ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN.
FREIE UND ERZWUNGENE ELEKTRISCHE SCHWINGUNGEN.

Elektromagnetische Schwingungen - miteinander verbundene Schwingungen elektrischer und magnetischer Felder.

Elektromagnetische Schwingungen treten in verschiedenen Stromkreisen auf. Dabei schwanken Ladungsgröße, Spannung, Stromstärke, elektrische Feldstärke, magnetische Feldinduktion und andere elektrodynamische Größen.

Freie elektromagnetische Schwingungen entstehen in einem elektromagnetischen System, nachdem es beispielsweise durch Aufladen eines Kondensators oder Änderung des Stroms in einem Schaltungsteil aus dem Gleichgewicht gebracht wurde.

Dies sind gedämpfte Schwingungen, da die an das System übermittelte Energie für Erwärmung und andere Prozesse aufgewendet wird.

Erzwungene elektromagnetische Schwingungen - ungedämpfte Schwingungen im Stromkreis, die durch eine externe sich periodisch ändernde sinusförmige EMF verursacht werden.

Elektromagnetische Schwingungen werden durch die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie mechanische beschrieben, obwohl die physikalische Natur dieser Schwingungen völlig anders ist.

Elektrische Schwingungen sind ein Sonderfall der elektromagnetischen, wenn man nur Schwingungen elektrischer Größen betrachtet. In diesem Fall sprechen sie von Wechselstrom, Spannung, Leistung usw.

SCHWINGUNGSKREIS

Ein Schwingkreis ist ein elektrischer Schaltkreis, der aus einem Kondensator mit einer Kapazität C, einer Induktivität L und einem Widerstand mit einem Widerstandswert R besteht, die in Reihe geschaltet sind.

Der Zustand des stabilen Gleichgewichts des Schwingkreises ist durch die minimale Energie des elektrischen Feldes (der Kondensator ist nicht geladen) und des magnetischen Feldes (es fließt kein Strom durch die Spule) gekennzeichnet.

Größen, die die Eigenschaften des Systems selbst ausdrücken (Systemparameter): L und m, 1/C und k

Größen, die den Zustand des Systems charakterisieren:

Größen, die die Änderungsgeschwindigkeit des Zustands des Systems ausdrücken: u = x"(t) und ich = q"(t).

EIGENSCHAFTEN ELEKTROMAGNETISCHER SCHWINGUNGEN

Es kann gezeigt werden, dass die Gleichung der freien Schwingungen für eine Ladung q = q(t) Kondensator in der Schaltung hat die Form

wo q" ist die zweite Ableitung der Ladung nach der Zeit. Wert

ist die zyklische Frequenz. Dieselben Gleichungen beschreiben Schwankungen in Strom, Spannung und anderen elektrischen und magnetischen Größen.

Eine der Lösungen von Gleichung (1) ist die harmonische Funktion

Die Schwingungsdauer in der Schaltung ergibt sich aus der Formel (Thomson):

Der Wert φ \u003d ώt + φ 0, der unter dem Vorzeichen von Sinus oder Cosinus steht, ist die Phase der Schwingung.

Die Phase bestimmt den Zustand des schwingenden Systems zu jedem Zeitpunkt t.

Der Strom im Stromkreis ist gleich der Ableitung der Ladung nach der Zeit, es kann ausgedrückt werden

Um die Phasenverschiebung deutlicher auszudrücken, gehen wir von Cosinus zu Sinus über

ELEKTRISCHER WECHSELSTROM

1. Harmonische EMK tritt zB in einem Körper auf, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit in einem homogenen Magnetfeld mit Induktion B dreht. Magnetischer Fluss F, den Rahmen mit der Fläche durchdringend S,

wo ist der Winkel zwischen der Normalen zum Rahmen und dem magnetischen Induktionsvektor.

Nach dem Faradayschen Gesetz der elektromagnetischen Induktion ist die EMF der Induktion gleich

wo ist die Änderungsrate des Flusses der magnetischen Induktion.

Ein harmonisch variierender magnetischer Fluss induziert eine sinusförmige Induktions-EMK

wo ist der Amplitudenwert der Induktions-EMK.

2. Wenn Sie eine Quelle externer harmonischer EMF an den Stromkreis anschließen

dann treten darin erzwungene Schwingungen auf, die mit einer zyklischen Frequenz ώ auftreten, die mit der Frequenz der Quelle zusammenfällt.

In diesem Fall machen die erzwungenen Schwingungen eine Ladung q, die Potentialdifferenz u, Stromstärke ich und andere physikalische Größen. Dies sind ungedämpfte Schwingungen, da der Schaltung Energie aus einer Quelle zugeführt wird, die Verluste kompensiert. Sich harmonisch ändernde Strom-, Spannungs- und andere Größen im Stromkreis werden als Größen bezeichnet. Sie unterscheiden sich offensichtlich in Größe und Richtung. Ströme und Spannungen, die sich nur in der Größe ändern, werden als pulsierend bezeichnet.

In industriellen Wechselstromkreisen in Russland wird eine Frequenz von 50 Hz angenommen.

Zur Berechnung der freigesetzten Wärmemenge Q beim Durchgang eines Wechselstroms durch einen Leiter mit aktivem Widerstand R kann der maximale Leistungswert nicht verwendet werden, da er nur zu bestimmten Zeitpunkten erreicht wird. Es ist notwendig, die durchschnittliche Leistung für den Zeitraum zu verwenden - das Verhältnis der Gesamtenergie W, die für den Zeitraum in den Stromkreis eintritt, zum Wert des Zeitraums:

Daher ist die während der Zeit T freigesetzte Wärmemenge:

Der Effektivwert I des Wechselstroms ist gleich der Stärke eines solchen Gleichstroms, der in einer Zeit gleich der Periode T die gleiche Wärmemenge freisetzt wie der Wechselstrom:

Daher der Effektivwert des Stroms

Ähnlich effektiver Spannungswert

TRANSFORMATOR

Transformator- ein Gerät, das die Spannung praktisch ohne Energieverlust mehrmals erhöht oder verringert.

