Farafonova Natalia Igorevna

Gegenstand: Unvollständige quadratische Gleichungen.

Unterrichtsziele:- Führen Sie das Konzept einer unvollständigen quadratischen Gleichung ein;

Erfahren Sie, wie Sie unvollständige quadratische Gleichungen lösen.

Unterrichtsziele:- Die Form einer quadratischen Gleichung bestimmen können;

Lösen Sie unvollständige quadratische Gleichungen.

Webbuch: Algebra: Proc. für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov und andere - M .: Bildung, 2010.

Während des Unterrichts.

1. Erinnern Sie die Schüler daran, dass es vor dem Lösen einer quadratischen Gleichung notwendig ist, sie in eine Standardform zu bringen. Denken Sie an die Definition vollständige quadratische Gleichung:ax2+bx +c = 0,a ≠ 0.

Benennen Sie in diesen quadratischen Gleichungen die Koeffizienten a, b, c:

a) 2x 2 - x + 3 = 0; b) x 2 + 4 x - 1 = 0; c) x 2 - 4 \u003d 0; d) 5x 2 + 3x = 0.

2. Geben Sie eine Definition einer unvollständigen quadratischen Gleichung an:

Die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 wird aufgerufen unvollständig, wenn mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich 0 ist. Achten Sie darauf, dass der Koeffizient a ≠ 0 ist. Wählen Sie aus den oben aufgeführten Gleichungen unvollständige quadratische Gleichungen aus.

3. Es ist bequemer, die Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen mit Lösungsbeispielen in Form einer Tabelle darzustellen:

1. Bestimmen Sie, ohne zu lösen, die Anzahl der Wurzeln für jede unvollständige quadratische Gleichung:

a) 2x 2 - 3 = 0; b) 3 x 2 + 4 = 0; c) 5x 2 - x \u003d 0; d) 0,6 x 2 = 0; e) -8x 2 - 4 = 0.

1. Unvollständige quadratische Gleichungen lösen (Lösung von Gleichungen, mit Kreuz an der Tafel, 2 Möglichkeiten):

c) 2x 2 + 15 = 0

d) 3x 2 + 2x = 0

e) 2x 2 - 16 = 0

f) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)

g) (x + 1) 2 - 4 = 0

c) 2x 2 + 7 = 0

d) x 2 + 9x = 0

e) 81x 2 - 64 = 0

f) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)

g) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. Eigenständiges Arbeiten an Optionen:

1 Möglichkeit

a) 3x 2 - 12 = 0

b) 2x 2 + 6x = 0

e) 7x 2 - 14 = 0

Option 2

b) 6x 2 + 24 = 0

c) 9y 2 - 4 = 0

d) -y2 + 5 = 0

e) 1 - 4y 2 = 0

f) 8y 2 + y = 0

3 Möglichkeit

a) 6y - y2 = 0

b) 0,1y 2 - 0,5y = 0

c) (x + 1) (x -2) = 0

d) x(x + 0,5) = 0

e) x 2 - 2x = 0

f) x 2 - 16 = 0

4 Möglichkeit

a) 9x 2 - 1 = 0

b) 3x - 2x 2 = 0

d) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

e) 3x 2 + 7 = 12x + 7

5 Möglichkeit

a) 2x 2 - 18 = 0

b) 3x 2 - 12x = 0

d) x 2 + 16 = 0

e) 6x 2 - 18 = 0

f) x 2 - 5x = 0

6 Möglichkeit

b) 4x 2 + 36 = 0

c) 25 Jahre 2 - 1 = 0

d) -y2 + 2 = 0

e) 9 - 16 Jahre 2 = 0

f) 7y 2 + y = 0

7 Möglichkeit

a) 4y - y2 = 0

b) 0,2y2 - y = 0

c) (x + 2)(x - 1) = 0

d) (x - 0,3)x = 0

e) x 2 + 4 x = 0

f) x 2 - 36 = 0

8 Möglichkeit

a) 16x 2 - 1 = 0

b) 4x - 5x 2 = 0

d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

e) 5x 2 - 6 = 15x - 6

Antworten für selbstständiges Arbeiten:

Möglichkeit 1: a) 2, b) 0, -3; c) 0; d) es gibt keine Wurzeln; e);

Möglichkeit 2 a) 0; b) Wurzeln; in); G); e); f)0;-;

3 Möglichkeit a) 0, 6; b) 0;5; c) -1;2; d) 0;-0,5; e) 0;2; f)4

4 Möglichkeit a); b) 0, 1,5; c) 0;3; d) 3; e)0;4 e)5

5 Möglichkeit a)3; b) 0;4; c) 0; d) es gibt keine Wurzeln; e) f) 0; 5

6 Möglichkeit a) 0; b) es gibt keine Wurzeln; c) d) e) f) 0;-

7 Möglichkeit a) 0, 4; b) 0;5; c) -2;1; d) 0;0,03; e) 0;-4; f)6

8 Möglichkeit a) b) 0; c) 0;7; d) 4; e) 0;3; e)

Zusammenfassung der Lektion: Das Konzept der "unvollständigen quadratischen Gleichung" wird formuliert; Wege zur Lösung verschiedener Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen werden aufgezeigt. Im Laufe der Bearbeitung verschiedener Aufgaben wurden die Fähigkeiten zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen erarbeitet.

