Logarithmische Ungleichungen negativer Wert. Logarithmische Ungleichungen - Knowledge Hypermarket

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Definition von Logarithmus Der einfachste Weg, es mathematisch zu schreiben, ist:

Die Definition des Logarithmus kann auch anders geschrieben werden:

Beachten Sie die Einschränkungen, die der Basis des Logarithmus ( a) und auf dem sublogarithmischen Ausdruck ( x). In Zukunft werden diese Bedingungen zu wichtigen Einschränkungen für die ODZ, die bei der Lösung einer Gleichung mit Logarithmen berücksichtigt werden müssen. Somit müssen nun zusätzlich zu den Standardbedingungen, die zu Einschränkungen der ODZ führen (Positivität von Ausdrücken unter Wurzeln gerader Grade, Ungleichheit des Nenners mit Null usw.), auch die folgenden Bedingungen berücksichtigt werden:

Der sublogarithmische Ausdruck kann nur positiv sein.
Die Basis des Logarithmus kann nur positiv und ungleich eins sein..

Beachten Sie, dass weder die Basis des Logarithmus noch der sublogarithmische Ausdruck gleich Null sein können. Beachten Sie auch, dass der Wert des Logarithmus selbst alle möglichen Werte annehmen kann, d.h. Der Logarithmus kann positiv, negativ oder null sein. Logarithmen haben so viele verschiedene Eigenschaften, die sich aus den Eigenschaften von Potenzen und der Definition eines Logarithmus ergeben. Lassen Sie uns sie auflisten. Also, die Eigenschaften von Logarithmen:

Der Logarithmus des Produkts:

Bruchlogarithmus:

Herausnehmen des Grades aus dem Vorzeichen des Logarithmus:

Achten Sie besonders auf die der zuletzt aufgeführten Eigenschaften, bei denen das Vorzeichen des Moduls nach der Gradangabe erscheint. Vergessen Sie nicht, dass Sie bei einem geraden Grad über das Vorzeichen des Logarithmus hinaus, unter dem Logarithmus oder an der Basis das Vorzeichen des Moduls belassen müssen.

Weitere nützliche Eigenschaften von Logarithmen:

Die letzte Eigenschaft wird sehr oft in komplexen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen verwendet. Es muss ebenso wie alle anderen in Erinnerung bleiben, obwohl es oft vergessen wird.

Die einfachsten logarithmischen Gleichungen sind:

Und ihre Lösung ist durch eine Formel gegeben, die direkt aus der Definition des Logarithmus folgt:

Andere einfachste logarithmische Gleichungen sind solche, die unter Verwendung algebraischer Transformationen und der obigen Formeln und Eigenschaften von Logarithmen auf die Form reduziert werden können:

Die Lösung solcher Gleichungen unter Berücksichtigung der ODZ lautet wie folgt:

Einige andere logarithmische Gleichungen mit einer Variablen in der Basis lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Auch bei solchen logarithmischen Gleichungen folgt die allgemeine Form der Lösung direkt aus der Definition des Logarithmus. Nur in diesem Fall sind zusätzliche Einschränkungen für das DHS zu berücksichtigen. Um eine logarithmische Gleichung mit einer Variablen in der Basis zu lösen, müssen Sie daher das folgende System lösen:

Bei der Lösung komplexerer logarithmischer Gleichungen, die nicht auf eine der obigen Gleichungen reduziert werden können, wird es auch aktiv verwendet Variablenänderungsmethode. Wie üblich ist bei der Anwendung dieser Methode zu beachten, dass nach Einführung der Ersetzung die Gleichung vereinfacht werden sollte und die alte Unbekannte nicht mehr enthalten sollte. Sie müssen auch daran denken, die umgekehrte Substitution von Variablen durchzuführen.

Manchmal muss man beim Lösen von logarithmischen Gleichungen auch verwenden grafische Methode. Diese Methode besteht darin, die Graphen der Funktionen, die sich auf der linken und rechten Seite der Gleichung befinden, so genau wie möglich auf derselben Koordinatenebene zu konstruieren und dann die Koordinaten ihrer Schnittpunkte gemäß der Zeichnung zu finden. Die so erhaltenen Wurzeln müssen durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung verifiziert werden.

