Aufgabe 1. Die Dicke von 300 Blatt Druckerpapier beträgt 3,3 cm. Wie dick wäre ein Stapel von 500 Blatt des gleichen Papiers?

Entscheidung. Sei x cm die Dicke eines 500-Blatt-Papierries. Auf zwei Arten finden wir die Dicke eines Blattes Papier:

3,3: 300 oder x : 500.

Da die Papierblätter gleich sind, sind diese beiden Verhältnisse einander gleich. Wir bekommen den Anteil Erinnerung: Verhältnis ist die Gleichheit zweier Verhältnisse):

x=(3.3 · 500): 300;

x=5,5. Antworten: Pack 500 Blatt Papier hat eine Dicke 5,5cm.

Dies ist eine klassische Argumentation und Formulierung einer Problemlösung. Solche Probleme sind oft in Abschlussprüfungen enthalten, die die Lösung meist in dieser Form schreiben:

oder sie entscheiden mündlich und argumentieren wie folgt: Wenn 300 Blätter eine Dicke von 3,3 cm haben, dann haben 100 Blätter eine dreimal geringere Dicke. Teilen wir 3,3 durch 3, erhalten wir 1,1 cm, das ist die Dicke von 100 Blatt Papier. Daher haben 500 Blätter eine 5-mal größere Dicke, daher multiplizieren wir 1,1 cm mit 5 und erhalten die Antwort: 5,5 cm.

Dies ist natürlich gerechtfertigt, da die Zeit für die Prüfung von Absolventen und Bewerbern begrenzt ist. In dieser Lektion werden wir jedoch die Lösung so begründen und schreiben, wie sie gemacht werden sollte 6 Klasse.

Aufgabe 2. Wie viel Wasser ist in 5 kg Wassermelone enthalten, wenn bekannt ist, dass Wassermelone zu 98 % aus Wasser besteht?

Entscheidung.

Die Gesamtmasse der Wassermelone (5 kg) beträgt 100%. Wasser wird x kg oder 98 % betragen. Auf zwei Arten können Sie herausfinden, wie viele kg auf 1 % der Masse fallen.

5: 100 oder x : 98. Wir erhalten den Anteil:

5: 100 = x : 98.

x=(5 · 98): 100;

x=4,9 Antwort: in 5kg Wassermelone enthält 4,9 kg Wasser.

Die Masse von 21 Liter Öl beträgt 16,8 kg. Welche Masse haben 35 Liter Öl?

Entscheidung.

Die Masse von 35 Liter Öl sei x kg. Dann können Sie auf zwei Arten die Masse von 1 Liter Öl finden:

16,8: 21 oder x : 35. Wir erhalten den Anteil:

16,8: 21=x : 35.

Finden Sie den mittleren Term des Anteils. Dazu multiplizieren wir die äußersten Terme des Anteils ( 16,8 und 35 ) und dividiere durch den bekannten Mittelterm ( 21 ). Kürze den Bruch um 7 .

Multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs mit 10 sodass Zähler und Nenner nur natürliche Zahlen enthalten. Wir kürzen den Bruch um 5 (5 und 10) und so weiter 3 (168 und 3).

Antworten: 35 Liter Öl haben eine Masse 28 kg.

Nachdem 82 % des gesamten Feldes gepflügt waren, mussten noch 9 Hektar gepflügt werden. Wie groß ist die Fläche des gesamten Feldes?

Entscheidung.

Die Fläche des gesamten Feldes sei x ha, was 100% entspricht. Es bleiben 9 Hektar zu pflügen, was 100 % - 82 % = 18 % des gesamten Feldes entspricht. Lassen Sie uns 1 % der Feldfläche auf zwei Arten ausdrücken. Das:

X : 100 oder 9 : 18. Wir machen einen Anteil:

X : 100 = 9: 18.

Wir finden den unbekannten Extremwert des Anteils. Dazu multiplizieren wir die durchschnittlichen Terme des Anteils ( 100 und 9 ) und dividiere durch den bekannten Extremalterm ( 18 ). Wir reduzieren den Bruch.

Antworten: Bereich des gesamten Feldes 50 ha.

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Im letzten Video-Tutorial haben wir darüber nachgedacht, Prozentaufgaben mit Proportionen zu lösen. Dann mussten wir je nach Zustand des Problems den Wert der einen oder anderen Größe finden.

