Thema Nummer 2.

Algebraische Ausdrücke umwandeln

ich. Theoretischer Stoff

Grundlegendes Konzept

Algebraischer Ausdruck: ganzzahlig, gebrochen, rational, irrational.

Geltungsbereich, gültige Werte des Ausdrucks.

Der Wert eines algebraischen Ausdrucks.

Monom, Polynom.

Abgekürzte Multiplikationsformeln.

Faktorisierung, Einklammerung des gemeinsamen Faktors.

Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs.

Grad, Eigenschaften des Grades.

Kortym, Eigenschaften der Wurzeln.

Transformation von rationalen und irrationalen Ausdrücken.

Ein Ausdruck aus Zahlen und Variablen mit den Zeichen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung, Wurzelziehen und Klammern wird aufgerufen algebraisch.

zum Beispiel: ;
;
;

;
;
;
.

Wenn ein algebraischer Ausdruck keine Division in Variablen und kein Ziehen einer Wurzel aus Variablen enthält (insbesondere Potenzieren mit einem Bruchexponenten), wird er aufgerufen ganz.

zum Beispiel:
;
;
.

Wenn ein algebraischer Ausdruck aus Zahlen und Variablen mit den Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Exponentiation mit einem natürlichen Exponenten und Division zusammengesetzt ist und eine Division in Ausdrücke mit Variablen verwendet wird, wird er aufgerufen Bruchteil.

zum Beispiel:
;
.

Ganzzahl- und Bruchausdrücke werden aufgerufen rational Ausdrücke.

zum Beispiel: ;
;

.

Benutzt ein algebraischer Ausdruck das Ziehen einer Wurzel aus Variablen (oder das Potenzieren von Variablen mit Bruch), dann wird ein solcher algebraischer Ausdruck aufgerufen irrational.

zum Beispiel:
;
.

Es werden die Werte von Variablen aufgerufen, für die der algebraische Ausdruck sinnvoll ist gültige Variablenwerte.

Die Menge aller zulässigen Werte von Variablen wird aufgerufen Definitionsbereich.

Der Definitionsbereich eines ganzen algebraischen Ausdrucks ist die Menge der reellen Zahlen.

Der Definitionsbereich eines gebrochenen algebraischen Ausdrucks ist die Menge aller reellen Zahlen, außer denen, die den Nenner auf Null setzen.

zum Beispiel: macht Sinn, wenn
;

macht Sinn wann
, das ist wenn
.

Der Definitionsbereich eines irrationalen algebraischen Ausdrucks ist die Menge aller reellen Zahlen, mit Ausnahme derjenigen, die den Ausdruck unter dem Zeichen der Wurzel eines geraden Grades oder unter dem Zeichen der Potenzierung in eine negative Zahl verwandeln.

zum Beispiel:
macht Sinn wann
;

macht Sinn wann
, das ist wenn
.

Der numerische Wert, der durch Ersetzen der zulässigen Werte von Variablen in einen algebraischen Ausdruck erhalten wird, wird aufgerufen der Wert des algebraischen Ausdrucks.

zum Beispiel: Ausdruck
beim
,
nimmt den Wert an
.

Ein algebraischer Ausdruck, der nur Zahlen, natürliche Potenzen von Variablen und ihre Produkte enthält, wird aufgerufen Monom.

zum Beispiel:
;
;
.

Das Monom, geschrieben als Produkt des numerischen Faktors an erster Stelle und der Potenzen verschiedener Variablen, wird reduziert auf Standardform.

zum Beispiel:
;
.

Der numerische Faktor der Standardschreibweise eines Monoms wird genannt Monomkoeffizient. Die Summe der Exponenten aller Variablen wird aufgerufen monomialen Grad.

Wenn wir ein Monom mit einem Monom multiplizieren und ein Monom in eine natürliche Potenz erheben, erhalten wir ein Monom, das auf eine Standardform reduziert werden muss.

Die Summe der Monome wird aufgerufen Polynom.

zum Beispiel:
; ;
.

Wenn alle Terme des Polynoms in Standardform geschrieben werden und die Reduktion ähnlicher Terme durchgeführt wird, dann das Ergebnis Polynom in Standardform.

zum Beispiel: .

Wenn das Polynom nur eine Variable enthält, wird der größte Exponent dieser Variablen aufgerufen Polynomgrad.

zum Beispiel: Das Polynom hat den fünften Grad.

Der Wert einer Variablen, für die der Wert des Polynoms Null ist, wird aufgerufen Polynomwurzel.

zum Beispiel: Polynomwurzeln
sind die Zahlen 1,5 und 2.

Abgekürzte Multiplikationsformeln

Sonderfälle bei der Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln

Quadratische Differenz:
oder

Das Quadrat der Summe:
oder

Das Quadrat der Differenz:
oder

Kubiksumme:
oder

Unterschied der Würfel:
oder

Summenwürfel:
oder

Differenzwürfel:
oder

Die Transformation eines Polynoms in ein Produkt mehrerer Faktoren (Polynome oder Monome) wird genannt Faktorisierung eines Polynoms.