Beim Lösen von logarithmischen Gleichungen ist es oft auch nützlich Gruppierungsmethode. Bei der Verwendung dieser Methode ist Folgendes zu beachten: Damit das Produkt mehrerer Faktoren gleich Null ist, muss mindestens einer von ihnen gleich Null sein. und der Rest existierte. Wenn die Faktoren Logarithmen oder Klammern mit Logarithmen sind und nicht nur Klammern mit Variablen wie in rationalen Gleichungen, dann können viele Fehler auftreten. Da Logarithmen viele Einschränkungen für den Bereich haben, in dem sie existieren.

Bei der Entscheidung Systeme logarithmischer Gleichungen Meistens müssen Sie entweder die Substitutionsmethode oder die Variablensubstitutionsmethode verwenden. Wenn eine solche Möglichkeit besteht, sollte man sich beim Lösen von Systemen logarithmischer Gleichungen bemühen, sicherzustellen, dass jede der Gleichungen des Systems einzeln auf eine solche Form reduziert wird, in der der Übergang von einer logarithmischen Gleichung zu möglich ist eine rationale.

Die einfachsten logarithmischen Ungleichungen werden ähnlich wie ähnliche Gleichungen gelöst. Zunächst sollte man versuchen, mit Hilfe von algebraischen Transformationen und den Eigenschaften von Logarithmen in eine Form zu bringen, in der die Logarithmen auf der linken und rechten Seite der Ungleichung die gleichen Basen haben, d.h. erhalten Sie eine Ungleichung der Form:

Danach müssen Sie zu einer rationalen Ungleichung gehen, da dieser Übergang wie folgt durchgeführt werden sollte: Wenn die Basis des Logarithmus größer als eins ist, muss das Ungleichheitszeichen nicht geändert werden, und wenn die Basis des Logarithmus kleiner als eins ist, müssen Sie das Ungleichheitszeichen ins Gegenteil umwandeln (d. h. „weniger“ in „größer“ oder umgekehrt ändern). Gleichzeitig müssen die Minuszeichen auf Plus unter Umgehung der zuvor untersuchten Regeln nirgendwo geändert werden. Lassen Sie uns mathematisch aufschreiben, was wir als Ergebnis eines solchen Übergangs erhalten. Wenn die Basis größer als eins ist, erhalten wir:

Wenn die Basis des Logarithmus kleiner als eins ist, ändern Sie das Ungleichheitszeichen und erhalten das folgende System:

Wie wir sehen können, wird beim Lösen logarithmischer Ungleichungen wie üblich auch ODZ berücksichtigt (dies ist die dritte Bedingung in den obigen Systemen). Außerdem ist es in diesem Fall möglich, die Positivität beider sublogarithmischer Ausdrücke nicht zu fordern, aber es reicht aus, nur die Positivität des kleineren von ihnen zu fordern.

Bei der Entscheidung logarithmische Ungleichungen mit einer Variablen in der Basis Logarithmus ist es notwendig, beide Optionen unabhängig voneinander zu berücksichtigen (wenn die Basis kleiner als eins und mehr als eins ist) und die Lösungen dieser Fälle zu einem Satz zu kombinieren. Gleichzeitig sollte man die ODZ nicht vergessen, d.h. über die Tatsache, dass sowohl die Basis als auch alle sublogarithmischen Ausdrücke positiv sein müssen. Also beim Lösen einer Ungleichung der Form:

Wir erhalten den folgenden Satz von Systemen:

Komplexere logarithmische Ungleichungen können auch durch einen Variablenwechsel gelöst werden. Einige andere logarithmische Ungleichungen (sowie logarithmische Gleichungen) erfordern das Verfahren, den Logarithmus beider Teile der Ungleichung oder Gleichung auf dieselbe Basis zu nehmen, um sie zu lösen. Bei der Durchführung eines solchen Verfahrens mit logarithmischen Ungleichungen gibt es also eine Feinheit. Beachten Sie, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert, wenn Sie einen Logarithmus mit einer Basis größer als eins nehmen, und wenn die Basis kleiner als eins ist, wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt.