7. Hausaufgaben: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Zusatzaufgabe:

Für welche Werte von a ist die Gleichung eine unvollständige quadratische Gleichung? Lösen Sie die Gleichung für die erhaltenen Werte von a:

a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

b) (a - 2)x 2 + Axt \u003d 4 - a 2 \u003d 0

Aufgaben für eine quadratische Gleichung werden sowohl im Schullehrplan als auch an Universitäten untersucht. Sie werden als Gleichungen der Form a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 verstanden, wobei x- variabel, a,b,c – Konstanten; a<>0 . Das Problem besteht darin, die Wurzeln der Gleichung zu finden.

Die geometrische Bedeutung der quadratischen Gleichung

Der Graph einer Funktion, die durch eine quadratische Gleichung dargestellt wird, ist eine Parabel. Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Daraus folgt, dass es drei mögliche Fälle gibt:
1) Die Parabel hat keine Schnittpunkte mit der x-Achse. Dies bedeutet, dass es sich in der oberen Ebene mit Ästen nach oben oder in der unteren Ebene mit Ästen nach unten befindet. In solchen Fällen hat die quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln (sie hat zwei komplexe Wurzeln).

2) die Parabel hat einen Schnittpunkt mit der Achse Ox. Ein solcher Punkt wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet, und die darin enthaltene quadratische Gleichung erhält ihren minimalen oder maximalen Wert. In diesem Fall hat die quadratische Gleichung eine reelle Wurzel (oder zwei identische Wurzeln).

3) Der letzte Fall ist in der Praxis interessanter - es gibt zwei Schnittpunkte der Parabel mit der Abszissenachse. Dies bedeutet, dass es zwei reelle Wurzeln der Gleichung gibt.

Basierend auf der Analyse der Koeffizienten bei den Potenzen der Variablen können interessante Rückschlüsse auf die Platzierung der Parabel gezogen werden.

1) Wenn der Koeffizient a größer als Null ist, dann ist die Parabel nach oben gerichtet, wenn er negativ ist, sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet.

2) Ist der Koeffizient b größer Null, so liegt der Scheitelpunkt der Parabel in der linken Halbebene, nimmt er einen negativen Wert an, dann in der rechten.

Ableitung einer Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung

Übertragen wir die Konstante aus der quadratischen Gleichung

für das Gleichheitszeichen erhalten wir den Ausdruck

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 4a

Um ein volles Quadrat auf der linken Seite zu erhalten, fügen Sie in beiden Teilen b ^ 2 hinzu und führen Sie die Transformation durch

Ab hier finden wir

Formel der Diskriminante und Wurzeln der quadratischen Gleichung

Die Diskriminante stellt den Wert des Wurzelausdrucks dar. Wenn sie positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln, die von der Formel berechnet werden Wenn die Diskriminante Null ist, hat die quadratische Gleichung eine Lösung (zwei übereinstimmende Wurzeln), die leicht aus der obigen Formel für D = 0 zu erhalten sind.Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine echten Wurzeln. Um jedoch die Lösungen der quadratischen Gleichung in der komplexen Ebene zu untersuchen, wird ihr Wert durch die Formel berechnet

Satz von Vieta

Betrachten Sie zwei Wurzeln einer quadratischen Gleichung und konstruieren Sie auf ihrer Basis eine quadratische Gleichung.Der Vieta-Satz selbst folgt leicht aus der Notation: wenn wir eine quadratische Gleichung der Form haben dann ist die Summe ihrer Wurzeln gleich dem Koeffizienten p, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist gleich dem freien Term q. Die obige Formel sieht folgendermaßen aus: Wenn die Konstante a in der klassischen Gleichung nicht Null ist, müssen Sie die gesamte Gleichung durch sie dividieren und dann das Vieta-Theorem anwenden.

Zeitplan der quadratischen Gleichung auf Faktoren

Die Aufgabe sei gestellt: die quadratische Gleichung in Faktoren zu zerlegen. Um es auszuführen, lösen wir zuerst die Gleichung (finden Sie die Wurzeln). Als nächstes setzen wir die gefundenen Wurzeln in die Erweiterungsformel für die quadratische Gleichung ein.Dieses Problem wird gelöst.