Der Transformator besteht aus einem aus separaten Platten zusammengesetzten Stahlkern, auf dem zwei Spulen mit Drahtwicklungen montiert sind. Die Primärwicklung ist an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen, und Geräte, die Strom verbrauchen, sind an die Sekundärwicklung angeschlossen.

der Wert

heißt Transformationsverhältnis. Für Tiefsetzsteller K > 1, für Hochsetzsteller K< 1.

Beispiel. Die Ladung auf den Platten des Kondensators des Schwingkreises ändert sich mit der Zeit entsprechend der Gleichung. Finden Sie die Periode und Frequenz der Schwingungen im Stromkreis, die zyklische Frequenz, die Amplitude der Ladungsschwingungen und die Amplitude der Stromschwingungen. Schreiben Sie die Gleichung i = i(t), die die Abhängigkeit der Stromstärke von der Zeit ausdrückt.

Aus der Gleichung folgt, dass . Die Periode wird durch die zyklische Häufigkeitsformel bestimmt

Oszillationsfrequenz

Die Abhängigkeit der Stromstärke von der Zeit hat die Form:

Aktuelle Amplitude.

Antworten: Die Ladung schwingt mit einer Periode von 0,02 s und einer Frequenz von 50 Hz, was einer zyklischen Frequenz von 100 rad / s entspricht, die Amplitude der Stromschwingungen beträgt 510 3 A, der Strom ändert sich gemäß dem Gesetz:

ich=-5000sin100t

Aufgaben und Tests zum Thema „Thema 10. „Elektromagnetische Schwingungen und Wellen.““

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Freie elektromagnetische Schwingungen Dies ist eine periodische Änderung der Ladung des Kondensators, des Stroms in der Spule sowie elektrischer und magnetischer Felder im Schwingkreis, die unter dem Einfluss von inneren Kräften auftreten.

Kontinuierliche elektromagnetische Schwingungen

Wird verwendet, um elektromagnetische Schwingungen anzuregen Schwingkreis , bestehend aus einer in Reihe geschalteten Induktivität L und einem Kondensator mit einer Kapazität C (Abb. 17.1).

Stellen Sie sich eine ideale Schaltung vor, d. h. eine Schaltung, deren ohmscher Widerstand Null ist (R = 0). Um Schwingungen in dieser Schaltung anzuregen, ist es notwendig, entweder die Kondensatorplatten über eine bestimmte Ladung zu informieren oder einen Strom in der Induktivität anzuregen. Der Kondensator sei im Anfangsmoment auf eine Potentialdifferenz U aufgeladen (Abb. (Abb. 17.2, a), er hat also eine potentielle Energie
.Zu diesem Zeitpunkt ist der Strom in der Spule I \u003d 0 . Dieser Zustand des Schwingkreises ähnelt dem Zustand eines um den Winkel α ausgelenkten mathematischen Pendels (Abb. 17.3, a). Zu diesem Zeitpunkt ist der Strom in der Spule I = 0. Nach dem Anschließen des geladenen Kondensators an die Spule beginnen unter der Wirkung des elektrischen Feldes, das durch die Ladungen auf dem Kondensator erzeugt wird, freie Elektronen im Stromkreis, sich von der negativ geladenen Kondensatorplatte zur positiv geladenen zu bewegen. Der Kondensator beginnt sich zu entladen, und im Stromkreis tritt ein zunehmender Strom auf. Das magnetische Wechselfeld dieses Stroms erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld. Dieses elektrische Feld ist dem Strom entgegengerichtet und lässt ihn daher nicht sofort seinen Maximalwert erreichen. Der Strom wird allmählich zunehmen. Wenn die Kraft im Stromkreis ihr Maximum erreicht, ist die Ladung des Kondensators und die Spannung zwischen den Platten Null. Dies geschieht in einem Viertel der Periode t = π/4. Gleichzeitig die Energie das elektrische Feld geht in die Energie des magnetischen Feldes W e =1/2C U 2 0 ein. In diesem Moment befinden sich auf der positiv geladenen Platte des Kondensators so viele Elektronen, die dorthin übergegangen sind, dass ihre negative Ladung die positive Ladung der dort befindlichen Ionen vollständig neutralisiert. Der Strom im Stromkreis beginnt abzunehmen und die Induktion des von ihm erzeugten Magnetfelds beginnt abzunehmen. Das sich ändernde Magnetfeld erzeugt erneut ein elektrisches Wirbelfeld, das dieses Mal in die gleiche Richtung wie der Strom gerichtet ist. Der von diesem Feld unterstützte Strom geht in die gleiche Richtung und lädt den Kondensator allmählich wieder auf. Wenn sich jedoch die Ladung auf dem Kondensator ansammelt, verlangsamt sein eigenes elektrisches Feld die Bewegung der Elektronen zunehmend, und der Strom im Stromkreis wird immer geringer. Wenn der Strom auf Null abfällt, wird der Kondensator vollständig aufgeladen.

Die Zustände des in Abb. 1 dargestellten Systems. 17.2 und 17.3 entsprechen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten T = 0; ;;und T.

Die im Stromkreis auftretende Selbstinduktions-EMK ist gleich der Spannung an den Kondensatorplatten: ε = U

und

Vorausgesetzt
, wir bekommen

(17.1)

Formel (17.1) ähnelt der in der Mechanik betrachteten Differentialgleichung harmonischer Schwingungen; seine Entscheidung wird sein

q = q max sin(ω 0 t+φ 0) (17.2)

wobei q max die größte (Anfangs-)Ladung auf den Kondensatorplatten ist, ω 0 die Kreisfrequenz der Eigenschwingungen der Schaltung ist, φ 0 die Anfangsphase ist.