Zum Beispiel:.

Methoden zum Faktorisieren eines Polynoms

zum Beispiel: .

Verwenden von Kurzformeln für Multiplikationen.

zum Beispiel: .

Gruppierungsmethode. Mit den Kommutativ- und Assoziativgesetzen können Sie die Terme eines Polynoms auf verschiedene Weise gruppieren. Einer der Wege führt dazu, dass derselbe Ausdruck in Klammern erhalten wird, der wiederum aus Klammern genommen wird.

Zum Beispiel:.

Jeder gebrochene algebraische Ausdruck kann als Quotient zweier rationaler Ausdrücke mit einer Variablen im Nenner geschrieben werden.

zum Beispiel:
.

Ein Bruch, dessen Zähler und Nenner rationale Ausdrücke sind und dessen Nenner eine Variable enthält, heißt Bruch rationaler Bruch.

zum Beispiel:
;
;
.

Wenn Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs mit derselben Zahl ungleich Null, Monom oder Polynom, multipliziert oder dividiert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht. Dieser Ausdruck heißt Grundeigenschaft eines Bruchs:

.

Die Aktion, Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl zu dividieren, wird aufgerufen Fraktionsreduktion:

.

zum Beispiel:
;
.

Arbeit n Multiplikatoren, von denen jeder gleich ist a, wo a ein beliebiger algebraischer Ausdruck oder eine reelle Zahl ist, und n eine natürliche Zahl ist, heißt Grada :

.

Algebraischer Ausdruck a namens Basis des Abschlusses, Anzahl
n – Indikator.

zum Beispiel:
.

Es wird per Definition davon ausgegangen, dass für alle a, ungleich Null:

und
.

Wenn ein
, dann
.

Grad Eigenschaften

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Wenn ein ,
, dann der Ausdruck n-ten Grades gleich ist a, wird genannt Wurzeln Grad ana . Es wird allgemein darauf verwiesen
. Dabei a namens radikaler Ausdruck, n namens Root-Indikator.

zum Beispiel:
;
;
.

Root-EigenschaftennGrad a

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Verallgemeinern wir den Grad- und Wurzelbegriff, so erhalten wir den Gradbegriff mit rationalem Exponenten:

.

Insbesondere,
.

Aktionen, die an Wurzeln ausgeführt werden

zum Beispiel: .

II. Praktisches Material

Beispiele für das Erledigen von Aufgaben

Beispiel 1. Finde den Wert eines Bruchs
.

Antworten: .

Beispiel 2. Den Ausdruck vereinfachen
.

Lassen Sie uns den Ausdruck in der ersten Klammer umwandeln:

, Wenn
.

Lassen Sie uns den Ausdruck in der zweiten Klammer umwandeln:

.

Teilen Sie das Ergebnis der ersten Klammer durch das Ergebnis der zweiten Klammer:

Antworten:

Beispiel 3. Den Ausdruck vereinfachen:

.

Beispiel 4. Den Ausdruck vereinfachen.

Wandeln wir den ersten Bruch um:

.

Transformieren wir den zweiten Bruch:

.

Als Ergebnis erhalten wir:
.

Beispiel 5 Den Ausdruck vereinfachen
.

Entscheidung. Handeln wir:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Antworten:
.

Beispiel 6 Identität beweisen
.

1)
;

2)
;

Beispiel 7 Den Ausdruck vereinfachen:

.

Entscheidung. Wir führen die Aktionen durch:

;

2)
.

Beispiel 8 Identität beweisen
.

Entscheidung. Wir führen die Aktionen durch:

1)
;

2)

;

3)
.

Aufgaben zum selbstständigen Arbeiten

1. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

a)
;

b)
;

2. Ausklammern:

a)
;

b)
;.Dokumentieren

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Grundlegende Eigenschaften der Addition und Multiplikation von Zahlen.

Kommutativgesetz der Addition: Wenn die Terme neu angeordnet werden, ändert sich der Wert der Summe nicht. Für alle Zahlen a und b gilt die Gleichheit

Das Assoziativgesetz der Addition: Um zur Summe zweier Zahlen eine dritte Zahl zu addieren, addiert man zur ersten Zahl die Summe der zweiten und dritten Zahl. Für alle Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit

Kommutativgesetz der Multiplikation: Permutation von Faktoren ändert den Wert des Produkts nicht. Für alle Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit

Das Assoziativgesetz der Multiplikation: Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, multipliziert man die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl.

Für alle Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit

Distributivgesetz: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, kannst du diese Zahl mit jedem Term multiplizieren und die Ergebnisse addieren. Für alle Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit

Aus den kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Addition folgt, dass man die Terme in beliebiger Summe beliebig umstellen und beliebig zu Gruppen zusammenfassen kann.

Beispiel 1 Berechnen wir die Summe 1,23+13,5+4,27.

