Entwicklung eines Algebraunterrichts in der 11. Profilklasse

Der Unterricht wurde vom Mathematiklehrer der MBOU-Sekundarschule Nr. 6 Tupitsyna O.V.

Thema und Lektionsnummer im Thema:„Anwendung mehrerer Transformationen, die zu einer Gleichungskonsequenz führen“, Lektion Nr. 7, 8 im Thema: „Gleichungskonsequenz“

Akademisches Fach:Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse - Klasse 11 (Profilausbildung nach dem Lehrbuch von S.M. Nikolsky)

Art des Unterrichts: „Systematisierung und Verallgemeinerung von Wissen und Fähigkeiten“

Unterrichtstyp: Workshop

Die Rolle des Lehrers: Lenken Sie die kognitive Aktivität der Schüler, um die Fähigkeit zu entwickeln, Wissen in einem Komplex unabhängig anzuwenden, um die gewünschte Methode oder Methoden der Transformation auszuwählen, was zu einer Gleichung führt - eine Folge und Anwendung der Methode beim Lösen der Gleichung unter neuen Bedingungen.

Erforderliche technische Ausstattung:Multimedia-Ausstattung, Webcam.

Die verwendete Lektion:

1. didaktisches Lernmodell- Schaffung einer problematischen Situation,
2. pädagogische Mittel- Blätter mit Trainingsmodulen, eine Auswahl von Aufgaben zum Lösen von Gleichungen,
3. Art der studentischen Tätigkeit- Gruppe (Gruppenbildung im Unterricht - "Entdeckungen" von neuem Wissen, Unterricht Nr. 1 und 2 von Schülern mit unterschiedlichem Lern- und Lerngrad), gemeinsame oder individuelle Problemlösung,
4. Persönlichkeitsorientierte Bildungstechnologien: modulares Training, problembasiertes Lernen, Such- und Forschungsmethoden, kollektiver Dialog, Aktivitätsmethode, Arbeit mit einem Lehrbuch und verschiedenen Quellen,
5. gesundheitsschonende Technologien- um Stress abzubauen, wird Sportunterricht durchgeführt,
6. Kompetenzen:

- pädagogisch und kognitiv auf der Grundstufe- die Studierenden kennen das Konzept einer Gleichung - eine Konsequenz, die Wurzel einer Gleichung und die Transformationsmethoden, die zu einer Gleichung führen - eine Konsequenz, sie können die Wurzeln von Gleichungen finden und ihre Überprüfung auf einer produktiven Ebene durchführen;

- auf fortgeschrittenem Niveau- Die Schüler können Gleichungen mit bekannten Transformationsmethoden lösen und die Wurzeln von Gleichungen anhand des Bereichs unzulässiger Gleichungswerte überprüfen. Berechnen von Logarithmen unter Verwendung erkundungsbasierter Eigenschaften; informativ - Die Schüler suchen, extrahieren und selektieren selbstständig die Informationen, die zur Lösung von Bildungsproblemen in Quellen verschiedener Art erforderlich sind.

Didaktisches Ziel:

Bedingungen schaffen für:

Ideenbildung über Gleichungen - Konsequenzen, Wurzeln und Transformationsmethoden;

Bildung der Erfahrung der Bedeutungsbildung auf der Grundlage einer logischen Konsequenz der zuvor untersuchten Methoden der Transformation von Gleichungen: Potenzieren einer Gleichung in eine gerade Potenz, Potenzieren logarithmischer Gleichungen, Befreien einer Gleichung von Nennern, Bringen gleicher Terme;

Festigung der Fähigkeiten bei der Bestimmung der Wahl der Transformationsmethode, der weiteren Lösung der Gleichung und der Wahl der Wurzeln der Gleichung;

Beherrschung der Fähigkeiten, ein Problem auf der Grundlage bekannter und erlernter Informationen zu stellen, Anfragen zu formulieren, um herauszufinden, was noch nicht bekannt ist;

Bildung von kognitiven Interessen, intellektuellen und kreativen Fähigkeiten der Schüler;

Entwicklung des logischen Denkens, kreative Aktivität der Schüler, Projektfähigkeiten, die Fähigkeit, ihre Gedanken auszudrücken;

Toleranzbildung, gegenseitige Hilfestellung bei der Gruppenarbeit;

Interesse am selbstständigen Lösen von Gleichungen wecken;

Aufgaben:

Organisieren Sie die Wiederholung und Systematisierung von Wissen über die Transformation von Gleichungen;

- Sicherstellung der Beherrschung von Methoden zur Lösung von Gleichungen und Überprüfung ihrer Nullstellen;

- die Entwicklung des analytischen und kritischen Denkens der Studierenden zu fördern; optimale Methoden zum Lösen von Gleichungen vergleichen und auswählen;

- Bedingungen für die Entwicklung von Forschungsfähigkeiten und Gruppenarbeitsfähigkeiten schaffen;

Motivieren Sie die Schüler, das gelernte Material zur Vorbereitung auf die Prüfung zu verwenden;

Analysieren und bewerten Sie Ihre Arbeit und die Arbeit Ihrer Kameraden bei der Durchführung dieser Arbeit.

Geplante Ergebnisse:

*persönlich:

Fähigkeiten, eine Aufgabe auf der Grundlage bekannter und erlernter Informationen zu stellen und Anfragen zu generieren, um herauszufinden, was noch nicht bekannt ist;

Die Fähigkeit, die zur Lösung des Problems erforderlichen Informationsquellen auszuwählen; Entwicklung kognitiver Interessen, intellektueller und kreativer Fähigkeiten der Schüler;

Die Entwicklung von logischem Denken, kreativer Aktivität, die Fähigkeit, seine Gedanken auszudrücken, die Fähigkeit, Argumente aufzubauen;

Selbsteinschätzung der Leistungsergebnisse;

Teamfähigkeit;

*Metathema:

Die Fähigkeit, die Hauptsache hervorzuheben, zu vergleichen, zu verallgemeinern, eine Analogie zu ziehen, induktive Argumentationsmethoden anzuwenden, beim Lösen von Gleichungen Hypothesen aufzustellen,

Fähigkeit, das erworbene Wissen in Vorbereitung auf die Prüfung zu interpretieren und anzuwenden;

*Gegenstand:

Kenntnisse zur Transformation von Gleichungen,

Die Fähigkeit, ein Muster zu erstellen, das mit verschiedenen Arten von Gleichungen verbunden ist, und es beim Lösen und Auswählen von Wurzeln zu verwenden,

Integration von Unterrichtszielen:

1. (für den Lehrer) Bildung einer ganzheitlichen Sicht der Schüler auf die Möglichkeiten zur Transformation von Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung;
2. (für Studenten) Entwicklung der Fähigkeit, mathematische Situationen zu beobachten, zu vergleichen, zu verallgemeinern und zu analysieren, die mit Gleichungstypen verbunden sind, die verschiedene Funktionen enthalten. Vorbereitung auf die Prüfung.

Stufe I der Lektion:

Wissensaktualisierung zur Motivationssteigerung im Anwendungsbereich verschiedener Methoden der Transformation von Gleichungen (Eingabediagnostik)

Die Phase der Wissensaktualisierungin Form einer Probearbeit mit Selbsttest durchgeführt. Basierend auf dem in früheren Lektionen erworbenen Wissen werden Entwicklungsaufgaben vorgeschlagen, die aktive geistige Aktivität von den Schülern erfordern und notwendig sind, um die Aufgabe in dieser Lektion zu erfüllen.

