Und heute kann nicht jeder rationale Ungleichheiten lösen. Genauer gesagt, nicht nur jeder kann entscheiden. Nur wenige Menschen können es tun.
Klitschko

Diese Lektion wird hart. So hart, dass nur die Auserwählten das Ende erreichen werden. Daher empfehle ich vor dem Lesen, Frauen, Katzen, schwangere Kinder und ...

Okay, es ist eigentlich ganz einfach. Angenommen, Sie haben die Intervallmethode gemeistert (wenn Sie sie nicht beherrschen, empfehle ich Ihnen, zurückzugehen und sie zu lesen) und gelernt haben, wie man Ungleichungen der Form $P\left(x \right) \gt 0$ löst, wobei $P \left(x \right)$ ist ein Polynom oder Produkt von Polynomen.

Ich glaube, dass es Ihnen nicht schwer fallen wird, zum Beispiel ein solches Spiel zu lösen (versuchen Sie es übrigens zum Aufwärmen):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Lassen Sie uns nun die Aufgabe etwas komplizieren und nicht nur Polynome betrachten, sondern die sogenannten rationalen Brüche der Form:

wobei $P\left(x \right)$ und $Q\left(x \right)$ dieselben Polynome der Form $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, oder das Produkt solcher Polynome.

Dies wird eine rationale Ungleichheit sein. Der grundlegende Punkt ist das Vorhandensein der Variablen $x$ im Nenner. Hier sind zum Beispiel rationale Ungleichungen:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Und das ist keine rationale, sondern die häufigste Ungleichung, die mit der Intervallmethode gelöst wird:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Mit Blick auf die Zukunft sage ich gleich: Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, rationale Ungleichungen zu lösen, aber alle werden auf die eine oder andere Weise auf die uns bereits bekannte Methode der Intervalle reduziert. Bevor wir diese Methoden analysieren, erinnern wir uns daher an die alten Fakten, da das neue Material sonst keinen Sinn ergibt.

Was Sie bereits wissen müssen

Es gibt nicht viele wichtige Fakten. Wir brauchen wirklich nur vier.

Abgekürzte Multiplikationsformeln

Ja, ja: Sie werden uns während des gesamten Mathe-Lehrplans der Schule verfolgen. Und an der Uni auch. Es gibt einige dieser Formeln, aber wir brauchen nur die folgenden:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\richtig). \\ \end(align)\]

Achten Sie auf die letzten beiden Formeln - dies ist die Summe und Differenz von Kubikzahlen (und nicht die Kubikzahl der Summe oder Differenz!). Sie sind leicht zu merken, wenn Sie bemerken, dass das Vorzeichen in der ersten Klammer dasselbe ist wie das Vorzeichen im ursprünglichen Ausdruck und in der zweiten Klammer das Gegenteil des Vorzeichens im ursprünglichen Ausdruck.

Lineare Gleichungen

Dies sind die einfachsten Gleichungen der Form $ax+b=0$, wobei $a$ und $b$ gewöhnliche Zahlen sind und $a\ne 0$. Diese Gleichung ist einfach zu lösen:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Ich bemerke, dass wir das Recht haben, durch den Koeffizienten $a$ zu dividieren, weil $a\ne 0$ ist. Diese Anforderung ist ziemlich logisch, denn mit $a=0$ erhalten wir Folgendes:

Erstens gibt es in dieser Gleichung keine $x$-Variable. Dies sollte uns im Allgemeinen nicht verwirren (das passiert zum Beispiel in der Geometrie und ziemlich oft), aber wir sind immer noch keine lineare Gleichung mehr.

Zweitens hängt die Lösung dieser Gleichung allein vom Koeffizienten $b$ ab. Wenn $b$ ebenfalls Null ist, dann lautet unsere Gleichung $0=0$. Diese Gleichheit gilt immer; daher ist $x$ eine beliebige Zahl (normalerweise als $x\in \mathbb(R)$ geschrieben). Wenn der Koeffizient $b$ ungleich Null ist, dann ist die Gleichheit $b=0$ niemals erfüllt, d.h. keine Antworten (geschrieben $x\in \varnothing $ und gelesen "Lösungsmenge ist leer").

Um all diese Komplexitäten zu vermeiden, nehmen wir einfach $a\ne 0$ an, was uns in keiner Weise von weiteren Überlegungen abhält.

Quadratische Gleichungen

Ich möchte Sie daran erinnern, dass dies eine quadratische Gleichung genannt wird:

Hier links ist ein Polynom zweiten Grades und wieder $a\ne 0$ (sonst bekommen wir statt einer quadratischen Gleichung eine lineare). Die folgenden Gleichungen werden durch die Diskriminante gelöst:

1. Wenn $D \gt 0$, erhalten wir zwei verschiedene Wurzeln;
2. Wenn $D=0$, dann ist die Wurzel eins, aber von der zweiten Multiplizität (um welche Art von Multiplizität es sich handelt und wie man sie berücksichtigt - dazu später mehr). Oder wir können sagen, dass die Gleichung zwei identische Wurzeln hat;
3. Für $D \lt 0$ gibt es überhaupt keine Wurzeln, und das Vorzeichen des Polynoms $a((x)^(2))+bx+c$ für jedes $x$ stimmt mit dem Vorzeichen des Koeffizienten $a überein $. Dies ist übrigens eine sehr nützliche Tatsache, über die sie aus irgendeinem Grund im Algebraunterricht nicht sprechen.

Die Wurzeln selbst werden nach der bekannten Formel berechnet:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Daher übrigens die Beschränkungen für die Diskriminante. Schließlich existiert die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht. Was die Wurzeln betrifft, so haben viele Schüler ein schreckliches Durcheinander im Kopf, deshalb habe ich extra eine ganze Lektion aufgenommen: Was ist eine Wurzel in der Algebra und wie man sie berechnet - ich empfehle dringend, sie zu lesen. :)

Operationen mit rationalen Brüchen

Alles, was oben geschrieben wurde, wissen Sie bereits, wenn Sie die Methode der Intervalle studiert haben. Aber was wir jetzt analysieren werden, hat keine Analoga in der Vergangenheit - das ist eine völlig neue Tatsache.

Definition. Ein rationaler Bruch ist ein Ausdruck der Form

\[\frac(P\links(x \rechts))(Q\links(x \rechts))\]

wobei $P\left(x \right)$ und $Q\left(x \right)$ Polynome sind.

