Sargsyan Roman

Die Forschungsarbeit „Schnittprobleme“ wurde von Schülern der 8. Klasse abgeschlossen

Den Studierenden werden Techniken zum Schneiden von Figuren in den Spielen „Pentamino“, „Tangrams“, Rätseln und Beweisen von Theoremen vorgestellt und erprobt.

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Forschungsarbeit zum Thema

„Schnittprobleme“

Aufgeführt von: Roman Sargsyan, Anastasia Shavrova,

Schüler der 8. Klasse

MBOU „Seweromujskaja-Sekundarschule“

Leitung: Mathematiklehrerin Ogarkova I.I.

1. Einführung
2. Historische Referenz
3. Spiel „Pentamino“
4. Spiel „Tangram“
5. Problem „Kuchen“
6. Aufgabe Nr. 4 – „Rechteck ausschneiden“
7. Aufgabe Nr. 5 – „Zwei Quadrate ausschneiden“
8. Aufgabe Nr. 6 – „Zwei Quadrate schneiden-2“
9. Problem Nr. 7 – Kreuz
10. Aufgabe Nr. 8 – Kreuz -2
11. Aufgabe Nr. 9 – Quadrat 8*8
12. Aufgabe Nr. 10 Fläche eines Parallelogramms
13. Aufgabe Nr. 11 Fläche eines Trapezes
14. Aufgabe Nr. 12 Fläche eines Dreiecks
15. Abschluss
16. Literatur.

Einführung

„Problemlösung ist eine praktische Kunst

Schwimmen, Skifahren oder Klavier spielen;

man kann es nur lernen, indem man Gutes nachahmt

Proben und ständiges Üben"

D. Poya

Die Leidenschaft für Mathematik beginnt oft damit, dass man über ein Problem nachdenkt, das einem besonders gefällt. Eine reichhaltige Quelle solcher Probleme sind verschiedene Olympiaden – Schul-, Stadt-, Fernunterrichts- und internationale Olympiaden. In Vorbereitung auf die Olympiaden haben wir uns mit vielen unterschiedlichen Aufgaben beschäftigt und eine Gruppe von Problemen identifiziert, deren Lösungsansatz uns interessant und originell erschien. Das sind Schneidaufgaben. Wir hatten Fragen: Was ist die Besonderheit solcher Probleme, gibt es spezielle Methoden und Techniken zur Lösung von Schneidproblemen?

Relevanz (Folie 2)

1. Mathematiker entdecken neue Verbindungen zwischen mathematischen Objekten. Als Ergebnis dieser Arbeit werden allgemeine Methoden zur Lösung verschiedener Probleme gefunden. Und diese Probleme erhalten Standardlösungsmethoden, die von der Kategorie des Kreativen in die Kategorie des Technischen übergehen, das heißt, sie erfordern die Verwendung bereits bekannter Methoden zu ihrer Lösung.
2. Schneideaufgaben helfen Schülern dabei, möglichst früh geometrische Konzepte aus verschiedenen Materialien zu entwickeln. Bei der Lösung solcher Probleme entsteht ein Gefühl für Schönheit, Recht und Ordnung in der Natur.

Studienobjekt: Schneidaufgaben

Gegenstand der Studie: eine Vielzahl von Schneidproblemen, Methoden und Techniken zu deren Lösung.

Forschungsmethoden: Modellierung, Vergleich, Verallgemeinerung, Analogien, Studium von Literatur- und Internetressourcen, Analyse und Klassifizierung von Informationen.

(Folie3) HauptZweck der Studieist die Erweiterung des Wissens über die Vielfalt der Schneidaufgaben.

Um dieses Ziel zu erreichen, beabsichtigen wir, Folgendes zu lösen Aufgaben: (Folie 4)

1. Wählen Sie die benötigte Literatur aus
2. lernen, geometrische Formen unter Verwendung ihrer Eigenschaften und Eigenschaften in Teile zu schneiden, die zum Zusammensetzen der einen oder anderen geometrischen Form erforderlich sind;
3. Lernen Sie zu beweisen, dass die Flächen von Figuren gleich sind, indem Sie sie in bestimmte Teile zerlegen und beweisen, dass diese Figuren gleich zusammengesetzt sind.
4. Führen Sie geometrische Forschung und Design durch, um Probleme verschiedener Art zu lösen.
5. Wählen Sie Material für die Recherche aus, wählen Sie die wichtigsten, interessanten und verständlichen Informationen aus
6. analysieren und systematisieren Sie die erhaltenen Informationen
7. Finden Sie verschiedene Methoden und Techniken zur Lösung von Schneidproblemen
8. klassifizieren Sie die untersuchten Probleme
9. Wege finden, Folgendes umzuformen: ein Dreieck in ein gleichteiliges Parallelogramm; Parallelogramm in ein gleichseitiges Dreieck; Trapez in ein gleichseitiges Dreieck umwandeln.
10. Erstellen Sie eine elektronische Präsentation Ihrer Arbeit

Hypothese: Vielleicht bereiten die Vielfalt der Schnittprobleme, ihr „unterhaltsamer“ Charakter und das Fehlen allgemeiner Regeln und Methoden zu ihrer Lösung den Schülern Schwierigkeiten bei der Auseinandersetzung mit ihnen. Gehen wir davon aus, dass wir bei näherer Betrachtung von Schneidaufgaben von deren Relevanz, Originalität und Nützlichkeit überzeugt sein werden.

Um Schnittprobleme zu lösen, benötigen wir keine Kenntnisse der Grundlagen der Planimetrie, sondern Einfallsreichtum, geometrische Vorstellungskraft und relativ einfache geometrische Informationen, die jedem bekannt sind.

(Folie 5) Historischer Hintergrund

Schneidprobleme als eine Art Puzzle erregen seit der Antike Aufmerksamkeit. Die erste Abhandlung, die sich mit Schnittproblemen befasst, wurde vom berühmten arabischen Astronomen und Mathematiker aus Khorasan, Abu al-Wefa (940 – 998 n. Chr.), verfasst. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts erregte die Lösung von Problemen, Figuren in eine bestimmte Anzahl von Teilen zu zerlegen und sie dann zu einer neuen Figur zusammenzusetzen, dank des schnellen Wachstums von Zeitschriften Aufmerksamkeit als Mittel zur Unterhaltung breiter Schichten der Gesellschaft. Mittlerweile haben Geometer diese Probleme ernst genommen, zumal sie auf dem alten Problem gleichgroßer und gleich zusammengesetzter Figuren basieren, das auf antike Geometer zurückgeht. Bekannte Spezialisten auf diesem Gebiet der Geometrie waren die berühmten Klassiker der unterhaltsamen Geometrie und die Rätselmacher Henry E. Dudeney und Harry Lindgren.

Eine Enzyklopädie zur Lösung verschiedener Schneidprobleme ist das Buch „Cutting Geometry“ von Harry Lindgren. In diesem Buch finden Sie Aufzeichnungen zum Schneiden von Polygonen in vorgegebene Formen

Wenn Sie über Lösungen für Schneidprobleme nachdenken, wissen Sie, dass es keinen universellen Algorithmus oder keine universelle Methode gibt. Manchmal kann ein unerfahrener Geometer einen erfahreneren Menschen in seiner Lösung deutlich übertreffen. Diese Einfachheit und Zugänglichkeit ist die Grundlage für die Beliebtheit von Spielen, die beispielsweise auf der Lösung solcher Probleme basieren- (Folie 6) Pentomino„Verwandte“ von Tetris, Tangram.

(Folie7) Spiel „Pentamino“ Spielregeln

Der Kern des Spiels besteht darin, verschiedene Objektsilhouetten auf einer Ebene zu konstruieren. Bei dem Spiel geht es darum, verschiedene Teile aus einem vorgegebenen Satz Pentominos hinzuzufügen. Das Pentomino-Set enthält 12 Figuren, die jeweils aus fünf identischen Quadraten bestehen und nur mit ihren Seiten aneinander „grenzen“.

Spiel „Tangram“ (Folie 8)

Im Spiel „Tangram“ lassen sich aus sieben Grundelementen zahlreiche Figuren formen.Alle zusammengebauten Figuren müssen die gleiche Fläche haben, denn aus identischen Elementen zusammengesetzt. Es folgt dem:

1. Jede zusammengebaute Figur muss unbedingt alle sieben Elemente enthalten.
2. Beim Zusammenstellen einer Figur sollten sich die Elemente nicht überlappen, d. h. in nur einer Ebene liegen.
3. Die Elemente der Figuren müssen nebeneinander liegen.

