Die Verteilungsfunktion enthält vollständige Informationen über die Zufallsvariable. In der Praxis lässt sich die Verteilungsfunktion nicht immer feststellen; manchmal ist solch umfassendes Wissen nicht erforderlich. Teilinformationen über eine Zufallsvariable werden durch numerische Merkmale gegeben, die je nach Art der Information in folgende Gruppen eingeteilt werden.
1. Eigenschaften der Position einer Zufallsvariablen auf der Zahlenachse (Modus Mo, Median Mir, erwarteter Wert M(X)).
2. Eigenschaften der Streuung einer Zufallsvariablen um den Mittelwert (Streuung D(X), Standardabweichung σ( X)).
3. Eigenschaften der Kurvenform j = φ( x) (Asymmetrie Wie, Kurtosis Ex).
Lassen Sie uns einen genaueren Blick auf jedes dieser Merkmale werfen.
Erwarteter Wert zufällige Variable X gibt einen Durchschnittswert an, um den alle möglichen Werte gruppiert sind X. Für eine diskrete Zufallsvariable, die nur endlich viele mögliche Werte annehmen kann, ist die mathematische Erwartung die Summe der Produkte aller möglichen Werte der Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeit dieser Werte:
. (2.4)
Für eine stetige Zufallsvariable X, die eine gegebene Verteilungsdichte φ( x) ist die mathematische Erwartung das folgende Integral:
. (2.5)
Dabei wird angenommen, dass das uneigentliche Integral absolut konvergiert, d.h. existiert.
Eigenschaften der mathematischen Erwartung:
1. FRAU) = C, wo AUS = konst;
2. M (C∙X) = C∙M(X);
3. M(X ± Y) = M(X) ± MEIN), wo X und Y– beliebige Zufallsvariablen;
4. M(X∙Y)=M(X)∙MEIN), wo X und Y sind unabhängige Zufallsvariablen.
Es werden zwei Zufallsvariablen aufgerufen unabhängig , wenn das Verteilungsrecht des einen nicht davon abhängt, welche möglichen Werte der andere Wert angenommen hat.
Mode diskrete Zufallsvariable, bezeichnet Mo, wird ihr wahrscheinlichster Wert genannt (Abb. 2.3), und der Modus einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist der Wert, bei dem die Wahrscheinlichkeitsdichte maximal ist (Abb. 2.4).



Reis. 2.3 Abb. 2.4
Median stetige Zufallsvariable X sein Wert Me heißt ein solcher, für den es gleich wahrscheinlich ist, ob die Zufallsvariable kleiner oder größer ausfallen wird Mir, d.h.
P(X < Me) = P(X > Mir)
Aus der Definition des Medians folgt dies P(X<Mir) = 0,5, d.h. F (Mir) = 0,5. Geometrisch kann der Median als Abszisse interpretiert werden, in der die Ordinate φ( x) halbiert die durch die Verteilungskurve begrenzte Fläche (Abb. 2.5). Bei einer symmetrischen Verteilung stimmt der Median mit dem Modus und dem mathematischen Erwartungswert überein (Abb. 2.6).

Reis. 2.5 Abb. 2.6

Streuung.

Varianz einer Zufallsvariablen- ein Maß für die Streuung einer bestimmten Zufallsvariablen, dh ihre Abweichung von der mathematischen Erwartung. Bezeichnet D[X] in der russischen Literatur und (engl. Varianz) im Ausland. In der Statistik wird häufig die Bezeichnung oder verwendet. Die Quadratwurzel der Varianz, gleich , wird als Standardabweichung, Standardabweichung oder Standardstreuung bezeichnet. Die Standardabweichung wird in denselben Einheiten gemessen wie die Zufallsvariable selbst, und die Varianz wird in den Quadraten dieser Einheit gemessen.

Aus der Chebyshev-Ungleichung folgt, dass sich eine Zufallsvariable um mehr als von ihrem mathematischen Erwartungswert entfernt k Standardabweichungen mit Wahrscheinlichkeit kleiner als 1/ k². So weicht beispielsweise eine Zufallsvariable in mindestens 75 % der Fälle um nicht mehr als zwei Standardabweichungen von ihrem Mittelwert ab und in etwa 89 % um nicht mehr als drei.

