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Unterrichtsziele:

1. Wiederholung und Vertiefung der Fähigkeit der Schüler, die Werte von numerischen Ausdrücken zu finden, die aus rationalen Zahlen bestehen, indem sie die Zeichen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verwenden;
2. Die Schüler sollten sich darüber im Klaren sein, dass ein Ausdruck, der die Aktion Division durch Null enthält, keinen Sinn ergibt.
3. Das kognitive Interesse der Schüler am Lernen eines neuen Fachs entwickeln.
4. Entwickeln Sie Denken, Gedächtnis, Sprache, verbessern Sie die Rechenfähigkeiten der Schüler und die Fähigkeit, in einem optimalen Tempo zu arbeiten.

Ausrüstung: PC, Multimediainstallation; Hausaufgabenkarten (Anlage 1)

Unterrichtsart: Lektion zur Wiederholung und Verallgemeinerung von Kenntnissen, die im Laufe der Mathematikklassen 5-6 erworben wurden.

Arbeitsformen: frontales, kollektives, unabhängiges Arbeiten.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment (2-4 Minuten)

Gratulieren Sie den Schülern zum Beginn des neuen Schuljahres.

***
Und wieder in Pappelvergoldung,
Und die Schule ist wie ein Schiff am Pier,
Wo Lehrer auf Schüler warten
Um ein neues Leben zu beginnen.

***
Lass das Glück an deine Tür klopfen
Öffnen Sie es weiter.
Der Lebensweg ist geheimnisumwoben,
Aber es ist so schön auf dieser Welt!
Und lass immer Licht im Fenster sein,
Mamas Lächeln - von der Schwelle.
Mögen noch viele schöne Jahre kommen
Und das Leben ist einfach!

***
Herbstliche Motive
Diese wunderschöne Frau ist HERBST
Ich gab mich dem ausschweifenden Wind hin,
Und was immer er sagt, was immer er fragt,
Sie gab es ihm, ohne das Maß zu fühlen.
Laub mehrfarbige große Arme voll
Zu seinen Füßen geworfen mit einem Hochzeitsstrauß,
Und heftige Farben und die Überreste der Sonne,
Und Tränen des Regens und Nebel vor der Morgendämmerung.
Und der Wind ist ein ausschweifender Wanderer um die Welt,
Liebe nur dich selbst, deine Laune,
Und sogar diese wunderschöne Frau
Versuchte, so viel wie möglich zu verletzen
Mit einem frechen Impuls ihr Kleid herunterzureißen,
Damit sie bis zum Winter nackt stehen würde ...
HERBST vergab, nur mit leiser Qual
Bereits zum Scheitern verurteilte Tränen flossen.
In den Armen des Winters stirbt sie,
Und jetzt graue Haare, keine blauen.
Unter dem Schneekap wird es niemand wissen
Diese wunderschöne Frau ist HERBST.
<Folie 1>

2. Was studiert Algebra?

U.: Welches Fach haben wir letztes Jahr studiert?

Studenten: Mathematik.

Es gibt ein Gerücht über Mathematik
Dass sie ihre Gedanken in Ordnung bringt.
Also gute Worte
Die Leute reden oft über sie.

W.: Was machen wir im Matheunterricht?

Studenten: Sie führten Berechnungen mit ganzen und gebrochenen Zahlen durch, lösten Gleichungen, Probleme, bauten Figuren in der Koordinatenebene.

<Folie 2>

W.: All dies war Inhalt des Fachs „Mathematik“. Dieses Fach ist in eine Vielzahl von unabhängigen Disziplinen unterteilt: Algebra, Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Analyse, Spieltheorie usw. Wir beginnen mit dem Studium der Algebra. Sie haben das Lehrbuch bereits zu Hause gelesen. Wie unterscheidet es sich beispielsweise von einem Literaturlehrbuch?

<Folie 3>

Studenten: Es hat viele Zahlen und Buchstaben und lateinische Buchstaben.

W.: Sie und ich erinnern uns, dass Buchstaben uns helfen, die Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen in einer leicht zu merkenden Form aufzuschreiben. Sie sagen: "Die angegebene Aussage ist in mathematischer Sprache geschrieben." Zum Beispiel das Kommutativgesetz der Multiplikation: Das Produkt ändert sich nicht durch eine Permutation von Faktoren ( a · b = b · a). Denken Sie daran, wie Sie die Entfernung finden und die Zeit und Geschwindigkeit kennen.

<Folie 4>

Studenten: Um die Distanz zu finden, musst du die Zeit mit der Geschwindigkeit multiplizieren.

