Mathematische Notation("Sprache der Mathematik") - eine komplexe grafische Notation, die dazu dient, abstrakte mathematische Ideen und Urteile in einer für Menschen lesbaren Form darzustellen. Es macht (in seiner Komplexität und Vielfalt) einen erheblichen Teil der von der Menschheit verwendeten nicht-sprachlichen Zeichensysteme aus. Dieser Artikel beschreibt die allgemein akzeptierte internationale Notation, obwohl verschiedene Kulturen der Vergangenheit ihre eigene hatten und einige von ihnen bis heute sogar nur begrenzt verwendet werden.
Beachten Sie, dass die mathematische Notation in der Regel in Verbindung mit der geschriebenen Form einiger natürlicher Sprachen verwendet wird.
Neben der grundlegenden und angewandten Mathematik ist die mathematische Notation in der Physik sowie (in ihrem unvollständigen Umfang) in den Ingenieurwissenschaften, der Informatik, den Wirtschaftswissenschaften und tatsächlich in allen Bereichen menschlicher Tätigkeit, in denen mathematische Modelle verwendet werden, weit verbreitet. Auf Unterschiede zwischen der richtigen mathematischen und der angewandten Notation wird im Laufe des Textes eingegangen.
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Hallo! In diesem Video geht es nicht um Mathematik, sondern um Etymologie und Semiotik. Aber ich bin sicher, es wird dir gefallen. Gehen! Ist Ihnen bewusst, dass die Suche nach einer Lösung für kubische Gleichungen in allgemeiner Form Mathematiker mehrere Jahrhunderte gekostet hat? Das ist teilweise warum? Weil es keine klaren Symbole für klare Gedanken gab, ob es unsere Zeit ist. Es gibt so viele Zeichen, dass Sie verwirrt werden können. Aber Sie können uns nicht täuschen, lass es uns herausfinden. Dies ist ein umgekehrter Großbuchstabe A. Dies ist eigentlich ein englischer Buchstabe, der zuerst in den Wörtern „all“ und „any“ aufgeführt wird. Auf Russisch kann dieses Symbol je nach Kontext so gelesen werden: für alle, alle, alle, alle und so weiter. Eine solche Hieroglyphe wird als universeller Quantor bezeichnet. Und hier ist ein weiterer Quantifizierer, aber bereits vorhanden. Der englische Buchstabe e wurde in Paint von links nach rechts gespiegelt und deutet damit auf das Überseeverb „exist“ hin, wir werden unserer Meinung nach lesen: existiert, es gibt, es gibt einen anderen ähnlichen Weg. Ein Ausrufezeichen würde einem solchen existentiellen Quantifizierer Einzigartigkeit verleihen. Wenn das klar ist, fahren wir fort. Wahrscheinlich sind Sie in der elften Klasse auf unbestimmte Integrale gestoßen, deshalb möchte ich Sie daran erinnern, dass dies nicht nur eine Art Stammfunktion ist, sondern die Sammlung aller Stammfunktionen des Integranden. Vergessen Sie also nicht C - die Integrationskonstante. Übrigens ist das integrale Symbol selbst nur ein verlängerter Buchstabe s, ein Echo des lateinischen Wortes Summe. Dies ist genau die geometrische Bedeutung eines bestimmten Integrals: die Suche nach der Fläche der Figur unter dem Diagramm durch Summieren infinitesimaler Werte. Für mich ist dies die romantischste Aktivität in der Analysis. Aber Schulgeometrie ist am nützlichsten, weil sie logische Strenge lehrt. Im ersten Kurs sollten Sie ein klares Verständnis davon haben, was eine Konsequenz ist, was eine Äquivalenz ist. Nun, Sie können nicht zwischen Notwendigkeit und Hinlänglichkeit verwechseln, verstehen Sie? Lassen Sie uns sogar versuchen, ein wenig tiefer zu graben. Wenn Sie sich für höhere Mathematik entscheiden, stelle ich mir vor, wie schlecht es um Ihr Privatleben steht, aber deshalb werden Sie sicherlich zustimmen, eine kleine Übung zu bewältigen. Hier gibt es drei Punkte, jeder hat eine linke und eine rechte Seite, die Sie mit einem der drei gezeichneten Symbole verbinden müssen. Bitte halten Sie inne, probieren Sie es selbst aus und hören Sie sich dann an, was ich zu sagen habe. Wenn x=-2, dann |x|=2, aber von links nach rechts, also ist die Phrase schon gebaut. Im zweiten Absatz steht auf der linken und rechten Seite absolut dasselbe. Und der dritte Punkt kann wie folgt kommentiert werden: Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm, aber nicht jedes Parallelogramm ist ein Rechteck. Ja, ich weiß, dass du nicht mehr klein bist, aber trotzdem meinen Applaus für diejenigen, die diese Übung gemeistert haben. Okay, genug, erinnern wir uns an die Zahlensätze. Beim Zählen werden natürliche Zahlen verwendet: 1, 2, 3, 4 und so weiter. In der Natur existiert kein -1-Apfel, aber übrigens können Sie mit ganzen Zahlen über solche Dinge sprechen. Der Buchstabe ℤ schreit uns nach der wichtigen Rolle der Null, die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Buchstaben ℚ bezeichnet, und das ist kein Zufall. Im Englischen bedeutet das Wort „Quotient“ „Einstellung“. Übrigens, wenn irgendwo in Brooklyn ein Afroamerikaner auf Sie zukommt und sagt: „Keep it real!