Dazu ist es zweckmäßig, den ersten Term mit dem dritten zu kombinieren. Wir bekommen:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Aus den kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Multiplikation folgt: In jedem Produkt kann man die Faktoren beliebig umstellen und beliebig zu Gruppen zusammenfassen.

Beispiel 2 Finden wir den Wert des Produkts 1,8 0,25 64 0,5.

Wenn wir den ersten Faktor mit dem vierten und den zweiten mit dem dritten kombinieren, erhalten wir:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Die Verteilungseigenschaft gilt auch, wenn die Zahl mit der Summe von drei oder mehr Termen multipliziert wird.

Beispielsweise gilt für alle Zahlen a, b, c und d die Gleichheit

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Wir wissen, dass die Subtraktion durch die Addition ersetzt werden kann, indem man zum Minuend die Gegenzahl zum Subtrahend addiert:

Dadurch kann ein numerischer Ausdruck der Form a-b als Summe der Zahlen a und -b, ein numerischer Ausdruck der Form a + b-c-d als Summe der Zahlen a, b, -c, -d usw. betrachtet werden betrachteten Wirkungseigenschaften gelten auch für solche Summen.

Beispiel 3 Finden wir den Wert des Ausdrucks 3,27-6,5-2,5+1,73.

Dieser Ausdruck ist die Summe der Zahlen 3,27, -6,5, -2,5 und 1,73. Wenden wir die Additionseigenschaften an, erhalten wir: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Beispiel 4 Berechnen wir das Produkt 36·().

Der Multiplikator kann als Summe der Zahlen und - betrachtet werden. Mit dem Distributivgesetz der Multiplikation erhalten wir:

36()=36-36=9-10=-1.

Identitäten

Definition. Zwei Ausdrücke, deren entsprechende Werte für beliebige Werte der Variablen gleich sind, werden als identisch gleich bezeichnet.

Definition. Eine Gleichheit, die für beliebige Werte der Variablen gilt, wird als Identität bezeichnet.

Finden wir die Werte der Ausdrücke 3(x+y) und 3x+3y für x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Wir haben das gleiche Ergebnis. Aus der Verteilungseigenschaft folgt im Allgemeinen, dass für alle Werte der Variablen die entsprechenden Werte der Ausdrücke 3(x+y) und 3x+3y gleich sind.

Betrachten Sie nun die Ausdrücke 2x+y und 2xy. Für x=1, y=2 nehmen sie gleiche Werte an:

Sie können jedoch x- und y-Werte so angeben, dass die Werte dieser Ausdrücke nicht gleich sind. Zum Beispiel, wenn x=3, y=4, dann

Die Ausdrücke 3(x+y) und 3x+3y sind identisch gleich, aber die Ausdrücke 2x+y und 2xy sind nicht identisch gleich.

Die Gleichheit 3(x+y)=x+3y, wahr für alle Werte von x und y, ist eine Identität.

Echte numerische Gleichheiten werden auch als Identitäten betrachtet.

Identitäten sind also Gleichheiten, die die Haupteigenschaften von Aktionen auf Zahlen ausdrücken:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Andere Beispiele für Identitäten können gegeben werden:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identitätstransformationen von Ausdrücken

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen ihm identischen Ausdruck wird als identische Transformation oder einfach als Transformation eines Ausdrucks bezeichnet.

Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Operationen auf Zahlen durchgeführt.

Um den Wert des Ausdrucks xy-xz bei gegebenen Werten x, y, z zu finden, müssen Sie drei Schritte ausführen. Zum Beispiel mit x=2,3, y=0,8, z=0,2 erhalten wir:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Dieses Ergebnis kann in nur zwei Schritten erhalten werden, indem der Ausdruck x(y-z) verwendet wird, der identisch gleich dem Ausdruck xy-xz ist:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Wir haben die Berechnungen vereinfacht, indem wir den Ausdruck xy-xz durch den identisch gleichen Ausdruck x(y-z) ersetzt haben.

Identitätstransformationen von Ausdrücken werden häufig verwendet, um die Werte von Ausdrücken zu berechnen und andere Probleme zu lösen. Einige identische Transformationen wurden bereits durchgeführt, z. B. das Kürzen ähnlicher Terme, das Öffnen von Klammern. Erinnern Sie sich an die Regeln für die Durchführung dieser Transformationen:

Um ähnliche Terme zu erhalten, müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und das Ergebnis mit dem gemeinsamen Buchstabenteil multiplizieren.

Wenn vor den Klammern ein Pluszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, wobei das Vorzeichen jedes in Klammern eingeschlossenen Begriffs beibehalten wird.

Wenn vor den Klammern ein Minuszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, indem das Vorzeichen jedes in Klammern eingeschlossenen Begriffs geändert wird.

Beispiel 1 Addieren wir gleiche Terme in der Summe 5x+2x-3x.