W.: Schreiben wir es kurz: s = v · t. Das heißt, die Buchstaben helfen, die Regeln zum Auffinden der Werte der für uns interessanten Größen in Form von Formeln aufzuschreiben. Wie unterscheidet sich beispielsweise die Algebra sonst noch von der Arithmetik? Bei Rechenaufgaben wird nach bekannten Regeln eine unbekannte Zahl gefunden. In der Algebra wird eine unbekannte Größe mit einem Buchstaben bezeichnet. Diese unbekannte Größe und die Daten in der Bedingung des Problems werden durch eine Gleichung miteinander verbunden, aus deren Lösung die unbekannte Größe gefunden wird. Separate algebraische Konzepte und Methoden zur Lösung von Problemen entstanden vor mehreren tausend Jahren in den alten Staaten - Babylon und Ägypten. Der Stand des mathematischen Wissens in diesen Jahrhunderten kann anhand alter Manuskripte (Papyri) beurteilt werden, die an den Stätten antiker Städte gefunden wurden.<Folie 5>

Bereits vor etwa 4000 Jahren konnten Wissenschaftler in Babylon und Ägypten lineare Gleichungen aufstellen, mit deren Hilfe sie verschiedenste Probleme der Landvermessung, Baukunst und Militärwissenschaft lösten. Zum Beispiel gibt es im Britischen Museum eine Aufgabe aus dem Rhinda-Papyrus (er wurde auch Ahmes-Papyrus genannt) aus der Zeit von 2000 bis 1700. BC B.: "Finden Sie eine Zahl, wenn bekannt ist, dass durch Addieren von 2/3 davon und Subtrahieren von der resultierenden Summe ihres Drittels die Zahl 10 erhalten wird." Die Lösung dieses Problems reduziert sich auf die Lösung einer linearen Gleichung:

<Folie 6, 7>

Im 7. Jahrhundert BC e. die Griechen erlernten die Errungenschaften der Ägypter in der Mathematik. Zu Beginn des neunten Jahrhunderts (830) Der khorezmische Gelehrte Muhammad-ben-Musa al-Khwarizmi schrieb das Buch „Hisab al-jabr val-Mukabala“ („Methode der Wiederherstellung und Opposition“) – dies war das erste Buch über Algebra. Es ist von besonderer Bedeutung in der Geschichte der Mathematik als Handbuch, das ganz Europa längst gelehrt hat. Darin betrachtete er zunächst die Methoden und Techniken der Algebra.

Al Jabr
(Übertragung von Begriffen)

Beim Lösen der Gleichung
Wenn in Teil eins,
egal was,
Es wird einen negativen Begriff geben,
Wir zu beiden Teilen,
Mit diesem Mitglied kann verglichen werden.
Lassen Sie uns einen gleichen Begriff geben,
Nur mit einem Zeichen für andere, -
Und wir finden das gewünschte Ergebnis!

wal-mukabala
(wie bringen)

<Folie 8>

Seit dem Schreiben dieses Buches ist die Algebra eine eigenständige Wissenschaft geworden. Das Wort "Algebra" selbst kommt wahrscheinlich vom Wort "al jebr", was "Wiederherstellung" bedeutet. Das arabische Wort „Algebra“ war die Kunst eines Arztes, einen gebrochenen Arm oder ein gebrochenes Bein wiederherzustellen. Die Araber nannten den Chirurgen einen Algebraiker. Die Mathematik hat dieses Wort also aus der Medizin entlehnt.

<Folie 8>

Die Weiterentwicklung der Algebra fand hauptsächlich in Indien (bis zum 12. Jahrhundert) und in Zentralasien (bis zum 15. Jahrhundert) statt. Algebra bis ins 17. Jahrhundert. üblicherweise als rhetorisch (verbal) bezeichnet. Tatsache ist, dass es damals keine einzigen konventionellen Zeichen "+", "-", "a 2" und viele andere gab, die wir verwenden. Der Zustand des Problems, alle Aktionen und die Antwort wurden vollständig in Worten niedergeschrieben. Zur Erleichterung des Auswendiglernens wurde dieser Eintrag manchmal in Versen gemacht. Mathematische Symbole wurden nach und nach eingeführt. So wurde das Gleichheitszeichen "=" 1557 vom englischen Wissenschaftler R. Ricord eingeführt, die Zeichen ":" und "*" - vom deutschen Mathematiker Leibniz Ende des 17. Jahrhunderts. , Klammern - XVI Jahrhundert. Mathematische Symbole ermöglichten Wissenschaftlern aus verschiedenen Ländern, einander zu verstehen. Bei der Bildung der Algebra als Wissenschaft haben die französischen Wissenschaftler Francois Vieta und Rene Descartes große Verdienste. Während des XVIII-XX Jahrhunderts. Aus der Algebra erwuchsen neue mathematische Wissenschaften: Polynomalgebra, Vektoralgebra. Diese Wissenschaften werden in der Hochschulbildung studiert.