Überprüfungsarbeit

1. Wählen Sie Gleichungen, die die Beschränkung von Unbekannten auf die Menge aller reellen Zahlen erfordern:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) =1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 =5;

g) = ; h) = .

(2) Geben Sie den Bereich der gültigen Werte jeder Gleichung an, wo es Einschränkungen gibt.

(3) Wählen Sie ein Beispiel für eine solche Gleichung, bei der die Transformation zum Verlust der Wurzel führen kann (verwenden Sie die Materialien der vorherigen Lektionen zu diesem Thema).

Jeder überprüft die Antworten unabhängig von den auf dem Bildschirm markierten vorgefertigten Antworten. Die schwierigsten Aufgaben werden analysiert und die Schüler achten besonders auf die Beispiele a, c, g, h, wo Einschränkungen bestehen.

Es wird der Schluss gezogen, dass es beim Lösen von Gleichungen erforderlich ist, den von der Gleichung zugelassenen Wertebereich zu bestimmen oder die Wurzeln zu überprüfen, um Fremdwerte zu vermeiden. Die zuvor untersuchten Methoden zum Transformieren von Gleichungen, die zu einer Gleichung führen, werden wiederholt. Das heißt, die Studierenden werden dadurch motiviert, in der weiteren Arbeit den richtigen Weg zur Lösung der von ihnen vorgeschlagenen Gleichung zu finden.

II. Stufe des Unterrichts:

Praktische Anwendung ihrer Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten beim Lösen von Gleichungen.

Die Gruppen erhalten Blätter mit einem Modul, das zu den Fragestellungen dieses Themas zusammengestellt wurde. Das Modul umfasst fünf Lernelemente, die jeweils auf die Bearbeitung bestimmter Aufgaben ausgerichtet sind. Schüler mit unterschiedlichem Lern- und Lerngrad bestimmen eigenständig den Umfang ihrer Aktivitäten im Unterricht, aber da alle in Gruppen arbeiten, gibt es einen kontinuierlichen Prozess der Anpassung von Wissen und Fähigkeiten, der die Nachzügler in die Pflicht, andere in die Fortgeschrittenen zieht kreative Ebenen.

In der Mitte des Unterrichts findet eine obligatorische physische Minute statt.

Nr. des pädagogischen Elements	Pädagogisches Element mit Aufgaben	Leitfaden zur Entwicklung von Unterrichtsmaterial
UE-1	Zweck: Bestimmung und Begründung der wichtigsten Methoden zur Lösung von Gleichungen basierend auf den Eigenschaften von Funktionen. Die Übung: Geben Sie die Transformationsmethode zum Lösen der folgenden Gleichungen an: A) )= -8); b) = c) (=( d) ctg + x 2 -2x = ctg +24; e) = ; f) = sinx. 2) Aufgabe: Lösen Sie mindestens zwei der vorgeschlagenen Gleichungen. Beschreiben Sie, welche Methoden in den gelösten Gleichungen verwendet wurden.	Abschnitt 7.3 S.212 Abschnitt 7.4 S.214 Abschnitt 7.5 S.217 Ziffer 7.2 S. 210
UE-2	Zweck: Beherrschung rationaler Techniken und Lösungsmethoden Die Übung: Geben Sie Beispiele aus den obigen oder selbstgewählten (verwenden Sie Materialien aus früheren Lektionen) Gleichungen, die mit rationalen Lösungsmethoden gelöst werden können, was sind das? (Schwerpunkt auf der Art und Weise, die Wurzeln der Gleichung zu überprüfen)
UE-3	Zweck: Anwendung des erworbenen Wissens beim Lösen von Gleichungen hoher Komplexität Die Übung: = (bzw ( = (	Ziffer 7.5
UE-4	Stellen Sie den Grad der Beherrschung des Themas ein: niedrig - Lösung von nicht mehr als 2 Gleichungen; Mittel - Lösung von nicht mehr als 4 Gleichungen; hoch - Lösung von nicht mehr als 5 Gleichungen
UE-5	Ausgangskontrolle: Erstellen Sie eine Tabelle, in der Sie alle Möglichkeiten präsentieren, die Sie zum Umwandeln von Gleichungen verwenden, und schreiben Sie für jede Möglichkeit Beispiele für die von Ihnen gelösten Gleichungen auf, beginnend mit Lektion 1 des Themas: „Gleichungen - Konsequenzen“	Zusammenfassungen in Notizbüchern

III. Stufe des Unterrichts:

Ergebnisdiagnostische Arbeit, die die Reflexion der Schüler darstellt, die nicht nur die Bereitschaft zeigt, einen Test zu schreiben, sondern auch die Bereitschaft für die Prüfung in diesem Abschnitt.

Am Ende der Stunde bewerten ausnahmslos alle Schüler sich selbst, dann kommt die Lehrerbeurteilung. Bei Meinungsverschiedenheiten zwischen Lehrer und Schüler kann der Lehrer dem Schüler eine Zusatzaufgabe anbieten, um diese objektiv bewerten zu können. Hausaufgabenzielt darauf ab, das Material vor der Kontrollarbeit zu überprüfen.

Schulvorlesung

„Äquivalente Gleichungen. Folgegleichung»

methodische Kommentare. Die Konzepte von Äquivalenzgleichungen, Folgegleichungen und Sätzen über die Äquivalenz von Gleichungen sind wichtige Themen im Zusammenhang mit der Theorie des Lösens von Gleichungen.

Bis zur 10. Klasse haben die Schüler einige Erfahrungen im Lösen von Gleichungen gesammelt. In den Klassen 7-8 werden lineare und quadratische Gleichungen gelöst, hier gibt es keine ungleichen Transformationen. Außerdem werden in der 8. und 9. Klasse rationale und einfachste irrationale Gleichungen gelöst. Es stellt sich heraus, dass im Zusammenhang mit der Befreiung vom Nenner und dem Quadrieren beider Teile der Gleichung fremde Wurzeln auftreten können. Daher besteht ein Bedarf an der Einführung neuer Konzepte: Äquivalenz von Gleichungen, äquivalente und nicht äquivalente Transformationen einer Gleichung, Fremdwurzeln und Verifikation von Wurzeln. Basierend auf den Erfahrungen, die die Schüler beim Lösen der oben genannten Gleichungsklassen gesammelt haben, ist es möglich, gemeinsam mit den Schülern eine neue Äquivalenzbeziehung von Gleichungen zu bestimmen und Sätze über die Äquivalenz von Gleichungen zu „entdecken“.

Die Lektion, deren Zusammenfassung unten dargestellt ist, geht der Betrachtung von Themen voraus, die sich auf die Lösung irrationaler, exponentieller, logarithmischer und trigonometrischer Gleichungen beziehen. Das theoretische Material dieser Lektion dient als Hilfestellung zum Lösen aller Gleichungsklassen. In dieser Lektion ist es notwendig, das Konzept der äquivalenten Gleichungen, Folgegleichungen, zu definieren, um Transformationstheoreme zu betrachten, die zu solchen Gleichungstypen führen. Das betrachtete Material ist, wie oben erwähnt, eine Art Systematisierung des Wissens der Schüler über die Transformationen von Gleichungen, es zeichnet sich durch eine gewisse Komplexität aus, daher ist die akzeptabelste Unterrichtsart eine Schulvorlesung. Die Besonderheit dieser Unterrichtsstunde besteht darin, dass die an sie gestellte Bildungsaufgabe (Ziele) im Laufe vieler weiterer Unterrichtsstunden gelöst wird (Erkennen von Transformationen über Gleichungen, die zum Erwerb von Fremdwurzeln und zum Verlust von Wurzeln führen).