“ – dann können Sie sicher sein, dass Sie ein Mathematiker, ein Verehrer reeller Zahlen sind. Nun, Sie sollten etwas über komplexe Zahlen lesen, das wird nützlicher sein. Wir rollen jetzt zurück, kehren zur ersten Klasse der gewöhnlichsten griechischen Schule zurück. Kurz gesagt, erinnern wir uns an das alte Alphabet. Der erste Buchstabe ist Alpha, dann Betta, dieser Haken ist Gamma, dann Delta, gefolgt von Epsilon und so weiter bis zum letzten Buchstaben Omega. Sie können sicher sein, dass die Griechen auch Großbuchstaben haben, aber wir werden jetzt nicht über traurige Dinge sprechen. Wir verstehen uns besser auf Fröhlichkeit – auf Grenzen. Aber hier gibt es einfach keine Rätsel, es ist sofort klar, aus welchem Wort das mathematische Symbol entstanden ist. Nun, deshalb können wir zum letzten Teil des Videos übergehen. Versuchen Sie bitte, die Definition der Grenze der Zahlenfolge, die jetzt vor Ihnen steht, auszuloten. Klicken Sie lieber inne und denken Sie nach, und mögen Sie das Glück eines einjährigen Kindes haben, das das Wort "Mutter" gelernt hat. Wenn es für jedes Epsilon größer Null eine positive ganze Zahl N gibt, so gilt für alle Zahlen der Zahlenfolge größer N die Ungleichung |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]
Allgemeine Information
Das System hat sich wie natürliche Sprachen historisch entwickelt (siehe die Geschichte der mathematischen Notation) und ist wie das Schreiben natürlicher Sprachen organisiert, wobei auch viele Symbole von dort übernommen wurden (hauptsächlich aus dem lateinischen und griechischen Alphabet). Symbole werden ebenso wie in gewöhnlicher Schrift mit kontrastierenden Linien auf einem einheitlichen Hintergrund dargestellt (schwarz auf weißem Papier, hell auf einer dunklen Tafel, kontrastierend auf einem Monitor usw.), und ihre Bedeutung wird hauptsächlich durch die Form und das Verhältnis bestimmt Position. Farbe wird nicht berücksichtigt und normalerweise nicht verwendet, aber bei der Verwendung von Buchstaben können ihre Eigenschaften wie Stil und sogar Schriftart, die die Bedeutung im gewöhnlichen Schreiben nicht beeinflussen, eine semantische Rolle in der mathematischen Notation spielen.
Struktur
Gewöhnliche mathematische Schreibweise (insbesondere die sog mathematische Formeln) werden in der Regel in einer Zeichenkette von links nach rechts geschrieben, bilden aber nicht notwendigerweise eine fortlaufende Zeichenkette. Separate Zeichenblöcke können in der oberen oder unteren Hälfte der Zeile angeordnet werden, selbst wenn sich die Zeichen nicht vertikal überlappen. Außerdem befinden sich einige Teile vollständig über oder unter der Linie. Auf der grammatikalischen Seite kann fast jede "Formel" als eine hierarchisch organisierte Baumstruktur betrachtet werden.
Standardisierung
Die mathematische Notation stellt ein System in Bezug auf die Beziehung seiner Komponenten dar, aber im Allgemeinen nicht bilden ein formales System (im Verständnis der Mathematik selbst). Sie können in jedem komplizierten Fall nicht einmal programmgesteuert zerlegt werden. Wie jede natürliche Sprache ist auch die „Sprache der Mathematik“ voller widersprüchlicher Bezeichnungen, Homographen, unterschiedlicher (unter ihren Sprechern) Interpretationen dessen, was als richtig gilt usw. Es gibt nicht einmal ein vorhersehbares Alphabet mathematischer Symbole, und insbesondere weil die nicht immer eindeutig geklärt ist, ob zwei Bezeichnungen als unterschiedliche Zeichen oder als unterschiedliche Schreibweisen eines Zeichens anzusehen sind.
Ein Teil der mathematischen Notation (hauptsächlich in Bezug auf Messungen) ist in ISO 31 -11 standardisiert, aber im Allgemeinen gibt es eher keine Standardisierung der Notation.
Elemente der mathematischen Notation
Zahlen
Verwenden Sie gegebenenfalls ein Zahlensystem mit einer Basis kleiner als zehn, die Basis wird tiefgestellt: 20003 8 . Zahlensysteme mit einer Basis größer als zehn werden in der allgemein anerkannten mathematischen Notation nicht verwendet (obwohl sie natürlich von der Wissenschaft selbst untersucht werden), da es nicht genügend Zahlen für sie gibt. Im Zusammenhang mit der Entwicklung der Informatik ist das hexadezimale Zahlensystem relevant geworden, bei dem die Zahlen von 10 bis 15 durch die ersten sechs lateinischen Buchstaben von A bis F angegeben werden. Zur Bezeichnung solcher Zahlen werden in der Informatik mehrere unterschiedliche Ansätze verwendet , werden aber nicht auf die Mathematik übertragen.
Hochgestellte und tiefgestellte Zeichen
Klammern, ähnliche Symbole und Trennzeichen
Es werden Klammern "()" verwendet:
Eckige Klammern "" werden oft zum Gruppieren von Bedeutungen verwendet, wenn Sie viele Klammerpaare verwenden müssen. In diesem Fall sind sie außen platziert und haben (bei sauberer Typografie) eine größere Höhe als die innen liegenden Klammern.
Eckige "" und runde "()" Klammern werden verwendet, um geschlossene bzw. offene Räume zu bezeichnen.
Geschweifte Klammern "()" werden normalerweise für verwendet, obwohl für sie die gleiche Einschränkung gilt wie für eckige Klammern. Linke "(" und rechte ")" Klammern können separat verwendet werden; Ihr Zweck wird beschrieben.
