Wir haben mehrere physikalisch völlig unterschiedliche Systeme betrachtet und darauf geachtet, dass die Bewegungsgleichungen auf die gleiche Form gebracht werden

Unterschiede zwischen physikalischen Systemen äußern sich nur in unterschiedlichen Definitionen der Größe und in einem anderen physikalischen Sinne der Variablen x: es kann eine Koordinate, ein Winkel, eine Ladung, ein Strom usw. sein. Beachten Sie, dass in diesem Fall, wie aus der Struktur von Gleichung (1.18) folgt, die Größe immer die Dimension der inversen Zeit hat.

Gleichung (1.18) beschreibt die sog harmonische Schwingungen.

Die harmonische Schwingungsgleichung (1.18) ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung (da sie die zweite Ableitung der Variablen enthält x). Die Linearität der Gleichung bedeutet das

wenn überhaupt funktion x(t) eine Lösung dieser Gleichung ist, dann ist die Funktion Cx(t) wird auch seine Lösung sein ( C ist eine beliebige Konstante);

wenn funktioniert x 1 (t) und x 2 (t) Lösungen dieser Gleichung sind, dann ihre Summe x 1 (t) + x 2 (t) wird auch eine Lösung für dieselbe Gleichung sein.

Es wird auch ein mathematisches Theorem bewiesen, wonach eine Gleichung zweiter Ordnung zwei unabhängige Lösungen hat. Alle anderen Lösungen können gemäß den Eigenschaften der Linearität als ihre Linearkombinationen erhalten werden. Durch direkte Differentiation lässt sich leicht nachprüfen, dass die unabhängigen Funktionen und die Gleichung (1.18) erfüllen. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet also:

wo C1,C2 sind beliebige Konstanten. Diese Lösung kann auch in anderer Form dargestellt werden. Wir stellen die Menge vor

und definiere den Winkel als:

Dann schreibt man die allgemeine Lösung (1.19) als

Gemäß den Formeln der Trigonometrie ist der Ausdruck in Klammern

Endlich kommen wir an allgemeine Lösung der Gleichung harmonischer Schwingungen als:

Nicht negativer Wert EIN namens Schwingungsamplitude, - die Anfangsphase der Schwingung. Das ganze Kosinusargument - die Kombination - wird aufgerufen Oszillationsphase.

Die Ausdrücke (1.19) und (1.23) sind vollkommen äquivalent, sodass wir der Einfachheit halber beide verwenden können. Beide Lösungen sind periodische Funktionen der Zeit. Tatsächlich sind Sinus und Cosinus periodisch mit einer Periode . Daher wiederholen sich verschiedene Zustände eines Systems, das harmonische Schwingungen ausführt, nach einer gewissen Zeit t*, für die die Schwingungsphase ein Inkrement erhält, das ein Vielfaches von ist :

Daraus folgt das

Die wenigsten dieser Zeiten

namens Periode der Schwingung (Abb. 1.8), a - sein kreisförmig (zyklisch) Frequenz.

Reis. 1.8.

Sie verwenden auch Frequenz Zögern

Dementsprechend ist die Kreisfrequenz gleich der Anzahl der Schwingungen pro Sekunden.

Also, wenn das System zur Zeit t gekennzeichnet durch den Wert der Variablen x(t), dann den gleichen Wert, den die Variable nach einer gewissen Zeit haben wird (Abb. 1.9), d.h

Derselbe Wert wird natürlich nach einer Weile wiederholt. 2T, ZT usw.

Reis. 1.9. Schwingungsperiode

Die allgemeine Lösung enthält zwei beliebige Konstanten ( C1, C2 oder EIN, a), deren Werte durch zwei bestimmt werden sollten Anfangsbedingungen. Normalerweise (wenn auch nicht unbedingt) spielen die Anfangswerte der Variablen ihre Rolle x(0) und sein Derivat.

