In Aufgabe Nr. 7 des Profilniveaus der USE in Mathematik müssen Kenntnisse über die Funktion der Ableitung und der Stammfunktion nachgewiesen werden. In den meisten Fällen reicht es aus, einfach die Konzepte zu definieren und die Bedeutung der Ableitung zu verstehen.

Analyse der typischen Optionen für die Aufgaben Nr. 7 NUTZUNG in der Mathematik des Profilniveaus

Die erste Version der Aufgabe (Demoversion 2018)

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer differenzierbaren Funktion y = f(x). Auf der x-Achse sind neun Punkte markiert: x 1 , x 2 , …, x 9 . Finden Sie unter diesen Punkten alle Punkte, an denen die Ableitung der Funktion y = f(x) negativ ist. Geben Sie in Ihrer Antwort die Anzahl der gefundenen Punkte an.

Lösungsalgorithmus:

1. Schauen wir uns den Graphen der Funktion an.
2. Wir suchen Punkte, an denen die Funktion abfällt.
3. Wir zählen ihre Zahl.
4. Wir schreiben die Antwort auf.

Lösung:

1. In der Grafik steigt die Funktion periodisch an und nimmt periodisch ab.

2. In den Intervallen, in denen die Funktion abnimmt, hat die Ableitung negative Werte.

3. Diese Intervalle enthalten Punkte x 3 , x 4 , x 5 , x 9 . Es gibt 4 solcher Punkte.

Die zweite Version der Aufgabe (von Yaschenko, Nr. 4)

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x). Auf der x-Achse sind die Punkte -2, -1, 2, 4 markiert, an welchem ​​dieser Punkte ist der Wert der Ableitung am größten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Lösungsalgorithmus:

1. Schauen wir uns den Graphen der Funktion an.
2. Wir betrachten das Verhalten der Funktion an jedem der Punkte und das Vorzeichen der Ableitung an ihnen.
3. Wir finden die Punkte im größten Wert der Ableitung.
4. Wir schreiben die Antwort auf.

Lösung:

1. Die Funktion hat mehrere Abnahme- und Zunahmeintervalle.

2. Wo die Funktion abnimmt. Die Ableitung hat ein Minuszeichen. Solche Punkte gehören zu den angezeigten. Aber es gibt Punkte im Diagramm, an denen die Funktion zunimmt. Ihre Ableitung ist positiv. Dies sind die Punkte mit den Abszissen -2 und 2.

3. Betrachten Sie einen Graphen an Punkten mit x=-2 und x=2. An der Stelle x = 2 steigt die Funktion steiler an, was bedeutet, dass die Tangente an dieser Stelle eine größere Steigung hat. Daher an der Stelle mit der Abszisse 2. Die Ableitung hat den größten Wert.

Die dritte Version der Aufgabe (von Yaschenko, Nr. 21)

Die Linie tangiert den Graphen der Funktion . Finde einen.

Lösungsalgorithmus:

1. Wir setzen die Gleichungen der Tangente und der Funktion gleich.
2. Wir vereinfachen die erhaltene Gleichheit.
3. Wir finden die Diskriminante.
4. Definieren Sie den Parameter a, für die die Lösung eindeutig ist.
5. Wir schreiben die Antwort auf.

Lösung:

1. Die Koordinaten des Tangentenpunktes erfüllen beide Gleichungen: die Tangente und die Funktion. Wir können also die Gleichungen gleichsetzen. Wir bekommen:

2. Wir vereinfachen die Gleichheit, indem wir alle Terme in eine Richtung verschieben:

3. Am Kontaktpunkt muss es eine Lösung geben, also muss die Diskriminante der resultierenden Gleichung gleich Null sein. Dies ist die Bedingung für die Eindeutigkeit der Wurzel der quadratischen Gleichung.

4. Wir erhalten:

Wenn die Aufgabe richtig gelöst wird, dann bekommen Sie 1 Punkt.

Etwa 5 Minuten.

Um Aufgabe 7 in Mathematik auf Profilniveau zu lösen, müssen Sie wissen:

1. Aufgaben werden in verschiedene Typen unterteilt:
   • die physikalische Bedeutung der Ableitung.
   • geometrische Bedeutung von Ableitung und Tangens;
   • Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen;
   • Primitive.
2. Kenntnis der Ableitungsfunktion und .
3. Und in den meisten Fällen nur Konzepte definieren und die Bedeutung der Ableitung verstehen.