Diesmal sind uns bereits die Anfangs- und Endwerte vorgegeben. Daher müssen in Aufgaben Prozentsätze gefunden werden. Genauer gesagt, um wie viel Prozent hat sich dieser oder jener Wert geändert. Lass es uns versuchen.

Aufgabe. Turnschuhe kosten 3200 Rubel. Nach der Preiserhöhung kosteten sie 4000 Rubel. Um wie viel Prozent wurde der Preis der Turnschuhe erhöht?

Also lösen wir durch Proportionen. Der erste Schritt - der ursprüngliche Preis betrug 3200 Rubel. Daher sind 3200 Rubel 100%.

Außerdem erhielten wir den Endpreis - 4000 Rubel. Dies ist ein unbekannter Prozentsatz, also bezeichnen wir ihn als x . Wir erhalten folgende Konstruktion:

3200 — 100%
4000 - x%

Nun, der Zustand des Problems wird aufgeschrieben. Wir machen einen Anteil:

Der Bruch auf der linken Seite wird perfekt um 100 gekürzt: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Zusätzlich kann man um 4: 32: 4 = 8 reduzieren; 40: 4 = 10. Wir erhalten das folgende Verhältnis:

Verwenden wir die Grundeigenschaft der Proportionen: Das Produkt der äußersten Terme ist gleich dem Produkt der mittleren. Wir bekommen:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

Dies ist die übliche lineare Gleichung. Von hier aus finden wir x :

x=1000:8=125

Wir haben also den endgültigen Prozentsatz x = 125. Aber ist die Zahl 125 die Lösung des Problems? Auf keinen Fall! Denn die Aufgabe erfordert, dass Sie herausfinden, um wie viel Prozent der Preis für Turnschuhe erhöht wurde.

Um wie viel Prozent - das bedeutet, dass wir die Änderung finden müssen:

∆ = 125 − 100 = 25

Wir haben 25% bekommen - um so viel wurde der ursprüngliche Preis erhöht. Das ist die Antwort: 25.

Problem B2 für Interesse Nr. 2

Kommen wir zur zweiten Aufgabe.

Aufgabe. Das Hemd kostete 1800 Rubel. Nach der Preissenkung begann es 1530 Rubel zu kosten. Um wie viel Prozent wurde der Preis des Hemdes reduziert?

Wir übersetzen die Bedingung in mathematische Sprache. Der Anfangspreis von 1800 Rubel beträgt 100%. Und der Endpreis beträgt 1530 Rubel - wir wissen es, aber es ist nicht bekannt, wie viel Prozent es vom ursprünglichen Wert ist. Deshalb bezeichnen wir es mit x. Wir erhalten folgende Konstruktion:

1800 — 100%
1530 - x%

Basierend auf dem resultierenden Datensatz bilden wir den Anteil:

Teilen wir beide Seiten dieser Gleichung durch 100, um weitere Rechnungen zu vereinfachen, d.h. wir streichen zwei Nullen am Zähler des linken und rechten Bruchs. Wir bekommen:

Wenden wir uns nun wieder der Grundeigenschaft der Proportionen zu: Das Produkt der extremen Terme ist gleich dem Produkt der durchschnittlichen.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

Es bleibt x zu finden:

x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Wir haben x = 85. Aber wie bei der vorherigen Aufgabe ist diese Zahl an sich nicht die Antwort. Kommen wir zurück zu unserem Zustand. Wir wissen jetzt, dass der neue Preis nach der Kürzung 85 % des alten Preises beträgt. Und um die Änderungen zu finden, brauchen Sie vom alten Preis, d.h. 100%, neuer Preis abziehen, d.h. 85%. Wir bekommen:

∆ = 100 − 85 = 15

Diese Zahl wird die Antwort sein: Achtung: genau 15, auf keinen Fall 85. Das ist alles! Problem gelöst.

Aufmerksame Schüler werden sich wahrscheinlich fragen: Warum haben wir bei der ersten Aufgabe beim Finden des Unterschieds die Anfangszahl von der Endzahl abgezogen und bei der zweiten Aufgabe genau das Gegenteil: Von den anfänglichen 100 % haben wir die letzten 85 % abgezogen?

Lassen Sie uns das klären. Formal ist die Wertänderung in der Mathematik immer die Differenz zwischen dem Endwert und dem Anfangswert. Mit anderen Worten, im zweiten Problem hätten wir nicht 15, sondern -15 bekommen sollen.