Gemäß der akzeptierten Notation ist
wo

(17.3)

Ausdruck (17.3) wird aufgerufen Thomsons Formel und zeigt, dass bei R = 0 die Periode der in der Schaltung auftretenden elektromagnetischen Schwingungen nur durch die Werte der Induktivität L und der Kapazität C bestimmt wird.

Nach dem Oberschwingungsgesetz ändert sich nicht nur die Ladung auf den Kondensatorplatten, sondern auch Spannung und Strom im Stromkreis:

wobei U m und I m Spannungs- und Stromamplituden sind.

Aus den Ausdrücken (17.2), (17.4), (17.5) folgt, dass die Ladungs- (Spannungs-) und Stromschwankungen in der Schaltung um π/2 phasenverschoben sind. Folglich erreicht der Strom seinen Maximalwert in den Momenten, in denen die Ladung (Spannung) auf den Kondensatorplatten Null ist, und umgekehrt.

Wenn ein Kondensator aufgeladen wird, erscheint zwischen seinen Platten ein elektrisches Feld, dessen Energie ist

oder

Wenn ein Kondensator auf eine Induktivität entladen wird, entsteht darin ein Magnetfeld, dessen Energie ist

In einem idealen Stromkreis ist die maximale Energie des elektrischen Feldes gleich der maximalen Energie des magnetischen Feldes:

Die Energie eines geladenen Kondensators ändert sich gemäß Gesetz periodisch mit der Zeit

oder

Angesichts dessen
, wir bekommen

Die Energie des Magnetfelds des Solenoids ändert sich mit der Zeit gemäß dem Gesetz

(17.6)

Unter Berücksichtigung von I m ​​=q m ω 0 erhalten wir

(17.7)

Die Gesamtenergie des elektromagnetischen Feldes des Schwingkreises ist gleich

W \u003d W e + W m \u003d (17,8)

In einer idealen Schaltung bleibt die Gesamtenergie erhalten, elektromagnetische Schwingungen sind ungedämpft.

Gedämpfte elektromagnetische Schwingungen

Ein echter Schwingkreis hat einen ohmschen Widerstand, also werden die Schwingungen darin gedämpft. Angewendet auf diese Schaltung kann das Ohmsche Gesetz für die gesamte Schaltung in der Form geschrieben werden

(17.9)

Transformation dieser Gleichheit:

und die Substitution vornehmen:

und
, wobei β der Dämpfungskoeffizient ist, erhalten wir

(17.10) ist Differentialgleichung gedämpfter elektromagnetischer Schwingungen .

Der Vorgang freier Schwingungen in einem solchen Kreis gehorcht nicht mehr dem harmonischen Gesetz. Für jede Schwingungsperiode wird ein Teil der im Stromkreis gespeicherten elektromagnetischen Energie in Joulesche Wärme umgewandelt, und die Schwingungen werden Fading(Abb. 17.5). Bei geringer Dämpfung ω ≈ ω 0 wird die Lösung der Differentialgleichung eine Gleichung der Form sein

(17.11)

Gedämpfte Schwingungen in einem Stromkreis ähneln gedämpften mechanischen Schwingungen einer Last auf einer Feder in Gegenwart von viskoser Reibung.

Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist gleich

(17.12)

Zeitintervall
genannt, bei der die Schwingungsamplitude um den Faktor e ≈ 2,7 abnimmt Abklingzeit .

Gütefaktor Q des schwingungsfähigen Systems wird durch die Formel bestimmt:

(17.13)

Für eine RLC-Schaltung wird der Qualitätsfaktor Q durch die Formel ausgedrückt

(17.14)

Der Qualitätsfaktor von elektrischen Schaltungen, die in der Funktechnik verwendet werden, liegt normalerweise in der Größenordnung von mehreren zehn oder sogar hundert.

Betrachten Sie den folgenden Schwingkreis. Wir nehmen an, dass sein Widerstand R so klein ist, dass er vernachlässigt werden kann.

Die gesamte elektromagnetische Energie des Schwingkreises ist zu jedem Zeitpunkt gleich der Summe der Energie des Kondensators und der Energie des Magnetfelds des Stroms. Zur Berechnung wird folgende Formel verwendet:

W = L*i^2/2 + q^2/(2*C).

Die gesamte elektromagnetische Energie wird sich im Laufe der Zeit nicht ändern, da es keinen Energieverlust durch den Widerstand gibt. Obwohl sich seine Komponenten ändern werden, werden sie immer die gleiche Zahl ergeben. Dafür sorgt der Energieerhaltungssatz.

Daraus lassen sich Gleichungen ableiten, die freie Schwingungen in einem elektrischen Schwingkreis beschreiben. Die Gleichung wird wie folgt aussehen:

q"' = -(1/(L*C))*q.

Die gleiche Gleichung ergibt sich bis auf die Notation bei der Beschreibung mechanischer Schwingungen. Angesichts der Analogie zwischen diesen Arten von Schwingungen können wir eine Formel aufschreiben, die elektromagnetische Schwingungen beschreibt.

Frequenz und Periode elektromagnetischer Schwingungen

Aber zuerst beschäftigen wir uns mit der Frequenz und Periode elektromagnetischer Schwingungen. Der Wert der Frequenz natürlicher Schwingungen kann wiederum aus einer Analogie zu mechanischen Schwingungen gewonnen werden. Der Koeffizient k/m ist gleich dem Quadrat der Eigenfrequenz.

Daher in unserem Fall das Quadrat Frequenzen freie Schwingungen sind gleich 1/(L*C)

ω0 = 1/√(L*C).

Von hier Zeitraum freie Schwingungen:

T = 2*pi/ω0 = 2*pi*√(L*C).

Diese Formel heißt Thompsons Formeln. Daraus folgt, dass die Schwingungsdauer mit zunehmender Kapazität des Kondensators oder der Induktivität der Spule zunimmt. Diese Schlussfolgerungen sind logisch, da mit zunehmender Kapazität die zum Laden des Kondensators aufgewendete Zeit zunimmt und mit zunehmender Induktivität der Strom im Stromkreis aufgrund der Selbstinduktion langsamer ansteigt.

