Welle dreht sich mit einer konstanten Geschwindigkeit ω. Bestimmen Sie den Abweichungswinkel φ des Stabes von der Senkrechten, wenn OA=a und OB=b. die abstände der lager vom rad sind untereinander gleich. Finden Sie die Druckkräfte auf die Lager, wenn die Welle 1200 Umdrehungen pro Minute macht. Das Schwungrad hat eine zur Rotationsachse senkrechte Symmetrieebene: Eine homogene runde Scheibe der Masse M rotiert gleichförmig mit einer Winkelgeschwindigkeit ω um eine feste Achse, die in der Ebene der Scheibe liegt und einen Abstand von ihrem Massenmittelpunkt C hat OC=a. Bestimmen Sie die Kräfte des dynamischen Achsdrucks auf das Axiallager A und das Lager B, wenn OB=OA. Die x- und y-Achsen sind immer mit der Scheibe verbunden.. Lösen Sie die obige Aufgabe unter der Annahme, dass bei Vorhandensein von Widerstandskräften die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe nach dem Gesetz ω=ω0-ε0t abnimmt, wobei ω0 und ε0 positiv sind Konstanten zwei Lasten C und D mittels zwei Stäben OC=OD=r senkrecht zur Achse AB und außerdem senkrecht zueinander. Bestimmen Sie die Kräfte des dynamischen Drucks der Achse AB auf das Axiallager A und das Lager B. Betrachten Sie die Gewichte C und D jeweils als materielle Punkte der Masse M. Ignorieren Sie die Massen der Stangen. Im ersten Moment war das System in Ruhe. Die x- und y-Achsen sind fest mit den Stäben verbunden: Ein Stab AB der Länge 2l, an dessen Enden Gewichte gleicher Masse M angebracht sind, rotiert gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die senkrechte Achse Oz, die durch die Mitte O von verläuft die Stangenlänge. Der Abstand des Punktes O vom Lager C ist a, vom Drucklager D ist b. Der Winkel zwischen dem Stab AB und der Achse Oz behält einen konstanten Wert α. Bestimmen Sie unter Vernachlässigung der Masse der Stange und der Abmessungen der Gewichte die Projektionen der Druckkräfte auf das Lager C und das Axiallager D in dem Moment, in dem sich die Stange in der Oyz-Ebene befindet.Ha Die Enden der Achse AB werden gelegt an zwei identischen Kurbeln AC und BD der Länge l und der Masse M1, die in einem Winkel von 180 ° zueinander verkeilt sind. Die Achse AB der Länge 2a und der Masse M2 rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω in Lagern E und F, die symmetrisch im Abstand 2b voneinander beabstandet sind. Bestimmen Sie die Druckkräfte NE und NF auf die Lager, wenn die AC-Kurbel senkrecht nach oben zeigt. Die Masse jeder Kurbel wird als gleichmäßig entlang ihrer Achse verteilt betrachtet: An der horizontalen Welle AB, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω dreht, sind zwei gleiche Stäbe der Länge l senkrecht dazu angebracht, die in zueinander senkrechten Ebenen liegen. An den Enden der Stäbe befinden sich Kugeln D und E der Masse m. Bestimmen Sie die Kräfte des dynamischen Drucks der Welle auf die Stützen A und B. Betrachten Sie die Kugeln als materielle Punkte; Vernachlässigen Sie die Massen der Stäbe: Zwei Stäbe sind starr an einer vertikalen Welle AB befestigt, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω dreht. Der Stab OE bildet mit der Welle einen Winkel φ, der Stab OD steht senkrecht auf der Ebene, die die Welle AB und den Stab OE enthält. Gegebene Maße: OE=OD=l, AB=2a. An den Enden der Stäbe sind je zwei Kugeln E und D der Masse m befestigt. Bestimmen Sie die dynamischen Druckkräfte der Welle auf die Stützen A und B. Betrachten Sie die Kugeln D und E als Punktmassen; die Massen der Stangen vernachlässigen Bestimmen Sie mit der Bedingung von Aufgabe 34.1 die dynamischen Druckkräfte der Kurbelwelle auf die Lager K und L. Die Welle rotiert gleichmäßig mit der Winkelgeschwindigkeit ω Eine homogene Stange KL, mittig schräg befestigt α zur Hochachse AB, rotiert gleichmäßig beschleunigt um diese Achse mit der Winkelbeschleunigung ε. Bestimmen Sie die dynamischen Druckkräfte der Achse AB auf das Axiallager A und das Lager B, wenn: M die Masse der Stange ist, 2l ihre Länge ist, OA=OB=h/2; OK=OL=l. Im ersten Moment befand sich das System in Ruhe: Eine homogene rechteckige Platte OABD der Masse M mit den Seiten a und b, die mit der Seite OA an der Welle OE befestigt ist, rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. Stützabstand OE=2a. Berechnen Sie die Seitenkräfte des dynamischen Drucks der Welle auf die Stützen O und E. Ein gerader homogener runder Zylinder der Masse M, Länge 2l und Radius r rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die vertikale Achse Oz, die durch den Massenmittelpunkt O verläuft des Zylinders; der Winkel zwischen der Achse des Zylinders Oζ und der Achse Oz behält einen konstanten Wert α. Der Abstand H1H2 zwischen Drucklager und Lager ist gleich h. Bestimmen Sie die seitlichen Druckkräfte auf sie. Berechnen Sie die Druckkräfte in den Lagern A und B während der Rotation um die Achse AB einer homogenen dünnen runden Scheibe CD einer Dampfturbine, unter der Annahme, dass die Achse AB durch den Mittelpunkt O der Scheibe geht, aber fällig Durch falsches Reiben der Buchse bildet sie mit der Senkrechten zur Scheibenebene einen Winkel AOE = α=0,02 rad. Gegeben: Die Masse der Scheibe beträgt 3,27 kg, ihr Radius 20 cm, die Winkelgeschwindigkeit entspricht 30.000 U/min, der Abstand AO=50 cm, OB=30 cm; die Achse AB wird als absolut starr betrachtet und sin 2α=2α angenommen. Durch eine ungenaue Montage der runden Scheibe einer Dampfturbine bildet die Scheibenebene mit der Achse AB einen Winkel α und der Massenmittelpunkt C der Scheibe liegt nicht auf dieser Achse. Exzentrizität OC=a. Finden Sie die Seitenkräfte des dynamischen Drucks auf die Lager A und B, wenn die Scheibenmasse M ist, ihr Radius R ist und AO = OB = h; Die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ist konstant