Nehmen wir ein Beispiel. Die Lösung (1.19) der harmonischen Schwingungsgleichung beschreibe die Bewegung eines Federpendels. Die Werte beliebiger Konstanten hängen davon ab, wie wir das Pendel aus dem Gleichgewicht gebracht haben. Zum Beispiel haben wir die Feder auf Abstand gezogen und ließ den Ball ohne Anfangsgeschwindigkeit los. In diesem Fall

Ersetzen t = 0 in (1.19) finden wir den Wert der Konstanten Ab 2

Die Lösung sieht also so aus:

Die Geschwindigkeit der Last ergibt sich durch Differentiation nach der Zeit

Hier ersetzen t = 0, finde die Konstante Ab 1:

Endlich

Im Vergleich mit (1.23) finden wir das die Schwingungsamplitude ist und ihre Anfangsphase gleich Null ist: .

Wir bringen das Pendel nun auf andere Weise aus dem Gleichgewicht. Lassen Sie uns die Last schlagen, damit sie eine Anfangsgeschwindigkeit erhält, sich aber während des Aufpralls praktisch nicht bewegt. Wir haben dann andere Anfangsbedingungen:

so sieht unsere Lösung aus

Die Geschwindigkeit der Last ändert sich gemäß dem Gesetz:

Sagen wir es hier:

HARMONISCHE SCHWINGUNGSBEWEGUNG

§1 Kinematik der harmonischen Schwingung

Prozesse, die sich über die Zeit wiederholen, nennt man Schwingungen.

Je nach Art des Schwingungsvorgangs und des Anregungsmechanismus gibt es: mechanische Schwingungen (Schwingungen von Pendeln, Saiten, Gebäuden, der Erdoberfläche usw.); elektromagnetische Schwingungen (Schwingungen von Wechselstrom, Schwingungen von Vektoren und in einer elektromagnetischen Welle usw.); elektromechanische Vibrationen (Vibrationen der Telefonmembran, des Lautsprecherdiffusors usw.); Schwingungen von Kernen und Molekülen infolge thermischer Bewegung in Atomen.

Betrachten wir das Segment [OD] (Radius-Vektor), das eine Rotationsbewegung um den Punkt 0 ausführt. Die Länge von |OD| = EIN . Die Rotation erfolgt mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω 0 . Dann der Winkel φ zwischen dem Radiusvektor und der Achsexändert sich im Laufe der Zeit gemäß dem Gesetz

wobei φ 0 der Winkel zwischen [OD] und der Achse ist X damalst= 0. Projektion des Segments [OD] auf die Achse X damalst= 0

und zu einem beliebigen Zeitpunkt

(1)

Somit schwingt die Projektion des Segments [OD] auf der x-Achse entlang der Achse X, und diese Schwankungen werden durch das Kosinusgesetz (Formel (1)) beschrieben.

Schwingungen, die durch das Kosinusgesetz beschrieben werden

oder Nebenhöhlen

namens harmonisch.

Harmonische Schwingungen sind Zeitschrift, da der Wert von x (und y) wird in regelmäßigen Abständen wiederholt.

Wenn sich das Segment [OD] in der Figur an der untersten Position befindet, d. h. Punkt D stimmt mit dem punkt überein R, dann ist seine Projektion auf die x-Achse Null. Nennen wir diese Position des Segments [OD] die Gleichgewichtsposition. Dann können wir sagen, dass der Wert X beschreibt die Verschiebung eines Schwingungspunktes aus seiner Gleichgewichtslage. Die maximale Verschiebung aus der Gleichgewichtslage wird genannt Amplitude Schwankungen

Wert

die unter dem Kosinuszeichen steht, heißt Phase. Phase bestimmt die Verschiebung aus der Gleichgewichtslage zu einem beliebigen Zeitpunktt. Phase im ersten Moment der Zeitt = 0 gleich φ 0 wird die Anfangsphase genannt.

T

Die Zeitspanne, in der eine vollständige Schwingung stattfindet, wird als Schwingungsdauer bezeichnet. T. Die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit wird als Schwingungsfrequenz ν bezeichnet.