Wenn die logarithmische Ungleichung nicht auf eine rationale reduziert oder durch Substitution gelöst werden kann, sollte man in diesem Fall anwenden verallgemeinerte Intervallmethode, das lautet wie folgt:

Bestimmen Sie die ODZ;
Ungleichung so transformieren, dass auf der rechten Seite Null steht (auf der linken Seite möglichst auf einen Nenner bringen, faktorisieren etc.);
Finden Sie alle Wurzeln des Zählers und des Nenners und tragen Sie sie auf den Zahlenstrahl, und wenn die Ungleichung nicht streng ist, übermalen Sie die Wurzeln des Zählers, aber lassen Sie auf jeden Fall die Wurzeln des Nenners als Punkte;
Finden Sie das Vorzeichen des gesamten Ausdrucks in jedem der Intervalle, indem Sie eine Zahl aus dem gegebenen Intervall in die transformierte Ungleichung einsetzen. Gleichzeitig ist es nicht mehr möglich, Vorzeichen in irgendeiner Weise zu wechseln, indem man Punkte auf der Achse durchläuft. Es ist notwendig, das Vorzeichen des Ausdrucks für jedes Intervall zu bestimmen, indem der Wert aus dem Intervall in diesen Ausdruck eingesetzt wird, und so weiter für jedes Intervall. Es gibt keinen anderen Weg (das ist im Großen und Ganzen der Unterschied zwischen der verallgemeinerten Methode der Intervalle und der üblichen);
Finden Sie den Schnittpunkt der ODZ und die Intervalle, die die Ungleichung erfüllen, ohne einzelne Punkte zu verlieren, die die Ungleichung erfüllen (Zählerwurzeln in nicht strengen Ungleichungen), und vergessen Sie nicht, alle Nennerwurzeln in allen Ungleichungen von der Antwort auszuschließen.

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Wie bereitet man sich erfolgreich auf das CT in Physik und Mathematik vor?

Um sich erfolgreich auf das CT in Physik und Mathematik vorzubereiten, müssen unter anderem drei entscheidende Voraussetzungen erfüllt sein:

Studieren Sie alle Themen und erledigen Sie alle Tests und Aufgaben, die in den Lernmaterialien auf dieser Website angegeben sind. Dazu brauchen Sie gar nichts, nämlich: sich täglich drei bis vier Stunden auf das CT in Physik und Mathematik vorzubereiten, Theorie zu studieren und Probleme zu lösen. Fakt ist, dass das CT eine Prüfung ist, bei der es nicht ausreicht, nur Physik oder Mathematik zu können, man muss sie auch schnell und fehlerfrei lösen können große Menge Aufgaben zu unterschiedlichen Themen und unterschiedlicher Komplexität. Letzteres kann nur durch das Lösen tausender Probleme gelernt werden.
Lernen Sie alle Formeln und Gesetze in der Physik und Formeln und Methoden in der Mathematik. Tatsächlich ist es auch sehr einfach, es gibt nur etwa 200 notwendige Formeln in der Physik und noch etwas weniger in der Mathematik. In jedem dieser Fächer gibt es etwa ein Dutzend Standardmethoden zur Lösung von Problemen einer grundlegenden Komplexitätsstufe, die auch erlernt werden können und so ganz automatisch und problemlos den größten Teil der digitalen Transformation zum richtigen Zeitpunkt lösen. Danach müssen Sie nur noch an die schwierigsten Aufgaben denken.
Nehmen Sie an allen drei Phasen der Probenprüfung in Physik und Mathematik teil. Jedes RT kann zweimal besucht werden, um beide Optionen zu lösen. Auch beim DT ist neben der Fähigkeit, Probleme schnell und effizient zu lösen, sowie dem Wissen um Formeln und Methoden auch Zeit richtig einzuplanen, Kräfte zu verteilen und vor allem der Antwortbogen richtig auszufüllen, ohne die Anzahl der Antworten und Aufgaben oder Ihren eigenen Namen zu verwechseln. Außerdem ist es während des RT wichtig, sich an den Stil zu gewöhnen, Fragen in Aufgaben zu stellen, was einer unvorbereiteten Person im DT sehr ungewöhnlich erscheinen kann.

Die erfolgreiche, sorgfältige und verantwortungsbewusste Umsetzung dieser drei Punkte ermöglicht es Ihnen, ein hervorragendes Ergebnis auf dem CT zu zeigen, das Maximum dessen, was Sie können.

