Dieser Artikel ist Techniken zum Lösen verschiedener Gleichungen und enthaltender Ungleichungen gewidmet
Variable unter dem Modulzeichen.

Wenn Sie in der Prüfung auf eine Gleichung oder Ungleichung mit einem Modul stoßen, können Sie sie lösen,
ohne irgendwelche speziellen Methoden zu kennen und nur die Moduldefinition zu verwenden. Wahrheit,
es kann anderthalb Stunden kostbarer Prüfungszeit dauern.

Deshalb möchten wir Sie über Techniken informieren, die die Lösung solcher Probleme vereinfachen.

Erinnern wir uns zunächst einmal daran

Betrachten Sie verschiedene Arten Gleichungen mit Modul. (Mehr zu Ungleichheiten später.)

Linkes Modul, rechte Nummer

Dies ist der einfachste Fall. Lösen wir die Gleichung

Es gibt nur zwei Zahlen, deren Modul vier ist. Dies sind 4 und -4. Daher die Gleichung
entspricht der Kombination zweier einfacher:

Die zweite Gleichung hat keine Lösungen. Lösungen der ersten: x = 0 und x = 5.

Antwort: 0; 5.

Variabel sowohl unter dem Modul als auch außerhalb des Moduls

Hier müssen Sie das Modul per Definition erweitern. . . oder vorstellen!

Die Gleichung zerfällt in Abhängigkeit vom Vorzeichen des Ausdrucks unter dem Modul in zwei Fälle.
Mit anderen Worten, es ist gleichbedeutend mit der Kombination zweier Systeme:

Lösung des ersten Systems: . Das zweite System hat keine Lösungen.
Antwort 1.

Erster Fall: x ≥ 3. Modul entfernen:

Da die Zahl negativ ist, erfüllt sie nicht die Bedingung x ≥ 3 und ist daher nicht die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Lassen Sie uns herausfinden, ob die Zahl diese Bedingung erfüllt. Dazu machen wir die Differenz und bestimmen ihr Vorzeichen:

Daher mehr als drei und daher die Wurzel der ursprünglichen Gleichung

Zweiter Fall: x< 3. Снимаем модуль:

Nummer . ist größer als und erfüllt daher nicht die Bedingung x< 3. Проверим :

Meint, . ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Entfernen Sie das Modul per Definition? Es ist beängstigend, darüber nachzudenken, weil die Diskriminante kein perfektes Quadrat ist. Verwenden wir besser folgende Überlegung: eine Gleichung der Form |A| = B entspricht der Kombination zweier Systeme:

Gleich, aber etwas anders:

Mit anderen Worten, wir lösen zwei Gleichungen, A = B und A = −B, und wählen dann die Wurzeln aus, die die Bedingung B ≥ 0 erfüllen.

Lass uns anfangen. Zuerst lösen wir die erste Gleichung:

Dann lösen wir die zweite Gleichung:

Nun prüfen wir jeweils das Vorzeichen der rechten Seite:

Daher sind nur und geeignet.

Quadratische Gleichungen mit |x| = t

Lösen wir die Gleichung:

Da ist es praktisch, die Änderung |x| vorzunehmen = t. Wir bekommen:

Antwort: ±1.

Modul ist gleich Modulo

Wir sprechen von Gleichungen der Form |A| = |B|. Das ist ein Geschenk des Schicksals. Per Definition keine Modulerweiterungen! Es ist einfach:

Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung: . Es entspricht dem folgenden Satz:

Es bleibt, jede der Populationsgleichungen zu lösen und die Antwort aufzuschreiben.

Zwei oder mehr Module

Lösen wir die Gleichung:

Wir werden uns nicht um jedes Modul einzeln kümmern und es per Definition öffnen - es wird zu viele Optionen geben. Es gibt einen rationaleren Weg - die Methode der Intervalle.