Aufgaben

Im Tangram-Spiel gibt es drei Hauptaufgabenkategorien:

1. Finden einer oder mehrerer Möglichkeiten, eine bestimmte Figur zu konstruieren, oder ein eleganter Beweis für die Unmöglichkeit, eine Figur zu konstruieren.
2. Einen Weg finden, die Silhouetten von Tieren, Menschen und anderen erkennbaren Objekten mit größter Ausdruckskraft oder Humor (oder beidem zusammen) darzustellen.
3. Lösung verschiedener Probleme der kombinatorischen Geometrie, die sich im Zusammenhang mit der Zusammensetzung von Figuren aus 7 Tans ergeben.

Aufgabe 3 (Folie 9)

Kuchen Der mit Rosen geschmückte Stein wurde mit drei geraden Schnitten in Stücke geteilt, sodass jedes Stück genau eine Rose enthielt. Wie viele Rosen dürfen maximal auf der Torte sein?

Ein Kommentar. Die Lösung des Problems basiert auf der Anwendung des Axioms:„Eine Gerade teilt eine Ebene in zwei Halbebenen.“Alle möglichen Fälle der Anordnung von drei Geraden sollen dargestellt werden. Aus der Abbildung wird deutlich, dass die größte Anzahl von Teilen – 7 – dann entsteht, wenn sich die Geraden paarweise schneiden. Daher durften nicht mehr als 7 Rosen auf der Torte sein.

Aufgabe 4 (Folie 10)

Schneiden Sie das Rechteck aus, ax2a in solche Teile zerlegen, dass man daraus eine gleich große Größe zusammensetzen konnte:

1) rechtwinkliges Dreieck;

2) quadratisch.

Die Lösung des Problems ist aus den Abbildungen 2 und 3 ersichtlich.

Aufgabe 5 (Folie 11)

Schneiden Sie zwei Quadrate1x1 und 3x3 in solche Teile zerlegen, dass daraus ein gleich großes Quadrat entsteht.

Ein Kommentar. Diese Aufgabe besteht darin, eine aus zwei Quadraten bestehende Figur in ein gleichgroßes Quadrat umzuformen. Die Fläche des neuen Platzes beträgt 3 2 +1 2 , was bedeutet, dass die Seite eines Quadrats gleich der Summe dieser Quadrate ist, also die Hypotenuse eines Rechtecks ​​mit den Schenkeln 3 und 1 ist. Der Aufbau eines solchen Quadrats ist aus Abbildung 4 ersichtlich

Aufgabe 6 (Folie 12)

Schneiden Sie zwei zufällige Quadrate ausin solche Teile zerlegen, dass daraus ein gleichgroßes Quadrat gebildet werden kann.

Die Lösung des Problems ist aus Abbildung 5 ersichtlich. Die Fläche des neuen Quadrats beträgt a 2 + b 2 , was bedeutet, dass die Seite eines Quadrats gleich der Summe dieser Quadrate ist

d. h. es ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Schenkeln a und b.

Aufgabe 7 (Folie 13)

Kreuzen bestehend aus fünf Quadraten: einem Quadrat in der Mitte und den anderen vier daneben. Schneiden Sie es in Stücke, sodass Sie daraus ein gleich großes Quadrat bilden können.

Die Lösung des Problems ist aus Abbildung 6 ersichtlich.

Aufgabe 8 (Folie 14)

Kreuzen bestehend aus fünf Quadraten: einem Quadrat in der Mitte und den anderen vier daneben. Wie man die Oberfläche eines Bastes mit sechs solchen Kreuzen bedeckt, von denen jede Seite die gleiche Größe wie das Kreuz hat.

Ein Kommentar. Das Kreuz wird auf die Kante gelegt (Abb. 7), die „überstehenden Ohren“ müssen nicht beschnitten und neu geklebt werden – sie wandern zur angrenzenden Kante und landen an den richtigen Stellen. Indem Sie die „hervorstehenden Ohren“ auf benachbarte Flächen wickeln, können Sie so die Oberfläche des Würfels mit sechs Kreuzen bedecken (Abb. 8).

Aufgabe 9 (Folie 15)

Quadratisch 8x8 Schneiden Sie es in vier Teile, wie in Abbildung 9 gezeigt. Aus den resultierenden Teilen wird ein 13x5-Rechteck erstellt. Die Fläche eines Rechtecks ​​beträgt 65 und die Fläche eines Quadrats beträgt 64. Erklären Sie, wo der Fehler liegt.

Einleitende Bemerkungen des Lehrers:

Ein kleiner historischer Hintergrund: Viele Wissenschaftler interessieren sich seit der Antike für Schneidprobleme. Lösungen für viele einfache Schneidprobleme wurden von den alten Griechen und Chinesen gefunden, aber die erste systematische Abhandlung zu diesem Thema wurde von Abul-Vef verfasst. Geometer begannen zu Beginn des 20. Jahrhunderts ernsthaft damit, die Aufgabe zu lösen, Figuren in möglichst wenige Teile zu zerlegen und dann eine weitere Figur zu konstruieren. Einer der Gründer dieser Sektion war der berühmte Puzzle-Erfinder Henry E. Dudeney.

Heutzutage sind Rätselliebhaber sehr daran interessiert, Schnittprobleme zu lösen, da es keine universelle Methode zur Lösung solcher Probleme gibt und jeder, der sich an die Lösung dieser Probleme heranwagt, seinen Einfallsreichtum, seine Intuition und seine Fähigkeit zum kreativen Denken voll unter Beweis stellen kann. (Während der Lektion werden wir nur eines der möglichen Beispiele für das Schneiden nennen. Es ist davon auszugehen, dass die Schüler am Ende eine andere richtige Kombination finden – davor besteht kein Grund zur Angst.)

Diese Lektion soll in Form einer praktischen Lektion durchgeführt werden. Teilen Sie die Kreisteilnehmer in Gruppen von 2-3 Personen auf. Stellen Sie jeder Gruppe Figuren zur Verfügung, die der Lehrer im Voraus vorbereitet hat. Die Schüler haben ein Lineal (mit Teilung), einen Bleistift und eine Schere. Mit der Schere dürfen nur gerade Schnitte ausgeführt werden. Nachdem Sie eine Figur in Stücke geschnitten haben, müssen Sie aus den gleichen Teilen eine weitere Figur herstellen.

Schneidaufgaben:

1). Versuchen Sie, die in der Abbildung gezeigte Figur in drei gleichförmige Teile zu schneiden:

Hinweis: Die kleinen Formen ähneln stark dem Buchstaben T.

2). Schneiden Sie diese Figur nun in 4 gleichförmige Teile:

Hinweis: Es ist leicht zu erraten, dass kleine Figuren aus drei Zellen bestehen, aber es gibt nicht viele Figuren mit drei Zellen. Es gibt nur zwei Arten: Ecke und Rechteck.

3). Teilen Sie die Figur in zwei gleiche Teile und formen Sie aus den resultierenden Teilen ein Schachbrett.

Hinweis: Schlagen Sie vor, die Aufgabe mit dem zweiten Teil zu beginnen, als ob Sie ein Schachbrett bekommen würden. Denken Sie daran, welche Form ein Schachbrett hat (quadratisch). Zählen Sie die verfügbare Anzahl an Zellen in Länge und Breite. (Denken Sie daran, dass es 8 Zellen geben sollte).

4). Versuchen Sie, den Käse mit drei Messerbewegungen in acht gleich große Stücke zu schneiden.

Tipp: Versuchen Sie, den Käse der Länge nach zu schneiden.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

1). Schneiden Sie ein Quadrat aus Papier aus und gehen Sie wie folgt vor:

· In 4 Stücke schneiden, aus denen zwei gleiche kleinere Quadrate entstehen können.

· In fünf Teile schneiden – vier gleichschenklige Dreiecke und ein Quadrat – und diese so falten, dass drei Quadrate entstehen.