Ladungsschwankungsgleichung Kondensator wird durch die folgende Formel beschrieben:

q = qm*cos(ω0*t), wobei qm die Amplitude der Kondensatorladungsschwingungen ist.

Auch die Stromstärke im Schwingkreis erzeugt harmonische Schwingungen:

I = q'= Im*cos(ω0*t+pi/2).

Hier ist Im die Amplitude der Stromschwingungen. Beachten Sie, dass zwischen den Schwankungen der Ladung und der Stromstärke ein Unterschied in Vasen von pi / 2 besteht.
Die folgende Abbildung zeigt die Diagramme dieser Schwankungen.

Wieder in Analogie zu mechanischen Schwingungen, wo Schwankungen in der Geschwindigkeit eines Körpers den Schwankungen in den Koordinaten dieses Körpers um pi/2 voraus sind.
Unter realen Bedingungen kann der Widerstand des Schwingkreises nicht vernachlässigt werden, wodurch die Schwingungen gedämpft werden.

Bei einem sehr großen Widerstand R können Schwingungen überhaupt nicht beginnen. Dabei wird die Energie des Kondensators in Form von Wärme am Widerstand freigesetzt.

• Elektromagnetische Schwingungen sind periodische zeitliche Änderungen elektrischer und magnetischer Größen in einem Stromkreis.

• Frei heißen solche Schwankungen, die in einem geschlossenen System durch die Abweichung dieses Systems von einem stabilen Gleichgewichtszustand entstehen.

Bei Schwingungen findet ein kontinuierlicher Umwandlungsprozess der Energie des Systems von einer Form in eine andere statt. Bei Schwingungen des elektromagnetischen Feldes kann der Austausch nur zwischen den elektrischen und magnetischen Komponenten dieses Feldes stattfinden. Das einfachste System, in dem dieser Prozess stattfinden kann, ist Schwingkreis.

• Idealer Schwingkreis (LC-Schaltung) - ein Stromkreis, der aus einer Induktionsspule besteht L und ein Kondensator C.

Im Gegensatz zu einem echten Schwingkreis, der einen elektrischen Widerstand hat R, ist der elektrische Widerstand eines idealen Stromkreises immer Null. Daher ist ein idealer Schwingkreis ein vereinfachtes Modell eines realen Schaltkreises.

Abbildung 1 zeigt ein Diagramm eines idealen Schwingkreises.

Schaltungsenergie

Gesamtenergie des Schwingkreises

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Wo Wir- die Energie des elektrischen Feldes des Schwingkreises zu einem bestimmten Zeitpunkt, AUS ist die Kapazität des Kondensators, u- der Wert der Spannung am Kondensator zu einem bestimmten Zeitpunkt, q- der Wert der Ladung des Kondensators zu einem bestimmten Zeitpunkt, Wm- die Energie des Magnetfeldes des Schwingkreises zu einem bestimmten Zeitpunkt, L- Spuleninduktivität, ich- der Wert des Stroms in der Spule zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Vorgänge im Schwingkreis

Betrachten Sie die Prozesse, die im Schwingkreis ablaufen.

Um den Stromkreis aus der Gleichgewichtsposition zu bringen, laden wir den Kondensator auf, sodass auf seinen Platten eine Ladung vorhanden ist Q m(Abb. 2, Position 1 ). Unter Berücksichtigung der Gleichung \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) finden wir den Wert der Spannung am Kondensator. Im Stromkreis fließt zu diesem Zeitpunkt kein Strom, d.h. ich = 0.

Nachdem der Schlüssel geschlossen ist, erscheint unter der Wirkung des elektrischen Feldes des Kondensators ein elektrischer Strom im Stromkreis, die Stromstärke ich was mit der Zeit zunehmen wird. Der Kondensator beginnt sich zu diesem Zeitpunkt zu entladen, weil. Die Elektronen, die den Strom erzeugen (ich erinnere Sie daran, dass die Richtung der Bewegung positiver Ladungen als Richtung des Stroms genommen wird), verlassen die negative Platte des Kondensators und kommen zur positiven (siehe Abb. 2, Position). 2 ). Zusammen mit Ladung q die Spannung wird abnehmen u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Wenn die Stromstärke zunimmt, erscheint eine Selbstinduktions-EMK durch die Spule, die eine Änderung der Stromstärke verhindert. Dadurch steigt die Stromstärke im Schwingkreis nicht sofort von Null auf einen bestimmten Maximalwert an, sondern über einen bestimmten Zeitraum, der durch die Induktivität der Spule bestimmt wird.

Kondensatorladung q abnimmt und irgendwann gleich Null wird ( q = 0, u= 0), wird der Strom in der Spule einen bestimmten Wert erreichen Ich bin(siehe Abb. 2, Position 3 ).

Ohne das elektrische Feld des Kondensators (und des Widerstands) bewegen sich die Elektronen, die den Strom erzeugen, durch Trägheit weiter. In diesem Fall laden die Elektronen, die an der neutralen Platte des Kondensators ankommen, ihn negativ auf, die Elektronen, die die neutrale Platte verlassen, laden ihn positiv auf. Der Kondensator beginnt sich aufzuladen q(und Spannung u), aber mit entgegengesetztem Vorzeichen, d.h. Der Kondensator wird wieder aufgeladen. Nun hindert das neue elektrische Feld des Kondensators die Bewegung der Elektronen, also den Strom ich beginnt abzunehmen (siehe Abb. 2, Position 4 ). Auch dies geschieht nicht sofort, da nun die Selbstinduktion EMF versucht, den Stromabfall zu kompensieren und ihn „unterstützt“. Und der Wert des Stroms Ich bin(schwanger 3 ) stellt sich heraus maximaler Strom in Kontur.