Wir verwenden die Regel zum Kürzen gleicher Terme:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Diese Transformation basiert auf dem Verteilungsgesetz der Multiplikation.

Beispiel 2 Erweitern wir die Klammern im Ausdruck 2a+(b-3c).

Anwendung der Regel zum Öffnen von Klammern mit vorangestelltem Pluszeichen:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Die durchgeführte Transformation basiert auf der assoziativen Eigenschaft der Addition.

Beispiel 3 Erweitern wir die Klammern im Ausdruck a-(4b-c).

Wenden wir die Regel zum Erweitern von Klammern mit vorangestelltem Minuszeichen an:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Die durchgeführte Transformation basiert auf dem Distributivgesetz der Multiplikation und dem Assoziativgesetz der Addition. Zeigen wir es. Stellen wir den zweiten Term -(4b-c) in diesem Ausdruck als Produkt (-1)(4b-c) dar:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Wenden wir diese Eigenschaften von Aktionen an, erhalten wir:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Numerische und algebraische Ausdrücke. Ausdruckskonvertierung.

Was ist ein Ausdruck in der Mathematik? Warum sind Ausdruckskonvertierungen erforderlich?

Die Frage ist, wie sie sagen, interessant... Tatsache ist, dass diese Konzepte die Grundlage aller Mathematik sind. Alle Mathematik besteht aus Ausdrücken und ihren Transformationen. Nicht sehr klar? Lassen Sie mich erklären.

Nehmen wir an, Sie haben ein böses Beispiel. Sehr groß und sehr komplex. Angenommen, Sie sind gut in Mathe und haben vor nichts Angst! Können Sie gleich antworten?

Du musst entscheiden dieses Beispiel. Nacheinander, Schritt für Schritt, dieses Beispiel vereinfachen. Natürlich nach bestimmten Regeln. Jene. machen Ausdruckskonvertierung. Wie erfolgreich Sie diese Transformationen durchführen, so stark sind Sie in Mathematik. Wenn Sie nicht wissen, wie man die richtigen Transformationen durchführt, können Sie es in Mathematik nicht nichts...

Um solch eine unbequeme Zukunft (oder Gegenwart ...) zu vermeiden, schadet es nicht, dieses Thema zu verstehen.)

Finden wir es zunächst heraus was ist ein ausdruck in mathe. Was numerischer Ausdruck und was ist Algebraischer Ausdruck.

Was ist ein Ausdruck in der Mathematik?

Ausdruck in der Mathematik ist ein sehr weit gefasster Begriff. Fast alles, womit wir uns in der Mathematik befassen, ist eine Reihe mathematischer Ausdrücke. Alle Beispiele, Formeln, Brüche, Gleichungen und so weiter - alles besteht aus mathematische Ausdrücke.

3+2 ist ein mathematischer Ausdruck. c 2 - d 2 ist auch ein mathematischer Ausdruck. Und ein gesunder Bruchteil und sogar eine Zahl - das sind alles mathematische Ausdrücke. Die Gleichung lautet zum Beispiel:

5x + 2 = 12

besteht aus zwei mathematischen Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Ein Ausdruck steht links, der andere rechts.

Ganz allgemein der Begriff mathematischer Ausdruck" wird meistens verwendet, um nicht zu murmeln. Sie werden Sie zum Beispiel fragen, was ein gewöhnlicher Bruch ist? Und wie soll man antworten?!

Antwort 1: „Es ist … m-m-m-m... so etwas ... in dem ... Kann ich einen Bruch besser schreiben? Welchen willst du?"

Die zweite Antwortmöglichkeit: „Ein gewöhnlicher Bruch ist (fröhlich und freudig!) mathematischer Ausdruck , die aus Zähler und Nenner besteht!"

Die zweite Option ist irgendwie beeindruckender, oder?)

Dazu ist der Satz „ mathematischer Ausdruck "sehr gut. Sowohl richtig als auch solide. Aber für die praktische Anwendung muss man sich gut auskennen bestimmte Arten von Ausdrücken in der Mathematik .

Der genaue Typ ist eine andere Sache. Das ganz was anderes! Jede Art von mathematischem Ausdruck hat Bergwerk eine Reihe von Regeln und Techniken, die bei der Entscheidung verwendet werden müssen. Mit Brüchen arbeiten - ein Satz. Für die Arbeit mit trigonometrischen Ausdrücken - die zweite. Für die Arbeit mit Logarithmen - der dritte. Usw. Irgendwo stimmen diese Regeln überein, irgendwo unterscheiden sie sich stark. Aber fürchte dich nicht vor diesen schrecklichen Worten. Logarithmen, Trigonometrie und andere mysteriöse Dinge werden wir in den entsprechenden Abschnitten beherrschen.

Hier werden wir zwei Haupttypen von mathematischen Ausdrücken beherrschen (oder - wiederholen Sie, wie Sie möchten ...). Numerische Ausdrücke und algebraische Ausdrücke.

Numerische Ausdrücke.