Die Ausdrücke unter den Moduln verschwinden an den Punkten x = 1, x = 2 und x = 3. Diese Punkte teilen den Zahlenstrahl in vier Intervalle (Intervalle). Wir markieren diese Punkte auf dem Zahlenstrahl und platzieren die Zeichen für jeden der Ausdrücke unter den Moduln auf den erhaltenen Intervallen. (Die Reihenfolge der Vorzeichen entspricht der Reihenfolge der entsprechenden Module in der Gleichung.)

Daher müssen wir vier Fälle betrachten - wenn x in jedem der Intervalle liegt.

Fall 1: x ≥ 3. Alle Module werden "mit einem Plus" entfernt:

Der resultierende Wert x = 5 erfüllt die Bedingung x ≥ 3 und ist damit die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Fall 2: 2 ≤ x ≤ 3. Das letzte Modul wird nun „mit einem Minus“ entfernt:

Der erhaltene Wert von x ist ebenfalls geeignet - er gehört zum betrachteten Intervall.

Fall 3: 1 ≤ x ≤ 2. Das zweite und dritte Modul werden "mit einem Minus" entfernt:

Wir haben für jedes x aus dem betrachteten Intervall die richtige numerische Gleichheit erhalten, sie dienen als Lösungen dieser Gleichung.

Fall 4: x ≤ 1 ≤ 1. Das zweite und dritte Modul werden "mit einem Minus" entfernt:

Nichts Neues. Wir wissen bereits, dass x = 1 eine Lösung ist.

Antwort: ∪ (5).

Modul innerhalb eines Moduls

Lösen wir die Gleichung:

Wir beginnen mit der Erweiterung des internen Moduls.

1) x ≤ 3. Wir erhalten:

Der Ausdruck unter dem Modul verschwindet bei . Dieser Punkt gehört zu den betrachteten
Intervall. Daher müssen wir zwei Unterfälle betrachten.

1.1) Wir erhalten in diesem Fall:

Dieser Wert von x ist nicht gut, weil er nicht zum betrachteten Intervall gehört.

1.2). Dann:

Auch dieser x-Wert ist nicht gut.

Für x ≤ 3 gibt es also keine Lösungen. Kommen wir zum zweiten Fall.

2) x ≥ 3. Wir haben:

Hier haben wir Glück: Der Ausdruck x + 2 ist im betrachteten Intervall positiv! Daher gibt es keine Unterfälle mehr: Das Modul wird „mit einem Plus“ entfernt:

Dieser Wert von x liegt im betrachteten Intervall und ist daher die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

So werden alle Aufgaben dieser Art gelöst - wir öffnen der Reihe nach die verschachtelten Module, beginnend mit dem inneren.

Anweisung

Wenn der Modul als kontinuierliche Funktion dargestellt wird, kann der Wert seines Arguments entweder positiv oder negativ sein: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Der Modulus ist Null, und der Modulus jeder positiven Zahl ist ihr Modulus. Wenn das Argument negativ ist, ändert sich nach dem Öffnen der Klammern sein Vorzeichen von Minus zu Plus. Daraus folgt der Schluss, dass die Module des Gegenteils gleich sind: |-x| = |x| = x.

Der Modul einer komplexen Zahl wird durch die Formel gefunden: |a| = √b² + c² und |a + b| ≤ |a| + |b|. Enthält das Argument eine positive Zahl als Multiplikator, so kann diese aus dem Klammerzeichen herausgenommen werden, zB: |4*b| = 4*|b|.

Wenn das Argument als komplexe Zahl dargestellt wird, ist zur Vereinfachung der Berechnungen die Reihenfolge der Terme des Ausdrucks in eckigen Klammern zulässig: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, weil (2-3) kleiner als Null ist.

Das potenzierte Argument steht gleichzeitig unter dem Vorzeichen der Wurzel derselben Ordnung – es wird gelöst mit: √a² = |a| = ± ein.