Finden Sie die lineare Geschwindigkeit der Erde v während seiner Orbitalbewegung. Mittlerer Radius der Erdumlaufbahn R\u003d 1,5 10 8 km.

Antwort und Lösung

v≈ 30 km/s.

v = 2πR/(365 24 60 60).

Ein Flugzeugpropeller mit einem Radius von 1,5 m dreht sich bei der Landung mit einer Frequenz von 2000 min -1 , die Landegeschwindigkeit des Flugzeugs relativ zur Erde beträgt 162 km/h. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Punktes am Ende des Propellers. Wie ist die Flugbahn dieses Punktes?

Antwort und Lösung

v≈ 317 m/s. Die Spitze am Ende des Propellers beschreibt eine Wendel mit Steigung h≈ 1,35 m.

Der Flugzeugpropeller dreht sich mit einer Frequenz von:

λ = 2000/60 s –1 = 33,33 s –1 .

Lineare Geschwindigkeit des Punktes am Ende des Propellers:

v lin = 2 πRλ≈ 314 m/s.

Landegeschwindigkeit des Flugzeugs v= 45 m/s.

Die resultierende Geschwindigkeit des Punktes am Ende des Propellers ist gleich der Summe der Vektoren der linearen Geschwindigkeit während der Drehung des Propellers und der Geschwindigkeit des Flugzeugs während der Landung:

v Schnitt = ≈ 317 m/s.

Der Schritt der Schraubenbahn ist gleich:

h = v/λ ≈ 1,35 m.