Streuung Zufallsvariable wird die mathematische Erwartung des Quadrats ihrer Abweichung von der mathematischen Erwartung genannt
D(X) = M(X –M(X)) 2 .
Varianz einer Zufallsvariablen X Es ist bequem, nach der Formel zu berechnen:
a) für eine diskrete Größe
; (2.6)
b) für eine kontinuierliche Zufallsvariable
j( X)d x – 2 . (2.7)
Die Dispersion hat folgende Eigenschaften:
1. D (C) = 0, wobei AUS = konst;
2. D (C× X) = C 2 ∙ D(X);
3. D(X± Y) = D(X) + D(Y), wenn X und Y unabhängige Zufallsvariablen.
Standardabweichung zufällige Variable X heißt die arithmetische Wurzel der Varianz, d.h.
σ( X) = .
Beachten Sie, dass die Dimension σ( X) stimmt mit der Dimension der Zufallsvariablen selbst überein X, daher ist die Standardabweichung für die Charakterisierung der Streuung geeigneter.
Eine Verallgemeinerung der wichtigsten numerischen Eigenschaften von Zufallsvariablen ist das Konzept der Momente einer Zufallsvariablen.
Das Anfangsmoment der k-ten Ordnung α k zufällige Variable X heißt mathematischer Erwartungswert der Größe Xk, d.h. a k = M(X k).
Das Anfangsmoment erster Ordnung ist der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen.
Das zentrale Moment der k-ten Ordnung μ k zufällige Variable X heißt der mathematische Erwartungswert der Größe ( X–M(X))k, d.h. μ k = M(X–M(X))k.
Das zentrale Moment zweiter Ordnung ist die Varianz der Zufallsvariablen.
Für eine diskrete Zufallsvariable wird das Anfangsmoment durch die Summe α ausgedrückt k= , und die mittlere ist die Summe μ k = wo p ich = p(X=x ich). Für die Anfangs- und Zentralmomente einer kontinuierlichen Zufallsvariablen können die folgenden Gleichungen erhalten werden:
α k = ,  μ k = ,
wo φ( x) ist die Verteilungsdichte der Zufallsvariablen X.
Wert Wie= μ 3 / σ 3 heißt Asymmetriekoeffizient .
Ist der Asymmetriekoeffizient negativ, so deutet dies auf einen großen Einfluss auf den Wert von m 3 negativer Abweichungen hin. In diesem Fall ist die Verteilungskurve (Abb. 2.7) links flacher M(X). Ist der Koeffizient As positiv, überwiegt also der Einfluss positiver Abweichungen, dann ist die Verteilungskurve (Abb. 2.7) rechts flacher. In der Praxis wird das Vorzeichen der Asymmetrie durch die Lage der Verteilungskurve relativ zur Mode (Maximalpunkt der Differentialfunktion) bestimmt.


Reis. 2.7
Kurtosis Ek heißt Menge
Ek\u003d μ 4 / σ 4 - 3.

Frage 24: Korrelation

Korrelation (Korrelationsabhängigkeit) - statistisches Verhältnis von zwei oder mehr Zufallsvariablen (oder Variablen, die mit einigermaßen akzeptabler Genauigkeit als solche betrachtet werden können). In diesem Fall gehen Änderungen der Werte einer oder mehrerer dieser Größen mit einer systematischen Änderung der Werte einer anderen oder anderer Größen einher. Das mathematische Maß für die Korrelation zweier Zufallsvariablen ist Korrelationsbeziehung, oder Korrelationskoeffizient (oder ) . Führt eine Änderung einer Zufallsvariablen nicht zu einer regulären Änderung einer anderen Zufallsvariablen, sondern zu einer Änderung eines anderen statistischen Merkmals dieser Zufallsvariablen, so gilt ein solcher Zusammenhang nicht als Korrelation, obwohl er statistisch ist.

Erstmals wurde der Begriff „Korrelation“ im 18. Jahrhundert von dem französischen Paläontologen Georges Cuvier in die wissenschaftliche Zirkulation eingeführt. Er entwickelte das "Gesetz der Korrelation" von Teilen und Organen von Lebewesen, mit dessen Hilfe es möglich ist, das Aussehen eines fossilen Tieres wiederherzustellen, das nur über einen Teil seiner Überreste verfügt. In der Statistik wurde das Wort „Korrelation“ erstmals Ende des 19. Jahrhunderts von dem englischen Biologen und Statistiker Francis Galton verwendet.

Einige Arten von Korrelationskoeffizienten können positiv oder negativ sein (es ist auch möglich, dass es keine statistische Beziehung gibt - zum Beispiel für unabhängige Zufallsvariablen). Geht man davon aus, dass auf die Werte der Variablen eine strikte Ordnungsrelation gegeben ist, dann negative Korrelation- Korrelation, bei der eine Zunahme einer Variablen mit einer Abnahme einer anderen Variablen einhergeht, wobei der Korrelationskoeffizient negativ sein kann; positive Korrelation unter solchen Bedingungen eine Korrelation, bei der ein Anstieg einer Variablen mit einem Anstieg einer anderen Variablen verbunden ist, während der Korrelationskoeffizient positiv sein kann.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein spezieller Zweig der Mathematik, der nur von Studenten höherer Bildungseinrichtungen studiert wird. Du liebst Berechnungen und Formeln? Haben Sie keine Angst vor der Bekanntschaft mit der Normalverteilung, der Entropie des Ensembles, der mathematischen Erwartung und der Varianz einer diskreten Zufallsvariablen? Dann ist dieses Thema für Sie von großem Interesse. Machen wir uns mit einigen der wichtigsten Grundkonzepte dieses Teils der Wissenschaft vertraut.

