Harmonischer Oszillator(in der klassischen Mechanik) - ein System, das, wenn es aus seiner Gleichgewichtslage entfernt wird, die Wirkung einer Rückstellkraft erfährt F, proportional zur Verschiebung x :

,

wo k- konstanter Koeffizient.

Wenn ein F- die einzige Kraft, die auf das System wirkt, dann wird das System aufgerufen einfach oder konservativer harmonischer Oszillator. Freie Schwingungen eines solchen Systems stellen eine periodische Bewegung um die Gleichgewichtslage dar (harmonische Schwingungen). Die Frequenz und Amplitude sind konstant, und die Frequenz hängt nicht von der Amplitude ab.

Mechanische Beispiele eines harmonischen Oszillators sind ein mathematisches Pendel (mit kleinen Auslenkungswinkeln), ein Torsionspendel und akustische Systeme. Unter den nichtmechanischen Analoga eines harmonischen Oszillators kann man einen elektrischen harmonischen Oszillator herausgreifen (siehe LC-Schaltung).

Freie Schwingungen eines konservativen harmonischen Oszillators

Die Gleichung und ihre Lösungen

Lassen x- Verschiebung eines materiellen Punktes relativ zu seiner Gleichgewichtsposition und F- eine auf einen Punkt wirkende Rückstellkraft jeglicher Art der Form

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

wo k= konst. Dann kann man unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes die Beschleunigung schreiben als

a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac (k)(m))x).

bezeichnet ω 0 2 = k / m (\displaystyle (\omega _(0))^(2)=k/m) und ersetzen a zur zweiten Ableitung der Koordinate nach der Zeit x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))), wir haben

x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).

Diese Differentialgleichung beschreibt das Verhalten eines konservativen harmonischen Oszillators. der Wert ω 0 (\displaystyle \omega_(0)) wird zyklische Frequenz genannt. (Dies bezieht sich auf die Kreisfrequenz, gemessen in Radianten pro Sekunde. Um sie in eine Frequenz in Hertz umzuwandeln, muss sie durch dividiert werden 2 π (\displaystyle 2\pi).)

Wir werden nach einer Lösung dieser Gleichung in der Form suchen

x (t) = Eine Sünde ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)).

Hier EIN- Amplitude, ω - Schwingungsfrequenz, φ - Anfangsphase.

Wir setzen in die Differentialgleichung ein und erhalten:

x ¨ (t) = − A ω 2 Sünde ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)), − Eine ω 2 Sünde ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 Eine Sünde ⁡ (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0).

Die Amplitude wird reduziert. Das bedeutet, dass er einen beliebigen Wert haben kann (einschließlich Null – das bedeutet, dass der materielle Punkt in der Gleichgewichtslage ruht). Der Sinus kann auch reduziert werden, da die Gleichheit jederzeit gelten muss t. Damit bleibt die Bedingung für die Schwingfrequenz:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle\omega=\pm\omega_(0).)

Einfache harmonische Bewegung ist die Grundlage für einige Möglichkeiten, komplexere Bewegungsarten zu analysieren. Eines dieser Verfahren basiert auf der Fourier-Transformation, deren Kern darin besteht, einen komplexeren Bewegungstyp in eine Reihe einfacher harmonischer Bewegungen zu zerlegen.

Beispiele für Oszillatoren

Jedes System, in dem eine einfache harmonische Bewegung auftritt, hat zwei Schlüsseleigenschaften:

• Wenn das System aus dem Gleichgewicht gerät, muss es eine Rückstellkraft geben, die dazu neigt, das System wieder ins Gleichgewicht zu bringen;
• die Rückstellkraft muss genau oder annähernd proportional zum Weg sein.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele.

Horizontales Federkraftsystem

Ein typisches Beispiel für ein System, in dem eine einfache harmonische Bewegung auftritt, ist das idealisierte Masse-Feder-System, bei dem eine Masse an einer Feder befestigt und auf einer horizontalen Fläche platziert wird. Ist die Feder nicht gestaucht und nicht gedehnt, wirken keine veränderlichen Kräfte auf die Last und sie befindet sich im mechanischen Gleichgewicht. Wenn jedoch die Last aus der Gleichgewichtsposition entfernt wird, wird die Feder verformt und eine Kraft wirkt von ihrer Seite, die dazu neigt, die Last in die Gleichgewichtsposition zurückzubringen. Bei einem Last-Feder-System ist eine solche Kraft die elastische Kraft der Feder, die dem Hookeschen Gesetz gehorcht:

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

wo k hat eine ganz bestimmte Bedeutung - das ist der Koeffizient der Federsteifigkeit.

Sobald die verschobene Last der Wirkung einer Rückstellkraft ausgesetzt ist, wird sie beschleunigt und tendiert dazu, sie zum Ausgangspunkt, d. h. in die Gleichgewichtsposition, zurückzuführen. Wenn sich die Last der Gleichgewichtsposition nähert, nimmt die Rückstellkraft ab und geht gegen Null. Allerdings in Stellung x = 0 Die Last hat eine gewisse Bewegung (Impuls), die durch die Wirkung der Rückstellkraft erlangt wird. Daher überspringt die Last die Gleichgewichtsposition und beginnt erneut, die Feder zu verformen (jedoch in die entgegengesetzte Richtung). Die Rückstellkraft wird dazu neigen, es zu verlangsamen, bis die Geschwindigkeit Null ist; und die Kraft wird erneut versuchen, die Last in ihre Gleichgewichtsposition zurückzubringen.

Wenn kein Energieverlust auftritt, schwingt die Last wie oben beschrieben; diese Bewegung ist periodisch.

Vertikales Lastfedersystem

Bei einer vertikal an einer Feder aufgehängten Last wirkt neben der elastischen Kraft die Schwerkraft, dh die Gesamtkraft wird

F = − k x − m g (\displaystyle F=-kx-mg).

Wenn wir eine Variable ändern, um mit einem Nichtwert zu arbeiten x (\displaystyle x), und der Wert X = x + mg / k (\displaystyle X=x+mg/k), dann nimmt die Bewegungsgleichung die gleiche Form an wie im Fall der horizontalen Geometrie, nur für die Variable X (\ displaystyle X).

Schwingungen treten mit der gleichen Frequenz auf ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m))). Entsprach jedoch im horizontalen Fall der Zustand einer unverformten Feder dem Gleichgewicht, so wird in der vertikalen Version die Feder im Gleichgewicht gedehnt. Abhängigkeiten der Frequenz von der Größe der Freifallbeschleunigung g (\ displaystyle g) während nicht; g (\ displaystyle g) wirkt sich nur auf die Verschiebung der Gleichgewichtslage aus mg/k (\displaystyle mg/k).

Messungen der Frequenz (oder Periode) von Schwingungen einer Last an einer Feder werden in Geräten zur Bestimmung der Masse eines Körpers verwendet - den sogenannten Massenmessern, die auf Raumstationen verwendet werden, wenn die Waage aufgrund von Schwerelosigkeit nicht funktionieren kann.