Was numerischer Ausdruck? Dies ist ein sehr einfaches Konzept. Der Name selbst deutet darauf hin, dass es sich um einen Ausdruck mit Zahlen handelt. So ist es. Ein mathematischer Ausdruck, der sich aus Zahlen, Klammern und Vorzeichen arithmetischer Operationen zusammensetzt, wird als numerischer Ausdruck bezeichnet.

7-3 ist ein numerischer Ausdruck.

(8+3.2) 5.4 ist auch ein numerischer Ausdruck.

Und dieses Monster:

auch ein numerischer Ausdruck, ja...

Eine gewöhnliche Zahl, ein Bruch, irgendein Rechenbeispiel ohne x und andere Buchstaben – all das sind numerische Ausdrücke.

Hauptmerkmal numerisch Ausdrücke darin keine Buchstaben. Keiner. Nur Zahlen und mathematische Symbole (falls erforderlich). Es ist einfach, oder?

Und was kann man mit numerischen Ausdrücken machen? Numerische Ausdrücke können normalerweise gezählt werden. Dafür muss man manchmal Klammern öffnen, Vorzeichen wechseln, abkürzen, Begriffe vertauschen – also machen Ausdruckskonvertierungen. Aber dazu weiter unten mehr.

Hier behandeln wir solch einen lustigen Fall bei einem numerischen Ausdruck Sie müssen nichts tun. Nun, gar nichts! Diese schöne Aktion nichts tun)- wird ausgeführt, wenn der Ausdruck Es ist nicht sinnvoll.

Wann macht ein numerischer Ausdruck keinen Sinn?

Wenn wir natürlich eine Art Abrakadabra vor uns sehen, wie z

dann machen wir nichts. Da ist nicht klar, was damit zu tun ist. Etwas Unsinn. Es sei denn, um die Anzahl der Pluspunkte zu zählen ...

Aber es gibt äußerlich ganz anständige Ausdrücke. Zum Beispiel das:

(2+3): (16 - 2 8)

Allerdings ist dieser Ausdruck auch Es ist nicht sinnvoll! Aus dem einfachen Grund, dass man in der zweiten Klammer – wenn man mitzählt – Null bekommt. Du kannst nicht durch Null dividieren! Dies ist eine verbotene Operation in der Mathematik. Daher brauchen Sie auch mit diesem Ausdruck nichts zu tun. Für jede Aufgabe mit einem solchen Ausdruck ist die Antwort immer dieselbe: "Der Ausdruck ergibt keinen Sinn!"

Um eine solche Antwort zu geben, musste ich natürlich berechnen, was in Klammern stehen würde. Und manchmal in Klammern so eine Wendung ... Naja, dagegen ist nichts zu machen.

Es gibt nicht so viele verbotene Operationen in der Mathematik. In diesem Thread gibt es nur einen. Durch Null teilen. Zusätzliche Verbote, die bei Wurzeln und Logarithmen auftreten, werden in den entsprechenden Themen behandelt.

Also, eine Vorstellung davon, was ist numerischer Ausdruck- bekam. Konzept Numerischer Ausdruck macht keinen Sinn- erkannte. Gehen wir weiter.

Algebraische Ausdrücke.

Wenn Buchstaben in einem numerischen Ausdruck vorkommen, wird dieser Ausdruck zu... Der Ausdruck wird zu... Ja! Es wird Algebraischer Ausdruck. Zum Beispiel:

5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x2+4x-4; (a + b) 2; ...

Solche Ausdrücke werden auch genannt wörtliche Ausdrücke. Oder Ausdrücke mit Variablen. Es ist praktisch dasselbe. Ausdruck 5a+c, zum Beispiel - sowohl wörtlich als auch algebraisch und Ausdruck mit Variablen.

Konzept Algebraischer Ausdruck - breiter als numerisch. Es beinhaltet und alle numerischen Ausdrücke. Jene. ein numerischer Ausdruck ist auch ein algebraischer Ausdruck, nur ohne die Buchstaben. Jeder Hering ist ein Fisch, aber nicht jeder Fisch ist ein Hering...)

Wieso den wörtlich- Es ist klar. Nun, da gibt es Buchstaben ... Phrase Ausdruck mit Variablen auch nicht sehr verwirrend. Wenn Sie verstehen, dass Zahlen unter den Buchstaben versteckt sind. Unter den Buchstaben können alle möglichen Zahlen versteckt werden ... Und 5 und -18 und was immer Sie wollen. Das heißt, ein Brief kann ersetzen für verschiedene Nummern. Deshalb heißen die Buchstaben Variablen.

Im Ausdruck j+5, Zum Beispiel, beim- variabel. Oder sag einfach " Variable", ohne das Wort "Wert". Anders als die Fünf, die ein konstanter Wert ist. Oder einfach - Konstante.