Erinnern wir uns an die Grundlagen

Auch wenn Sie sich an die einfachsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie erinnern, vernachlässigen Sie nicht die ersten Absätze des Artikels. Tatsache ist, dass Sie ohne ein klares Verständnis der Grundlagen nicht mit den unten besprochenen Formeln arbeiten können.

Es gibt also ein zufälliges Ereignis, ein Experiment. Als Ergebnis der durchgeführten Aktionen können wir mehrere Ergebnisse erzielen - einige davon sind häufiger, andere weniger häufig. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der tatsächlich erzielten Ergebnisse eines Typs zur Gesamtzahl der möglichen. Nur wenn Sie die klassische Definition dieses Konzepts kennen, können Sie damit beginnen, die mathematische Erwartung und Streuung kontinuierlicher Zufallsvariablen zu untersuchen.

Arithmetische Mittel

Schon in der Schule, im Mathematikunterricht, haben Sie angefangen, mit dem arithmetischen Mittel zu arbeiten. Dieses Konzept ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie weit verbreitet und kann daher nicht ignoriert werden. Für uns ist im Moment vor allem, dass wir ihm in den Formeln für den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen begegnen werden.

Wir haben eine Zahlenfolge und wollen das arithmetische Mittel finden. Alles, was von uns verlangt wird, ist, alles Verfügbare zu summieren und durch die Anzahl der Elemente in der Folge zu dividieren. Angenommen, wir haben Zahlen von 1 bis 9. Die Summe der Elemente ist 45, und wir teilen diesen Wert durch 9. Antwort: - 5.

Streuung

Varianz ist wissenschaftlich ausgedrückt das mittlere Quadrat der Abweichungen der erhaltenen Merkmalswerte vom arithmetischen Mittel. Einer wird mit einem großen lateinischen Buchstaben D bezeichnet. Was wird benötigt, um ihn zu berechnen? Für jedes Element der Folge berechnen wir die Differenz zwischen der verfügbaren Zahl und dem arithmetischen Mittel und quadrieren sie. Es wird genau so viele Werte geben, wie es Ergebnisse für das Ereignis geben kann, das wir in Betracht ziehen. Als nächstes fassen wir alles Empfangene zusammen und dividieren durch die Anzahl der Elemente in der Sequenz. Wenn wir fünf mögliche Ergebnisse haben, teilen Sie durch fünf.

Die Varianz hat auch Eigenschaften, die Sie sich merken müssen, um sie beim Lösen von Problemen anzuwenden. Wenn beispielsweise die Zufallsvariable um das X-fache erhöht wird, erhöht sich die Varianz um das X-fache des Quadrats (d. h. X*X). Sie ist nie kleiner als Null und hängt nicht davon ab, Werte um einen gleichen Wert nach oben oder unten zu verschieben. Außerdem ist bei unabhängigen Versuchen die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen.

Jetzt müssen wir unbedingt Beispiele für die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen und den mathematischen Erwartungswert betrachten.

Nehmen wir an, wir führen 21 Experimente durch und erhalten 7 verschiedene Ergebnisse. Wir haben sie jeweils 1, 2, 2, 3, 4, 4 und 5 Mal beobachtet. Was wird die Varianz sein?

Zuerst berechnen wir das arithmetische Mittel: Die Summe der Elemente ist natürlich 21. Wir teilen es durch 7 und erhalten 3. Jetzt subtrahieren wir 3 von jeder Zahl in der ursprünglichen Folge, quadrieren jeden Wert und addieren die Ergebnisse . Es stellt sich heraus 12. Jetzt müssen wir die Zahl durch die Anzahl der Elemente teilen, und das scheint alles zu sein. Aber es gibt einen Haken! Lassen Sie uns darüber diskutieren.

Abhängigkeit von der Anzahl der Experimente

Es stellt sich heraus, dass bei der Berechnung der Varianz der Nenner eine von zwei Zahlen sein kann: entweder N oder N-1. Hier ist N die Anzahl der durchgeführten Experimente oder die Anzahl der Elemente in der Sequenz (was im Wesentlichen dasselbe ist). Wovon hängt es ab?

Wenn die Anzahl der Tests in Hunderten gemessen wird, müssen wir N in den Nenner setzen, wenn in Einheiten, dann N-1. Die Wissenschaftler haben sich entschieden, die Grenze ganz symbolisch zu ziehen: Heute verläuft sie entlang der Zahl 30. Wenn wir weniger als 30 Experimente durchgeführt haben, teilen wir die Menge durch N-1, und wenn mehr, dann durch N.