Jede Phase der Lektion nimmt einen wichtigen Platz in ihrer Struktur ein.

Auf der Update-Phase Die Schüler erinnern sich an die wichtigsten theoretischen Bestimmungen in Bezug auf die Gleichung: Was ist eine Gleichung, die Wurzel der Gleichung, was bedeutet es, die Gleichung zu lösen, den Bereich akzeptabler Werte (ODV) der Gleichung. Sie finden die ODZ bestimmter Gleichungen, die als Unterstützung für die „Entdeckung“ von Theoremen im Unterricht dienen.

Ziel Phase der Motivation- eine Problemsituation zu schaffen, die darin besteht, die richtige Lösung der vorgeschlagenen Gleichung zu finden.

Entscheidung Lernaufgabe (operativ-kognitive Stufe) in der vorgestellten Lektion liegt in der "Entdeckung" von Sätzen über die Äquivalenz von Gleichungen und deren Beweis. Das Hauptaugenmerk bei der Präsentation des Materials liegt auf der Definition von Äquivalenzgleichungen, Gleichungsfolgen, der "Suche" von Sätzen über die Äquivalenz von Gleichungen.

Die Notizen, die der Lehrer während des Unterrichts macht, werden direkt im Abstract dargestellt. Die Eintragung der Notizen der Schüler in Hefte erfolgt am Ende der Unterrichtszusammenfassung.

Zusammenfassung der Lektion

Gegenstand.Äquivalente Gleichungen. Gleichungsfolge.

(Algebra und der Beginn der Analyse: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 von Bildungseinrichtungen / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov und andere - M .: Education, 2003).

Unterrichtsziele. Identifizieren Sie in gemeinsamen Aktivitäten mit Schülern die Äquivalenzrelation auf einem Gleichungssystem, „entdecken“ Sie Sätze über die Äquivalenz von Gleichungen.

Als Ergebnis der Student

weiß

Definition äquivalenter Gleichungen,

Definitionen der Folgegleichung,

Aussagen der Hauptsätze;

kann

Wählen Sie aus den vorgeschlagenen Gleichungen äquivalente Gleichungen und Gleichungen-Konsequenzen aus,

Definitionen von äquivalenten Gleichungen und Folgegleichungen in Standardsituationen anwenden;

versteht

Welche Transformationen führen zu äquivalenten Gleichungen oder zu Gleichungsfolgen,

Dass es Transformationen gibt, durch die die Gleichung fremde Wurzeln bekommen kann,

Dass infolge einiger Transformationen Wurzeln verloren gehen können.

Unterrichtsart. Schulvorlesung (2 Stunden).

Unterrichtsstruktur.

I. Motivations- und Orientierungsteil:

Wissensupdate,

Motivation, eine Lernaufgabe stellen.

II. Operativ-kognitiver Teil:

Die Lösung des Bildungs- und Forschungsproblems (Zweck des Unterrichts).

III. Reflektierend-evaluativer Teil:

Zusammenfassung der Lektion

Ausgabe der Hausaufgaben.

Während des Unterrichts

ich. Motivations- und Orientierungsteil.

Heute werden wir in der Lektion über die Gleichung sprechen, aber wir werden das Thema noch nicht aufschreiben. Erinnern Sie sich an die grundlegenden Konzepte, die mit der Gleichung verbunden sind. Zunächst einmal, was ist eine Gleichung?

(Eine Gleichung ist eine analytische Aufzeichnung des Problems, die Werte der Argumente zu finden, für die die Werte einer Funktion gleich den Werten einer anderen Funktion sind).

Welche anderen Konzepte sind mit der Gleichung verbunden?

(Die Wurzel der Gleichung und was es bedeutet, die Gleichung zu lösen. Die Wurzel der Gleichung ist eine Zahl, beim Einsetzen in die Gleichung wird die korrekte numerische Gleichheit erhalten. Lösen Sie die Gleichung - finden Sie alle ihre Wurzeln oder stellen Sie fest, dass sie es tun nicht existieren).

Was ist die ODZ-Gleichung?

(Die Menge aller Zahlen, für die die Funktionen auf der linken und rechten Seite der Gleichung gleichzeitig sinnvoll sind).

Finden Sie die ODZ der folgenden Gleichungen.

5)

6)
.

Die Lösung der Gleichung wird an die Tafel geschrieben.

Wie läuft das Lösen einer Gleichung ab?

(Durchführen von Transformationen, die diese Gleichung in eine Gleichung einfacherer Form bringen, dh eine solche Gleichung, deren Wurzeln nicht schwierig zu finden sind).

Richtig, d.h. Es gibt eine Folge von Vereinfachungen von Gleichung zu Gleichung
usw. zu
. Mal sehen, was mit den Wurzeln der Gleichung in jeder Phase der Transformation passiert. In der vorgestellten Lösung werden zwei Wurzeln der Gleichung erhalten
. Überprüfen Sie, ob es sich um Zahlen und Zahlen handelt
und
Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.

(Zahlen , und sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und
- Nein).

Im Prozess der Lösung gingen diese Wurzeln also verloren. Im Allgemeinen führten die durchgeführten Transformationen zum Verlust von zwei Wurzeln
und der Erwerb einer fremden Wurzel.

Wie kann man fremde Wurzeln loswerden?

(Machen Sie einen Haken).

Kann man Wurzeln verlieren? Wieso den?

(Nein, weil das Lösen einer Gleichung bedeutet, alle ihre Wurzeln zu finden).

Wie kann man vermeiden, Wurzeln zu verlieren?

(Führen Sie beim Lösen der Gleichung wahrscheinlich keine Transformationen durch, die zum Verlust von Wurzeln führen).

Was ist also wichtig zu wissen, wenn man Transformationen an Gleichungen durchführt, damit der Prozess des Lösens einer Gleichung zu korrekten Ergebnissen führt?

(Wahrscheinlich, um zu wissen, welche Transformationen über die Gleichungen die Wurzeln erhalten, was zum Verlust von Wurzeln oder zum Erwerb von fremden Wurzeln führt. Wissen, durch welche Transformationen sie ersetzt werden können, damit es keinen Verlust oder Erwerb von Wurzeln gibt).

Das werden wir in dieser Lektion tun. Wie würden Sie das Ziel der bevorstehenden Aktivität in der heutigen Lektion formulieren?

(Um Transformationen über Gleichungen zu identifizieren, die Wurzeln erhalten, zum Verlust von Wurzeln oder zum Erwerb fremder Wurzeln führen. Wissen, welche Transformationen ersetzt werden können, damit kein Verlust oder Erwerb von Wurzeln auftritt.)

II . Operativ-kognitiver Teil.

Gehen wir zurück zu der an die Tafel geschriebenen Gleichung. Lassen Sie uns nachvollziehen, in welchem ​​​​Stadium und infolge welcher Transformationen zwei Wurzeln verloren gingen und ein Außenseiter auftauchte. (Der Lehrer rechts neben jeder Gleichung trägt die Zahlen ein).

Nennen Sie die Gleichungen, die denselben Satz (Satz) von Wurzeln haben.

(Gleichungen , , ,
und ,).

Solche Gleichungen werden aufgerufen gleichwertig. Versuchen Sie, eine Definition von Äquivalenzgleichungen zu formulieren.

(Gleichungen, die denselben Wurzelsatz haben, heißen äquivalent).

Schreiben wir die Definition auf.

Definition 1. Gleichungen
und
heißen äquivalent, wenn die Mengen ihrer Wurzeln gleich sind.

Es sollte beachtet werden, dass Gleichungen ohne Pferde auch äquivalent sind.