Scheibenradius R rollt ohne zu rutschen mit konstanter Geschwindigkeit v. Finden Sie den Ort der Punkte auf der Scheibe, die aktuell Geschwindigkeit haben v.

Antworten

Der Ort der Punkte auf einer Scheibe, die Geschwindigkeit haben v im Moment ist der Bogenradius R, dessen Mittelpunkt im Kontaktpunkt der Scheibe mit der Ebene liegt, d.h. am momentanen Drehpunkt.

Zylinderrollenradius R zwischen zwei parallelen Stäben platziert. Reiki bewegen sich in eine Richtung mit Geschwindigkeiten v 1 und v 2 .

Bestimmen Sie die Drehwinkelgeschwindigkeit der Rolle und die Geschwindigkeit ihres Zentrums, wenn kein Schlupf auftritt. Lösen Sie das Problem für den Fall, dass die Geschwindigkeiten der Schienen in unterschiedliche Richtungen gerichtet sind.

Antworten

; .

Rollt auf einer horizontalen Ebene, ohne mit konstanter Geschwindigkeit zu rutschen v mit Bügelradius R. Wie groß sind die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der verschiedenen Punkte des Reifens relativ zur Erde? Drücken Sie die Geschwindigkeit als Funktion des Winkels zwischen der Vertikalen und der geraden Linie aus, die zwischen dem Kontaktpunkt des Reifens mit der Ebene und dem gegebenen Punkt des Reifens gezogen wird.

Antworten

v A=2 v C cos α . Die Beschleunigung der Randpunkte enthält gleich nur eine zentripetale Komponente a c = v 2 /R.

Das Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v= 60 km/h. Mit welcher Frequenz n seine Räder drehen sich, wenn sie auf der Autobahn rollen, ohne zu rutschen, und der Außendurchmesser der Reifen der Räder ist d= 60 cm? Finde die Zentripetalbeschleunigung a tss äußere Gummischicht auf den Reifen seiner Räder.

Antworten

n≈ 8,84 s –1; a c ≈ 926 m / s 2.

Ein dünnwandiger Zylinder wird auf einer horizontalen Ebene platziert und dreht sich mit einer Geschwindigkeit v 0 um seine Achse. Wie groß ist die Bewegungsgeschwindigkeit der Zylinderachse, wenn das Gleiten des Zylinders relativ zur Ebene aufhört?

Antworten

v = v 0 /2.

Funktioniert die Resultierende aller Kräfte, die auf einen sich gleichmäßig im Kreis bewegenden Körper wirken?

Antworten

Ladung Masse m ohne Reibung auf einer horizontalen Stange gleiten kann, die sich um eine vertikale Achse dreht, die durch eines ihrer Enden verläuft. Die Last ist mit diesem Ende der Stange durch eine Feder verbunden, deren Elastizitätskoeffizient ist k. Bei welcher Winkelgeschwindigkeit ω Lässt sich die Feder auf 50 % ihrer ursprünglichen Länge dehnen?

Antworten

Zwei Punktmassen m 1 und m 2 sind am Gewinde befestigt und liegen auf einem völlig glatten Tisch. Die Abstände von ihnen zum festen Ende des Fadens sind l 1 und l 2 bzw.

Das System rotiert in einer horizontalen Ebene um eine durch das feste Ende verlaufende Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit ω . Finden Sie die Spannkräfte der Fadenabschnitte T 1 und T 2 .

Antworten

T 1 = (m 1 l 1 +m 2 l 2)ω 2 ; T 2 = m 2 ω 2 l 2 .

Ein Mann sitzt am Rand einer runden horizontalen Plattform mit einem Radius R\u003d 4 m. Mit welcher Frequenz n Die Plattform muss sich um eine vertikale Achse drehen, damit sich eine Person nicht mit einem Reibungskoeffizienten darauf aufhalten kann k=0,27?

Antworten

n= 6,75 min –1 .

