Pythagoras ist ein griechischer Wissenschaftler, der vor etwa 2500 Jahren (564-473 v. Chr.) lebte.

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten a, b und mit(Abb. 267).

Lassen Sie uns Quadrate an seinen Seiten bauen. Die Flächen dieser Quadrate sind jeweils a 2 , b 2 und mit 2. Lassen Sie uns das beweisen mit 2 = ein 2 +b 2 .

Lassen Sie uns zwei Quadrate MKOR und M'K'O'R' (Abb. 268, 269) konstruieren, indem wir für die Seite jedes von ihnen eine Strecke nehmen, die gleich der Summe der Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks ABC ist.

Nachdem wir die in den Abbildungen 268 und 269 gezeigten Konstruktionen in diesen Quadraten abgeschlossen haben, werden wir sehen, dass das MKOR-Quadrat in zwei Quadrate mit Flächen unterteilt ist a 2 und b 2 und vier gleiche rechtwinklige Dreiecke, von denen jedes gleich dem rechtwinkligen Dreieck ABC ist. Das Quadrat M'K'O'R' ist in ein Viereck (es ist in Abbildung 269 schraffiert) und vier rechtwinklige Dreiecke unterteilt, von denen jedes auch gleich dem Dreieck ABC ist. Das schattierte Viereck ist ein Quadrat, da seine Seiten gleich sind (jede ist gleich der Hypotenuse des Dreiecks ABC, d.h. mit), und die Winkel sind Geraden ∠1 + ∠2 = 90°, womit ∠3 = 90°).

Somit ist die Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate (in Abbildung 268 sind diese Quadrate schattiert) gleich der Fläche des MKOR-Quadrats ohne die Summe der Flächen von vier gleichen Dreiecken und der Fläche von Das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat (in Abbildung 269 ist dieses Quadrat auch schattiert) ist gleich der Fläche des Quadrats M'K'O'R', gleich dem Quadrat von MKOR, ohne die Summe der Flächen von vier ähnliche Dreiecke. Daher ist die Fläche des Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf den Beinen gebaut sind.

Wir bekommen die Formel mit 2 = ein 2 +b 2, wo mit- Hypotenuse, a und b- Beine eines rechtwinkligen Dreiecks.

Der Satz des Pythagoras lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

Aus der Formel mit 2 = ein 2 +b 2 können Sie die folgenden Formeln erhalten:

a 2 = mit 2 - b 2 ;

b 2 = mit 2 - a 2 .

Diese Formeln können verwendet werden, um die unbekannte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, wenn zwei seiner Seiten gegeben sind.

Zum Beispiel:

a) wenn Beine gegeben sind a= 4cm, b\u003d 3 cm, dann finden Sie die Hypotenuse ( mit):

mit 2 = ein 2 +b 2, d.h. mit 2 = 4 2 + 3 2 ; mit 2 = 25, woher mit= √25 = 5(cm);

b) wenn die Hypotenuse gegeben ist mit= 17 cm und Bein a= 8 cm, dann kannst du ein anderes Bein finden ( b):

b 2 = mit 2 - a 2, d.h. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, woher b= √225 = 15 (cm).

Korollar: Wenn in zwei rechtwinkligen Dreiecken ABC und A 1 B 1 C 1 Hypotenuse mit und mit 1 sind gleich, und das Bein b Dreieck ABC ist größer als das Bein b 1 Dreieck A 1 B 1 C 1,

dann das Bein a Dreieck ABC ist kleiner als das Bein a 1 Dreieck A 1 B 1 C 1 .

Tatsächlich erhalten wir nach dem Satz des Pythagoras:

a 2 = mit 2 - b 2 ,

a 1 2 = mit 1 2 - b 1 2

In den geschriebenen Formeln sind die Minuenden gleich und der Subtrahend in der ersten Formel ist größer als der Subtrahend in der zweiten Formel, daher ist die erste Differenz kleiner als die zweite.

d.h. a 2 ein 1 2 . Woher a eine 1 .

Der Name wird jedoch nur deshalb zu Ehren des Wissenschaftlers erhalten, weil er die erste und sogar einzige Person ist, die das Theorem beweisen konnte.

Der deutsche Mathematikhistoriker Kantor behauptete, der Satz sei den Ägyptern bereits um 2300 v. Chr. bekannt gewesen. e. Er glaubte, dass rechte Winkel früher durch rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten 3, 4 und 5 gebildet wurden.

Der berühmte Wissenschaftler Kepler sagte, dass die Geometrie einen unersetzlichen Schatz hat - das ist der Satz des Pythagoras, dank dessen es möglich ist, die meisten Sätze in der Geometrie abzuleiten.

Früher wurde der Satz des Pythagoras „Satz der Braut“ oder „Satz der Nymphe“ genannt. Und die Sache ist, dass ihre Zeichnung einem Schmetterling oder einer Nymphe sehr ähnlich war. Als die Araber den Text des Theorems übersetzten, entschieden sie, dass die Nymphe die Braut bedeutet. So entstand der interessante Name des Theorems.

Satz des Pythagoras, Formel

Satz

- In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Beine () gleich dem Quadrat der Hypotenuse (). Dies ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie.

Formel:

Wie bereits erwähnt, gibt es viele verschiedene Beweise des Theorems mit vielseitigen mathematischen Ansätzen. Häufiger werden jedoch Flächensätze verwendet.

Konstruiere Quadrate auf dem Dreieck ( blau, grün, rot)

Das heißt, die Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate ist gleich der Fläche des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats. Dementsprechend sind die Flächen dieser Quadrate gleich -. Dies ist die geometrische Erklärung von Pythagoras.

Beweis des Satzes nach der Flächenmethode: 1 Weg

Beweisen wir das.

Betrachten Sie dasselbe Dreieck mit den Beinen a, b und der Hypotenuse c.

1. Wir ergänzen das rechtwinklige Dreieck zu einem Quadrat. Von Bein „a“ führen wir die Linie bis zum Abstand von Bein „b“ (rote Linie) fort.
2. Als nächstes ziehen wir die Linie des neuen Beins „a“ nach rechts (grüne Linie).
3. Wir verbinden zwei Beine mit der Hypotenuse „c“.

Es stellt sich das gleiche Dreieck heraus, nur umgekehrt.

Ähnlich bauen wir auf der anderen Seite: Vom Bein „a“ ziehen wir die Linie des Beins „b“ und nach unten „a“ und „b“. Und von der Unterseite des Beins „b“ zeichnen wir die Linie des Bein „a“. In der Mitte jedes Beins wurde eine Hypotenuse „c“ gezeichnet. So bildeten die Hypotenusen in der Mitte ein Quadrat.