Um äquivalente Gleichungen zu bezeichnen, können Sie das Symbol "
». Der Lösungsprozess der Gleichung nach dem neuen Konzept lässt sich wie folgt darstellen:

Somit beeinflusst der Übergang von einer gegebenen Gleichung zu einer äquivalenten nicht den Satz von Wurzeln der resultierenden Gleichung.

Und was sind die wichtigsten Transformationen, die beim Lösen linearer Gleichungen durchgeführt werden?

(Öffnen von Klammern; Übertragen von Termen von einem Teil der Gleichung in einen anderen, Ändern des Vorzeichens in das Gegenteil; Hinzufügen eines Ausdrucks, der eine Unbekannte zu beiden Teilen der Gleichung enthält).

Haben sich ihre Wurzeln verändert?

Auf der Grundlage einer dieser Transformationen, nämlich: der Übertragung von Termen von einem Teil der Gleichung auf einen anderen unter Änderung des Vorzeichens ins Gegenteil, formulierten sie in der 7. Klasse eine Eigenschaft von Gleichungen. Formulieren Sie es mit einem neuen Konzept.

(Wenn ein Term der Gleichung von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen übertragen wird, wird eine Gleichung erhalten, die der gegebenen entspricht).

Welche andere Eigenschaft der Gleichung kennst du?

(Beide Seiten der Gleichung können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.)

Durch die Anwendung dieser Eigenschaft wird auch die ursprüngliche Gleichung durch eine äquivalente ersetzt. Gehen wir zurück zu der an die Tafel geschriebenen Gleichung. Vergleichen Sie den Satz von Wurzeln von Gleichungen und ?

(Die Wurzel der Gleichung ist die Wurzel der Gleichung).

Das heißt, beim Übergang von einer Gleichung zur anderen verlor der Satz von Wurzeln, obwohl er erweitert wurde, die Wurzeln nicht. In diesem Fall wird die Gleichung aufgerufen eine Folge der Gleichung. Versuchen Sie, eine Definition einer Gleichung zu formulieren, die eine Folge dieser Gleichung ist.

(Wenn beim Übergang von einer Gleichung zur anderen kein Nullstellenverlust auftritt, wird die zweite Gleichung als Folge der ersten Gleichung bezeichnet).

Bestimmung 2. Eine Gleichung heißt Folge einer Gleichung, wenn jede Wurzel der Gleichung eine Wurzel der Gleichung ist.

- Als Ergebnis welcher Transformation hast du die Gleichung aus der Gleichung erhalten?

(Quadrieren beider Seiten der Gleichung).

Dies bedeutet, dass diese Transformation zum Auftreten von Fremdwurzeln führen kann, d.h. die ursprüngliche Gleichung wird in eine Folgegleichung umgewandelt. Gibt es weitere Folgegleichungen in der vorgestellten Kette von Gleichungstransformationen?

(Ja, zum Beispiel ist die Gleichung eine Folge der Gleichung, und die Gleichung ist eine Folge der Gleichung).

Was sind das für Gleichungen?

(Äquivalent).

Versuchen Sie, unter Verwendung des Konzepts einer Konsequenzgleichung eine äquivalente Definition von äquivalenten Gleichungen zu formulieren.

(Gleichungen heißen äquivalent, wenn jede von ihnen eine Folge der anderen ist).

Gibt es weitere Folgegleichungen in der vorgeschlagenen Lösung der Gleichung?

(Ja, die Gleichung ist eine Folge der Gleichung).

Was passiert mit den Wurzeln, wenn man von nach geht?

(Zwei Wurzeln gehen verloren).

Welche Verwandlung hat dazu geführt?

(Fehler beim Anwenden der Identität
).

Wenden Sie das neue Konzept der Gleichungsfolgerung an und verwenden Sie das Symbol "
“, sieht der Prozess zum Lösen der Gleichung folgendermaßen aus:

.

Das resultierende Schema zeigt uns also, dass sich die Sätze von Wurzeln der resultierenden Gleichungen nicht ändern, wenn äquivalente Übergänge gemacht werden. Aber es ist nicht immer möglich, nur äquivalente Transformationen anzuwenden. Wenn die Übergänge nicht äquivalent sind, sind zwei Fälle möglich: und . Im ersten Fall ist die Gleichung eine Folge der Gleichung, der Satz von Wurzeln der resultierenden Gleichung enthält den Satz von Wurzeln der gegebenen Gleichung, hier werden fremde Wurzeln erfasst, sie können durch eine Überprüfung abgeschnitten werden. Im zweiten Fall wurde eine Gleichung erhalten, für die diese Gleichung eine Folge ist: , was bedeutet, dass Wurzeln verloren gehen, solche Übergänge sollten nicht durchgeführt werden. Daher ist es wichtig sicherzustellen, dass bei der Transformation einer Gleichung jede nachfolgende Gleichung eine Folge der vorherigen ist. Was müssen Sie wissen, damit die Transformationen nur solche sind? Lassen Sie uns versuchen, es zu installieren. Lassen Sie uns Aufgabe 1 schreiben (sie bietet Gleichungen; ihre ODZ wurde in der Aktualisierungsphase gefunden; der Satz von Wurzeln jeder Gleichung wird aufgezeichnet).

Aufgabe 1. Sind die Gleichungen jeder Gruppe (a, b) äquivalent? Nennen Sie die Transformation, bei der die erste Gleichung der Gruppe durch die zweite ersetzt wird.

a)
b)

Wenden wir uns den Gleichungen der Gruppe a) zu, sind diese Gleichungen äquivalent?

(Ja, und sie sind gleichwertig).

(Wir haben die Identität verwendet).

Das heißt, der Ausdruck in einem Teil der Gleichung wurde durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt. Hat sich die ODZ-Gleichung unter dieser Transformation geändert?

Betrachten Sie die Gleichungsgruppe b). Sind diese Gleichungen äquivalent?

(Nein, die Gleichung ist eine Folge der Gleichung).

Als Ergebnis welcher Transformation hast du dich erhalten?

(Wir haben die linke Seite der Gleichung durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt).

Was ist mit der odz-Gleichung passiert?

(ODZ erweitert).

Als Ergebnis der Erweiterung der ODZ haben wir eine Folgegleichung und eine Fremdwurzel erhalten
für die Gleichung. Dies bedeutet, dass die Erweiterung der ODZ-Gleichung zum Auftreten von Fremdwurzeln führen kann. Formulieren Sie für beide Fälle a) und b) die Aussage in allgemeiner Form. (Schüler formulieren, Lehrer korrigiert).

(Eine Gleichung eingeben
, Ausdruck
durch den identischen Ausdruck ersetzt
. Wenn eine solche Transformation die ODZ-Gleichung nicht ändert, gehen wir zur äquivalenten Gleichung über
. Wenn sich die ODZ ausdehnt, dann ist die Gleichung eine Folge der Gleichung ).

Diese Aussage ist ein Transformationssatz, der zu äquivalenten Gleichungen oder Folgegleichungen führt.

Satz 1.,
a) ODZändert sich nicht	b) ODZ expandiert

Wir akzeptieren diesen Satz ohne Beweis. Nächste Aufgabe. Drei Gleichungen und ihre Nullstellen werden vorgestellt.

Aufgabe 2. Sind die folgenden Gleichungen äquivalent? Nennen Sie die Transformation, bei der die erste Gleichung durch die zweite Gleichung ersetzt wird, die dritte Gleichung.

Welche der folgenden Gleichungen sind äquivalent?

(Nur Gleichungen und ).

Welche Transformationen wurden durchgeführt, um von der Gleichung in die Gleichung , überzugehen?