Nach einer Zeitspanne, die der Periode entspricht T, d.h. da das Kosinusargument um ω 0 zunimmt T, wird die Bewegung wiederholt und der Kosinus nimmt den gleichen Wert an

da Kosinusperiode gleich 2π, also ω 0 T= 2π

somit ist ω 0 die Anzahl der Schwingungen des Körpers in 2π Sekunden. ω 0 - zyklische oder kreisförmige Frequenz.

harmonisches Wellenmuster

SONDERN- Amplitude, T- Zeitraum, X- Versatz,t- Zeit.

Wir finden die Geschwindigkeit des Schwingungspunktes, indem wir die Verschiebungsgleichung differenzieren X(t) zum Zeitpunkt

jene. Geschwindigkeit vphasenverschoben mit Offset X auf derπ /2.

Beschleunigung - erste Ableitung der Geschwindigkeit (zweite Ableitung der Verschiebung) in Bezug auf die Zeit

jene. Beschleunigung a unterscheidet sich von der Phasenverschiebung um π.

Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen X( t) , ja ( t) und a( t) in einer Koordinatenschätzung (der Einfachheit halber nehmen wir φ 0 = 0 und ω 0 = 1)

Kostenlos oder besitzen Schwingungen, die in einem sich selbst überlassenen System auftreten, nachdem es aus dem Gleichgewicht gebracht wurde.

Die harmonische Schwingung ist ein Phänomen der periodischen Änderung einer Größe, bei der die Abhängigkeit vom Argument den Charakter einer Sinus- oder Kosinusfunktion hat. Zum Beispiel schwankt eine Größe, die zeitlich wie folgt variiert, harmonisch:

wobei x der Wert der sich ändernden Größe ist, t die Zeit ist, die übrigen Parameter konstant sind: A die Amplitude der Schwingungen, ω die zyklische Frequenz der Schwingungen, die volle Phase der Schwingungen, die Anfangsphase von die Schwingungen.

Verallgemeinerte harmonische Schwingung in differentieller Form

(Jede nicht-triviale Lösung dieser Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung mit zyklischer Frequenz)

Arten von Vibrationen

Freie Schwingungen werden unter Einwirkung der inneren Kräfte des Systems ausgeführt, nachdem das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Damit freie Schwingungen harmonisch sind, muss das Schwingungssystem linear sein (beschrieben durch lineare Bewegungsgleichungen) und es darf keine Energiedissipation darin stattfinden (letzteres würde eine Dämpfung verursachen).

Erzwungene Schwingungen werden unter dem Einfluss einer äußeren periodischen Kraft ausgeführt. Damit sie harmonisch sind, genügt es, dass das schwingungsfähige System linear ist (beschrieben durch lineare Bewegungsgleichungen), und die äußere Kraft selbst sich mit der Zeit als harmonische Schwingung ändert (das heißt, dass die Zeitabhängigkeit dieser Kraft sinusförmig ist). .

Harmonische Schwingungsgleichung

Gleichung (1)

gibt die Abhängigkeit des schwankenden Wertes S von der Zeit t an; dies ist die Gleichung der freien harmonischen Schwingungen in expliziter Form. Die Schwingungsgleichung wird jedoch üblicherweise als eine andere Aufzeichnung dieser Gleichung in differentieller Form verstanden. Zur Eindeutigkeit nehmen wir Gleichung (1) in der Form

Differenziere es zweimal nach der Zeit:

Man sieht, dass die folgende Beziehung gilt:

die als Gleichung der freien harmonischen Schwingungen (in Differentialform) bezeichnet wird. Gleichung (1) ist eine Lösung der Differentialgleichung (2). Da Gleichung (2) eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, sind zwei Anfangsbedingungen notwendig, um eine vollständige Lösung zu erhalten (dh um die in Gleichung (1) enthaltenen Konstanten A und   zu bestimmen); zum Beispiel die Position und Geschwindigkeit eines schwingungsfähigen Systems bei t = 0.