Und wieder erscheint unter der Wirkung des elektrischen Feldes des Kondensators ein elektrischer Strom im Stromkreis, der jedoch in die entgegengesetzte Richtung gerichtet ist, die Stromstärke ich was mit der Zeit zunehmen wird. Und der Kondensator wird zu diesem Zeitpunkt entladen (siehe Abb. 2, Position 6 ) auf Null (siehe Abb. 2, Position 7 ). Usw.

Da die Ladung auf dem Kondensator q(und Spannung u) bestimmt seine elektrische Feldenergie Wir\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) und dem Strom in der Spule ich- Magnetfeldenergie wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) dann ändern sich mit Änderungen von Ladung, Spannung und Strom auch die Energien.

Bezeichnungen in der Tabelle:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \;\;\; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2 )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Die Gesamtenergie eines idealen Schwingkreises bleibt über die Zeit erhalten, da in ihm Energie verloren geht (kein Widerstand). Dann

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Also im Idealfall LC- Der Stromkreis wird periodische Änderungen der Stromstärkewerte erfahren ich, aufladen q und Stress u, und die Gesamtenergie des Stromkreises bleibt konstant. In diesem Fall sagen wir, dass es sie gibt freie elektromagnetische Schwingungen.

• Freie elektromagnetische Schwingungen im Stromkreis - dies sind periodische Änderungen der Ladung auf den Kondensatorplatten, der Stromstärke und der Spannung im Stromkreis, die auftreten, ohne Energie aus externen Quellen zu verbrauchen.

Somit ist das Auftreten freier elektromagnetischer Schwingungen im Stromkreis auf das Wiederaufladen des Kondensators und das Auftreten einer Selbstinduktions-EMK in der Spule zurückzuführen, die dieses Wiederaufladen „bereitstellt“. Beachten Sie, dass die Ladung auf dem Kondensator q und der Strom in der Spule ich ihre Maximalwerte erreichen Q m und Ich bin zu verschiedenen Zeitpunkten.

Freie elektromagnetische Schwingungen im Stromkreis entstehen nach dem Oberschwingungsgesetz:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi_(1)\right), \;\;\;i=I_(m)\cdot\cos\left(\omega\cdot t+\varphi_(2)\right).\)

Der kleinste Zeitraum, in dem LC- Der Stromkreis kehrt in seinen ursprünglichen Zustand zurück (auf den Anfangswert der Ladung dieser Auskleidung), wird als Zeitraum freier (natürlicher) elektromagnetischer Schwingungen im Stromkreis bezeichnet.

Die Periode der freien elektromagnetischen Schwingungen in LC-Kontur wird durch die Thomson-Formel bestimmt:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Aus Sicht der mechanischen Analogie entspricht ein Federpendel ohne Reibung einem idealen Schwingkreis, einem realen mit Reibung. Durch die Wirkung von Reibungskräften dämpfen sich die Schwingungen eines Federpendels mit der Zeit.

*Ableitung der Thomson-Formel

Da die Gesamtenergie des Ideals LC-Schaltung, gleich der Summe der Energien des elektrostatischen Feldes des Kondensators und des magnetischen Feldes der Spule, bleibt dann jederzeit die Gleichheit erhalten

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C). ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Wir erhalten die Schwingungsgleichung in LC-Schaltung, mit dem Energieerhaltungssatz. Differenzieren des Ausdrucks für seine Gesamtenergie in Bezug auf die Zeit unter Berücksichtigung der Tatsache, dass

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

wir erhalten eine Gleichung, die freie Schwingungen in einem idealen Stromkreis beschreibt:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C)+L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Indem Sie es umschreiben als:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

Beachten Sie, dass dies die Gleichung harmonischer Schwingungen mit einer zyklischen Frequenz ist

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Dementsprechend ist die Periode der betrachteten Schwingungen

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega )=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Literatur

1. Zhilko, V.V. Physik: Lehrbuch. Zuschuss für die allgemeinbildende Klasse 11. Schule aus dem Russischen lang. Ausbildung / V.V. Zhilko, L.G. Markowitsch. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.

Ein Schwingkreis ist ein Gerät zur Erzeugung (Erzeugung) elektromagnetischer Schwingungen. Von seinen Anfängen bis heute wird es in vielen Bereichen von Wissenschaft und Technik eingesetzt: vom Alltag bis hin zu riesigen Fabriken, die eine Vielzahl von Produkten herstellen.

Woraus besteht es?

Der Schwingkreis besteht aus einer Spule und einem Kondensator. Zusätzlich kann es auch einen Widerstand (Element mit variablem Widerstand) enthalten. Ein Induktor (oder Solenoid, wie er manchmal genannt wird) ist ein Stab, auf den mehrere Wicklungsschichten gewickelt sind, die in der Regel ein Kupferdraht sind. Dieses Element erzeugt Schwingungen im Schwingkreis. Der Stab in der Mitte wird oft als Drossel oder Kern bezeichnet, und die Spule wird manchmal als Solenoid bezeichnet.

Eine Schwingkreisspule schwingt nur bei gespeicherter Ladung. Wenn Strom durch ihn fließt, sammelt er eine Ladung, die er dann an die Schaltung abgibt, wenn die Spannung abfällt.

Die Drähte der Spule haben normalerweise einen sehr geringen Widerstand, der immer konstant bleibt. Im Stromkreis eines Schwingkreises tritt sehr häufig eine Spannungs- und Stromänderung auf. Diese Änderung unterliegt bestimmten mathematischen Gesetzen:

• U = U 0 *cos(w*(t-t 0) , wobei
  U - Spannung zu einem bestimmten Zeitpunkt t,
  U 0 - Spannung zum Zeitpunkt t 0,
  w ist die Frequenz elektromagnetischer Schwingungen.

