In diesem Artikel wird die Methode als eine Möglichkeit betrachtet, lineare Gleichungssysteme (SLAE) zu lösen. Die Methode ist analytisch, dh Sie können einen Lösungsalgorithmus in allgemeiner Form schreiben und dort Werte aus bestimmten Beispielen ersetzen. Anders als bei der Matrixmethode oder den Cramerschen Formeln kann man beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Gauß-Methode auch mit solchen arbeiten, die unendlich viele Lösungen haben. Oder sie haben es gar nicht.

Was bedeutet Gauß?

Zuerst müssen Sie unser Gleichungssystem in Es sieht so aus. Das System wird übernommen:

Die Koeffizienten werden in Form einer Tabelle und rechts in einer separaten Spalte geschrieben - freie Mitglieder. Die Spalte mit freien Elementen ist der Einfachheit halber getrennt.Die Matrix, die diese Spalte enthält, wird als erweitert bezeichnet.

Weiterhin muss die Hauptmatrix mit Koeffizienten auf die obere Dreiecksform reduziert werden. Dies ist der Hauptpunkt bei der Lösung des Systems durch das Gauß-Verfahren. Einfach ausgedrückt sollte die Matrix nach bestimmten Manipulationen so aussehen, sodass in ihrem unteren linken Teil nur Nullen vorhanden sind:

Wenn Sie die neue Matrix dann wieder als Gleichungssystem schreiben, werden Sie feststellen, dass die letzte Zeile bereits den Wert einer der Wurzeln enthält, die dann in die obige Gleichung eingesetzt wird, eine andere Wurzel gefunden wird und so weiter.

Dies ist eine allgemeinste Beschreibung der Lösung durch das Gauß-Verfahren. Und was passiert, wenn das System plötzlich keine Lösung hat? Oder gibt es davon unendlich viele? Um diese und viele weitere Fragen zu beantworten, müssen alle Elemente, die in der Lösung nach der Gauß-Methode verwendet werden, separat betrachtet werden.

Matrizen, ihre Eigenschaften

Es gibt keine versteckte Bedeutung in der Matrix. Es ist nur eine praktische Möglichkeit, Daten für spätere Operationen aufzuzeichnen. Auch Schulkinder sollten keine Angst vor ihnen haben.

Die Matrix ist immer rechteckig, weil es bequemer ist. Auch bei der Gauß-Methode, bei der alles darauf hinausläuft, eine Dreiecksmatrix zu bilden, erscheint im Eintrag ein Rechteck, nur mit Nullen an den Stellen, an denen keine Zahlen stehen. Nullen können weggelassen werden, sind aber impliziert.

Die Matrix hat eine Größe. Seine "Breite" ist die Anzahl der Zeilen (m), seine "Länge" ist die Anzahl der Spalten (n). Dann wird die Größe der Matrix A (normalerweise werden lateinische Großbuchstaben für ihre Bezeichnung verwendet) als A m × n bezeichnet. Wenn m=n, dann ist diese Matrix quadratisch und m=n ist ihre Ordnung. Dementsprechend kann jedes Element der Matrix A durch die Nummer seiner Zeile und Spalte bezeichnet werden: a xy ; x - Zeilennummer, Änderungen , y - Spaltennummer, Änderungen .

B ist nicht der Hauptpunkt der Lösung. Im Prinzip können alle Operationen direkt mit den Gleichungen selbst durchgeführt werden, aber die Notation wird sich als viel umständlicher herausstellen, und es wird viel einfacher sein, sich darin zu verwirren.

Bestimmend

Die Matrix hat auch eine Determinante. Dies ist eine sehr wichtige Funktion. Es lohnt sich nicht, ihre Bedeutung jetzt herauszufinden, Sie können einfach zeigen, wie sie berechnet wird, und dann sagen, welche Eigenschaften der Matrix sie bestimmt. Der einfachste Weg, die Determinante zu finden, ist durch Diagonalen. In die Matrix werden imaginäre Diagonalen eingezeichnet; Die auf jedem von ihnen befindlichen Elemente werden multipliziert und dann die resultierenden Produkte addiert: Diagonalen mit einer Neigung nach rechts - mit einem "Plus" -Zeichen, mit einer Neigung nach links - mit einem "Minus" -Zeichen.

Es ist äußerst wichtig zu beachten, dass die Determinante nur für eine quadratische Matrix berechnet werden kann. Für eine rechteckige Matrix können Sie Folgendes tun: Wählen Sie die kleinste der Zeilen- und Spaltenanzahl (es sei k) und markieren Sie dann zufällig k Spalten und k Zeilen in der Matrix. Die Elemente, die sich am Schnittpunkt der ausgewählten Spalten und Zeilen befinden, bilden eine neue quadratische Matrix. Wenn die Determinante einer solchen Matrix eine andere Zahl als Null ist, wird sie als Basisminor der ursprünglichen rechteckigen Matrix bezeichnet.

Bevor Sie mit der Lösung des Gleichungssystems nach der Gauß-Methode fortfahren, schadet es nicht, die Determinante zu berechnen. Wenn es sich herausstellt, dass es Null ist, können wir sofort sagen, dass die Matrix entweder unendlich viele Lösungen hat oder gar keine. In solch einem traurigen Fall müssen Sie weiter gehen und den Rang der Matrix herausfinden.

Systemklassifizierung

Es gibt so etwas wie den Rang einer Matrix. Dies ist die maximale Ordnung ihrer Determinante ungleich Null (in Erinnerung an die Basis-Minor können wir sagen, dass der Rang einer Matrix die Ordnung der Basis-Minor ist).

Je nachdem, wie es mit dem Rang steht, kann SLAE unterteilt werden in:

• Gemeinsam. Beim Bei gemeinsamen Systemen stimmt der Rang der Hauptmatrix (nur aus Koeffizienten bestehend) mit dem Rang der erweiterten Matrix (mit einer Spalte freier Terme) überein. Solche Systeme haben eine Lösung, aber nicht unbedingt eine, daher werden gemeinsame Systeme zusätzlich unterteilt in:
• - sicher- eine einzigartige Lösung zu haben. In bestimmten Systemen sind der Rang der Matrix und die Anzahl der Unbekannten (oder die Anzahl der Spalten, was dasselbe ist) gleich;
• - unbestimmt - mit unendlich vielen Lösungen. Der Rang der Matrizen für solche Systeme ist kleiner als die Anzahl der Unbekannten.
• Unvereinbar. Beim Bei solchen Systemen stimmen die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen nicht überein. Inkompatible Systeme haben keine Lösung.

Das Gauß-Verfahren ist insofern gut, als es erlaubt, entweder einen eindeutigen Beweis für die Inkonsistenz des Systems zu erhalten (ohne die Determinanten großer Matrizen zu berechnen) oder eine allgemeine Lösung für ein System mit unendlich vielen Lösungen.