Begriff Algebraischer Ausdruck bedeutet, dass Sie die Gesetze und Regeln verwenden müssen, um mit diesem Ausdruck zu arbeiten Algebra. Wenn ein Arithmetik arbeitet dann mit bestimmten Nummern Algebra- mit allen Zahlen auf einmal. Ein einfaches Beispiel zur Verdeutlichung.

In der Arithmetik kann man das schreiben

Aber wenn wir eine ähnliche Gleichheit durch algebraische Ausdrücke schreiben:

a + b = b + a

wir entscheiden sofort alles Fragen. Für alle Nummern Schlaganfall. Für unendlich viele Dinge. Denn unter den Buchstaben a und b impliziert alles Zahlen. Und nicht nur Zahlen, sondern auch andere mathematische Ausdrücke. So funktioniert Algebra.

Wann macht ein algebraischer Ausdruck keinen Sinn?

Über den numerischen Ausdruck ist alles klar. Du kannst nicht durch Null teilen. Und mit Buchstaben ist es möglich herauszufinden, durch was wir dividieren?!

Nehmen wir als Beispiel den folgenden Variablenausdruck:

2: (a - 5)

Macht das Sinn? Aber wer kennt ihn? a- irgendeine Nummer...

Irgendein, irgendein... Aber es gibt eine Bedeutung a, für die dieser Ausdruck exakt Es ist nicht sinnvoll! Und was ist diese Nummer? Ja! Es ist 5! Wenn die Variable a ersetzen (sie sagen - "ersetzen") durch die Zahl 5, in Klammern wird sich herausstellen, dass Null ist. die nicht geteilt werden können. Es stellt sich also heraus, dass unser Ausdruck Es ist nicht sinnvoll, Wenn a = 5. Aber für andere Werte a macht das Sinn? Können Sie andere Nummern ersetzen?

Sicherlich. In solchen Fällen wird einfach gesagt, dass der Ausdruck

2: (a - 5)

macht für jeden Wert Sinn a, außer a = 5 .

Das ganze Zahlenwerk kann substituieren in den gegebenen Ausdruck wird aufgerufen gültiger Bereich dieser Ausdruck.

Wie Sie sehen können, ist nichts schwierig. Wir betrachten den Ausdruck mit Variablen und denken: Bei welchem ​​Wert der Variablen erhält man die verbotene Operation (Division durch Null)?

Und dann schauen Sie sich unbedingt die Frage der Zuordnung an. Was fragen sie?

Es ist nicht sinnvoll, unser verbotener Wert wird die Antwort sein.

Wenn sie fragen, bei welchem ​​​​Wert der Variablen der Ausdruck ist hat die bedeutung(Fühlen Sie den Unterschied!), lautet die Antwort alle anderen Zahlen außer dem Verbotenen.

Warum brauchen wir die Bedeutung des Ausdrucks? Er ist da, er ist nicht... Was ist der Unterschied?! Tatsache ist, dass dieses Konzept in der High School sehr wichtig wird. Extrem wichtig! Dies ist die Grundlage für so solide Konzepte wie den Bereich gültiger Werte oder den Umfang einer Funktion. Ohne dies werden Sie überhaupt nicht in der Lage sein, ernsthafte Gleichungen oder Ungleichungen zu lösen. So.

Ausdruckskonvertierung. Identitätstransformationen.

Wir haben uns mit numerischen und algebraischen Ausdrücken vertraut gemacht. Verstehe, was der Satz „der Ausdruck ergibt keinen Sinn“ bedeutet. Jetzt müssen wir herausfinden, was Ausdruckskonvertierung. Die Antwort ist einfach, unverschämt.) Dies ist jede Aktion mit einem Ausdruck. Und alle. Sie haben diese Transformationen seit der ersten Klasse durchgeführt.

Nehmen Sie den coolen numerischen Ausdruck 3+5. Wie kann es umgewandelt werden? Ja, ganz einfach! Berechnung:

Diese Berechnung wird die Transformation des Ausdrucks sein. Sie können denselben Ausdruck auch anders schreiben:

Wir haben hier nichts gezählt. Schreiben Sie einfach den Ausdruck auf in anderer Form. Dies wird auch eine Transformation des Ausdrucks sein. Es kann so geschrieben werden:

Und auch dies ist die Transformation eines Ausdrucks. Sie können so viele dieser Transformationen vornehmen, wie Sie möchten.

Irgendein Aktion auf einen Ausdruck irgendein Das Schreiben in einer anderen Form wird als Ausdruckstransformation bezeichnet. Und alle Dinge. Alles ist sehr einfach. Aber hier gibt es eine Sache sehr wichtige Regel. So wichtig, dass es sicher angerufen werden kann Hauptregel alles Mathematik. Diese Regel brechen zwangsläufig führt zu Fehlern. Verstehen wir?)

Nehmen wir an, wir haben unseren Ausdruck willkürlich transformiert, wie folgt:

Transformation? Sicherlich. Wir haben den Ausdruck in einer anderen Form geschrieben, was ist hier falsch?