Dieses Minus sollte jedoch auf keinen Fall in die Antwort aufgenommen werden, da es bereits in der Bedingung des ursprünglichen Problems berücksichtigt wurde. Dort steht der Preisnachlass drin. Eine Preissenkung von 15 % entspricht einer Preiserhöhung von -15 %. Deshalb reicht es in der Lösung und Beantwortung des Problems aus, nur 15 zu schreiben - ohne Minuspunkte.

Alle, so hoffe ich, haben wir in diesem Moment verstanden. Damit endet unsere Lektion für heute. Seh dich später!

Ein Anteil ist ein mathematischer Ausdruck, bei dem zwei oder mehr Zahlen miteinander verglichen werden. In Proportionen können Absolutwerte und Mengen verglichen werden oder Teile eines größeren Ganzen. Proportionen können auf verschiedene Arten geschrieben und berechnet werden, aber das Grundprinzip ist dasselbe.

Schritte

Teil 1

Was ist proportional

Finden Sie heraus, wofür Proportionen sind. Proportionen werden sowohl in der wissenschaftlichen Forschung als auch im Alltag verwendet, um verschiedene Werte und Mengen zu vergleichen. Im einfachsten Fall werden zwei Zahlen verglichen, aber ein Anteil kann beliebig viele Werte umfassen. Wenn Sie zwei oder mehr Mengen vergleichen, können Sie immer eine Proportion anwenden. Das Wissen, wie Mengen zueinander in Beziehung stehen, ermöglicht es beispielsweise, chemische Formeln oder Rezepte für verschiedene Gerichte aufzuschreiben. Proportionen werden sich für eine Vielzahl von Zwecken als nützlich erweisen.

1. Erfahren Sie, was Proportion bedeutet. Wie oben erwähnt, können Sie mit Proportionen das Verhältnis zwischen zwei oder mehr Größen bestimmen. Wenn zum Beispiel 2 Tassen Mehl und 1 Tasse Zucker benötigt werden, um Kekse herzustellen, sagen wir, dass es ein Verhältnis von 2 zu 1 zwischen der Menge an Mehl und Zucker gibt.

   • Mit Proportionen können Sie darstellen, wie sich verschiedene Mengen zueinander verhalten, auch wenn sie (anders als bei einem Rezept) nicht direkt miteinander in Beziehung stehen. Wenn beispielsweise fünf Mädchen und zehn Jungen in der Klasse sind, beträgt das Verhältnis der Anzahl der Mädchen zur Anzahl der Jungen 5 zu 10. In diesem Fall hängt eine Zahl nicht von der anderen ab und steht nicht in direktem Zusammenhang it: Der Anteil kann sich ändern, wenn jemand die Klasse verlässt oder umgekehrt, es kommen neue Schüler dazu. Mit Proportionen können Sie einfach zwei Größen vergleichen.

2. Achten Sie auf die verschiedenen Arten, Proportionen auszudrücken. Proportionen können in Worten geschrieben oder mathematische Symbole verwendet werden.

   • Im Alltag werden Proportionen häufiger in Worten ausgedrückt (wie oben). Proportionen werden in einer Vielzahl von Bereichen verwendet, und wenn Ihr Beruf nicht mit Mathematik oder einer anderen Wissenschaft zu tun hat, werden Sie meistens auf diese Art der Proportionsschreibung stoßen.
   • Proportionen werden oft mit einem Doppelpunkt geschrieben. Wenn Sie zwei Zahlen mit einem Verhältnis vergleichen, können Sie sie mit einem Doppelpunkt schreiben, z. B. 7:13. Wenn mehr als zwei Zahlen verglichen werden, wird nacheinander ein Doppelpunkt zwischen zwei Zahlen eingefügt, zum Beispiel 10:2:23. Im obigen Klassenbeispiel vergleichen wir die Anzahl der Mädchen und Jungen mit 5 Mädchen: 10 Jungen. In diesem Fall kann das Verhältnis also als 5:10 geschrieben werden.
   • Manchmal wird beim Schreiben von Proportionen ein Bruchzeichen verwendet. In unserem Klassenbeispiel würde das Verhältnis von 5 Mädchen zu 10 Jungen als 5/10 geschrieben. In diesem Fall sollte das „Teilen“-Zeichen nicht gelesen werden und es muss daran erinnert werden, dass dies kein Bruch ist, sondern das Verhältnis zweier verschiedener Zahlen.