Es ist offensichtlich, dass es einfach ist, aus einem solchen Bruch eine Ungleichung zu erhalten - es reicht aus, nur rechts das Zeichen „größer als“ oder „kleiner als“ zuzuweisen. Und etwas weiter werden wir feststellen, dass das Lösen solcher Probleme ein Vergnügen ist, dort ist alles sehr einfach.

Probleme beginnen, wenn mehrere solcher Brüche in einem Ausdruck vorkommen. Sie müssen auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden - und gerade in diesem Moment werden viele offensive Fehler gemacht.

Um rationale Gleichungen erfolgreich zu lösen, ist es daher notwendig, zwei Fähigkeiten zu beherrschen:

1. Faktorisierung des Polynoms $P\left(x \right)$;
2. Eigentlich Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Wie faktorisiert man ein Polynom? Sehr einfach. Lassen Sie uns ein Polynom der Form haben

Setzen wir es gleich Null. Wir erhalten die Gleichung $n$-ten Grades:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Nehmen wir an, wir haben diese Gleichung gelöst und die Wurzeln $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ erhalten (keine Sorge: In den meisten Fällen gibt es keine mehr als zwei dieser Wurzeln). In diesem Fall kann unser ursprüngliches Polynom wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Das ist alles! Bitte beachten Sie: Der führende Koeffizient $((a)_(n))$ ist nirgendwo verschwunden - er steht als separater Faktor vor den Klammern und kann bei Bedarf in jede dieser Klammern eingefügt werden (Übung zeigt dass bei $((a)_ (n))\ne \pm 1$ fast immer Brüche zwischen den Wurzeln stehen).

Aufgabe. Den Ausdruck vereinfachen:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Entscheidung. Schauen wir uns zunächst die Nenner an: Sie sind alle lineare Binome, und hier gibt es nichts zu faktorisieren. Also faktorisieren wir die Zähler:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\rechts)\links(x-1\rechts); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \rechts)\links(2-5x \rechts). \\\end(align)\]

Bitte beachten Sie: Im zweiten Polynom erschien der Senior-Koeffizient "2" in voller Übereinstimmung mit unserem Schema zuerst vor der Klammer und wurde dann in die erste Klammer aufgenommen, da dort ein Bruch herauskam.

Dasselbe geschah beim dritten Polynom, nur dass dort auch die Reihenfolge der Terme verwechselt wird. Der Koeffizient „−5“ wurde jedoch in die zweite Klammer aufgenommen (denken Sie daran: Sie können einen Faktor nur in einer Klammer eingeben!), was uns vor den Unannehmlichkeiten bewahrt hat, die mit gebrochenen Wurzeln verbunden sind.

Was das erste Polynom betrifft, so ist dort alles einfach: Seine Wurzeln werden entweder auf übliche Weise durch die Diskriminante oder mit dem Vieta-Theorem gesucht.

Gehen wir zurück zum ursprünglichen Ausdruck und schreiben ihn mit den in Faktoren zerlegten Zählern um:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

Antwort: $5x+4$.

Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes. Ein bisschen Mathematik der 7. bis 8. Klasse und das war's. Der Sinn aller Transformationen besteht darin, einen komplexen und beängstigenden Ausdruck in etwas Einfaches und Leichtes zu verwandeln.

Dies wird jedoch nicht immer der Fall sein. Nun betrachten wir ein ernsteres Problem.

Aber zuerst wollen wir herausfinden, wie man zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Der Algorithmus ist denkbar einfach:

1. Zerlege beide Nenner;
2. Betrachten Sie den ersten Nenner und fügen Sie die Faktoren hinzu, die im zweiten Nenner vorhanden sind, aber im ersten fehlen. Das resultierende Produkt ist der gemeinsame Nenner;
3. Finden Sie heraus, welche Faktoren jedem der ursprünglichen Brüche fehlen, damit die Nenner gleich dem gemeinsamen Nenner werden.

Vielleicht scheint Ihnen dieser Algorithmus nur ein Text zu sein, in dem es „viele Buchstaben“ gibt. Schauen wir uns also ein konkretes Beispiel an.

Aufgabe. Den Ausdruck vereinfachen:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Entscheidung. Solche umfangreichen Aufgaben löst man am besten in Teilen. Schreiben wir auf, was in der ersten Klammer steht:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Im Gegensatz zum vorherigen Problem sind hier die Nenner nicht so einfach. Lassen Sie uns jeden von ihnen faktorisieren.

Das quadratische Trinom $((x)^(2))+2x+4$ kann nicht faktorisiert werden, da die Gleichung $((x)^(2))+2x+4=0$ keine Wurzeln hat (die Diskriminante ist negativ) . Wir lassen es unverändert.

Der zweite Nenner, das kubische Polynom $((x)^(3))-8$, ist bei näherer Betrachtung die Differenz von Kubikzahlen und lässt sich mit den abgekürzten Multiplikationsformeln leicht zerlegen:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \rechts)\]

Nichts anderes kann faktorisiert werden, da die erste Klammer ein lineares Binom enthält und die zweite eine uns bereits bekannte Konstruktion ist, die keine wirklichen Wurzeln hat.

Schließlich ist der dritte Nenner ein lineares Binom, das nicht zerlegt werden kann. Somit nimmt unsere Gleichung die Form an:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Es ist ziemlich offensichtlich, dass $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ der gemeinsame Nenner sein wird, und um alle Brüche darauf zu reduzieren, Sie müssen den ersten Bruch mit $\left(x-2 \right)$ und den letzten mit $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ multiplizieren. Dann bleibt nur noch folgendes zu bringen:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ rechts))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\links(x-2 \rechts)\links (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ links(((x)^(2))+2x+4 \rechts)). \\ \end(matrix)\]

Achten Sie auf die zweite Zeile: Wenn der Nenner bereits gemeinsam ist, d.h. Anstelle von drei separaten Brüchen haben wir einen großen geschrieben, Sie sollten die Klammern nicht sofort loswerden. Es ist besser, eine zusätzliche Zeile zu schreiben und zu beachten, dass beispielsweise vor dem dritten Bruch ein Minus stand - und es wird nirgendwo hingehen, sondern im Zähler vor der Klammer „hängen“. Das erspart Ihnen viele Fehler.