, Wettbewerb „Präsentation für den Unterricht“

Präsentation für den Unterricht

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Die Erfahrung zeigt, dass es durch den Einsatz praktischer Lehrmethoden möglich ist, den Studierenden eine Reihe mentaler Techniken anzueignen, die für die korrekte Identifizierung wesentlicher und unwesentlicher Merkmale beim Kennenlernen geometrischer Figuren erforderlich sind. mathematische Intuition, logisches und abstraktes Denken entwickeln sich, eine Kultur der mathematischen Sprache wird gebildet, mathematische und gestalterische Fähigkeiten werden entwickelt, kognitive Aktivität nimmt zu, kognitives Interesse wird gebildet, intellektuelles und kreatives Potenzial entwickelt sich. Der Artikel enthält eine Reihe praktischer Aufgaben zum Schneiden von Geometrien Formen in Stücke, um diese Teile zusammenzusetzen und eine neue Figur zu schaffen. Die Studierenden bearbeiten Aufgaben in Gruppen. Anschließend verteidigt jede Gruppe ihr Projekt.

Zwei Figuren heißen gleich zusammengesetzt, wenn es durch Zerlegen einer von ihnen auf eine bestimmte Weise in eine endliche Anzahl von Teilen möglich ist (durch unterschiedliche Anordnung dieser Teile), aus ihnen eine zweite Figur zu bilden. Die Partitionierungsmethode basiert also auf der Tatsache, dass zwei gleich zusammengesetzte Polygone gleich groß sind. Es liegt nahe, die gegenteilige Frage zu stellen: Sind zwei Polygone mit derselben Fläche gleich groß? Die Antwort auf diese Frage gaben (fast gleichzeitig) der ungarische Mathematiker Farkas Bolyai (1832) und der deutsche Offizier und Mathematikbegeisterte Gerwin (1833): Zwei Polygone mit gleichen Flächen sind gleich proportional.

Das Bolyai-Gerwin-Theorem besagt, dass jedes Polygon in Stücke geschnitten werden kann, sodass die Stücke zu einem Quadrat geformt werden können.

Übung 1.

Schneiden Sie das Rechteck aus A X 2a in Stücke schneiden, sodass daraus ein Quadrat geformt werden kann.

Wir schneiden das Rechteck ABCD entlang der Linien MD und MC in drei Teile (M ist die Mitte von AB).

Bild 1

Wir verschieben das Dreieck AMD so, dass der Scheitelpunkt M mit dem Scheitelpunkt C zusammenfällt, der Schenkel AM bewegt sich zum Segment DC. Wir verschieben das Dreieck MVS nach links und unten, sodass der Schenkel MV die Hälfte des Segments DC überlappt. (Bild 1)

Aufgabe 2.

Schneiden Sie das gleichseitige Dreieck in Stücke, damit diese zu einem Quadrat gefaltet werden können.

Bezeichnen wir dieses regelmäßige Dreieck mit ABC. Es ist notwendig, das Dreieck ABC in Polygone zu schneiden, damit sie zu einem Quadrat gefaltet werden können. Dann müssen diese Polygone mindestens einen rechten Winkel haben.

Sei K der Mittelpunkt von CB, T der Mittelpunkt von AB, wähle die Punkte M und E auf der Seite AC, so dass ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.

Figur 2

Zeichnen wir die Strecke MK und die Strecken EP und TN senkrecht dazu. Schneiden wir das Dreieck entlang der konstruierten Linien in Stücke. Wir drehen das Viereck KRES im Uhrzeigersinn relativ zum Scheitelpunkt K, sodass SC mit dem Segment KV übereinstimmt. Drehen wir das Viereck AMNT im Uhrzeigersinn relativ zum Scheitelpunkt T, sodass AT mit TV übereinstimmt. Verschieben wir das Dreieck MEP so, dass das Ergebnis ein Quadrat ist. (Figur 2)

Aufgabe 3.

Schneiden Sie das Quadrat in Stücke, sodass zwei Quadrate daraus gefaltet werden können.

Bezeichnen wir das ursprüngliche Quadrat ABCD. Markieren wir die Mittelpunkte der Seiten des Quadrats – die Punkte M, N, K, H. Zeichnen wir die Segmente MT, HE, KF und NP – Teile der Segmente MC, HB, KA bzw. ND.

Indem wir das Quadrat ABCD entlang der gezeichneten Linien schneiden, erhalten wir das Quadrat PTEF und vier Vierecke MDHT, HCKE, KBNF und NAMP.

Figur 3

PTEF ist ein fertiges Quadrat. Aus den restlichen Vierecken bilden wir das zweite Quadrat. Die Eckpunkte A, B, C und D sind an einem Punkt kompatibel, die Segmente AM und BC, MD und KS, BN und CH, DH und AN sind kompatibel. Die Punkte P, T, E und F werden zu den Eckpunkten des neuen Quadrats. (Figur 3)

Aufgabe 4.

Aus dickem Papier werden ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat ausgeschnitten. Schneiden Sie diese Figuren in Polygone, damit sie zu einem Quadrat gefaltet werden können. Die Teile müssen dieses vollständig ausfüllen und dürfen sich nicht überschneiden.

Schneiden Sie das Dreieck in Stücke und formen Sie daraus ein Quadrat, wie in Aufgabe 2 gezeigt. Länge der Seite des Dreiecks – 2a. Nun sollten Sie das Quadrat in Polygone unterteilen, sodass Sie aus diesen Teilen und dem Quadrat, das aus dem Dreieck hervorgegangen ist, ein neues Quadrat erstellen. Nimm ein Quadrat mit Seite 2 A, nennen wir es LRSD. Zeichnen wir die zueinander senkrechten Segmente UG und VF so, dass DU=SF=RG=LV. Schneiden wir das Quadrat in Vierecke.

Figur 4

Nehmen wir ein Quadrat, das aus Teilen eines Dreiecks besteht. Legen wir die Vierecke an – Teile des Quadrats, wie in Abbildung 4 dargestellt.

Aufgabe 5.

Das Kreuz besteht aus fünf Quadraten: einem Quadrat in der Mitte und den anderen vier daneben. Schneiden Sie es in Stücke, sodass Sie daraus ein Quadrat formen können.

Verbinden wir die Eckpunkte der Quadrate wie in Abbildung 5 gezeigt. Schneiden Sie die „äußeren“ Dreiecke ab und verschieben Sie sie auf die freien Plätze innerhalb des ABC-Quadrats.

Abbildung 5

Aufgabe 6.

Zeichne zwei beliebige Quadrate zu einem um.

Abbildung 6 zeigt, wie die quadratischen Teile geschnitten und verschoben werden.

Eine Reihe von Wahlpflichtveranstaltungen zum Thema „Lösen von Schneidproblemen“

Erläuterungen

Basic Ziele die wir in Wahlfächer einbauen, sind wie folgt:

Präsentieren Sie Material über die Arten von Schnittpolygonen;

Förderung der Bildung von Fähigkeiten bei Schülern, um solche Transformationen mental durchzuführen wie:

• parallele Übertragung,

  drehen,

  zentrale Symmetrie und verschiedene Zusammensetzungen dieser Transformationen.

UND Das Hauptziel aller Klassen: eine positive Veränderung des räumlichen Denkvermögens erreichen.

Die in den Wahlfächern angebotenen Aufgaben sind kreativer Natur, ihre Lösung erfordert von den Studierenden: Fähigkeiten:

die Fähigkeit, mentale Transformationen vorzunehmen, die den Ort der Bilder, die Schüler in ihrem Kopf haben, ihre Struktur und Struktur verändern;

die Fähigkeit, das Bild gleichzeitig in Ort und Struktur zu verändern und Kompositionen einzelner Vorgänge wiederholt durchzuführen.

Thematische Planung:

1. Fragebogen Nr. 1 – 1 Stunde.

2. Schnittprobleme. Schneiden Typ R – 1 Stunde.

3. Schneiden Typ P – 1 Stunde.

4. Schneiden vom Typ Q – 1 Stunde.

5. Schneiden Typ S – 1 Stunde.

6. T-förmiges Schneiden – 1 Stunde.

7. Fragebogen Nr. 2 – 1 Stunde.

Bei der Zusammenstellung einer Reihe von Wahlfächern wurden Probleme aus den Zeitschriften „Kvant“, „Mathematik in der Schule“ und dem Buch von G. Lindgren verwendet.