Symbole in spitzen Klammern " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» mit sauberer typographie sollten stumpfe winkel haben und sich damit von ähnlichen recht- oder spitzwinkeligen unterscheiden. In der Praxis sollte man darauf (insbesondere beim manuellen Schreiben von Formeln) nicht hoffen und muss mit Hilfe der Intuition zwischen ihnen unterscheiden.
Paare von symmetrischen (in Bezug auf die vertikale Achse) Symbolen, einschließlich der anderen als der aufgelisteten, werden häufig verwendet, um einen Teil einer Formel hervorzuheben. Der Zweck von gepaarten Klammern wird beschrieben.
Indizes
Je nach Standort wird zwischen Hoch- und Tiefstellung unterschieden. Der hochgestellte Index kann bedeuten (muss aber nicht unbedingt) Potenzierung to , über andere Verwendungen von .
Variablen
In den Wissenschaften gibt es Mengen von Mengen, und jede von ihnen kann entweder eine Menge von Werten annehmen und aufgerufen werden Variable Wert (Variante) oder nur ein Wert und eine Konstante genannt werden. In der Mathematik werden Größen oft von der physikalischen Bedeutung abgelenkt, und dann wird die Variable zu abstrakt(oder numerische) Variable, die durch ein Symbol bezeichnet wird, das nicht von der oben erwähnten speziellen Notation belegt ist.
Variable X gilt als gegeben, wenn die Menge der Werte, die es annimmt, angegeben ist (x). Es ist zweckmäßig, einen konstanten Wert als Variable zu betrachten, für die die entsprechende Menge gilt (x) besteht aus einem Element.
Funktionen und Operatoren
Mathematisch gibt es keinen signifikanten Unterschied zwischen Operator(einstellig), Kartierung und Funktion.
Es wird jedoch impliziert, dass, wenn der Wert der Abbildung aus den gegebenen Argumenten aufgezeichnet werden muss, angegeben werden muss, dann bezeichnet das Symbol dieser Abbildung eine Funktion, in anderen Fällen spricht man eher von einem Operator. Symbole einiger Funktionen eines Arguments werden mit und ohne Klammern verwendet. Viele elementare Funktionen zum Beispiel Sünde x (\displaystyle \sin x) oder Sünde (x) (\displaystyle \sin(x)), aber elementare Funktionen werden immer aufgerufen Funktionen.
Operatoren und Relationen (unär und binär)
Funktionen
Eine Funktion kann in zweierlei Hinsicht bezeichnet werden: als Ausdruck ihres Wertes mit gegebenen Argumenten (geschrieben f (x) , f (x , y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) etc.) oder eigentlich als Funktion. Im letzteren Fall wird nur das Funktionssymbol ohne Klammern gesetzt (obwohl sie es oft zufällig schreiben).
Es gibt viele Notationen für allgemeine Funktionen, die in mathematischen Arbeiten ohne weitere Erklärung verwendet werden. Ansonsten muss die Funktion irgendwie beschrieben werden und unterscheidet sich in der Grundlagenmathematik nicht grundlegend von einem beliebigen Buchstaben und wird genau so bezeichnet. Der Buchstabe f ist der beliebteste für variable Funktionen, g und die meisten griechischen werden auch oft verwendet.
Vordefinierte (reservierte) Bezeichnungen
Einbuchstabigen Bezeichnungen kann jedoch gewünschtenfalls eine andere Bedeutung gegeben werden. Beispielsweise wird der Buchstabe i häufig als Index in einem Kontext verwendet, in dem komplexe Zahlen nicht verwendet werden, und der Buchstabe kann in einigen Kombinatoriken als Variable verwendet werden. Auch mengentheoretische Symbole (wie " ⊂ (\displaystyle\subset)" und " ⊃ (\displaystyle\supset)“) und Aussagenkalkül (wie „ ∧ (\displaystyle \wedge)" und " ∨ (\displaystyle\vee)“) kann in einem anderen Sinne verwendet werden, normalerweise als Ordnungsrelation bzw. als binäre Operation.
Indizierung
Die Indizierung wird geplottet (normalerweise unten, manchmal oben) und ist gewissermaßen eine Möglichkeit, den Inhalt einer Variablen zu erweitern. Es wird jedoch in drei leicht unterschiedlichen (wenn auch sich überschneidenden) Bedeutungen verwendet.
Eigentlich Zahlen
Sie können mehrere verschiedene Variablen haben, indem Sie sie mit demselben Buchstaben bezeichnen, ähnlich wie bei der Verwendung von . Zum Beispiel: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). Normalerweise sind sie durch einige Gemeinsamkeiten verbunden, aber im Allgemeinen ist dies nicht notwendig.
Außerdem können Sie als "Indizes" nicht nur Zahlen, sondern auch beliebige Zeichen verwenden. Wenn jedoch eine andere Variable und ein anderer Ausdruck als Index geschrieben werden, wird dieser Eintrag als "eine Variable mit einer Zahl, die durch den Wert des Indexausdrucks bestimmt wird" interpretiert.
In der Tensoranalyse
In der linearen Algebra werden Tensoranalyse, Differentialgeometrie mit Indizes (in Form von Variablen) geschrieben
Der Kurs verwendet geometrische Sprache, bestehend aus Notationen und Symbolen, die im Mathematikunterricht (insbesondere im neuen Geometriekurs in der High School) übernommen wurden.
Die ganze Vielfalt an Bezeichnungen und Symbolen sowie die Verbindungen zwischen ihnen lassen sich in zwei Gruppen einteilen:
Gruppe I - Bezeichnungen geometrischer Figuren und Beziehungen zwischen ihnen;
Gruppe II Bezeichnungen logischer Operationen, die die syntaktische Grundlage der geometrischen Sprache bilden.