Elementare Transformationen

Bevor Sie direkt zur Lösung des Systems übergehen, ist es möglich, es für Berechnungen weniger umständlich und bequemer zu machen. Dies wird durch elementare Transformationen erreicht – derart, dass ihre Implementierung die endgültige Antwort in keiner Weise ändert. Es sollte beachtet werden, dass einige der obigen elementaren Transformationen nur für Matrizen gelten, deren Quelle genau die SLAE war. Hier ist eine Liste dieser Transformationen:

1. String-Permutation. Es ist offensichtlich, dass eine Änderung der Reihenfolge der Gleichungen im Systemdatensatz die Lösung in keiner Weise beeinflusst. Folglich ist es auch möglich, Zeilen in der Matrix dieses Systems zu vertauschen, nicht zu vergessen natürlich die Spalte der freien Elemente.
2. Multiplizieren aller Elemente einer Zeichenfolge mit einem Faktor. Sehr hilfreich! Damit können Sie große Zahlen in der Matrix reduzieren oder Nullen entfernen. Der Lösungssatz ändert sich wie üblich nicht und es wird bequemer, weitere Operationen durchzuführen. Die Hauptsache ist, dass der Koeffizient nicht gleich Null ist.
3. Löschen Sie Zeilen mit proportionalen Koeffizienten. Dies folgt teilweise aus dem vorherigen Absatz. Wenn zwei oder mehr Zeilen in der Matrix proportionale Koeffizienten haben, werden beim Multiplizieren / Dividieren einer der Zeilen mit dem Proportionalitätskoeffizienten zwei (oder wieder mehr) absolut identische Zeilen erhalten, und Sie können die zusätzlichen entfernen und nur übrig lassen ein.
4. Entfernen der Nulllinie. Wenn im Laufe von Transformationen irgendwo ein String entsteht, in dem alle Elemente, einschließlich des freien Elements, Null sind, dann kann ein solcher String Null genannt und aus der Matrix geworfen werden.
5. Zu den Elementen einer Zeile werden die Elemente einer anderen (in den entsprechenden Spalten) addiert, multipliziert mit einem bestimmten Koeffizienten. Die obskurste und wichtigste Transformation von allen. Es lohnt sich, näher darauf einzugehen.

Addieren einer Zeichenfolge multipliziert mit einem Faktor

Zum leichteren Verständnis lohnt es sich, diesen Prozess Schritt für Schritt zu zerlegen. Aus der Matrix werden zwei Zeilen entnommen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Angenommen, Sie müssen den ersten zum zweiten addieren, multipliziert mit dem Koeffizienten "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Dann wird in der Matrix die zweite Zeile durch eine neue ersetzt und die erste bleibt unverändert.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Es sei darauf hingewiesen, dass der Multiplikationsfaktor so gewählt werden kann, dass durch die Addition zweier Strings eines der Elemente des neuen Strings gleich Null ist. Daher ist es möglich, eine Gleichung im System zu erhalten, bei der es eine weniger Unbekannte gibt. Und wenn Sie zwei solcher Gleichungen erhalten, kann die Operation erneut durchgeführt werden und Sie erhalten eine Gleichung, die bereits zwei Unbekannte weniger enthält. Und wenn wir jedes Mal einen Koeffizienten für alle Zeilen, die niedriger als der ursprüngliche sind, auf Null stellen, können wir wie Schritte bis zum Ende der Matrix gehen und eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten. Dies wird als Lösen des Systems mit der Gaußschen Methode bezeichnet.

Im Allgemeinen

Lass es ein System geben. Es hat m Gleichungen und n unbekannte Wurzeln. Du kannst es so aufschreiben:

Die Hauptmatrix wird aus den Koeffizienten des Systems zusammengestellt. Der erweiterten Matrix wird eine Spalte mit freien Mitgliedern hinzugefügt und der Einfachheit halber durch einen Balken getrennt.

• die erste Zeile der Matrix wird mit dem Koeffizienten k = (-a 21 / a 11) multipliziert;
• die erste modifizierte Reihe und die zweite Reihe der Matrix werden hinzugefügt;
• anstelle der zweiten Zeile wird das Ergebnis der Addition aus dem vorherigen Absatz in die Matrix eingefügt;
• jetzt ist der erste Koeffizient in der neuen zweiten Reihe a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Jetzt wird die gleiche Reihe von Transformationen durchgeführt, nur die erste und dritte Zeile sind beteiligt. Dementsprechend wird in jedem Schritt des Algorithmus das Element a 21 durch a 31 ersetzt. Dann wiederholt sich alles für a 41 , ... a m1 . Das Ergebnis ist eine Matrix, bei der das erste Element in den Zeilen gleich Null ist. Jetzt müssen wir die Zeile Nummer eins vergessen und denselben Algorithmus ab der zweiten Zeile ausführen:

• Koeffizient k \u003d (-a 32 / a 22);
• die zweite modifizierte Zeile wird der "aktuellen" Zeile hinzugefügt;
• das Ergebnis der Addition wird in der dritten, vierten usw. Zeile eingesetzt, während die erste und die zweite unverändert bleiben;
• in den Zeilen der Matrix sind die ersten beiden Elemente bereits gleich Null.

Der Algorithmus muss wiederholt werden, bis der Koeffizient k = (-a m,m-1 /a mm) erscheint. Das bedeutet, dass der Algorithmus zuletzt nur für die untere Gleichung ausgeführt wurde. Jetzt sieht die Matrix wie ein Dreieck aus oder hat eine Stufenform. Die untere Zeile enthält die Gleichheit a mn × x n = b m . Der Koeffizient und der freie Term sind bekannt und die Wurzel wird durch sie ausgedrückt: x n = b m /a mn. Die resultierende Wurzel wird in die oberste Reihe eingesetzt, um x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 zu finden. Und so weiter analog: In jeder nächsten Zeile gibt es eine neue Wurzel, und wenn Sie die "Spitze" des Systems erreicht haben, können Sie viele Lösungen finden. Es wird das einzige sein.

Wenn es keine Lösungen gibt

Wenn in einer der Matrixzeilen alle Elemente außer dem freien Term gleich Null sind, dann sieht die dieser Zeile entsprechende Gleichung so aus: 0 = b. Es hat keine Lösung. Und da eine solche Gleichung im System enthalten ist, ist die Lösungsmenge des gesamten Systems leer, dh entartet.

Wenn es unendlich viele Lösungen gibt

Es kann sich herausstellen, dass es in der reduzierten Dreiecksmatrix keine Zeilen mit einem Element - dem Koeffizienten der Gleichung - und einem - einem freien Element gibt. Es gibt nur Strings, die umgeschrieben wie eine Gleichung mit zwei oder mehr Variablen aussehen würden. Das bedeutet, dass das System unendlich viele Lösungen hat. In diesem Fall kann die Antwort in Form einer allgemeinen Lösung gegeben werden. Wie kann man es machen?

Alle Variablen in der Matrix sind in grundlegende und freie Variablen unterteilt. Einfach - das sind diejenigen, die "am Rand" der Zeilen in der abgestuften Matrix stehen. Der Rest ist kostenlos. In der allgemeinen Lösung werden die Basisvariablen in Bezug auf die freien geschrieben.

Der Einfachheit halber wird die Matrix zunächst wieder in ein Gleichungssystem umgeschrieben. Bei der letzten, wo genau nur eine Grundvariable übrig geblieben ist, bleibt sie auf der einen Seite und alles andere wird auf die andere übertragen. Dies geschieht für jede Gleichung mit einer Basisvariablen. Dann wird in den restlichen Gleichungen, wo möglich, anstelle der Basisvariable der dafür erhaltene Ausdruck eingesetzt. Wenn das Ergebnis wieder ein Ausdruck ist, der nur eine Basisvariable enthält, wird es von dort aus erneut ausgedrückt und so weiter, bis jede Basisvariable als Ausdruck mit freien Variablen geschrieben ist. Dies ist die allgemeine Lösung von SLAE.