Dieses Quadrat besteht aus 4 identischen Dreiecken. Und die Fläche jedes rechtwinkligen Dreiecks = die Hälfte des Produkts seiner Beine. Bzw, . Und die Fläche des Quadrats in der Mitte = , da alle 4 Hypotenusen Seiten haben. Die Seiten eines Vierecks sind gleich und die Winkel sind richtig. Wie können wir beweisen, dass die Winkel richtig sind? Sehr einfach. Nehmen wir dasselbe Quadrat:

Wir wissen, dass die beiden in der Abbildung gezeigten Winkel 90 Grad betragen. Da die Dreiecke gleich sind, ist der nächste Beinwinkel „b“ gleich dem vorherigen Bein „b“:

Die Summe dieser beiden Winkel = 90 Grad. Dementsprechend beträgt der vorherige Winkel auch 90 Grad. Dasselbe gilt natürlich auch auf der anderen Seite. Dementsprechend haben wir wirklich ein Quadrat mit rechten Winkeln.

Da die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks insgesamt 90 Grad betragen, beträgt der Winkel des Vierecks ebenfalls 90 Grad, da 3 Winkel insgesamt = 180 Grad.

Dementsprechend besteht die Fläche eines Quadrats aus vier Flächen gleicher rechtwinkliger Dreiecke und der Fläche des Quadrats, die von den Hypotenusen gebildet wird.

Somit haben wir ein Quadrat mit der Seitenlänge . Wir wissen, dass die Fläche eines Quadrats mit einer Seite das Quadrat seiner Seite ist. Also . Dieses Quadrat besteht aus vier identischen Dreiecken.

Und damit haben wir den Satz des Pythagoras bewiesen.

WICHTIG!!! Wenn wir die Hypotenuse finden, fügen wir zwei Beine hinzu und leiten dann die Antwort von der Wurzel ab. Wenn Sie eines der Beine finden: subtrahieren Sie vom Quadrat der Länge des zweiten Beins das Quadrat der Länge der Hypotenuse und finden Sie die Quadratwurzel.

Beispiele für Problemlösungen

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben: ein rechtwinkliges Dreieck mit den Beinen 4 und 5.

Finden Sie die Hypotenuse. Solange wir es mit bezeichnen

Entscheidung

Die Summe der Quadrate der Schenkel ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse. In unserem Fall - .

Wenden wir den Satz des Pythagoras an:

Also, ein. Die Beine addieren sich zu 41.

Dann . Das Quadrat der Hypotenuse ist also 41.

Das Quadrat der Zahl 41 = 6,4.

Wir haben die Hypotenuse gefunden.

Antworten

Hypotenuse = 6,4

Das kreative Potenzial wird meist den Geisteswissenschaften zugeschrieben, übrig bleibt die naturwissenschaftliche Analyse, praktische Herangehensweise und trockene Formel- und Zahlensprache. Mathematik ist kein geisteswissenschaftliches Fach. Doch ohne Kreativität kommt man in der „Königin aller Wissenschaften“ nicht weit – das weiß man schon lange. Zum Beispiel seit der Zeit von Pythagoras.

Schulbücher erklären leider meist nicht, dass es in der Mathematik wichtig ist, nicht nur Sätze, Axiome und Formeln zu pauken. Es ist wichtig, seine Grundprinzipien zu verstehen und zu fühlen. Versuchen Sie gleichzeitig, Ihren Geist von Klischees und elementaren Wahrheiten zu befreien - nur unter solchen Bedingungen werden alle großen Entdeckungen geboren.

Zu diesen Entdeckungen gehört die, die wir heute als Satz des Pythagoras kennen. Mit ihrer Hilfe werden wir versuchen zu zeigen, dass Mathematik nicht nur Spaß machen kann, sondern auch soll. Und dass dieses Abenteuer nicht nur für Nerds in dicken Gläsern geeignet ist, sondern für alle, die einen starken Verstand und einen starken Geist haben.

Aus der Geschichte des Problems

Genau genommen heißt der Satz zwar "Satz des Pythagoras", Pythagoras selbst hat ihn aber nicht entdeckt. Das rechtwinklige Dreieck und seine besonderen Eigenschaften wurden lange vorher untersucht. Zu diesem Thema gibt es zwei polare Standpunkte. Einer Version zufolge war Pythagoras der erste, der einen vollständigen Beweis des Satzes fand. Nach einer anderen gehört der Beweis nicht zur Urheberschaft von Pythagoras.

Heute kann man nicht mehr nachprüfen, wer Recht und wer Unrecht hat. Es ist nur bekannt, dass der Beweis von Pythagoras, falls er jemals existiert hat, nicht überlebt hat. Es gibt jedoch Hinweise darauf, dass der berühmte Beweis aus Euklids Elementen möglicherweise Pythagoras gehört, und Euklid hat ihn nur aufgezeichnet.

Es ist heute auch bekannt, dass sich Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck in ägyptischen Quellen aus der Zeit von Pharao Amenemhet I., auf babylonischen Tontafeln aus der Regierungszeit von König Hammurabi, in der altindischen Abhandlung Sulva Sutra und dem altchinesischen Werk Zhou finden -bi suan jin.

Wie Sie sehen können, beschäftigt der Satz des Pythagoras die Köpfe der Mathematiker seit der Antike. Etwa 367 verschiedene Beweisstücke, die heute existieren, dienen als Bestätigung. Kein anderer Satz kann in dieser Hinsicht mit ihm konkurrieren. Bemerkenswerte Beweisautoren sind Leonardo da Vinci und der 20. Präsident der Vereinigten Staaten, James Garfield. All dies spricht für die außerordentliche Bedeutung dieses Satzes für die Mathematik: Die meisten Sätze der Geometrie sind von ihm abgeleitet oder auf die eine oder andere Weise damit verbunden.

Beweise des Satzes des Pythagoras

Schulbücher geben meistens algebraische Beweise. Aber die Essenz des Theorems liegt in der Geometrie, also betrachten wir zuerst die Beweise des berühmten Theorems, die auf dieser Wissenschaft basieren.

Beweis 1

Für den einfachsten Beweis des Satzes des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck müssen Sie ideale Bedingungen einstellen: Das Dreieck soll nicht nur rechtwinklig, sondern auch gleichschenklig sein. Es gibt Grund zu der Annahme, dass es ein solches Dreieck war, das ursprünglich von alten Mathematikern in Betracht gezogen wurde.

Erklärung „Ein Quadrat, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, ist gleich der Summe der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut sind“ lässt sich mit folgender Zeichnung veranschaulichen:

Betrachten Sie das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck ABC: Auf der Hypotenuse AC können Sie ein Quadrat bauen, das aus vier Dreiecken gleich dem ursprünglichen ABC besteht. Und auf den Beinen AB und BC ist ein Quadrat aufgebaut, das jeweils zwei ähnliche Dreiecke enthält.