Universelle Kreisbewegung

Eine einfache harmonische Bewegung kann in einigen Fällen als eindimensionale Projektion einer universellen Kreisbewegung betrachtet werden.

Bewegt sich ein Körper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis mit Radius r, dessen Mittelpunkt der Ursprung der Ebene ist x − y, dann ist eine solche Bewegung entlang jeder der Koordinatenachsen einfach harmonisch mit der Amplitude r und Kreisfrequenz ω .

Gewicht als einfaches Pendel

Bei der Annäherung kleiner Winkel kommt die Bewegung eines einfachen Pendels einer einfachen Harmonischen nahe. Die Schwingungsdauer eines solchen Pendels, das an einem langen Stab befestigt ist ℓ , ergibt sich aus der Formel

T = 2πℓg. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

wo g- Erdbeschleunigung. Dies zeigt, dass die Schwingungsdauer nicht von Amplitude und Masse des Pendels abhängt, sondern davon abhängt g, daher wird es bei gleicher Länge des Pendels auf dem Mond langsamer schwingen, da dort die Gravitation schwächer ist und der Wert der Fallbeschleunigung geringer ist.

Die angegebene Näherung ist nur bei kleinen Auslenkwinkeln richtig, da der Ausdruck für die Winkelbeschleunigung proportional zum Sinus der Koordinate ist:

ℓ m g sin ⁡ θ = ich α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

wo ich- Trägheitsmoment; in diesem Fall ich = ml 2. Kleine Winkel werden unter Bedingungen realisiert, bei denen die Schwingungsamplitude viel kleiner als die Länge des Stabs ist.

ℓ m g θ = ich α , (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)

was die Winkelbeschleunigung direkt proportional zum Winkel θ macht, und dies erfüllt die Definition einer einfachen harmonischen Bewegung.

Freie Schwingungen eines gedämpften harmonischen Oszillators

Die Gleichung und ihre Lösungen

Bei der Betrachtung eines gedämpften Oszillators wird das Modell eines konservativen Oszillators zugrunde gelegt, zu dem die viskose Reibungskraft hinzukommt. Die Kraft der viskosen Reibung richtet sich gegen die Relativgeschwindigkeit der Last zum Medium und ist dieser Geschwindigkeit direkt proportional. Dann wird die auf die Last wirkende Gesamtkraft wie folgt geschrieben:

F = − k x − α v . (\displaystyle F=-kx-\alpha v.)

Unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes erhalten wir eine Differentialgleichung, die einen gedämpften Oszillator beschreibt:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0 .)

Hier ist die Notation: 2 γ = α / m (\displaystyle 2\gamma =\alpha /m). Koeffizient γ (\displaystyle\gamma) heißt Dämpfungskonstante. Es hat auch die Dimension der Frequenz.

Die Lösung fällt in drei Fälle.

x (t) = EIN e - - γ t s ich n (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)

wo ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- Frequenz der freien Schwingungen.

x (t) = (A + B t) e − γ t . (\displaystyle\x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t).) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) t))

wo β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 . (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).)

Planen:

Einführung

• 1 Freie Schwingungen
  • 1.1 Konservativer harmonischer Oszillator
    • 1.1.1
      • 1.1.1.1 Dynamik einfacher harmonischer Bewegung
      • 1.1.1.2 Energie einfacher harmonischer Bewegung
      • 1.1.1.3 Beispiele
        • 1.1.1.3.1 Federgewicht
        • 1.1.1.3.2 Universelle Kreisbewegung
        • 1.1.1.3.3 Gewicht als einfaches Pendel
  • 1.2 Gedämpfter harmonischer Oszillator
• 2 Erzwungene Schwingungen
Literatur
Anmerkungen

Einführung

Harmonischer Oszillator(in der klassischen Mechanik) ist ein System, das bei Verschiebung aus einer Gleichgewichtslage eine zur Verschiebung proportionale Rückstellkraft erfährt (nach dem Hookeschen Gesetz):

wo k ist eine positive Konstante, die die Steifigkeit des Systems beschreibt.

Ist die einzige Kraft, die auf das System wirkt, so heißt das System einfach oder konservativer harmonischer Oszillator. Freie Schwingungen eines solchen Systems stellen eine periodische Bewegung um die Gleichgewichtslage dar (harmonische Schwingungen). Die Frequenz und Amplitude sind konstant, und die Frequenz hängt nicht von der Amplitude ab.

Tritt zusätzlich eine zur Bewegungsgeschwindigkeit proportionale Reibungskraft (Dämpfung) auf (viskose Reibung), so spricht man von einem solchen System Fading oder Dissipativer Oszillator. Wenn die Reibung nicht zu groß ist, führt das System eine fast periodische Bewegung aus - sinusförmige Schwingungen mit konstanter Frequenz und exponentiell abnehmender Amplitude. Die Frequenz freier Schwingungen eines gedämpften Oszillators fällt etwas niedriger aus als die eines ähnlichen Oszillators ohne Reibung.

Überlässt man den Oszillator sich selbst, so sagt man, er führt freie Schwingungen aus. Wenn es eine äußere Kraft gibt (abhängig von der Zeit), dann sagen wir, dass der Oszillator erzwungene Schwingungen erfährt.

Mechanische Beispiele eines harmonischen Oszillators sind ein mathematisches Pendel (mit kleinen Verschiebungswinkeln), ein Gewicht an einer Feder, ein Torsionspendel und akustische Systeme. Unter anderen Analoga des harmonischen Oszillators ist der elektrische harmonische Oszillator hervorzuheben (siehe LC-Schaltung).

1. Freie Schwingungen

1.1. Konservativer harmonischer Oszillator

Als Modell eines konservativen harmonischen Oszillators nehmen wir eine an einer Feder befestigte Massenlast mit einer Steifigkeit .

Let ist die Verschiebung der Last relativ zur Gleichgewichtsposition. Dann wirkt nach dem Hookeschen Gesetz die Rückstellkraft darauf:

Unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes schreiben wir

Indem wir die Beschleunigung bezeichnen und durch die zweite Ableitung der Koordinate nach der Zeit ersetzen, schreiben wir:

Diese Differentialgleichung beschreibt das Verhalten eines konservativen harmonischen Oszillators. Der Koeffizient ω 0 wird als zyklische Frequenz des Oszillators bezeichnet. (Dies bezieht sich auf die Kreisfrequenz, gemessen in Radianten pro Sekunde. Um sie in eine Frequenz in Hertz umzuwandeln, müssen Sie die Kreisfrequenz durch 2π teilen.)

Wir suchen nach einer Lösung dieser Gleichung in der Form:

Hier - Amplitude, - Schwingungsfrequenz (noch nicht unbedingt gleich Eigenfrequenz), - Anfangsphase.