Eine Aufgabe

Kehren wir zu unserem Beispiel zur Lösung des Varianz- und Erwartungsproblems zurück. Wir haben eine Zwischenzahl von 12 erhalten, die durch N oder N-1 geteilt werden musste. Da wir 21 Experimente durchgeführt haben, also weniger als 30, wählen wir die zweite Option. Die Antwort lautet also: Die Varianz ist 12 / 2 = 2.

Erwarteter Wert

Kommen wir zum zweiten Konzept, das wir in diesem Artikel berücksichtigen müssen. Die mathematische Erwartung ist das Ergebnis der Addition aller möglichen Ergebnisse multipliziert mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Es ist wichtig zu verstehen, dass der resultierende Wert sowie das Ergebnis der Varianzberechnung nur einmal für die gesamte Aufgabe erhalten wird, unabhängig davon, wie viele Ergebnisse berücksichtigt werden.

Die mathematische Erwartungsformel ist ganz einfach: Wir nehmen das Ergebnis, multiplizieren es mit seiner Wahrscheinlichkeit, addieren dasselbe für das zweite, dritte Ergebnis usw. Alles, was mit diesem Konzept zusammenhängt, ist einfach zu berechnen. Beispielsweise ist die Summe der mathematischen Erwartungen gleich der mathematischen Erwartung der Summe. Gleiches gilt für die Arbeit. Nicht jede Größe in der Wahrscheinlichkeitstheorie erlaubt es, solch einfache Operationen durchzuführen. Nehmen wir eine Aufgabe und berechnen den Wert von zwei Konzepten, die wir untersucht haben, gleichzeitig. Außerdem wurden wir von der Theorie abgelenkt – es ist Zeit für die Praxis.

Noch ein Beispiel

Wir führten 50 Versuche durch und erhielten 10 Arten von Ergebnissen – Zahlen 0 bis 9 – die in unterschiedlichen Prozentsätzen auftraten. Diese sind jeweils: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Denken Sie daran, dass Sie die Prozentwerte durch 100 teilen müssen, um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten. Wir erhalten also 0,02; 0,1 usw. Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems für die Varianz einer Zufallsvariablen und den mathematischen Erwartungswert vorstellen.

Den arithmetischen Mittelwert berechnen wir mit der Formel, die wir aus der Grundschule kennen: 50/10 = 5.

Lassen Sie uns nun die Wahrscheinlichkeiten in die Anzahl der Ergebnisse "in Stücken" übersetzen, um das Zählen zu vereinfachen. Wir erhalten 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 und 9. Subtrahieren Sie das arithmetische Mittel von jedem erhaltenen Wert, danach quadrieren wir jedes der erhaltenen Ergebnisse. Sehen Sie, wie das am Beispiel des ersten Elements geht: 1 - 5 = (-4). Weiter: (-4) * (-4) = 16. Für andere Werte führen Sie diese Operationen selbst durch. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, erhalten Sie nach dem Hinzufügen von allem 90.

Fahren wir mit der Berechnung der Varianz und des Mittelwerts fort, indem wir 90 durch N dividieren. Warum wählen wir N und nicht N-1? Das ist richtig, denn die Anzahl der durchgeführten Experimente übersteigt 30. Also: 90/10 = 9. Wir haben die Streuung. Wenn Sie eine andere Nummer erhalten, verzweifeln Sie nicht. Höchstwahrscheinlich ist Ihnen bei den Berechnungen ein banaler Fehler unterlaufen. Überprüfen Sie noch einmal, was Sie geschrieben haben, und sicher wird alles zusammenpassen.

Erinnern wir uns abschließend an die mathematische Erwartungsformel. Wir geben nicht alle Berechnungen an, wir schreiben nur die Antwort, mit der Sie nach Abschluss aller erforderlichen Verfahren überprüfen können. Der erwartete Wert beträgt 5,48. Wir erinnern uns nur am Beispiel der ersten Elemente, wie Operationen durchgeführt werden: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... und so weiter. Wie Sie sehen können, multiplizieren wir einfach den Wert des Ergebnisses mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Abweichung

Ein weiteres Konzept, das eng mit Streuung und mathematischer Erwartung verwandt ist, ist die Standardabweichung. Es wird entweder mit den lateinischen Buchstaben sd oder mit dem griechischen Kleinbuchstaben „sigma“ bezeichnet. Dieses Konzept zeigt, wie die Werte im Durchschnitt vom zentralen Merkmal abweichen. Um seinen Wert zu finden, müssen Sie die Quadratwurzel der Varianz berechnen.

Wenn Sie eine Normalverteilung grafisch darstellen und direkt darauf die quadrierte Abweichung sehen möchten, kann dies in mehreren Schritten erfolgen. Nehmen Sie die Hälfte des Bildes links oder rechts vom Modus (Mittelwert) und zeichnen Sie eine Senkrechte zur horizontalen Achse, sodass die Flächen der resultierenden Figuren gleich sind. Der Wert des Segments zwischen der Mitte der Verteilung und der resultierenden Projektion auf der horizontalen Achse ist die Standardabweichung.