Nun, in der letzten Zeile ist es sinnvoll, den Zähler zu faktorisieren. Außerdem ist dies ein exaktes Quadrat, und die abgekürzten Multiplikationsformeln kommen uns wieder zu Hilfe. Wir haben:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Gehen wir nun genauso mit der zweiten Klammer um. Hier schreibe ich einfach eine Kette von Gleichheiten:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrix)\]

Wir kehren zum ursprünglichen Problem zurück und betrachten das Produkt:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Antwort: \[\frac(1)(x+2)\].

Die Bedeutung dieses Problems ist dieselbe wie beim vorherigen: zu zeigen, wie sehr rationale Ausdrücke vereinfacht werden können, wenn man ihre Transformation mit Bedacht angeht.

Und jetzt, wenn Sie das alles wissen, gehen wir zum Hauptthema der heutigen Lektion über – dem Lösen von gebrochenen rationalen Ungleichungen. Außerdem werden nach einer solchen Vorbereitung die Ungleichheiten selbst wie Nüsse klicken. :) :)

Der wichtigste Weg, um rationale Ungleichungen zu lösen

Es gibt mindestens zwei Ansätze zur Lösung rationaler Ungleichungen. Jetzt werden wir einen von ihnen betrachten - denjenigen, der im Schulmathematikkurs allgemein akzeptiert wird.

Aber zuerst wollen wir ein wichtiges Detail bemerken. Alle Ungleichungen werden in zwei Arten unterteilt:

1. Streng: $f\left(x \right) \gt 0$ oder $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nonstrict: $f\left(x \right)\ge 0$ oder $f\left(x \right)\le 0$.

Ungleichungen des zweiten Typs lassen sich leicht auf den ersten reduzieren, ebenso wie die Gleichung:

Dieser kleine "Zusatz" $f\left(x \right)=0$ führt zu so unangenehmen Dingen wie gefüllten Punkten - wir sind ihnen bei der Intervallmethode wieder begegnet. Ansonsten gibt es keine Unterschiede zwischen strengen und nicht strengen Ungleichungen, also analysieren wir den universellen Algorithmus:

1. Sammeln Sie alle Nicht-Null-Elemente auf einer Seite des Ungleichheitszeichens. Zum Beispiel links;
2. Bringen Sie alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (wenn es mehrere solcher Brüche gibt), bringen Sie ähnliche. Zerlege dann, wenn möglich, in Zähler und Nenner. Auf die eine oder andere Weise erhalten wir eine Ungleichung der Form $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, wobei das Häkchen das Ungleichheitszeichen ist.
3. Setzen Sie den Zähler auf Null: $P\left(x \right)=0$. Wir lösen diese Gleichung und erhalten die Wurzeln $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Dann verlangen wir dass der Nenner nicht gleich Null war: $Q\left(x \right)\ne 0$. Natürlich müssen wir im Wesentlichen die Gleichung $Q\left(x \right)=0$ lösen und erhalten die Wurzeln $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (in echten Problemen wird es kaum mehr als drei solcher Wurzeln geben).
4. Wir markieren alle diese Wurzeln (sowohl mit als auch ohne Sternchen) auf einer einzigen Zahlenlinie, und die Wurzeln ohne Sterne werden übermalt und die mit Sternen ausgestanzt.
5. Wir platzieren die Plus- und Minuszeichen und wählen die Intervalle aus, die wir benötigen. Wenn die Ungleichung die Form $f\left(x \right) \gt 0$ hat, dann ist die Antwort die mit einem "Plus" markierten Intervalle. Wenn $f\left(x \right) \lt 0$, dann betrachten wir Intervalle mit "Minus".

Die Praxis zeigt, dass die Punkte 2 und 4 die größten Schwierigkeiten bereiten - kompetente Umformungen und die richtige Anordnung der Zahlen in aufsteigender Reihenfolge. Seien Sie beim letzten Schritt äußerst vorsichtig: Wir platzieren Schilder immer basierend auf die letzte geschriebene Ungleichung, bevor Sie zu den Gleichungen übergehen. Dies ist eine universelle Regel, die von der Intervallmethode geerbt wurde.

Es gibt also ein Schema. Lass uns üben.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Entscheidung. Wir haben eine strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right) \lt 0$. Offensichtlich sind die Punkte 1 und 2 aus unserem Schema bereits fertig: Alle Elemente der Ungleichheit sind auf der linken Seite gesammelt, nichts muss auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Kommen wir also zum dritten Punkt.

Setzen Sie den Zähler auf Null:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

Und der Nenner:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

An dieser Stelle bleiben viele Leute hängen, weil Sie theoretisch $x+7\ne 0$ aufschreiben müssen, wie es die ODZ verlangt (Sie können nicht durch Null teilen, das ist alles). Aber schließlich werden wir in Zukunft die Punkte herausstechen, die aus dem Nenner kamen, also sollten Sie Ihre Berechnungen nicht noch einmal verkomplizieren - schreiben Sie überall ein Gleichheitszeichen und machen Sie sich keine Sorgen. Dafür wird niemand Punkte abziehen. :)

Vierter Punkt. Wir markieren die erhaltenen Wurzeln auf dem Zahlenstrahl:

Alle Punkte sind punktiert, weil die Ungleichung streng ist

Beachten Sie: alle Punkte sind punktiert, weil die ursprüngliche Ungleichung streng ist. Und hier spielt es keine Rolle mehr: Diese Punkte kamen vom Zähler oder vom Nenner.

Nun, schau dir die Zeichen an. Nehmen Sie eine beliebige Zahl $((x)_(0)) \gt 3$. Zum Beispiel $((x)_(0))=100$ (aber Sie hätten genauso gut $((x)_(0))=3.1$ oder $((x)_(0)) = nehmen können 1.000.000 $). Wir bekommen:

Rechts von allen Wurzeln haben wir also einen positiven Bereich. Und beim Durchgang durch jede Wurzel ändert sich das Vorzeichen (das wird nicht immer der Fall sein, aber dazu später mehr). Deshalb fahren wir mit dem fünften Punkt fort: Wir platzieren die Schilder und wählen das richtige aus:

Wir kehren zur letzten Ungleichung zurück, die vor dem Lösen der Gleichungen war. Eigentlich stimmt es mit dem Original überein, weil wir bei dieser Aufgabe keine Transformationen vorgenommen haben.