Wir setzen in die Differentialgleichung ein.

Die Amplitude wird reduziert. Das bedeutet, dass er einen beliebigen Wert haben kann (einschließlich Null – das bedeutet, dass die Last in der Gleichgewichtslage ruht). Der Sinus kann auch reduziert werden, da die Gleichheit jederzeit gelten muss t. Und die Bedingung für die Schwingungsfrequenz bleibt:

Die negative Frequenz kann verworfen werden, da die Willkür in der Wahl dieses Vorzeichens durch die Willkür in der Wahl der Anfangsphase überdeckt wird.

Kreisbewegung und harmonische Bewegung

Die allgemeine Lösung der Gleichung wird geschrieben als:

,

wo Amplitude EIN und Anfangsphase sind beliebige Konstanten. Dieser Datensatz erschöpft alle Lösungen der Differentialgleichung, da er erlaubt, beliebige Anfangsbedingungen (die Anfangsposition der Last und ihre Anfangsgeschwindigkeit) zu erfüllen.

Zusammenfassend kann ein konservativer harmonischer Oszillator rein harmonische Schwingungen mit einer Frequenz gleich seiner Eigenfrequenz, mit einer beliebigen Amplitude und mit einer beliebigen Anfangsphase ausführen.

Die kinetische Energie wird geschrieben als

.

und die potentielle Energie ist

dann ist die Gesamtenergie konstant

1.1.1. Einfache harmonische Bewegung

Einfache harmonische Bewegung ist eine einfache Bewegung harmonischer Oszillator, eine periodische Bewegung, die weder erzwungen noch gedämpft wird. Ein Körper in einfacher harmonischer Bewegung wird einer einzigen variablen Kraft ausgesetzt, die im absoluten Wert direkt proportional zur Verschiebung ist x, und ist in die entgegengesetzte Richtung gerichtet.

Diese Bewegung ist periodisch: Der Körper schwingt nach einem Sinusgesetz um die Gleichgewichtslage. Jede nachfolgende Schwingung ist die gleiche wie die vorhergehende, und die Periode, Frequenz und Amplitude der Schwingungen bleiben konstant. Wenn wir annehmen, dass die Gleichgewichtsposition an einem Punkt mit einer Koordinate gleich Null ist, dann die Verschiebung x Körper zu jeder Zeit ist durch die Formel gegeben:

EIN ist die Amplitude der Schwingungen, f- Frequenz, φ - Anfangsphase.

Die Bewegungsfrequenz wird durch die charakteristischen Eigenschaften des Systems (z. B. die Masse des sich bewegenden Körpers) bestimmt, während die Amplitude und die Anfangsphase durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden - die Verschiebung und Geschwindigkeit des Körpers im Moment der Schwingungen Start. Von diesen Eigenschaften und Bedingungen hängen auch die kinetischen und potentiellen Energien des Systems ab.

Einfache harmonische Bewegung. In diesem animierten Bild ist die Partikelkoordinate entlang der vertikalen Achse aufgetragen ( x in der Formel), und die Zeit wird entlang der horizontalen Achse aufgetragen ( t).

Einfache harmonische Bewegungen können mathematische Modelle verschiedener Bewegungsarten sein, wie beispielsweise die Schwingung einer Feder. Andere Fälle, die grob als einfache harmonische Bewegung angesehen werden können, sind die Bewegung eines Pendels und die Schwingungen von Molekülen.

Einfache harmonische Bewegung ist die Grundlage für einige Möglichkeiten, komplexere Bewegungsarten zu analysieren. Eines dieser Verfahren basiert auf der Fourier-Transformation, deren Kern darin besteht, einen komplexeren Bewegungstyp in eine Reihe einfacher harmonischer Bewegungen zu zerlegen.

Einfache harmonische Bewegung, die gleichzeitig im realen Raum und im Phasenraum gezeigt wird. Hier werden die Geschwindigkeitsachse und die Positionsachse anders als die übliche Darstellung der Koordinatenachsen dargestellt - dies geschieht, damit beide Figuren einander entsprechen. Realer Raum - realer Raum; Phasenraum - Phasenraum; Geschwindigkeit - Geschwindigkeit; Position - Position (Position).

Ein typisches Beispiel für ein System, in dem eine einfache harmonische Bewegung auftritt, ist ein idealisiertes Masse-Feder-System, bei dem eine Masse an einer Feder befestigt ist. Wenn die Feder nicht komprimiert und nicht gedehnt ist, wirken keine veränderlichen Kräfte auf die Last und die Last befindet sich in einem Zustand des mechanischen Gleichgewichts. Wenn jedoch die Last aus der Gleichgewichtsposition entfernt wird, wird die Feder verformt und eine Kraft wirkt von ihrer Seite auf die Last, die dazu neigt, die Last in die Gleichgewichtsposition zurückzubringen. Bei einem Last-Feder-System ist eine solche Kraft die elastische Kraft der Feder, die dem Hookeschen Gesetz gehorcht:

F = − kx, F- Wiederherstellungskräfte x- Bewegung der Last (Federverformung), k- Steifigkeitskoeffizient der Feder.

Jedes System, in dem eine einfache harmonische Bewegung auftritt, hat zwei Schlüsseleigenschaften:

1. Wenn ein System aus dem Gleichgewicht gerät, muss es eine Rückstellkraft geben, die dazu neigt, das System wieder ins Gleichgewicht zu bringen.
2. Die Rückstellkraft muss genau oder annähernd proportional zum Weg sein.

Das Gewicht-Feder-System erfüllt diese beiden Bedingungen.

Sobald die verschobene Last der Wirkung einer Rückstellkraft ausgesetzt ist, wird sie beschleunigt und neigt dazu, zum Ausgangspunkt zurückzukehren, dh in die Gleichgewichtsposition. Wenn sich die Last der Gleichgewichtsposition nähert, nimmt die Rückstellkraft ab und geht gegen Null. Allerdings in Position x= 0 hat die Last eine gewisse Bewegung (Impuls), die durch die Wirkung der Rückstellkraft gewonnen wird. Daher überspringt die Last die Gleichgewichtsposition und beginnt erneut, die Feder zu verformen (jedoch in die entgegengesetzte Richtung). Die Rückstellkraft wird dazu neigen, es zu verlangsamen, bis die Geschwindigkeit Null ist; und die Kraft wird erneut versuchen, die Last in ihre Gleichgewichtsposition zurückzubringen.

Solange im System kein Energieverlust auftritt, schwingt die Last wie oben beschrieben; eine solche Bewegung heißt periodisch.

Eine weitere Analyse wird zeigen, dass im Fall eines Masse-Feder-Systems die Bewegung einfach harmonisch ist.

1.1.1.1. Dynamik einfacher harmonischer Bewegung

Für eine Schwingung im eindimensionalen Raum, gegeben Newtons zweites Gesetz ( F= m d² x/d t² ) und das Hookesche Gesetz ( F = −kx, wie oben beschrieben), haben wir eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

m ist die Masse des Körpers x- seine Verschiebung relativ zur Gleichgewichtslage, k- konstant (Federsteifigkeitsfaktor).