   Teil 2

   Operationen mit Proportionen

   1. Bringen Sie die Proportion in ihre einfachste Form. Proportionen können wie Brüche vereinfacht werden, indem ihre Mitglieder um einen gemeinsamen Teiler gekürzt werden. Um eine Proportion zu vereinfachen, teilen Sie alle darin enthaltenen Zahlen durch gemeinsame Teiler. Man sollte jedoch die Anfangswerte nicht vergessen, die zu diesem Anteil geführt haben.

      • Im obigen Beispiel mit einer Klasse von 5 Mädchen und 10 Jungen (5:10) haben beide Seiten des Anteils einen gemeinsamen Teiler von 5. Wenn wir beide durch 5 (größter gemeinsamer Teiler) teilen, erhalten wir ein Verhältnis von 1 Mädchen zu 2 Jungs (z.B. 1:2) . Allerdings sollte man sich bei einer vereinfachten Proportion an die Anfangszahlen erinnern: Es sind nicht 3 Schüler in der Klasse, sondern 15. Die reduzierte Proportion zeigt nur das Verhältnis zwischen der Anzahl der Mädchen und Jungen. Auf jedes Mädchen kommen zwei Jungen, aber das bedeutet nicht, dass es 1 Mädchen und 2 Jungen in der Klasse gibt.
      • Einige Proportionen lassen sich nicht vereinfachen. Beispielsweise kann das Verhältnis 3:56 nicht gekürzt werden, da die im Verhältnis enthaltenen Größen keinen gemeinsamen Teiler haben: 3 ist eine Primzahl und 56 ist nicht durch 3 teilbar.

   2. Zum „Skalieren“ können Anteile multipliziert oder dividiert werden. Proportionen werden oft verwendet, um Zahlen proportional zueinander zu erhöhen oder zu verringern. Durch Multiplizieren oder Dividieren aller Mengen in einem Anteil durch dieselbe Zahl bleibt das Verhältnis zwischen ihnen unverändert. So können die Proportionen mit dem Faktor „Skalierung“ multipliziert oder dividiert werden.

      • Angenommen, ein Bäcker muss die Menge an Keksen, die er backt, verdreifachen. Wenn Mehl und Zucker im Verhältnis 2 zu 1 (2:1) eingenommen werden, sollte dieses Verhältnis mit 3 multipliziert werden, um die Anzahl der Kekse zu verdreifachen. Das Ergebnis sind 6 Tassen Mehl für 3 Tassen Zucker ( 6:3).
      • Sie können auch das Gegenteil tun. Wenn der Bäcker die Keksmenge halbieren muss, sollten beide Teile des Anteils durch 2 geteilt (oder mit 1/2 multipliziert) werden. Das Ergebnis ist 1 Tasse Mehl für eine halbe Tasse (1/2 oder 0,5 Tasse) Zucker.

   3. Erfahren Sie, wie Sie eine unbekannte Größe mit zwei äquivalenten Anteilen finden. Ein weiteres häufiges Problem, für das Proportionen weit verbreitet sind, besteht darin, eine unbekannte Größe in einer der Proportionen zu finden, wenn eine zweite Proportion angegeben wird, die dieser ähnlich ist. Die Multiplikationsregel für Brüche vereinfacht diese Aufgabe erheblich. Schreiben Sie jeden Anteil als Bruch, setzen Sie diese Brüche dann gleich und finden Sie den gewünschten Wert.

      • Angenommen, wir haben eine kleine Gruppe von Schülern mit 2 Jungen und 5 Mädchen. Wenn wir das Verhältnis zwischen Jungen und Mädchen beibehalten wollen, wie viele Jungen sollten in einer Klasse mit 20 Mädchen sein? Lassen Sie uns zunächst beide Anteile bilden, von denen einer einen unbekannten Wert enthält: 2 Jungen: 5 Mädchen \u003d x Jungen: 20 Mädchen. Wenn wir Proportionen als Brüche schreiben, erhalten wir 2/5 und x/20. Nachdem wir beide Seiten der Gleichung mit den Nennern multipliziert haben, erhalten wir die Gleichung 5x=40; wir teilen 40 durch 5 und erhalten als Ergebnis x=8.