Körpermasse m befindet sich in einiger Entfernung auf einer horizontalen Scheibe r von der Achse. Die Festplatte beginnt sich langsam zu drehen. Erstellen Sie einen Graphen der Abhängigkeit der Reibungskraftkomponente in radialer Richtung, die auf den Körper wirkt, von der Winkelgeschwindigkeit der Scheibenrotation. Bei welchem ​​Wert der Winkelgeschwindigkeit der Scheibe beginnt der Körper zu gleiten?

Antworten

Massenstein m=0,5 kg, gebunden an eine Seillänge l=50 cm, dreht sich in einer vertikalen Ebene. Die Spannung im Seil, wenn der Stein den tiefsten Punkt des Kreises passiert T\u003d 44 N. Bis zu welcher Höhe h Steigt ein Stein über den tiefsten Punkt des Kreises, wenn das Seil geschnitten wird, während seine Geschwindigkeit senkrecht nach oben gerichtet ist?

Antworten

h≈ 2 m.

Der Athlet schickt den Hammer (den Kern am Kabel) in die Ferne l\u003d 70 m entlang der Flugbahn, die die maximale Wurfweite bietet. Welche Stärke T beeinflusst die Hände des Athleten zum Zeitpunkt des Wurfes? Hammergewicht m=5 kg. Bedenken Sie, dass der Athlet den Hammer beschleunigt und ihn in einer vertikalen Ebene um einen Kreis mit einem Radius dreht R\u003d 1,5 m. Der Luftwiderstand wird nicht berücksichtigt.

Antworten

T≈ 2205N.

Fahrzeugmasse M\u003d 3 * 10 3 kg bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v\u003d 36 km / h: a) entlang einer horizontalen Brücke; b) entlang der konvexen Brücke; c) entlang einer konkaven Brücke. Der Krümmungsradius der Brücke in den letzten beiden Fällen R\u003d 60 m. Mit welcher Kraft drückt das Auto in dem Moment auf die Brücke (in den letzten beiden Fällen), wenn die Linie, die den Krümmungsmittelpunkt der Brücke mit dem Auto verbindet, einen Winkel bildet α =10° mit senkrecht?

Antworten

a) F 1 ≈ 29400 N; b) F 2 ≈ 24.000 N; in) F 3 ≈ 34.000 N.

Auf einer konvexen Brücke, deren Krümmungsradius R= 90 m, mit Geschwindigkeit v= 54 km/h ein Auto der Masse m\u003d 2 t. Am Punkt der Brücke bildet die Richtung, in die vom Krümmungsmittelpunkt der Brücke aus einen Winkel mit der Richtung zur Oberseite der Brücke bildet α , das Auto drückt mit Wucht F= 14 400 N. Bestimmen Sie den Winkel α .

Antworten

α ≈ 8,5º.

Kugelmasse m= 100 g an einem langen Faden aufgehängt l\u003d 1 m. Der Ball wurde so gedreht, dass er sich in einer horizontalen Ebene im Kreis zu bewegen begann. In diesem Fall ist der Winkel, den das Gewinde mit der Vertikalen bildet, α = 60°. Bestimmen Sie die Gesamtarbeit, die beim Drehen des Balls verrichtet wird.

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EIN≈ 1,23 J.

Mit welcher Höchstgeschwindigkeit kann ein Auto in einer Kurve mit Krümmungsradius fahren? R\u003d 150 m, damit es nicht „rutscht“, wenn der Reibungskoeffizient von rutschenden Reifen auf der Straße liegt k = 0,42?

Antworten

v≈ 89 km/h.

1. Was sollte der maximale Gleitreibungskoeffizient sein? k zwischen den Reifen des Autos und dem Asphalt, damit das Auto den Rundungsradius passieren kann R= 200 m mit Geschwindigkeit v= 100 km/h?

2. Ein Auto mit Allradantrieb nimmt beim Anfahren gleichmäßig Fahrt auf und bewegt sich entlang eines horizontalen Straßenabschnitts, der ein Kreisbogen ist α = 30° Radius R= 100 m. Mit welcher Höchstgeschwindigkeit kann das Auto auf einen geraden Streckenabschnitt fahren? Reibungskoeffizient der Räder auf dem Boden k = 0,3.