Wenn Sie eine Aufgabe vor sich haben, die die Bedingung zum Erweitern der Modulhalterungen nicht angibt, müssen Sie sie nicht entfernen - dies ist das Endergebnis. Und wenn Sie sie öffnen möchten, müssen Sie das Zeichen ± angeben. Beispielsweise müssen Sie den Wert des Ausdrucks √(2 * (4-b)) ² finden. Seine Lösung sieht so aus: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Da das Vorzeichen des Ausdrucks 4-b unbekannt ist, muss es in Klammern gelassen werden. Wenn Sie eine zusätzliche Bedingung hinzufügen, z. B. |4-b| >

Der Modulus von Null ist gleich Null, und der Modulus jeder positiven Zahl ist gleich sich selbst. Wenn das Argument negativ ist, ändert sich nach dem Öffnen der Klammern sein Vorzeichen von Minus zu Plus. Daraus folgt der Schluss, dass die Beträge entgegengesetzter Zahlen gleich sind: |-x| = |x| = x.

Der Modul einer komplexen Zahl wird durch die Formel gefunden: |a| = √b² + c² und |a + b| ≤ |a| + |b|. Enthält das Argument eine positive Ganzzahl als Multiplikator, so kann diese aus dem Klammerzeichen herausgenommen werden, zB: |4*b| = 4*|b|.

Der Modulus kann nicht negativ sein, also wird jede negative Zahl in eine positive umgewandelt: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Wenn das Argument als komplexe Zahl dargestellt wird, ist es zur Vereinfachung der Berechnungen zulässig, die Reihenfolge der Terme des in eckigen Klammern eingeschlossenen Ausdrucks zu ändern: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, weil (2-3) kleiner als Null ist.

Wenn Sie eine Aufgabe vor sich haben, die die Bedingung zum Erweitern der Modulhalterungen nicht angibt, müssen Sie sie nicht entfernen - dies ist das Endergebnis. Und wenn Sie sie öffnen möchten, müssen Sie das Zeichen ± angeben. Beispielsweise müssen Sie den Wert des Ausdrucks √(2 * (4-b)) ² finden. Seine Lösung sieht so aus: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Da das Vorzeichen des Ausdrucks 4-b unbekannt ist, muss es in Klammern gelassen werden. Wenn Sie eine zusätzliche Bedingung hinzufügen, z. B. |4-b| > 0, dann ist das Ergebnis 2 * |4-b| = 2 * (4 - b). Als unbekanntes Element kann auch eine bestimmte Zahl angegeben werden, die berücksichtigt werden sollte, weil. es wirkt sich auf das Vorzeichen des Ausdrucks aus.

Ihre Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Informationen verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzerklärung und lassen Sie uns wissen, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Verwendung personenbezogener Daten

Personenbezogene Daten sind Daten, mit denen eine bestimmte Person identifiziert oder kontaktiert werden kann.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie uns kontaktieren.

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Arten von personenbezogenen Daten, die wir möglicherweise erfassen, und wie wir diese Daten möglicherweise verwenden.

Welche personenbezogenen Daten wir erheben:

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Wie wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden:

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Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer – zum Schutz Ihrer personenbezogenen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung.

Wahrung Ihrer Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitspraktiken an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Wir entscheiden uns nicht für Mathe ihren Beruf, und sie wählt uns.

Der russische Mathematiker Yu.I. Mann

Modulo-Gleichungen

Die am schwierigsten zu lösenden Probleme in der Schulmathematik sind Gleichungen, die Variablen unter dem Modulzeichen enthalten. Um solche Gleichungen erfolgreich lösen zu können, ist es notwendig, die Definition und die grundlegenden Eigenschaften des Moduls zu kennen. Natürlich sollten die Schüler in der Lage sein, Gleichungen dieser Art zu lösen.

Grundbegriffe und Eigenschaften

Modul (Absolutwert) einer reellen Zahl bezeichnet und ist wie folgt definiert:

Zu den einfachen Eigenschaften des Moduls gehören folgende Relationen:

Notiz, dass die letzten beiden Eigenschaften für jeden geraden Grad gelten.