Software

Wie aus den Beschreibungen der Formeln und den vorgestellten Beispielen ersichtlich ist, ist die Berechnung der Varianz und des mathematischen Erwartungswerts aus arithmetischer Sicht nicht das einfachste Verfahren. Um keine Zeit zu verschwenden, ist es sinnvoll, das in der Hochschulbildung verwendete Programm zu verwenden - es heißt "R". Es verfügt über Funktionen, mit denen Sie Werte für viele Konzepte aus Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie berechnen können.

Beispielsweise definieren Sie einen Wertevektor. Dies geschieht wie folgt: Vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Abschließend

Streuung und mathematische Erwartung sind ohne die es schwierig ist, etwas in der Zukunft zu berechnen. Im Hauptstudium an Universitäten werden sie bereits in den ersten Monaten des Fachstudiums berücksichtigt. Gerade wegen des mangelnden Verständnisses dieser einfachen Konzepte und der Unfähigkeit, sie zu berechnen, geraten viele Studenten im Programm sofort ins Hintertreffen und erhalten später schlechte Noten in der Sitzung, was ihnen Stipendien vorenthält.

Üben Sie mindestens eine Woche lang eine halbe Stunde am Tag und lösen Sie ähnliche Aufgaben wie die in diesem Artikel vorgestellten. Dann kommen Sie bei jedem Wahrscheinlichkeitstheorie-Test mit Beispielen ohne überflüssige Tipps und Spickzettel zurecht.

Jeder einzelne Wert wird vollständig durch seine Verteilungsfunktion bestimmt. Um praktische Probleme zu lösen, reicht es auch aus, mehrere numerische Merkmale zu kennen, dank derer es möglich wird, die Hauptmerkmale einer Zufallsvariablen in prägnanter Form darzustellen.

Diese Mengen sind in erster Linie erwarteter Wert und Streuung .

Erwarteter Wert- der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Bezeichnet als .

Im einfachsten Fall die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen X(w), werden als gefunden Integral-Lebesgue in Bezug auf das Wahrscheinlichkeitsmaß R Original Wahrscheinlichkeitsraum

Sie können auch die mathematische Erwartung eines Werts als finden Lebesgue-Integral aus X nach Wahrscheinlichkeitsverteilung R X Mengen X:

wobei die Menge aller möglichen Werte ist X.

Mathematische Erwartung von Funktionen aus einer Zufallsvariablen X erfolgt durch Verteilung R X. Zum Beispiel, wenn X- Zufallsvariable mit Werten in und f(x)- eindeutig BorelFunktion X , dann:

Wenn ein F(x)- Verteilungsfunktion X, dann ist die mathematische Erwartung darstellbar Integral-Lebesgue - Stieltjes (oder Riemann - Stieltjes):

während die Integrierbarkeit X im Sinne ( * ) entspricht der Endlichkeit des Integrals

In besonderen Fällen, wenn X hat eine diskrete Verteilung mit wahrscheinlichen Werten x k, k=1, 2, . , und Wahrscheinlichkeiten, dann

wenn X hat eine absolut stetige Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte p(x), dann

in diesem Fall entspricht die Existenz einer mathematischen Erwartung der absoluten Konvergenz der entsprechenden Reihe oder des Integrals.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung einer Zufallsvariablen.

• Die mathematische Erwartung eines konstanten Werts ist gleich diesem Wert:

C- konstant;

• M=C.M[X]

• Die mathematische Erwartung der Summe zufällig genommener Werte ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungen:

• Die mathematische Erwartung des Produkts unabhängiger Zufallsvariablen = das Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:

M=M[X]+M[Y]

wenn X und Y unabhängig.

wenn die Reihe konvergiert:

Algorithmus zur Berechnung des mathematischen Erwartungswertes.

Eigenschaften diskreter Zufallsvariablen: Alle ihre Werte können durch natürliche Zahlen neu nummeriert werden; jeden Wert mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null gleichsetzen.

1. Multiplizieren Sie die Paare der Reihe nach: x ich auf der Pi.

2. Addiere das Produkt jedes Paares x ich p ich.

Zum Beispiel, zum n = 4 :

Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen stufenweise steigt sie an den Stellen, deren Wahrscheinlichkeiten ein positives Vorzeichen haben, sprunghaft an.

Beispiel: Finden Sie die mathematische Erwartung durch die Formel.

Der mathematische Erwartungswert (Mittelwert) einer Zufallsvariablen X , gegeben auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum, ist die Zahl m =M[X]=∑x i p i , wenn die Reihe absolut konvergiert.

Dienstzuweisung. Mit einem Online-Service der mathematische Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung werden berechnet(siehe Beispiel). Zusätzlich wird ein Graph der Verteilungsfunktion F(X) aufgetragen.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung einer Zufallsvariablen

1. Die mathematische Erwartung eines konstanten Wertes ist gleich sich selbst: M[C]=C , C ist eine Konstante;
2. M=C M[X]
3. Der mathematische Erwartungswert der Summe der Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungswerte: M=M[X]+M[Y]
4. Die mathematische Erwartung des Produkts unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen: M=M[X] M[Y] falls X und Y unabhängig sind.