So ist es nicht.) Tatsache ist, dass die Transformationen "wie auch immer" Mathematik interessiert das überhaupt nicht.) Alle Mathematik baut auf Transformationen auf, bei denen sich das Aussehen ändert, aber das Wesen des Ausdrucks ändert sich nicht. Drei plus fünf kann in jeder Form geschrieben werden, aber es muss acht sein.

Transformationen, Ausdrücke, die nichts an der Essenz ändern namens identisch.

Genau identische Transformationen und erlauben Sie uns, Schritt für Schritt ein komplexes Beispiel in einen einfachen Ausdruck zu verwandeln, indem Sie es beibehalten Essenz des Beispiels. Wenn wir einen Fehler in der Transformationskette machen, machen wir eine NICHT identische Transformation, dann werden wir entscheiden Ein weiterer Beispiel. Mit anderen Antworten, die nicht mit den richtigen zusammenhängen.)

Hier ist die Hauptregel für die Lösung aller Aufgaben: Einhaltung der Identität von Transformationen.

Ich habe zur Verdeutlichung ein Beispiel mit einem numerischen Ausdruck 3 + 5 gegeben. In algebraischen Ausdrücken sind identische Transformationen durch Formeln und Regeln gegeben. Nehmen wir an, es gibt eine Formel in der Algebra:

a(b+c) = ab + ac

In jedem Beispiel können wir also anstelle des Ausdrucks a(b+c) Fühlen Sie sich frei, einen Ausdruck zu schreiben ab+ac. Umgekehrt. Das identische Verwandlung. Die Mathematik gibt uns die Wahl zwischen diesen beiden Ausdrücken. Und welche zu schreiben ist, hängt vom konkreten Beispiel ab.

Ein anderes Beispiel. Eine der wichtigsten und notwendigen Transformationen ist die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs. Sie können weitere Details unter dem Link sehen, aber hier erinnere ich nur an die Regel: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl oder einem Ausdruck ungleich Null multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Hier ist ein Beispiel für identische Transformationen für diese Eigenschaft:

Wie Sie wahrscheinlich erraten haben, kann diese Kette unendlich fortgesetzt werden ...) Eine sehr wichtige Eigenschaft. Dadurch können Sie alle möglichen Beispielmonster in weiß und flauschig verwandeln.)

Es gibt viele Formeln, die identische Transformationen definieren. Aber das Wichtigste - eine ziemlich vernünftige Menge. Eine der grundlegenden Transformationen ist die Faktorisierung. Es wird in der gesamten Mathematik verwendet - von der Grundstufe bis zur Fortgeschrittenen. Beginnen wir mit ihm. in der nächsten Lektion.)

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

ICH. Ausdrücke, in denen neben Buchstaben Zahlen, Rechenzeichen und Klammern verwendet werden können, nennt man algebraische Ausdrücke.

Beispiele für algebraische Ausdrücke:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a2-2ab;

Da ein Buchstabe in einem algebraischen Ausdruck durch verschiedene Zahlen ersetzt werden kann, wird der Buchstabe als Variable bezeichnet, und der algebraische Ausdruck selbst wird als Ausdruck mit einer Variablen bezeichnet.

II. Wenn in einem algebraischen Ausdruck Buchstaben (Variablen) durch ihre Werte ersetzt und die angegebenen Aktionen ausgeführt werden, wird die resultierende Zahl als Wert des algebraischen Ausdrucks bezeichnet.

Beispiele. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

1) a + 2b -c für a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y=-5; z = 6.

Entscheidung.

1) a + 2b -c für a = -2; b = 10; c = -3,5. Anstelle von Variablen ersetzen wir ihre Werte. Wir bekommen:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y=-5; z = 6. Wir ersetzen die angegebenen Werte. Denken Sie daran, dass der Modulus einer negativen Zahl gleich ihrer Gegenzahl ist und der Modulus einer positiven Zahl gleich dieser Zahl selbst ist. Wir bekommen:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Die Werte eines Buchstabens (Variable), für die der algebraische Ausdruck Sinn macht, heißen gültige Werte des Buchstabens (Variable).

Beispiele. Bei welchen Werten der Variablen macht der Ausdruck keinen Sinn?

Entscheidung. Wir wissen, dass es unmöglich ist, durch Null zu dividieren, daher ergibt jeder dieser Ausdrücke keinen Sinn mit dem Wert des Buchstabens (Variable), der den Nenner des Bruchs auf Null setzt!

In Beispiel 1) ist dies der Wert a = 0. Wenn wir statt a 0 einsetzen, muss die Zahl 6 tatsächlich durch 0 geteilt werden, aber das geht nicht. Antwort: Ausdruck 1) macht keinen Sinn, wenn a = 0 ist.

In Beispiel 2) ist der Nenner x - 4 = 0 bei x = 4, daher ist dieser Wert x = 4 und kann nicht genommen werden. Antwort: Ausdruck 2) macht keinen Sinn für x = 4.