Übrigens bildete diese Zeichnung die Grundlage zahlreicher Anekdoten und Cartoons, die dem Satz des Pythagoras gewidmet waren. Das vielleicht berühmteste ist "Pythagoräische Hosen sind in alle Richtungen gleich":

Beweis 2

Diese Methode kombiniert Algebra und Geometrie und kann als Variante des altindischen Beweises des Mathematikers Bhaskari angesehen werden.

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten a, b und c(Abb. 1). Baue dann zwei Quadrate mit Seiten gleich der Summe der Längen der beiden Beine - (a+b). Machen Sie in jedem der Quadrate Konstruktionen wie in den Abbildungen 2 und 3.

Baue im ersten Quadrat vier der gleichen Dreiecke wie in Abbildung 1. Als Ergebnis erhältst du zwei Quadrate: eines mit Seite a, das zweite mit Seite b.

Im zweiten Quadrat bilden vier ähnliche konstruierte Dreiecke ein Quadrat mit einer Seite, die der Hypotenuse entspricht c.

Die Summe der Flächen der konstruierten Quadrate in Abb. 2 ist gleich der Fläche des Quadrats, das wir mit der Seite c in Abb. 3 konstruiert haben. Dies lässt sich leicht überprüfen, indem man die Flächeninhalte der Quadrate in Abb. 2 nach der Formel. Und die Fläche des eingeschriebenen Quadrats in Abbildung 3. durch Subtrahieren der Flächen von vier gleichwinkligen Dreiecken, die in das Quadrat eingeschrieben sind, von der Fläche eines großen Quadrats mit einer Seite (a+b).

Wenn wir all dies niederlegen, haben wir: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Erweitern Sie die Klammern, führen Sie alle notwendigen algebraischen Berechnungen durch und erhalten Sie das Ergebnis a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Gleichzeitig wird der Bereich der in Abb.3 eingeschriebenen. Quadrat kann auch mit der traditionellen Formel berechnet werden S=c2. Jene. a2+b2=c2 Sie haben den Satz des Pythagoras bewiesen.

Beweis 3

Derselbe altindische Beweis wird im 12. Jahrhundert in der Abhandlung „Die Krone des Wissens“ („Siddhanta Shiromani“) beschrieben, und als Hauptargument verwendet der Autor einen Appell an die mathematische Begabung und Beobachtungsgabe von Schülern und Studenten Follower: "Schaut!".

Aber wir werden diesen Beweis genauer analysieren:

Bauen Sie innerhalb des Quadrats vier rechtwinklige Dreiecke, wie in der Zeichnung angegeben. Die Seite des großen Quadrats, die auch die Hypotenuse ist, wird bezeichnet mit. Nennen wir die Beine des Dreiecks a und b. Gemäß der Zeichnung ist die Seite des inneren Quadrats (ab).

Verwenden Sie die quadratische Flächenformel S=c2 um die Fläche des äußeren Quadrats zu berechnen. Und berechnen Sie gleichzeitig denselben Wert, indem Sie die Fläche des inneren Quadrats und die Fläche aller vier rechtwinkligen Dreiecke addieren: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Sie können beide Optionen verwenden, um die Fläche eines Quadrats zu berechnen, um sicherzustellen, dass sie dasselbe Ergebnis liefern. Und das gibt Ihnen das Recht, das aufzuschreiben c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Als Ergebnis der Lösung erhalten Sie die Formel des Satzes von Pythagoras c2=a2+b2. Der Satz ist bewiesen.

Beweis 4

Dieses kuriose altchinesische Zeugnis wurde „Bride’s Chair“ genannt – wegen der stuhlähnlichen Figur, die sich aus all den Konstruktionen ergibt:

Es verwendet die Zeichnung, die wir bereits in Abbildung 3 im zweiten Beweis gesehen haben. Und das innere Quadrat mit der Seite c ist genauso konstruiert wie in dem oben gegebenen altindischen Beweis.

Wenn Sie gedanklich zwei grüne rechtwinklige Dreiecke aus der Zeichnung in Abb. 1 abschneiden, sie auf gegenüberliegende Seiten des Quadrats mit der Seite c übertragen und die Hypotenusen an den Hypotenusen der lila Dreiecke befestigen, erhalten Sie eine Figur namens „Braut“. Stuhl“ (Abb. 2). Der Übersichtlichkeit halber können Sie dasselbe mit Papierquadraten und -dreiecken tun. Sie werden sehen, dass der "Brautstuhl" aus zwei Quadraten besteht: kleinen mit einer Seite b und groß mit einer Seite a.

Diese Konstruktionen erlaubten es den alten chinesischen Mathematikern und uns, die ihnen folgen, zu dem Schluss zu kommen, dass c2=a2+b2.

Beweis 5

Dies ist eine weitere Möglichkeit, eine Lösung des Satzes des Pythagoras basierend auf Geometrie zu finden. Es heißt die Garfield-Methode.

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC. Das müssen wir beweisen BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Setzen Sie dazu das Bein fort AC und baue ein Segment CD, das gleich dem Bein ist AB. Untere Senkrechte ANZEIGE Liniensegment Ed. Segmente Ed und AC sind gleich. verbinde die Punkte E und BEIM, und auch E und Mit und erhalten Sie eine Zeichnung wie das Bild unten:

Um den Turm zu beweisen, greifen wir wieder auf die bereits getestete Methode zurück: Wir finden die Fläche der resultierenden Figur auf zwei Arten und setzen die Ausdrücke einander gleich.

Finden Sie die Fläche eines Polygons EIN BETT kann durch Addieren der Flächen der drei Dreiecke erfolgen, die es bilden. Und einer von ihnen ERU, ist nicht nur rechteckig, sondern auch gleichschenklig. Vergessen wir das auch nicht AB=CD, AC=ED und BC=CE- Dadurch können wir die Aufnahme vereinfachen und nicht überladen. So, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Gleichzeitig ist das offensichtlich EIN BETT ist ein Trapez. Daher berechnen wir seine Fläche mit der Formel: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Für unsere Berechnungen ist es bequemer und übersichtlicher, das Segment darzustellen ANZEIGE als Summe der Segmente AC und CD.