(Zu beiden Seiten der Gleichung im ersten Fall haben wir hinzugefügt
, im zweiten Fall haben wir hinzugefügt
).

Das heißt, in jedem Fall wurde eine Funktion hinzugefügt
. Vergleichen Sie den Definitionsbereich der Funktion in der Gleichung mit der ODZ-Gleichung.

(Funktion
definiert nach der ODZ-Gleichung ).

Welche Gleichung wurde durch Addition der Funktion auf beiden Seiten der Gleichung erhalten?

(Wir erhalten eine äquivalente Gleichung).

Was ist mit der ODZ-Gleichung im Vergleich zur ODZ-Gleichung passiert?

(Es hat sich aufgrund der Funktion verengt
).

Was hast du in diesem Fall bekommen? Wird die Gleichung mit der Gleichung oder - der Gleichungsfolgerung für die Gleichung äquivalent sein?

(Nein, nicht beides).

Nachdem Sie zwei Fälle der Transformation der Gleichung betrachtet haben, die in Aufgabe 2 vorgestellt werden, versuchen Sie, eine Schlussfolgerung zu ziehen.

(Wenn wir zu beiden Teilen der Gleichung die auf der ODZ dieser Gleichung definierte Funktion hinzufügen, erhalten wir eine Gleichung, die der gegebenen entspricht).

Tatsächlich ist diese Aussage ein Theorem.

Satz2. , - definiert	auf der odz-Gleichung

Aber wir haben beim Lösen von Gleichungen eine dem formulierten Theorem ähnliche Aussage verwendet. Wie hört es sich an?

(Die gleiche Zahl kann auf beiden Seiten der Gleichung addiert werden.)

Diese Eigenschaft ist ein Sonderfall von Theorem 2, wenn
.

Aufgabe 3. Sind die folgenden Gleichungen äquivalent? Nennen Sie die Transformation, bei der die erste Gleichung durch die zweite Gleichung ersetzt wird, die dritte Gleichung.

Welche der Gleichungen in Aufgabe 3 sind äquivalent?

(Gleichungen und ).

Als Ergebnis welcher Transformation aus der Gleichung sind die Gleichungen , ?

(Beide Seiten der Gleichung werden multipliziert mit
und erhalte die Gleichung. Um die Gleichung zu erhalten, werden beide Seiten der Gleichung mit multipliziert
).

Welche Bedingung muss die Funktion erfüllen, damit durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit eine Gleichung erhalten wird, die äquivalent zu ist?

(Die Funktion muss auf der gesamten ODZ der Gleichung definiert werden).

Wurden solche Transformationen schon früher an Gleichungen durchgeführt?

(Durchgeführt, beide Teile der Gleichung wurden mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert).

Das bedeutet, dass die an die Funktion gestellte Bedingung ergänzt werden muss.

(Die Funktion darf bei keinem auf Null gehen aus der ODZ-Gleichung).

Wir schreiben also in symbolischer Form eine Aussage, die uns erlaubt, von einer gegebenen Gleichung zu einer äquivalenten zu gelangen. (Der Lehrer schreibt unter dem Diktat der Schüler Theorem 3 auf).

Satz 3. - in der gesamten ODZ definiert für alle ODZ

Beweisen wir den Satz. Was bedeutet es, dass zwei Gleichungen äquivalent sind?

(Es muss gezeigt werden, dass alle Wurzeln der ersten Gleichung die Wurzeln der zweiten Gleichung sind und umgekehrt, d. h. die zweite Gleichung ist eine Folgerung der ersten und die erste Gleichung eine Folgerung der zweiten).

Lassen Sie uns beweisen, dass dies eine Folge der Gleichung ist. Lassen - die Wurzel der Gleichung, was bedeutet sie?

(Beim Einsetzen erhalten wir die richtige Zahlengleichheit
).

An einem Punkt ist die Funktion definiert und verschwindet nicht. Was bedeutet das?

(Anzahl
. Daher kann die numerische Gleichheit mit multipliziert werden
. Wir erhalten die richtige numerische Gleichheit ).

Was bedeutet diese Gleichberechtigung?

( - die Wurzel der Gleichung. Dies zeigte, dass die Gleichung eine Gleichungsfolge für die Gleichung ist).

Lassen Sie uns beweisen, dass dies eine Folge der Gleichung ist. (Die Schüler arbeiten selbstständig, dann schreibt der Lehrer nach der Diskussion den zweiten Teil des Beweises an die Tafel).

Aufgabe 4. Sind die Gleichungen jeder Gruppe (a, b) äquivalent? Nennen Sie die Transformation, bei der die erste Gleichung der Gruppe durch die zweite ersetzt wird.

a)
b)

Sind die Gleichungen und ?

(Äquivalent).

Als Ergebnis welcher Transformation kann erhalten werden?

(Wir erheben beide Seiten der Gleichung zu einem Würfel).

Von der rechten und linken Seite der Gleichung kannst du die Funktion übernehmen
. Auf welcher Menge ist die Funktion definiert?
?

(Über den gemeinsamen Teil der Mengen von Funktionswerten
und
).

Beschreiben Sie die Gleichungsgruppe unter dem Buchstaben b)?

(Sie sind nicht äquivalent, ist eine Folge davon, dass die Funktion auf die Gleichung angewendet wurde
und an die Gleichung übergeben, wird die Funktion auf dem gemeinsamen Teil der Sätze von Funktionswerten definiert
und
).

Was ist der Unterschied zwischen den Eigenschaften der Funktionen in der Gruppe a) und b)?

(Im ersten Fall ist die Funktion monoton, im zweiten nicht).

Formulieren wir die folgende Behauptung. (Der Lehrer schreibt unter dem Diktat der Schüler den Satz auf).

Satz 4. - wird auf dem gemeinsamen Teil der Sätze von Funktionswerten und definiert
a) - eintönig	b) - nicht eintönig

Lassen Sie uns diskutieren, wie dieser Satz beim Lösen der folgenden Gleichungen "funktioniert".

Beispiel. löse die Gleichung

1)
; 2)
.

Welche Funktion gilt für beide Seiten von Gleichung 1)?

(Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung zu einem Würfel erheben, dh die Funktion anwenden).

(Diese Funktion ist auf dem gemeinsamen Teil der Wertesätze von Funktionen auf der linken und rechten Seite der Gleichung definiert; sie ist monoton).

Wenn wir also beide Seiten der ursprünglichen Gleichung zu einem Würfel erheben, welche Gleichung erhalten wir?

(Äquivalent dazu).

Welche Funktion gilt für beide Seiten von Gleichung 2)?

(Erheben wir beide Seiten der Gleichung in die vierte Potenz, d.h. wenden wir die Funktion an
).

Nennen Sie die Eigenschaften dieser Funktion, die zur Anwendung von Theorem 4 erforderlich sind.

(Diese Funktion ist auf dem gemeinsamen Teil der Wertemengen von Funktionen auf der linken und rechten Seite der Gleichung definiert; sie ist nicht monoton).

Welche Gleichung, relativ zur ursprünglichen, erhalten wir, wenn wir diese Gleichung in die vierte Potenz erheben?

(Konsequenzgleichung).

Unterscheiden sich die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung und die Wurzeln der resultierenden Gleichung?

(Fremde Wurzeln können auftreten. Daher ist eine Überprüfung erforderlich).

Lösen Sie diese Gleichungen zu Hause.

III . Reflektierend-evaluativer Teil.

Heute haben wir gemeinsam vier Theoreme „entdeckt“. Schauen Sie sie sich noch einmal an und sagen Sie, welche Gleichungen sie sagen.