Das Folgende ist eine vollständige Liste der mathematischen Symbole, die in diesem Kurs verwendet werden. Besonderes Augenmerk wird auf die Symbole gelegt, die zur Bezeichnung der Projektionen geometrischer Formen verwendet werden.
Gruppe I
SYMBOLE BESTIMMTEN GEOMETRISCHE FIGUREN UND BEZIEHUNGEN ZWISCHEN IHNEN
A. Bezeichnung geometrischer Formen
1. Die geometrische Figur wird mit - F bezeichnet.
2. Punkte werden durch Großbuchstaben des lateinischen Alphabets oder arabische Ziffern angezeigt:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Linien, die willkürlich in Bezug auf die Projektionsebenen angeordnet sind, werden durch Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets gekennzeichnet:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Nivellierlinien sind angegeben: h - horizontal; f- frontal.
Für gerade Linien wird auch folgende Notation verwendet:
(AB) - eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft;
[AB) - ein Strahl mit dem Anfang bei Punkt A;
[AB] - ein gerades Liniensegment, das von den Punkten A und B begrenzt wird.
4. Oberflächen werden mit Kleinbuchstaben des griechischen Alphabets bezeichnet:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Um die Art und Weise hervorzuheben, wie die Oberfläche definiert ist, sollten Sie die geometrischen Elemente angeben, durch die sie definiert wird, zum Beispiel:
α(a || b) - Ebene α wird durch parallele Linien a und b bestimmt;
β(d 1 d 2 gα) - die Fläche β wird durch die Führungen d 1 und d 2 , die Erzeugende g und die Parallelitätsebene α bestimmt.
5. Winkel werden angezeigt:
∠ABC - Winkel mit Scheitel im Punkt B, sowie ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Winkel: Der Wert (Gradmaß) wird durch das Zeichen angezeigt, das über dem Winkel platziert ist:
Der Wert des Winkels ABC;
Der Wert des Winkels φ.
Ein rechter Winkel wird durch ein Quadrat mit einem Punkt darin gekennzeichnet
7. Abstände zwischen geometrischen Figuren werden durch zwei vertikale Segmente angezeigt - ||.
Zum Beispiel:
|AB| - Abstand zwischen den Punkten A und B (Länge des Segments AB);
|Aa| - Abstand von Punkt A zu Linie a;
|Aα| - Entfernungen von Punkt A zur Oberfläche α;
|ab| - Abstand zwischen den Linien a und b;
|αβ| Abstand zwischen den Flächen α und β.
8. Für Projektionsebenen werden die folgenden Bezeichnungen akzeptiert: π 1 und π 2, wobei π 1 die horizontale Projektionsebene ist;
π 2 -fryuntale Projektionsebene.
Wenn Projektionsebenen ersetzt oder neue Ebenen eingeführt werden, bezeichnen letztere π 3, π 4 usw.
9. Projektionsachsen sind bezeichnet mit: x, y, z, wobei x die x-Achse ist; y ist die y-Achse; z - Anwendungsachse.
Die konstante Linie des Monge-Diagramms ist mit k bezeichnet.
10. Projektionen von Punkten, Linien, Flächen und jeder geometrischen Figur werden durch die gleichen Buchstaben (oder Zahlen) wie das Original gekennzeichnet, wobei ein hochgestelltes Zeichen hinzugefügt wird, das der Projektionsebene entspricht, auf der sie erhalten wurden:
A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontale Projektionen von Punkten; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... Frontalprojektionen von Punkten; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontale Projektionen von Linien; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... Frontalprojektionen von Linien; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... Horizontalprojektionen von Flächen; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... Frontalprojektionen von Flächen.
11. Spuren von Ebenen (Flächen) werden mit den gleichen Buchstaben wie die Horizontale oder Frontal mit dem Zusatz 0α bezeichnet, wodurch betont wird, dass diese Linien in der Projektionsebene liegen und zur Ebene (Oberfläche) α gehören.
Also: h 0α - horizontale Spur der Ebene (Oberfläche) α;
f 0α - frontale Spur der Ebene (Oberfläche) α.
12. Spuren von geraden Linien (Linien) werden durch Großbuchstaben angezeigt, die Wörter beginnen, die den Namen (in lateinischer Transkription) der Projektionsebene definieren, die die Linie kreuzt, mit einem Index, der die Zugehörigkeit zu der Linie anzeigt.
Zum Beispiel: H a - horizontale Spur einer geraden Linie (Linie) a;
F a - frontale Spur einer geraden Linie (Linie) a.
13. Die Folge von Punkten, Linien (jeder Figur) ist mit den Indizes 1,2,3,..., n gekennzeichnet:
A 1, A 2, A 3, ..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,..., ein n ;
&agr; 1 , &agr; 2 , &agr; 3 , ..., &agr; n ;
F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n usw.