Sie können auch die Grundlösung des Systems finden - geben Sie den freien Variablen beliebige Werte und berechnen Sie dann für diesen speziellen Fall die Werte der Grundvariablen. Es gibt unendlich viele spezielle Lösungen.

Lösung mit konkreten Beispielen

Hier ist das Gleichungssystem.

Der Einfachheit halber ist es besser, die Matrix sofort zu erstellen

Es ist bekannt, dass beim Lösen nach der Gauß-Methode die der ersten Zeile entsprechende Gleichung am Ende der Transformationen unverändert bleibt. Daher ist es rentabler, wenn das obere linke Element der Matrix das kleinste ist - dann werden die ersten Elemente der verbleibenden Zeilen nach den Operationen zu Null. Dies bedeutet, dass es in der erstellten Matrix vorteilhaft ist, die zweite anstelle der ersten Zeile zu setzen.

zweite Zeile: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

dritte Zeile: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Um jetzt nicht verwirrt zu werden, ist es notwendig, die Matrix mit den Zwischenergebnissen der Transformationen aufzuschreiben.

Es ist offensichtlich, dass eine solche Matrix mit Hilfe einiger Operationen für die Wahrnehmung bequemer gemacht werden kann. Sie können beispielsweise alle „Minuszeichen“ aus der zweiten Zeile entfernen, indem Sie jedes Element mit „-1“ multiplizieren.

Es ist auch erwähnenswert, dass in der dritten Reihe alle Elemente Vielfache von drei sind. Dann können Sie die Zeichenfolge um diese Zahl reduzieren, indem Sie jedes Element mit "-1/3" multiplizieren (minus - gleichzeitig, um negative Werte zu entfernen).

Sieht viel schöner aus. Jetzt müssen wir die erste Zeile in Ruhe lassen und mit der zweiten und dritten arbeiten. Die Aufgabe besteht darin, die zweite Reihe zur dritten Reihe zu addieren, multipliziert mit einem solchen Koeffizienten, dass das Element a 32 gleich Null wird.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 Brüche, und erst dann, wenn die Antworten eingegangen sind, entscheiden, ob aufgerundet und in eine andere Schreibweise übersetzt wird)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Die Matrix wird erneut mit neuen Werten beschrieben.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Wie Sie sehen können, hat die resultierende Matrix bereits eine Stufenform. Daher sind weitere Transformationen des Systems durch das Gauß-Verfahren nicht erforderlich. Was hier getan werden kann, ist, den Gesamtkoeffizienten "-1/7" aus der dritten Zeile zu entfernen.

Jetzt ist alles schön. Der Punkt ist klein - schreiben Sie die Matrix erneut in Form eines Gleichungssystems und berechnen Sie die Wurzeln

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Der Algorithmus, mit dem nun die Nullstellen gefunden werden, heißt Rückwärtszug im Gauß-Verfahren. Gleichung (3) enthält den Wert von z:

y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9

Und die erste Gleichung ermöglicht es Ihnen, x zu finden:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Wir haben das Recht, ein solches System gemeinsam und sogar endgültig zu nennen, das heißt, eine einzigartige Lösung zu haben. Die Antwort wird in folgender Form geschrieben:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Ein Beispiel für ein unbestimmtes System

Die Variante, ein bestimmtes System mit der Gauß-Methode zu lösen, wurde analysiert, jetzt muss der Fall betrachtet werden, dass das System unbestimmt ist, dh unendlich viele Lösungen dafür gefunden werden können.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Schon die Form des Systems ist alarmierend, denn die Anzahl der Unbekannten ist n = 5, und der Rang der Matrix des Systems ist bereits genau kleiner als diese Zahl, denn die Anzahl der Zeilen ist m = 4, d.h. die größte Ordnung der quadratischen Determinante ist 4. Dies bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt und es notwendig ist, nach ihrer allgemeinen Form zu suchen. Das Gauß-Verfahren für lineare Gleichungen macht es möglich.

Zunächst wird wie üblich die Augmented Matrix kompiliert.

Zweite Zeile: Koeffizient k = (-a 21 / a 11) = -3. In der dritten Zeile befindet sich das erste Element vor den Transformationen, Sie müssen also nichts anfassen, Sie müssen es so lassen, wie es ist. Vierte Zeile: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Indem wir die Elemente der ersten Reihe nacheinander mit jedem ihrer Koeffizienten multiplizieren und zu den gewünschten Reihen addieren, erhalten wir eine Matrix der folgenden Form:

Wie Sie sehen können, bestehen die zweite, dritte und vierte Reihe aus Elementen, die zueinander proportional sind. Die zweite und die vierte sind im Allgemeinen gleich, also kann eine von ihnen sofort entfernt und der Rest mit dem Koeffizienten "-1" multipliziert werden und die Zeilennummer 3 erhalten. Und wieder eine von zwei identischen Zeilen belassen.

Es stellte sich eine solche Matrix heraus. Das System wurde noch nicht aufgeschrieben, hier müssen die Grundvariablen bestimmt werden - die bei den Koeffizienten a 11 \u003d 1 und a 22 \u003d 1 stehen und frei sind - der Rest.

Die zweite Gleichung hat nur eine Basisvariable – x 2 . Daher kann es von dort aus ausgedrückt werden, indem durch die Variablen x 3 , x 4 , x 5 geschrieben wird, die frei sind.

Wir setzen den resultierenden Ausdruck in die erste Gleichung ein.

Es stellte sich eine Gleichung heraus, in der die einzige Basisvariable x 1 ist. Machen wir damit dasselbe wie mit x 2 .

Alle Grundvariablen, von denen es zwei gibt, werden in Form von drei freien ausgedrückt, jetzt können Sie die Antwort in allgemeiner Form schreiben.

Sie können auch eine der speziellen Lösungen des Systems angeben. Für solche Fälle werden in der Regel Nullen als Werte für freie Variablen gewählt. Dann wird die Antwort lauten:

16, 23, 0, 0, 0.

Ein Beispiel für ein inkompatibles System

Die Lösung inkonsistenter Gleichungssysteme nach dem Gauß-Verfahren ist am schnellsten. Es endet, sobald auf einer der Stufen eine Gleichung erhalten wird, die keine Lösung hat. Das heißt, die Phase mit der Berechnung der Wurzeln, die ziemlich lang und langweilig ist, verschwindet. Es wird folgendes System betrachtet:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Wie gewohnt wird die Matrix zusammengestellt:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Und es wird auf eine Stufenform reduziert:

k1 \u003d -2k2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nach der ersten Transformation enthält die dritte Zeile eine Gleichung der Form

keine Lösung haben. Daher ist das System inkonsistent, und die Antwort ist die leere Menge.

Vor- und Nachteile der Methode

Wenn Sie sich für eine Methode entscheiden, um SLAE auf Papier mit einem Stift zu lösen, dann sieht die Methode, die in diesem Artikel betrachtet wurde, am attraktivsten aus. Bei elementaren Transformationen ist es viel schwieriger, verwirrt zu werden, als wenn Sie manuell nach einer Determinante oder einer kniffligen inversen Matrix suchen müssen. Wenn Sie jedoch Programme zum Arbeiten mit Daten dieser Art verwenden, z. B. Tabellenkalkulationen, stellt sich heraus, dass solche Programme bereits Algorithmen zur Berechnung der Hauptparameter von Matrizen enthalten - Determinante, Minderjährige, Inverse usw. Und wenn Sie sicher sind, dass die Maschine diese Werte selbst berechnet und keinen Fehler macht, ist es sinnvoller, die Matrixmethode oder die Formeln von Cramer zu verwenden, da ihre Anwendung mit der Berechnung von Determinanten und inversen Matrizen beginnt und endet.