(Über äquivalente Gleichungen und die Gleichungsfolgerung).

Lassen Sie uns das Thema der Lektion schreiben. Kehren wir zu der Gleichung zurück, die zu Beginn des heutigen Gesprächs betrachtet wurde. Welche der Sätze 1-4 wurden beim Übergang von einer Gleichung zur anderen angewendet? (Die Schüler finden zusammen mit dem Lehrer heraus, welcher Satz bei jedem Schritt funktioniert hat, der Lehrer markiert die Nummer des Satzes auf dem Diagramm).

T.2 T.2 T.1 T.4 T.2 T.4

Was hast du heute im Unterricht neu gelernt?

(Die Begriffe der Äquivalenzgleichungen, Folgegleichungen, Sätze über die Äquivalenz von Gleichungen).

Welche Aufgabe haben wir zu Beginn der Stunde gestellt?

(Wählen Sie Transformationen, die den Satz von Wurzeln der Gleichung nicht ändern, Transformationen, die zum Erwerb und Verlust von Wurzeln führen).

Haben wir es vollständig gelöst?

Wir haben das Problem teilweise gelöst, wir werden seine Untersuchung in den nächsten Lektionen fortsetzen, wenn wir neue Arten von Gleichungen lösen.

Unter Verwendung des für uns neuen Konzepts der äquivalenten Gleichungen formulieren Sie den ersten Teil der Aufgabe neu, "um Transformationen auszuwählen, die den Satz von Wurzeln der Gleichung nicht ändern".

(Wie kann man wissen, ob der Übergang von einer Gleichung zur anderen eine äquivalente Transformation ist).

Was hilft bei der Beantwortung dieser Frage?

(Sätze über die Äquivalenz von Gleichungen).

Und sind heute Transformationen vorgenommen worden, die zum Erwerb fremder Wurzeln führen?

(Angewandt ist dies das Quadrieren beider Gleichungsteile; die Verwendung von Formeln, deren linker und rechter Teil für unterschiedliche Werte der darin enthaltenen Buchstaben sinnvoll sind).

Es gibt andere "spezifische" Gründe, die sowohl zum Auftreten als auch zum Verlust der Wurzeln der Gleichung führen, wir haben über einige von ihnen gesprochen. Es gibt aber auch solche, die in der Regel einer bestimmten Klasse von Gleichungen zugeordnet sind, und darauf kommen wir später noch zu sprechen.

Lass uns Hausaufgaben schreiben:

kennen die Definitionen von äquivalenten Gleichungen, Folgegleichungen;

die Formulierungen der Sätze 1-4 kennen;

führe analog zum Beweis von Theorem 3 den Beweis der Theoreme 1 und 2 durch;

4) Nr. 139(4,6), 141(2) – finde heraus, ob die Gleichungen äquivalent sind; Gleichungen lösen; .

Notizbucheinträge

Äquivalente Gleichungen. Gleichungsfolge.

Bestimmung 1. Gleichungen und werden als äquivalent bezeichnet, wenn die Mengen ihrer Nullstellen übereinstimmen.

Bestimmung 2. Eine Gleichung heißt Folge einer Gleichung, wenn jede Wurzel der Gleichung eine Wurzel der Gleichung ist. durch einen identischen Ausdruck ersetzt.

Beispiel.löse die Gleichung

Gegeben seien zwei Gleichungen

Wenn jede Wurzel von Gleichung (1) auch eine Wurzel von Gleichung (2) ist, dann wird Gleichung (2) eine Konsequenz von Gleichung (1) genannt. Beachten Sie, dass die Äquivalenz der Gleichungen bedeutet, dass jede der Gleichungen eine Folge der anderen ist.

Beim Lösen einer Gleichung ist es oft notwendig, solche Transformationen anzuwenden, die zu einer Gleichung führen, die eine Folge der ursprünglichen ist. Die Folgegleichung wird durch alle Wurzeln der ursprünglichen Gleichung erfüllt, aber zusätzlich zu ihnen kann die Folgegleichung auch Lösungen haben, die nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind, das sind die sogenannten Fremdwurzeln. Um fremde Wurzeln zu identifizieren und auszusortieren, tun sie normalerweise Folgendes: Alle gefundenen Wurzeln der Konsequenzgleichung werden durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft.

Wenn wir beim Lösen einer Gleichung diese durch eine Folgegleichung ersetzt haben, dann ist die obige Überprüfung ein wesentlicher Bestandteil der Lösung der Gleichung. Daher ist es wichtig zu wissen, unter welchen Transformationen diese Gleichung in die Folgerung eingeht.

Betrachten Sie die Gleichung

und multiplizieren Sie beide Teile mit demselben Ausdruck, der für alle Werte von x sinnvoll ist. Wir bekommen die Gleichung

deren Wurzeln sowohl die Wurzeln von Gleichung (3) als auch die Wurzeln der Gleichung sind. Daher ist Gleichung (4) eine Folge von Gleichung (3). Es ist klar, dass die Gleichungen (3) und (4) äquivalent sind, wenn die "äußere" Gleichung keine Wurzeln hat.

Wenn also beide Teile der Gleichung mit einem Ausdruck multipliziert werden, der für beliebige Werte von x sinnvoll ist, erhalten wir eine Gleichung, die eine Folge der ursprünglichen ist. Die resultierende Gleichung ist äquivalent zum Original, wenn die Gleichung keine Wurzeln hat. Beachten Sie, dass die Rücktransformation, d. h. der Übergang von Gleichung (4) zu Gleichung (3) durch Teilen beider Teile von Gleichung (4) durch den Ausdruck, in der Regel nicht akzeptabel ist, da dies zum Verlust von Lösungen führen kann (in In diesem Fall können sie Wurzeln der Gleichung „verlieren“. Zum Beispiel hat die Gleichung zwei Wurzeln: 3 und 4. Das Teilen beider Teile der Gleichung durch führt zu einer Gleichung, die nur eine Wurzel 4 hat, d. h. die Wurzel war hat verloren.

Nimm wieder Gleichung (3) und quadriere beide Seiten. Wir bekommen die Gleichung

deren Wurzeln sowohl die Wurzeln von Gleichung (3) als auch die Wurzeln der "äußeren" Gleichung sind, d. h. die Gleichung ist eine Folge von Gleichung (3).

Kann zum Auftreten sogenannter Fremdwurzeln führen. In diesem Artikel werden wir zunächst im Detail analysieren, was ist fremde Wurzeln. Lassen Sie uns zweitens über die Gründe für ihr Auftreten sprechen. Und drittens werden wir anhand von Beispielen die wichtigsten Möglichkeiten zum Aussieben von Fremdwurzeln betrachten, dh die Wurzeln auf das Vorhandensein von Fremdwurzeln unter ihnen prüfen, um sie von der Antwort auszuschließen.

Fremde Wurzeln der Gleichung, Definition, Beispiele

Lehrbücher der Algebraschule definieren keine Fremdwurzel. Dort wird die Idee einer fremden Wurzel gebildet, indem die folgende Situation beschrieben wird: Mit Hilfe einiger Transformationen der Gleichung wird der Übergang von der ursprünglichen Gleichung zur Folgegleichung durchgeführt, die Wurzeln der erhaltenen Folgegleichung sind gefunden, und die gefundenen Wurzeln werden durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft, was zeigt, dass einige der gefundenen Wurzeln nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind, diese Wurzeln werden Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung genannt.