Die Hilfsprojektion des Punktes, die man als Ergebnis der Transformation erhält, um den tatsächlichen Wert der geometrischen Figur zu erhalten, wird mit dem gleichen Buchstaben mit dem Index 0 bezeichnet:
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Axonometrische Projektionen
14. Axonometrische Projektionen von Punkten, Linien, Flächen werden durch die gleichen Buchstaben wie die Natur mit dem Zusatz der hochgestellten 0 gekennzeichnet:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Sekundäre Projektionen werden durch Hinzufügen einer hochgestellten 1 angezeigt:
A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Um das Lesen der Zeichnungen im Lehrbuch zu erleichtern, wurden bei der Gestaltung des Bildmaterials mehrere Farben verwendet, die jeweils eine bestimmte semantische Bedeutung haben: Schwarze Linien (Punkte) zeigen die Ausgangsdaten an; grüne Farbe wird für Linien von grafischen Hilfskonstruktionen verwendet; rote Linien (Punkte) zeigen die Ergebnisse von Konstruktionen oder jene geometrischen Elemente, denen besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden sollte.
| nein. | Bezeichnung | Inhalt | Beispiel für symbolische Notation |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Passen | (AB) ≡ (CD) - eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft, fällt mit der Linie zusammen, die durch die Punkte C und D verläuft |
| 2 | ≅ | Kongruent | ∠ABC≅∠MNK - Winkel ABC ist kongruent zu Winkel MNK |
| 3 | ∼ | Ähnlich | ΔABS∼ΔMNK - Dreiecke ABC und MNK sind ähnlich |
| 4 | || | Parallel | α||β - Ebene α ist parallel zur Ebene β |
| 5 | ⊥ | Aufrecht | a⊥b - Linien a und b sind senkrecht |
| 6 | kreuzen | mit d - Linien c und d schneiden | |
| 7 | Tangenten | t l - Linie t tangiert Linie l. βα - Ebene β tangential zur Oberfläche α |
|
| 8 | → | Sind angezeigt | F 1 → F 2 - die Figur F 1 wird auf die Figur F 2 abgebildet |
| 9 | S | Projektionszentrum. Wenn das Projektionszentrum kein richtiger Punkt ist, seine Position ist durch einen Pfeil gekennzeichnet, zeigt die Projektionsrichtung an | - |
| 10 | s | Projektionsrichtung | - |
| 11 | P | Parallelprojektion | p s α Parallelprojektion - Parallelprojektion zur Ebene α in Richtung s |
| nein. | Bezeichnung | Inhalt | Beispiel für symbolische Notation | Ein Beispiel für symbolische Notation in der Geometrie |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M, N | Sets | - | - |
| 2 | ABC,... | Elemente festlegen | - | - |
| 3 | { ... } | Besteht aus... | F(A,B,C,... ) | Ф(A, B, C,...) - Figur Ф besteht aus den Punkten A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Leeres Set | L - ∅ - die Menge L ist leer (enthält keine Elemente) | - |
| 5 | ∈ | Gehört zu, ist ein Element | 2∈N (wobei N die Menge der natürlichen Zahlen ist) - die Zahl 2 gehört zur Menge N | A ∈ a - Punkt A gehört zur Geraden a (Punkt A liegt auf Linie a) |
| 6 | ⊂ | Beinhaltet, enthält | N⊂M - die Menge N ist ein Teil (Teilmenge) der Menge M aller rationalen Zahlen | a⊂α - Linie a gehört zur Ebene α (verstanden im Sinne von: die Menge der Punkte der Geraden a ist eine Teilmenge der Punkte der Ebene α) |
| 7 | ∪ | Einen Verband | C \u003d A U B - Menge C ist eine Vereinigung von Mengen A und B; (1, 2, 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5) | ABCD = ∪ [BC] ∪ - gestrichelte Linie, ABCD ist Vereinigung der Segmente [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Schnittmenge von vielen | М=К∩L - die Menge М ist der Schnittpunkt der Mengen К und L (enthält Elemente, die sowohl zur Menge K als auch zur Menge L gehören). M ∩ N = ∅- Durchschnitt der Mengen M und N ist die leere Menge (Mengen M und N haben keine gemeinsamen Elemente) | a = α ∩ β - Linie a ist der Schnittpunkt Ebenen α und β und ∩ b = ∅ - Linien a und b schneiden sich nicht (haben keine gemeinsamen Punkte) |
| nein. | Bezeichnung | Inhalt | Beispiel für symbolische Notation |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Konjunktion von Sätzen; entspricht der Vereinigung "und". Satz (p∧q) ist genau dann wahr, wenn p und q beide wahr sind | α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Der Schnittpunkt der Flächen α und β ist eine Punktmenge (Gerade), bestehend aus all jenen und nur jenen Punkten K, die sowohl zur Fläche α als auch zur Fläche β gehören |
| 2 | ∨ | Disjunktion von Sätzen; entspricht der Vereinigung "oder". Satz (p∨q) wahr, wenn mindestens einer der Sätze p oder q wahr ist (d. h. entweder p oder q oder beide). | - |
| 3 | ⇒ | Implikation ist eine logische Konsequenz. Der Satz p⇒q bedeutet: „wenn p, dann q“ | (a||c∧b||c)⇒a||b. Wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten sind, dann sind sie parallel zueinander. |
| 4 | ⇔ | Der Satz (p⇔q) wird im Sinne von „wenn p, dann q; wenn q, dann p“ verstanden. | À∈α⇔À∈l⊂α. Ein Punkt gehört zu einer Ebene, wenn er zu einer Linie gehört, die zu dieser Ebene gehört. Auch die Umkehrung gilt: Wenn ein Punkt zu einer Geraden gehört, zum Flugzeug gehört, dann gehört es auch zum Flugzeug selbst. |
| 5 | ∀ | Der allgemeine Quantifizierer lautet: für alle, für alle, für alle. Der Ausdruck ∀(x)P(x) bedeutet: „für jedes x: Eigenschaft P(x)“ | ∀(ΔABC)( = 180°) Für jedes (für jedes) Dreieck die Summe der Werte seiner Winkel an den Scheitelpunkten beträgt 180° |
| 6 | ∃ | Der Existenzquantor lautet: existiert. Der Ausdruck ∃(x)P(x) bedeutet: „es gibt x, das die Eigenschaft P(x) hat“ | (∀α)(∃a) Zu jeder Ebene α gibt es eine Gerade a, die nicht zur Ebene α gehört und parallel zur Ebene α |
| 7 | ∃1 | Der Eindeutigkeitsquantifizierer der Existenz lautet: Es gibt eine Einzigartigkeit (-th, -th)... Der Ausdruck ∃1(x)(Px) bedeutet: "es gibt ein eindeutiges (nur ein) x, mit der Eigenschaft Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Für je zwei verschiedene Punkte A und B gibt es eine eindeutige Gerade a, diese Punkte passieren. |
| 8 | (px) | Negation der Aussage P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b) Wenn sich die Linien a und b schneiden, gibt es keine Ebene a, die sie enthält |
| 9 | \ | Negatives Zeichen | ≠ - das Segment [AB] ist nicht gleich dem Segment .a? b - die Linie a ist nicht parallel zur Linie b |
Die Entwicklung der mathematischen Symbolik war eng verbunden mit der allgemeinen Entwicklung der Begriffe und Methoden der Mathematik. Zuerst Mathematische Zeichen es gab Schilder zur Darstellung von Zahlen - Zahlen, deren Entstehung offenbar dem Schreiben vorausging. Die ältesten Zahlensysteme – babylonisch und ägyptisch – erschienen bereits 3 1/2 Jahrtausende vor Christus. e.