Aufgaben zu einer quadratischen Gleichung

Aufgabe 1. Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

x^2-26x+120=0 .

Lösung: Schreibe die Koeffizienten auf und setze sie in die Diskriminanzformel ein

Die Wurzel dieses Werts ist 14, es ist leicht, sie mit einem Taschenrechner zu finden oder sich bei häufiger Verwendung daran zu erinnern. Der Einfachheit halber gebe ich Ihnen jedoch am Ende des Artikels eine Liste von Zahlenquadraten, die häufig vorkommen können finden sich in solchen Aufgaben.
Der gefundene Wert wird in die Wurzelformel eingesetzt

und wir bekommen

Aufgabe 2. löse die Gleichung

2x2+x-3=0.

Lösung: Wir haben eine vollständige quadratische Gleichung, schreiben die Koeffizienten aus und finden die Diskriminante


Unter Verwendung bekannter Formeln finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung

Aufgabe 3. löse die Gleichung

9x2 -12x+4=0.

Lösung: Wir haben eine vollständige quadratische Gleichung. Bestimmen Sie die Diskriminante

Wir haben den Fall, wenn die Wurzeln zusammenfallen. Wir finden die Werte der Wurzeln durch die Formel

Aufgabe 4. löse die Gleichung

x^2+x-6=0 .

Lösung: Bei kleinen Koeffizienten für x empfiehlt sich die Anwendung des Vieta-Theorems. Durch seine Bedingung erhalten wir zwei Gleichungen

Aus der zweiten Bedingung erhalten wir, dass das Produkt gleich -6 sein muss. Dies bedeutet, dass eine der Wurzeln negativ ist. Wir haben das folgende mögliche Lösungspaar (-3;2), (3;-2) . Unter Berücksichtigung der ersten Bedingung verwerfen wir das zweite Lösungspaar.
Die Wurzeln der Gleichung sind

Aufgabe 5. Finden Sie die Seitenlängen eines Rechtecks, wenn sein Umfang 18 cm und seine Fläche 77 cm 2 beträgt.

Lösung: Der halbe Umfang eines Rechtecks ​​ist gleich der Summe der angrenzenden Seiten. Lassen Sie uns x bezeichnen - die größere Seite, dann ist 18-x ihre kleinere Seite. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt dieser Längen:
x(18x)=77;
oder
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Finde die Diskriminante der Gleichung

Wir berechnen die Wurzeln der Gleichung

Wenn ein x=11, dann 18x=7 , umgekehrt gilt auch (wenn x=7, dann 21-x=9).

Aufgabe 6. Faktorisiere die quadratische 10x 2 -11x+3=0 Gleichung.

Lösung: Berechnen Sie die Wurzeln der Gleichung, dazu finden wir die Diskriminante

Wir setzen den gefundenen Wert in die Formel der Wurzeln ein und berechnen

Wir wenden die Formel zum Erweitern der quadratischen Gleichung nach Wurzeln an

Wenn wir die Klammern erweitern, erhalten wir die Identität.

Quadratische Gleichung mit Parameter

Beispiel 1. Für welche Werte des Parameters a , hat die Gleichung (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 eine Wurzel?

Lösung: Durch direkte Substitution des Wertes a=3 sehen wir, dass es keine Lösung gibt. Außerdem werden wir die Tatsache verwenden, dass die Gleichung mit einer Null-Diskriminante eine Wurzel der Multiplizität 2 hat. Lassen Sie uns die Diskriminante ausschreiben

vereinfache es und gleich Null

Wir haben eine quadratische Gleichung bezüglich des Parameters a erhalten, deren Lösung leicht unter Verwendung des Vieta-Theorems zu erhalten ist. Die Summe der Wurzeln ist 7 und ihr Produkt ist 12. Durch einfaches Aufzählen stellen wir fest, dass die Zahlen 3,4 die Wurzeln der Gleichung sind. Da wir die Lösung a=3 bereits zu Beginn der Berechnungen verworfen haben, wird die einzig richtige sein - a=4. Somit hat die Gleichung für a = 4 eine Wurzel.

Beispiel 2. Für welche Werte des Parameters a , Die gleichung a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 hat mehr als eine Wurzel?