Schreiben wir beide Möglichkeiten, um die Fläche einer Figur zu berechnen, indem wir ein Gleichheitszeichen dazwischen setzen: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Wir verwenden die uns bereits bekannte und oben beschriebene Segmentgleichheit, um die rechte Seite der Notation zu vereinfachen: AB*AC+1/2BC2 =1/2(AB+AC)2. Und jetzt öffnen wir die Klammern und transformieren die Gleichheit: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nachdem wir alle Transformationen abgeschlossen haben, bekommen wir genau das, was wir brauchen: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Wir haben den Satz bewiesen.

Natürlich ist diese Liste von Beweisen bei weitem nicht vollständig. Der Satz des Pythagoras kann auch mit Vektoren, komplexen Zahlen, Differentialgleichungen, Stereometrie usw. bewiesen werden. Und sogar Physiker: Wenn zum Beispiel Flüssigkeit in quadratische und dreieckige Volumen gegossen wird, ähnlich wie sie in den Zeichnungen dargestellt sind. Durch Gießen von Flüssigkeit ist es möglich, die Flächengleichheit und damit den Satz selbst zu beweisen.

Ein paar Worte zu pythagoreischen Drillingen

Dieses Thema wird im Schullehrplan wenig oder gar nicht behandelt. Mittlerweile ist es sehr interessant und von großer Bedeutung in der Geometrie. Pythagoreische Tripel werden verwendet, um viele mathematische Probleme zu lösen. Die Vorstellung davon kann Ihnen in der Weiterbildung nützlich sein.

Was sind pythagoreische Drillinge? Sogenannte natürliche Zahlen, zu dritt zusammengefasst, wobei die Summe der Quadrate von zweien gleich der dritten Zahl zum Quadrat ist.

Pythagoräische Tripel können sein:

• primitiv (alle drei Zahlen sind teilerfremd);
• nicht primitiv (wenn jede Zahl eines Tripels mit derselben Zahl multipliziert wird, erhält man ein neues Tripel, das nicht primitiv ist).

Schon vor unserer Zeitrechnung waren die alten Ägypter vom Zahlenwahn der pythagoreischen Drillinge fasziniert: Bei Aufgaben betrachteten sie ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 3,4 und 5 Einheiten. Übrigens ist jedes Dreieck, dessen Seiten gleich den Zahlen des pythagoreischen Tripels sind, standardmäßig rechteckig.

Beispiele für pythagoräische Tripel: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) usw.

Praktische Anwendung des Theorems

Der Satz des Pythagoras findet nicht nur Anwendung in der Mathematik, sondern auch in der Architektur und im Bauwesen, in der Astronomie und sogar in der Literatur.

Zunächst zur Konstruktion: Der Satz des Pythagoras wird darin häufig bei Problemen unterschiedlicher Komplexität verwendet. Schauen Sie sich zum Beispiel das romanische Fenster an:

Lassen Sie uns die Breite des Fensters als bezeichnen b, dann kann der Radius des großen Halbkreises bezeichnet werden als R und durch ausdrücken b: R=b/2. Der Radius kleinerer Halbkreise kann auch in ausgedrückt werden b: r=b/4. Bei diesem Problem interessiert uns der Radius des inneren Kreises des Fensters (nennen wir es p).

Der Satz des Pythagoras ist einfach praktisch zum Berechnen R. Dazu verwenden wir ein rechtwinkliges Dreieck, das in der Abbildung durch eine gepunktete Linie angedeutet ist. Die Hypotenuse eines Dreiecks besteht aus zwei Radien: b/4+p. Ein Bein ist ein Radius b/4, Ein weiterer b/2-p. Mit dem Satz des Pythagoras schreiben wir: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Als nächstes öffnen wir die Klammern und erhalten b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln in bp/2=b 2 /4-bp. Und dann teilen wir alle Begriffe in b, wir geben ähnliche zu bekommen 3/2*p=b/4. Und am Ende finden wir das p=b/6- was wir brauchten.

Mit dem Satz können Sie die Länge der Sparren für ein Satteldach berechnen. Bestimmen Sie, wie hoch ein Mobilfunkmast sein muss, damit das Signal eine bestimmte Siedlung erreicht. Und stellen Sie sogar ständig einen Weihnachtsbaum auf dem Stadtplatz auf. Wie Sie sehen können, lebt dieses Theorem nicht nur auf den Seiten von Lehrbüchern, sondern ist im wirklichen Leben oft nützlich.

Was die Literatur betrifft, hat der Satz des Pythagoras Schriftsteller seit der Antike inspiriert und tut dies bis heute. Zum Beispiel ließ sich der deutsche Schriftsteller Adelbert von Chamisso im 19. Jahrhundert von ihr zu einem Sonett inspirieren:

Das Licht der Wahrheit wird sich nicht bald auflösen,
Aber nachdem es geleuchtet hat, ist es unwahrscheinlich, dass es sich auflöst
Und wie vor Tausenden von Jahren
Wird keine Zweifel und Streitigkeiten verursachen.

Am klügsten, wenn es das Auge berührt
Licht der Wahrheit, danke den Göttern;
Und hundert Bullen, erstochen, lügen -
Das Gegengeschenk des glücklichen Pythagoras.

Seitdem brüllen die Bullen verzweifelt:
Erweckte den Stierstamm für immer
hier erwähnte Veranstaltung.

Sie denken, es ist an der Zeit
Und wieder werden sie geopfert
Irgendein großartiger Satz.

(übersetzt von Viktor Toporov)

Und im zwanzigsten Jahrhundert widmete der sowjetische Schriftsteller Yevgeny Veltistov in seinem Buch "The Adventures of Electronics" den Beweisen des Satzes des Pythagoras ein ganzes Kapitel. Und ein halbes Kapitel der Geschichte über die zweidimensionale Welt, die existieren könnte, wenn der Satz des Pythagoras zum Grundgesetz und sogar zur Religion einer einzigen Welt würde. Es wäre viel einfacher darin zu leben, aber auch viel langweiliger: Zum Beispiel versteht dort niemand die Bedeutung der Wörter „rund“ und „flauschig“.

Und in dem Buch „Die Abenteuer der Elektronik“ sagt der Autor durch den Mund des Mathematiklehrers Taratara: „Das Wichtigste in der Mathematik sind Gedankenbewegungen, neue Ideen.“ Es ist dieser kreative Gedankenflug, der den Satz des Pythagoras hervorbringt – nicht umsonst hat er so viele unterschiedliche Beweise. Es hilft, über das Gewohnte hinauszugehen und bekannte Dinge auf neue Weise zu betrachten.

Fazit

Dieser Artikel wurde erstellt, damit Sie über den Schullehrplan in Mathematik hinausblicken und nicht nur die Beweise des Satzes von Pythagoras lernen können, die in den Lehrbüchern "Geometrie 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) und "Geometrie 7 -11 “ (A. V. Pogorelov), aber auch andere merkwürdige Wege, um das berühmte Theorem zu beweisen. Und sehen Sie auch Beispiele, wie der Satz des Pythagoras im Alltag angewendet werden kann.