Da es notwendig ist, eine Ungleichung der Form $f\left(x \right) \lt 0$ zu lösen, habe ich das Intervall $x\in \left(-7;3 \right)$ schattiert - es ist das einzige mit einem Minuszeichen gekennzeichnet. Das ist die Antwort.

Antwort: $x\in \left(-7;3 \right)$

Das ist alles! Ist es schwer? Nein, es ist nicht schwierig. Tatsächlich war es eine leichte Aufgabe. Lassen Sie uns nun die Mission ein wenig komplizieren und eine etwas "schickere" Ungleichung betrachten. Bei der Lösung werde ich nicht mehr so ​​detaillierte Berechnungen anstellen - ich werde einfach die wichtigsten Punkte skizzieren. Im Allgemeinen werden wir es so gestalten, wie wir es bei einer unabhängigen Arbeit oder Prüfung gemacht hätten. :)

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Entscheidung. Dies ist eine nicht-strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right)\ge 0$. Alle Nicht-Null-Elemente werden auf der linken Seite gesammelt, es gibt keine unterschiedlichen Nenner. Kommen wir zu den Gleichungen.

Zähler:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rechtspfeil ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Nenner:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Ich weiß nicht, welche Art von Perversem dieses Problem verursacht hat, aber die Wurzeln erwiesen sich als nicht sehr gut: Es wird schwierig sein, sie auf einer Zahlenlinie anzuordnen. Und wenn mit der Wurzel $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ alles mehr oder weniger klar ist (das ist die einzige positive Zahl - sie steht rechts), dann $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ und $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ erfordern weitere Studien: welche ist größer?

Das kannst du zum Beispiel herausfinden:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Ich hoffe, Sie müssen nicht erklären, warum der numerische Bruch $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Bei Bedarf empfehle ich, sich daran zu erinnern, wie man Aktionen mit Brüchen ausführt.

Und wir markieren alle drei Wurzeln auf dem Zahlenstrahl:

Die Punkte vom Zähler sind schraffiert, vom Nenner ausgeschnitten

Wir haben Schilder aufgestellt. Zum Beispiel können Sie $((x)_(0))=1$ nehmen und das Vorzeichen an dieser Stelle herausfinden:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Die letzte Ungleichung vor den Gleichungen war $f\left(x \right)\ge 0$, also interessiert uns das Pluszeichen.

Wir haben zwei Mengen: eine ist ein gewöhnliches Segment und die andere ist ein offener Strahl auf der Zahlengeraden.

Antwort: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Ein wichtiger Hinweis zu den Zahlen, die wir ersetzen, um das Zeichen im Intervall ganz rechts herauszufinden. Es ist nicht erforderlich, eine Zahl in der Nähe der Wurzel ganz rechts zu ersetzen. Sie können Milliarden oder sogar "plus-unendlich" nehmen - in diesem Fall wird das Vorzeichen des Polynoms in Klammer, Zähler oder Nenner allein durch das Vorzeichen des führenden Koeffizienten bestimmt.

Schauen wir uns noch einmal die Funktion $f\left(x \right)$ aus der letzten Ungleichung an:

Es enthält drei Polynome:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\links(x \rechts)=11x+2; \\ & Q\links(x\rechts)=13x-4. \end(align)\]

Alle sind lineare Binome und alle haben positive Koeffizienten (Nummern 7, 11 und 13). Daher sind beim Ersetzen sehr großer Zahlen auch die Polynome selbst positiv. :) :)

Diese Regel mag übermäßig kompliziert erscheinen, aber nur auf den ersten Blick, wenn wir sehr einfache Probleme analysieren. Bei schwerwiegenden Ungleichungen ermöglicht uns die Substitution „plus-unendlich“, die Zeichen viel schneller herauszufinden als mit dem Standard $((x)_(0))=100$.

Wir werden uns sehr bald solchen Herausforderungen stellen. Aber zuerst schauen wir uns einen alternativen Weg an, um gebrochene rationale Ungleichungen zu lösen.

Alternativer Weg

Diese Technik wurde mir von einem meiner Schüler vorgeschlagen. Ich selbst habe es nie benutzt, aber die Praxis hat gezeigt, dass es für viele Schüler wirklich bequemer ist, Ungleichungen auf diese Weise zu lösen.

Die Originaldaten sind also die gleichen. Wir müssen eine gebrochene rationale Ungleichung lösen:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Überlegen wir einmal: Warum ist das Polynom $Q\left(x \right)$ "schlechter" als das Polynom $P\left(x \right)$? Warum müssen wir getrennte Gruppen von Wurzeln (mit und ohne Sternchen) betrachten, an gestanzte Punkte denken usw.? Ganz einfach: Ein Bruch hat einen Definitionsbereich, wonach der Bruch nur dann Sinn macht, wenn sein Nenner von Null verschieden ist.

Ansonsten gibt es keine Unterschiede zwischen Zähler und Nenner: Wir setzen ihn ebenfalls gleich Null, suchen die Wurzeln und markieren sie dann auf dem Zahlenstrahl. Warum also nicht den Bruchstrich (eigentlich das Divisionszeichen) durch die übliche Multiplikation ersetzen und alle Anforderungen des DHS als separate Ungleichung schreiben? Zum Beispiel so:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Bitte beachten Sie: Mit diesem Ansatz können Sie das Problem auf die Methode der Intervalle reduzieren, die Lösung wird jedoch nicht komplizierter. Immerhin setzen wir das Polynom $Q\left(x \right)$ gleich Null.

Mal sehen, wie es bei realen Aufgaben funktioniert.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Entscheidung. Kommen wir also zur Intervallmethode:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Die erste Ungleichung wird elementar gelöst. Setzen Sie einfach jede Klammer auf Null:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rechtspfeil ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Auch bei der zweiten Ungleichung ist alles einfach:

Wir markieren die Punkte $((x)_(1))$ und $((x)_(2))$ auf der reellen Geraden. Alle von ihnen sind punktiert, weil die Ungleichung streng ist:

Es stellte sich heraus, dass der rechte Punkt zweimal durchstochen war. Es ist in Ordnung.

Achten Sie auf den Punkt $x=11$. Es stellt sich heraus, dass es „doppelt punktiert“ ist: Einerseits punktieren wir es wegen der Schwere der Ungleichheit, andererseits wegen der zusätzlichen Anforderung der ODZ.