Lösung: Betrachten Sie zuerst die singulären Punkte, das sind die Werte a=0 und a=-3. Wenn a=0, wird die Gleichung zu der Form 6x-9=0 vereinfacht; x=3/2 und es wird eine Wurzel geben. Für a= -3 erhalten wir die Identität 0=0 .
Berechne die Diskriminante

und finden Sie die Werte von a, für die es positiv ist

Aus der ersten Bedingung erhalten wir a>3. Für die zweite finden wir die Diskriminante und die Wurzeln der Gleichung


Lassen Sie uns die Intervalle definieren, in denen die Funktion positive Werte annimmt. Durch Einsetzen des Punktes a=0 erhalten wir 3>0 . Außerhalb des Intervalls (-3; 1/3) ist die Funktion also negativ. Punkt nicht vergessen a=0 was ausgeschlossen werden sollte, da die ursprüngliche Gleichung eine Wurzel darin hat.
Als Ergebnis erhalten wir zwei Intervalle, die die Bedingung des Problems erfüllen

In der Praxis wird es viele ähnliche Aufgaben geben, versuchen Sie die Aufgaben selbst zu bewältigen und vergessen Sie nicht, Bedingungen zu berücksichtigen, die sich gegenseitig ausschließen. Studieren Sie gut die Formeln zum Lösen quadratischer Gleichungen, sie werden häufig in Berechnungen in verschiedenen Problemen und Wissenschaften benötigt.

Erste Ebene

Quadratische Gleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

Im Begriff "quadratische Gleichung" ist das Schlüsselwort "quadratisch". Das bedeutet, dass die Gleichung unbedingt eine Variable (dasselbe X) im Quadrat enthalten muss, und gleichzeitig sollte es keine Xs dritten (oder höheren) Grades geben.

Die Lösung vieler Gleichungen wird auf die Lösung quadratischer Gleichungen reduziert.

Lassen Sie uns lernen festzustellen, dass wir eine quadratische Gleichung haben und keine andere.

Beispiel 1

Werde den Nenner los und multipliziere jeden Term der Gleichung mit

Lassen Sie uns alles auf die linke Seite verschieben und die Terme in absteigender Reihenfolge der Potenzen von x anordnen

Jetzt können wir mit Zuversicht sagen, dass diese Gleichung quadratisch ist!

Beispiel 2

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Diese Gleichung ist, obwohl sie ursprünglich darin enthalten war, kein Quadrat!

Beispiel 3

Multiplizieren wir alles mit:

Unheimlich? Der vierte und zweite Grad ... Wenn wir jedoch eine Ersetzung vornehmen, werden wir sehen, dass wir eine einfache quadratische Gleichung haben:

Beispiel 4

Es scheint so zu sein, aber lasst uns einen genaueren Blick darauf werfen. Lassen Sie uns alles auf die linke Seite verschieben:

Sie sehen, es ist geschrumpft – und jetzt ist es eine einfache lineare Gleichung!

Versuchen Sie nun selbst zu bestimmen, welche der folgenden Gleichungen quadratisch sind und welche nicht:

Beispiele:

Antworten:

1. Quadrat;
2. Quadrat;
3. nicht quadratisch;
4. nicht quadratisch;
5. nicht quadratisch;
6. Quadrat;
7. nicht quadratisch;
8. Quadrat.

Mathematiker unterteilen alle quadratischen Gleichungen bedingt in die folgenden Typen:

• Vervollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, bei denen die Koeffizienten und sowie der freie Term c ungleich Null sind (wie im Beispiel). Darüber hinaus gibt es unter den vollständigen quadratischen Gleichungen gegeben sind Gleichungen, bei denen der Koeffizient (die Gleichung aus Beispiel eins ist nicht nur vollständig, sondern auch reduziert!)

• Unvollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, in denen der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

  Sie sind unvollständig, weil ihnen ein Element fehlt. Aber die Gleichung muss immer x zum Quadrat enthalten !!! Sonst ist es keine quadratische Gleichung mehr, sondern eine andere Gleichung.

Warum haben sie sich eine solche Aufteilung ausgedacht? Es scheint, dass es ein X im Quadrat gibt, und okay. Eine solche Aufteilung ist auf die Lösungsmethoden zurückzuführen. Betrachten wir jeden von ihnen genauer.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Konzentrieren wir uns zunächst auf das Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen - sie sind viel einfacher!

Unvollständige quadratische Gleichungen sind von folgenden Typen:

1. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.
2. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.
3. , in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

1. ich. Da wir wissen, wie man die Quadratwurzel zieht, lassen Sie uns diese Gleichung ausdrücken

Der Ausdruck kann entweder negativ oder positiv sein. Eine quadrierte Zahl kann nicht negativ sein, denn wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen multipliziert, wird das Ergebnis immer eine positive Zahl sein, also: wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen.

Und wenn, dann bekommen wir zwei Wurzeln. Diese Formeln müssen nicht auswendig gelernt werden. Die Hauptsache ist, dass Sie immer wissen und sich daran erinnern sollten, dass es nicht weniger sein kann.

Versuchen wir, einige Beispiele zu lösen.

Beispiel 5:

Löse die Gleichung

Jetzt bleibt es, die Wurzel aus dem linken und rechten Teil zu extrahieren. Erinnerst du dich schließlich, wie man die Wurzeln extrahiert?