Zuerst Mathematische Zeichen denn willkürliche Werte tauchten viel später (ab dem 5.-4. Jahrhundert v. Chr.) In Griechenland auf. Größen (Fläche, Volumen, Winkel) wurden als Segmente und das Produkt zweier beliebiger homogener Größen als Rechteck dargestellt, das auf den entsprechenden Segmenten aufgebaut ist. In "Anfänge" Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) Mengen werden durch zwei Buchstaben angegeben - den Anfangs- und Endbuchstaben des entsprechenden Segments und manchmal sogar einen. Bei Archimedes (3. Jahrhundert v. Chr.) Die letztere Methode wird üblich. Eine solche Bezeichnung enthielt die Möglichkeiten zur Entwicklung des wörtlichen Kalküls. In der klassischen antiken Mathematik wurde jedoch kein wörtlicher Kalkül erstellt.
Die Anfänge der Buchstabendarstellung und des Infinitesimalrechnens entstehen in späthellenistischer Zeit durch die Befreiung der Algebra von der geometrischen Form. Diophant (wahrscheinlich 3. Jahrhundert) schrieb einen unbekannten ( X) und seine Abschlüsse mit folgenden Vorzeichen:
[ - vom griechischen Begriff dunamiV (dynamis - Stärke), der das Quadrat des Unbekannten bezeichnet, - vom griechischen cuboV (k_ybos) - Würfel]. Rechts neben dem Unbekannten oder seinen Graden schrieb Diophantus die Koeffizienten, zum Beispiel wurde 3x5 dargestellt
(wobei = 3). Beim Addieren ordnete Diophantus Terme einander zu, beim Subtrahieren verwendete er ein Sonderzeichen; Diophantus bezeichnete die Gleichheit mit dem Buchstaben i [aus dem Griechischen isoV (isos) - gleich]. Zum Beispiel die Gleichung
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X
Diophantus würde es so schreiben:
(hier
bedeutet, dass die Einheit keinen Multiplikator in Form einer Potenz des Unbekannten hat).
Einige Jahrhunderte später führten die Indianer verschiedene ein Mathematische Zeichen für mehrere Unbekannte (Abkürzungen für die Namen von Farben, die Unbekannte bezeichnen), Quadrat, Quadratwurzel, subtrahierte Zahl. Also die Gleichung
3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
Bei der Aufnahme Brahmagupta (7. Jahrhundert) würde so aussehen:
Ya va 3 ya 10 ru 8
Ya va 1 ya 0 ru 1
(ya - von yavat - tawat - unbekannt, va - von varga - Quadratzahl, ru - von rupa - Rupienmünze - ein freies Mitglied, ein Punkt über der Zahl bedeutet die zu subtrahierende Zahl).
Die Entstehung der modernen algebraischen Symbolik geht auf das 14. bis 17. Jahrhundert zurück; sie wurde durch die Erfolge der praktischen Arithmetik und des Studiums der Gleichungen bestimmt. In verschiedenen Ländern treten spontan auf Mathematische Zeichen für einige Aktionen und für Kräfte von unbekannter Größe. Viele Jahrzehnte und sogar Jahrhunderte vergehen, bis das eine oder andere praktische Symbol entwickelt wird. Also, am Ende des 15. und. N. Shuke und ich. Pacioli verwendete Additions- und Subtraktionszeichen
(von lat. plus und minus) führten deutsche Mathematiker das moderne + (wahrscheinlich eine Abkürzung von lat. et) und - ein. Zurück im 17. Jahrhundert kann ungefähr zehn zählen Mathematische Zeichen für die Multiplikationsoperation.
waren anders u Mathematische Zeichen unbekannt und seine Grade. Im 16. - frühen 17. Jahrhundert. allein um das Quadrat des Unbekannten wetteiferten beispielsweise mehr als zehn Notationen se(von census - ein lateinischer Begriff, der als Übersetzung des griechischen dunamiV diente, Q(von quadratum), , A (2), , Aii, aa, eine 2 usw. Also die Gleichung
x 3 + 5 x = 12
der italienische Mathematiker G. Cardano (1545) hätte die Form:
vom deutschen Mathematiker M. Stiefel (1544):
vom italienischen Mathematiker R. Bombelli (1572):
Französischer Mathematiker F. Vieta (1591):
vom englischen Mathematiker T. Harriot (1631):
Im 16. und frühen 17. Jahrhundert Gleichheitszeichen und Klammern kommen zum Einsatz: Quadrat (R. Bombelli , 1550), rund (N. Tartaglia, 1556), lockig (F. viet, 1593). Im 16. Jahrhundert Die moderne Form verwendet die Notation von Brüchen.