Erstens ermöglichen Ihnen diese Informationen, höhere Punktzahlen im Mathematikunterricht zu erreichen – Informationen zu diesem Thema aus zusätzlichen Quellen sind immer sehr willkommen.

Zweitens wollten wir Ihnen helfen, ein Gefühl dafür zu bekommen, wie interessant Mathematik ist. Sich durch konkrete Beispiele davon überzeugen lassen, dass Kreativität immer Platz hat. Wir hoffen, dass der Satz des Pythagoras und dieser Artikel Sie zu eigenen Forschungen und spannenden Entdeckungen in Mathematik und anderen Wissenschaften inspirieren werden.

Teilen Sie uns in den Kommentaren mit, ob Sie die im Artikel präsentierten Beweise interessant fanden. Fanden Sie diese Informationen für Ihr Studium hilfreich? Teilen Sie uns Ihre Meinung zum Satz des Pythagoras und zu diesem Artikel mit – wir besprechen dies gerne mit Ihnen.

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Satz des Pythagoras: Die Summe der Flächen der von den Beinen getragenen Quadrate ( a und b), ist gleich der Fläche des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats ( c).

Geometrische Formulierung:

Der Satz wurde ursprünglich wie folgt formuliert:

Algebraische Formulierung:

Das heißt, die Länge der Hypotenuse des Dreiecks durch bezeichnen c, und die Längen der Beine durch a und b :

a 2 + b 2 = c 2

Beide Formulierungen des Theorems sind äquivalent, aber die zweite Formulierung ist elementarer, sie erfordert nicht den Begriff der Fläche. Das heißt, die zweite Aussage kann verifiziert werden, ohne etwas über die Fläche zu wissen und indem man nur die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks misst.

Satz des umgekehrten Pythagoras:

Beweis für

Derzeit sind 367 Beweise dieses Theorems in der wissenschaftlichen Literatur verzeichnet. Wahrscheinlich ist der Satz des Pythagoras der einzige Satz mit einer so beeindruckenden Anzahl von Beweisen. Eine solche Vielfalt kann nur durch die grundlegende Bedeutung des Theorems für die Geometrie erklärt werden.

Natürlich können sie alle konzeptionell in eine kleine Anzahl von Klassen unterteilt werden. Die bekanntesten davon: Beweise nach der Flächenmethode, axiomatische und exotische Beweise (z. B. unter Verwendung von Differentialgleichungen).

Durch ähnliche Dreiecke

Der folgende Beweis der algebraischen Formulierung ist der einfachste der direkt aus den Axiomen aufgebauten Beweise. Insbesondere wird das Konzept der Figurfläche nicht verwendet.

Lassen ABC Da ist ein rechtwinkliges Dreieck C. Lassen Sie uns eine Höhe von zeichnen C und bezeichne seine Basis mit H. Dreieck ACHähnlich einem Dreieck ABC an zwei Ecken. Ebenso das Dreieck CBHähnlich ABC. Einführung in die Notation

wir bekommen

Was ist gleichwertig

Wenn wir hinzufügen, erhalten wir

Gebietsbeweise

Die folgenden Beweise sind trotz ihrer scheinbaren Einfachheit gar nicht so einfach. Alle verwenden die Eigenschaften der Fläche, deren Beweis komplizierter ist als der Beweis des Satzes des Pythagoras selbst.

Beweis über Äquivalenz

1. Ordnen Sie vier gleiche rechtwinklige Dreiecke wie in Abbildung 1 gezeigt an.
2. Viereck mit Seiten c ist ein Quadrat, weil die Summe zweier spitzer Winkel 90° und der gerade Winkel 180° beträgt.
3. Die Fläche der gesamten Figur entspricht einerseits der Fläche eines Quadrats mit einer Seite (a + b) und andererseits der Summe der Flächen von vier Dreiecken und zwei inneren Quadrate.

Q.E.D.

Beweis durch Äquivalenz

Ein eleganter Permutationsbeweis

Ein Beispiel für einen dieser Beweise ist in der Zeichnung rechts dargestellt, wo das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat durch Permutation in zwei auf den Beinen aufgebaute Quadrate umgewandelt wird.

Euklids Beweis

Zeichnung für Euklids Beweis

Illustration für Euklids Beweis

Die Idee von Euklids Beweis ist wie folgt: Versuchen wir zu beweisen, dass die halbe Fläche des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats gleich der Summe der halben Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate und dann der Flächen von ist das große und zwei kleine Quadrate sind gleich.

Betrachten Sie die Zeichnung links. Darauf haben wir Quadrate auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut und einen Strahl s vom Scheitelpunkt des rechten Winkels C senkrecht zur Hypotenuse AB gezeichnet, er schneidet das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat ABIK in zwei Rechtecke - BHJI und HAKJ, bzw. Es stellt sich heraus, dass die Flächen dieser Rechtecke genau gleich den Flächen der Quadrate sind, die auf den entsprechenden Beinen aufgebaut sind.

Versuchen wir zu beweisen, dass die Fläche des Quadrats DECA gleich der Fläche des Rechtecks ​​AHJK ist. Dazu verwenden wir eine Hilfsbeobachtung: Die Fläche eines Dreiecks mit der gleichen Höhe und Basis wie die gegebenen Rechteck ist gleich der Hälfte der Fläche des gegebenen Rechtecks. Dies ist eine Folge der Definition der Fläche eines Dreiecks als das halbe Produkt aus der Basis und der Höhe. Aus dieser Beobachtung folgt, dass die Fläche des Dreiecks ACK gleich der Fläche des Dreiecks AHK (nicht gezeigt) ist, die wiederum gleich der Hälfte der Fläche des Rechtecks ​​AHJK ist.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass die Fläche des Dreiecks ACK auch gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats DECA ist. Dazu muss lediglich die Gleichheit der Dreiecke ACK und BDA nachgewiesen werden (da die Fläche des Dreiecks BDA durch die obige Eigenschaft gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats ist). Diese Gleichheit ist offensichtlich, die Dreiecke sind in zwei Seiten und im Winkel zwischen ihnen gleich. Nämlich - AB=AK,AD=AC - die Gleichheit der Winkel CAK und BAD lässt sich leicht durch die Bewegungsmethode beweisen: Drehen wir das Dreieck CAK um 90 ° gegen den Uhrzeigersinn, dann ist es offensichtlich, dass die entsprechenden Seiten der beiden betrachteten Dreiecke zusammenfallen (da der Eckwinkel des Quadrats 90° beträgt).