Antworten:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit einem negativen Vorzeichen!!!

Beispiel 6:

Löse die Gleichung

Antworten:

Beispiel 7:

Löse die Gleichung

Autsch! Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

Keine Wurzeln!

Für solche Gleichungen, in denen es keine Wurzeln gibt, haben Mathematiker ein spezielles Symbol entwickelt - (leere Menge). Und die Antwort kann so geschrieben werden:

Antworten:

Somit hat diese quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Hier gibt es keine Einschränkungen, da wir die Wurzel nicht extrahiert haben.
Beispiel 8:

Löse die Gleichung

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:

Auf diese Weise,

Diese Gleichung hat zwei Wurzeln.

Antworten:

Die einfachste Art unvollständiger quadratischer Gleichungen (obwohl sie alle einfach sind, oder?). Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Hier verzichten wir auf Beispiele.

Komplette quadratische Gleichungen lösen

Wir erinnern Sie daran, dass die vollständige quadratische Gleichung eine Gleichung der Formgleichung wo ist

Das Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen ist ein bisschen komplizierter (nur ein bisschen) als die angegebenen.

Erinnern, jede quadratische Gleichung kann mit der Diskriminante gelöst werden! Sogar unvollständig.

Die restlichen Methoden werden dir helfen, es schneller zu machen, aber wenn du Probleme mit quadratischen Gleichungen hast, meistere zuerst die Lösung mit der Diskriminante.

1. Lösen quadratischer Gleichungen mit der Diskriminante.

Das Lösen quadratischer Gleichungen auf diese Weise ist sehr einfach. Die Hauptsache ist, sich an die Abfolge der Aktionen und einige Formeln zu erinnern.

Wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel Besondere Aufmerksamkeit sollte dem Schritt geschenkt werden. Die Diskriminante () gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

• Wenn, dann wird die Formel im Schritt reduziert auf. Somit hat die Gleichung nur eine Wurzel.
• Wenn, dann können wir die Wurzel der Diskriminante im Schritt nicht ziehen. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Gehen wir zurück zu unseren Gleichungen und schauen uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 9:

Löse die Gleichung

Schritt 1überspringen.

Schritt 2

Diskriminante finden:

Die Gleichung hat also zwei Wurzeln.

Schritt 3

Antworten:

Beispiel 10:

Löse die Gleichung

Die Gleichung ist in Standardform, also Schritt 1überspringen.

Schritt 2

Diskriminante finden:

Die Gleichung hat also eine Wurzel.

Antworten:

Beispiel 11:

Löse die Gleichung

Die Gleichung ist in Standardform, also Schritt 1überspringen.

Schritt 2

Diskriminante finden:

Dies bedeutet, dass wir nicht in der Lage sein werden, die Wurzel aus der Diskriminante zu ziehen. Es gibt keine Wurzeln der Gleichung.

Jetzt wissen wir, wie man solche Antworten richtig aufschreibt.

Antworten: Keine Wurzeln

2. Lösung quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Wenn Sie sich erinnern, gibt es eine solche Art von Gleichungen, die als reduziert bezeichnet werden (wenn der Koeffizient a gleich ist):

Solche Gleichungen lassen sich sehr einfach mit dem Satz von Vieta lösen:

Die Summe der Wurzeln gegeben quadratische Gleichung ist gleich, und das Produkt der Wurzeln ist gleich.

Beispiel 12:

Löse die Gleichung

Diese Gleichung ist zur Lösung mit dem Satz von Vieta geeignet, weil .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist, d.h. Wir erhalten die erste Gleichung:

Und das Produkt ist:

Lassen Sie uns das System erstellen und lösen:

• und. Die Summe ist;
• und. Die Summe ist;
• und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Antworten: ; .

Beispiel 13:

Löse die Gleichung

Antworten:

Beispiel 14:

Löse die Gleichung

Die Gleichung wird reduziert, was bedeutet:

Antworten:

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. MITTELSTUFE

Was ist eine quadratische Gleichung?

Mit anderen Worten, eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form, wobei - unbekannt, - einige Zahlen, außerdem.

Die Zahl heißt die höchste oder erster Koeffizient quadratische Gleichung, - zweiter Koeffizient, a - Freies Mitglied.

Wieso den? Denn wenn, wird die Gleichung sofort linear, weil wird verschwinden.

In diesem Fall kann und gleich Null sein. Dabei wird die Stuhlgleichung als unvollständig bezeichnet. Wenn alle Terme vorhanden sind, ist die Gleichung vollständig.

Lösungen für verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen

Methoden zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen:

Zunächst analysieren wir die Methoden zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen - sie sind einfacher.