Anwendung

Da die Gaußsche Lösung ein Algorithmus ist und die Matrix tatsächlich ein zweidimensionales Array ist, kann sie beim Programmieren verwendet werden. Aber da sich der Artikel als Leitfaden „für Dummies“ positioniert, sollte gesagt werden, dass der einfachste Ort, um die Methode in Tabellenkalkulationen, zum Beispiel Excel, hineinzuschieben. Auch hier wird jede SLAE, die in Form einer Matrix in eine Tabelle eingegeben wird, von Excel als zweidimensionales Array betrachtet. Und für Operationen mit ihnen gibt es viele nette Befehle: Addition (man kann nur Matrizen gleicher Größe addieren!), Multiplikation mit einer Zahl, Matrizenmultiplikation (auch mit gewissen Einschränkungen), Finden der inversen und transponierten Matrizen und vor allem , Berechnung der Determinante. Wenn diese zeitraubende Aufgabe durch einen einzigen Befehl ersetzt wird, ist es viel schneller, den Rang einer Matrix zu bestimmen und damit ihre Kompatibilität oder Inkonsistenz festzustellen.

Seit Beginn des 16. bis 18. Jahrhunderts begannen Mathematiker, sich intensiv mit den Funktionen zu beschäftigen, wodurch sich so viel in unserem Leben verändert hat. Computertechnologie würde ohne dieses Wissen einfach nicht existieren. Um komplexe Probleme, lineare Gleichungen und Funktionen zu lösen, wurden verschiedene Konzepte, Theoreme und Lösungstechniken erstellt. Eine dieser universellen und rationalen Methoden und Techniken zum Lösen linearer Gleichungen und ihrer Systeme war die Gauß-Methode. Matrizen, ihr Rang, Determinante - alles kann ohne komplexe Operationen berechnet werden.

Was ist SLAU

In der Mathematik gibt es das Konzept von SLAE – ein System linearer algebraischer Gleichungen. Was stellt sie dar? Dies ist ein Satz von m Gleichungen mit den erforderlichen n Unbekannten, die normalerweise als x, y, z oder x 1 , x 2 ... x n oder andere Symbole bezeichnet werden. Dieses System mit der Gaußschen Methode zu lösen bedeutet, alle unbekannten Unbekannten zu finden. Wenn ein System die gleiche Anzahl von Unbekannten und Gleichungen hat, wird es als System n-ter Ordnung bezeichnet.

Die beliebtesten Methoden zur Lösung von SLAE

In Bildungseinrichtungen der Sekundarstufe werden verschiedene Methoden zur Lösung solcher Systeme untersucht. Meistens sind dies einfache Gleichungen, die aus zwei Unbekannten bestehen, sodass jede vorhandene Methode, um die Antwort darauf zu finden, nicht viel Zeit in Anspruch nimmt. Es kann wie eine Substitutionsmethode sein, wenn eine andere Gleichung aus einer Gleichung abgeleitet und in die ursprüngliche eingesetzt wird. Oder Term für Term Subtraktion und Addition. Die Gauß-Methode gilt jedoch als die einfachste und universellste. Es ermöglicht das Lösen von Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten. Warum gilt diese Technik als rational? Alles ist einfach. Die Matrixmethode ist gut, da unnötige Zeichen nicht mehrmals in Form von Unbekannten neu geschrieben werden müssen. Es reicht aus, arithmetische Operationen an den Koeffizienten durchzuführen - und Sie erhalten ein zuverlässiges Ergebnis.

Wo werden SLAEs in der Praxis eingesetzt?

Die Lösung von SLAE sind die Schnittpunkte der Geraden auf den Funktionsgraphen. In unserem Hightech-Computerzeitalter müssen Menschen, die eng mit der Entwicklung von Spielen und anderen Programmen befasst sind, wissen, wie man solche Systeme löst, was sie darstellen und wie man die Korrektheit des resultierenden Ergebnisses überprüft. Meistens entwickeln Programmierer spezielle lineare Algebra-Rechner, dazu gehört ein System linearer Gleichungen. Mit der Gauß-Methode können Sie alle vorhandenen Lösungen berechnen. Andere vereinfachte Formeln und Techniken werden ebenfalls verwendet.

SLAE-Kompatibilitätskriterium

Ein solches System kann nur gelöst werden, wenn es kompatibel ist. Zur Verdeutlichung präsentieren wir die SLAE in der Form Ax=b. Es hat eine Lösung, wenn rang(A) gleich rang(A,b) ist. In diesem Fall ist (A,b) eine Matrix in erweiterter Form, die aus Matrix A durch Umschreiben mit freien Termen erhalten werden kann. Es stellt sich heraus, dass das Lösen linearer Gleichungen mit der Gaußschen Methode ziemlich einfach ist.

Vielleicht ist eine Notation nicht ganz klar, daher ist es notwendig, alles mit einem Beispiel zu betrachten. Nehmen wir an, es gibt ein System: x+y=1; 2x-3y=6. Es besteht aus nur zwei Gleichungen, in denen es 2 Unbekannte gibt. Das System hat nur dann eine Lösung, wenn der Rang seiner Matrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist. Was ist ein Rang? Dies ist die Anzahl der unabhängigen Linien des Systems. In unserem Fall ist der Rang der Matrix 2. Matrix A besteht aus den Koeffizienten, die sich in der Nähe der Unbekannten befinden, und die Koeffizienten hinter dem Zeichen „=“ passen auch in die erweiterte Matrix.

Warum SLAE in Matrixform dargestellt werden kann

Basierend auf dem Kompatibilitätskriterium nach dem bewährten Satz von Kronecker-Capelli lässt sich das System linearer algebraischer Gleichungen in Matrixform darstellen. Mit der Gaußschen Kaskadenmethode können Sie die Matrix lösen und erhalten die einzig zuverlässige Antwort für das gesamte System. Wenn der Rang einer gewöhnlichen Matrix gleich dem Rang ihrer erweiterten Matrix ist, aber kleiner als die Anzahl der Unbekannten, dann hat das System unendlich viele Antworten.

Matrixtransformationen

Bevor Sie mit dem Lösen von Matrizen fortfahren, müssen Sie wissen, welche Aktionen an ihren Elementen ausgeführt werden können. Es gibt mehrere elementare Transformationen:

• Durch Umschreiben des Systems in Matrixform und Durchführen seiner Lösung ist es möglich, alle Elemente der Reihe mit demselben Koeffizienten zu multiplizieren.
• Um eine Matrix in eine kanonische Form umzuwandeln, können zwei parallele Zeilen vertauscht werden. Die kanonische Form impliziert, dass alle Elemente der Matrix, die sich entlang der Hauptdiagonalen befinden, Einsen werden und die verbleibenden Einsen Nullen werden.
• Die entsprechenden Elemente der parallelen Zeilen der Matrix können miteinander addiert werden.