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist sinusförmig; eine Lösung ist diese:

wo EIN, ω , und φ sind Konstanten, und die Gleichgewichtsposition wird als Anfangsposition genommen. Jede dieser Konstanten repräsentiert eine wichtige physikalische Eigenschaft der Bewegung: EIN ist die Amplitude ω = 2π f ist die Kreisfrequenz, und φ - Anfangsphase.

Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung des harmonischen Oszillators

Mit den Methoden der Differentialrechnung lassen sich Geschwindigkeit und Beschleunigung als Funktion der Zeit mit den Formeln ermitteln:

Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung einer einfachen harmonischen Bewegung auf der Phasenebene

Die Beschleunigung kann auch als Funktion der Verschiebung ausgedrückt werden:

Soweit ma = −mω² x = −kx , dann

Angesichts dessen ω = 2π f, wir bekommen

und weil T = 1/f, wobei T die Schwingungsdauer ist, dann

Diese Formeln zeigen, dass Periode und Frequenz nicht von der Amplitude und der Anfangsphase der Bewegung abhängen.

1.1.1.2. Energie einfacher harmonischer Bewegung

Kinetische Energie K Systeme als Funktion der Zeit t ist:

und die potentielle Energie ist

Die gesamte mechanische Energie des Systems hat jedoch einen konstanten Wert

1.1.1.3. Beispiele

Ein ungedämpftes Masse-Feder-System, in dem einfache harmonische Bewegungen auftreten.

Einfache harmonische Bewegung wird in verschiedenen einfachen physikalischen Systemen dargestellt und einige Beispiele sind unten angegeben.

1.1.1.3.1. Gewicht auf einer Feder

Gewicht m an einer Feder konstanter Steifigkeit befestigt k ist ein Beispiel für eine einfache harmonische Bewegung im Raum. Formel

zeigt, dass die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude und der Erdbeschleunigung abhängt.

1.1.1.3.2. Universelle Kreisbewegung

Eine einfache harmonische Bewegung kann in einigen Fällen als eindimensionale Projektion einer universellen Kreisbewegung betrachtet werden. Wenn sich ein Objekt mit einer Winkelgeschwindigkeit bewegt ω um den Umfang des Radius r, dessen Mittelpunkt der Ursprung der Ebene ist x-j, dann ist eine solche Bewegung entlang jeder der Koordinatenachsen einfach harmonisch mit der Amplitude r und Kreisfrequenz ω .

1.1.1.3.3. Gewicht als einfaches Pendel

Die Bewegung eines Pendels ohne Dämpfung kann näherungsweise als einfache harmonische Bewegung angesehen werden, wenn die Schwingungsamplitude sehr klein im Vergleich zur Stablänge ist.

Bei der Annäherung kleiner Winkel kommt die Bewegung eines einfachen Pendels einer einfachen Harmonischen nahe. Die Schwingungsdauer eines solchen Pendels, das an einem langen Stab befestigt ist ℓ mit freier Fallbeschleunigung g ist durch die Formel gegeben

Dies zeigt, dass die Schwingungsdauer nicht von Amplitude und Masse des Pendels, sondern von der Fallbeschleunigung abhängt g, daher dreht sich das Pendel bei gleicher Länge auf dem Mond langsamer, da dort die Schwerkraft schwächer ist und der Wert der Fallbeschleunigung geringer ist.

Die angegebene Näherung ist nur bei kleinen Winkeln richtig, da der Ausdruck für die Winkelbeschleunigung proportional zum Sinus der Koordinate ist:

ich- Trägheitsmoment; in diesem Fall ich = ml 2 .

wodurch die Winkelbeschleunigung direkt proportional zum Winkel wird θ , und dies erfüllt die Definition der einfachen harmonischen Bewegung.

1.2. Gedämpfter harmonischer Oszillator

Nehmen wir das gleiche Modell als Grundlage, fügen wir ihm die Kraft der viskosen Reibung hinzu. Die Kraft der viskosen Reibung richtet sich gegen die Bewegungsgeschwindigkeit der Last relativ zum Medium und ist proportional zu dieser Geschwindigkeit. Dann wird die auf die Last wirkende Gesamtkraft wie folgt geschrieben:

Durch ähnliche Aktionen erhalten wir eine Differentialgleichung, die einen gedämpften Oszillator beschreibt:

Die Notation wird hier eingeführt: . Der Koeffizient γ wird als Dämpfungskonstante bezeichnet. Es hat auch die Dimension der Frequenz.

Die Lösung fällt in drei Fälle.

• Bei geringer Reibung (γ< ω 0 ) общее решение записывается в виде:

, wobei die Frequenz der freien Schwingungen ist.

• Die Dämpfung wird mit γ = ω 0 bezeichnet kritisch. Ausgehend von diesem Wert des Dämpfungsindex führt der Schwinger die sogenannte nichtschwingende Bewegung aus. Im Grenzfall erfolgt die Bewegung nach dem Gesetz:

• Für starke Reibung γ > ω 0 sieht die Lösung so aus:

, wo

Die kritische Dämpfung zeichnet sich dadurch aus, dass der Oszillator während der kritischen Dämpfung am schnellsten in die Gleichgewichtslage strebt. Ist die Reibung kleiner als die kritische, erreicht sie zwar schneller die Gleichgewichtslage, „rutscht“ aber durch Trägheit hindurch und schwingt. Wenn die Reibung größer als kritisch ist, wird der Oszillator exponentiell zur Gleichgewichtsposition tendieren, aber je langsamer, desto größer die Reibung.

Daher versuchen sie in Messuhren (z. B. in Amperemetern) normalerweise, eine genau kritische Dämpfung einzuführen, um ihre Messwerte so schnell wie möglich abzulesen.

Die Dämpfung eines Oszillators wird oft auch durch einen dimensionslosen Parameter, den Gütefaktor, charakterisiert. Qualitätsfaktor wird normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet Q. Per Definition ist der Qualitätsfaktor:

Je größer die Güte, desto langsamer klingen die Schwingungen des Oszillators ab.

Ein Oszillator mit kritischer Dämpfung hat einen Gütefaktor von 0,5. Dementsprechend gibt der Qualitätsfaktor die Art des Verhaltens des Oszillators an. Ist die Güte größer als 0,5, so handelt es sich bei der freien Bewegung des Oszillators um eine Schwingung; Im Laufe der Zeit wird es die Gleichgewichtsposition unbegrenzt oft überschreiten. Eine Güte kleiner oder gleich 0,5 entspricht der nichtschwingenden Bewegung des Oszillators; in freier Bewegung überquert es die Gleichgewichtslage höchstens einmal.