Antworten

1. k ≈ 0,4.

2. v≈ 14,5 m/s.

Der Zug bewegt sich entlang einer Kurve mit einem Radius R= 800 m mit Geschwindigkeit v= 12 km/h. Bestimmen Sie, um wie viel die äußere Schiene höher sein muss als die innere Schiene, damit keine Seitenkräfte auf die Räder wirken. Der horizontale Abstand zwischen den Schienen wird gleich genommen d= 1,5 m.

Antworten

∆h≈ 7,65 cm.

Ein Motorradfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von 72 km/h auf einer horizontalen Straße und macht eine Kurve mit einem Krümmungsradius von 100 m.

Antworten

1. Wie hoch ist die Höchstgeschwindigkeit? v Ein Motorradfahrer kann auf einer horizontalen Ebene fahren und einen Bogen mit einem Radius beschreiben R= 90 m, wenn der Gleitreibungskoeffizient k = 0,4?

2. In welchem ​​Winkel φ sollte es von der vertikalen Richtung abweichen?

3. Wie hoch ist die Höchstgeschwindigkeit eines Motorradfahrers, wenn er auf einer geneigten Strecke mit einem Neigungswinkel fährt? α = 30° bei gleichem Krümmungsradius und Reibwert?

4. Wie groß muss der Neigungswinkel der Spur α 0 sein, damit die Geschwindigkeit des Motorradfahrers beliebig groß werden kann?

Antworten

1. v≈ 18,8 m/s. 2. φ ≈ 21,8°. 3. v max ≈ 33,5 m/s. 4. α 0 = arctg(1/ k).

Das Flugzeug macht eine Kurve und bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang eines Kreisbogens v= 360 km/h. Radius definieren R dieser Kreis, wenn der Rumpf des Flugzeugs schräg um die Flugrichtung gedreht wird α = 10°.

Antworten

R≈ 5780 m.

An der Kurve der Straße mit einem Radius R= 100 m bewegt sich das Auto gleichmäßig. Der Schwerpunkt des Fahrzeugs liegt auf einer Höhe h= 1 m, Fahrzeugspurweite a= 1,5 m. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v bei denen das Fahrzeug umkippen kann. In Querrichtung rutscht das Auto nicht.

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v≈ 26,1 m/s.

Der Fahrer, der ein Auto fuhr, bemerkte plötzlich einen Zaun vor sich, senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung. Was ist rentabler, um einen Unfall zu vermeiden: abbremsen oder zur Seite drehen?

Antworten

Verlangsamen.

Im Waggon eines Zuges, der sich gleichmäßig entlang einer gekrümmten Strecke mit einer Geschwindigkeit bewegt v= 12 km/h wird die Last auf Federwaagen gewogen. Lastgewicht m= 5 kg und der Krümmungsradius des Weges R\u003d 200 m. Bestimmen Sie den Messwert der Federwaage (Federspannkraft T).

Antworten

T≈ 51N.

Stärke finden F Einheit Trenncreme (Dichte ρ c \u003d 0,93 g / cm 3) aus Magermilch ( ρ m \u003d 1,03 g / cm 3) pro Volumeneinheit, wenn eine Trennung erfolgt: a) in einem stationären Gefäß; b) in einem mit einer Frequenz von 6000 min -1 rotierenden Zentrifugalabscheider, wenn die Flüssigkeit entfernt ist r= 10 cm von der Drehachse entfernt.

Antworten

a) F Einheit ≈ 980 N/m3;

b) F Einheit ≈ 3,94·10 5 N/m 3;

Das Flugzeug macht eine "tote Schleife" mit einem Radius R= 100 m und bewegt sich darauf mit einer Geschwindigkeit v= 280 km/h. Mit welcher Kraft F Körpermasse des Piloten M= 80 kg werden Druck auf den Flugzeugsitz am oberen und unteren Ende der Schlaufe ausüben?

Antworten

F in ≈ 4030 N, F n ≈ 5630 N.