In Beispiel 3) ist der Nenner x + 2 = 0 für x = -2. Antwort: Ausdruck 3) macht bei x = -2 keinen Sinn.

In Beispiel 4) ist der Nenner 5 -|x| = 0 für |x| = 5. Und da |5| = 5 und |-5| \u003d 5, dann können Sie nicht x \u003d 5 und x \u003d -5 nehmen. Antwort: Ausdruck 4) macht keinen Sinn für x = -5 und für x = 5.
IV. Zwei Ausdrücke werden als identisch gleich bezeichnet, wenn für alle zulässigen Werte der Variablen die entsprechenden Werte dieser Ausdrücke gleich sind.

Beispiel: 5 (a – b) und 5a – 5b sind identisch, da die Gleichheit 5 (a – b) = 5a – 5b für beliebige Werte von a und b gilt. Gleichheit 5 (a - b) = 5a - 5b ist eine Identität.

Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gilt. Beispiele für Ihnen bereits bekannte Identitäten sind zB die Eigenschaften der Addition und Multiplikation, die Verteilungseigenschaft.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen ihm identischen Ausdruck wird als identische Transformation oder einfach als Transformation eines Ausdrucks bezeichnet. Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Operationen auf Zahlen durchgeführt.

Beispiele.

a) Konvertieren Sie den Ausdruck mit dem Distributivgesetz der Multiplikation in identisch gleich:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m – 2n + k).

Entscheidung. Erinnern Sie sich an das Distributivgesetz (Gesetz) der Multiplikation:

(a+b) c=a c+b c(Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition: Um die Summe zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die Ergebnisse addieren).
(a-b) c=a c-b c(Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Subtraktion: Um die Differenz zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, kann man mit dieser gekürzten und subtrahierten Zahl separat multiplizieren und die zweite vom ersten Ergebnis subtrahieren).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) wandeln Sie den Ausdruck unter Verwendung der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Addition in identisch gleich um:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Entscheidung. Wir wenden die Gesetze (Eigenschaften) der Addition an:

a+b=b+a(Verschiebung: die Summe ändert sich durch die Umordnung der Terme nicht).
(a+b)+c=a+(b+c)(Assoziativ: um eine dritte Zahl zur Summe zweier Terme zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

in) wandeln Sie den Ausdruck unter Verwendung der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Multiplikation in identisch gleich um:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 Jahre · (-ein); 9) 3a · (-3) · 2s.

Entscheidung. Wenden wir die Gesetze (Eigenschaften) der Multiplikation an:

ein b=b ein(Verschiebung: Permutation von Faktoren verändert das Produkt nicht).
(ab) c=a (b c)(Kombinativ: Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren).

Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Die Summe von Monomen heißt Polynom. Die Terme in einem Polynom heißen Glieder des Polynoms. Mononome werden auch als Polynome bezeichnet, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Mitglied besteht.

Zum Beispiel Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
vereinfacht werden kann.

Wir stellen alle Terme als Monome der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Wir geben ähnliche Terme im resultierenden Polynom an:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Mitglieder alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome werden aufgerufen Polynome der Standardform.

Hinter Polynomgrad Standardform nehmen die größten Befugnisse ihrer Mitglieder. Das Binom \(12a^2b - 7b \) hat also den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6 \) hat den zweiten.

Normalerweise werden die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Die Summe mehrerer Polynome kann (vereinfacht) in ein Normalformpolynom umgewandelt werden.

Manchmal müssen die Mitglieder eines Polynoms in Gruppen eingeteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt wird. Da Klammern das Gegenteil von Klammern sind, ist sie einfach zu formulieren Klammern Öffnungsregeln:

Steht das +-Zeichen vor den Klammern, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wird den Klammern ein „-“ vorangestellt, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts aus einem Monom und einem Polynom

Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom transformieren (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss man dieses Monom mit jedem der Terme des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel wiederholt zum Multiplizieren mit einer Summe verwendet.

Das Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Terms eines Polynoms und jedes Terms des anderen.

Verwenden Sie normalerweise die folgende Regel.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summe, Differenz und Differenzquadrat

Einige Ausdrücke in algebraischen Transformationen müssen häufiger behandelt werden als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, die Quadrat der Differenz und quadratische Differenz. Sie haben bemerkt, dass die Namen dieser Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, also ist beispielsweise \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von A und B. Das Quadrat der Summe von a und b ist jedoch in der Regel nicht so häufig, statt der Buchstaben a und b enthält es verschiedene, manchmal recht komplexe Ausdrücke.

Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen), tatsächlich ist Ihnen eine solche Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Die resultierenden Identitäten sind nützlich, um sie sich zu merken und ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und des doppelten Produkts.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - das Quadrat der Differenz ist die Summe der Quadrate ohne das Produkt zu verdoppeln.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.

Diese drei Identitäten erlauben in Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt - rechte Teile durch linke. Das Schwierigste in diesem Fall ist, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, was die Variablen a und b darin ersetzen. Sehen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.