Der Qualitätsfaktor wird manchmal als Verstärkung des Oszillators bezeichnet, da sich bei einigen Anregungsmethoden herausstellt, dass die Schwingungsamplitude ungefähr gleich ist, wenn die Anregungsfrequenz mit der Resonanzamplitude übereinstimmt Q mal größer als bei Anregung mit niedriger Frequenz.

Außerdem ist die Güte ungefähr gleich der Anzahl der Schwingungszyklen, in denen die Schwingungsamplitude abnimmt e mal mit π multipliziert.

Bei oszillierenden Bewegungen wird die Dämpfung auch durch folgende Parameter charakterisiert:

• Lebensdauer Zögern, es Abklingzeit, es ist Entspannungs Zeit. τ ist die Zeit, in der die Schwingungsamplitude abnimmt e einmal.

τ = 1 / γ Diese Zeit wird als die Zeit betrachtet, die zum Dämpfen (Aufhören) von Schwingungen benötigt wird (obwohl formal freie Schwingungen unbegrenzt andauern).

2. Erzwungene Schwingungen

Hauptartikel: Erzwungene Vibrationen

Die Schwingungen eines Oszillators werden als erzwungen bezeichnet, wenn ein zusätzlicher äußerer Einfluss darauf ausgeübt wird. Diese Beeinflussung kann auf verschiedene Weise und nach verschiedenen Gesetzmäßigkeiten erfolgen. Beispielsweise ist die Krafterregung die Einwirkung einer nach einem bestimmten Gesetz nur zeitabhängigen Kraft auf die Last. Kinematische Anregung ist die Einwirkung auf den Schwinger durch die Bewegung des Federbefestigungspunktes nach einem vorgegebenen Gesetz. Auch die Wirkung von Reibung ist möglich – dann bewegt sich beispielsweise das Medium, mit dem die Last Reibung erfährt, nach einem vorgegebenen Gesetz.

Literatur

Butikov EI Eigenschwingungen eines linearen Oszillators. Lernprogramm

Anmerkungen

, Einfache Relation , Einfaches Feld , Einfacher Satz , Primzahl .

Abschrift

1 IV Yakovlev Materialien zur Physik MathUs.ru Harmonische Bewegung Vor der Lösung der Broschürenaufgaben sollte der Artikel „Mechanische Schwingungen“ wiederholt werden, in dem die gesamte notwendige Theorie angegeben ist. Bei harmonischer Bewegung ändert sich die Koordinate des Körpers nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz. Wenn zum Beispiel x = A sin ωt, dann ist die Projektion der Geschwindigkeit und die Projektion der Beschleunigung v x = ẋ = Aω cos ωt, a x = v x = ẍ = Aω sin ωt. Aufgabe 1. ("Conquer Sparrow Hills!", 014,) Zwei Körper mit den Massen M und sind durch eine Feder verbunden, wie in der Abbildung gezeigt. Der Körper führt entlang der Vertikalen harmonische Schwingungen mit der Frequenz ω und der Amplitude A aus. Die Feder ist gewichtslos. Finden Sie das Verhältnis der größten F 1 und der kleinsten F Kräfte des Systemdrucks auf der Ebene der Tabelle. Die Freifallbeschleunigung ist g. F1 = (M+)g+Aω F (M+)g Aω für (M +)g > Aω Problem. (Vseross., 006, final, 9) Ein auf einem waagerechten Tisch ruhender Massestab M und ein Federpendel, bestehend aus einem Massegewicht und einer leichten langen Feder, sind durch einen über ein Ideal geworfenen leichten undehnbaren Faden verbunden unbeweglicher Block (siehe Abbildung). Der Reibungskoeffizient zwischen Stabbasis und Tischoberfläche ist µ = 0,3. Das Verhältnis der Masse des Stabes zur Masse der Last ist M/ = 8. Die Last führt vertikale Schwingungen mit einer Periodendauer T = 0,5 s aus. Was ist die maximal mögliche Amplitude A solcher Schwingungen, bei der sie harmonisch bleiben? A () um 1 gt 4pi = 8,8 cm, A gt 4π = 6,3 cm; also A = 6,3 cm Aufgabe 3. Das Pendel führt harmonische Schwingungen aus. In welchem ​​Bruchteil der Schwingungsdauer wird das Pendel um nicht mehr als die halbe Amplitude aus der Gleichgewichtslage entfernt? 1/3 Aufgabe 4. (MIPT, 006) Eine an einer elastischen Feder hängende Kugel schwingt mit Periode T und Amplitude A entlang der Vertikalen. Die Masse der Kugel ist viel größer als die Masse der Feder. 1) Finden Sie die maximale Geschwindigkeit (Modulo) des Balls v.) Finden Sie die Beschleunigung (Modulo) des Balls zu den Zeiten, wenn seine Geschwindigkeit (Modulo) gleich v /3 ist. 1) v = πa T ;) a = 8 π A 3T 1

2 Aufgabe 5. (MIPT, 1996) Ein Becher mit Gewichten einer Federwaage befindet sich in Ruhe. Ein weiteres Gewicht wurde auf die Tasse gelegt. Finden Sie die Amplitude der Schwingungen des Bechers. Federsteifigkeit. A = g Aufgabe 6. (MIPT, 1996) Eine Feder ist starr an der Decke und einem Stab durch eine Masse befestigt (siehe Abbildung). Der Stab liegt so auf dem Ständer, dass die Achse der Feder senkrecht steht und die Feder um den Wert L zusammengedrückt wird. Der Ständer ist schnell entfernt. Finden Sie die Amplitude der Schwingungen des Balkens. A = L + g Nach dem Abbrennen des Fadens begann das obere Gewicht mit der Amplitude A zu schwingen. Finden Sie die Masse des unteren Gewichts. = A g Problem 8. (MIPT, 1996) Ein Gewicht wird durch einen Faden, der über einen Block geworfen wird, mit einem anderen Gewicht verbunden, das durch eine an der Wand befestigte Feder auf einem glatten horizontalen Tisch gehalten wird (siehe Abbildung). Der Faden ist durchgebrannt und die Last auf dem Tisch beginnt mit der Amplitude A zu schwingen. Ermitteln Sie die Steifigkeit der Feder. = g A Aufgabe 9. (MIPT, 199) Zwei Gewichte mit einer Gesamtmasse = 1 kg, verbunden durch eine elastische Feder mit einer Steifigkeit = 100 N/m, hängen an einem Faden (siehe Abbildung). Finden Sie alle möglichen Abstände, auf die das untere Gewicht senkrecht nach unten gezogen und dann losgelassen werden sollte, damit das obere Gewicht während seiner nachfolgenden Schwingungen bewegungslos bleibt. A g 10 cm Aufgabe 10. (MIPT, 199) Zwei Gewichte mit einer Gesamtmasse = 1 kg, verbunden durch einen Faden, hängen an einer elastischen Feder mit einer Steifigkeit = 100 N/m (siehe Abbildung). Finden Sie alle möglichen Abstände, auf die die Gewichte senkrecht nach unten gezogen und dann losgelassen werden sollten, damit der Faden bei nachfolgenden Vibrationen der Gewichte nicht durchhängt. A g 10 cm Aufgabe 11. (MIPT, 199) Ein Brett mit einer darauf liegenden Stange wird auf eine glatte horizontale Fläche eines Tisches gelegt (siehe Abbildung). Der Block ist fünfmal schwerer als das Brett. Das System schwingt mit Amplitude A = 8 cm und Periode T = 0,8 s entlang der Tischoberfläche unter der Wirkung einer an der Stange befestigten Feder. Das Brett und die Stange sind während Vibrationen relativ zueinander bewegungslos. Bei welchen Werten des Reibungskoeffizienten zwischen Brett und Stange sind solche Schwingungen möglich? µ 4π A gt M 0,1