Richtlinien: Bei der Heranführung von Schülern an Probleme empfehlen wir, diese Probleme genau nach den von G. Lindgren vorgeschlagenen Schnittarten zu betrachten, die es einerseits ermöglichen, diese Probleme zu klassifizieren, andererseits im Unterricht räumliche Probleme zu lösen Transformationen unterschiedlicher Komplexität (der zweite und dritte Typ, der mit Bildern arbeitet, nach I.S. Yakimanskaya). Wir empfehlen, bei der Arbeit mit Schülern der Klassen 7–9 die Aufgaben des Wahlfachs zu nutzen.

Lektion Nr. 1

Thema: Schnittprobleme. Schneiden vom Typ R (rationelles Schneiden).

Ziel: Um die Schüler mit dem Konzept eines Schneidproblems vertraut zu machen, erklären Sie das Wesen des Schneidtyps R, analysieren Sie die Lösung von Problemen für diesen Schneidtyp und fördern Sie im Prozess der Problemlösung die Bildung von Fähigkeiten zur mentalen Ausführung von Vorgängen (Schneiden, Hinzufügen, Umschneiden, Drehen, Paralleltransfer) und fördert so die Entwicklung des räumlichen Denkens.

Ausrüstung: Papier, Farbpasten, Schere, Poster.

Methode: erklärend - illustrativ.

Lehrer: Plakat an der Tafel:

Schema: Schnittprobleme

Schnittprobleme

1) Schneiden Sie die Figur in mehrere Figuren

3) Formen Sie eine oder mehrere Formen in eine andere Form um

2) Falten Sie eine Figur aus den vorgegebenen Figuren

Unter allen Schnittproblemen sind die meisten rationale Schnittprobleme. Dies liegt daran, dass solche Schnitte einfach zu erfinden sind und die darauf basierenden Rätsel nicht zu einfach und nicht zu komplex sind.

Probleme beim R-Schneiden

1) Schneiden Sie die Figur in mehrere (meist gleich große) Figuren

3) Eine oder mehrere Formen in eine bestimmte Form umformen

2) Addieren Sie eine Zahl aus gegebenen (meist gleichen) Zahlen

3.1. Verwendung von Stufenschnitten

3.2. Ohne Stufenschneiden

Machen wir uns mit der Lösung von Problemen für jede Schneidart R vertraut.

Stufe II: Problemlösungsphase

Methoden: Teilsuche

Aufgabe Nr. 1(AII) : Schneiden Sie ein Quadrat mit einer Seitenlänge von vier Quadraten in zwei gleiche Teile. Finden Sie so viele Möglichkeiten zum Schneiden wie möglich.

Hinweis: Sie können nur entlang der Seiten der Zellen schneiden.

Lösung:

Die Schüler suchen in ihren Heften nach solchen Schnitten, dann fasst der Lehrer alle von den Schülern gefundenen Schnittmethoden zusammen.

Problem Nr. 2(AII) : Schneiden Sie diese Formen in zwei gleiche Teile.

Hinweis: Sie können nicht nur entlang der Seiten der Zellen schneiden, sondern auch diagonal.

Die Schüler suchen mit Hilfe des Lehrers in ihren Heften nach solchen Schnitten.

Der Platz verfügt über viele wunderbare Grundstücke. Rechte Winkel, gleiche Seiten und Symmetrie verleihen ihm Einfachheit und Formvollkommenheit. Es gibt viele Rätsel zum Falten von Quadraten aus Teilen gleicher und unterschiedlicher Form.

ZU Beispiel Aufgabe Nr. 3(BII) : Sie erhalten vier identische Teile. Bilden Sie im Geiste ein Quadrat daraus und verwenden Sie dabei jedes Mal alle vier Teile. Führen Sie alle Tests auf Papier durch. Präsentieren Sie die Ergebnisse Ihrer Lösung in Form einer handgezeichneten Zeichnung.

Lösung:

Ein in Stücke geschnittenes Schachbrett, das richtig gefaltet werden muss, ist eines der beliebtesten und bekanntesten Puzzles. Die Komplexität der Montage hängt davon ab, in wie viele Teile die Platine unterteilt ist.

Ich schlage folgende Aufgabe vor:

Problem Nr. 4(BII) : Bauen Sie aus den im Bild gezeigten Teilen ein Schachbrett zusammen.

Lösung:

Problem Nr. 5(VII) : Schneiden Sie das „Boot“ in zwei Teile, damit Sie sie zu einem Quadrat falten können.

Lösung:

1) Wie im Bild in zwei Teile schneiden

eines der Teile umdrehen (also drehen)

Problem Nr. 6(VII): Jede der drei Figuren kann in zwei Teile geschnitten werden, aus denen sich leicht ein Quadrat falten lässt. Finden Sie solche Schnitte.

A) B)

V)

Lösung:

Parallelübertragung von Teil 1 relativ zu Teil 2

Drehung von Teil 1 relativ zu Teil 2

) B) V)

Problem Nr. 7(VII): Ein Rechteck mit einer Seitenlänge von 4 und 9 Einheiten wird in zwei gleiche Teile geschnitten, die, wenn sie richtig gefaltet werden, ein Quadrat ergeben könnten.

der Schnitt erfolgt in Form von Stufen, deren Höhe und Breite gleich sind;

Die Figur wird in Teile geteilt und ein Teil wird um eine (oder mehrere) Stufen nach oben verschoben und auf einem anderen Teil platziert.

Lösung:

Parallelübertragung von Teil 1

Problem Nr. 9(VII): Nachdem Sie die in der Abbildung gezeigte Figur in zwei Teile geschnitten haben, falten Sie sie zu einem Quadrat, sodass die farbigen Quadrate symmetrisch zu allen Symmetrieachsen des Quadrats sind.

Lösung:

Parallelübertragung von Teil 1

Problem Nr. 9(ВIII): Wie sollten zwei Quadrate 3 x 3 und 4 x 4 geschnitten werden, damit die resultierenden Teile zu einem Quadrat gefaltet werden können? Überlegen Sie sich mehrere Möglichkeiten. Versuchen Sie, mit möglichst wenigen Teilen auszukommen.

Lösung:

parallele Teileübertragung

Weg:

Weg:

Parallele Translation und Rotation

Weg:

4 Wege:

parallele Übertragung und Drehung von Teilen

Die Schüler suchen mit Hilfe des Lehrers nach Schnitten.

Problem Nr. 10(AIII): Die in der Abbildung gezeigte Figur muss in 6 gleiche Teile geteilt werden, wobei Schnitte nur entlang der Gitterlinien vorgenommen werden dürfen. Auf wie viele Arten können Sie dies tun?

Lösung: Zwei mögliche Lösungen.

Problem Nr. 11(BII): Baue aus den vorgegebenen Figuren ein Schachbrett.

Lösung:

Problem Nr. 12(BIII): Wandeln Sie das 3 x 5-Rechteck in ein 5 x 3-Rechteck um, ohne die entsprechenden Teile zu drehen.

Hinweis: Stufenschnitt verwenden.

Lösung:(Parallelübertragung)

Problem Nr. 13(BIII): Schneiden Sie die Form mit einem Schnitt in zwei Teile, so dass ein 8 x 8 großes Quadrat entsteht.

Lösung:

Drehung von Teil 2 relativ zu Teil 1

Richtlinien: Schneidprobleme vom Typ R gehören zu den einfachsten und interessantesten. Viele Probleme dieser Art des Schneidens erfordern mehrere Lösungsmethoden, und die unabhängige Lösung dieser Probleme durch die Schüler kann dabei helfen, alle Lösungsmethoden zu identifizieren. Bei den Aufgaben 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 arbeiten die Schüler mit dem Bild von Figuren durch mentale Transformationen („Schneiden“, Addition, Drehung, Parallelübertragung). Bei den Aufgaben 4, 5, 9 und 11 arbeiten die Schüler mit Modellen (aus Papier), indem sie die Figur direkt mit einer Schere ausschneiden und mathematische Transformationen (Rotation, Parallelverschiebung) durchführen, um Lösungen für die Probleme zu finden. Aufgaben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 – für die zweite Art der Arbeit mit Bildern, Aufgaben 9, 10, 12 – für die dritte Art der Arbeit mit Bildern.

Lektion Nr. 2

Thema: Schnitttyp P (P-Parallelogrammverschiebung).

Ziel: Erläutern Sie das Wesen des Schneidtyps P im Prozess der Analyse der Lösung von Problemen für diesen Schneidtyp und fördern Sie gleichzeitig die Bildung von Fähigkeiten zur mentalen Ausführung von Vorgängen (Schneiden, Hinzufügen, erneutes Schneiden, paralleles Übertragen) und fördern Sie so die Entwicklung des räumlichen Denkens.