Basierend auf dieser Basis können Sie sich die folgende Definition einer fremden Wurzel zu eigen machen:

Definition

fremde Wurzeln sind die Wurzeln der Gleichungsfolge, die als Ergebnis von Transformationen erhalten werden, die nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Nehmen wir ein Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung und das Korollar dieser Gleichung x·(x−1)=0 , erhalten durch Ersetzen des Ausdrucks durch den Ausdruck x·(x−1), der identisch gleich ist. Die ursprüngliche Gleichung hat eine einzelne Wurzel 1 . Die als Ergebnis der Transformation erhaltene Gleichung hat zwei Wurzeln 0 und 1 . 0 ist also eine Fremdwurzel für die ursprüngliche Gleichung.

Ursachen für das mögliche Auftreten fremder Wurzeln

Wenn keine „exotischen“ Transformationen verwendet werden, um die Folgegleichung zu erhalten, sondern nur grundlegende Transformationen von Gleichungen verwendet werden, können Fremdwurzeln nur aus zwei Gründen entstehen:

• aufgrund der Erweiterung des ODZ und
• weil beide Seiten der Gleichung gleich potenziert werden.

Hier sei daran erinnert, dass die Erweiterung der ODZ hauptsächlich durch die Transformation der Gleichung erfolgt

• Bei der Kürzung von Brüchen;
• Beim Ersetzen eines Produkts mit einem oder mehreren Nullfaktoren durch Null;
• Beim Ersetzen von Null durch einen Bruch mit einem Nullzähler;
• Bei der Verwendung einiger Eigenschaften von Potenzen, Wurzeln, Logarithmen;
• Bei der Verwendung einiger trigonometrischer Formeln;
• Wenn beide Teile der Gleichung mit demselben Ausdruck multipliziert werden, verschwindet dieser auf der ODZ für diese Gleichung;
• Wenn beim Lösen der Vorzeichen von Logarithmen losgelassen wird.

Das Beispiel aus dem vorherigen Absatz des Artikels veranschaulicht das Auftreten einer Fremdwurzel aufgrund der Erweiterung der ODZ, die beim Übergang von der Gleichung zur Folgegleichung x·(x−1)=0 stattfindet. Die ODZ für die ursprüngliche Gleichung ist die Menge aller reellen Zahlen außer Null, die ODZ für die resultierende Gleichung ist die Menge R, das heißt, die ODZ wird um die Zahl Null erweitert. Diese Zahl entpuppt sich schließlich als fremde Wurzel.

Wir geben auch ein Beispiel für das Auftreten einer fremden Wurzel aufgrund der Potenzierung beider Teile der Gleichung mit der gleichen geraden Potenz. Die irrationale Gleichung hat eine einzige Wurzel 4, und die Folge dieser Gleichung, die man daraus erhält, indem man beide Teile der Gleichung, also die Gleichung, quadriert , hat zwei Wurzeln 1 und 4 . Daraus ist ersichtlich, dass das Quadrieren beider Seiten der Gleichung zum Auftreten einer fremden Wurzel für die ursprüngliche Gleichung führte.

Beachten Sie, dass die Erweiterung der ODZ und das Anheben beider Teile der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz nicht immer zum Auftreten von Fremdwurzeln führt. Wenn Sie beispielsweise von der Gleichung zur Folgegleichung x = 2 übergehen, erweitert sich die ODZ von der Menge aller nicht negativen Zahlen auf die Menge aller reellen Zahlen, aber irrelevante Wurzeln erscheinen nicht. 2 ist die einzige Wurzel sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung. Außerdem treten beim Übergang von der Gleichung zur Gleichungsfolge keine Fremdwurzeln auf. Die einzige Wurzel sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung ist x=16 . Deshalb sprechen wir nicht über die Ursachen für das Auftreten von Fremdwurzeln, sondern über die Gründe für das mögliche Auftreten von Fremdwurzeln.

Was ist das Aussortieren fremder Wurzeln?

Der Begriff „Eliminierung fremder Wurzeln“ kann nur als etablierter Begriff bezeichnet werden, er findet sich nicht in allen Algebra-Lehrbüchern, ist aber intuitiv, weshalb er meist verwendet wird. Was mit dem Aussieben fremder Wurzeln gemeint ist, wird aus dem folgenden Satz deutlich: „... die Überprüfung ist ein obligatorischer Schritt beim Lösen der Gleichung, der dabei helfen wird, etwaige fremde Wurzeln zu erkennen und zu verwerfen (normalerweise heißt es „aussieben “)” .

Auf diese Weise,

Definition

Fremde Wurzeln ausmerzen ist die Erkennung und Zurückweisung fremder Wurzeln.

Jetzt können Sie mit Möglichkeiten fortfahren, um fremde Wurzeln auszusortieren.

Methoden zum Aussondern von Fremdwurzeln

Substitutionsprüfung

Die Hauptmethode zum Aussortieren von Fremdwurzeln ist eine Substitutionsprüfung. Es ermöglicht Ihnen, fremde Wurzeln auszusortieren, die sowohl aufgrund der Erweiterung der ODZ als auch aufgrund der Anhebung beider Teile der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz entstehen könnten.

Die Substitutionsprüfung läuft wie folgt ab: Die gefundenen Wurzeln der Konsequenzgleichung werden der Reihe nach in die ursprüngliche Gleichung oder in eine ihr äquivalente Gleichung eingesetzt, diejenigen, die die korrekte numerische Gleichheit ergeben, sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und diejenigen, die eine ergeben falsche numerische Gleichheit oder Ausdruck, bedeutungslos sind fremde Wurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Lassen Sie uns ein Beispiel verwenden, um zu zeigen, wie überflüssige Wurzeln durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung ausgesiebt werden.

In manchen Fällen ist das Jäten von Fremdwurzeln auf andere Weise besser geeignet. Dies gilt vor allem für die Fälle, in denen die Substitutionsprüfung mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden ist oder wenn die Standardmethode zur Lösung von Gleichungen eines bestimmten Typs eine andere Prüfung beinhaltet (z unter der Bedingung, dass der Nenner des Bruchs ungleich Null ist ). Lassen Sie uns alternative Wege analysieren, um fremde Wurzeln auszusieben.

Laut ODZ

Im Gegensatz zur Substitutionsprüfung ist das Aussieben von Fremdwurzeln durch ODZ nicht immer sinnvoll. Tatsache ist, dass Sie mit dieser Methode nur Fremdwurzeln herausfiltern können, die durch die Erweiterung der ODZ entstehen, und die Eliminierung von Fremdwurzeln, die aus anderen Gründen entstehen könnten, z. B. durch Anheben beider Teile, nicht garantieren die Gleichung auf die gleiche gerade Potenz. Außerdem ist es nicht immer einfach, die ODZ für die zu lösende Gleichung zu finden. Dennoch sollte das Verfahren zum Aussieben von Fremdwurzeln durch ODZ in Betrieb gehalten werden, da seine Verwendung oft weniger Rechenaufwand erfordert als die Verwendung anderer Verfahren.

Das Sichten von Fremdwurzeln nach ODZ wird wie folgt durchgeführt: Alle gefundenen Wurzeln der Folgegleichung werden auf ihre Zugehörigkeit zum Bereich zulässiger Werte der Variablen für die ursprüngliche Gleichung oder eine dazu äquivalente Gleichung überprüft die zur ODZ gehören, sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und diejenigen von ihnen, die nicht zur ODZ gehören, sind fremde Wurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Eine Analyse der bereitgestellten Informationen führt zu dem Schluss, dass es ratsam ist, Fremdwurzeln gemäß ODZ auszusortieren, wenn gleichzeitig:

• es ist einfach, die ODZ für die ursprüngliche Gleichung zu finden,
• Fremdwurzeln konnten nur durch den Ausbau der ODZ entstehen,
• Die Substitutionsüberprüfung ist mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden.