Jordan-Gauß-Verfahren

Das Wesentliche beim Lösen von Systemen linearer homogener und inhomogener Gleichungen nach der Gauß-Methode besteht darin, die Unbekannten schrittweise zu eliminieren. Nehmen wir an, wir haben ein System aus zwei Gleichungen, in dem es zwei Unbekannte gibt. Um sie zu finden, müssen Sie das System auf Kompatibilität überprüfen. Die Gaußsche Gleichung wird sehr einfach gelöst. Es ist notwendig, die Koeffizienten, die sich in der Nähe jeder Unbekannten befinden, in Matrixform aufzuschreiben. Um das System zu lösen, müssen Sie die erweiterte Matrix schreiben. Wenn eine der Gleichungen eine geringere Anzahl von Unbekannten enthält, muss "0" anstelle des fehlenden Elements eingesetzt werden. Auf die Matrix werden alle bekannten Transformationsmethoden angewendet: Multiplikation, Division durch eine Zahl, Addieren der entsprechenden Elemente der Zeilen zueinander und andere. Es stellt sich heraus, dass in jeder Zeile eine Variable mit dem Wert "1" belassen werden muss, der Rest sollte auf Null reduziert werden. Zum genaueren Verständnis ist es notwendig, das Gauß-Verfahren anhand von Beispielen zu betrachten.

Ein einfaches Beispiel für die Lösung eines 2x2-Systems

Nehmen wir zunächst ein einfaches System algebraischer Gleichungen, in dem es 2 Unbekannte gibt.

Schreiben wir es in eine erweiterte Matrix um.

Um dieses lineare Gleichungssystem zu lösen, sind nur zwei Operationen erforderlich. Wir müssen die Matrix in die kanonische Form bringen, damit es Einheiten entlang der Hauptdiagonalen gibt. Wenn wir also von der Matrixform zurück in das System übersetzen, erhalten wir die Gleichungen: 1x+0y=b1 und 0x+1y=b2, wobei b1 und b2 die Antworten sind, die beim Lösungsprozess erhalten werden.

1. Der erste Schritt zur Lösung der erweiterten Matrix sieht folgendermaßen aus: Die erste Zeile muss mit -7 multipliziert und die entsprechenden Elemente zur zweiten Zeile hinzugefügt werden, um eine Unbekannte in der zweiten Gleichung loszuwerden.
2. Da die Lösung von Gleichungen nach der Gauß-Methode impliziert, die Matrix in die kanonische Form zu bringen, ist es notwendig, die gleichen Operationen mit der ersten Gleichung durchzuführen und die zweite Variable zu entfernen. Dazu subtrahieren wir die zweite Zeile von der ersten und erhalten die notwendige Antwort – die Lösung der SLAE. Oder wir multiplizieren, wie in der Abbildung gezeigt, die zweite Reihe mit dem Faktor -1 und addieren die Elemente der zweiten Reihe zur ersten Reihe. Das ist das gleiche.

Wie Sie sehen können, wird unser System nach der Jordan-Gauß-Methode gelöst. Wir schreiben es in der erforderlichen Form um: x=-5, y=7.

Ein Beispiel für die Lösung von SLAE 3x3

Angenommen, wir haben ein komplexeres System linearer Gleichungen. Die Gauß-Methode ermöglicht es, die Antwort selbst für das scheinbar verwirrendste System zu berechnen. Um tiefer in die Berechnungsmethodik einzutauchen, können wir daher zu einem komplexeren Beispiel mit drei Unbekannten übergehen.

Wie im vorherigen Beispiel schreiben wir das System in Form einer erweiterten Matrix um und beginnen, es in die kanonische Form zu bringen.

Um dieses System zu lösen, müssen Sie viel mehr Aktionen ausführen als im vorherigen Beispiel.

1. Zuerst müssen Sie in der ersten Spalte ein einzelnes Element und den Rest Nullen machen. Multiplizieren Sie dazu die erste Gleichung mit -1 und addieren Sie die zweite Gleichung dazu. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir die erste Zeile in ihrer ursprünglichen Form und die zweite - bereits in einer modifizierten Form - neu schreiben.
2. Als nächstes entfernen wir dieselbe erste Unbekannte aus der dritten Gleichung. Dazu multiplizieren wir die Elemente der ersten Reihe mit -2 und addieren sie zur dritten Reihe. Jetzt werden die erste und zweite Zeile in ihrer ursprünglichen Form neu geschrieben und die dritte - bereits mit Änderungen. Wie Sie dem Ergebnis entnehmen können, haben wir die erste Eins am Anfang der Hauptdiagonalen der Matrix und der Rest sind Nullen. Noch ein paar Aktionen, und das Gleichungssystem nach der Gauß-Methode ist zuverlässig gelöst.
3. Jetzt müssen Sie Operationen an anderen Elementen der Zeilen durchführen. Der dritte und der vierte Schritt können zu einem kombiniert werden. Wir müssen die zweite und dritte Linie durch -1 teilen, um die negativen auf der Diagonalen loszuwerden. Die dritte Zeile haben wir bereits in die geforderte Form gebracht.
4. Als nächstes kanonisieren wir die zweite Zeile. Dazu multiplizieren wir die Elemente der dritten Zeile mit -3 und addieren sie zur zweiten Zeile der Matrix. Aus dem Ergebnis ist ersichtlich, dass auch die zweite Zeile auf die von uns benötigte Form reduziert wird. Es müssen noch einige Operationen durchgeführt und die Koeffizienten der Unbekannten aus der ersten Reihe entfernt werden.
5. Um aus dem zweiten Element der Reihe 0 zu machen, musst du die dritte Reihe mit -3 multiplizieren und zur ersten Reihe addieren.
6. Der nächste entscheidende Schritt besteht darin, der ersten Reihe die notwendigen Elemente der zweiten Reihe hinzuzufügen. So erhalten wir die kanonische Form der Matrix und dementsprechend die Antwort.

Wie Sie sehen können, ist die Lösung von Gleichungen nach der Gauß-Methode recht einfach.

Ein Beispiel für die Lösung eines 4x4-Gleichungssystems

Einige komplexere Gleichungssysteme können mit Hilfe von Computerprogrammen nach der Gaußschen Methode gelöst werden. Es ist notwendig, Koeffizienten für Unbekannte in vorhandene leere Zellen zu treiben, und das Programm berechnet das erforderliche Ergebnis Schritt für Schritt und beschreibt jede Aktion im Detail.

Die Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Lösen eines solchen Beispiels ist unten beschrieben.

Im ersten Schritt werden freie Koeffizienten und Zahlen für Unbekannte in leere Zellen eingetragen. Somit erhalten wir die gleiche erweiterte Matrix, die wir von Hand schreiben.

Und alle notwendigen arithmetischen Operationen werden durchgeführt, um die erweiterte Matrix in die kanonische Form zu bringen. Es muss verstanden werden, dass die Antwort auf ein Gleichungssystem nicht immer ganze Zahlen sind. Manchmal kann die Lösung aus Bruchzahlen bestehen.