Ausrüstung:

Stufe I: Orientierungsstufe

Methode: problematische Darstellung.

Lehrer stellt ein Problem (Problem Nr. 1 lösen) und zeigt dessen Lösung auf.

Aufgabe Nr. 1(BIII): Konvertieren Sie ein Parallelogramm mit den Seitenlängen 3 und 5 cm in ein neues Parallelogramm mit den gleichen Winkeln wie das ursprüngliche Parallelogramm, wobei eine Seite 4 cm beträgt.

Lösung: 1)

4)

ABC D – Parallelogramm

AB = 3, A D=5

einen Schnitt machen AO VO = D K = 4;

Bewegen Sie Teil 1 nach oben (Parallelverschiebung) entlang der Schnittlinie nach rechts, bis Punkt O auf der Fortsetzung der Seite DC liegt;

mache einen Schnitt KA', so dass KA' || Gleichstrom;

und Δ AA'K fügen wir in die Aussparung unterhalb des Punktes O ein (parallele Übertragung von Δ AA'K entlang der Geraden AO).

KVO D ist das gewünschte Parallelogramm (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  SCHLECHT =  1 +  4,

1 =  2 und  4 =  3 – kreuzweise auf parallelen Linien liegend.

Daher ist  SCHLECHT =  2 + 3 =  BOC =  BKD,  BAD =  BKD usw.

U

Probleme beim P-Shift

Formen Sie eine oder mehrere Formen in eine andere Form um

Leser:

Die Essenz des Schnitttyps P:

Wir erstellen einen Ausschnitt dieser Figur, der den Anforderungen der Aufgabe entspricht.

wir führen eine parallele Übertragung des ausgeschnittenen Teils entlang der Schnittlinie durch, bis die Oberseite des ausgeschnittenen Teils mit der Fortsetzung der anderen Seite der Originalfigur (Parallelogramm) übereinstimmt;

machen Sie einen zweiten Schnitt parallel zur Seite des Parallelogramms, wir erhalten einen weiteren Teil;

Wir führen eine parallele Übertragung des neu geschnittenen Teils entlang der Linie des ersten Schnitts durch, bis die Scheitelpunkte übereinstimmen (wir legen das Teil in die Aussparung).

Stufe II: Problemlösungsphase

Methoden: erklärend - illustrativ

Problem Nr. 2(BII): Wandeln Sie das 5 x 5 Quadrat in ein Rechteck mit einer Breite von 3 um.

Lösung:

1) 2) – 3) 4)

Abschnitt AO / VO = D T = 3

Parallelübertragung ΔABO entlang der Geraden AO ​​bis Punkt O  (DC)

Schnitt TA’ / TA’ || CD

Δ AA ’T durch parallele Übertragung entlang der Geraden AO.

TBOD ist das gewünschte Rechteck (TB = 3).

Problem Nr. 3(ВIII): Falten Sie drei identische Quadrate zu einem großen Quadrat.

Hinweis: Falten Sie drei Quadrate zu einem Rechteck und wenden Sie dann die P-Verschiebung an.

Lösung:

S pr = 1,5 * 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Problem Nr. 4(BIII): Schneiden Sie das 5 x 1 Rechteck in ein Quadrat

Hinweis: Machen Sie einen Einschnitt AB (A W =
), wenden Sie P-Verschiebung auf das Rechteck XYWA an.

Lösung:

1)

2) – 3) 4) 5)

Problem Nr. 5(ВIII): Wandeln Sie das russische Н in ein Quadrat um.

Hinweis: Machen Sie einen Schnitt wie im Bild gezeigt und falten Sie die resultierenden Teile zu einem Rechteck.

Lösung:

Problem Nr. 6(BIII): Wandeln Sie das Dreieck in ein Trapez um.

Hinweis: Führen Sie den Schnitt wie im Bild gezeigt aus.

Lösung:

Teil 1 drehen;

AB-Abschnitt;

ΔАВС parallele Übertragung entlang AB bis Punkt B  (FM)

schneiden ODER / ODER || FM;

ΔAOR durch Paralleltransport entlang AB. Punkt P fällt mit Punkt B zusammen;

OFBC ist das gewünschte Trapez.

Problem Nr. 7(ВIII): Machen Sie ein Quadrat aus drei gleichen griechischen Kreuzen.

Lösung:

Problem Nr. 8(BIII): Wandeln Sie den Buchstaben T in ein Quadrat um.

Hinweis: Schneiden Sie zunächst ein Rechteck aus dem Buchstaben t aus.

Lösung: S t = 6 (Einheit 2), Skv = (
) 2

drehen

Zusammensetzung paralleler Bindestriche

MV = KS =

Problem Nr. 9(ВIII): Zeichnen Sie die im Bild gezeigte Flagge in ein Quadrat um.

Hinweis: Wandeln Sie zunächst die Flagge in ein Rechteck um

Lösung:

drehen

S fl = 6,75 AB = C D =
Skv = (
) 2

Parallelübertragung

Richtlinien: Bei der Einführung von Schülern in Schneidprobleme vom Typ P empfehlen wir, dass sie bei der Lösung eines bestimmten Problems die Essenz dieser Art des Schneidens darstellen. Wir empfehlen, Probleme zunächst an Modellen (aus Papier) zu lösen, indem die Figuren direkt mit einer Schere ausgeschnitten und parallel übertragen werden, und dann im Prozess der Problemlösung von Figurenmodellen zur Arbeit mit Bildern geometrischer Formen überzugehen. durch die Durchführung mentaler Transformationen (Schneiden, Paralleltransfer).

Lektion Nr. 3

Thema: Schnitttyp Q (Q ist eine Verschiebung eines Vierecks).

Ziel: Lassen Sie uns die Essenz des Schneidtyps Q im Prozess der Lösung von Problemen für diesen Schneidtyp skizzieren und gleichzeitig die Bildung von Fähigkeiten zur mentalen Ausführung von Operationen (Schneiden, Addition, zentrale Symmetrie, Rotation, parallele Übertragung) fördern und dadurch die Entwicklung des räumlichen Denkens.

Ausrüstung: Papier, Farbpasten, Schere.

Stufe I: Orientierungsstufe

Methode: problematische Darstellung.

Der Lehrer stellt den Schülern ein Problem (Löse Problem Nr. 1) und zeigt die Lösung.

Aufgabe Nr. 1(BIII): Wandeln Sie dieses Viereck in ein neues Viereck um.

Lösung:

Wir machen den HP-Schnitt so, dass VN = MN, PF = DF;

mach einen Schnitt ME / ME || Sonne;

einen Schnitt machen RT / RT || ANZEIGE ;

Δ 3 und Δ 1 sind relativ zu Teil 2 im Uhrzeigersinn gedreht;

Teil 1 durch parallele Übertragung entlang einer Geraden HF bis zum Punkt T  AR;

AMCP ist das erforderliche Viereck (mit den Seiten CP und AM (kann in der Bedingung angegeben werden)).

Problem Nr. 2(BIII): Wandeln Sie das Viereck in ein neues Viereck (langes Viereck) um.

Lösung:

(Teil 1 relativ zum Punkt O drehen, bis OU mit AO übereinstimmt);

(Teil (1 – 2) relativ zum Punkt T drehen, bis VT mit WT übereinstimmt);

XAZW ist das erforderliche Viereck.

Bei Problemen mit Q-Schnitten werden Schnitte ausgeführt und die geschnittenen Teile einer Rotationstransformation unterzogen.

Aufgaben für Q-Schneiden

eine gegebene Form (Viereck) in eine andere Form (Viereck) umwandeln

Bei vielen Problemen werden Q-Verschiebungselemente verwendet, um ein Dreieck in eine Art Viereck umzuwandeln oder umgekehrt (ein Dreieck als „Viereck“, bei dem eine seiner Seiten die Länge Null hat).

Stufe II: Problemlösungsphase

Problem Nr. 3(VII): Aus dem Dreieck wird ein kleines Dreieck ausgeschnitten, wie in der Abbildung gezeigt. Ordnen Sie das kleine Dreieck neu an, um ein Parallelogramm zu bilden.

Drehen Sie Teil 1 relativ zum Punkt P, bis KR mit MR übereinstimmt.

AOO'M ist das erforderliche Parallelogramm.