Bestimmen Sie die Zugkraft T Seil riesige Schritte, wenn die Masse einer Person M\u003d 70 kg und das Seil bildet während der Drehung mit der Säule einen Winkel α \u003d 45 °. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotieren die Riesenstufen je nach Länge der Aufhängung l= 5m?

Antworten

T≈ 990N; ω ≈ 1,68 rad/s.

Zeitraum finden T Drehung eines Pendels, das Kreisbewegungen in einer horizontalen Ebene ausführt. Gewindelänge l. Der Winkel, den der Faden mit der Vertikalen bildet, α .

Antworten

.

Ein an einem Faden aufgehängtes Gewicht dreht sich in einer horizontalen Ebene, so dass der Abstand vom Aufhängepunkt zu der Ebene, in der die Drehung erfolgt, ist h. Finden Sie die Frequenz und Rotation der Last unter der Annahme, dass sie konstant ist.

Antworten

Das Ergebnis hängt nicht von der Länge der Aufhängung ab.

Kronleuchter Masse m= 100 kg an einer Metallkette von der Decke hängend, deren Länge l= 5 m. Bestimmen Sie die Höhe h, mit der der Kronleuchter umgelenkt werden kann, damit die Kette beim nachfolgenden Schwingen nicht reißt? Es ist bekannt, dass Kettenbruch auftritt, wenn die Spannkraft T> 1960 N.

Antworten

h≈ 2,5 m.

Kugelmasse m an einem unausdehnbaren Faden aufgehängt. Was ist der minimale Winkel α min muss die Kugel so umgelenkt werden, dass bei der Weiterbewegung der Faden reißt, wenn die maximal mögliche Spannkraft des Fadens 1,5 beträgt mg?

Antworten

α min ≈ 41,4°.

Das Pendel wird in eine horizontale Position ausgelenkt und freigegeben. In welchem ​​Winkel α mit der Vertikalen die Spannkraft des Fadens gleich groß ist wie die auf das Pendel wirkende Schwerkraft? Das Pendel gilt als mathematisch.

Antworten

α = arccos(⅓).

Ladung Masse m, an einen nicht dehnbaren Faden gebunden, dreht sich in einer vertikalen Ebene. Finden Sie den maximalen Unterschied in den Spannungskräften des Fadens.

Antworten

Der Turner "wirbelt die Sonne" an der Latte. Turnergewicht m. Unter der Annahme, dass seine gesamte Masse im Schwerpunkt konzentriert ist und die Geschwindigkeit am oberen Punkt Null ist, bestimmen Sie die Kraft, die am unteren Punkt auf die Hände des Turners wirkt.

Antworten

Ein Gewicht hängt an einem nicht dehnbaren Faden der Länge l, und der andere - auf einer starren, schwerelosen Stange gleicher Länge. Welche Mindestgeschwindigkeiten müssen diese Gewichte haben, damit sie sich in einer vertikalen Ebene drehen?

Antworten

Für Faden v min = ; für Rute v min = .

Kugelmasse M an einem Faden aufgehängt. Im gespannten Zustand wurde der Faden waagerecht gelegt und die Kugel freigegeben. Leiten Sie die Abhängigkeit der Fadenspannung her T aus der Ecke α , die derzeit einen Faden mit horizontaler Richtung bildet. Überprüfen Sie die hergeleitete Formel, indem Sie die Aufgabe für den Fall lösen, dass die Kugel die Gleichgewichtslage durchläuft, mit α = 90°.

Antworten

T = 3mg Sünde α ; T = 3mg.

Mathematische Pendellänge l und Gewicht M in eine Ecke gebracht φ 0 aus der Gleichgewichtslage und teilte ihm die Anfangsgeschwindigkeit mit v 0 senkrecht zum Gewinde nach oben gerichtet. Finden Sie die Spannung in der Schnur des Pendels T je nach Winkel φ vertikale Fäden.

Antworten

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Ein an einem Faden aufgehängtes Gewicht wird zur Seite genommen, so dass der Faden eine horizontale Position einnimmt, und losgelassen. Welchen Winkel mit der Vertikalen α bildet das Getränk in dem Moment, in dem die Vertikalkomponente der Gewichtsgeschwindigkeit am größten ist?