Ein weiterer integraler Bestandteil der Schaltung ist der elektrische Kondensator. Dies ist ein Element, das aus zwei Platten besteht, die durch ein Dielektrikum getrennt sind. In diesem Fall ist die Dicke der Schicht zwischen den Platten geringer als ihre Größe. Dieses Design ermöglicht es Ihnen, eine elektrische Ladung auf dem Dielektrikum zu akkumulieren, die dann auf die Schaltung übertragen werden kann.

Der Unterschied zwischen einem Kondensator und einer Batterie besteht darin, dass unter Einwirkung von elektrischem Strom keine Stoffumwandlung stattfindet, sondern eine direkte Ladungsbildung in einem elektrischen Feld. Mit Hilfe eines Kondensators ist es also möglich, eine ausreichend große Ladung zu akkumulieren, die auf einmal abgegeben werden kann. In diesem Fall steigt die Stromstärke im Stromkreis stark an.

Außerdem besteht der Schwingkreis aus einem weiteren Element: einem Widerstand. Dieses Element hat einen Widerstand und ist dafür ausgelegt, den Strom und die Spannung in der Schaltung zu steuern. Wenn Sie bei konstanter Spannung erhöhen, nimmt die Stromstärke gemäß dem Ohmschen Gesetz ab:

• Ich \u003d U / R, wo
  I - Stromstärke,
  U - Spannung,
  R ist Widerstand.

Induktor

Lassen Sie uns alle Feinheiten der Funktionsweise eines Induktors genauer betrachten und seine Funktion in einem Schwingkreis besser verstehen. Wie wir bereits gesagt haben, tendiert der Widerstand dieses Elements gegen Null. Beim Anschluss an einen Gleichstromkreis würde dies also passieren, wenn Sie die Spule jedoch an einen Wechselstromkreis anschließen, funktioniert sie ordnungsgemäß. Daraus lässt sich schließen, dass das Element Wechselstrom Widerstand leistet.

Aber warum passiert das und wie entsteht Widerstand bei Wechselstrom? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns einem Phänomen wie der Selbstinduktion zuwenden. Wenn der Strom durch die Spule fließt, entsteht er darin, was ein Hindernis für die Stromänderung darstellt. Die Größe dieser Kraft hängt von zwei Faktoren ab: der Induktivität der Spule und der zeitlichen Ableitung der Stromstärke. Mathematisch wird diese Abhängigkeit durch die Gleichung ausgedrückt:

• E \u003d -L ​​​​* I "(t) , wo
  E - EMF-Wert,
  L - der Wert der Induktivität der Spule (für jede Spule ist es anders und hängt von der Anzahl der Spulen der Wicklung und ihrer Dicke ab),
  I "(t) - die zeitliche Ableitung der Stromstärke (Änderungsrate der Stromstärke).

Die Stärke des Gleichstroms ändert sich nicht mit der Zeit, daher gibt es keinen Widerstand, wenn er ausgesetzt wird.

Aber bei Wechselstrom ändern sich alle seine Parameter ständig nach einem Sinus- oder Kosinusgesetz, wodurch eine EMK entsteht, die diese Änderungen verhindert. Dieser Widerstand wird induktiv genannt und wird nach folgender Formel berechnet:

• X L \u003d w * L, wo
  w ist die Schwingungsfrequenz der Schaltung,
  L ist die Induktivität der Spule.

Die Stromstärke im Elektromagneten nimmt nach verschiedenen Gesetzmäßigkeiten linear zu und ab. Dies bedeutet, dass, wenn Sie die Stromzufuhr zur Spule unterbrechen, diese den Stromkreis noch einige Zeit weiter auflädt. Und wenn gleichzeitig die Stromversorgung abrupt unterbrochen wird, tritt ein Schock auf, da die Ladung versucht, sich zu verteilen und die Spule zu verlassen. Dies ist ein ernsthaftes Problem in der industriellen Produktion. Ein solcher Effekt (wenn auch nicht ausschließlich mit dem Schwingkreis zusammenhängend) lässt sich beispielsweise beobachten, wenn man den Stecker aus der Steckdose zieht. Gleichzeitig springt ein Funke über, der in einem solchen Ausmaß einem Menschen keinen Schaden zufügen kann. Dies liegt daran, dass das Magnetfeld nicht sofort verschwindet, sondern sich allmählich auflöst und Ströme in anderen Leitern induziert. Im industriellen Maßstab ist die Stromstärke um ein Vielfaches höher als die von uns gewohnten 220 Volt, daher können bei Unterbrechung des Stromkreises in der Produktion so starke Funken entstehen, die sowohl der Anlage als auch dem Menschen großen Schaden zufügen .

Die Spule ist die Basis dessen, woraus der Schwingkreis besteht. Die Induktivitäten der in Reihe geschalteten Magnete addieren sich. Als nächstes werden wir uns alle Feinheiten der Struktur dieses Elements genauer ansehen.

Was ist Induktivität?

Die Induktivität der Spule eines Schwingkreises ist ein individueller Indikator, der numerisch gleich der elektromotorischen Kraft (in Volt) ist, die im Stromkreis auftritt, wenn sich der Strom in 1 Sekunde um 1 A ändert. Wird der Elektromagnet an einen Gleichstromkreis angeschlossen, so beschreibt seine Induktivität die Energie des durch diesen Strom erzeugten Magnetfeldes nach der Formel:

• W \u003d (L * I 2) / 2, wobei
  W ist die Energie des Magnetfelds.

Der Induktivitätsfaktor hängt von vielen Faktoren ab: der Geometrie des Solenoids, den magnetischen Eigenschaften des Kerns und der Anzahl der Drahtspulen. Eine weitere Eigenschaft dieses Indikators ist, dass er immer positiv ist, da die Variablen, von denen er abhängt, nicht negativ sein können.

Induktivität kann auch als die Eigenschaft eines stromdurchflossenen Leiters definiert werden, Energie in einem Magnetfeld zu speichern. Sie wird in Henry (benannt nach dem amerikanischen Wissenschaftler Joseph Henry) gemessen.