In der Schulalgebra werden Probleme gelöst, indem Gleichungen zusammengestellt werden, sie untersuchen die Gleichungen selbst, die Beziehungen zwischen Größen (einige dieser Beziehungen werden Funktionen genannt). Dabei werden Buchstaben verwendet, Ausdrücke mit Buchstaben werden verschiedenen Transformationen unterzogen (identische Transformationen). Aber hinter all diesen Buchstaben verbergen sich meistens Zahlen.

<Folie 9>

Manchmal sagen sie: „Algebra ruht auf vier Säulen: eine Gleichung, eine Zahl, eine Identität, eine Funktion.“ Algebra, die wir zu studieren beginnen, gibt einer Person nicht nur die Möglichkeit, verschiedene Berechnungen durchzuführen, sondern lehrt sie auch tun Sie es so schnell wie möglich, rationaler.

<Folie 10>

3. Mündliche Übungen.

1. Finde die Summe der Zahlen -3,7 und 6,7 (Antwort 3); Finden Sie das Produkt der Zahlen Finde den Unterschied zwischen den Zahlen Wiederholen Sie die Regeln für die Durchführung arithmetischer Operationen mit gewöhnlichen Brüchen und rationalen Zahlen.

2. Ich dachte an drei Zahlen. Finde die erste, wenn du weißt, dass die ihr entgegengesetzte Zahl 6 ist. Finde die zweite, wenn die ihr entgegengesetzte Zahl 3 ist. Finde die dritte, wenn du sie weißt, indem du sie mit multiplizierst

3. Berechnen:

<Folie 11, 12>

4. Ein neues Thema lernen.

Beim Lösen vieler Probleme ist es notwendig, arithmetische Operationen mit gegebenen Zahlen durchzuführen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Oft ist es jedoch zweckmäßig, vor Abschluss jeder dieser Aktionen die Reihenfolge (den Plan) anzugeben, in der diese Aktionen ausgeführt werden sollen. Dieser Plan läuft darauf hinaus, dass gemäß den Aufgabendaten unter Verwendung von Zahlen, Aktionszeichen und Klammern a numerischer Ausdruck.

Beispiele:

Wenn Sie alle in einem numerischen Ausdruck angegebenen Aktionen ausführen, erhalten wir als Ergebnis eine Zahl, von der sie sagen, dass sie einem bestimmten numerischen Ausdruck entspricht.

Der erste numerische Ausdruck ist also gleich 2, der zweite ebenfalls gleich 2 und der dritte gleich 0.

Definition 1: Ein Datensatz, der aus Zahlen besteht, die arithmetische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Exponentiation) verwenden, wird als numerischer (arithmetischer) Ausdruck bezeichnet.

Ein numerischer Ausdruck kann aus einer einzelnen Zahl bestehen.

Definition 2: Der Wert eines numerischen Ausdrucks ist die Zahl, die als Ergebnis der Ausführung der im numerischen Ausdruck angegebenen Aktionen erhalten wird.

<Folie 13>

Beispiele: Der Zug bewegte sich zunächst 50 Minuten lang mit einer Geschwindigkeit von sechzig Stundenkilometern, hielt dann zehn Minuten lang am Bahnhof an und bewegte sich dann eine weitere Stunde lang mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges.

Entscheidung: Per Definition ist die durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit gleich dem Verhältnis der zurückgelegten Strecke zur auf diesem Weg verbrachten Zeit. Lassen Sie uns die Entfernung und Zeit der Bewegung berechnen. Das berücksichtigen wir zunächst einmal (umgeschaltet auf die gleichen Zeiteinheiten). Zu Beginn der Bewegung wurde der Weg am Ende passiert - der Weg 40 1 (km).

Die zurückgelegte Gesamtstrecke wird durch einen numerischen Ausdruck beschrieben:

Die auf diesem Weg verbrachte Zeit (einschließlich der für das Anhalten aufgewendeten Zeit) wird durch einen numerischen Ausdruck beschrieben: Dann wird die durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit durch den Ausdruck beschrieben: Wenn wir diesen Ausdruck berechnen, erhalten wir: .

Definition 3: Zwei numerische Ausdrücke, die durch das Zeichen "=" verbunden sind, bilden eine numerische Gleichheit. Wenn die Werte des linken und rechten Teils der numerischen Gleichheit gleich sind, wird die Gleichheit als wahr bezeichnet, andernfalls ist sie falsch.

Beispiele: - korrekte numerische Gleichheit;

6 + 12 3 \u003d (6 + 12) 3 - falsche numerische Gleichheit, da 42 ≠ 54.

<Folie 14>

Klammern helfen, die Reihenfolge der Operationen festzulegen. Es wird davon ausgegangen, dass alle Aktionen ausgeführt werden können. Es ist immer möglich, beliebige Zahlen zu addieren, subtrahieren und zu multiplizieren. Aber Sie können eine Zahl nur durch eine andere dividieren, wenn der Divisor nicht gleich Null ist: Sie können nicht durch Null dividieren. Wenn in diesem Ausdruck zu irgendeinem Zeitpunkt der Berechnung durch Null dividiert werden muss, ist dieser Ausdruck nicht sinnvoll.