Fehler gefunden?

Wenn Sie, wie es Ihnen scheint, einen Fehler in den Schulungsunterlagen gefunden haben, schreiben Sie bitte per E-Mail darüber. Sie können auch über den Fehler im sozialen Netzwerk schreiben (). Geben Sie im Schreiben das Fach (Physik oder Mathematik), den Namen oder die Nummer des Themas oder Tests, die Nummer der Aufgabe oder die Stelle im Text (Seite) an, an der Ihrer Meinung nach ein Fehler vorliegt. Beschreiben Sie auch den angeblichen Fehler. Ihr Schreiben bleibt nicht unbemerkt, der Fehler wird entweder korrigiert oder Ihnen wird erklärt, warum es sich nicht um einen Fehler handelt.

Glaubst du, dass bis zur Prüfung noch Zeit ist und du Zeit haben wirst, dich vorzubereiten? Vielleicht ist das so. Aber in jedem Fall gilt: Je früher der Student mit der Ausbildung beginnt, desto erfolgreicher besteht er die Prüfungen. Heute haben wir uns entschieden, den logarithmischen Ungleichungen einen Artikel zu widmen. Dies ist eine der Aufgaben, was eine Möglichkeit bedeutet, einen Extrapunkt zu bekommen.

Weißt du schon, was ein Logarithmus (log) ist? Wir hoffen es sehr. Aber auch wenn Sie auf diese Frage keine Antwort haben, ist das kein Problem. Es ist sehr einfach zu verstehen, was ein Logarithmus ist.

Warum genau 4? Sie müssen die Zahl 3 zu einer solchen Potenz erheben, um 81 zu erhalten. Wenn Sie das Prinzip verstanden haben, können Sie mit komplexeren Berechnungen fortfahren.

Sie haben die Ungleichheiten vor ein paar Jahren durchgemacht. Und seitdem begegnet man ihnen ständig in der Mathematik. Wenn Sie Probleme beim Lösen von Ungleichungen haben, sehen Sie sich den entsprechenden Abschnitt an.
Jetzt, wenn wir die Begriffe gesondert kennengelernt haben, werden wir zu ihrer Betrachtung im Allgemeinen übergehen.

Die einfachste logarithmische Ungleichung.

Die einfachsten logarithmischen Ungleichungen sind nicht auf dieses Beispiel beschränkt, es gibt noch drei weitere, nur mit unterschiedlichen Vorzeichen. Warum wird das benötigt? Um besser zu verstehen, wie man Ungleichungen mit Logarithmen löst. Jetzt geben wir ein anwendbareres Beispiel, immer noch recht einfach, wir verschieben komplexe logarithmische Ungleichungen auf später.

Wie man es löst? Alles beginnt mit ODZ. Sie sollten mehr darüber wissen, wenn Sie jede Ungleichung immer einfach lösen möchten.

Was ist ODZ? DPV für logarithmische Ungleichungen

Die Abkürzung steht für den Bereich der gültigen Werte. In Aufgaben für die Prüfung taucht diese Formulierung oft auf. DPV hilft Ihnen nicht nur bei logarithmischen Ungleichungen.

Betrachten Sie noch einmal das obige Beispiel. Wir werden die ODZ darauf basierend betrachten, damit Sie das Prinzip verstehen und die Lösung logarithmischer Ungleichungen keine Fragen aufwirft. Aus der Definition des Logarithmus folgt, dass 2x+4 größer als Null sein muss. In unserem Fall bedeutet dies Folgendes.

Diese Zahl muss per Definition positiv sein. Lösen Sie die oben dargestellte Ungleichung. Dies kann sogar mündlich erfolgen, hier ist klar, dass X nicht kleiner als 2 sein kann. Die Lösung der Ungleichung wird die Definition des Bereichs akzeptabler Werte sein.
Kommen wir nun zur Lösung der einfachsten logarithmischen Ungleichung.

Wir verwerfen die Logarithmen selbst von beiden Teilen der Ungleichung. Was bleibt uns dabei übrig? einfache Ungleichheit.