Auch wenn , wo , dann und

Komplexere Moduleigenschaften, die effektiv beim Lösen von Gleichungen mit Modulen verwendet werden können, werden mit folgenden Sätzen formuliert:

Satz 1.Für alle analytischen Funktionen und die Ungleichheit

Satz 2. Gleichheit ist gleich Ungleichheit.

Satz 3. Gleichberechtigung ist gleichbedeutend mit der Ungleichung.

Betrachten Sie typische Beispiele für die Lösung von Problemen zum Thema „Gleichungen, mit Variablen unter dem Modulzeichen.

Gleichungen mit Modul lösen

Die gebräuchlichste Methode in der Schulmathematik zum Lösen von Gleichungen mit einem Modul ist die Methode, basierend auf Modulerweiterung. Diese Methode ist generisch, im allgemeinen Fall kann seine Anwendung jedoch zu sehr umständlichen Berechnungen führen. In dieser Hinsicht sollten sich die Schüler auch anderer bewusst sein, effizientere Methoden und Techniken zum Lösen solcher Gleichungen. Insbesondere, müssen die Fähigkeiten haben, Theoreme anzuwenden, in diesem Artikel gegeben.

Beispiel 1 Löse die Gleichung. (eines)

Lösung. Gleichung (1) wird durch die „klassische“ Methode – die Modulerweiterungsmethode – gelöst. Dazu brechen wir die Zahlenachse Punkte und Intervalle und betrachten drei Fälle.

1. Wenn , dann , , , und Gleichung (1) hat die Form . Daraus folgt. Jedoch ist hier der gefundene Wert nicht die Wurzel von Gleichung (1).

2. Wenn , dann erhalten wir aus Gleichung (1). oder .

Seit damals die Wurzel von Gleichung (1).

3. Wenn , dann nimmt Gleichung (1) die Form an oder . Beachten Sie, dass .

Antworten: , .

Beim Lösen der folgenden Gleichungen mit einem Modul werden wir die Eigenschaften von Modulen aktiv nutzen, um die Effizienz beim Lösen solcher Gleichungen zu erhöhen.

Beispiel 2 löse die Gleichung.

Lösung. Seit und dann folgt aus der gleichung. In diesem Zusammenhang, , , und die Gleichung wird. Von hier bekommen wir. Jedoch , Die ursprüngliche Gleichung hat also keine Wurzeln.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 3 löse die Gleichung.

Lösung. Seit damals . Wenn, dann , und die Gleichung wird.

Von hier bekommen wir.

Beispiel 4 löse die Gleichung.

Lösung.Lassen Sie uns die Gleichung in einer äquivalenten Form umschreiben. (2)

Die resultierende Gleichung gehört zu Gleichungen des Typs .

Unter Berücksichtigung von Theorem 2 können wir feststellen, dass Gleichung (2) äquivalent zur Ungleichung ist. Von hier bekommen wir.

Antworten: .

Beispiel 5 Löse die Gleichung.

Lösung. Diese Gleichung hat die Form. Deshalb , nach Satz 3, Hier haben wir die Ungleichung oder .

Beispiel 6 löse die Gleichung.

Lösung. Gehen wir mal davon aus. Als , dann nimmt die gegebene Gleichung die Form einer quadratischen Gleichung an, (3)

wo . Da Gleichung (3) eine einzige positive Wurzel hat und dann . Von hier erhalten wir zwei Wurzeln der ursprünglichen Gleichung: und .

Beispiel 7 löse die Gleichung. (4)

Lösung. Da die Gleichungentspricht der Kombination zweier Gleichungen: und , dann müssen beim Lösen von Gleichung (4) zwei Fälle betrachtet werden.

1. Wenn , dann oder .

Von hier erhalten wir , und .

2. Wenn , dann oder .

Seit damals .

Antworten: , , , .

Beispiel 8löse die Gleichung . (5)

Lösung. Seit und dann . Daraus und aus Gleichung (5) folgt, dass und , d.h. Hier haben wir ein Gleichungssystem

Dieses Gleichungssystem ist jedoch inkonsistent.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 9 löse die Gleichung. (6)

Lösung. Wenn wir benennen und aus Gleichung (6) erhalten wir

Oder . (7)

Da Gleichung (7) die Form hat, ist diese Gleichung äquivalent zur Ungleichung . Von hier bekommen wir. Seit , dann oder .