Dispersionseigenschaften

1. Die Streuung eines konstanten Wertes ist gleich Null: D(c)=0.
2. Der konstante Faktor lässt sich unter dem Dispersionszeichen durch Quadrieren abziehen: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Wenn die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind, dann ist die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Wenn die Zufallsvariablen X und Y abhängig sind: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Für die Varianz gilt die Rechenformel:
   D(X)=M(X2)-(M(X))2

Beispiel. Die mathematischen Erwartungswerte und Varianzen zweier unabhängiger Zufallsvariablen X und Y sind bekannt: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen Z=9X-8Y+7 .
Lösung. Basierend auf den Eigenschaften der mathematischen Erwartung: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Basierend auf den Dispersionseigenschaften: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algorithmus zur Berechnung des mathematischen Erwartungswertes

Eigenschaften diskreter Zufallsvariablen: Alle ihre Werte können durch natürliche Zahlen neu nummeriert werden; Weisen Sie jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu.

1. Multiplizieren Sie die Paare nacheinander: x i mit p i .
2. Wir addieren das Produkt jedes Paares x i p i .
   Zum Beispiel für n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen stufenweise steigt sie an den Stellen, deren Wahrscheinlichkeiten positiv sind, sprunghaft an.

Beispiel 1.

x ich	1	3	4	7	9
Pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Der mathematische Erwartungswert ergibt sich aus der Formel m = ∑x i p i .
Mathematischer Erwartungswert M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Die Streuung ergibt sich aus der Formel d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Streuung D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standardabweichung σ(x).
σ = Quadrat(D[X]) = Quadrat(7,69) = 2,78

Beispiel #2. Eine diskrete Zufallsvariable hat die folgende Verteilungsreihe:

X	-10	-5	0	5	10
R	a	0,32	2a	0,41	0,03

Finden Sie den Wert a , den mathematischen Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Zufallsvariablen.

Lösung. Der Wert a ergibt sich aus der Beziehung: Σp i = 1
Σpi = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 oder 0,24=3 a , womit a = 0,08

Beispiel #3. Bestimmen Sie das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen, wenn ihre Varianz bekannt ist, und x 1 x 1 = 6; x2=9; x3=x; x4=15
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Lösung.
Hier müssen Sie eine Formel zum Ermitteln der Varianz d (x) erstellen:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
wobei Erwartung m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Für unsere Daten
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
oder -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Dementsprechend ist es notwendig, die Wurzeln der Gleichung zu finden, und es wird zwei davon geben.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Wir wählen diejenige, die die Bedingung x 1 erfüllt x3=12

Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3

Mathematischer Erwartungswert und Varianz sind die am häufigsten verwendeten numerischen Merkmale einer Zufallsvariablen. Sie charakterisieren die wichtigsten Merkmale der Verteilung: ihre Position und ihren Streuungsgrad. Bei vielen Problemen der Praxis ist eine vollständige, erschöpfende Beschreibung einer Zufallsvariablen - des Verteilungsgesetzes - entweder gar nicht möglich oder gar nicht erforderlich. Sie beschränken sich in diesen Fällen auf die näherungsweise Beschreibung einer Zufallsvariablen durch numerische Merkmale.

Der mathematische Erwartungswert wird oft einfach als Durchschnittswert einer Zufallsvariablen bezeichnet. Die Streuung einer Zufallsvariablen ist ein Merkmal der Streuung, die Streuung einer Zufallsvariablen um ihre mathematische Erwartung.

Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

Nähern wir uns dem Konzept der mathematischen Erwartung, indem wir zunächst von der mechanischen Interpretation der Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen ausgehen. Die Einheitsmasse sei auf die Punkte der x-Achse verteilt x1 , x 2 , ..., x n, und jeder materielle Punkt hat eine ihm entsprechende Masse aus p1 , p 2 , ..., p n. Es ist erforderlich, einen Punkt auf der x-Achse auszuwählen, der die Position des gesamten Systems materieller Punkte unter Berücksichtigung ihrer Massen charakterisiert. Es liegt nahe, als solchen Punkt den Schwerpunkt des Systems materieller Punkte zu nehmen. Dies ist der gewichtete Durchschnitt der Zufallsvariablen X, in der die Abszisse jedes Punktes ist xich tritt mit einem "Gewicht" gleich der entsprechenden Wahrscheinlichkeit ein. Der so erhaltene Mittelwert der Zufallsvariablen X wird als mathematischer Erwartungswert bezeichnet.

Der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte:

Beispiel 1 Organisierte eine Win-Win-Lotterie. Es gibt 1000 Gewinne, von denen 400 jeweils 10 Rubel sind. 300 - 20 Rubel pro Stück 200 - 100 Rubel pro Stück. und jeweils 100 - 200 Rubel. Was ist der durchschnittliche Gewinn für eine Person, die ein Ticket kauft?