Überprüfung der Richtigkeit der Lösung

Das Jordan-Gauß-Verfahren sieht eine Überprüfung der Richtigkeit des Ergebnisses vor. Um herauszufinden, ob die Koeffizienten korrekt berechnet werden, müssen Sie nur das Ergebnis in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen. Die linke Seite der Gleichung muss mit der rechten Seite übereinstimmen, die hinter dem Gleichheitszeichen steht. Wenn die Antworten nicht übereinstimmen, müssen Sie das System neu berechnen oder versuchen, eine andere Ihnen bekannte Methode zur Lösung von SLAE anzuwenden, z. B. Substitution oder Term-für-Term-Subtraktion und -Addition. Schließlich ist die Mathematik eine Wissenschaft, die eine Vielzahl unterschiedlicher Lösungsmethoden kennt. Aber denken Sie daran: Das Ergebnis sollte immer dasselbe sein, egal welche Lösungsmethode Sie verwendet haben.

Gauss-Methode: die häufigsten Fehler beim Lösen von SLAE

Bei der Lösung linearer Gleichungssysteme treten am häufigsten Fehler auf, wie z. B. falsche Übertragung von Koeffizienten in eine Matrixform. Es gibt Systeme, in denen einige Unbekannte in einer der Gleichungen fehlen, die dann beim Übertragen der Daten in die erweiterte Matrix verloren gehen können. Infolgedessen entspricht das Ergebnis beim Lösen dieses Systems möglicherweise nicht dem tatsächlichen.

Ein weiterer Hauptfehler kann das falsche Schreiben des Endergebnisses sein. Es muss klar sein, dass der erste Koeffizient der ersten Unbekannten aus dem System entspricht, der zweite - der zweiten und so weiter.

Das Gauß-Verfahren beschreibt detailliert die Lösung linearer Gleichungen. Dank ihm ist es einfach, die notwendigen Operationen durchzuführen und das richtige Ergebnis zu finden. Darüber hinaus ist dies ein universelles Werkzeug, um eine zuverlässige Antwort auf Gleichungen beliebiger Komplexität zu finden. Vielleicht wird es deshalb so oft bei der Lösung von SLAE verwendet.

Gegeben sei ein System linearer algebraischer Gleichungen, die gelöst werden müssen (finde solche Werte der Unbekannten хi, die jede Gleichung des Systems in eine Gleichheit verwandeln).

Wir wissen, dass ein System linearer algebraischer Gleichungen:

1) Habe keine Lösungen (be unvereinbar).
2) Unendlich viele Lösungen haben.
3) Haben Sie eine eindeutige Lösung.

Wie wir uns erinnern, sind die Cramersche Regel und die Matrixmethode ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Gauss-Methode – das leistungsstärkste und vielseitigste Werkzeug zum Finden von Lösungen für beliebige lineare Gleichungssysteme, welche in jedem Fall führen Sie uns zur Antwort! Der Algorithmus des Verfahrens funktioniert in allen drei Fällen gleich. Wenn das Cramer- und das Matrizenverfahren die Kenntnis von Determinanten erfordern, erfordert die Anwendung des Gauß-Verfahrens nur die Kenntnis von arithmetischen Operationen, was sie auch Grundschülern zugänglich macht.

Erweiterte Matrixtransformationen ( dies ist die Matrix des Systems - eine Matrix, die nur aus den Koeffizienten der Unbekannten besteht, plus einer Spalte mit freien Termen) Systeme linearer algebraischer Gleichungen im Gauß-Verfahren:

1) mit troky Matrizen kann neu anordnen setzt.

2) wenn es (oder sind) proportionale (als Sonderfall - identische) Zeilen in der Matrix gibt, dann folgt es löschen aus der Matrix alle diese Zeilen bis auf eine.

3) Wenn während der Transformationen eine Nullzeile in der Matrix auftaucht, folgt dies auch löschen.

4) die Zeile der Matrix kann multiplizieren (dividieren) auf eine andere Zahl als Null.

5) in die Zeile der Matrix, können Sie füge eine weitere Zeichenfolge hinzu, die mit einer Zahl multipliziert wird, von Null verschieden.

Beim Gauß-Verfahren verändern elementare Transformationen die Lösung des Gleichungssystems nicht.

Die Gauß-Methode besteht aus zwei Stufen:

1. "Direkte Bewegung" - Bringen Sie die erweiterte Matrix des Systems linearer algebraischer Gleichungen mithilfe elementarer Transformationen in eine "dreieckige" Stufenform: Die Elemente der erweiterten Matrix, die sich unter der Hauptdiagonale befinden, sind gleich Null (Bewegung von oben nach unten ). Zum Beispiel zu dieser Art:

Führen Sie dazu die folgenden Schritte aus:

1) Betrachten wir die erste Gleichung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen und der Koeffizient bei x 1 ist gleich K. Die zweite, dritte usw. Wir wandeln die Gleichungen wie folgt um: Wir teilen jede Gleichung (Koeffizienten für Unbekannte, einschließlich freier Terme) durch den Koeffizienten für Unbekannte x 1, der in jeder Gleichung enthalten ist, und multiplizieren mit K. Danach subtrahieren wir die erste von der zweiten Gleichung ( Koeffizienten für Unbekannte und freie Terme). Wir erhalten bei x 1 in der zweiten Gleichung den Koeffizienten 0. Von der dritten transformierten Gleichung subtrahieren wir die erste Gleichung, bis alle Gleichungen außer der ersten mit unbekanntem x 1 keinen Koeffizienten 0 haben.

2) Fahren Sie mit der nächsten Gleichung fort. Sei dies die zweite Gleichung und der Koeffizient bei x 2 ist gleich M. Mit allen "untergeordneten" Gleichungen gehen wir wie oben beschrieben vor. Somit werden "unter" der Unbekannten x 2 in allen Gleichungen Nullen sein.

3) Wir gehen zur nächsten Gleichung über und so weiter, bis ein letzter unbekannter und transformierter freier Term übrig bleibt.

1. Die "umgekehrte Bewegung" der Gauß-Methode besteht darin, eine Lösung für ein System linearer algebraischer Gleichungen zu erhalten (die "Bottom-up"-Bewegung). Aus der letzten "unteren" Gleichung erhalten wir eine erste Lösung - die Unbekannte x n. Dazu lösen wir die Elementargleichung A * x n \u003d B. Im obigen Beispiel x 3 \u003d 4. Wir ersetzen den gefundenen Wert in der „oberen“ nächsten Gleichung und lösen ihn in Bezug auf die nächste Unbekannte. Zum Beispiel x 2 - 4 \u003d 1, d.h. x 2 \u003d 5. Und so weiter, bis wir alle Unbekannten gefunden haben.

Beispiel.

Wir lösen das lineare Gleichungssystem mit der Gauß-Methode, wie einige Autoren raten:

Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform:

Wir betrachten die obere linke "Stufe". Da sollten wir eine Einheit haben. Das Problem ist, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einsen gibt, also kann nichts durch Umordnen der Zeilen gelöst werden. In solchen Fällen muss die Einheit durch eine elementare Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf mehrere Arten erfolgen. Machen wir es so:
1 Schritt . Zur ersten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -1. Das heißt, wir haben die zweite Zeile gedanklich mit -1 multipliziert und die Addition der ersten und zweiten Zeile durchgeführt, während sich die zweite Zeile nicht geändert hat.

Jetzt oben links "minus eins", was perfekt zu uns passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Aktion ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -1 (ändern Sie ihr Vorzeichen).

2 Schritt . Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert.

3 Schritt . Die erste Zeile wurde mit -1 multipliziert, im Prinzip steht dies für Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, somit hatten wir auf der zweiten „Stufe“ die gewünschte Einheit.