   Teil 3

   Fehlererkennung

   1. Vermeiden Sie beim Umgang mit Proportionen Addition und Subtraktion. Viele Proportionsprobleme klingen so: „Für ein Gericht braucht man 4 Kartoffeln und 5 Karotten. Wenn Sie 8 Kartoffeln verwenden möchten, wie viele Karotten brauchen Sie?“ Viele machen den Fehler, einfach zu versuchen, die entsprechenden Werte zu addieren. Um jedoch das gleiche Verhältnis beizubehalten, sollten Sie multiplizieren, nicht addieren. Hier ist die falsche und richtige Lösung für dieses Problem:

      • Falsche Methode: „8 - 4 = 4, das heißt, dem Rezept wurden 4 Kartoffeln hinzugefügt. Sie müssen also die vorherigen 5 Karotten nehmen und 4 hinzufügen, damit ... etwas nicht stimmt! Proportionen funktionieren anders. Lass es uns erneut versuchen".
      • Die richtige Methode lautet: „8/4 = 2, das heißt, die Anzahl der Kartoffeln hat sich verdoppelt. Das bedeutet, dass die Anzahl der Karotten ebenfalls mit 2 multipliziert werden muss. 5 x 2 = 10, dh 10 Karotten müssen in dem neuen Rezept verwendet werden.

   2. Wandeln Sie alle Werte in die gleichen Einheiten um. Manchmal tritt das Problem auf, weil die Werte unterschiedliche Einheiten haben. Bevor Sie den Anteil aufschreiben, rechnen Sie alle Größen in die gleiche Maßeinheit um. Zum Beispiel:

      • Der Drache hat 500 Gramm Gold und 10 Kilogramm Silber. Wie ist das Verhältnis von Gold zu Silber in Drachenreserven?
      • Gramm und Kilogramm sind unterschiedliche Maßeinheiten, daher sollten sie vereinheitlicht werden. 1 Kilogramm = 1.000 Gramm, also 10 Kilogramm = 10 Kilogramm x 1.000 Gramm/1 Kilogramm = 10 x 1.000 Gramm = 10.000 Gramm.
      • Der Drache hat also 500 Gramm Gold und 10.000 Gramm Silber.
      • Das Verhältnis der Goldmasse zur Silbermasse beträgt 500 Gramm Gold / 10.000 Gramm Silber = 5/100 = 1/20.

   3. Notieren Sie Maßeinheiten in der Lösung der Aufgabe. Bei Problemen mit Proportionen ist es viel einfacher, einen Fehler zu finden, wenn Sie hinter jedem Wert seine Maßeinheit notieren. Denken Sie daran, dass, wenn Zähler und Nenner die gleiche Maßeinheit haben, sie gekürzt werden. Nach allen möglichen Abkürzungen sollten die korrekten Maßeinheiten in der Antwort erhalten werden.

      • Zum Beispiel: bei 6 Kästchen sind in je drei Kästchen 9 Bälle; Wie viele Bälle sind es?
      • Falsche Methode: 6 Kisten x 3 Kisten / 9 Murmeln = ... Hmm, es wird nichts gekürzt und die Antwort lautet „Kisten x Kisten / Murmeln“. Das macht keinen Sinn.
      • Richtige Methode: 6 Schachteln x 9 Bälle / 3 Schachteln = 6 Schachteln x 3 Bälle / 1 Schachtel = 6 x 3 Bälle / 1 = 18 Bälle.

Um die meisten Probleme in der Oberstufenmathematik zu lösen, sind Proportionskenntnisse erforderlich. Diese einfache Fähigkeit wird Ihnen helfen, nicht nur komplexe Übungen aus dem Lehrbuch durchzuführen, sondern auch in die Essenz der mathematischen Wissenschaft einzutauchen. Wie mache ich eine Proportion? Jetzt lass es uns herausfinden.