3 Aufgabe 1. (MIPT, 199) Ein Brett mit einer darauf liegenden Stange liegt auf einer glatten horizontalen Fläche des Tisches (siehe Abbildung). Das System schwingt unter der Wirkung einer elastischen Feder entlang einer Geraden mit einer Periode T = 1 und einer maximalen Geschwindigkeit v = 0,5 m/s. In diesem Fall sind das Brett und die Stange relativ zueinander bewegungslos. Bei welchen Werten des Gleitreibungskoeffizienten zwischen Brett und Stab sind solche Schwingungen möglich? µ π T v g 0.3 Aufgabe 13. (MIPT, 005) Auf einer glatten schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel α zum Horizont schwingen eine Scheibe der Masse und ein Balken der Masse 3 mit der Amplitude A als eine Einheit entlang einer Geraden unter die Wirkung einer Feder mit einer Steifheit, die an der Stange befestigt ist (siehe . Bild). Ab welchem ​​minimalen Gleitreibungskoeffizienten zwischen Unterlegscheibe und Stab sind solche Schwingungen möglich? 3 α µin = tg α + A 4g cos α siehe Abbildung). Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Stab und Brett beträgt µ. Bei welcher maximalen Schwingungsamplitude sind solche Schwingungen möglich? 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) Aufgabe 15. (MIPT, 007) Ein Masseblock schwingt mit der Amplitude A 0 entlang einer geraden Linie auf einer glatten horizontalen Tischfläche unter der Wirkung einer elastischen Feder. In dem Moment, in dem die Verschiebung des Stabs aus der Gleichgewichtsposition A 0 /3 betrug, fiel ein Stück Plastilin mit einer Masse darauf und blieb hängen, wobei es sich vor dem Aufprall vertikal bewegte. Die Schlagzeit ist viel kürzer als die Schwingungsdauer, und während des Schlags kommt die Stange nicht vom Tisch. 1) Wie und wie oft hat sich die Schwingungsdauer geändert?) Finden Sie die Amplitude der Schwingung des Stabes nach dem Kleben von Plastilin. 1) T T0 = 3 ;) A = 17 7 A 0 die Masse der neuen Ladung war dreimal so groß wie die ursprüngliche. 1) Wie oft unterscheidet sich der Wert der maximalen Beschleunigung a ax während der resultierenden Schwingungen von der Freifallbeschleunigung g?) Um wie viel bewegt sich die Last in dem Moment, in dem ihre kinetische Energie T = 3U 0 ist? Schwingungsdämpfung ignorieren. 1) aax = g 3;) a = 1 3 g 3

4 Aufgabe 17. (MIPT, 003) Eine Kugel hängt an einer Feder in einem Gravitationsfeld g. In der Gleichgewichtsposition hat die Feder eine gespeicherte Energie von U 0. Die Kugel wird nach unten gezogen, sodass die Energie U 1 \u003d 9U 0 /4 in der Feder gespeichert und dann freigesetzt wird. 1) Wie groß ist die maximale Beschleunigung a ax, mit der sich die Kugel bei den resultierenden vertikalen Schwingungen bewegt?) Wie groß ist die kinetische Energie T der Bewegung der Kugel in dem Moment, in dem ihre Beschleunigung a = a ax /? Schwingungsdämpfung ignorieren. 1) aax = g ;) T = 3 16 U 0 Aufgabe 18. (MIPT, 000) Die Kugeln sind auf einer geraden horizontalen Speiche montiert und können reibungsfrei entlang gleiten (siehe Abbildung). Eine leichte Feder ist durch Masse an der Kugel befestigt und befindet sich in Ruhe. Eine Massekugel bewegt sich mit der Geschwindigkeit v. Die Radien der Kugeln sind viel kleiner als die Länge der Feder. 1) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Kugelmasse nach dem Trennen von der Feder.) Bestimmen Sie die Kontaktzeit der Kugelmasse mit der Feder. v 1) v1 = v 3 ;) t = T = π 3 Aufgabe 19. (MIPT, 000) Zwei durch einen Faden verbundene Stäbe der Massen v 3 und 3 bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit v auf einer glatten horizontalen Tischfläche. Zwischen den Stäben befindet sich eine um x 0 komprimierte Feder mit Steifigkeit (siehe Abbildung). Die Feder ist nur durch Masse an der Stange befestigt. Die Abmessungen der Stäbe sind klein im Vergleich zur Länge des Fadens, die Masse der Feder wird vernachlässigt, die Geschwindigkeit der Stäbe richtet sich entlang des Fadens. Während der Bewegung reißt der Faden und die Stäbe bewegen sich entlang der Anfangsrichtung des Fadens auseinander. 1) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Massestabs 3 nach seiner Trennung von der Feder.) Ermitteln Sie die Kontaktzeit zwischen der Feder und dem Massestab 3, gezählt ab dem Moment, in dem der Faden reißt. 1) v = v + x 0 3 ;) t = π 4 3 Problem 0. (MIPT, 1999) Ein kleiner Masseblock liegt auf einem glatten Tisch in einem starren Rahmen. Rahmenlänge ist L, Gewicht. Mit Hilfe eines Lichtstabes und einer Feder wird der Stab starr mit einem festen Träger verbunden (siehe Abbildung). Die Stange wird auf die gegenüberliegende Seite des Rahmens gebracht und losgelassen. Durch elastische Stöße führen Stab und Rahmen periodische Bewegungen aus. 1) Finden Sie die Geschwindigkeit des Rahmens unmittelbar nach der ersten Kollision mit dem Balken.) Finden Sie die Schwingungsdauer des Balkens. 1) v = L ;) T = (π + 1) 4