Problem Nr. 4(BII, BIII): Welche dieser Dreiecke können durch einen (zwei) Schnitte und Neuanordnung der resultierenden Teile in Rechtecke umgewandelt werden?

1) 2) 3) 4)

5)

Lösung:

1)

5)

1), 5) ein Schnitt (Schnitt – die Mittellinie des Dreiecks)

2)

3)

4)

2), 3), 4) zwei Schnitte (1. Schnitt – Mittellinie, 2. Schnitt – Höhe vom Scheitelpunkt des Dreiecks).

Problem Nr. 5(VII): Bauen Sie das Trapez in ein Dreieck um.

Lösung:

Abschnitt KS (AK = KB)

Drehung ΔKVS um den Punkt K, sodass die Segmente KV und KA ausgerichtet sind.

Δ FCD das gewünschte Dreieck.

Problem Nr. 6(ВIII): Wie zerlege ich ein Trapez in Formen, aus denen man ein Rechteck formen kann?

Lösung:

1) ODER-Abschnitt (AO = OB, OR┴AD)

2) schneiden TF (CT = TD, TF ┴AD)

Drehung von Teil 1 relativ zum Punkt O, sodass AO und BO ausgerichtet sind.

Drehen Sie Teil 2 relativ zum Punkt T, sodass DT und CT ausgerichtet sind.

PLMF – Rechteck.

Stufe III: Hausaufgaben machen.

Problem Nr. 7(ВIII) : Wandle ein beliebiges Dreieck in ein rechtwinkliges Dreieck um.

Kommentar:

1) Wandeln Sie zunächst ein beliebiges Dreieck in ein Rechteck um.

2) Rechteck in rechtwinkliges Dreieck.

Lösung:

drehen

Problem Nr. 8(VII): Wandeln Sie ein beliebiges Parallelogramm in ein Dreieck um, indem Sie nur einen Schnitt ausführen.

Lösung:

drehen

Teil 2 um Punkt O um 180° drehen (Symmetriezentrum)

Richtlinien: Zusammenfassung der Essenz des Q-Schneidens, das wir empfehlen

im Prozess der Lösung spezifischer Probleme durchführen. Die wichtigsten mathematischen Transformationen, die zur Lösung von Problemen für diese Art des Schneidens verwendet werden, sind: Rotation (insbesondere Zentralsymmetrie, Parallelverschiebung). Aufgaben 1, 2, 7 – für praktische Aktionen mit Modellen geometrischer Formen; Aufgaben 3, 4, 5, 6, 8 beinhalten die Arbeit mit Bildern geometrischer Formen. Aufgaben 3, 4, 5, 8 – für die zweite Art der Arbeit mit Bildern, Aufgaben 1, 2, 4, 6, 7 – für die dritte Art der Arbeit mit Bildern.

Lektion Nr. 4.

Thema: Schneiden vom Typ S.

Ziel: Erklären Sie das Wesen des Schnitttyps S im Prozess der Lösung von Problemen für diesen Schnitttyp und fördern Sie gleichzeitig die Ausbildung von Fähigkeiten zur mentalen Ausführung von Vorgängen (Schneiden, Hinzufügen, Überlappen, Drehen, Parallelübertragung, Zentralsymmetrie) und fördern Sie so die Entwicklung des räumlichen Denkens.

Ausrüstung: Papier, Farbpasten, Scheren, Code-Positive.

ICH Bühne: Orientierte Bühne.

Methode: erklärend und anschaulich.

Aufgabe Nr. 1(VII): Wie schneidet man ein Parallelogramm mit einer Seitenlänge von 3,5 cm und 5 cm in ein Parallelogramm mit einer Seitenlänge von 3,5 cm und 5,5 cm und macht dabei nur einen „Schnitt“?

Lösung:

1) Zeichnen Sie ein Segment (Schnitt) CO = 5,5 cm, teilen Sie das Parallelogramm in zwei Teile.

2) Wir wenden das Dreieck COM auf die gegenüberliegende Seite des Parallelogramms AK an. (d. h. parallele Übertragung von ∆ COM auf das Segment SA in Richtung SA).

3) CAOO` ist das gewünschte Parallelogramm (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Aufgabe Nr. 1(ВIII): Zeigen Sie, wie Sie ein Quadrat in drei Teile schneiden können, sodass Sie daraus ein Rechteck bilden können, dessen eine Seite doppelt so groß ist wie die andere.

Lösung:

Konstruieren Sie das Quadrat ABCD

Zeichnen wir die Diagonale AC

Zeichnen wir die Hälfte des diagonalen BD-Segments OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Bauen Sie aus den resultierenden 3 Teilen (Länge AC, Breite AD) ein Rechteck

Dafür:

Führen Sie eine parallele Übertragung der Teile 1 und 2 durch. Teil 1 (∆1) in Richtung D A, ∆2 in Richtung AB zum Segment AB.

AOO`C ist das gewünschte Rechteck (mit Seiten AC, OA = ½ AC).

Lehrer: Wir haben die Lösung von zwei Problemen betrachtet; die Art des Schneidens, die zur Lösung dieser Probleme verwendet wird, wird im übertragenen Sinne S-Schneiden genannt.

S -Schneiden ist im Grunde die Transformation eines Parallelogramms in ein anderes Parallelogramm.

Die Essenz dieses Schnitts im Folgenden:

wir machen einen Schnitt mit der gleichen Länge wie die Seite des erforderlichen Parallelogramms;

Wir führen eine parallele Übertragung des geschnittenen Teils durch, bis die gleichen gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms zusammenfallen (d. h. wir wenden den geschnittenen Teil auf die gegenüberliegende Seite des Parallelogramms an).

Abhängig von den Anforderungen der Aufgabe hängt die Anzahl der Schnitte ab.

Betrachten wir die folgenden Aufgaben:

Aufgabe Nr. 3(BII): Teilen Sie das Parallelogramm in zwei Teile, aus denen Sie ein Rechteck hinzufügen können.

Zeichnen wir ein beliebiges Parallelogramm.

Lösung:

Senken Sie ab Punkt B die Höhe von VN (VN┴AD).

Führen wir eine parallele Übertragung von ∆ AVN auf das Segment BC in Richtung BC durch.

Zeichnen Sie eine Zeichnung des resultierenden Rechtecks.

VNRS – Rechteck.

Aufgabe Nr. 4(BIII): Die Seiten des Parallelogramms betragen 3 und 4 cm. Verwandeln Sie es in ein Parallelogramm mit einer Seitenlänge von 3,5 cm, indem Sie zwei Schnitte ausführen.

Lösung:

1)

2)

Das gewünschte Parallelogramm.

Im Allgemeinen basiert das S-Schneiden auf der Methode der Überlagerung von Streifen, die es ermöglicht, das Problem der Transformation beliebiger Polygone zu lösen.

Bei den oben genannten Problemen haben wir aufgrund ihrer Einfachheit auf die Methode des Anbringens von Streifen verzichtet, obwohl alle diese Lösungen mit dieser Methode erhalten werden können. Aber bei komplexeren Aufgaben kommt man ohne Streifen nicht aus.

Knapp Streifenmethode läuft darauf hinaus:

1) Schneiden Sie (falls erforderlich) jedes Polygon (das Polygon, das umgewandelt wird, und das Polygon, in das das ursprüngliche Polygon umgewandelt werden muss) in Teile, aus denen zwei Streifen gefaltet werden können.

2) Legen Sie die Streifen in einem geeigneten Winkel übereinander, wobei die Kanten des einen Streifens immer im gleichen Verhältnis zu den Elementen des anderen Streifens stehen.

3) In diesem Fall zeigen alle Linien im gemeinsamen Teil der beiden Streifen die Stellen der notwendigen Schnitte an.

Buchstabe S, das im Begriff „S-Cut“ verwendet wird, kommt vom englischen Strip – Streifen.

Stufe II: Problemlösungsphase

Lassen Sie uns am Beispiel von Problem 3 überprüfen, ob die Methode des Anbringens von Streifen die gewünschte Lösung liefert.

Problem Nr. 3(VII): Teilen Sie das Parallelogramm in zwei Teile, aus denen Sie ein Rechteck hinzufügen können.

Lösung:

1)

2)

3)

1) Wir erhalten einen Streifen aus einem Parallelogramm

2) Streifen aus Rechtecken

3) Legen Sie Streifen 2 auf Streifen 1, wie in Abbildung 3 gezeigt

4) Wir erhalten die erforderliche Aufgabe.