Das einfachste Beispiel ist ein Problem, bei dem drei Parameter bekannt sind und der vierte gefunden werden muss. Die Proportionen sind natürlich unterschiedlich, aber oft müssen Sie eine Zahl in Prozent finden. Der Junge hatte zum Beispiel insgesamt zehn Äpfel. Den vierten Teil gab er seiner Mutter. Wie viele Äpfel hat der Junge noch? Dies ist das einfachste Beispiel, mit dem Sie eine Proportion erstellen können. Die Hauptsache ist, es zu tun. Ursprünglich waren es zehn Äpfel. Lass es 100% sein. Damit haben wir alle seine Äpfel markiert. Er gab ein Viertel. 1/4=25/100. Also hat er gelassen: 100 % (es war ursprünglich) - 25 % (er gab) = 75 %. Diese Zahl zeigt den prozentualen Anteil der verbleibenden Obstmenge an der zuerst verfügbaren Obstmenge. Jetzt haben wir drei Zahlen, mit denen wir die Proportion schon lösen können. 10 Äpfel - 100%, XÄpfel - 75%, wobei x die gewünschte Obstmenge ist. Wie mache ich eine Proportion? Es ist notwendig zu verstehen, was es ist. Mathematisch sieht es so aus. Das Gleichheitszeichen dient Ihrem Verständnis.

10 Äpfel = 100 %;

x Äpfel = 75 %.

Es stellt sich heraus, dass 10/x = 100%/75. Dies ist die Haupteigenschaft der Proportionen. Denn je mehr x, desto mehr Prozent weicht diese Zahl vom Original ab. Wir lösen diesen Anteil auf und erhalten x=7,5 Äpfel. Warum der Junge sich entschieden hat, einen nicht ganzzahligen Betrag zu geben, wissen wir nicht. Jetzt weißt du, wie man eine Proportion macht. Die Hauptsache ist, zwei Verhältnisse zu finden, von denen eines die gewünschte Unbekannte enthält.

Das Lösen eines Anteils läuft oft auf eine einfache Multiplikation und dann auf eine Division hinaus. Warum das so ist, wird den Kindern in den Schulen nicht beigebracht. Es ist zwar wichtig zu verstehen, dass proportionale Beziehungen mathematische Klassiker sind, die Essenz der Wissenschaft. Um Proportionen zu lösen, musst du mit Brüchen umgehen können. Beispielsweise ist es oft notwendig, Prozentsätze in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Das heißt, ein Rekord von 95% wird nicht funktionieren. Und wenn Sie sofort 95/100 schreiben, dann können Sie solide Abstriche machen, ohne mit der Hauptzählung zu beginnen. Es ist gleich zu sagen, dass, wenn sich Ihr Anteil mit zwei Unbekannten herausstellte, er nicht gelöst werden kann. Hier kann dir kein Professor helfen. Und Ihre Aufgabe hat höchstwahrscheinlich einen komplexeren Algorithmus für korrekte Aktionen.

Betrachten Sie ein anderes Beispiel, in dem es keine Prozentsätze gibt. Der Autofahrer kaufte 5 Liter Benzin für 150 Rubel. Er überlegte, wie viel er für 30 Liter Kraftstoff bezahlen würde. Um dieses Problem zu lösen, bezeichnen wir mit x den benötigten Geldbetrag. Sie können dieses Problem selbst lösen und dann die Antwort überprüfen. Wenn Sie noch nicht herausgefunden haben, wie man eine Proportion macht, dann schauen Sie. 5 Liter Benzin sind 150 Rubel. Schreiben wir wie im ersten Beispiel 5l - 150r. Lassen Sie uns nun die dritte Zahl finden. Natürlich sind es 30 Liter. Stimmen Sie zu, dass in dieser Situation ein Paar 30 l - x Rubel angemessen ist. Kommen wir zur mathematischen Sprache.

5 Liter - 150 Rubel;

30 Liter - x Rubel;

Wir lösen diesen Anteil:

x = 900 Rubel.

So haben wir uns entschieden. Vergessen Sie bei Ihrer Aufgabe nicht, die Angemessenheit der Antwort zu überprüfen. Es kommt vor, dass Autos mit der falschen Entscheidung unrealistische Geschwindigkeiten von 5000 Kilometern pro Stunde und so weiter erreichen. Jetzt weißt du, wie man eine Proportion macht. Auch Sie können es lösen. Wie Sie sehen können, ist dies nicht kompliziert.

Heute setzen wir eine Reihe von Video-Tutorials zu Prozentaufgaben aus der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik fort. Insbesondere werden wir zwei sehr reale Probleme aus dem Einheitlichen Staatsexamen analysieren und noch einmal sehen, wie wichtig es ist, die Problemstellung genau zu lesen und richtig zu interpretieren.

Die erste Aufgabe lautet also:

Aufgabe. Nur 95 % und 37.500 Absolventen der Stadt haben Aufgabe B1 richtig gelöst. Wie viele Personen haben Aufgabe B1 richtig gelöst?