Ein mathematisches Pendel ist ein Oszillator, ein mechanisches System, das aus einem materiellen Punkt besteht, der sich auf einem schwerelosen, nicht dehnbaren Faden oder auf einem schwerelosen Stab in einem gleichmäßigen Feld von Gravitationskräften befindet. Die Periode kleiner Eigenschwingungen eines mathematischen Pendels der Länge l, das bewegungslos in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld mit der Fallbeschleunigung g aufgehängt ist, ist gleich

und hängt nicht von der Amplitude und Masse des Pendels ab.

Ein physikalisches Pendel ist ein Oszillator, das ist ein starrer Körper, der im Feld beliebiger Kräfte um einen Punkt schwingt, der nicht der Massenmittelpunkt dieses Körpers ist, oder um eine feste Achse, die senkrecht zur Richtung der Kräfte steht und nicht durch diese hindurchgeht Schwerpunkt dieses Körpers.

Neben Translations- und Rotationsbewegungen von Körpern in der Mechanik sind auch Schwingungsbewegungen von großem Interesse. Mechanische Schwingungen bezeichnet die Bewegungen von Körpern, die sich genau (oder ungefähr) in regelmäßigen Abständen wiederholen. Das Bewegungsgesetz eines schwingenden Körpers ist durch eine periodische Funktion der Zeit gegeben x = f (t). Die grafische Darstellung dieser Funktion gibt eine visuelle Darstellung des zeitlichen Verlaufs des Schwingungsvorgangs.

Beispiele für einfache schwingungsfähige Systeme sind die Belastung einer Feder oder eines mathematischen Pendels (Abb. 2.1.1).

Mechanische Schwingungen können, wie oszillierende Prozesse jeder anderen physikalischen Art, sein frei und gezwungen. Freie Schwingungen unter dem Einfluss gemacht werden interne Kräfte System, nachdem das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Die Schwingungen eines Gewichts an einer Feder oder die Schwingungen eines Pendels sind freie Schwingungen. Vibrationen unter der Aktion extern periodisch wechselnde Kräfte werden aufgerufen gezwungen .

Die einfachste Art von Schwingungsprozessen sind einfach harmonische Schwingungen , die durch die Gleichung beschrieben werden

x = x m cos (ω t + φ 0).

Hier x- Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage, x m - Schwingungsamplitude, d. H. Die maximale Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition, ω - zyklische oder kreisförmige Frequenz Zögern, t- Zeit. Der Wert unter dem Kosinuszeichen φ = ω t+ φ 0 aufgerufen wird Phase harmonischer Ablauf. Beim t= 0 φ = φ 0 , also heißt φ 0 Anfangsphase. Das minimale Zeitintervall, nach dem die Bewegung des Körpers wiederholt wird, wird genannt Periode der Schwingung T. Man nennt die physikalische Größe reziprok zur Schwingungsdauer Oszillationsfrequenz:

Oszillationsfrequenz f zeigt, wie viele Vibrationen in 1 s gemacht werden. Frequenzeinheit - Hertz(Hz). Oszillationsfrequenz f hängt mit der zyklischen Frequenz ω und der Schwingungsdauer zusammen T Verhältnisse:

Auf Abb. 2.1.2 zeigt die Positionen des Körpers in regelmäßigen Abständen mit harmonischen Schwingungen. Experimentell erhält man ein solches Bild, indem man einen schwingenden Körper mit kurzen periodischen Lichtblitzen beleuchtet ( Stroboskopische Beleuchtung). Die Pfeile repräsentieren die Geschwindigkeitsvektoren des Körpers zu verschiedenen Zeitpunkten.

Reis. 2.1.3 veranschaulicht die Änderungen, die auf dem Graphen eines harmonischen Prozesses auftreten, wenn sich entweder die Amplitude der Schwingungen ändert x m oder Punkt T(oder Frequenz f) oder die Anfangsphase φ 0 .