Völlig analog ist der Streit um die Flächengleichheit des Quadrats BCFG und des Rechtecks ​​BHJI.

Somit haben wir bewiesen, dass die Fläche des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats die Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate ist. Die Idee hinter diesem Beweis wird durch die obige Animation weiter veranschaulicht.

Beweis für Leonardo da Vinci

Beweis für Leonardo da Vinci

Die Hauptelemente des Beweises sind Symmetrie und Bewegung.

Betrachten Sie die Zeichnung, wie aus der Symmetrie ersichtlich, das Segment Cich seziert das Quadrat EINBHJ in zwei identische Teile (da Dreiecke EINBC und JHich sind baugleich). Bei einer Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn sehen wir die Gleichheit der schattierten Figuren CEINJich und GDEINB . Jetzt ist klar, dass die von uns schattierte Fläche der Figur gleich der Summe der Hälfte der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks ist. Andererseits ist es gleich der Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats plus der Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Der letzte Beweisschritt bleibt dem Leser überlassen.

Beweis nach der Infinitesimalmethode

Der folgende Beweis mit Differentialgleichungen wird oft dem berühmten englischen Mathematiker Hardy zugeschrieben, der in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts lebte.

Betrachten Sie die in der Abbildung gezeigte Zeichnung und beobachten Sie den Seitenwechsel a, können wir für infinitesimale Seiteninkremente die folgende Beziehung schreiben mit und a(unter Verwendung ähnlicher Dreiecke):

Beweis nach der Infinitesimalmethode

Mit der Methode der Variablentrennung finden wir

Ein allgemeinerer Ausdruck für die Änderung der Hypotenuse bei Inkrementen beider Beine

Wenn wir diese Gleichung integrieren und die Anfangsbedingungen verwenden, erhalten wir

c 2 = a 2 + b 2 + konstant.

Damit kommen wir zur gewünschten Antwort

c 2 = a 2 + b 2 .

Es ist leicht zu sehen, dass die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel aufgrund der linearen Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen auftritt, während die Summe auf den unabhängigen Beiträgen der Inkremente verschiedener Schenkel beruht.

Einen einfacheren Beweis erhält man, wenn man annimmt, dass einer der Schenkel kein Inkrement erfährt (in diesem Fall der Schenkel b). Dann erhalten wir für die Integrationskonstante

Variationen und Verallgemeinerungen

• Wenn anstelle von Quadraten andere ähnliche Figuren an den Beinen konstruiert werden, gilt die folgende Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen ähnlicher Figuren, die auf den Beinen gebaut sind, gleich der Fläche der Figur, die auf der Hypotenuse gebaut ist. Insbesondere:
  • Die Summe der Flächen von regelmäßigen Dreiecken, die auf den Beinen aufgebaut sind, ist gleich der Fläche eines regelmäßigen Dreiecks, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist.
  • Die Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Halbkreise (wie beim Durchmesser) ist gleich der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Halbkreises. Dieses Beispiel wird verwendet, um die Eigenschaften von Figuren zu beweisen, die durch Bögen zweier Kreise begrenzt sind und den Namen hippokratische Lunula tragen.

Geschichte

Chu-pei 500–200 v. Auf der linken Seite befindet sich die Inschrift: Die Summe der Quadrate der Längen der Höhe und der Basis ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse.

Das alte chinesische Buch Chu-pei spricht von einem pythagoreischen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5: Im selben Buch wird eine Zeichnung vorgeschlagen, die mit einer der Zeichnungen der hinduistischen Geometrie von Baskhara übereinstimmt.

Kantor (der größte deutsche Mathematikhistoriker) glaubt, dass die Gleichheit 3 ​​² + 4 ² = 5² schon den Ägyptern um 2300 v. Chr. bekannt war. h., während der Zeit von König Amenemhet I. (nach Papyrus 6619 des Berliner Museums). Laut Cantor bauten die Harpedonapten oder "Stringer" rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten 3, 4 und 5.

Es ist sehr einfach, ihre Bauweise zu reproduzieren. Nehmen Sie ein 12 m langes Seil und binden Sie es entlang eines farbigen Streifens in einem Abstand von 3 m daran fest. von einem Ende und 4 Meter vom anderen. Zwischen 3 und 4 Meter langen Seiten wird ein rechter Winkel eingeschlossen. Man könnte den Harpedonapten einwenden, dass ihre Bauweise überflüssig wird, wenn man zum Beispiel den von allen Zimmerleuten verwendeten Holzwinkel verwendet. Tatsächlich sind ägyptische Zeichnungen bekannt, in denen ein solches Werkzeug zu finden ist, beispielsweise Zeichnungen, die eine Tischlerei darstellen.

Etwas mehr ist über den Satz des Pythagoras unter den Babyloniern bekannt. In einem Text aus der Zeit von Hammurabi, also bis 2000 v. h., eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gegeben. Daraus können wir schließen, dass man in Mesopotamien zumindest teilweise mit rechtwinkligen Dreiecken rechnen konnte. Basierend einerseits auf dem aktuellen Wissensstand über die ägyptische und babylonische Mathematik und andererseits auf einem kritischen Studium griechischer Quellen kam Van der Waerden (ein niederländischer Mathematiker) zu folgendem Schluss:

Literatur

Auf Russisch

• Skopets Z. A. Geometrische Miniaturen. M., 1990
• Jelensky Sh. Auf den Spuren von Pythagoras. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Erwachende Wissenschaft. Mathematik des alten Ägypten, Babylon und Griechenland. M, 1959
• Glaser G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. M., 1982
• W. Litzman, "The Pythagorean Theorem" M., 1960.
  • Eine Seite über den Satz des Pythagoras mit einer großen Anzahl von Beweisen, das Material stammt aus dem Buch von W. Litzman, eine große Anzahl von Zeichnungen werden als separate Grafikdateien präsentiert.
• Der Satz des Pythagoras und das Kapitel der pythagoreischen Tripel aus dem Buch von D. V. Anosov „Ein Blick auf die Mathematik und etwas daraus“
• Über den Satz des Pythagoras und Methoden seines Beweises G. Glaser, Akademiemitglied der Russischen Akademie für Pädagogik, Moskau

Auf Englisch

• Der Satz des Pythagoras bei WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, Abschnitt zum Satz des Pythagoras, ca. 70 Beweise und umfangreiche Zusatzinformationen (engl.)

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Laut van der Waerden war es sehr wahrscheinlich, dass das Verhältnis in allgemeiner Form bereits um das 18. Jahrhundert v. Chr. In Babylon bekannt war. e.