• Derivat - Änderungsrate der Funktion. Ableitung ist positiv in Abständen wo Funktion in wächst und Negativ in den Intervallen, in denen die Funktion abnimmt.
• Punkte von Extremen, Maximum und Minimum. Extrempunkt– der maximale/minimale Wert der Funktion auf der gegebenen Menge. Wird der Maximalwert erreicht, so wird der Extremumpunkt „Maximalpunkt“ genannt, wird der kleinste Wert erreicht, so wird der Extremumpunkt „Minimalpunkt“ genannt.
• Primitive. Funktion F(x) heißt Stammfunktion der Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall, wenn für alle X ab diesem Intervall die Gleichheit F′(x) = f(x). Die Operation zum Auffinden der Stammfunktion wird als Integration bezeichnet.
• Integration - mathematische Operation, das Gegenteil von Differentiation, dh das Finden der Ableitung. Durch Integration können Sie die Funktion selbst aus der Ableitung einer Funktion finden.

02.01.2020

Seltene Schwiegertöchter können sich rühmen, ein ausgeglichenes und freundschaftliches Verhältnis zu ihrer Schwiegermutter zu haben. Normalerweise passiert das Gegenteil

DERIVAT-Ableitung der Funktion j = f(x) definiert in einem bestimmten Intervall ( a, b) am Punkt x dieses Intervall wird die Grenze genannt, zu der das Verhältnis des Zuwachses der Funktion tendiert f an diesem Punkt auf das entsprechende Inkrement des Arguments, wenn sich das Inkrement des Arguments Null nähert.

Die Ableitung wird üblicherweise wie folgt bezeichnet:

Andere Notationen sind ebenfalls weit verbreitet:

Sofortige Geschwindigkeit.

Lassen Sie den Punkt M bewegt sich auf einer geraden Linie. Distanz s Bewegungspunkt, gezählt von einer Anfangsposition M 0 , hängt von der Zeit ab t, d.h. s ist eine Funktion der Zeit t: s= f(t). Irgendwann lassen t bewegender Punkt M war auf Distanz s aus der Startposition M 0, und irgendwann im nächsten Moment t+D t war in der lage M 1 - auf Distanz s+D s aus der Ausgangsposition ( siehe Bild.).

Also für eine gewisse Zeit D t Distanz s um den Wert D geändert s. In diesem Fall sagen wir, dass während des Zeitintervalls D t Größe s erhaltenes Inkrement D s.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann die Bewegungsgeschwindigkeit eines Punktes nicht in allen Fällen genau charakterisieren. M damals t. Wenn zum Beispiel der Körper zu Beginn des Intervalls D t sehr schnell bewegt und am Ende sehr langsam, dann kann die Durchschnittsgeschwindigkeit die angegebenen Merkmale der Bewegung des Punktes nicht widerspiegeln und eine Vorstellung von der wahren Geschwindigkeit seiner Bewegung im Moment geben t. Um die wahre Geschwindigkeit anhand der Durchschnittsgeschwindigkeit genauer auszudrücken, müssen Sie sich eine kürzere Zeitdauer D nehmen t. Es charakterisiert am vollständigsten die Geschwindigkeit der Bewegung eines Punktes im Moment t die Grenze, zu der die Durchschnittsgeschwindigkeit bei D tendiert t® 0. Diese Grenze wird als Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt bezeichnet:

Somit ist die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements des Pfades D s zum Zeitschritt D t wenn das Zeitinkrement gegen Null geht. Als

Der geometrische Wert der Ableitung. Tangente an den Graphen einer Funktion.

Die Konstruktion von Tangenten ist eines jener Probleme, die zur Geburt der Differentialrechnung geführt haben. Die erste veröffentlichte Arbeit zur Differentialrechnung, geschrieben von Leibniz, trug den Titel Eine neue Methode von Maxima und Minima sowie Tangenten, für die weder gebrochene noch irrationale Größen ein Hindernis darstellen, und eine besondere Art von Kalkül dafür.

Die Kurve sei der Graph der Funktion j =f(x) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem ( cm. Reis.).