Folgende Arten von Gleichungen können unterschieden werden:

I. , in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

II. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.

III. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.

Betrachten Sie nun die Lösung für jeden dieser Untertypen.

Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Eine Zahl zum Quadrat kann nicht negativ sein, denn die Multiplikation zweier negativer oder zweier positiver Zahlen ergibt immer eine positive Zahl. So:

wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen;

wenn wir zwei Wurzeln haben

Diese Formeln müssen nicht auswendig gelernt werden. Die Hauptsache, an die Sie sich erinnern sollten, ist, dass es nicht weniger sein kann.

Beispiele:

Lösungen:

Antworten:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit einem negativen Vorzeichen!

Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

Keine Wurzeln.

Um kurz zu schreiben, dass das Problem keine Lösungen hat, verwenden wir das leere Set-Icon.

Antworten:

Diese Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Antworten:

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Das bedeutet, dass die Gleichung eine Lösung hat, wenn:

Diese quadratische Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Beispiel:

Löse die Gleichung.

Entscheidung:

Wir faktorisieren die linke Seite der Gleichung und finden die Wurzeln:

Antworten:

Methoden zum Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen:

1. Diskriminant

Das Lösen quadratischer Gleichungen auf diese Weise ist einfach. Die Hauptsache ist, sich an die Abfolge der Aktionen und einige Formeln zu erinnern. Denken Sie daran, dass jede quadratische Gleichung mit der Diskriminante gelöst werden kann! Sogar unvollständig.

Hast du die Wurzel der Diskriminante in der Wurzelformel bemerkt? Aber die Diskriminante kann negativ sein. Was zu tun ist? Wir müssen besonders auf Schritt 2 achten. Die Diskriminante gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

• Wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel:
• Wenn, dann hat die Gleichung dieselbe Wurzel, aber tatsächlich eine Wurzel:

  Solche Wurzeln nennt man Doppelwurzeln.

• Wenn, dann wird die Wurzel der Diskriminante nicht gezogen. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Warum gibt es eine unterschiedliche Anzahl von Wurzeln? Wenden wir uns der geometrischen Bedeutung der quadratischen Gleichung zu. Der Graph der Funktion ist eine Parabel:

In einem speziellen Fall, der eine quadratische Gleichung ist, . Und das bedeutet, dass die Wurzeln der quadratischen Gleichung die Schnittpunkte mit der x-Achse (Achse) sind. Die Parabel kann die Achse überhaupt nicht kreuzen, oder sie kann sie an einem (wenn die Spitze der Parabel auf der Achse liegt) oder zwei Punkten schneiden.

Außerdem ist der Koeffizient für die Richtung der Äste der Parabel verantwortlich. Wenn, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet und wenn - dann nach unten.

Beispiele:

Lösungen:

Antworten:

Antworten: .

Antworten:

Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Antworten: .

2. Satz von Vieta

Die Verwendung des Vieta-Theorems ist sehr einfach: Sie müssen nur ein Zahlenpaar auswählen, dessen Produkt gleich dem freien Term der Gleichung ist, und die Summe ist gleich dem zweiten Koeffizienten, der mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen wird.

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass der Satz von Vieta nur auf angewendet werden kann gegebenen quadratischen Gleichungen ().

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel 1:

Löse die Gleichung.

Entscheidung:

Diese Gleichung ist zur Lösung mit dem Satz von Vieta geeignet, weil . Andere Koeffizienten: ; .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist:

Und das Produkt ist:

Lassen Sie uns solche Zahlenpaare auswählen, deren Produkt gleich ist, und prüfen, ob ihre Summe gleich ist:

• und. Die Summe ist;
• und. Die Summe ist;
• und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Somit sind und die Wurzeln unserer Gleichung.

Antworten: ; .

Beispiel #2:

Entscheidung:

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben, und prüfen dann, ob ihre Summe gleich ist:

und: insgesamt geben.

und: insgesamt geben. Um es zu bekommen, müssen Sie nur die Vorzeichen der angeblichen Wurzeln ändern: und schließlich das Produkt.

Antworten:

Beispiel #3:

Entscheidung:

Der freie Term der Gleichung ist negativ, und daher ist das Produkt der Wurzeln eine negative Zahl. Dies ist nur möglich, wenn eine der Wurzeln negativ und die andere positiv ist. Also ist die Summe der Wurzeln Unterschiede ihrer Module.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben und deren Differenz gleich ist:

und: ihr Unterschied ist - nicht geeignet;

und: - nicht geeignet;

und: - nicht geeignet;

und: - geeignet. Es bleibt nur zu bedenken, dass eine der Wurzeln negativ ist. Da ihre Summe gleich sein muss, muss die betragsmäßig kleinere Wurzel negativ sein: . Wir überprüfen:

Antworten:

Beispiel #4:

Löse die Gleichung.