In jedem Fall wird es nur ein punktierter Punkt sein. Daher setzen wir Vorzeichen für die Ungleichung $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - die letzte, die wir gesehen haben, bevor wir mit dem Lösen der Gleichungen begonnen haben:

Wir interessieren uns für positive Regionen, da wir eine Ungleichung der Form $f\left(x \right) \gt 0$ lösen, und wir werden sie einfärben. Es bleibt nur, die Antwort aufzuschreiben.

Antworten. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Anhand dieser Lösung als Beispiel möchte ich Sie vor einem häufigen Fehler unter Anfängern warnen. Nämlich: Öffnen Sie niemals Klammern in Ungleichungen! Versuchen Sie im Gegenteil, alles zu berücksichtigen – das vereinfacht die Lösung und erspart Ihnen viele Probleme.

Jetzt versuchen wir etwas Schwierigeres.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Entscheidung. Dies ist eine nicht-strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right)\le 0$, also müssen Sie hier die gefüllten Punkte sorgfältig überwachen.

Kommen wir zur Intervallmethode:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Kommen wir zur Gleichung:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Rechtspfeil ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rechtspfeil ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Wir berücksichtigen die zusätzliche Anforderung:

Wir markieren alle erhaltenen Wurzeln auf dem Zahlenstrahl:

Wird ein Punkt gleichzeitig ausgestanzt und ausgefüllt, gilt er als ausgestanzt.

Auch hier "überlappen" sich zwei Punkte - das ist normal, es wird immer so sein. Es ist nur wichtig zu verstehen, dass ein Punkt, der sowohl als ausgestanzt als auch ausgefüllt markiert ist, tatsächlich ein ausgestanzter Punkt ist. Jene. „Ausfugen“ ist eine stärkere Aktion als „Überstreichen“.

Das ist absolut logisch, denn durch die Punktierung markieren wir Punkte, die das Vorzeichen der Funktion beeinflussen, aber selbst nicht an der Antwort beteiligt sind. Und wenn die Nummer irgendwann nicht mehr zu uns passt (z. B. nicht in die ODZ fällt), löschen wir sie bis zum Ende der Aufgabe aus der Betrachtung.

Hören Sie im Allgemeinen auf zu philosophieren. Wir ordnen die Zeichen an und übermalen die Intervalle, die mit einem Minuszeichen gekennzeichnet sind:

Antworten. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Und wieder wollte ich Ihre Aufmerksamkeit auf diese Gleichung lenken:

\[\links(2x-13 \rechts)\links(12x-9 \rechts)\links(15x+33 \rechts)=0\]

Nochmals: Öffnen Sie niemals Klammern in solchen Gleichungen! Du machst es dir damit nur noch schwerer. Denken Sie daran: Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Folglich „zerfällt“ diese Gleichung einfach in mehrere kleinere, die wir in der vorherigen Aufgabe gelöst haben.

Unter Berücksichtigung der Vielfalt der Wurzeln

Aus den vorherigen Aufgaben ist leicht ersichtlich, dass die nicht-strikten Ungleichungen am schwierigsten sind, weil man bei ihnen die gefüllten Punkte im Auge behalten muss.

Aber es gibt ein noch größeres Übel auf der Welt – dies sind mehrere Wurzeln in Ungleichheiten. Hier ist es bereits erforderlich, dort nicht einigen gefüllten Punkten zu folgen - hier darf sich das Ungleichheitszeichen beim Durchlaufen eben dieser Punkte nicht plötzlich ändern.

So etwas haben wir in dieser Lektion noch nicht betrachtet (obwohl ein ähnliches Problem häufig bei der Intervallmethode aufgetreten ist). Führen wir also eine neue Definition ein:

Definition. Die Wurzel der Gleichung $((\left(x-a \right))^(n))=0$ ist gleich $x=a$ und heißt Wurzel der $n$-ten Multiplizität.

Eigentlich interessiert uns der genaue Wert der Multiplizität nicht besonders. Wichtig ist nur, ob gerade diese Zahl $n$ gerade oder ungerade ist. Weil:

1. Wenn $x=a$ eine Wurzel gerader Vielfachheit ist, dann ändert sich das Vorzeichen der Funktion beim Durchlaufen nicht;
2. Und umgekehrt, wenn $x=a$ eine Wurzel mit ungerader Vielfachheit ist, dann ändert sich das Vorzeichen der Funktion.

Ein Spezialfall einer Wurzel mit ungerader Vielfachheit sind alle bisherigen Probleme, die in dieser Lektion behandelt wurden: Dort ist die Vielfachheit überall gleich eins.

Und weiter. Bevor wir anfangen, Probleme zu lösen, möchte ich Ihre Aufmerksamkeit auf eine Feinheit lenken, die einem erfahrenen Schüler offensichtlich erscheint, aber viele Anfänger in den Wahnsinn treibt. Nämlich:

Die Multiplizitätswurzel $n$ tritt nur auf, wenn der gesamte Ausdruck potenziert wird: $((\left(x-a \right))^(n))$, und nicht $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

Noch einmal: Die Klammer $((\left(x-a \right))^(n))$ gibt uns die Wurzel $x=a$ der Multiplizität $n$, aber die Klammer $\left(((x)^( n)) -a \right)$ oder, wie so oft, $(a-((x)^(n)))$ gibt uns eine Wurzel (oder zwei Wurzeln, wenn $n$ gerade ist) der ersten Multiplizität , egal was gleich $n$ ist.

Vergleichen:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Hier ist alles klar: Die gesamte Klammer wurde in die fünfte Potenz erhoben, sodass wir am Ausgang die Wurzel des fünften Grades erhalten haben. Und jetzt:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Wir haben zwei Wurzeln, aber beide haben die erste Multiplizität. Oder hier ist noch einer:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Und lassen Sie sich nicht vom zehnten Grad verwirren. Hauptsache 10 ist eine gerade Zahl, wir haben also zwei Wurzeln am Ausgang, und beide haben wieder die erste Multiplizität.