Für einen gewissen Wert x Funktion zählt j =f(x). Diese Werte x und j Punkt auf der Kurve M 0(x, j). Wenn das Argument x geben Erhöhung D x, dann der neue Wert des Arguments x+D x entspricht dem neuen Wert der Funktion j+ D j = f(x + D x). Der entsprechende Punkt der Kurve ist der Punkt M 1(x+D x,j+D j). Wenn wir eine Sekante ziehen M 0M 1 und bezeichne mit j Winkel, der durch eine Sekante mit positiver Achsrichtung gebildet wird Ochse, es ist direkt aus der Abbildung ersichtlich, dass

Wenn jetzt D x gegen Null tendiert, dann der Punkt M 1 bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt M 0 und Winkel j ändert sich mit Änderung D x. Bei Dx® 0 der Winkel j tendiert zu einer gewissen Grenze a und die Linie, die durch den Punkt verläuft M 0 und die Komponente mit der positiven Richtung der Abszissenachse, Winkel a, wird die gewünschte Tangente sein. Seine Steigung:

Folglich, f´( x) = tga

diese. abgeleiteter Wert f´( x) für einen gegebenen Wert des Arguments x gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an den Graphen der Funktion bildet f(x) an der entsprechenden Stelle M 0(x,j) mit positiver Achsrichtung Ochse.

Differenzierbarkeit von Funktionen.

Definition. Wenn die Funktion j = f(x) hat an dem Punkt eine Ableitung x = x 0, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

Stetigkeit einer Funktion, die eine Ableitung hat. Satz.

Wenn die Funktion j = f(x) ist irgendwann differenzierbar x = x 0, dann ist sie an dieser Stelle stetig.

Daher kann die Funktion an Unstetigkeitspunkten keine Ableitung haben. Der Umkehrschluss ist falsch, d.h. davon ab, dass irgendwann x = x 0 Funktion j = f(x) stetig ist, folgt daraus nicht, dass sie an dieser Stelle differenzierbar ist. Zum Beispiel die Funktion j = |x| durchgehend für alle x(–½ x x = 0 hat keine Ableitung. An diesem Punkt gibt es keine Tangente an den Graphen. Es gibt eine rechte Tangente und eine linke Tangente, aber sie fallen nicht zusammen.

Einige Sätze über differenzierbare Funktionen. Satz über die Wurzeln der Ableitung (Satz von Roll). Wenn die Funktion f(x) ist im Intervall kontinuierlich [a,b], ist an allen inneren Punkten dieses Segments und an den Enden differenzierbar x = a und x = b verschwindet ( f(a) = f(b) = 0), dann innerhalb des Segments [ a,b] gibt es mindestens einen Punkt x= Mit, a c b, in dem die Ableitung fў( x) verschwindet, d.h. fў( c) = 0.

Satz der endlichen Inkremente (Satz von Lagrange). Wenn die Funktion f(x) ist stetig auf dem Intervall [ a, b] und ist an allen inneren Punkten dieses Segments differenzierbar, dann innerhalb des Segments [ a, b] gibt es mindestens einen Punkt Mit, a c b das

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Satz über das Verhältnis der Inkremente zweier Funktionen (Satz von Cauchy). Wenn ein f(x) und g(x) sind zwei auf dem Segment stetige Funktionen [a, b] und differenzierbar an allen inneren Punkten dieses Segments, und gў( x) verschwindet nirgendwo innerhalb dieses Segments, dann innerhalb des Segments [ a, b] gibt es einen solchen Punkt x = Mit, a c b das

Derivate verschiedener Ordnungen.

Lassen Sie die Funktion j =f(x) ist in einem gewissen Intervall differenzierbar [ a, b]. Abgeleitete Werte f ў( x), allgemein gesprochen, abhängen x, d.h. Derivat f ў( x) ist auch eine Funktion von x. Beim Differenzieren dieser Funktion erhält man die sogenannte zweite Ableitung der Funktion f(x), was bezeichnet wird f ўў ( x).

Derivat n- Reihenfolge der Funktion f(x) heißt die Ableitung (erster Ordnung) der Ableitung n- 1- Mai und ist mit dem Symbol gekennzeichnet j(n) = (j(n– 1))Þ.

Differentiale verschiedener Ordnungen.