Ein bedeutender Fortschritt in der Entwicklung der mathematischen Symbolik war die Einführung von Vieta (1591) Mathematische Zeichen für beliebige Konstanten in Form von Großbuchstaben des lateinischen Alphabets B, D, was es ihm erstmals ermöglichte, algebraische Gleichungen mit beliebigen Koeffizienten aufzuschreiben und mit ihnen zu operieren. Unbekannte Viet dargestellt Vokale in Großbuchstaben A, E, ... Zum Beispiel die Aufzeichnung Vieta
In unseren Symbolen sieht es so aus:
x 3 + 3bx = d.
Viet war der Schöpfer algebraischer Formeln. R. Descartes (1637) gab den Zeichen der Algebra ein modernes Aussehen und bezeichnete Unbekannte mit den letzten Buchstaben von lat. Alphabet x, y, z, und beliebige Mengenangaben - in Anfangsbuchstaben a, b, c. Er besitzt auch die aktuelle Urkunde des Abschlusses. Die Notation von Descartes hatte einen großen Vorteil gegenüber allen vorherigen. Daher erhielten sie bald allgemeine Anerkennung.
Weitere Entwicklung Mathematische Zeichen war eng verbunden mit der Entstehung der Infinitesimalanalyse, für deren Entwicklung die Symbolik bereits weitgehend in der Algebra vorbereitet war.
Daten des Auftretens einiger mathematischer Zeichen
| Schild | Bedeutung | Wer eingeführt | Bei Einführung |
| Zeichen einzelner Objekte | |||
| ¥ | Unendlichkeit | J. Wallis | 1655 |
| e | Basis natürlicher Logarithmen | L.Euler | 1736 |
| p | Verhältnis von Umfang zu Durchmesser | W. Jones L.Euler | 1706 |
| ich | Quadratwurzel von -1 | L.Euler | 1777 (im Druck 1794) |
| ich j k | Einheitsvektoren, ort | W.Hamilton | 1853 |
| P (ein) | Winkel der Parallelität | N.I. Lobatschewski | 1835 |
| Zeichen variabler Objekte | |||
| x, y, z | Unbekannte oder Variablen | R. Descartes | 1637 |
| r | Vektor | O. Koshy | 1853 |
| Zeichen einzelner Operationen | |||
| + | Zusatz | Deutsche Mathematiker | Ende des 15. Jahrhunderts |
| – | Subtraktion |
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| ´ | Multiplikation | W. Outred | 1631 |
| × | Multiplikation | G. Leibniz | 1698 |
| : | Aufteilung | G. Leibniz | 1684 |
| a 2 , a 3 ,…, ein n | Grad | R. Descartes | 1637 |
| I. Newton | 1676 |
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| | Wurzeln | K. Rudolf | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
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| Protokoll | Logarithmus | I. Kepler | 1624 |
| Protokoll | B. Cavalieri | 1632 |
|
| Sünde | Sinus | L.Euler | 1748 |
| cos | Kosinus |
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| tg | Tangente | L.Euler | 1753 |
| Bogensünde | Arkussinus | J.Lagrange | 1772 |
Sch | hyperbolischer Sinus | V. Riccati | 1757 |
CH | hyperbolischer Kosinus |
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| dx, ddx, … | Differential | G. Leibniz | 1675 (im Druck 1684) |
d2x, d3x, … |
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| | Integral- | G. Leibniz | 1675 (im Druck 1686) |
| | Derivat | G. Leibniz | 1675 |
| ¦¢x | Derivat | J.Lagrange | 1770, 1779 |
| du |
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| ¦¢(x) |
|||
| Dx | Unterschied | L.Euler | 1755 |
| | partielle Ableitung | A. Legendre | 1786 |
| | bestimmtes Integral | J. Fourier | 1819-22 |
| | Summe | L.Euler | 1755 |
| P | Arbeit | K. Gauß | 1812 |
| ! | Fakultät | K. Crump | 1808 |
| |x| | Modul | K. Weierstraß | 1841 |
| lim | Grenze | W.Hamilton, viele Mathematiker | 1853, frühes 20. Jahrhundert |
| lim |
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| n = ¥ |
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| lim |
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| n ® ¥ |
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| x | Zeta-Funktion | B. Riemann | 1857 |
| G | Gamma-Funktion | A. Legendre | 1808 |
| BEI | Beta-Funktion | J. Binet | 1839 |
| D | Delta (Laplace-Operator) | R. Murphy | 1833 |
| Ñ | Nabla (Hamilton-Operator) | W.Hamilton | 1853 |
| Zeichen variabler Operationen | |||
| jx | Funktion | I. Bernoulli | 1718 |
| f(x) | L.Euler | 1734 |
|
| Zeichen individueller Beziehungen | |||
| = | Gleichberechtigung | R. Rekord | 1557 |
| > | mehr | T. Harriot | 1631 |
| < | weniger |
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| º | Vergleichbarkeit | K. Gauß | 1801 |
| | Parallelität | W. Outred | 1677 |
| ^ | Rechtwinkligkeit | P. Erigon | 1634 |
UND. Newton führte in seiner Methode der Fluxionen und Fließen (1666 und folgende Jahre) Zeichen für aufeinanderfolgende Fluxionen (Ableitungen) der Größe (in der Form
und für ein unendlich kleines Inkrement Ö. Etwas früher J. Wallis (1655) schlug das Unendlichkeitszeichen ¥ vor.