Antworten: .

Beispiel 10löse die Gleichung. (8)

Lösung.Nach Satz 1 können wir schreiben

(9)

Unter Berücksichtigung von Gleichung (8) schließen wir, dass beide Ungleichungen (9) zu Gleichheiten werden, d.h. Es gibt ein Gleichungssystem

Nach Theorem 3 ist das obige Gleichungssystem jedoch äquivalent zum Ungleichungssystem

(10)

Durch Lösen des Ungleichungssystems (10) erhalten wir . Da das Ungleichungssystem (10) äquivalent zu Gleichung (8) ist, hat die ursprüngliche Gleichung eine einzelne Wurzel .

Antworten: .

Beispiel 11. löse die Gleichung. (11)

Lösung. Seien und , dann impliziert die Gleichung (11) die Gleichheit .

Daraus folgt, dass und . Hier haben wir also ein System von Ungleichheiten

Die Lösung für dieses System der Ungleichheiten sind und .

Antworten: , .

Beispiel 12.löse die Gleichung. (12)

Lösung. Gleichung (12) wird durch das Verfahren der sukzessiven Erweiterung von Modulen gelöst. Betrachten Sie dazu mehrere Fälle.

1. Wenn , dann .

1.1. Wenn , dann und , .

1.2. Wenn, dann . Jedoch , daher hat in diesem Fall Gleichung (12) keine Wurzeln.

2. Wenn , dann .

2.1. Wenn , dann und , .

2.2. Wenn , dann und .

Antworten: , , , , .

Beispiel 13löse die Gleichung. (13)

Lösung. Da die linke Seite von Gleichung (13) nichtnegativ ist, sind dann und . In dieser Hinsicht , und Gleichung (13)

hat die Form oder .

Es ist bekannt, dass die Gleichung entspricht der Kombination zweier Gleichungen und , Lösung, die wir bekommen, . Als , dann hat Gleichung (13) eine Wurzel.

Antworten: .

Beispiel 14 Lösen Sie ein Gleichungssystem (14)

Lösung. Seit und , dann und . Daher erhalten wir aus dem Gleichungssystem (14) vier Gleichungssysteme:

Die Wurzeln der obigen Gleichungssysteme sind die Wurzeln des Gleichungssystems (14).

Antworten: ,, , , , , , .

Beispiel 15 Lösen Sie ein Gleichungssystem (15)

Lösung. Seit damals . Insofern erhalten wir aus dem Gleichungssystem (15) zwei Gleichungssysteme

Die Wurzeln des ersten Gleichungssystems sind und und aus dem zweiten Gleichungssystem erhalten wir und .

Antworten: , , , .

Beispiel 16 Lösen Sie ein Gleichungssystem (16)

Lösung. Aus der ersten Gleichung des Systems (16) folgt, dass .

Seit damals . Betrachten Sie die zweite Gleichung des Systems. Weil die, dann , und die Gleichung wird, , oder .

Wenn wir den Wert ersetzenin die erste Gleichung des Systems (16), dann , oder .

Antworten: , .

Für ein tieferes Studium der Problemlösungsmethoden, im Zusammenhang mit der Lösung von Gleichungen, mit Variablen unter dem Modulzeichen, Sie können Tutorials aus der Liste der empfohlenen Literatur empfehlen.

1. Aufgabensammlung Mathematik für Studienbewerber an Fachhochschulen / Ed. MI Scanavi. - M.: Welt und Bildung, 2013. - 608 S.

2. Suprun V.P. Mathematik für Gymnasiasten: Aufgaben mit erhöhter Komplexität. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 S.

3. Suprun V.P. Mathematik für Gymnasiasten: Nicht standardmäßige Methoden zur Lösung von Problemen. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 S.

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