Funktion Differential j = f(x), wo x eine unabhängige Variable ist, ist dy = f ў( x)dx, einige Funktion aus x, aber von x nur der erste Faktor kann abhängen f ў( x), während der zweite Faktor ( dx) ist das Inkrement der unabhängigen Variablen x und hängt nicht vom Wert dieser Variablen ab. Als dy Es gibt eine Funktion von x, dann können wir das Differential dieser Funktion bestimmen. Das Differential des Differentials einer Funktion wird als Differential zweiter oder zweiter Ordnung dieser Funktion bezeichnet und mit bezeichnet d 2j:

d(dx) = d 2j = f ўў( x)(dx) 2 .

Differential n- Ordnung heißt das erste Differential des Differentials n- 1- bestellen:

d n y = d(n–1j) = f(n)(x)dx(n).

Privates Derivat.

Wenn die Funktion nicht von einem, sondern von mehreren Argumenten abhängt x ich(ichändert sich von 1 auf n,ich= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), dann wird in die Differentialrechnung der Begriff der partiellen Ableitung eingeführt, der die Änderungsgeschwindigkeit einer Funktion mehrerer Variablen charakterisiert, wenn sich beispielsweise nur ein Argument ändert, x ich. Partielle Ableitung 1. Ordnung bzgl x ich als gewöhnliche Ableitung definiert ist, wird davon ausgegangen, dass alle Argumente außer x ich, Werte konstant halten. Für partielle Ableitungen führen wir die Notation ein

So definierte partielle Ableitungen 1. Ordnung (als Funktionen derselben Argumente) können wiederum auch partielle Ableitungen haben, das sind partielle Ableitungen zweiter Ordnung usw. In Bezug auf verschiedene Argumente werden solche Ableitungen als gemischt bezeichnet. Kontinuierliche gemischte Ableitungen gleicher Ordnung hängen nicht von der Differenzierungsordnung ab und sind einander gleich.

Anna Tschugainowa

Derivat Funktionen an einem Punkt heißt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments, sofern dieses gegen Null geht.

Grundregeln zum Finden der Ableitung

Wenn - und - an einem Punkt differenzierbare Funktionen sind (d.h. Funktionen, die an einem Punkt Ableitungen haben), dann:

Tabelle der Ableitungen der Grundfunktionen

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Die Ableitungsregel einer komplexen Funktion. Wenn und, d.h. , wo und Ableitungen haben, dann

Differentiation einer parametrisch definierten Funktion. Die Abhängigkeit einer Variablen von einer Variablen sei parametrisch durch einen Parameter gegeben:

Aufgabe 3. Finden Sie Ableitungen gegebener Funktionen.

1)

Lösung. Wenden wir Regel 2 zum Auffinden von Ableitungen und die Formeln 1 und 2 der Ableitungstabelle an, erhalten wir:

Lösung. Wenden wir Regel 4 zum Auffinden von Ableitungen und die Formeln 1 und 13 der Ableitungstabelle an, erhalten wir:

.

Lösung. Wenden wir Regel 3 zum Auffinden von Ableitungen und die Formeln 5 und 11 der Ableitungstabelle an, erhalten wir:

Lösung. Angenommen, wo erhalten wir gemäß der Formel zum Ermitteln der Ableitung einer komplexen Funktion:

Lösung. Wir haben: Dann erhalten wir gemäß der Formel zur Bestimmung der Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion:

4. Derivate höherer Ordnung. Die Regel von L'Hopital.

Die Ableitung zweiter Ordnung einer Funktion heißt die Ableitung seiner Ableitung, d.h. . Für die zweite Ableitung wird folgende Notation verwendet: or, or.

Ableitung 1. Ordnung einer Funktion heißt die Ableitung ihrer Ableitung ter Ordnung. Für die Ableitung der -ten Ordnung wird die folgende Schreibweise verwendet: or, or.

Die Regel von L'Hopital. Seien die Funktionen und in der Umgebung eines Punktes differenzierbar, und die Ableitung verschwindet nicht. Wenn die Funktionen und gleichzeitig unendlich klein oder unendlich groß sind und es eine Grenze des Verhältnisses von at gibt, dann gibt es auch eine Grenze des Verhältnisses von at. Und

.

Die Regel gilt auch wann

Beachten Sie, dass in einigen Fällen die Offenlegung von Unsicherheiten des Formulars oder eine wiederholte Anwendung der Regel von L'Hospital erfordern kann.

Unsicherheiten anzeigen usw. elementare Transformationen werden leicht auf Unsicherheiten der Form oder reduziert.

Aufgabe 4. Finden Sie den Grenzwert mit der Regel von L'Hopital.