Seien Sie generell vorsichtig: Multiplizität tritt nur dann auf, wenn Der Grad gilt für die gesamte Klammer, nicht nur für die Variable.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]

Entscheidung. Versuchen wir es auf einem anderen Weg zu lösen - durch den Übergang vom Besonderen zum Produkt:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\Rechts.\]

Die erste Ungleichung behandeln wir mit der Intervallmethode:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rechtspfeil x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rechtspfeil x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Zusätzlich lösen wir die zweite Ungleichung. Eigentlich haben wir es schon gelöst, aber damit die Rezensenten nichts an der Lösung bemängeln, ist es besser, es noch einmal zu lösen:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Beachte, dass es in der letzten Ungleichung keine Multiplizitäten gibt. In der Tat: Welchen Unterschied macht es, wie oft man den Punkt $x=-7$ auf dem Zahlenstrahl durchstreicht? Mindestens einmal, mindestens fünfmal - das Ergebnis wird dasselbe sein: ein punktierter Punkt.

Notieren wir alles, was wir auf der Zahlenlinie haben:

Wie gesagt, der Punkt $x=-7$ wird schließlich ausgestanzt. Die Multiplizitäten werden basierend auf der Lösung der Ungleichung durch die Intervallmethode angeordnet.

Es bleibt, die Zeichen zu setzen:

Da der Punkt $x=0$ eine Wurzel gerader Vielfachheit ist, ändert sich das Vorzeichen beim Durchlaufen nicht. Die restlichen Punkte haben eine ungerade Vielfachheit, und mit ihnen ist alles einfach.

Antworten. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Achten Sie wieder auf $x=0$. Durch die gleichmäßige Vielfältigkeit ergibt sich ein interessanter Effekt: Links davon wird alles übermalt, rechts auch - und der Punkt selbst wird komplett übermalt.

Folglich muss es beim Aufzeichnen einer Antwort nicht isoliert werden. Jene. Sie müssen nicht so etwas wie $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ schreiben (obwohl eine solche Antwort formal auch richtig wäre). Stattdessen schreiben wir gleich $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Solche Effekte sind nur für Wurzeln mit gerader Multiplizität möglich. Und in der nächsten Aufgabe werden wir auf die umgekehrte "Manifestation" dieses Effekts stoßen. Bereit?

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Entscheidung. Diesmal folgen wir dem Standardschema. Setzen Sie den Zähler auf Null:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rechtspfeil ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

Und der Nenner:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rechtspfeil x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Da wir eine nicht-strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right)\ge 0$ lösen, werden die Wurzeln des Nenners (mit Sternchen) ausgeschnitten und die des Zählers übermalt .

Wir ordnen die Zeichen und streichen die mit einem „Plus“ gekennzeichneten Bereiche:

Der Punkt $x=3$ ist isoliert. Dies ist ein Teil der Antwort

Bevor Sie die endgültige Antwort aufschreiben, sehen Sie sich das Bild genau an:

1. Der Punkt $x=1$ hat eine gerade Multiplizität, ist aber selbst punktiert. Daher muss es in der Antwort isoliert werden: Sie müssen $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ schreiben und nicht $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Der Punkt $x=3$ hat ebenfalls eine gerade Multiplizität und ist schattiert. Die Anordnung der Schilder zeigt an, dass der Punkt an sich zu uns passt, aber ein Schritt nach links und rechts – und wir befinden uns in einem Bereich, der uns definitiv nicht passt. Solche Punkte werden isoliert genannt und als $x\in \left\( 3 \right\)$ geschrieben.

Wir fügen alle erhaltenen Teile zu einem gemeinsamen Satz zusammen und schreiben die Antwort auf.

Antwort: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definition. Das Lösen der Ungleichung bedeutet Finden Sie die Menge aller seiner Lösungen, oder beweise, dass diese Menge leer ist.

Es scheint: Was kann hier unverständlich sein? Ja, Tatsache ist, dass Mengen auf verschiedene Arten spezifiziert werden können. Lassen Sie uns die Antwort auf das letzte Problem umschreiben:

Wir lesen buchstäblich, was geschrieben steht. Die Variable "x" gehört zu einer bestimmten Menge, die durch die Vereinigung (Symbol "U") von vier getrennten Mengen erhalten wird:

• Das Intervall $\left(-\infty ;1 \right)$, was wörtlich "alle Zahlen kleiner als eins, aber nicht eine selbst" bedeutet;
• Das Intervall ist $\left(1;2 \right)$, d.h. "alle Zahlen zwischen 1 und 2, aber nicht die Zahlen 1 und 2 selbst";
• Die Menge $\left\( 3 \right\)$, bestehend aus einer einzigen Zahl - drei;
• Das Intervall $\left[ 4;5 \right)$ enthält alle Zahlen zwischen 4 und 5, plus 4 selbst, aber nicht 5.

Interessant ist hier der dritte Punkt. Im Gegensatz zu Intervallen, die unendliche Mengen von Zahlen definieren und nur die Grenzen dieser Mengen bezeichnen, definiert die Menge $\left\( 3 \right\)$ genau eine Zahl durch Aufzählung.

Um zu verstehen, dass wir die spezifischen Zahlen auflisten, die in der Menge enthalten sind (und keine Grenzen oder etwas anderes festlegen), werden geschweifte Klammern verwendet. Zum Beispiel bedeutet die Notation $\left\( 1;2 \right\)$ genau "eine Menge, die aus zwei Zahlen besteht: 1 und 2", aber kein Segment von 1 bis 2. Verwechseln Sie diese Konzepte auf keinen Fall .

Multiplizitätsadditionsregel

Nun, am Ende der heutigen Lektion eine kleine Dose von Pavel Berdov. :)

Aufmerksame Schüler haben sich wahrscheinlich schon die Frage gestellt: Was passiert, wenn man in Zähler und Nenner die gleichen Wurzeln findet? Also funktioniert folgende Regel:

Vielfache identischer Wurzeln werden addiert. Stets. Auch wenn diese Wurzel sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt.

Manchmal ist es besser zu entscheiden als zu reden. Daher lösen wir folgendes Problem:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Bisher nichts besonderes. Nenner auf Null setzen:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rechtspfeil x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rechtspfeil x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Es werden zwei identische Wurzeln gefunden: $((x)_(1))=-2$ und $x_(4)^(*)=-2$. Beide haben die erste Multiplizität. Daher ersetzen wir sie durch eine Wurzel $x_(4)^(*)=-2$, aber mit einer Multiplizität von 1+1=2.