Der Schwingkreis besteht neben dem Solenoid aus einem Kondensator, auf den später eingegangen wird.

Elektrischer Kondensator

Die Kapazität des Schwingkreises wird durch den Kondensator bestimmt. Über sein Aussehen wurde oben geschrieben. Analysieren wir nun die Physik der Prozesse, die darin stattfinden.

Da die Kondensatorplatten aus einem Leiter bestehen, kann ein elektrischer Strom durch sie fließen. Zwischen den beiden Platten befindet sich jedoch ein Hindernis: ein Dielektrikum (es kann Luft, Holz oder ein anderes Material mit hohem Widerstand sein. Da sich die Ladung nicht von einem Ende des Drahtes zum anderen bewegen kann, sammelt sie sich auf dem Kondensatorplatten Dies erhöht die Kraft der magnetischen und elektrischen Felder um sie herum.Wenn die Ladung aufhört, beginnt die gesamte auf den Platten angesammelte Elektrizität an den Stromkreis übertragen zu werden.

Jeder Kondensator hat ein Optimum für seinen Betrieb. Wenn dieses Element längere Zeit mit einer Spannung betrieben wird, die höher als die Nennspannung ist, wird seine Lebensdauer erheblich reduziert. Der Schwingkreiskondensator wird ständig von Strömen beeinflusst, daher sollten Sie bei seiner Auswahl äußerst vorsichtig sein.

Neben den üblichen Kondensatoren, die besprochen wurden, gibt es auch Ionistoren. Dies ist ein komplexeres Element: Es kann als Kreuzung zwischen einer Batterie und einem Kondensator beschrieben werden. In einem Ionistor dienen in der Regel organische Substanzen als Dielektrikum, zwischen denen sich ein Elektrolyt befindet. Zusammen bilden sie eine doppelte elektrische Schicht, die es ermöglicht, in diesem Design ein Vielfaches an Energie zu speichern als in einem herkömmlichen Kondensator.

Was ist die Kapazität eines Kondensators?

Die Kapazität eines Kondensators ist das Verhältnis der Ladung auf dem Kondensator zur Spannung, unter der er steht. Dieser Wert lässt sich ganz einfach mit der mathematischen Formel berechnen:

• C \u003d (e 0 * S) / d, wobei
  e 0 - dielektrisches Material (Tabellenwert),
  S ist die Fläche der Kondensatorplatten,
  d ist der Abstand zwischen den Platten.

Die Abhängigkeit der Kapazität eines Kondensators vom Abstand zwischen den Platten erklärt sich durch das Phänomen der elektrostatischen Induktion: Je kleiner der Abstand zwischen den Platten ist, desto mehr beeinflussen sie sich gegenseitig (nach dem Coulombschen Gesetz), desto größer ist die Ladung der Platten und desto niedriger die Spannung. Und mit abnehmender Spannung steigt der Wert der Kapazität, da er auch durch folgende Formel beschrieben werden kann:

• C = q/U, wobei
  q - Ladung in Anhängern.

Es lohnt sich, über die Maßeinheiten dieser Größe zu sprechen. Die Kapazität wird in Farad gemessen. 1 Farad ist ein ausreichend großer Wert, daher haben vorhandene Kondensatoren (aber keine Ionistoren) eine Kapazität, die in Picofarad (eine Billion Farad) gemessen wird.

Widerstand

Der Strom im Schwingkreis hängt auch vom Widerstand des Kreises ab. Und neben den beiden beschriebenen Elementen, aus denen der Schwingkreis besteht (Spulen, Kondensatoren), gibt es noch ein drittes - einen Widerstand. Er ist dafür verantwortlich, Widerstand zu schaffen. Der Widerstand unterscheidet sich von anderen Elementen dadurch, dass er einen großen Widerstand hat, der bei einigen Modellen geändert werden kann. Im Schwingkreis übernimmt es die Funktion eines Magnetfeldleistungsreglers. Sie können mehrere Widerstände in Reihe oder parallel schalten und so den Widerstand der Schaltung erhöhen.

Der Widerstand dieses Elements hängt auch von der Temperatur ab, daher sollten Sie beim Betrieb im Stromkreis vorsichtig sein, da es sich beim Stromfluss erwärmt.

Der Widerstand eines Widerstands wird in Ohm gemessen und sein Wert kann mit der Formel berechnet werden:

• R = (p*l)/S, wobei
  p ist der spezifische Widerstand des Widerstandsmaterials (gemessen in (Ohm * mm 2) / m);
  l ist die Länge des Widerstands (in Metern);
  S ist die Querschnittsfläche (in Quadratmillimetern).

Wie werden Konturparameter verknüpft?

Jetzt sind wir der Physik des Betriebs eines Schwingkreises nahe gekommen. Im Laufe der Zeit ändert sich die Ladung auf den Kondensatorplatten gemäß einer Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Wird diese Gleichung gelöst, ergeben sich daraus mehrere interessante Formeln, die die in der Schaltung ablaufenden Vorgänge beschreiben. Beispielsweise kann die zyklische Frequenz in Form von Kapazität und Induktivität ausgedrückt werden.

Die einfachste Formel, mit der Sie viele unbekannte Größen berechnen können, ist jedoch die Thomson-Formel (benannt nach dem englischen Physiker William Thomson, der sie 1853 herleitete):

• T = 2*n*(L*C) 1/2 .
  T - Periode elektromagnetischer Schwingungen,
  L und C - jeweils die Induktivität der Spule des Schwingkreises und die Kapazität der Schaltungselemente,
  n ist die Zahl Pi.