Beispiele: Diese Ausdrücke ergeben keinen Sinn .

<Folie 15>

Wiederholen Sie die Reihenfolge der Operationen in numerischer Form. Wiederholen Sie die Regeln zum Ausführen von Operationen mit Brüchen.

5. Konsolidierung des studierten Materials.

Etc. #1 Entscheide, welche der folgenden Ausdrücke sinnvoll sind und welche nicht. Finden Sie für diejenigen, die Sinn machen, die Zahlen, denen sie entsprechen.

<Folie 16>

Etc. #2 Schreiben Sie als Gleichheit und prüfen Sie, ob sie wahr ist:

a) 20 % der Zahl 240 sind gleich 62 (240 0,2 = 62 ist nicht richtig);

b) die Zahl 18 ist 3 % der Zahl 600 (18 = 0,03 600 ist nicht richtig);

c) das Produkt aus Zahlen und 5 ist 11 % der Zahl 700 Rechts;

d) der vierte Teil der Zahl 18 beträgt 5 % der Zahl 90 Rechts;

e) die Zahl 111:3 ist gleich 10 % der Zahl 370 (111:3 = 0,1 370, rechts);

f) 650 % der Zahl 12 sind gleich 77 (6,5 12 = 77 78 ≠ 77, stimmt nicht).

<Folie 17>

Etc. #3 Berechnen:

<Folie 18, 19>

6. Hausaufgaben: Zusammenfassung, 10 (A)

<Folie 20>

7. Zusammenfassung der Lektion

<Folie 21, 22>

Literatur:

1. Mathematik Nr. 12, 2004
2. Algebra: Klasse 7. Kontrolle, unabhängige Bewertungsarbeit / V. A. Goldich. – M.: Eksmo, 2008. – 144 S. – (Meisterklasse für den Lehrer).
3. Internet-Ressourcen.

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Beschriftungen der Folien:

Und wieder in Pappelvergoldung, Und die Schule ist wie ein Schiff am Pier, Wo die Schüler des Lehrers warten, Um ein neues Leben zu beginnen. Lass das Glück an deine Tür klopfen, Öffne es so schnell wie möglich weiter. Der Weg des Lebens ist geheimnisumwoben, aber es ist so schön in dieser Welt! Und lass es immer Licht im Fenster sein, Mamas Lächeln - von der Schwelle. Möge es viele gute Jahre geben Und ein einfacher Weg im Leben!

Es gibt ein Gerücht über Mathematik, dass sie den Verstand in Ordnung bringt. Daher fallen im Volk oft gute Worte über sie.

S = v t ein b = b ein

Babylon Ägypten

Bereits vor etwa 4000 Jahren konnten Wissenschaftler in Babylon und Ägypten lineare Gleichungen aufstellen, mit deren Hilfe sie verschiedenste Probleme der Landvermessung, Baukunst und Militärwissenschaft lösten. Das British Museum hat eine Aufgabe aus dem Rhind-Papyrus (er wurde auch Ahmes-Papyrus genannt)

Die Aufgabe aus dem Rhinda-Papyrus (er wurde auch Ahmes-Papyrus genannt) wird im Britischen Museum aufbewahrt.Finde eine Zahl, wenn bekannt ist, dass du 2/3 davon addierst und ihr Drittel von der resultierenden Menge, der Zahl, abziehst 10 wird erhalten.

"Hisab Al-jabr Wal-muqabala" ("Methode der Wiederherstellung und Opposition") - dies war das erste Buch über Algebra. Al-jabr Wenn wir eine Gleichung lösen, wenn in einem Teil, egal in welchem, ein negatives Element vorhanden ist, sind Wir zu beiden Teilen, Wir sind mit diesem Element vergleichbar. Wir werden ein gleichberechtigtes Mitglied geben, Nur mit einem Zeichen für andere, - Und wir werden das Ergebnis finden, das wir wünschen! Val-mukabala Dann schauen wir uns die Gleichung an, ist es möglich, einen Geist zu machen, wenn die Mitglieder ähnlich sind, ist es bequem, sie zu vergleichen. Indem wir einen gleichen Term von ihnen subtrahieren, reduzieren wir sie auf eins.

Algebra-Gleichungszahl-Identitätsfunktion Algebra, die wir zu studieren beginnen, gibt einer Person nicht nur die Möglichkeit, verschiedene Berechnungen durchzuführen, sondern lehrt sie auch, dies so schnell und rational wie möglich zu tun.