Lösung. Wir finden den durchschnittlichen Gewinn, wenn die Gesamtgewinnsumme, die 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 Rubel entspricht, durch 1000 dividiert wird (die Gesamtgewinnsumme). Dann bekommen wir 50000/1000 = 50 Rubel. Der Ausdruck zur Berechnung des durchschnittlichen Gewinns kann aber auch in folgender Form dargestellt werden:

Andererseits ist die Höhe des Gewinns unter diesen Bedingungen eine Zufallsvariable, die die Werte von 10, 20, 100 und 200 Rubel annehmen kann. mit Wahrscheinlichkeiten von jeweils 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Daher ist die erwartete durchschnittliche Auszahlung gleich der Summe der Produkte aus der Höhe der Auszahlungen und der Wahrscheinlichkeit, sie zu erhalten.

Beispiel 2 Der Verlag beschloss, ein neues Buch zu veröffentlichen. Er wird das Buch für 280 Rubel verkaufen, von denen 200 an ihn, 50 an die Buchhandlung und 30 an den Autor gehen. Die Tabelle gibt Auskunft über die Kosten für die Veröffentlichung eines Buches und die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Exemplaren des Buches zu verkaufen.

Ermitteln Sie den erwarteten Gewinn des Publishers.

Lösung. Die Zufallsvariable „Gewinn“ ist gleich der Differenz zwischen dem Erlös aus dem Verkauf und den Kosten der Kosten. Wenn beispielsweise 500 Exemplare eines Buches verkauft werden, betragen die Einnahmen aus dem Verkauf 200 * 500 = 100.000 und die Veröffentlichungskosten 225.000 Rubel. Damit droht dem Verlag ein Verlust von 125.000 Rubel. Die folgende Tabelle fasst die erwarteten Werte der Zufallsvariablen - Gewinn zusammen:

Nummer	Profitieren xich	Wahrscheinlichkeit pich	xich p ich
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Gesamt:		1,00	25000

Damit erhalten wir die mathematische Erwartung des Verlagsgewinns:

.

Beispiel 3 Chance, mit einem Schuss zu treffen p= 0,2. Bestimmen Sie den Verbrauch von Granaten, die die mathematische Erwartung einer Trefferzahl von 5 liefern.

Lösung. Aus derselben Erwartungsformel, die wir bisher verwendet haben, drücken wir aus x- Verbrauch von Muscheln:

.

Beispiel 4 Bestimmen Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen x Anzahl der Treffer bei drei Schüssen, wenn die Wahrscheinlichkeit, mit jedem Schuss zu treffen p = 0,4 .

Tipp: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit der Werte einer Zufallsvariablen heraus Bernoulli-Formel .

Erwartungseigenschaften

Betrachten Sie die Eigenschaften der mathematischen Erwartung.

Eigentum 1. Die mathematische Erwartung eines konstanten Werts ist gleich dieser Konstante:

Eigenschaft 2. Der konstante Faktor kann aus dem Erwartungszeichen herausgenommen werden:

Eigenschaft 3. Die mathematische Erwartung der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer mathematischen Erwartung:

Eigenschaft 4. Die mathematische Erwartung des Produkts von Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:

Eigenschaft 5. Wenn alle Werte der Zufallsvariablen X um die gleiche Zahl verringern (erhöhen). AUS, dann verringert (erhöht) sich seine mathematische Erwartung um dieselbe Zahl:

Wenn Sie sich nicht nur auf mathematische Erwartungen beschränken können

In den meisten Fällen kann nur die mathematische Erwartung eine Zufallsvariable nicht angemessen charakterisieren.

Lassen Sie Zufallsvariablen X und Y sind durch folgende Verteilungsgesetze gegeben:

Bedeutung X	Wahrscheinlichkeit
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Bedeutung Y	Wahrscheinlichkeit
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Die mathematischen Erwartungen dieser Größen sind die gleichen - gleich Null:

Ihre Verteilung ist jedoch unterschiedlich. Zufallswert X kann nur Werte annehmen, die sich geringfügig von der mathematischen Erwartung und der Zufallsvariablen unterscheiden Y kann Werte annehmen, die deutlich von der mathematischen Erwartung abweichen. Ein ähnliches Beispiel: Der Durchschnittslohn lässt keine Aussage über den Anteil von Hoch- und Niedrigverdienern zu. Mit anderen Worten, durch mathematische Erwartung kann man nicht beurteilen, welche Abweichungen davon zumindest im Durchschnitt möglich sind. Dazu müssen Sie die Varianz einer Zufallsvariablen ermitteln.

Streuung einer diskreten Zufallsvariablen

Streuung diskrete Zufallsvariable X heißt der mathematische Erwartungswert des Quadrats seiner Abweichung vom mathematischen Erwartungswert:

Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X ist der arithmetische Wert der Quadratwurzel seiner Varianz:

.