5 Aufgabe 1. (MIPT, 1999) Ein kleiner Masseblock liegt auf einem glatten Tisch in einem starren Rahmen der Länge L und der Masse. Die Stange ist mit Hilfe eines leichten Stabes und einer Feder starr mit einem festen Träger 1 verbunden (siehe Abbildung). Der Rahmen ist durch eine Feder starr mit einer festen Stütze verbunden. In der Ausgangsposition berührte die Stange die linke Seite des Rahmens und die Federn wurden nicht verformt. Der Rahmen wird nach links geführt, bis die Stange die rechte Wand des Rahmens berührt, und losgelassen. Durch elastische Stöße führen Stab und Rahmen periodische Bewegungen aus. 1) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Balkens unmittelbar nach der ersten Kollision mit dem Rahmen.) Ermitteln Sie die Schwingungsdauer des Rahmens. 1) v = L ;) T = π Problem. (MIPT, 1997) Eine kleine Massekugel mit einer positiven Ladung q hängt an einem langen undehnbaren Faden in der Nähe einer großen nichtleitenden Platte P (siehe Abbildung). Bestimmen Sie die Periode kleiner Schwingungen der Kugel, wenn auf der Platte eine negative Ladung mit der Oberflächendichte σ vorhanden ist, wenn bekannt ist, dass ohne diese Ladung die Schwingungsperiode der Kugel gleich T 0 ist. Betrachten Sie die Beschleunigung der Gravitation gegeben und gleich g sein. T = T0 1+ σg ε 0 g Aufgabe 3. (MIPT, 1997) Ein dünnwandiger Zylinder mit glatter Innenfläche ruht bewegungslos auf einer horizontal liegenden nichtleitenden Platte P (siehe Abbildung). Die Abmessungen der Platte (in der horizontalen Ebene) sind viel größer als die Abmessungen des Zylinders. Es ist bekannt, dass das Verhältnis der Schwingungsdauer einer kleinen negativ geladenen Kugel im Inneren des Zylinders bei einer bestimmten positiven Oberflächenladungsdichte σ x der Platte zur Schwingungsdauer bei σ = 0 gleich T x /T 0 = α ist . bestimme σ x unter Berücksichtigung des Verhältnisses α, der Kugelladung q, ihrer Masse und der Erdbeschleunigung g als gegeben. σx = ε 0(1 α)g α q Aufgabe 4. („Erobere die Sperlingsberge!“, 015,) Der senkrechte Krümmer eines rechtwinklig gebogenen glatten Rohres konstanten Querschnitts ist mit einer befüllbaren Flüssigkeit gefüllt als nahezu ideal angesehen. Die Höhe dieses Ellbogens ist gleich L (und er ist merklich größer als die Querabmessung der Röhre), und seine Transfusion in einen horizontalen Ellbogen ist aufgrund des bewegungslos gehaltenen leichten Steckers nicht zulässig. Irgendwann wird der Korken sanft gelöst. Wie lange dauert es, bis der Korken aus der Tube springt? Die Länge des horizontalen Bogens beträgt 3L/, die Oberflächenspannung wird vernachlässigt. t = π+1 L g 5

6 Aufgabe 5. („Erobere die Sperlingsberge!“, 014,) In dem in der Abbildung gezeigten System sind die Massen der Lasten gleich 1 und die Steifigkeit der Feder, der Blöcke, des Fadens und der Feder gleich 1 schwerelos, die Blöcke rotieren reibungsfrei, der Faden gleitet nicht über die Blöcke. In der Gleichgewichtslage ist die Feder gespannt. Last 1 wird aus der Gleichgewichtslage um eine Strecke s nach unten verschoben, wonach die Lasten harmonische Schwingungen ausführen. Finden Sie die maximalen Geschwindigkeiten der schwingenden Massen. v1 = s, v = v1/ vorausgesetzt s< (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 Aufgabe 9. (MFO, 016, 11) Die Abbildung zeigt ein mechanisches System, bei dem ein schwereloser, nicht dehnbarer Faden durch einen schwerelosen Block geworfen wird, dessen horizontale Achse an der Decke befestigt ist. An den Enden des Fadens sind kleine Massen angebracht und. Die Last liegt auf einer horizontalen Stütze. Die Last hängt. Eine zweite ähnliche Last wird durch eine schwerelose ideale Feder mit Steifigkeit an der Last befestigt, die vertikal angeordnet ist und eine kleine Länge L 0 hat. Im Anfangsmoment wird die Feder nicht verformt und die zweite Last liegt auf derselben Stütze wie die Last. Der Abstand von der oberen Last zum Block ist gleich l 0. Die freien Abschnitte des Fadens, die nicht auf der Rolle des Blocks liegen, sind vertikal. Zum Zeitpunkt t = 0 verschwindet die Unterstützung (sie wird schnell nach unten entfernt). Nach einer Zeit τ danach berührte eines der Gewichte den Block. Was ist diese Fracht? Bei welchem ​​Wert von l 0 ist die maximale Zeit τ? Was ist dieser Maximalwert von τ? Ladung; τax = π 3 4 für l 0 = g 7

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Berechnung und grafische Arbeit an der Mechanik Aufgabe 1. 1 Die Abhängigkeit der Beschleunigung von der Zeit für eine Bewegung des Körpers ist in Abb. 1 dargestellt. Bestimmen Sie die durchschnittliche Fahrgeschwindigkeit für die ersten 8 s. Startgeschwindigkeit

Option 1 1. Welche Arbeit A muss aufgewendet werden, um einen Stahlstab mit einer Länge l=1 m und einer Querschnittsfläche S gleich 1 cm 2 x=1 mm zu dehnen? 2. Zwei Federn mit den Steifigkeiten k 1 =0,3 kN/m und k 2

Erhaltungssätze Der Impuls eines Körpers (materieller Punkt) ist eine physikalische Vektorgröße gleich dem Produkt aus Masse und Geschwindigkeit des Körpers. p = m υ [p] = kg m/s p υ Kraftimpuls ist eine vektorielle physikalische Größe,

Der Kosinus in der Lösung von Gleichung (21.2) legt nahe, dass harmonische Bewegung etwas mit Kreisbewegung zu tun hat. Dieser Vergleich ist natürlich gekünstelt, denn bei einer linearen Bewegung gibt es keinen Kreis: Das Gewicht bewegt sich streng auf und ab. Wir können uns damit begründen, dass wir die Gleichung der harmonischen Bewegung bereits gelöst haben, als wir die Bewegungsmechanik im Kreis studiert haben. Bewegt sich ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Kreis, so dreht sich der Radiusvektor vom Kreismittelpunkt zum Teilchen um einen Winkel, dessen Größe proportional zur Zeit ist. Bezeichnen wir diesen Winkel (Abb. 21.2). Dann . Es ist bekannt, dass die Beschleunigung und zur Mitte gerichtet. Die Koordinaten des sich bewegenden Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt sind

Was lässt sich zur Beschleunigung sagen? Was ist die -Komponente der Beschleunigung? Dieser Wert ist rein geometrisch zu finden: Er ist gleich dem Beschleunigungswert multipliziert mit dem Kosinus des Projektionswinkels; Vor dem resultierenden Ausdruck müssen Sie ein Minuszeichen setzen, da die Beschleunigung in Richtung des Zentrums gerichtet ist:

Mit anderen Worten, wenn sich ein Teilchen auf einem Kreis bewegt, hat die horizontale Komponente der Bewegung eine Beschleunigung, die proportional zur horizontalen Verschiebung von der Mitte ist. Natürlich kennen wir die Lösungen für den Fall der Kreisbewegung: . Gleichung (21.7) enthält nicht den Radius des Kreises; es ist das gleiche, wenn man sich mit demselben entlang einem beliebigen Kreis bewegt.