Thema der Lektion: "Numerische Ausdrücke" Wiederholung und Vertiefung der Fähigkeit der Schüler, die Werte numerischer Ausdrücke zu finden; Denken Sie daran, dass ein Ausdruck, der die Aktion Division durch Null enthält, keinen Sinn ergibt; Das kognitive Interesse der Schüler am Lernen eines neuen Fachs entwickeln. Unterrichtsziele:

mündlich Berechnen: 6 7 10 80 289 72 8 5 8100 170

Ein Datensatz, der aus Zahlen besteht, die arithmetische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Exponentiation) verwenden, wird als numerischer (arithmetischer) Ausdruck bezeichnet. 2 2 0 Der Wert eines numerischen Ausdrucks ist die Zahl, die als Ergebnis der Ausführung der im numerischen Ausdruck angegebenen Aktionen erhalten wird. Erkundung des Themas

Zwei numerische Ausdrücke, die durch das Zeichen "=" verbunden sind, bilden eine numerische Gleichheit. Wenn die Werte des linken und rechten Teils der numerischen Gleichheit gleich sind, wird die Gleichheit als wahr bezeichnet, andernfalls ist sie falsch. richtig falsch Exploration des Themas

Wenn in diesem Ausdruck zu irgendeinem Zeitpunkt der Berechnung durch Null dividiert werden muss, ist dieser Ausdruck nicht sinnvoll. Erkundung des Themas

Aufgabe Kiosk #1 Bestimmen Sie, welche der folgenden Ausdrücke sinnvoll sind und welche nicht. Finden Sie für diejenigen, die Sinn machen, die Zahlen, denen sie entsprechen. a) b) c) ergibt keinen Sinn -3/7 54/95

Aufgabenkiosk Nr. 1 (erste, zweite Zeile), Nr. 3, Nr. 4 (e - h), Nr. 5, Nr. 6 (erste, dritte Zeile), Nr. 7 (a, b), Nr. 13

Hausaufgaben P.1 (studieren, Definitionen lernen), Nr. 2, Nr. 4 (a - d), Nr. 6 (b, e, h)

Zusammenfassung der Lektion Über welche Ausdrücke haben wir heute gesprochen? Was ist ein numerischer Ausdruck? Welchen Wert hat ein numerischer Ausdruck? Was ist Zahlengleichheit? Welche Arten von Gleichberechtigung kennen Sie? Wann macht ein numerischer Ausdruck keinen Sinn?

Vielen Dank für die Lektion, Kinder Kreativer Erfolg im neuen Schuljahr!

Präsentation in Mathematik zum Thema "Algebraische Ausdrücke" (Klasse 7). Diese Präsentation wurde entwickelt, um ein neues Mathematikthema der 7. Klasse, Algebraische Ausdrücke, abzudecken. Beispiele für algebraische Ausdrücke werden gegeben, eine Definition von algebraischen Ausdrücken wird gegeben. Der Unterschied zwischen einem algebraischen Ausdruck und einem numerischen Ausdruck wird gezeigt. Es werden Beispiele dafür gegeben, was Sie brauchen, um algebraische Ausdrücke bilden zu können, dh wo sie verwendet werden. Es werden Beispiele zum Bilden algebraischer Ausdrücke betrachtet.

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Vorschau:

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Beschriftungen der Folien:

Algebraische Ausdrücke.

Überprüfung der Hausaufgaben. Welche Informationen aus der Mathematik musstest du dir bei den Hausaufgaben merken?

Die Reihenfolge der arithmetischen Operationen. Kommutatives Additionsgesetz: a + b = b + a Kommutatives Multiplikationsgesetz: a * b = b * a : abc = (ab)c = a(bc) Begriff des gewöhnlichen Bruchs, Dezimalbruch, negative Zahl. Arithmetische Operationen mit Dezimalbrüchen. Arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen. Die Haupteigenschaft eines gewöhnlichen Bruchs: Regeln für Aktionen mit Dezimalbrüchen.

Beispiel 1 Ein Kühlschrank kostet 350 $. Dann kosten zwei Kühlschränke das Doppelte, d.h. 350 2 = 700 $; Fünf Kühlschränke kosten das Fünffache, d.h. 350 5=1750 $ . Es ist leicht herauszufinden, dass Kühlschränke ein Vielfaches mehr kosten, d.h. 350· a $ Mit dem Ausdruck 350· a können Sie die Kosten für eine andere Anzahl a von Kühlschränken ermitteln, indem Sie verschiedene Werte von a ersetzen und eine Multiplikation durchführen. Da der Buchstabe a verschiedene natürliche Werte annehmen kann, ist a eine Variable 350 a ist ein algebraischer Ausdruck (oder ein Ausdruck mit einer Variablen)

Beispiel 2. Die Länge einer Seite des Rechtecks ​​sei a cm, die andere - b cm, und ermittle den Umfang des Rechtecks. b a P = 2 a + 2 b a , b – Variablen 2 a + 2 b – algebraischer Ausdruck

Beispiel 3. Datensatz 2a - 3b + 5 - algebraischer Ausdruck mit den Variablen a und b. - algebraischer Ausdruck mit Variablen x und y .

Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks für a = 3 , b = 4 und c = 2 Ersetzen Sie in diesem algebraischen Ausdruck die Werte der Variablen a = 3 , b = 4 , c = 2 . Wir erhalten einen numerischen Ausdruck. Nachdem wir die Aktionen ausgeführt haben, finden wir ihren Wert: = = = 9 Die Zahl 9 ist der Wert des algebraischen Ausdrucks für die gegebenen Werte der Variablen. Der Wert eines numerischen Ausdrucks, der durch Einsetzen der ausgewählten Werte der Variablen in einen algebraischen Ausdruck erhalten wird, wird als Wert des algebraischen Ausdrucks bezeichnet.

Wir können einige mathematische Ausdrücke auf unterschiedliche Weise schreiben. Abhängig von unseren Zielen, ob wir genug Daten haben etc. Numerische und algebraische Ausdrücke unterscheiden sich darin, dass wir die ersten nur als Zahlen schreiben, die mit Hilfe von Zeichen arithmetischer Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und Klammern kombiniert werden.

Wenn Sie anstelle von Zahlen lateinische Buchstaben (Variablen) in den Ausdruck eingeben, wird er algebraisch. Algebraische Ausdrücke verwenden Buchstaben, Zahlen, Additions- und Subtraktionszeichen, Multiplikation und Division. Und auch das Zeichen der Wurzel, Grad, Klammern können verwendet werden.

Unabhängig davon, ob dieser Ausdruck numerisch oder algebraisch ist, darf er nicht nur eine zufällige Ansammlung von Zeichen, Zahlen und Buchstaben sein – er muss eine Bedeutung haben. Das bedeutet, dass Buchstaben, Zahlen, Zeichen durch irgendeine Art von Beziehung verbunden sein müssen. Korrektes Beispiel: 7x + 2: (y + 1). Schlechtes Beispiel): + 7x - * 1.

Das Wort "Variable" wurde oben erwähnt - was bedeutet es? Dies ist ein lateinischer Buchstabe, den Sie durch eine Zahl ersetzen können. Und wenn wir über Variablen sprechen, können algebraische Ausdrücke in diesem Fall als algebraische Funktion bezeichnet werden.

Die Variable kann unterschiedliche Werte annehmen. Und indem wir an ihrer Stelle eine Zahl einsetzen, können wir den Wert des algebraischen Ausdrucks für diesen bestimmten Wert der Variablen finden. Wenn der Wert der Variablen unterschiedlich ist, ist auch der Wert des Ausdrucks unterschiedlich.

Wie löst man algebraische Ausdrücke?

Um die Werte zu berechnen, müssen Sie tun Transformation algebraischer Ausdrücke. Und dafür müssen Sie noch ein paar Regeln beachten.

Der Definitionsbereich eines algebraischen Ausdrucks sind zunächst alle möglichen Werte einer Variablen, für die der Ausdruck sinnvoll sein kann. Was ist gemeint? Sie können zum Beispiel keinen Wert für eine Variable ersetzen, bei der Sie durch Null dividieren müssten. Im Ausdruck 1 / (x - 2) muss 2 aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

Denken Sie zweitens daran, wie Sie Ausdrücke vereinfachen: faktorisieren, identische Variablen einklammern usw. Beispiel: Wenn Sie die Terme vertauschen, ändert sich die Summe nicht (y + x = x + y). Ebenso ändert sich das Produkt nicht, wenn die Faktoren vertauscht werden (x * y \u003d y * x).

Im Allgemeinen eignen sie sich hervorragend zur Vereinfachung algebraischer Ausdrücke. abgekürzte Multiplikationsformeln. Wer sie noch nicht gelernt hat, sollte dies unbedingt tun - sie werden sich trotzdem mehr als einmal als nützlich erweisen:

wir finden die Differenz der Variablen im Quadrat: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y);

wir finden die Summe zum Quadrat: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2;

wir berechnen die Differenz zum Quadrat: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2;

wir würfeln die Summe: (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 oder (x + y) 3 \u003d x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

Würfeln Sie die Differenz: (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 oder (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y);

wir finden die Summe der dreifachen Variablen: x 3 + y 3 \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2);

wir berechnen die Differenz der dreifachen Variablen: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2);

wir verwenden die Wurzeln: xa 2 + ya + z \u003d x (a - a 1) (a - a 2), und 1 und a 2 sind die Wurzeln des Ausdrucks xa 2 + ya + z.