Außerdem gibt es auch identische Wurzeln: $((x)_(2))=-4$ und $x_(2)^(*)=-4$. Sie sind auch von der ersten Multiplizität, also bleibt nur $x_(2)^(*)=-4$ der Multiplizität 1+1=2 übrig.

Bitte beachten Sie: In beiden Fällen haben wir genau die „ausgeschnittene“ Wurzel gelassen und die „übermalte“ aus der Betrachtung geworfen. Denn schon zu Beginn des Unterrichts waren wir uns einig: Wenn ein Punkt gleichzeitig ausgestanzt und übermalt wird, dann betrachten wir ihn trotzdem als ausgestanzt.

Als Ergebnis haben wir vier Wurzeln, und es stellte sich heraus, dass alle ausgehöhlt wurden:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Wir markieren sie unter Berücksichtigung der Multiplizität auf dem Zahlenstrahl:

Wir platzieren die Schilder und übermalen die für uns interessanten Bereiche:

Alles. Keine isolierten Punkte und andere Perversionen. Sie können die Antwort aufschreiben.

Antworten. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Multiplikationsregel

Manchmal tritt eine noch unangenehmere Situation auf: Eine Gleichung, die mehrere Wurzeln hat, wird selbst potenziert. Dies ändert die Multiplizitäten aller ursprünglichen Wurzeln.

Dies ist selten, daher haben die meisten Schüler keine Erfahrung mit der Lösung solcher Probleme. Und hier gilt die Regel:

Wenn eine Gleichung mit $n$ potenziert wird, erhöht sich auch die Multiplizität aller ihrer Wurzeln um den Faktor $n$.

Mit anderen Worten, das Potenzieren führt dazu, dass Multiplizitäten mit derselben Potenz multipliziert werden. Nehmen wir diese Regel als Beispiel:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Entscheidung. Setzen Sie den Zähler auf Null:

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Mit dem ersten Multiplikator ist alles klar: $x=0$. Und hier fangen die Probleme an:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Wie Sie sehen können, hat die Gleichung $((x)^(2))-6x+9=0$ eine eindeutige Wurzel der zweiten Multiplizität: $x=3$. Die ganze Gleichung wird dann quadriert. Daher wird die Multiplizität der Wurzel $2\cdot 2=4$ sein, was wir schließlich aufgeschrieben haben.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Auch mit dem Nenner kein Problem:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Insgesamt haben wir fünf Punkte bekommen: zwei ausgestanzte und drei ausgefüllte. Es gibt keine übereinstimmenden Wurzeln in Zähler und Nenner, also markieren wir sie einfach auf dem Zahlenstrahl:

Wir ordnen die Zeichen unter Berücksichtigung der Vielfachheiten und übermalen die uns interessierenden Intervalle:

Wieder eine isolierte Stelle und eine durchstochen

Aufgrund der Wurzeln der gleichmäßigen Vielfalt erhielten wir wieder ein paar „nicht standardmäßige“ Elemente. Dies ist $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nicht $x\in \left[ 0;2 \right)$, und auch ein isolierter Punkt $ x\in \links\( 3 \rechts\)$.

Antworten. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Wie Sie sehen können, ist alles nicht so schwierig. Hauptsache Achtsamkeit. Der letzte Abschnitt dieser Lektion ist den Transformationen gewidmet – genau den Transformationen, die wir ganz am Anfang besprochen haben.

Vorkonvertierungen

Die Ungleichungen, die wir in diesem Abschnitt diskutieren werden, sind nicht komplex. Im Gegensatz zu den vorherigen Aufgaben müssen Sie hier jedoch Fähigkeiten aus der Theorie der rationalen Brüche anwenden - Faktorisierung und Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner.

Wir haben dieses Thema ganz am Anfang der heutigen Lektion ausführlich besprochen. Wenn Sie nicht sicher sind, ob Sie verstehen, worum es geht, empfehle ich Ihnen dringend, zurückzugehen und es zu wiederholen. Denn es macht keinen Sinn, die Methoden zum Lösen von Ungleichungen zu pauken, wenn man in der Umrechnung von Brüchen "schwimmt".

Bei den Hausaufgaben wird es übrigens auch viele ähnliche Aufgaben geben. Sie werden in einem separaten Unterabschnitt platziert. Und dort finden Sie sehr nicht-triviale Beispiele. Aber das wird in den Hausaufgaben sein, aber jetzt wollen wir ein paar solcher Ungleichungen analysieren.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Entscheidung. Alles nach links verschieben:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Wir bringen auf einen gemeinsamen Nenner, öffnen die Klammern, geben gleiche Terme im Zähler an:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ rechts))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Jetzt haben wir eine klassische gebrochene rationale Ungleichung, deren Lösung nicht mehr schwierig ist. Ich schlage vor, es durch eine alternative Methode zu lösen - durch die Methode der Intervalle:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Vergessen Sie nicht die Einschränkung, die vom Nenner kommt:

Wir markieren alle Zahlen und Einschränkungen auf dem Zahlenstrahl:

Alle Wurzeln haben eine erste Multiplizität. Kein Problem. Wir platzieren einfach die Schilder und übermalen die Bereiche, die wir brauchen:

Das ist alles. Sie können die Antwort aufschreiben.

Antworten. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Dies war natürlich ein sehr einfaches Beispiel. Schauen wir uns das Problem nun genauer an. Übrigens stimmt das Niveau dieser Aufgabe mit der unabhängigen und kontrollierten Arbeit zu diesem Thema in der 8. Klasse überein.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Entscheidung. Alles nach links verschieben:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Bevor wir beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, zerlegen wir diese Nenner in Faktoren. Plötzlich kommen die gleichen Klammern heraus? Mit dem ersten Nenner ist es einfach:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Der zweite ist etwas schwieriger. Fühlen Sie sich frei, einen konstanten Multiplikator zu der Klammer hinzuzufügen, in der der Bruch gefunden wurde. Denken Sie daran: Das ursprüngliche Polynom hatte ganzzahlige Koeffizienten, daher ist es sehr wahrscheinlich, dass die Faktorisierung auch ganzzahlige Koeffizienten hat (tatsächlich wird sie das immer tun, außer wenn die Diskriminante irrational ist).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Wie Sie sehen können, gibt es eine gemeinsame Klammer: $\left(x-1 \right)$. Wir kehren zur Ungleichung zurück und bringen beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ left(3x-2\right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Nenner auf Null setzen:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( ausrichten)\]

Keine Multiplizitäten und keine übereinstimmenden Wurzeln. Wir markieren vier Zahlen auf einer geraden Linie:

Wir platzieren die Zeichen:

Wir schreiben die Antwort auf.