Es ist einfach zu lösen. X muss größer als -0,5 sein. Jetzt kombinieren wir die beiden erhaltenen Werte in das System. Auf diese Weise,

Dies ist der Bereich zulässiger Werte für die betrachtete logarithmische Ungleichung.

Warum wird ODZ überhaupt benötigt? Dies ist eine Gelegenheit, falsche und unmögliche Antworten auszusortieren. Wenn die Antwort nicht im Bereich akzeptabler Werte liegt, ergibt die Antwort einfach keinen Sinn. Daran sollte man sich lange erinnern, da in der Prüfung oft nach ODZ gesucht werden muss und es sich nicht nur um logarithmische Ungleichungen handelt.

Algorithmus zur Lösung der logarithmischen Ungleichung

Die Lösung besteht aus mehreren Schritten. Zuerst ist es notwendig, den Bereich akzeptabler Werte zu finden. Es wird zwei Werte im ODZ geben, das haben wir oben berücksichtigt. Der nächste Schritt besteht darin, die Ungleichung selbst zu lösen. Die Lösungsmethoden sind wie folgt:

Multiplikator-Ersetzungsverfahren;
Zersetzung;
Rationalisierungsmethode.

Je nach Situation sollte eine der oben genannten Methoden verwendet werden. Kommen wir direkt zur Lösung. Wir werden die beliebteste Methode aufzeigen, die in fast allen Fällen zur Lösung von USE-Aufgaben geeignet ist. Als nächstes betrachten wir die Zerlegungsmethode. Es kann hilfreich sein, wenn Sie auf eine besonders "knifflige" Ungleichung stoßen. Also der Algorithmus zur Lösung der logarithmischen Ungleichung.

Lösungsbeispiele :

Es ist nicht umsonst, dass wir genau eine solche Ungleichheit genommen haben! Achten Sie auf die Basis. Denken Sie daran: Wenn es größer als eins ist, bleibt das Vorzeichen beim Finden des Bereichs gültiger Werte gleich; Andernfalls muss das Ungleichheitszeichen geändert werden.

Als Ergebnis erhalten wir die Ungleichung:

Nun bringen wir die linke Seite auf die Form der Gleichung gleich Null. Anstelle des „kleiner als“-Zeichens setzen wir „gleich“, wir lösen die Gleichung. So finden wir die ODZ. Wir hoffen, dass Sie keine Probleme haben, eine so einfache Gleichung zu lösen. Die Antworten sind -4 und -2. Das ist nicht alles. Sie müssen diese Punkte auf dem Diagramm anzeigen, indem Sie "+" und "-" platzieren. Was muss dafür getan werden? Ersetzen Sie Zahlen aus den Intervallen in den Ausdruck. Wo die Werte positiv sind, setzen wir dort "+".

Antworten: x kann nicht größer als -4 und kleiner als -2 sein.

Wir haben den Bereich gültiger Werte nur für die linke Seite gefunden, jetzt müssen wir den Bereich gültiger Werte für die rechte Seite finden. Das ist keineswegs einfacher. Antwort: -2. Wir schneiden beide empfangenen Bereiche.

Und erst jetzt beginnen wir, die Ungleichung selbst zu lösen.

Vereinfachen wir es so weit wie möglich, um die Entscheidung zu erleichtern.

Bei der Lösung verwenden wir wieder die Intervallmethode. Überspringen wir die Berechnungen, bei ihm ist bereits alles aus dem vorherigen Beispiel klar. Antworten.

Aber diese Methode ist geeignet, wenn die logarithmische Ungleichung die gleichen Basen hat.

Das Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen mit unterschiedlichen Basen erfordert eine anfängliche Reduktion auf eine Basis. Verwenden Sie dann die obige Methode. Aber es gibt auch einen komplizierteren Fall. Betrachten Sie eine der komplexesten Arten von logarithmischen Ungleichungen.

Logarithmische Ungleichungen mit variabler Basis

Wie löst man Ungleichungen mit solchen Merkmalen? Ja, und solche können in der Prüfung gefunden werden. Das Lösen von Ungleichheiten auf folgende Weise wird sich auch positiv auf Ihren Bildungsprozess auswirken. Sehen wir uns das Problem im Detail an. Lassen Sie die Theorie beiseite und gehen Sie direkt in die Praxis. Um logarithmische Ungleichungen zu lösen, genügt es, sich einmal mit dem Beispiel vertraut zu machen.