Der Schöpfer der modernen Symbolik der Differential- und Integralrechnung ist G. Leibniz. Insbesondere er gehört zu den aktuell Gebräuchlichen Mathematische Zeichen Unterschiede
dx, d 2 x, d 3 x
und integral
Ein großes Verdienst bei der Schaffung der Symbolik der modernen Mathematik gehört L. Euler. Er führte (1734) das erste Zeichen der variablen Operation, nämlich das Vorzeichen der Funktion, in den allgemeinen Gebrauch ein f(x) (von lat. Funktion). Nach Eulers Arbeit erhielten die Zeichen für viele einzelne Funktionen, wie beispielsweise trigonometrische Funktionen, einen einheitlichen Charakter. Euler besitzt die Notation für Konstanten e(Basis der natürlichen Logarithmen, 1736), p [wahrscheinlich aus dem Griechischen perijereia (periphereia) - Kreis, Peripherie, 1736], imaginäre Einheit
(aus dem französischen imaginaire - imaginär, 1777, veröffentlicht 1794).
Im 19. Jahrhundert Die Rolle der Symbolik wächst. Zu diesem Zeitpunkt Vorzeichen des Absolutwertes |x| (ZU. Weierstraß, 1841), Vektor (O. Cauchy, 1853), Bestimmer
(ABER. Cayley, 1841) ua Viele im 19. Jahrhundert entstandene Theorien wie die Tensorrechnung konnten ohne entsprechende Symbolik nicht entwickelt werden.
Zusammen mit dem festgelegten Standardisierungsprozess Mathematische Zeichen in der modernen Literatur findet man oft Mathematische Zeichen von einzelnen Autoren nur im Rahmen dieser Studie verwendet.
Aus Sicht der mathematischen Logik, unter Mathematische Zeichen folgende Hauptgruppen lassen sich skizzieren: A) Zeichen von Objekten, B) Zeichen von Operationen, C) Zeichen von Relationen. Beispielsweise stellen die Zeichen 1, 2, 3, 4 Zahlen dar, dh arithmetisch untersuchte Objekte. Das Zusatzzeichen + allein stellt kein Objekt dar; es erhält inhaltlichen Inhalt, wenn angegeben wird, welche Zahlen hinzugefügt werden: Die Notation 1 + 3 stellt die Zahl 4 dar. Das Zeichen > (größer als) ist das Zeichen der Beziehung zwischen Zahlen. Das Zeichen der Relation erhält einen ganz bestimmten Inhalt, wenn angegeben wird, zwischen welchen Objekten die Relation betrachtet wird. Zu den oben genannten drei Hauptgruppen Mathematische Zeichen grenzt an das vierte: D) Hilfszeichen, die die Reihenfolge der Kombination der Hauptzeichen festlegen. Eine ausreichende Vorstellung von solchen Zeichen wird durch Klammern gegeben, die die Reihenfolge angeben, in der Aktionen ausgeführt werden.
Die Zeichen jeder der drei Gruppen A), B) und C) sind von zwei Arten: 1) individuelle Zeichen von wohldefinierten Objekten, Operationen und Beziehungen, 2) allgemeine Zeichen von „sich nicht wiederholenden“ oder „unbekannten“ Objekten , Operationen und Beziehungen.
Beispiele für Zeichen der ersten Art können dienen (siehe auch Tabelle):
A 1) Notation natürlicher Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transzendente zahlen e und P; imaginäre Einheit ich.
B 1) Rechenzeichen +, -, ·, ´,:; Wurzelextraktion, Differenzierung
Vorzeichen von Summe (Vereinigung) È und Produkt (Schnitt) Ç von Mengen; dazu gehören auch die Vorzeichen der einzelnen Funktionen sin, tg, log usw.
1) Gleich- und Ungleichheitszeichen =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Zeichen der zweiten Art stellen willkürliche Objekte, Operationen und Beziehungen einer bestimmten Klasse oder Objekte, Operationen und Beziehungen dar, die bestimmten vorbestimmten Bedingungen unterliegen. Zum Beispiel beim Schreiben der Identität ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 Buchstaben a und b bezeichnen willkürliche Zahlen; beim Studium der funktionellen Abhängigkeit bei = X 2 Buchstaben X und ja - beliebige Zahlen, die in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen; beim Lösen der Gleichung
X bezeichnet eine beliebige Zahl, die die gegebene Gleichung erfüllt (durch Lösen dieser Gleichung erfahren wir, dass nur zwei mögliche Werte +1 und -1 dieser Bedingung entsprechen).
Aus logischer Sicht ist es legitim, solche allgemeinen Zeichen Zeichen von Variablen zu nennen, wie es in der mathematischen Logik üblich ist, ohne Angst davor zu haben, dass der „Änderungsbereich“ einer Variablen möglicherweise aus einem einzigen besteht Objekt oder sogar „leer“ (z. B. bei Gleichungen ohne Lösung). Weitere Beispiele für solche Zeichen sind:
A 2) Bezeichnung von Punkten, Linien, Ebenen und komplexeren geometrischen Formen mit Buchstaben in der Geometrie.
B 2) Notation f, , j für Funktionen und Notation der Operatorrechnung, wenn ein Buchstabe L stellen beispielsweise einen beliebigen Operator der Form dar:
Die Notation für „variable Verhältnisse“ ist weniger gebräuchlich und wird nur in der mathematischen Logik verwendet (vgl. Algebra der Logik ) und in relativ abstrakten, meist axiomatischen, mathematischen Studien.
Zündete.: Cajori, Eine Geschichte mathematischer Notationen, v. 1-2, Chi., 1928-29.
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