Wir zeigen, wie das Jäten von Fremdwurzeln in der Praxis abläuft.

Unter den Bedingungen der ODZ

Wie wir im vorherigen Absatz gesagt haben, wenn Fremdwurzeln nur aufgrund der Erweiterung der ODZ entstehen könnten, können sie gemäß der ODZ für die ursprüngliche Gleichung herausgefiltert werden. Aber es ist nicht immer einfach, ODZ in Form eines Zahlensatzes zu finden. In solchen Fällen ist es möglich, Fremdwurzeln nicht nach der ODZ, sondern nach den Bedingungen, die die ODZ bestimmen, auszusortieren. Lassen Sie sich erklären, wie das Screening von Fremdwurzeln nach den Bedingungen der ODZ durchgeführt wird.

Die gefundenen Nullstellen werden ihrerseits in die Bedingungen eingesetzt, die die ODZ für die ursprüngliche Gleichung oder jede ihr äquivalente Gleichung bestimmen. Diejenigen von ihnen, die alle Bedingungen erfüllen, sind die Wurzeln der Gleichung. Und diejenigen von ihnen, die mindestens eine Bedingung nicht erfüllen oder einen Ausdruck geben, der keinen Sinn ergibt, sind irrelevante Wurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Lassen Sie uns ein Beispiel für das Aussieben von Fremdwurzeln gemäß den Bedingungen der ODZ geben.

Heraussieben von überflüssigen Wurzeln, die entstehen, wenn beide Seiten der Gleichung gleich potenziert werden

Es ist klar, dass das Aussortieren von überflüssigen Wurzeln, die durch Erhöhen beider Teile der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz entstehen, durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung oder in jede ihr äquivalente Gleichung erfolgen kann. Eine solche Überprüfung kann jedoch mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden sein. In diesem Fall lohnt es sich, einen alternativen Weg zum Aussortieren fremder Wurzeln zu kennen, über den wir jetzt sprechen werden.

Herausfiltern fremder Wurzeln, die entstehen können, wenn beide Teile irrationaler Gleichungen der Form mit der gleichen geraden Potenz erhoben werden , wobei n eine gerade Zahl ist, gemäß der Bedingung g(x)≥0 durchgeführt werden. Dies folgt aus der Definition einer geraden Wurzel: Eine gerade Wurzel n ist eine nicht negative Zahl, deren n-te Potenz gleich der Wurzelzahl ist, woher . Der stimmhafte Ansatz ist also eine Art Symbiose aus der Methode, beide Gleichungsteile in gleichem Maße anzuheben, und der Methode, irrationale Gleichungen durch Wurzelbestimmung zu lösen. Das heißt, die Gleichung , wobei n eine gerade Zahl ist, wird gelöst, indem beide Teile der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz erhoben werden, und das Aussieben von irrelevanten Wurzeln wird gemäß der Bedingung g(x)≥0 durchgeführt, die aus dem Verfahren zum Lösen irrationaler Gleichungen zur Bestimmung entnommen wurde der Ursprung.

In der Präsentation werden wir weiterhin äquivalente Gleichungen und Theoreme betrachten und detaillierter auf die Phasen der Lösung solcher Gleichungen eingehen.

Erinnern wir uns zunächst an die Bedingung, unter der eine der Gleichungen eine Folge der anderen ist (Folie 1). Der Autor zitiert noch einmal einige Sätze über äquivalente Gleichungen, die früher betrachtet wurden: über die Multiplikation von Teilen einer Gleichung mit demselben Wert h (x); Erhöhen der Teile der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz; Erhalten einer äquivalenten Gleichung aus der Gleichung log a f (x) = log a g (x).

Auf der 5. Folie der Präsentation werden die Hauptphasen hervorgehoben, mit deren Hilfe äquivalente Gleichungen bequem gelöst werden können:

Finden Sie Lösungen für eine äquivalente Gleichung;

Lösungen analysieren;

Überprüfen.

Betrachten Sie Beispiel 1. Es ist notwendig, eine Konsequenz der Gleichung x - 3 = 2 zu finden. Finden Sie die Wurzel der Gleichung x = 5. Schreiben Sie die äquivalente Gleichung (x - 3)(x - 6) = 2(x - 6). ), wobei die Methode der Multiplikation der Teile der Gleichung mit (x - 6) angewendet wird. Wenn wir den Ausdruck auf die Form x 2 - 11x +30 = 0 vereinfachen, finden wir die Wurzeln x 1 = 5, x 2 = 6. Jede Wurzel der Gleichung x - 3 \u003d 2 ist auch eine Lösung der Gleichung x 2 - 11x +30 \u003d 0, dann ist x 2 - 11x +30 \u003d 0 eine Folgegleichung.

Beispiel 2. Finden Sie eine weitere Konsequenz der Gleichung x - 3 = 2. Um eine äquivalente Gleichung zu erhalten, verwenden wir die Methode des Potenzierens mit einer geraden Potenz. Um den resultierenden Ausdruck zu vereinfachen, schreiben wir x 2 - 6x +5 = 0. Finden Sie die Wurzeln der Gleichung x 1 = 5, x 2 = 1. x \u003d 5 (die Wurzel der Gleichung x - 3 \u003d 2) ist auch eine Lösung der Gleichung x 2 - 6x +5 \u003d 0, dann ist auch die Gleichung x 2 - 6x +5 \u003d 0 eine Folge Gleichung.

Beispiel 3. Es ist notwendig, eine Konsequenz der Gleichung log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 zu finden.

Ersetzen wir in der Gleichung 1 = log 3 3. Dann wenden wir die Aussage aus Satz 6 an und schreiben die äquivalente Gleichung (x + 1)(x +3) = 3. Vereinfachen wir den Ausdruck, erhalten wir x 2 + 4x = 0, wobei die Wurzeln x 1 = 0, x 2 = - 4 sind. Die Gleichung x 2 + 4x = 0 ist also eine Konsequenz für die gegebene Gleichung log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

Wir können also schlussfolgern: Wenn der Definitionsbereich der Gleichung erweitert wird, erhält man eine Gleichungskonsequenz. Wir greifen die Standardaktionen beim Finden der Gleichungsfolge heraus:

Die Nenner loswerden, die die Variable enthalten;

Erhöhen der Teile der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz;

Befreiung von logarithmischen Zeichen.

Es ist jedoch wichtig, sich daran zu erinnern: Wenn der Definitionsbereich der Gleichung während der Lösung erweitert wird, müssen alle gefundenen Wurzeln überprüft werden - ob sie in die ODZ fallen.

Beispiel 4. Lösen Sie die auf Folie 12 dargestellte Gleichung. Finden Sie zuerst die Wurzeln der äquivalenten Gleichung x 1 \u003d 5, x 2 \u003d - 2 (erste Stufe). Es ist unbedingt erforderlich, die Wurzeln zu überprüfen (zweite Stufe). Überprüfen der Wurzeln (dritte Stufe): x 1 \u003d 5 gehört nicht zum Bereich der zulässigen Werte der angegebenen Gleichung, daher hat die Gleichung nur eine Lösung x \u003d - 2.

In Beispiel 5 ist die gefundene Wurzel der äquivalenten Gleichung nicht in der ODZ der gegebenen Gleichung enthalten. In Beispiel 6 ist der Wert einer der beiden gefundenen Wurzeln nicht definiert, also ist diese Wurzel keine Lösung der ursprünglichen Gleichung.