Problem Nr. 5(BIII): In einem gleichschenkligen Dreieck werden die Mittelpunkte der Seiten und ihre Projektionen auf die Grundfläche markiert. Durch die markierten Punkte werden zwei Geraden gezogen. Zeigen Sie, dass die resultierenden Stücke zur Bildung einer Raute verwendet werden können.

Lösung:

Teil 2, 3 – Drehung um einen Punkt

Teil 4 - Parallelübertragung

In diesem Problem wurde das Schneiden von Dreiecken bereits angedeutet; wir können überprüfen, dass es sich um einen S-Schnitt handelt.

Problem Nr. 6(BIII): Drei griechische Kreuze in ein Quadrat umwandeln (mit Streifen).

Lösung:

1)

Wir legen einen Quadratstreifen auf einen Kreuzstreifen, sodass Punkt A und Punkt C zu den Kanten des Kreuzstreifens gehören.

∆АВН = ∆СD B, daher besteht das Quadrat aus ∆АВС und ∆АВМ.

Stufe III: Hausaufgaben machen

Problem Nr. 7(BIII): Wandeln Sie dieses Rechteck in ein anderes Rechteck um, dessen Seiten sich von den Seiten des ursprünglichen Rechtecks ​​unterscheiden.

Hinweis: Sehen Sie sich die Lösung für Problem 4 an.

Lösung:

Abschnitt AO (AO – Breite des erforderlichen Rechtecks);

Schnitt DP / DP  AO (DP – Länge des erforderlichen Rechtecks);

parallele Übertragung von ∆AVO in Richtung des Flugzeugs auf das Segment des Flugzeugs;

parallele Übertragung von ∆АPD zum Segment AO in Richtung AO;

PFED erforderliches Rechteck.

Problem Nr. 8(BIII): Ein regelmäßiges Dreieck wird durch ein Segment in Teile geteilt; bilden Sie aus diesen Teilen ein Quadrat.

Hinweis: Durch Übereinanderlegen der Streifen können Sie überprüfen, ob es sich um einen S-Schnitt handelt.

Drehung von Teil 2 um Punkt O;

Drehung von Teil 3 um Punkt C;

Parallelübertragung von Teil 4

Zusatzaufgabe Nr. 9(BII): Schneiden Sie das Parallelogramm entlang einer geraden Linie durch seine Mitte, sodass die beiden resultierenden Teile zu einer Raute gefaltet werden können.

Lösung:

O  QT

QT-Schnitt;

Teil 1 durch parallele Übertragung auf das BC-Segment in Richtung BC (CD und AB werden kombiniert).

Richtlinien: S – Schneiden – eine der schwierigsten Schnittarten. Wir empfehlen, das Wesentliche dieses Schneidens in konkreten Aufgaben darzulegen. In Kursen zur Lösung von Problemen zum S-Schneiden empfehlen wir die Verwendung von Problemen, bei denen Schnittfiguren vorgegeben sind und es notwendig ist, aus den resultierenden Teilen die erforderliche Figur zu addieren. Dies erklärt sich aus der Schwierigkeit für die Schüler, die Methode des Anbringens von Streifen selbstständig umzusetzen. Das ist die Essenz des S-Schneidens. Gleichzeitig kann der Lehrer bei Aufgaben, die für die Schüler leichter zugänglich sind (z. B. bei den Aufgaben 3, 5, 8), zeigen, wie man durch die Methode der Streifenaufbringung die in den Aufgabenbedingungen vorgegebenen Schnitte erhält. Aufgaben 4, 5, 6, 8, 9 – für praktische Aktionen mit Modellen geometrischer Formen, Aufgaben 1, 2, 3, 7 – für die Arbeit mit Bildern geometrischer Formen. Aufgaben 1, 3, 9 – für die zweite Art der Arbeit mit Bildern, Aufgaben 2, 4, 5, 6, 7, 8 – für die dritte Art der Arbeit mit Bildern.

Lektion Nr. 5

Thema: T-förmiges Schneiden.

Ziel: Erläutern Sie das Wesen des Schneidtyps S im Prozess der Analyse der Lösung von Problemen für diesen Schneidtyp und fördern Sie gleichzeitig die Bildung von Fähigkeiten zur mentalen Ausführung von Vorgängen (Schneiden, Hinzufügen, Drehen, paralleles Übertragen) und fördern Sie so die Entwicklung von räumliches Denken.

Ausrüstung: Papier, Farbpasten, Scheren, Farbpasten, Code-Positive.

Stufe I: Orientierungsstufe

Methode: erklärend und anschaulich

Lehrer: Die Lösung von Problemen durch T-Schneiden erfordert die Erstellung eines Mosaiks und dessen anschließende Überlagerung. Die beim S-Schnitt verwendeten Streifen können aus Mosaiken gewonnen werden. Daher verallgemeinert die Kachelmethode die Streifenmethode.

Betrachten wir die Essenz des T-Schneidens am Beispiel der Problemlösung.

Aufgabe Nr. 1(BIII): Wandeln Sie das griechische Kreuz in ein Quadrat um.

1) Der erste Schritt besteht darin, das ursprüngliche Polygon in ein Mosaikelement umzuwandeln (und das ist notwendig);

2) aus diesen Elementen machen wir Mosaik Nr. 1 (wir machen ein Mosaik aus griechischen Kreuzen);

5) Alle Linien im gemeinsamen Teil der beiden Mosaike zeigen die Stellen der notwendigen Schnitte an.

Stufe II: Problemlösungsphase

Methode: teilweise - Suche

Problem Nr. 2(BIII): Das griechische Kreuz wird in drei Teile geschnitten, diese Teile werden zu einem Rechteck gefaltet.

Hinweis: Wir können bestätigen, dass es sich bei diesem Schnitt um einen T-Schnitt handelt.

Lösung:

Drehung von Teil 1 um Punkt O;

Drehen Sie Teil 2 um Punkt A.

Problem Nr. 3(BIII): Schneiden Sie das konvexe Viereck entlang zweier gerader Linien, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbinden. Zeigen Sie, dass es immer möglich ist, aus den resultierenden vier Teilen ein Parallelogramm hinzuzufügen.

Teil 2 Drehung um Punkt O (oder Symmetriezentrum) um 180;

Teil 3 Drehung um Punkt C (oder Symmetriezentrum) um 180;

Teil 1 – Parallelübertragung.

Lassen Sie uns das Mosaik zeigen, aus dem dieser Schnitt gewonnen wurde.

Problem Nr. 4(BIII): Drei identische Dreiecke wurden entlang unterschiedlicher Mittellinien geschnitten. Falten Sie die sechs resultierenden Teile zu einem Dreieck.

Lösung:

1) Aus diesen Dreiecken machen wir Dreiecke wie in Abbildung 1 (zentrale Symmetrie);

2) Wir bilden ein weiteres Dreieck aus drei neuen Dreiecken (gleiche Seiten fallen zusammen).

Lassen Sie uns zeigen, wie diese Abschnitte mithilfe von Mosaiken erstellt wurden.

Problem Nr. 5(BIII): Das griechische Kreuz wurde in Stücke geschnitten und aus diesen Stücken wurde ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck hergestellt.

Lösung:

Teil 1 zentrale Symmetrie;

Teil 3 zentrale Symmetrie;

Teile 3 und 4 – wenden.

Problem Nr. 6(BIII): Schneiden Sie diese Figur in ein Quadrat.

Lösung:

Teil 1 Drehung um Punkt O;

Teil 3: 90° um Punkt A drehen.

Problem Nr. 7(BIII): Schneiden Sie das griechische Kreuz in ein Parallelogramm (Schnitte sind angegeben).

Lösung:

Teil 2 – Parallelübertragung zu Teil 1;

Teil 3 Parallelübertragung entlang der Schnittlinie.

Stufe III: Hausaufgaben machen.

Problem Nr. 8(BIII): Zwei identische konvexe Vierecke aus Papier mit Schnitten: das erste entlang einer der Diagonalen und das zweite entlang der anderen Diagonale. Beweisen Sie, dass die resultierenden Teile zur Bildung eines Parallelogramms verwendet werden können.

Lösung: Zusammensetzung der Windungen.

Problem Nr. 9(BIII): Machen Sie ein Quadrat aus zwei identischen griechischen Kreuzen.