Lösung Hier haben wir eine Unbestimmtheit der Form, da bei. Wenden wir die Regel von L'Hospital an:

.

Nach Anwendung der Regel von L'Hopital haben wir wieder die Unsicherheit der Form, weil bei. Wenden wir die Regel von L'Hopital erneut an, erhalten wir:

.

5. Funktionsforschung

a) Steigende und fallende Funktionen

Die Funktion wird aufgerufen zunehmend auf dem Segment , wenn für irgendwelche Punkte und von dem Segment, wo die Ungleichung stattfindet. Wenn die Funktion im Intervall und bei stetig ist, steigt sie im Intervall an.

Die Funktion wird aufgerufen abnehmend auf dem Segment , falls für irgendwelche Punkte und aus dem Segment, wo die Ungleichung stattfindet. Wenn die Funktion im Intervall und bei stetig ist, dann nimmt sie im Intervall ab.

Wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall nur zunimmt oder nur abnimmt, wird sie aufgerufen eintönig auf dem Intervall.

b) Funktionsextreme

Mindestpunkt Funktionen .

Wenn vorhanden -Nachbarschaft des Punktes so dass die Ungleichung für alle Punkte in dieser Umgebung gilt, dann wird der Punkt aufgerufen Höchstpunkt Funktionen .

Die maximalen und minimalen Punkte einer Funktion werden als ihre bezeichnet Extrempunkte.

Der Punkt wird aufgerufen stationären Punkt wenn oder nicht existiert.

Wenn es eine -Nachbarschaft des stationären Punktes gibt, so dass for und for, dann ist - der Maximalpunkt der Funktion.

Wenn es eine -Nachbarschaft des stationären Punktes gibt, so dass for und for, dann -Minimumpunkt der Funktion.

a) Kurvenrichtung. Wendepunkte

konvex nach oben auf dem Intervall , wenn es sich an irgendeinem Punkt in diesem Intervall unter der Tangente befindet, die an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Eine hinreichende Bedingung für die Aufwärtskonvexität des Graphen einer Funktion auf einem Intervall ist die Erfüllung der Ungleichung für jedes der betrachteten Intervalle.

Der Graph einer differenzierbaren Funktion wird aufgerufen konvex nach unten auf dem Intervall , wenn es sich an irgendeinem Punkt in diesem Intervall über der Tangente befindet, die an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Eine hinreichende Bedingung für die nach unten gerichtete Konvexität des Graphen einer Funktion auf einem Intervall ist die Erfüllung der Ungleichung für jedes der betrachteten Intervalle.

Der Punkt, an dem sich die Richtung der Konvexität des Funktionsgraphen ändert, wird aufgerufen Wendepunkt.

Ein Punkt, an dem oder nicht existiert, ist die Abszisse des Wendepunkts, wenn er links und rechts davon unterschiedliche Vorzeichen hat.

d) Asymptoten

Wenn der Abstand vom Punkt des Graphen einer Funktion zu einer bestimmten Geraden bei unendlicher Entfernung vom Ursprung des Punktes gegen Null geht, dann heißt die Gerade Asymptote des Graphen der Funktion.

Wenn es eine solche Zahl gibt, dann ist die Linie vertikale Asymptote.

Wenn es Grenzen gibt , dann ist die Linie schräge (horizontale bei k=0) Asymptote.

e) Allgemeine Untersuchung der Funktion

1. Funktionsumfang

2. Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen

3. Untersuchung einer Funktion auf Stetigkeit, gerade / ungerade und Periodizität

4. Intervalle der Monotonie einer Funktion

5. Extrempunkte der Funktion

6. Konvexitätsintervalle und Wendepunkte des Graphen einer Funktion

7. Asymptoten des Graphen einer Funktion

8. Graph der Funktion.

Aufgabe 5. Untersuchen Sie die Funktion und zeichnen Sie ihren Graphen.

Lösung. 1) Die Funktion ist auf der gesamten Zahlenachse definiert, außer an der Stelle, an der der Nenner des Bruchs verschwindet. . Wir haben: gehört nicht zum Umfang dieser Funktion. Daher sind die stationären Punkte dieser Funktion die Punkte, der Minimalwert (wie in der Abbildung gezeigt).