Beispiel 5 Berechnen Sie Varianzen und Standardabweichungen von Zufallsvariablen X und Y, deren Verteilungsgesetze in den obigen Tabellen angegeben sind.

Lösung. Mathematische Erwartungen an Zufallsvariablen X und Y, wie oben festgestellt, gleich Null sind. Nach der Dispersionsformel für E(X)=E(j)=0 erhalten wir:

Dann die Standardabweichungen von Zufallsvariablen X und Y bilden

.

Also bei gleichen mathematischen Erwartungen die Varianz der Zufallsvariablen X sehr klein und willkürlich Y- von Bedeutung. Dies ist eine Folge der unterschiedlichen Verteilung.

Beispiel 6 Der Investor hat 4 alternative Investitionsprojekte. Die Tabelle fasst die Daten zum erwarteten Gewinn in diesen Projekten mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit zusammen.

Projekt 1	Projekt 2	Projekt 3	Projekt 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Finden Sie für jede Alternative den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Lösung. Lassen Sie uns zeigen, wie diese Größen für die 3. Alternative berechnet werden:

Die Tabelle fasst die gefundenen Werte für alle Alternativen zusammen.

Alle Alternativen haben die gleiche mathematische Erwartung. Das bedeutet, dass langfristig alle das gleiche Einkommen haben. Die Standardabweichung kann als Risikomaß interpretiert werden – je größer sie ist, desto größer ist das Risiko der Investition. Ein Investor, der kein großes Risiko eingehen möchte, wird Projekt 1 wählen, weil es die kleinste Standardabweichung (0) hat. Wenn der Investor Risiko und hohe Renditen in kurzer Zeit bevorzugt, wählt er das Projekt mit der größten Standardabweichung - Projekt 4.

Dispersionseigenschaften

Lassen Sie uns die Eigenschaften der Dispersion darstellen.

Eigentum 1. Die Streuung eines konstanten Wertes ist Null:

Eigenschaft 2. Der konstante Faktor lässt sich aus dem Streuungszeichen herausnehmen, indem man ihn quadriert:

.

Eigenschaft 3. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist gleich der mathematischen Erwartung des Quadrats dieses Werts, von der das Quadrat der mathematischen Erwartung des Werts selbst abgezogen wird:

,

wo .

Eigenschaft 4. Die Varianz der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer Varianzen:

Beispiel 7 Es ist bekannt, dass eine diskrete Zufallsvariable X nimmt nur zwei Werte an: −3 und 7. Außerdem ist die mathematische Erwartung bekannt: E(X) = 4 . Finden Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen.

Lösung. Bezeichne mit p die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable einen Wert annimmt x1 = −3 . Dann die Wahrscheinlichkeit des Wertes x2 = 7 wird 1 − sein p. Lassen Sie uns die Gleichung für die mathematische Erwartung herleiten:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

woher wir die Wahrscheinlichkeiten bekommen: p= 0,3 und 1 − p = 0,7 .

Das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Die Varianz dieser Zufallsvariablen berechnen wir mit der Formel aus Eigenschaft 3 der Varianz:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Finden Sie selbst den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen und sehen Sie sich dann die Lösung an

Beispiel 8 Diskrete Zufallsvariable X nimmt nur zwei Werte an. Es nimmt den größeren Wert 3 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 an. Außerdem ist die Varianz der Zufallsvariablen bekannt D(X) = 6 . Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen.

Beispiel 9 Eine Urne enthält 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. 3 Kugeln werden aus der Urne genommen. Die Anzahl der weißen Kugeln unter den gezogenen Kugeln ist eine diskrete Zufallsvariable X. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen.

Lösung. Zufallswert X kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Daraus lassen sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten. Das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Daher die mathematische Erwartung dieser Zufallsvariablen:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Die Varianz einer gegebenen Zufallsvariablen ist:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Mathematische Erwartung und Streuung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Für eine kontinuierliche Zufallsvariable behält die mechanische Interpretation der mathematischen Erwartung die gleiche Bedeutung: der Massenschwerpunkt für eine Einheitsmasse, die kontinuierlich auf der x-Achse mit Dichte verteilt ist f(x). Im Gegensatz zu einer diskreten Zufallsvariablen, für die das Funktionsargument xichändert sich abrupt, bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ändert sich das Argument kontinuierlich. Aber auch der mathematische Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen hängt mit ihrem Mittelwert zusammen.

Um den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu finden, müssen Sie bestimmte Integrale finden . Ist eine Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen gegeben, so geht sie direkt in den Integranden ein. Wenn eine Wahrscgegeben ist, müssen Sie durch Differenzieren die Dichtefunktion finden.

Das arithmetische Mittel aller möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird als sein bezeichnet mathematische Erwartung, gekennzeichnet durch oder .