Antworten

Identische elastische Kugeln mit Masse m, die an Fäden gleicher Länge wie ein Haken aufgehängt sind, werden um einen Winkel in verschiedene Richtungen von der Vertikalen abgelenkt α und loslassen. Die Bälle treffen und prallen aufeinander ab. Was ist die Stärke F, die auf den Haken einwirken: a) an den äußersten Positionen der Fäden; b) im ersten und letzten Moment des Aufpralls der Bälle; c) im Moment der größten Deformation der Kugeln?

Antworten

a) F = 2mg cos 2 α ;

b) F = 2mg(3 - 2 cos α );

in) F = 2mg.

Zu einem mathematischen Pendel mit einem flexiblen, nicht dehnbaren Längenfaden l aus der Gleichgewichtslage eine horizontale Geschwindigkeit verleihen v 0 . Bestimmen Sie die maximale Hubhöhe h beim Bewegen im Kreis, wenn v 0 2 = 3gl. Welche Bahn wird die Pendelkugel nehmen, nachdem sie ihre maximale Hubhöhe erreicht hat? h auf einem Kreis? Bestimmen Sie die maximale Höhe H mit dieser Bewegung des Pendels erreicht.

Antworten

; entlang einer Parabel; .

Eine kleine Kugel wird an einem Punkt aufgehängt SONDERN auf einem Faden der Länge l. Am Punkt Ö auf Distanz l/2 unter Punkt SONDERN Ein Nagel wird in die Wand getrieben. Die Kugel wird zurückgezogen, so dass der Faden in einer horizontalen Position ist, und losgelassen. An welcher Stelle der Bahn verschwindet die Spannung des Fadens? Wie weit bewegt sich der Ball? Was ist der höchste Punkt, den der Ball erreichen wird?

Antworten

Auf der l/6 unterhalb des Aufhängepunktes; entlang einer Parabel; am 2 l/27 unterhalb des Aufhängepunktes.

Ein Gefäß mit der Form eines expandierenden Kegelstumpfes mit einem Bodendurchmesser D= 20 cm und dem Neigungswinkel der Wände α = 60°, rotiert um die vertikale Achse 00 ein . Bei welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich das Schiff ω eine am Boden liegende kleine Kugel aus dem Gefäß geschleudert wird? Reibung wird vernachlässigt.

Antworten

ω > ≈ 13 rad/s.

Kugel mit Radius R= 2 m mit einer Frequenz von 30 min -1 gleichmäßig um die Symmetrieachse rotiert. Innerhalb der Kugel befindet sich eine Massekugel m= 0,2 kg. Höhe finden h, entsprechend der Gleichgewichtslage der Kugel relativ zur Kugel, und der Reaktion der Kugel N.

Antworten

h≈ 1m; N≈ 0,4 N.

Innerhalb einer konischen Oberfläche, die sich mit Beschleunigung bewegt a dreht sich die Kugel auf einem Kreis mit einem Radius R. Zeitraum definieren T Kreisbewegung der Kugel. Kegelspitzenwinkel 2 α .

Antworten

.

Ein kleiner Massekörper m rutscht einen geneigten Hang hinunter und verwandelt sich in eine tote Schleife mit einem Radius R.

Reibung ist vernachlässigbar. Bestimmen Sie: a) was die kleinste Höhe sein sollte h Neigung, damit der Körper eine volle Schleife macht, ohne herauszufallen; b) welchen Druck F gleichzeitig erzeugt es einen Körper auf der Plattform an einem Punkt, dessen Radiusvektor einen Winkel bildet α mit senkrecht.

Antworten

a) h = 2,5R; b) F = 3mg(1 - cos α ).

Das Förderband ist schräg zum Horizont geneigt α . Bestimmen Sie die Mindestgeschwindigkeit des Bandes v min, bei der das aufliegende Erzkorn an der Stelle, wo es auf die Trommel aufläuft, von der Bandoberfläche getrennt wird, wenn der Radius der Trommel gleich ist R.

Antworten

v min = .