Entscheidung:

Die Gleichung wird reduziert, was bedeutet:

Der freie Term ist negativ, und daher ist das Produkt der Wurzeln negativ. Und das ist nur möglich, wenn eine Wurzel der Gleichung negativ und die andere positiv ist.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist, und bestimmen dann, welche Wurzeln ein negatives Vorzeichen haben sollen:

Offensichtlich sind nur Wurzeln und für die erste Bedingung geeignet:

Antworten:

Beispiel #5:

Löse die Gleichung.

Entscheidung:

Die Gleichung wird reduziert, was bedeutet:

Die Summe der Wurzeln ist negativ, was bedeutet, dass mindestens eine der Wurzeln negativ ist. Aber da ihr Produkt positiv ist, bedeutet dies, dass beide Wurzeln minus sind.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist:

Offensichtlich sind die Wurzeln die Zahlen und.

Antworten:

Stimmen Sie zu, es ist sehr praktisch, Wurzeln mündlich zu erfinden, anstatt diese unangenehme Diskriminante zu zählen. Versuchen Sie, den Satz von Vieta so oft wie möglich anzuwenden.

Aber das Vieta-Theorem wird benötigt, um das Finden der Wurzeln zu erleichtern und zu beschleunigen. Um es für Sie rentabel zu machen, müssen Sie die Aktionen zum Automatismus bringen. Und lösen Sie dazu fünf weitere Beispiele. Aber schummeln Sie nicht: Sie können die Diskriminante nicht verwenden! Nur Satz von Vieta:

Lösungen für Aufgaben zum selbstständigen Arbeiten:

Aufgabe 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Nach dem Satz von Vieta:

Wie gewohnt beginnen wir die Auswahl mit dem Produkt:

Nicht geeignet wegen der Menge;

: Die Menge ist, was Sie brauchen.

Antworten: ; .

Aufgabe 2.

Und wieder unser Lieblingssatz von Vieta: Die Summe sollte stimmen, aber das Produkt ist gleich.

Aber da es nicht sein sollte, aber, ändern wir die Vorzeichen der Wurzeln: und (insgesamt).

Antworten: ; .

Aufgabe 3.

Hm... Wo ist es?

Es ist notwendig, alle Begriffe in einen Teil zu überführen:

Die Summe der Wurzeln ist gleich dem Produkt.

Ja, halt! Die Gleichung ist nicht gegeben. Aber der Satz von Vieta ist nur in den gegebenen Gleichungen anwendbar. Also musst du zuerst die Gleichung bringen. Wenn Sie es nicht aufbringen können, lassen Sie diese Idee fallen und lösen Sie sie auf andere Weise (z. B. durch die Diskriminante). Ich möchte Sie daran erinnern, dass das Aufbringen einer quadratischen Gleichung bedeutet, den führenden Koeffizienten gleich zu machen:

Bußgeld. Dann ist die Summe der Wurzeln gleich und das Produkt.

Hier ist es einfacher zu verstehen: Immerhin - eine Primzahl (sorry für die Tautologie).

Antworten: ; .

Aufgabe 4.

Die freie Laufzeit ist negativ. Was ist daran so besonders? Und die Tatsache, dass die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen haben werden. Und jetzt prüfen wir bei der Auswahl nicht die Summe der Wurzeln, sondern die Differenz zwischen ihren Modulen: Diese Differenz ist gleich, aber das Produkt.

Die Wurzeln sind also gleich und, aber eine davon hat ein Minus. Der Satz von Vieta sagt uns, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit dem entgegengesetzten Vorzeichen ist, das heißt. Dies bedeutet, dass die kleinere Wurzel ein Minus hat: und, seit.

Antworten: ; .

Aufgabe 5.

Was muss zuerst getan werden? Das ist richtig, geben Sie die Gleichung an:

Nochmals: Wir wählen die Faktoren der Zahl aus, und ihre Differenz sollte gleich sein:

Die Wurzeln sind gleich und, aber eine von ihnen ist minus. Welche? Ihre Summe muss gleich sein, was bedeutet, dass bei einem Minus eine größere Wurzel entsteht.

Antworten: ; .

Lassen Sie mich zusammenfassen:

1. Der Satz von Vieta wird nur in den gegebenen quadratischen Gleichungen verwendet.
2. Unter Verwendung des Vieta-Theorems können Sie die Wurzeln mündlich durch Auswahl finden.
3. Wenn die Gleichung nicht gegeben ist oder kein passendes Faktorenpaar des freien Terms gefunden wurde, dann gibt es keine ganzzahligen Wurzeln und Sie müssen sie auf andere Weise lösen (z. B. durch die Diskriminante).