Antwort: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ rechts)$.

Wie man Ungleichungen mit der Intervallmethode löst (Algorithmus mit Beispielen)

Beispiel . (Aufgabe der OGE) Lösen Sie die Ungleichung mit der Intervallmethode \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Entscheidung:

Antworten : \((7;7+\sqrt(11))\)

Beispiel . Löse die Ungleichung mit der Intervallmethode \(≥0\)
Entscheidung:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Hier scheint auf den ersten Blick alles normal und die Ungleichheit wird zunächst auf die gewünschte Form reduziert. Dem ist aber nicht so – schließlich steht x in der ersten und dritten Klammer des Zählers mit einem Minuszeichen. Wir transformieren die Klammern unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der vierte Grad gerade ist (dh das Minuszeichen wird entfernt) und der dritte ungerade ist (dh es wird nicht entfernt). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) So. Jetzt geben wir die bereits konvertierten Klammern "an Ort und Stelle" zurück.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Jetzt sehen alle Klammern so aus, wie sie sollten (zuerst kommt die unsignierte Farbe und erst dann die Nummer). Aber vor dem Zähler stand ein Minus. Wir entfernen es, indem wir die Ungleichung mit \(-1\) multiplizieren, wobei wir daran denken, das Vergleichszeichen umzukehren
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Bereit. Jetzt sieht die Ungleichheit richtig aus. Sie können die Intervallmethode verwenden.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Lassen Sie uns Punkte auf der Achse platzieren, Zeichen setzen und die erforderlichen Lücken übermalen.
		Im Intervall von \(4\) bis \(6\) muss das Vorzeichen nicht geändert werden, da die Klammer \((x-6)\) gerade ist (siehe Abschnitt 4 des Algorithmus) . Die Flagge soll daran erinnern, dass die Sechs auch eine Lösung für Ungleichheit ist. Schreiben wir die Antwort auf.

Antworten : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\links\(6\rechts\)\)

Beispiel.(Auftrag der OGE) Lösen Sie die Ungleichung mit der Intervallmethode \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Entscheidung:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Links und rechts sind gleich – das ist eindeutig kein Zufall. Der erste Wunsch ist, durch \(-x^2-64\) zu dividieren, aber das ist ein Fehler, weil Es besteht die Möglichkeit, dass die Wurzel verloren geht. Verschieben Sie stattdessen \(64(-x^2-64)\) nach links
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Nimm das Minus in der ersten Klammer weg und faktoriere die zweite
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Beachten Sie, dass \(x^2\) entweder Null oder größer als Null ist. Das bedeutet, dass \(x^2+64\) für jeden Wert von x eindeutig positiv ist, das heißt, dieser Ausdruck beeinflusst das Vorzeichen der linken Seite in keiner Weise. Daher können wir beide Teile der Ungleichung sicher durch diesen Ausdruck teilen. Lassen Sie uns auch die Ungleichung durch \(-1\) teilen, um das Minus loszuwerden.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Jetzt können Sie die Intervallmethode anwenden
\(x=8;\) \(x=-8\)		Schreiben wir die Antwort auf

Antworten : \((-∞;-8]∪∪(3)∪ (auf dem Intervall (−6, 4) ist das Vorzeichen nicht bestimmt, da es nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehört). Dazu nehme man einen Punkt aus jedem Intervall, zum Beispiel 16 , 8 , 6 und −8 , und berechnen Sie den Wert der Funktion f in ihnen:

Wenn Sie Fragen dazu haben, wie die berechneten Werte der Funktion ermittelt wurden, positiv oder negativ, studieren Sie das Material des Artikels zahlen vergleich.

Wir platzieren die soeben definierten Zeichen und schraffieren die Lücken mit einem Minuszeichen:

Als Antwort schreiben wir die Vereinigung zweier Lücken mit dem Zeichen −, wir haben (−∞, −6]∪(7, 12) . Beachten Sie, dass −6 in der Antwort enthalten ist (der entsprechende Punkt ist fest, nicht punktiert) Der Punkt ist, dass dies nicht die Nullstelle der Funktion ist (die wir bei der Lösung einer strengen Ungleichung nicht in die Antwort aufnehmen würden), sondern der Grenzpunkt des Definitionsbereichs (er ist farbig, nicht schwarz), während der Eingabe der Definitionsbereich. Der Wert der Funktion an diesem Punkt ist negativ (wie durch das Minuszeichen über dem entsprechenden Intervall angezeigt), das heißt, er erfüllt die Ungleichung, aber 4 muss nicht in die Antwort aufgenommen werden (ebenfalls als gesamtes Intervall ∪(7, 12) .

Referenzliste.

1. Algebra: Klasse 9: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2009. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
2. Mordkowitsch A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. Algebra und Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. Aufl.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 S.: Abb.- ISBN 5-09-013651-3.
4. Kudryavtsev L. D. Kurs der mathematischen Analyse (in zwei Bänden): Lehrbuch für Studenten der Universitäten und Fachhochschulen. - M.: Höher. Schule, 1981, V. 1. - 687 S., mit Abb.

In dieser Lektion werden wir weiterhin rationale Ungleichungen mit der Intervallmethode für komplexere Ungleichungen lösen. Betrachten Sie die Lösung linear-gebrochener und quadratisch-gebrochener Ungleichungen und verwandter Probleme.

Nun zurück zur Ungleichheit

Betrachten wir einige verwandte Aufgaben.

Finde die kleinste Lösung der Ungleichung.

Finden Sie die Anzahl der natürlichen Lösungen der Ungleichung

Finden Sie die Länge der Intervalle, aus denen die Lösungsmenge der Ungleichung besteht.

2. Portal der Naturwissenschaften ().

3. Elektronischer Bildungs- und Methodenkomplex zur Vorbereitung der Klassen 10-11 auf Aufnahmeprüfungen in Informatik, Mathematik, Russisch ().

5. Bildungszentrum "Technologie der Bildung" ().

6. College.ru Abschnitt über Mathematik ().

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra Klasse 9: Aufgabenbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 28 (b, c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).