Ein kleiner Körper gleitet von der Spitze der Kugel herunter. Auf welcher Höhe h vom Scheitelpunkt wird der Körper mit einem Radius von der Oberfläche der Kugel abgehen R? Reibung ignorieren.

Antworten

h = R/3.

Finden Sie die kinetische Energie der Reifenmasse m Rollen mit einer Geschwindigkeit v. Es gibt keinen Schlupf.

Antworten

K = mv 2 .

Ein dünner Reifen ohne zu rutschen rollt in eine halbkugelförmige Grube. In welcher Tiefe h ist die Kraft des normalen Drucks des Reifens auf die Wand der Grube gleich seiner Schwerkraft? Grubenradius R, Reifenradius r.

Antworten

h = (R - r)/2.

Ein kleiner Reifen rollt rutschfrei auf der Innenfläche einer großen Halbkugel. Im ersten Moment ruhte der Reifen an seiner Oberkante. Bestimmen Sie: a) die kinetische Energie des Reifens am tiefsten Punkt der Halbkugel; b) welcher Anteil der kinetischen Energie fällt auf die Rotationsbewegung des Reifens um seine Achse; c) Normalkraft, die den Rand auf den unteren Punkt der Halbkugel drückt. Die Masse des Reifens ist m, Halbkugelradius R.

Antworten

a) K = mgR; b) 50 %; in 2 mg.

Wasser fließt durch ein Rohr, das sich in einer horizontalen Ebene befindet und einen Rundungsradius hat R= 2 m. Finden Sie den seitlichen Wasserdruck. Rohrdurchmesser d= 20 cm. M= 300 Tonnen Wasser.

Antworten

p\u003d 1,2 10 5 Pa.

Der Körper rutscht von der Spitze SONDERN exakt BEIM entlang zweier gekrümmter geneigter Flächen, die durch Punkte verlaufen EIN und BEIM einmal entlang eines konvexen Bogens, der zweite - entlang eines konkaven Bogens. Beide Bögen haben die gleiche Krümmung und der Reibungskoeffizient ist in beiden Fällen gleich.

In welchem ​​Fall ist die Geschwindigkeit des Körpers an einem Punkt B mehr?

Antworten

Bei Bewegung entlang eines konvexen Bogens.

Ein Stab von vernachlässigbarer Masse, Länge l mit zwei kleinen Kugeln m 1 und m 2 (m 1 > m 2) An den Enden kann es sich um eine Achse drehen, die durch die Mitte der Stange senkrecht zu ihr verläuft. Die Stange wird in eine horizontale Position gebracht und losgelassen. Winkelgeschwindigkeit bestimmen ω und Druckkraft F auf der Achse in dem Moment, in dem der Stab mit Kugeln die Gleichgewichtsposition passiert.

Antworten

; .

Ein kleiner Massering m. Der Ring ohne Reibung beginnt spiralförmig zu gleiten. Mit welcher Kraft F Der Ring drückt nach dem Passieren auf die Spirale n volle Umdrehungen? Kurvenradius R, der Abstand zwischen benachbarten Windungen h(Tonhöhe drehen). Denken h ≪ R.

Antworten

.

Auf einer glatten horizontalen Scheibe liegt eine geschlossene Metallkette, die lose auf einem zur Scheibe koaxialen Zentrierring aufgelegt ist. Die Scheibe wird in Rotation versetzt. Nehmen Sie die Form der Kette als horizontalen Kreis und bestimmen Sie die Spannkraft T entlang der Kette, wenn seine Masse m= 150 g, Länge l= 20 cm und die Kette dreht sich mit einer Frequenz n= 20 s –1 .

Antworten

T≈ 12N.

Reaktive Ebene m= 30 Tonnen fliegt mit einer Geschwindigkeit von West nach Ost entlang des Äquators v= 1800 km/h. Um wie viel ändert sich die auf das Flugzeug wirkende Auftriebskraft, wenn es mit der gleichen Geschwindigkeit von Ost nach West fliegt?

Antworten

ΔF unter ≈ 1,74 10 3 N.