Sie sollten auch eine Vorstellung von den Arten algebraischer Ausdrücke haben. Sie sind:

rational, und diese wiederum sind unterteilt in:

Ganzzahlen (sie haben keine Teilung in Variablen, es gibt kein Ziehen von Wurzeln aus Variablen und es gibt kein Potenzieren mit Bruchteilen): 3a 3 b + 4a 2 b * (a - b) Der Gültigkeitsbereich umfasst alle möglichen Werte von Variablen;

gebrochen (mit Ausnahme anderer mathematischer Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, in diesen Ausdrücken dividieren sie durch eine Variable und potenzieren sie (mit einem natürlichen Exponenten): (2 / b - 3 / a + c / 4) 2 • Definitionsbereich – alle Wertvariablen, für die der Ausdruck nicht gleich Null ist;

irrational - damit ein algebraischer Ausdruck als solcher betrachtet werden kann, muss er die Potenzierung von Variablen mit einem gebrochenen Exponenten und / oder das Ziehen von Wurzeln aus Variablen enthalten: √a + b 3/4. Der Definitionsbereich sind alle Werte der Variablen, mit Ausnahme derjenigen, bei denen der Ausdruck unter der Wurzel eines geraden Grades oder unter einem gebrochenen Grad zu einer negativen Zahl wird.

Identitätstransformationen algebraischer Ausdrücke ist ein weiterer nützlicher Trick, um sie zu lösen.Eine Identität ist ein Ausdruck, der für alle Variablen wahr ist, die im Definitionsbereich enthalten sind und in ihn eingesetzt werden.

Ein Ausdruck, der von einigen Variablen abhängt, kann einem anderen Ausdruck identisch sein, wenn er von denselben Variablen abhängt und wenn die Werte beider Ausdrücke gleich sind, unabhängig davon, welche Werte der Variablen gewählt werden. Mit anderen Worten, wenn ein Ausdruck auf zwei verschiedene Arten (Ausdrücke) ausgedrückt werden kann, deren Werte gleich sind, sind diese Ausdrücke identisch gleich. Zum Beispiel: y + y \u003d 2y oder x 7 \u003d x 4 * x 3 oder x + y + z \u003d z + x + y.

Bei Aufgabenstellungen mit algebraischen Ausdrücken dient die identische Transformation dazu, dass ein Ausdruck durch einen anderen, identischen ersetzt werden kann. Ersetzen Sie beispielsweise x 9 durch das Produkt x 5 * x 4.

Lösungsbeispiele

Um es klarer zu machen, schauen wir uns ein paar Beispiele an. Transformationen algebraischer Ausdrücke. Aufgaben dieser Stufe finden Sie in den KIMs zum Einheitlichen Staatsexamen.

Aufgabe 1: Finde den Wert des Ausdrucks ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1).

Lösung: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) \u003d (12x (12x -1)) / x * (12x - 1) \u003d 12.

Aufgabe 2: Finde den Wert des Ausdrucks (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3).

Lösung: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x + 3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3 )(2x + 3) = 6.

Fazit

Bei der Vorbereitung auf Schultests, USE- und GIA-Prüfungen können Sie dieses Material immer als Hinweis verwenden. Denken Sie daran, dass ein algebraischer Ausdruck eine Kombination aus Zahlen und Variablen ist, die in lateinischen Buchstaben ausgedrückt werden. Und auch Zeichen von Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), Klammern, Grade, Wurzeln.

Verwenden Sie kurze Multiplikationsformeln und Kenntnisse über Identitätsgleichungen, um algebraische Ausdrücke umzuwandeln.

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LEKTION 3 Kapitel 1. Ausdrücke, Identitäten, Gleichungen(22 Stunden)

Gegenstand. Numerische Ausdrücke.

Ziel. Einführung in die Konzepte eines numerischen Ausdrucks, den Wert eines numerischen Ausdrucks; die Fähigkeit zu bilden, den Wert eines numerischen Ausdrucks zu finden, indem Operationen mit Zahlen durchgeführt und Klammern verwendet werden.

Während des Unterrichts.

Zeit organisieren.

Analyse der diagnostischen Arbeit.

Aktualisierung des Grundwissens.

Beispiel 1 Berechnung. (Oral).

a) 13 - 18,5 = -5,5; b) –19 + 21,3 = 2,3; c) -14 - 71,03 = -85,03;

d) 17 - (-21,3) = 38,3; e) – (–3 – 2,8) = 5,8; f) 3 ∙ 15 - 7 = 38;

g) (15 - 2) ∙ (-3) = - 39; h) ; zu) .

Erklärung des neuen Materials.

1. Beim Lösen vieler Probleme ist es notwendig, arithmetische Operationen mit gegebenen Zahlen durchzuführen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Definition . Numerische Ausdrücke - Ausdrücke, die aus Zahlen und Aktionszeichen bestehen.

Oft ist es jedoch zweckmäßig, vor Abschluss jeder dieser Aktionen die Reihenfolge (den Plan) anzugeben, in der diese Aktionen ausgeführt werden sollen. Dieser Plan läuft darauf hinaus, dass gemäß den Aufgabendaten unter Verwendung von Zahlen, Aktionszeichen und Klammern a numerischer Ausdruck.