3. Vollquadrat-Auswahlmethode

Wenn alle Terme, die die Unbekannte enthalten, als Terme aus den Formeln der abgekürzten Multiplikation - dem Quadrat der Summe oder Differenz - dargestellt werden, ist es nach der Änderung der Variablen möglich, die Gleichung in Form einer unvollständigen quadratischen Gleichung des Typs darzustellen .

Zum Beispiel:

Beispiel 1:

Löse die Gleichung: .

Entscheidung:

Antworten:

Beispiel 2:

Löse die Gleichung: .

Entscheidung:

Antworten:

Im Allgemeinen sieht die Transformation wie folgt aus:

Dies impliziert: .

Erinnert es dich an nichts? Es ist die Diskriminante! Genau so wurde die Diskriminanzformel erhalten.

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form, wobei die Unbekannte ist, sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung, ist der freie Term.

Vervollständige die quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der die Koeffizienten ungleich Null sind.

Reduzierte quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient, also: .

Unvollständige quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

• wenn der Koeffizient, hat die Gleichung die Form: ,
• wenn es sich um einen freien Term handelt, hat die Gleichung die Form: ,
• wenn und hat die Gleichung die Form: .

1. Algorithmus zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen

1.1. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Unbekanntes ausdrücken: ,

2) Überprüfen Sie das Vorzeichen des Ausdrucks:

• wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen,
• wenn, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

1.2. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Nehmen wir den gemeinsamen Teiler aus Klammern: ,

2) Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Daher hat die Gleichung zwei Wurzeln:

1.3. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

Diese Gleichung hat immer nur eine Wurzel: .

2. Algorithmus zum Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen der Form wo

2.1. Lösung mit der Diskriminante

1) Bringen wir die Gleichung auf die Standardform: ,

2) Berechnen Sie die Diskriminante mit der Formel: , die die Anzahl der Wurzeln der Gleichung angibt:

3) Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:

• wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird:
• wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird:
• wenn, dann hat die Gleichung keine Wurzeln.

2.2. Lösung mit dem Satz von Vieta

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung (eine Gleichung der Form, wo) ist gleich, und das Produkt der Wurzeln ist gleich, d.h. , a.

2.3. Vollständig quadratische Lösung

Quadratische Gleichungen werden zur Lösung vieler Probleme verwendet. Ein erheblicher Teil der Probleme, die mit Hilfe von Gleichungen ersten Grades leicht zu lösen sind, lässt sich auch rein arithmetisch lösen, wenn auch manchmal auf viel schwierigere, langwierigere und oft künstliche Weise. Probleme, die zu quadratischen Gleichungen führen, eignen sich in der Regel überhaupt nicht für eine arithmetische Lösung. Zahlreiche und unterschiedlichste Fragestellungen der Physik, Mechanik, Hydromechanik, Aerodynamik und vieler anderer angewandter Wissenschaften führen zu solchen Problemen.

Die Hauptschritte beim Erstellen quadratischer Gleichungen gemäß den Bedingungen des Problems sind die gleichen wie beim Lösen von Problemen, die zu Gleichungen ersten Grades führen. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Aufgabe. 1. Zwei Schreibkräfte tippten das Manuskript in 6 Stunden ab. 40min. Wie lange würde jede Schreibkraft brauchen, um das Manuskript allein zu schreiben, wenn die erste 3 Stunden mehr für diese Arbeit aufwenden würde als die zweite?

Entscheidung. Lassen Sie die zweite Schreibkraft x Stunden damit verbringen, das Manuskript nachzudrucken. Dies bedeutet, dass die erste Schreibkraft Stunden mit derselben Arbeit verbringt.

Wir werden herausfinden, welchen Teil der gesamten Arbeit jede Schreibkraft in einer Stunde leistet und welchen Teil - beides zusammen.

Die erste Schreibkraft erledigt einen Teil in einer Stunde

Zweiter Teil.

Beide Schreibkräfte führen einen Part aus.

Daher haben wir:

Entsprechend der Bedeutung des Problems eine positive Zahl

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit Nach der Vereinfachung erhalten wir eine quadratische Gleichung:

Da hat die Gleichung zwei Wurzeln. Durch Formel (B) finden wir:

Aber wie es sein sollte, ist dieser Wert für diese Aufgabe nicht gültig.

Antworten. Die erste Schreibkraft wird stundenlang arbeiten, die zweite 12 Stunden.

Aufgabe 2. Die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs km pro Stunde. Das Flugzeug flog zweimal eine Strecke von 1 km: zuerst mit dem Wind, dann gegen den Wind, und beim zweiten Flug verbrachte es mehr Stunden. Windgeschwindigkeit berechnen.

Wir werden den Verlauf der Lösung in Form eines Diagramms darstellen.