Um die logarithmische Ungleichung der dargestellten Form zu lösen, ist es notwendig, die rechte Seite auf den Logarithmus mit derselben Basis zu reduzieren. Das Prinzip ähnelt äquivalenten Übergängen. Als Ergebnis sieht die Ungleichung so aus.

Eigentlich bleibt es, ein System von Ungleichungen ohne Logarithmen zu schaffen. Mit der Rationalisierungsmethode gelangen wir zu einem äquivalenten Ungleichungssystem. Sie werden die Regel selbst verstehen, wenn Sie die entsprechenden Werte ersetzen und ihre Änderungen verfolgen. Das System weist die folgenden Ungleichungen auf.

Wenn Sie die Rationalisierungsmethode beim Lösen von Ungleichungen verwenden, müssen Sie Folgendes beachten: Sie müssen eins von der Basis subtrahieren, x wird per Definition des Logarithmus von beiden Teilen der Ungleichung (rechts von links) subtrahiert, den beiden Ausdrücke werden multipliziert und unter dem ursprünglichen Vorzeichen relativ zu Null gesetzt.

Die weitere Lösung erfolgt nach der Intervallmethode, hier ist alles einfach. Es ist wichtig, dass Sie die Unterschiede in den Lösungsmethoden verstehen, dann wird alles leicht funktionieren.

Es gibt viele Nuancen in logarithmischen Ungleichungen. Die einfachsten von ihnen sind leicht genug zu lösen. Wie schafft man es, jeden von ihnen ohne Probleme zu lösen? Alle Antworten haben Sie bereits in diesem Artikel erhalten. Jetzt haben Sie eine lange Übung vor sich. Üben Sie ständig, verschiedene Probleme innerhalb der Prüfung zu lösen, und Sie werden in der Lage sein, die höchste Punktzahl zu erzielen. Viel Erfolg bei Ihrer schwierigen Arbeit!

Bei ihnen sind Logarithmen drinnen.

Beispiele:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

So lösen Sie logarithmische Ungleichungen:

Jede logarithmische Ungleichung sollte auf die Form \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) reduziert werden (Symbol \(˅\) bedeutet irgendeines von ). Diese Form ermöglicht es uns, Logarithmen und ihre Basen loszuwerden, indem wir zur Ungleichung von Ausdrücken unter Logarithmen übergehen, dh zur Form \(f(x) ˅ g(x)\).

Aber bei diesem Übergang gibt es eine sehr wichtige Feinheit:
\(-\) wenn - eine Zahl und größer als 1 - das Ungleichheitszeichen beim Übergang gleich bleibt,
\(-\) ist die Basis eine Zahl größer als 0, aber kleiner als 1 (zwischen null und eins), dann muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden, d.h.

Beispiele:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(x<8\)

Entscheidung:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
Antwort: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ eins))\)
ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\)
\(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\)

Entscheidung:
\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Antwort: \((2;5]\)

Sehr wichtig! Bei jeder Ungleichung kann der Übergang von der Form \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) zum Vergleich von Ausdrücken unter Logarithmen nur erfolgen, wenn:

Beispiel . Lösen Sie die Ungleichung: \(\log\)\(≤-1\)

Entscheidung:

\(\Protokoll\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Lassen Sie uns die ODZ ausschreiben.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Wir öffnen die Klammern, geben .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Wir multiplizieren die Ungleichung mit \(-1\) und denken daran, das Vergleichszeichen umzukehren.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Wir bauen einen Zahlenstrahl und markieren darauf die Punkte \(\frac(7)(3)\) und \(\frac(3)(2)\). Beachten Sie, dass der Punkt vom Nenner punktiert wird, obwohl die Ungleichung nicht streng ist. Tatsache ist, dass dieser Punkt keine Lösung sein wird, da er uns beim Einsetzen in eine Ungleichung zur Division durch Null führen wird.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Nun zeichnen wir die ODZ auf derselben numerischen Achse auf und schreiben als Antwort das Intervall auf, das in die ODZ fällt.
	Schreiben Sie die endgültige Antwort auf.

Antworten: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Beispiel . Lösen Sie die Ungleichung: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)