Lösung:

Richtlinien: T-Schneiden – die komplexeste Schnittart, die Schnitte vom Typ S bildet. Wir empfehlen Ihnen, die Essenz des T-Schneidens im Prozess der Problemlösung zu erläutern. Aufgrund der Komplexität der Umsetzung der Mosaikmethode für Schüler, die die Essenz des T-Schneidens darstellt, empfehlen wir im Unterricht die Verwendung von Aufgaben, bei denen das Schneiden spezifiziert ist und es darum geht, aus den resultierenden Teilen der Figur die gewünschte Figur zu erhalten mathematische Transformationen (Rotation, Parallelverschiebung). Gleichzeitig kann der Lehrer an Aufgaben, die den Schülern leichter zugänglich sind, zeigen, wie er Schnittdaten mit der Mosaikmethode erhält. Die in Lektion Nr. 5 vorgeschlagenen Aufgaben beziehen sich auf die dritte Art der Arbeit mit Bildern und beinhalten die Arbeit der Schüler mit Modellen geometrischer Figuren durch Rotation und Parallelverschiebung.

Vor Ihnen liegt ein Blatt Papier mit dem Bild von: a) einem Dreieck, b) einem fünfzackigen Stern, c) einem Polygon in Form eines schwimmenden Schwans. In jedem Fall kommen Sie mit, wie man ein Stück Papier so faltet, dass die entsprechende Form dann in einem durchgehenden geraden Schnitt mit einer Schere ausgeschnitten werden kann.

Hinweis

In allen Fällen besteht die Lösung fast ausschließlich aus zwei Arten von Schritten: Sie müssen entweder entlang der Winkelhalbierenden einiger der mit der Figur verbundenen Winkel addieren (um die Anzahl der Segmente zu „reduzieren“, die nicht auf derselben Linie verbleiben). , oder entlang der Senkrechten zu einem der Segmente (um seine Länge an die gewünschte Länge „anzupassen“).

Lösung

Die folgenden Abbildungen zeigen, wie man die Formen aus der Problemstellung faltet, um sie dann jeweils mit einem Schnitt auszuschneiden.

Bei einem Dreieck ist alles mehr oder weniger klar: Wir addieren entlang einer Winkelhalbierenden, dann entlang der anderen (Abb. 1).

Der Stern ist auch recht einfach zu handhaben. Zuerst müssen Sie es entlang der Symmetrieachse in zwei Hälften falten (ein völlig natürlicher Vorgang, da Sie die Figur auf einen Schlag „halbieren“ können). Dann kombinieren Sie die beiden Strahlen des Sterns miteinander und addieren sie entlang der Winkelhalbierenden seines „äußeren“ Winkels. Danach bleiben von der Kontur nur noch drei Segmente übrig, die sich leicht kombinieren lassen (Abb. 2).

Der Schwan ist das Schwierigste. Das ist verständlich: eine Figur ohne Symmetrien, mit vielen Seiten; Daher ist eine große Anzahl von Falten erforderlich. Das Diagramm zum Falten ist in Abb. dargestellt. 3. Einfache gestrichelte Linien stellen Abwärtsfalten dar, strichpunktierte Linien stellen Aufwärtsfalten dar. Zuerst müssen Sie diese Falten separat markieren, damit das Blech die Form eines Hausdachs annimmt, und erst dann das Blech in eine flache Form falten.

Eine Fotoserie zeigt den gesamten Faltvorgang:

Woher dieses geniale Faltsystem kommt, lesen Sie im Nachwort.

Nachwort

Alle in der Bedingung vorgeschlagenen Optionen sind nur Sonderfälle der allgemeinen Frage, die so klingt:

Ist es bei einem Polygon auf einem flachen Blatt Papier möglich, dieses Blatt so zu falten, dass das Polygon mit einem geraden Schnitt ausgeschnitten werden kann?

Es stellt sich heraus, dass die Antwort auf diese Frage unabhängig von der Form des Polygons immer positiv ist: Ja, das können Sie. (Natürlich diskutieren wir dieses Problem jetzt aus mathematischer Sicht und gehen nicht auf die „physikalische“ Seite der Sache ein: Es ist unmöglich, ein Blatt Papier zu oft zu falten. Man geht davon aus, dass dies der Fall ist Es ist unmöglich, selbst sehr dünnes Papier mehr als 7-8 Mal zu falten. Das ist fast so: Mit etwas Mühe können Sie 12 Biegungen machen, aber es ist unwahrscheinlich, dass Sie mehr schaffen werden.)

Wenn außerdem mehrere Polygone gezeichnet werden, kann das Blatt trotzdem so gefaltet werden, dass alle mit einem Schnitt ausgeschnitten werden können (und es wird nichts mehr ausgeschnitten). Der Punkt ist, dass Folgendes wahr ist Satz:

Lassen Sie einen beliebigen Graphen auf ein Blatt Papier zeichnen. Dann kann dieses Blatt so gefaltet werden, dass diese Grafik mit einem Schnitt ausgeschnitten werden kann und nichts Unnötiges ausgeschnitten wird.

Für diesen Satz gibt es einen algorithmischen Beweis. Das heißt, sein Beweis liefert ein explizites Rezept für die Konstruktion des erforderlichen Faltensystems.

Kurz gesagt, das Wesentliche ist Folgendes. Zuerst müssen wir ein gerades Skelett bauen. Dabei handelt es sich um eine Reihe von Linien – die Trajektorien der Eckpunkte des ursprünglichen Polygons – entlang derer sie sich während seiner speziellen Komprimierung bewegen. Die Komprimierung funktioniert folgendermaßen: Wir bewegen die Seiten des Polygons mit konstanter Geschwindigkeit „nach innen“, sodass sich jede Seite bewegt, ohne ihre Richtung zu ändern. Wie Sie leicht erkennen können, wandern die Scheitelpunkte zunächst entlang der Winkelhalbierenden der Ecken des Polygons. Das heißt, diese auf den ersten Blick seltsame Konstruktion verallgemeinert lediglich die im Hinweis vorgeschlagene Idee: dass Sie versuchen sollten, entlang der Winkelhalbierenden der Ecken eines Polygons zu addieren. Beachten Sie, dass das Polygon während des Komprimierungsprozesses in Stücke „zerfallen“ kann, wie in Abb. 5.

Nachdem das Skelett erhalten wurde, müssen von jedem seiner Eckpunkte Strahlen senkrecht zu den Seiten der ursprünglichen Figur gezeichnet werden, zu denen sie gezeichnet werden können. Wenn der Strahl auf eine Linie des Skeletts trifft, sollte er nach dem Überqueren nicht gerade, sondern entlang seines Spiegelbilds relativ zu dieser Linie weiterlaufen. Das Faltsystem besteht aus gezeichneten Linien.

Weitere Informationen dazu und wie Sie die Faltrichtung („oben“ oder „unten“) bestimmen können, finden Sie im Artikel E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper. Eine kurze Geschichte und ein anderer Ansatz zur Lösung des Problems finden Sie auf der Seite von Eric Demain, einem der Autoren des Beweises des Theorems. Sie können auch eine etwas populärere Geschichte zu diesem Theorem lesen (leider auch auf Englisch). Und zum Schluss empfehle ich Ihnen, sich den Zeichentrickfilm „Mathematische Etüden“ anzusehen, in dem Sie deutlich sehen können, wie man ein Dreieck und einen Stern faltet und diese dann mit einem Schnitt ausschneidet.

Abschließend stelle ich fest, dass ähnliche Fragen wie die oben diskutierten schon seit geraumer Zeit aufgeworfen werden. Beispielsweise wurde in einem japanischen Buch von 1721 der Leser als eine der Aufgaben aufgefordert, mit einem Schnitt eine Figur aus drei verbundenen Rauten auszuschneiden (Abb. 6). Später erklärte der berühmte Illusionist Harry Houdini in seinem Buch die Methode, einen Stern auszuschneiden. Übrigens, der Legende nach, gerade weil sich ein solcher Stern schnell aus Papier oder Stoff ausschneiden lässt, sehen wir jetzt fünfzackige Sterne auf der US-Flagge: Näherin Betsy Ross, die der Legende nach die erste Flagge genäht hat, konnte George Washington davon überzeugen, dass sie besser für die Flagge geeignet sind als die sechszackigen, die Washington ursprünglich verwenden wollte.