Etwa 400 v. h., laut Proclus gab Plato eine Methode zum Finden von pythagoreischen Tripeln, indem er Algebra und Geometrie kombinierte. Um 300 v. e. in den „Elementen“ von Euklid erschien der älteste axiomatische Beweis des Satzes des Pythagoras.

Wortlaut

Die Hauptformulierung enthält algebraische Operationen - in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Beinlängen gleich sind ein (\displaystyle ein) und b (\displaystyle b), und die Länge der Hypotenuse ist c (\ displaystyle c), ist die Beziehung erfüllt:

.

Es ist auch eine äquivalente geometrische Formulierung möglich, die auf das Konzept der Fläche Figur zurückgreift: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats, das auf der Hypotenuse gebaut ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf den Beinen gebaut sind. In dieser Form ist der Satz in Euklids Principia formuliert.

Inverser Satz des Pythagoras- die Aussage über die Rechtwinkligkeit eines beliebigen Dreiecks, dessen Seitenlängen durch die Beziehung zusammenhängen a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Als Konsequenz für jedes Tripel positiver Zahlen ein (\displaystyle ein), b (\displaystyle b) und c (\ displaystyle c), so dass a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen ein (\displaystyle ein) und b (\displaystyle b) und Hypotenuse c (\ displaystyle c).

Beweis für

Mindestens 400 Beweise des Satzes des Pythagoras sind in der wissenschaftlichen Literatur verzeichnet, was sowohl durch den fundamentalen Wert für die Geometrie als auch durch die Elementarität des Ergebnisses erklärt wird. Die Hauptrichtungen der Beweise sind: algebraische Verwendung der Verhältnisse von Elementen – Dreieck (wie z. B. die beliebte Ähnlichkeitsmethode), Flächenmethode, es gibt auch verschiedene exotische Beweise (z. B. unter Verwendung von Differentialgleichungen).

Durch ähnliche Dreiecke

Euklids klassischer Beweis zielt darauf ab, die Gleichheit der Flächen zwischen den Rechtecken herzustellen, die durch Zerlegen des Quadrats über der Hypotenuse mit der Höhe aus dem rechten Winkel mit den Quadraten über den Beinen gebildet werden.

Die für den Beweis verwendete Konstruktion ist wie folgt: für ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C (\displaystyle C), Quadrate über den Beinen und und Quadrate über der Hypotenuse A B I K (\displaystyle ABIK) Höhe wird gebaut CH (\displaystyle CH) und der Strahl, der es fortsetzt s (\displaystyle s), das Quadrat über der Hypotenuse in zwei Rechtecke teilend und . Der Beweis zielt darauf ab, die Gleichheit der Flächen des Rechtecks ​​festzustellen A H J K (\displaystyle AHJK) mit einem Quadrat über dem Bein A C (\displaystyle AC); Die Gleichheit der Flächen des zweiten Rechtecks, das ein Quadrat über der Hypotenuse ist, und des Rechtecks ​​über dem anderen Bein wird auf ähnliche Weise hergestellt.

Gleichheit der Flächen eines Rechtecks A H J K (\displaystyle AHJK) und A C E D (\displaystyle ACED) entsteht durch die Kongruenz von Dreiecken △ A C K ​​​​(\displaystyle\triangle ACK) und △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), deren Fläche jeweils der Hälfte der Fläche von Quadraten entspricht A H J K (\displaystyle AHJK) und A C E D (\displaystyle ACED) jeweils in Verbindung mit folgender Eigenschaft: Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte der Fläche eines Rechtecks, wenn die Figuren eine gemeinsame Seite haben, und die Höhe des Dreiecks zur gemeinsamen Seite die andere Seite ist das Rechteck. Die Kongruenz von Dreiecken folgt aus der Gleichheit zweier Seiten (Quadratseiten) und dem Winkel zwischen ihnen (zusammengesetzt aus einem rechten Winkel und einem Winkel a). A (\displaystyle A).

Somit stellt der Beweis fest, dass die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse aus Rechtecken besteht A H J K (\displaystyle AHJK) und B H J I (\ displaystyle BHJI), ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Beinen.

Beweis für Leonardo da Vinci

Die Flächenmethode beinhaltet auch den von Leonardo da Vinci gefundenen Beweis. Es sei ein rechtwinkliges Dreieck △ A B C (\displaystyle\triangle ABC) rechter Winkel C (\displaystyle C) und Quadrate A C E D (\displaystyle ACED), B. C. F. G. (\displaystyle BCFG) und A B H J (\displaystyle ABHJ)(siehe Bild). In diesem Beweis auf der Seite HJ (\displaystyle HJ) zu letzterem wird nach außen kongruent ein Dreieck konstruiert △ A B C (\displaystyle\triangle ABC), darüber hinaus sowohl relativ zur Hypotenuse als auch relativ zu ihrer Höhe (d.h. J ich = BC (\ displaystyle JI = BC) und H. ich = A. C. (\displaystyle HI=AC)). Gerade CI (\ displaystyle CI) teilt das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat in zwei gleiche Teile, seit Dreiecken △ A B C (\displaystyle\triangle ABC) und △ JH I (\displaystyle \triangle JHI) sind baugleich. Der Beweis stellt die Kongruenz von Vierecken her C A J I (\ displaystyle CAJI) und D A B G (\ displaystyle DABG), deren Fläche einerseits gleich der Summe der Hälfte der Flächen der Quadrate an den Beinen und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks andererseits gleich der Hälfte der Fläche von ist ​​das Quadrat über der Hypotenuse plus die Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Insgesamt ist die Hälfte der Summe der Flächen der Quadrate über den Beinen gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse, was der geometrischen Formulierung des Satzes des Pythagoras entspricht.

Beweis nach der Infinitesimalmethode

Es gibt mehrere Beweise mit der Technik der Differentialgleichungen. Insbesondere wird Hardy ein Beweis zugeschrieben, der unendlich kleine Beininkremente verwendet ein (\displaystyle ein) und b (\displaystyle b) und Hypotenuse c (\ displaystyle c), und Erhaltung der Ähnlichkeit mit dem ursprünglichen Rechteck, d. h. Sicherstellung der Erfüllung der folgenden Differenzialbeziehungen:

d ein d c = c ein (\ displaystyle (\ frac (da) (dc)) = (\ frac (c) (a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Durch die Methode der Variablentrennung wird daraus eine Differentialgleichung abgeleitet c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), deren Integration die Relation ergibt c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Anwendung von Anfangsbedingungen a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definiert eine Konstante als 0, was zur Behauptung des Theorems führt.

Die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel erscheint aufgrund der linearen Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe auf den unabhängigen Beiträgen der Inkremente verschiedener Schenkel beruht.