Wenn der Körper entlang einer geraden Linie schwingt (Achse OCHSE) ist der Geschwindigkeitsvektor immer entlang dieser Geraden gerichtet. Geschwindigkeit υ = υ x Körperbewegung wird durch den Ausdruck bestimmt

In der Mathematik das Verfahren zum Finden der Grenze des Verhältnisses bei Δ t→ 0 heißt die Berechnung der Ableitung der Funktion x (t) zum Zeitpunkt t und als oder als bezeichnet x"(t) oder schließlich als . Für das harmonische Bewegungsgesetz führt die Berechnung der Ableitung zu folgendem Ergebnis:

Das Erscheinen des Terms + π / 2 im Kosinusargument bedeutet eine Änderung der Anfangsphase. Maximale Modulo-Werte der Geschwindigkeit υ = ω x m werden in jenen Momenten erreicht, in denen der Körper die Gleichgewichtslagen durchläuft ( x= 0). Die Beschleunigung wird auf ähnliche Weise definiert a = ax Körper mit harmonischen Schwingungen:

daher die beschleunigung a gleich der Ableitung der Funktion υ ( t) zum Zeitpunkt t, oder die zweite Ableitung der Funktion x (t). Die Berechnungen ergeben:

Das Minuszeichen in diesem Ausdruck bedeutet, dass die Beschleunigung a (t) hat immer das entgegengesetzte Vorzeichen des Offsets x (t), und daher ist nach dem zweiten Newtonschen Gesetz die Kraft, die den Körper zu harmonischen Schwingungen veranlaßt, immer auf die Gleichgewichtslage gerichtet ( x = 0).

Zeitliche Änderungen nach einem Sinusgesetz:

wo X- der Wert der schwankenden Menge zum Zeitpunkt t, SONDERN- Amplitude , ω - Kreisfrequenz, φ ist die Anfangsphase von Schwingungen, ( φt + φ ) ist die Gesamtphase der Schwingungen . Gleichzeitig die Werte SONDERN, ω und φ - dauerhaft.

Für mechanische Schwingungen mit oszillierendem Wert X sind insbesondere Weg und Geschwindigkeit, bei elektrischen Schwingungen Spannung und Stromstärke.

Harmonische Schwingungen nehmen unter allen Arten von Schwingungen eine besondere Stellung ein, da dies die einzige Art von Schwingung ist, deren Form beim Durchgang durch ein homogenes Medium nicht verzerrt wird, d.h. Wellen, die sich von einer Quelle harmonischer Schwingungen ausbreiten, werden ebenfalls harmonisch sein. Jede nicht harmonische Schwingung kann als Summe (Integral) verschiedener harmonischer Schwingungen (in Form eines Spektrums harmonischer Schwingungen) dargestellt werden.

Energieumwandlungen bei harmonischen Schwingungen.

Bei Schwingungen findet ein Übergang der potentiellen Energie statt Wp in Kinetik W k umgekehrt. In der Position maximaler Abweichung von der Gleichgewichtslage ist die potentielle Energie maximal, die kinetische Energie Null. Bei der Rückkehr in die Gleichgewichtslage nimmt die Geschwindigkeit des Schwingkörpers zu und damit auch die kinetische Energie, die in der Gleichgewichtslage ein Maximum erreicht. Die potentielle Energie fällt dann auf Null. Die weitere Halsbewegung erfolgt mit abnehmender Geschwindigkeit, die auf Null abfällt, wenn die Auslenkung ihr zweites Maximum erreicht. Die potenzielle Energie steigt hier auf ihren anfänglichen (maximalen) Wert (ohne Reibung). Somit treten die Schwingungen der kinetischen und potentiellen Energie mit doppelter (im Vergleich zu den Schwingungen des Pendels selbst) Frequenz auf und sind gegenphasig (d.h. es gibt eine Phasenverschiebung zwischen ihnen gleich). π ). Gesamte Vibrationsenergie W bleibt unverändert. Für einen Körper, der unter der Wirkung einer elastischen Kraft schwingt, ist es gleich:

wo v m- die maximale Geschwindigkeit des Körpers (in der Gleichgewichtsposition), x m = SONDERN- Amplitude.

Aufgrund der Reibung und des Widerstands des Mediums werden freie Schwingungen gedämpft: Ihre Energie und Amplitude nehmen mit der Zeit ab. Daher werden in der Praxis häufiger nicht freie, sondern erzwungene Schwingungen verwendet.