2. Beispiele für numerische Ausdrücke:

3. Wenn alle darin angegebenen Aktionen in einem numerischen Ausdruck ausgeführt werden, erhalten wir als Ergebnis eine reelle Zahl, von der sie sagen, dass sie einem bestimmten numerischen Ausdruck entspricht und aufgerufen wird Ausdruckswert .

Definition . Den Wert eines numerischen Ausdrucks zu finden bedeutet, alle darin enthaltenen Aktionen auszuführen.

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines numerischen Ausdrucks:

4. Wir gehen selbstverständlich davon aus, dass alle Aktivitäten durchführbar sind. Lassen Sie uns diese Wörter erklären. Es ist immer möglich, beliebige Zahlen zu addieren, subtrahieren und zu multiplizieren. Das Teilen von Zahlen durcheinander ist jedoch nur möglich, wenn der Divisor nicht gleich Null ist: Sie können nicht durch Null dividieren. Wenn es in einem gegebenen Ausdruck irgendwann erforderlich ist, durch Null zu dividieren, dann ist diese Anforderung nicht durchführbar. So ein Ausdruck Es ist nicht sinnvoll.

Beispiel 3 Macht der Ausdruck Sinn:

Diese Ausdrücke ergeben keinen Sinn, weil Wenn Sie die darin angegebenen Aktionen ausführen, müssen Sie durch Null teilen.

5. Erinnern wir uns, wie man einen Bruchteil einer Zahl findet.

Definition. Um einen Bruch einer Zahl zu finden, musst du diese Zahl mit dem Bruch multiplizieren.

Beispiel 4 Suche ab 34.

6. Erinnern wir uns, wie man eine Zahl anhand ihres Bruchs findet.

Definition. Damit einer Zahl der bekannte Wert ihres Bruchs gegeben wird, muss dieser Wert durch den gegebenen Bruch geteilt werden.

Beispiel 5 Finden Sie die Zahl, die 45 entspricht.

7. Erinnern wir uns, was ein Prozentsatz ist.

Definition. Ein Hundertstel eines beliebigen Werts oder einer beliebigen Zahl wird als Prozentsatz bezeichnet.

8. Erinnern Sie sich, wie Sie den Prozentsatz einer bestimmten Zahl finden?

Definition. Um den Prozentsatz einer gegebenen Zahl zu finden, schreibe den Prozentsatz als Bruch und multipliziere diese Zahl mit dem Bruch.

Beispiel 6 Finden Sie 8 % von 400.

2) 400 ∙ 0,08 = 32.

9. Erinnern Sie sich, wie man eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes findet?

Definition. Um eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes zu finden, müssen Sie den Prozentsatz als Bruch schreiben und diesen Wert durch einen Bruch teilen.

Beispiel 7 Finde die Zahl, wenn 16 % dieser Zahl 80 sind,

Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Uch.s.6 Nr. 5 (1. Seite).

Uch.s.6 Nr. 6 (1. Seite).

Uch.s.7 Nr. 8. Auf der Milchpackung steht, dass Milch 3,2 % Fett, 2,5 % Eiweiß und 4,7 % Kohlenhydrate enthält. Wie viel von diesen Stoffen ist jeweils in einem Glas (200 g) Milch enthalten?

Milch - 200 g

Fett - ? d, 3,2 % der Gesamtzahl

Protein - ? g, 2,5 % der Gesamtmenge

Kohlenhydrate - ? d, 4,7 % der Gesamtzahl

2) 200 ∙ 0,032 = 6,4 (g) - Fette;

4) 200 ∙ 0,025 = 5 (g) - Protein;

6) 200 ∙ 0,047 = 9,4 (g) - Kohlenhydrate. Antworten: 6,4 g, 5 g, 9,4 g

4. Der Preis des Produkts stieg zunächst um 20 % und sank dann um denselben Prozentsatz. Wie und um wie viel Prozent hat sich der Preis gegenüber dem Original verändert?

Entscheidung.

1) ,

2) 1a 0 - 0,96a 0 = 0,04a 0 ;

3) 0,04 = 4%. Antworten : um 4 % verringert.

Zusammenfassung der Lektion.

Warum gibt es Klammern in einem numerischen Ausdruck?

Wann ist ein numerischer Ausdruck sinnvoll? Geben Sie ein Beispiel für einen solchen Ausdruck.

Wann macht ein numerischer Ausdruck keinen Sinn? Geben Sie ein Beispiel für einen solchen Ausdruck.

Welchen Wert hat ein numerischer Ausdruck?

Wie ist die Reihenfolge der Operationen, wenn der Wert eines numerischen Ausdrucks ermittelt wird?

Wie drückt man 15 % als gewöhnlichen und dezimalen Bruch aus?

Hausaufgaben.Punkt 1 (Lernen Sie die Theorie). Nr. 5(2str), 6(2str), 10, 13(2.4), 15.