Feige. 21.2. Ein Teilchen, das sich mit konstanter Geschwindigkeit im Kreis bewegt.

Es gibt also mehrere Gründe, warum wir erwarten sollten, dass die Auslenkung des Gewichts an der Feder proportional ist und die Bewegung so aussieht, als ob wir der -Koordinate eines Teilchens folgen würden, das sich mit der Winkelgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Sie können dies überprüfen, indem Sie ein Experiment aufbauen, um zu zeigen, dass die Bewegung eines Gewichts auf einer Feder auf und ab genau der Bewegung eines Punktes entlang eines Kreises entspricht. In ABB. 21.3 Das Licht einer Bogenlampe projiziert auf die Leinwand die Schatten einer Nadel, die in einer rotierenden Scheibe steckt, und eines vertikal vibrierenden Gewichts, das sich nebeneinander bewegt. Wenn Sie das Gewicht rechtzeitig und vom richtigen Ort aus schwingen lassen und dann die Geschwindigkeit der Scheibenbewegung sorgfältig so wählen, dass die Frequenzen ihrer Bewegungen übereinstimmen, folgen die Schatten auf dem Bildschirm genau nacheinander. Hier ist ein weiterer Weg, um sicherzustellen, dass wir durch das Finden einer numerischen Lösung fast an den Kosinus herangekommen sind.

Feige. 21.3. Demonstration der Äquivalenz von einfacher harmonischer Bewegung und gleichförmiger Kreisbewegung.

Hier kann betont werden, dass, da die Mathematik der gleichförmigen Bewegung entlang eines Kreises der Mathematik der oszillierenden Bewegung auf und ab sehr ähnlich ist, die Analyse von oszillierenden Bewegungen stark vereinfacht wird, wenn diese Bewegung als Projektion der Bewegung entlang eines Kreises dargestellt wird . Mit anderen Worten, wir können Gleichung (21.2), die eine völlig redundante Gleichung zu sein scheint, ergänzen und beide Gleichungen zusammen betrachten. Danach reduzieren wir eindimensionale Schwingungen auf Kreisbewegungen, was uns das Lösen einer Differentialgleichung erspart. Sie können noch einen anderen Trick anwenden – komplexe Zahlen einführen, aber dazu mehr im nächsten Kapitel.

Der Kosinus in der Lösung von Gleichung (21.2) legt nahe, dass harmonische Bewegung etwas mit Kreisbewegung zu tun hat. Dieser Vergleich ist natürlich gekünstelt, denn bei einer linearen Bewegung gibt es keinen Kreis: Das Gewicht bewegt sich streng auf und ab. Wir können uns damit begründen, dass wir die Gleichung der harmonischen Bewegung bereits gelöst haben, als wir die Bewegungsmechanik im Kreis studiert haben. Bewegt sich ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit v auf einem Kreis, so dreht sich der Radiusvektor vom Kreismittelpunkt zum Teilchen um einen Winkel, dessen Wert proportional zur Zeit ist. Bezeichnen wir diesen Winkel mit θ=vt/R (Abb. 21.2). Dann ist dQθ/dt = ω 0 = v/R. Es ist bekannt, dass die Beschleunigung a=v 2 /R = ω 2 0 R und zum Zentrum gerichtet ist. Die Koordinaten des sich bewegenden Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt sind
x = R cos θ, y = R sin θ.

Was lässt sich zur Beschleunigung sagen? Was ist die x-Komponente der Beschleunigung, d 2 x/dt 2 ? Dieser Wert ist rein geometrisch zu finden: Er ist gleich dem Beschleunigungswert multipliziert mit dem Kosinus des Projektionswinkels; Vor dem resultierenden Ausdruck müssen Sie ein Minuszeichen setzen, da die Beschleunigung in Richtung des Zentrums gerichtet ist:

Mit anderen Worten, wenn sich ein Teilchen auf einem Kreis bewegt, hat die horizontale Komponente der Bewegung eine Beschleunigung, die proportional zur horizontalen Verschiebung von der Mitte ist. Natürlich kennen wir die Lösungen für den Fall der Kreisbewegung: x=R cos ω 0 t. Gleichung (21.7) enthält nicht den Radius des Kreises; es ist das gleiche, wenn man sich für dasselbe ω 0 entlang eines beliebigen Kreises bewegt. Es gibt also mehrere Gründe, warum wir erwarten sollten, dass die Auslenkung des Gewichts an der Feder proportional zu cos ω 0 t ist und die Bewegung so aussieht, als ob wir der x-Koordinate eines sich kreisförmig bewegenden Teilchens mit an folgen würden Winkelgeschwindigkeit ω 0 . Sie können dies überprüfen, indem Sie ein Experiment aufbauen, um zu zeigen, dass die Bewegung des Gewichts auf der Feder auf und ab genau der Bewegung des Punktes entlang des Kreises entspricht. In ABB. 21.3 Das Licht einer Bogenlampe projiziert auf die Leinwand die Schatten einer Nadel, die in einer rotierenden Scheibe steckt, und eines vertikal vibrierenden Gewichts, das sich nebeneinander bewegt. Wenn Sie das Gewicht rechtzeitig und vom richtigen Ort aus schwingen lassen und dann die Geschwindigkeit der Scheibenbewegung sorgfältig so wählen, dass die Frequenzen ihrer Bewegungen übereinstimmen, folgen die Schatten auf dem Bildschirm genau nacheinander. Hier ist ein weiterer Weg, um sicherzustellen, dass wir durch das Finden einer numerischen Lösung fast an den Kosinus herangekommen sind.

Hier kann betont werden, dass, da die Mathematik der gleichförmigen Bewegung entlang eines Kreises der Mathematik der oszillierenden Bewegung auf und ab sehr ähnlich ist, die Analyse von oszillierenden Bewegungen stark vereinfacht wird, wenn diese Bewegung als Projektion der Bewegung entlang eines Kreises dargestellt wird . Mit anderen Worten, wir können Gleichung (21.2), die für y eine völlig redundante Gleichung zu sein scheint, ergänzen und beide Gleichungen zusammen betrachten. Danach reduzieren wir eindimensionale Schwingungen auf Kreisbewegungen, was uns das Lösen einer Differentialgleichung erspart. Sie können noch einen anderen Trick anwenden – komplexe Zahlen einführen, aber dazu mehr im nächsten Kapitel.