Qualitätsfaktor

Es gibt noch einen weiteren wichtigen Wert, der den Betrieb der Schaltung charakterisiert - den Qualitätsfaktor. Um zu verstehen, was es ist, sollte man sich einem Prozess wie Resonanz zuwenden. Dies ist ein Phänomen, bei dem die Amplitude bei einem konstanten Wert der Kraft, die diese Schwingung unterstützt, maximal wird. Die Resonanz kann mit einem einfachen Beispiel erklärt werden: Wenn Sie anfangen, die Schaukel im Takt ihrer Frequenz zu schieben, beschleunigt sie sich und ihre "Amplitude" nimmt zu. Und wenn Sie die Zeit überschreiten, werden sie langsamer. Bei Resonanz wird oft viel Energie dissipiert. Um das Ausmaß der Verluste berechnen zu können, haben sie sich einen Parameter wie den Qualitätsfaktor ausgedacht. Es ist ein Verhältnis, das dem Verhältnis der Energie im System zu den in der Schaltung auftretenden Verlusten in einem Zyklus entspricht.

Der Qualitätsfaktor der Schaltung wird nach folgender Formel berechnet:

• Q = (w 0 *W)/P, wobei
  w 0 - resonante zyklische Schwingungsfrequenz;
  W ist die im schwingungsfähigen System gespeicherte Energie;
  P ist die Verlustleistung.

Dieser Parameter ist ein dimensionsloser Wert, da er eigentlich das Verhältnis von gespeicherter zu verbrauchter Energie darstellt.

Was ist ein idealer Schwingkreis?

Um die Vorgänge in diesem System besser zu verstehen, haben Physiker die sog Idealer Schwingkreis. Dies ist ein mathematisches Modell, das eine Schaltung als System ohne Widerstand darstellt. Es erzeugt ungedämpfte harmonische Schwingungen. Ein solches Modell ermöglicht es, Formeln zur ungefähren Berechnung von Konturparametern zu erhalten. Einer dieser Parameter ist die Gesamtenergie:

• W \u003d (L * I 2) / 2.

Solche Vereinfachungen beschleunigen die Berechnungen erheblich und ermöglichen es, die Eigenschaften einer Schaltung mit gegebenen Indikatoren zu bewerten.

Wie es funktioniert?

Der gesamte Zyklus des Schwingkreises kann in zwei Teile geteilt werden. Jetzt werden wir die in jedem Teil ablaufenden Prozesse im Detail analysieren.

• Erste Phase: Eine positiv geladene Kondensatorplatte beginnt sich zu entladen und gibt Strom an die Schaltung ab. In diesem Moment geht der Strom von einer positiven Ladung zu einer negativen über und fließt durch die Spule. Dadurch treten im Stromkreis elektromagnetische Schwingungen auf. Der Strom fließt nach dem Durchgang durch die Spule zur zweiten Platte und lädt diese positiv auf (während die erste Platte, von der der Strom floss, negativ geladen wird).
• Zweite Phase: der umgekehrte Vorgang findet statt. Der Strom fließt von der positiven Platte (die ganz am Anfang negativ war) zur negativen Platte und fließt erneut durch die Spule. Und alle Anklagen fallen zusammen.

Der Zyklus wird wiederholt, bis der Kondensator aufgeladen ist. In einem idealen Schwingkreis läuft dieser Vorgang endlos ab, aber in einem realen sind Energieverluste aufgrund verschiedener Faktoren unvermeidlich: Erwärmung, die durch das Vorhandensein von Widerständen im Kreis (Joulesche Wärme) auftritt, und dergleichen.

Loop-Design-Optionen

Neben einfachen Spulen-Kondensator- und Spulen-Widerstand-Kondensator-Schaltungen gibt es weitere Möglichkeiten, die einen Schwingkreis als Basis verwenden. Dies ist zum Beispiel eine Parallelschaltung, die sich dadurch unterscheidet, dass sie als Element eines Stromkreises existiert (denn wenn sie separat existieren würde, wäre es eine Reihenschaltung, die im Artikel besprochen wurde).

Es gibt auch andere Bauarten, einschließlich anderer elektrischer Komponenten. Sie können beispielsweise einen Transistor an das Netzwerk anschließen, der den Stromkreis mit einer Frequenz öffnet und schließt, die der Schwingungsfrequenz im Stromkreis entspricht. Dadurch werden im System ungedämpfte Schwingungen aufgebaut.

Wo wird der Schwingkreis eingesetzt?

Die bekannteste Anwendung von Schaltungskomponenten sind Elektromagnete. Sie wiederum werden in Gegensprechanlagen, Elektromotoren, Sensoren und in vielen anderen nicht so alltäglichen Bereichen eingesetzt. Eine weitere Anwendung ist ein Schwingungsgenerator. Tatsächlich ist uns diese Verwendung der Schaltung sehr vertraut: In dieser Form wird sie in der Mikrowelle zur Erzeugung von Wellen und in der Mobil- und Funkkommunikation zur Übertragung von Informationen über eine Entfernung verwendet. All dies geschieht, weil die Schwingungen elektromagnetischer Wellen so kodiert werden können, dass es möglich wird, Informationen über große Entfernungen zu übertragen.

Die Induktivität selbst kann als Element eines Transformators verwendet werden: Zwei Spulen mit unterschiedlicher Windungszahl können ihre Ladung über ein elektromagnetisches Feld übertragen. Da die Eigenschaften der Solenoide jedoch unterschiedlich sind, unterscheiden sich die Stromanzeigen in den beiden Stromkreisen, an die diese beiden Induktoren angeschlossen sind. So ist es möglich, einen Strom mit einer Spannung von beispielsweise 220 Volt in einen Strom mit einer Spannung von 12 Volt umzuwandeln.

Fazit

Wir haben das Funktionsprinzip des Schwingkreises und jeden seiner Teile separat analysiert. Wir haben gelernt, dass ein Schwingkreis ein Gerät ist, das entwickelt wurde, um elektromagnetische Wellen zu erzeugen. Dies sind jedoch nur die Grundlagen der komplexen Mechanik dieser scheinbar einfachen Elemente. Mehr über die Feinheiten der Schaltung und ihrer Komponenten erfahren Sie in der Fachliteratur.