4 Schritt . Fügen Sie zur dritten Zeile die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit 2.

5 Schritt . Die dritte Zeile wird durch 3 geteilt.

Ein Zeichen, das auf einen Fehler in Berechnungen hinweist (seltener ein Tippfehler), ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir unten etwas wie (0 0 11 | 23) und dementsprechend 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 erhalten, können wir mit hoher Wahrscheinlichkeit sagen, dass in der Grundschule ein Fehler gemacht wurde Transformationen.

Wir machen einen umgekehrten Zug, bei der Gestaltung von Beispielen wird das System selbst oft nicht umgeschrieben und die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix entnommen“. Ich erinnere Sie daran, dass die umgekehrte Bewegung „von unten nach oben“ funktioniert. In diesem Beispiel stellte sich das Geschenk heraus:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, also x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Antworten: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lassen Sie uns dasselbe System mit dem vorgeschlagenen Algorithmus lösen. Wir bekommen

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Teilen Sie die zweite Gleichung durch 5 und die dritte durch 3. Wir erhalten:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplizieren Sie die zweite und dritte Gleichung mit 4, wir erhalten:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten und dritten Gleichung, wir haben:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Teilen Sie die dritte Gleichung durch 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multipliziere die dritte Gleichung mit 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Subtrahieren Sie die zweite Gleichung von der dritten Gleichung, wir erhalten die „gestufte“ erweiterte Matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da sich im Berechnungsprozess ein Fehler angesammelt hat, erhalten wir also x 3 \u003d 0,96 oder ungefähr 1.

x 2 \u003d 3 und x 1 \u003d -1.

Wenn Sie auf diese Weise lösen, kommen Sie bei den Berechnungen nie durcheinander und erhalten trotz der Berechnungsfehler das Ergebnis.

Diese Methode zur Lösung eines linearen algebraischen Gleichungssystems ist leicht programmierbar und berücksichtigt nicht die Besonderheiten der Koeffizienten für Unbekannte, da man es in der Praxis (bei wirtschaftlichen und technischen Berechnungen) mit nicht ganzzahligen Koeffizienten zu tun hat.

Wünsch dir Glück! Wir sehen uns in der Klasse! Tutor Dmitry Aistrakhanov.

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Zwei lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn die Menge ihrer Lösungen gleich ist.

Elementare Transformationen des Gleichungssystems sind:

1. Streichung aus dem System trivialer Gleichungen, d.h. diejenigen, für die alle Koeffizienten gleich Null sind;
2. Multiplizieren einer beliebigen Gleichung mit einer Zahl ungleich Null;
3. Addition einer beliebigen i-ten Gleichung einer beliebigen j-ten Gleichung, multipliziert mit einer beliebigen Zahl.

Die Variable x i heißt frei, wenn diese Variable nicht erlaubt ist und das ganze Gleichungssystem erlaubt ist.

Satz. Elementare Transformationen transformieren das Gleichungssystem in ein äquivalentes.

Die Bedeutung des Gauß-Verfahrens besteht darin, das ursprüngliche Gleichungssystem zu transformieren und ein äquivalentes zulässiges oder äquivalentes inkonsistentes System zu erhalten.

Die Gauß-Methode besteht also aus den folgenden Schritten:

1. Betrachten Sie die erste Gleichung. Wir wählen den ersten Nicht-Null-Koeffizienten und dividieren die ganze Gleichung durch ihn. Wir erhalten eine Gleichung, in die eine Variable x i mit einem Koeffizienten von 1 eintritt;
2. Subtrahieren wir diese Gleichung von allen anderen und multiplizieren sie mit Zahlen, so dass die Koeffizienten für die Variable x i in den verbleibenden Gleichungen auf Null gesetzt werden. Wir erhalten ein bezüglich der Variablen x i aufgelöstes und dem ursprünglichen äquivalentes System;
3. Wenn triviale Gleichungen auftauchen (selten, aber es passiert; zum Beispiel 0 = 0), löschen wir sie aus dem System. Als Ergebnis werden die Gleichungen eins weniger;
4. Wir wiederholen die vorherigen Schritte nicht mehr als n Mal, wobei n die Anzahl der Gleichungen im System ist. Jedes Mal, wenn wir eine neue Variable zur „Verarbeitung“ auswählen. Wenn widersprüchliche Gleichungen auftreten (z. B. 0 = 8), ist das System inkonsistent.

Als Ergebnis erhalten wir nach wenigen Schritten entweder ein erlaubtes System (evtl. mit freien Variablen) oder ein inkonsistentes. Zulässige Systeme fallen in zwei Fälle:

1. Die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der Gleichungen. Das System ist also definiert;
2. Die Anzahl der Variablen ist größer als die Anzahl der Gleichungen. Wir sammeln alle freien Variablen auf der rechten Seite - wir erhalten Formeln für erlaubte Variablen. Diese Formeln sind in die Antwort geschrieben.

Das ist alles! Das lineare Gleichungssystem ist gelöst! Dies ist ein ziemlich einfacher Algorithmus, und um ihn zu beherrschen, müssen Sie sich nicht an einen Mathematiklehrer wenden. Betrachten Sie ein Beispiel:

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Beschreibung der Schritte:

1. Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten und dritten - wir erhalten die erlaubte Variable x 1;
2. Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit (−1) und dividieren die dritte Gleichung durch (−3) – wir erhalten zwei Gleichungen, in denen die Variable x 2 mit einem Koeffizienten von 1 eintritt;
3. Wir addieren die zweite Gleichung zur ersten und subtrahieren von der dritten. Holen wir uns die erlaubte Variable x 2 ;
4. Schließlich subtrahieren wir die dritte Gleichung von der ersten - wir erhalten die erlaubte Variable x 3 ;
5. Wir haben ein autorisiertes System erhalten, wir schreiben die Antwort auf.

Die allgemeine Lösung eines gemeinsamen linearen Gleichungssystems ist ein neues System, das dem ursprünglichen äquivalent ist, in dem alle zulässigen Variablen durch freie ausgedrückt werden.

Wann könnte eine allgemeine Lösung erforderlich sein? Wenn Sie weniger Schritte als k machen müssen (k ist die Anzahl der Gleichungen insgesamt). Die Gründe, warum der Prozess jedoch bei irgendeinem Schritt l endet< k , может быть две:

1. Nach dem l-ten Schritt erhalten wir ein System, das keine Gleichung mit der Zahl (l + 1) enthält. Das ist sogar gut so, denn. Das aufgelöste System wird trotzdem empfangen - sogar ein paar Schritte früher.
2. Nach dem l-ten Schritt erhält man eine Gleichung, bei der alle Koeffizienten der Variablen gleich Null sind und der freie Koeffizient von Null verschieden ist. Dies ist eine inkonsistente Gleichung, und daher ist das System inkonsistent.

Es ist wichtig zu verstehen, dass das Auftreten einer inkonsistenten Gleichung durch die Gauß-Methode ein ausreichender Grund für eine Inkonsistenz ist. Gleichzeitig stellen wir fest, dass als Ergebnis des l-ten Schritts triviale Gleichungen nicht verbleiben können - sie werden alle direkt im Prozess gelöscht.