Auf den ersten Blick scheint dies eine Art Aufgabe für die Kappen zu sein. Wie:

Aufgabe. Es waren 7 Vögel auf dem Baum. 3 von ihnen flogen weg. Wie viele Vögel sind geflogen?

Lassen Sie uns jedoch rechnen. Wir werden nach der Methode der Proportionen lösen. Wir haben also 37.500 Studenten – das sind 100 %. Außerdem gibt es eine bestimmte Anzahl x Schüler, das sind 95 % der sehr Glücklichen, die Aufgabe B1 richtig gelöst haben. Wir schreiben es auf:

37 500 — 100%
X - 95 %

Sie müssen eine Proportion machen und x finden. Wir bekommen:

Vor uns liegt ein klassischer Anteil, aber bevor ich die Haupteigenschaft verwende und sie kreuzweise multipliziere, schlage ich vor, beide Teile der Gleichung durch 100 zu teilen. Mit anderen Worten, wir streichen zwei Nullen im Zähler jedes Bruchs. Schreiben wir die resultierende Gleichung um:

Nach der Grundeigenschaft der Proportionalität ist das Produkt der Extremglieder gleich dem Produkt der Mittelglieder. Mit anderen Worten:

x = 375 95

Das sind ziemlich große Zahlen, also musst du sie mit einer Spalte multiplizieren. Ich erinnere Sie daran, dass es strengstens verboten ist, einen Taschenrechner in der Prüfung in Mathematik zu verwenden. Wir bekommen:

x = 35625

Gesamtantwort: 35 625. So viele der ursprünglich 37 500 Personen haben Problem B1 richtig gelöst. Wie Sie sehen können, liegen diese Zahlen ziemlich nahe beieinander, was sinnvoll ist, da 95 % auch sehr nahe an 100 % liegen. In der Regel ist die erste Aufgabe gelöst. Kommen wir zum zweiten.

Zinsproblem Nr. 2

Aufgabe. Nur 80 % der 45.000 Absolventen der Stadt haben die Aufgabe B9 richtig gelöst. Wie viele Leute haben Aufgabe B9 falsch gelöst?

Wir lösen auf die gleiche Weise. Am Anfang waren es 45.000 Absolventen – das sind 100 %. Aus dieser Zahl müssen dann x Absolventen ausgewählt werden, die 80 % der ursprünglichen Zahl betragen sollten. Wir machen eine Proportion und lösen:

45 000 — 100%
x - 80 %

Lassen Sie uns eine Null im Zähler und Nenner des 2. Bruchs reduzieren. Lassen Sie uns die resultierende Konstruktion noch einmal umschreiben:

Die Haupteigenschaft der Proportionen: Das Produkt der äußersten Terme ist gleich dem Produkt der mittleren. Wir bekommen:

45.000 8 = x 10

Dies ist die einfachste lineare Gleichung. Lassen Sie uns die Variable x daraus ausdrücken:

x = 45.000 8:10

Wir reduzieren eine Null bei 45.000 und bei 10 bleibt der Nenner eins, also brauchen wir nur den Wert des Ausdrucks zu finden:

x = 4500 8

Sie können natürlich dasselbe wie beim letzten Mal tun und diese Zahlen in einer Spalte multiplizieren. Aber machen wir uns das Leben nicht schwer und statt mit einer Spalte zu multiplizieren, zerlegen wir die Acht in Faktoren:

x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36.000

Und jetzt - das Wichtigste, worüber ich ganz am Anfang der Lektion gesprochen habe. Sie müssen den Zustand des Problems sorgfältig lesen!

Was müssen wir wissen? Wie viele Menschen haben Problem B9 gelöst nicht in Ordnung. Und wir haben gerade die Leute gefunden, die richtig entschieden haben. Diese stellten sich als 80% der ursprünglichen Anzahl heraus, d.h. 36.000. Das heißt, um die endgültige Antwort zu erhalten, müssen unsere 80 % von der ursprünglichen Schülerzahl abgezogen werden. Wir bekommen:

45 000 − 36 000 = 9000

Die resultierende Zahl 9000 ist die Antwort auf das Problem. Insgesamt haben in dieser Stadt von 45.000 Absolventen 9.000 Menschen Problem B9 falsch gelöst. Alles, die Aufgabe ist gelöst.