Variationen und Verallgemeinerungen

Ähnliche geometrische Formen auf drei Seiten

Eine wichtige geometrische Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras wurde von Euklid in den "Anfängen" gegeben, indem er von den Flächen der Quadrate an den Seiten zu den Flächen beliebiger ähnlicher geometrischer Figuren überging: Die Summe der Flächen solcher Figuren, die auf den Beinen gebaut wurden, wird sein gleich der Fläche einer ihnen ähnlichen Figur, die auf der Hypotenuse aufgebaut ist.

Die Hauptidee dieser Verallgemeinerung ist, dass die Fläche einer solchen geometrischen Figur proportional zum Quadrat einer ihrer linearen Abmessungen und insbesondere zum Quadrat der Länge einer beliebigen Seite ist. Daher für ähnliche Figuren mit Flächen A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) und C (\displaystyle C) gebaut auf Beinen mit Längen ein (\displaystyle ein) und b (\displaystyle b) und Hypotenuse c (\ displaystyle c) entsprechend gibt es eine Beziehung:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Denn nach dem Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), dann ist es geschafft.

Darüber hinaus ist es möglich, ohne Rückgriff auf den Satz des Pythagoras zu beweisen, dass für die Flächen dreier ähnlicher geometrischer Figuren auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die Beziehung gilt A + B = C (\displaystyle A+B=C), dann können wir unter Verwendung der Umkehrung des Beweises von Euklids Verallgemeinerung den Beweis des Satzes von Pythagoras ableiten. Wenn wir zum Beispiel auf der Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck kongruent zum Anfangsdreieck mit Fläche konstruieren C (\displaystyle C), und an den Beinen - zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke mit Flächen A (\displaystyle A) und B (\displaystyle B), dann stellt sich heraus, dass die Dreiecke an den Beinen durch Teilen des ursprünglichen Dreiecks durch seine Höhe entstehen, dh die Summe zweier kleinerer Flächen der Dreiecke ist also gleich der Fläche des dritten A + B = C (\displaystyle A+B=C) und indem man die Beziehung für ähnliche Figuren anwendet, wird der Satz des Pythagoras abgeleitet.

Kosinussatz

Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des allgemeineren Kosinussatzes, der die Seitenlängen in einem beliebigen Dreieck in Beziehung setzt:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta)=c^(2)),

wo ist der winkel zwischen den seiten ein (\displaystyle ein) und b (\displaystyle b). Wenn der Winkel 90° beträgt, dann cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), und die Formel vereinfacht sich zum üblichen Satz des Pythagoras.

Beliebiges Dreieck

Es gibt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf ein beliebiges Dreieck, das ausschließlich auf dem Verhältnis der Seitenlängen basiert. Es wird angenommen, dass es zuerst von dem sabischen Astronomen Sabit ibn Kurra aufgestellt wurde. Darin ist für ein beliebiges Dreieck mit Seiten ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Basis an der Seite c (\ displaystyle c), wobei der Scheitelpunkt mit dem Scheitelpunkt des ursprünglichen Dreiecks gegenüber der Seite zusammenfällt c (\ displaystyle c) und Winkel an der Basis gleich dem Winkel θ (\displaystyle\theta) gegenüberliegende Seite c (\ displaystyle c). Als Ergebnis werden zwei Dreiecke gebildet, ähnlich wie im Original: das erste mit Seiten ein (\displaystyle ein), die laterale Seite des einbeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks weit davon entfernt, und r (\displaystyle r)- Seitenteile c (\ displaystyle c); der zweite ist von der Seite symmetrisch dazu b (\displaystyle b) mit einer Party s (\displaystyle s)- der relevante Teil der Seite c (\ displaystyle c). Damit ist die Beziehung erfüllt:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

was in den Satz des Pythagoras bei entartet θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Das Verhältnis ergibt sich aus der Ähnlichkeit der gebildeten Dreiecke:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rechtspfeil \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Flächensatz von Pappus

Nichteuklidische Geometrie

Der Satz des Pythagoras leitet sich aus den Axiomen der euklidischen Geometrie ab und ist für die nichteuklidische Geometrie ungültig – die Erfüllung des Satzes des Pythagoras kommt dem Postulat des euklidischen Parallelismus gleich.

In der nicht-euklidischen Geometrie wird die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks notwendigerweise eine andere Form als im Satz des Pythagoras haben. Zum Beispiel haben in der sphärischen Geometrie alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die den Oktanten der Einheitskugel begrenzen, eine Länge π / 2 (\displaystyle \pi/2), was dem Satz des Pythagoras widerspricht.

Darüber hinaus gilt der Satz des Pythagoras in der hyperbolischen und elliptischen Geometrie, wenn die Anforderung, dass das Dreieck rechteckig ist, durch die Bedingung ersetzt wird, dass die Summe der beiden Winkel des Dreiecks gleich dem dritten sein muss.

sphärische Geometrie

Für jedes rechtwinklige Dreieck auf einer Kugel mit Radius R (\displaystyle R)(z. B. wenn der Winkel im Dreieck richtig ist) mit Seiten a , b , c (\displaystyle a,b,c) Die Beziehung zwischen den Seiten ist:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Diese Gleichheit lässt sich als Spezialfall des sphärischen Kosinussatzes ableiten, der für alle sphärischen Dreiecke gilt:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ ein ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

wo ch (\Displaystyle\Operatorname (ch))- hyperbolischer Kosinus. Diese Formel ist ein Spezialfall des hyperbolischen Kosinussatzes, der für alle Dreiecke gilt:

ch ⁡ c = ch ⁡ ein ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ ein ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

wo γ (\displaystyle\gamma)- ein Winkel, dessen Scheitel einer Seite gegenüberliegt c (\ displaystyle c).

Unter Verwendung der Taylor-Reihe für den hyperbolischen Kosinus ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) kann gezeigt werden, dass, wenn das hyperbolische Dreieck abnimmt (d.h. wann ein (\displaystyle ein), b (\displaystyle b) und c (\ displaystyle c) gegen Null gehen), dann nähern sich die hyperbolischen Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck der Beziehung des klassischen Satzes des Pythagoras an.

Anwendung

Entfernung in zweidimensionalen rechteckigen Systemen

Die wichtigste Anwendung des Satzes des Pythagoras ist die Bestimmung der Entfernung zwischen zwei Punkten in einem rechteckigen System Koordinaten: Entfernung s (\displaystyle s) zwischen Punkten mit Koordinaten (a , b) (\displaystyle (a,b)) und (c , d) (\displaystyle (c,d)) gleich:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Für komplexe Zahlen liefert der Satz des Pythagoras eine natürliche Formel zum Ermitteln der Modul komplexen Zahl - for z = x + y ich (\displaystyle z=x+yi) es ist gleich der Länge