Beschreibung der Schritte:

1. Subtrahiere die erste Gleichung mal 4 von der zweiten. Und fügen Sie auch die erste Gleichung zur dritten hinzu - wir erhalten die zulässige Variable x 1;
2. Wir subtrahieren die dritte Gleichung, multipliziert mit 2, von der zweiten – wir erhalten die widersprüchliche Gleichung 0 = −5.

Das System ist also inkonsistent, da eine inkonsistente Gleichung gefunden wurde.

Aufgabe. Untersuchen Sie die Kompatibilität und finden Sie die allgemeine Lösung des Systems:

Beschreibung der Schritte:

1. Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten (nach Multiplikation mit zwei) und der dritten - wir erhalten die zulässige Variable x 1;
2. Subtrahiere die zweite Gleichung von der dritten. Da alle Koeffizienten in diesen Gleichungen gleich sind, wird die dritte Gleichung trivial. Gleichzeitig multiplizieren wir die zweite Gleichung mit (−1);
3. Wir subtrahieren die zweite Gleichung von der ersten Gleichung - wir erhalten die erlaubte Variable x 2. Das gesamte Gleichungssystem ist nun auch aufgelöst;
4. Da die Variablen x 3 und x 4 frei sind, verschieben wir sie nach rechts, um die erlaubten Variablen auszudrücken. Das ist die Antwort.

Das System ist also verbunden und unbestimmt, da es zwei erlaubte Variablen (x 1 und x 2) und zwei freie (x 3 und x 4) gibt.

Eine der einfachsten Möglichkeiten, ein System linearer Gleichungen zu lösen, ist eine Methode, die auf der Berechnung der Determinanten ( Cramersche Regel). Sein Vorteil ist, dass Sie die Lösung sofort aufzeichnen können. Dies ist besonders praktisch, wenn die Systemkoeffizienten keine Zahlen, sondern einige Parameter sind. Ihr Nachteil ist die Umständlichkeit der Berechnungen bei einer großen Anzahl von Gleichungen, außerdem ist die Cramersche Regel nicht direkt auf Systeme anwendbar, in denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt. In solchen Fällen wird es normalerweise verwendet Gauss-Methode.

Systeme linearer Gleichungen, die denselben Lösungssatz haben, werden aufgerufen gleichwertig. Offensichtlich ändert sich der Lösungssatz eines linearen Systems nicht, wenn irgendwelche Gleichungen vertauscht werden oder wenn eine der Gleichungen mit einer Zahl ungleich Null multipliziert wird oder wenn eine Gleichung zu einer anderen hinzugefügt wird.

Gauss-Methode (Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten) liegt darin, dass das System mit Hilfe elementarer Transformationen auf ein äquivalentes Stufensystem reduziert wird. Zunächst mit Hilfe der 1. Gleichung x 1 aller nachfolgenden Gleichungen des Systems. Dann eliminieren wir mit der 2. Gleichung x 2 der 3. und alle folgenden Gleichungen. Dieser Prozess, genannt direkte Gauss-Methode, wird fortgesetzt, bis nur noch eine Unbekannte auf der linken Seite der letzten Gleichung verbleibt x n. Danach wird es gemacht Gaußsche Umkehrung– Lösen der letzten Gleichung, finden wir x n; danach berechnen wir mit diesem Wert aus der vorletzten Gleichung x n-1 usw. Zuletzt finden wir x 1 aus der ersten Gleichung.

Es ist zweckmäßig, Gaußsche Transformationen durchzuführen, indem Transformationen nicht mit den Gleichungen selbst, sondern mit den Matrizen ihrer Koeffizienten durchgeführt werden. Betrachten Sie die Matrix:

namens erweitertes Matrixsystem, weil es neben der Hauptmatrix des Systems eine Spalte mit freien Mitgliedern enthält. Das Gauß-Verfahren basiert darauf, die Hauptmatrix des Systems durch elementare Zeilentransformationen (!) der erweiterten Matrix des Systems auf eine Dreiecksform (bzw. Trapezform bei nichtquadratischen Systemen) zu bringen.

Beispiel 5.1. Lösen Sie das System mit der Gauß-Methode:

Entscheidung. Lassen Sie uns die erweiterte Matrix des Systems schreiben und mit der ersten Zeile danach die restlichen Elemente auf Null setzen:

wir erhalten Nullen in der 2., 3. und 4. Zeile der ersten Spalte:

Jetzt müssen alle Elemente in der zweiten Spalte unter der 2. Zeile gleich Null sein. Dazu kannst du die zweite Zeile mit -4/7 multiplizieren und zur 3. Zeile addieren. Um jedoch nicht mit Brüchen umzugehen, erstellen wir eine Einheit in der 2. Zeile der zweiten Spalte und nur

Um nun eine Dreiecksmatrix zu erhalten, müssen Sie das Element der vierten Zeile der 3. Spalte auf Null setzen, dazu können Sie die dritte Zeile mit 8/54 multiplizieren und zur vierten hinzufügen. Um jedoch keine Brüche zu behandeln, tauschen wir die 3. und 4. Zeile und die 3. und 4. Spalte aus und setzen erst danach das angegebene Element zurück. Beachten Sie, dass beim Umordnen der Spalten die entsprechenden Variablen vertauscht werden, und dies muss beachtet werden; andere elementare Transformationen mit Spalten (Addition und Multiplikation mit einer Zahl) können nicht durchgeführt werden!

Die letzte vereinfachte Matrix entspricht einem Gleichungssystem, das dem ursprünglichen entspricht:

Von hier aus finden wir unter Verwendung des umgekehrten Verlaufs der Gauß-Methode aus der vierten Gleichung x 3 = -1; ab dem dritten x 4 = -2, ab dem zweiten x 2 = 2 und aus der ersten Gleichung x 1 = 1. In Matrixform wird die Antwort geschrieben als

Wir haben den Fall betrachtet, dass das System definitiv ist, d.h. wenn es nur eine Lösung gibt. Mal sehen, was passiert, wenn das System inkonsistent oder unbestimmt ist.

Beispiel 5.2. Untersuchen Sie das System mit der Gaußschen Methode:

Entscheidung. Wir schreiben und transformieren die erweiterte Matrix des Systems

Wir schreiben ein vereinfachtes Gleichungssystem:

Hier in der letzten Gleichung hat sich herausgestellt, dass 0=4, also Widerspruch. Daher hat das System keine Lösung, d.h. Sie ist unvereinbar. à

Beispiel 5.3. Untersuchen und lösen Sie das System mit der Gaußschen Methode:

Entscheidung. Wir schreiben und transformieren die erweiterte Matrix des Systems:

Als Ergebnis der Transformationen wurden in der letzten Zeile nur Nullen erhalten. Das bedeutet, dass sich die Anzahl der Gleichungen um eins verringert hat:

Somit bleiben nach Vereinfachungen zwei Gleichungen und vier Unbekannte, d.h. zwei unbekannte "zusätzlich". Lassen Sie "überflüssig" oder, wie sie sagen, freie Variablen, Wille x 3 und x 4 . Dann

Vorausgesetzt x 3 = 2a und x 4 = b, wir bekommen x 2 = 1–a und x 1 = 2b–a; oder in Matrixform

Eine so geschriebene Lösung wird aufgerufen Allgemeines, da durch Angabe der Parameter a und b unterschiedlichen Werten ist es möglich, alle möglichen Lösungen des Systems zu beschreiben. a