Über die geometrische Bedeutung ist viel Theorie geschrieben worden. Ich werde nicht auf die Ableitung des Funktionsinkrements eingehen, ich werde Sie an die Hauptsache für die Erledigung von Aufgaben erinnern:

Die Ableitung am Punkt x ist gleich der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y = f (x) an diesem Punkt, also die Tangente des Neigungswinkels an die X-Achse.

Nehmen wir sofort die Aufgabe aus der Prüfung und beginnen sie zu verstehen:

Aufgabe Nummer 1. Die Abbildung zeigt Funktionsgraph y = f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.
Wer es eilig hat und die Erklärungen nicht verstehen will: baue zu einem solchen Dreieck (wie unten gezeigt) und teile die stehende Seite (vertikal) durch die liegende (horizontale) und du wirst froh sein, wenn du das Vorzeichen nicht vergisst (wenn die Gerade abnimmt (→ ↓), dann sollte die Antwort mit einem Minus sein, wenn die Gerade steigt (→), dann muss die Antwort positiv sein!)

Sie müssen den Winkel zwischen der Tangente und der X-Achse finden, nennen wir ihn α: Zeichnen Sie eine gerade Linie parallel zur X-Achse irgendwo durch die Tangente an den Graphen, wir erhalten den gleichen Winkel.

Es ist besser, den Punkt x0 nicht zu nehmen, weil Sie benötigen eine große Lupe, um die genauen Koordinaten zu bestimmen.

Wenn wir ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck nehmen (in der Abbildung werden 3 Optionen vorgeschlagen), finden wir tgα (die Winkel sind entsprechend gleich), d.h. wir erhalten die Ableitung der Funktion f(x) im Punkt x0. Warum so?

Wenn wir Tangenten an anderen Punkten x2, x1 usw. Tangenten werden anders sein.

Gehen wir zurück in die 7. Klasse, um eine gerade Linie zu bauen!

Die Geradengleichung ist gegeben durch die Gleichung y = kx + b , wobei

k - Neigung relativ zur X-Achse.

b ist der Abstand zwischen dem Schnittpunkt mit der Y-Achse und dem Ursprung.

Die Ableitung einer Geraden ist immer gleich: y" = k.

An welchem ​​Punkt auf der Geraden wir die Ableitung nehmen, sie bleibt unverändert.

Also bleibt nur noch tgα zu finden (wie oben erwähnt: wir teilen die stehende Seite durch die liegende Seite). Wir teilen das gegenüberliegende Bein durch das benachbarte, wir erhalten das k \u003d 0,5. Wenn der Graph jedoch abfällt, ist der Koeffizient negativ: k = –0,5.

Ich rate Ihnen zu überprüfen zweiter Weg:
Zwei Punkte können verwendet werden, um eine gerade Linie zu definieren. Finde die Koordinaten zweier beliebiger Punkte. Zum Beispiel (-2;-2) und (2;-4):

Ersetzen Sie in der Gleichung y = kx + b anstelle von y und x die Koordinaten der Punkte:

-2 = -2k + b

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir b = −3, k = −0,5

Fazit: Die zweite Methode ist länger, aber Sie werden das Zeichen nicht vergessen.

Antwort: - 0,5

Aufgabe Nummer 2. Die Abbildung zeigt Ableitungsdiagramm Funktionen f(x). Auf der x-Achse sind acht Punkte markiert: x1, x2, x3, ..., x8. Wie viele dieser Punkte liegen auf den Intervallen der steigenden Funktion f(x) ?

Wenn der Graph der Funktion abnimmt - die Ableitung ist negativ (und umgekehrt).

Wenn der Graph der Funktion zunimmt, ist die Ableitung positiv (und umgekehrt).

Diese beiden Sätze werden Ihnen helfen, die meisten Probleme zu lösen.

Schauen Sie genau hin Ihnen wird eine Zeichnung einer Ableitung oder einer Funktion gegeben, und dann wählen Sie eine von zwei Phrasen aus.

Wir konstruieren einen schematischen Graphen der Funktion. Da Wir erhalten einen Graphen der Ableitung, dann nimmt der Graph der Funktion dort ab, wo er negativ ist, und wo er positiv ist, nimmt er zu!

Es stellt sich heraus, dass 3 Punkte auf den Erhöhungsbereichen liegen: x4; x5; x6.

Antwort: 3

Aufgabe Nummer 3. Die Funktion f(x) ist auf dem Intervall (-6; 4) definiert. Das Bild zeigt Graph seiner Ableitung. Suchen Sie die Abszisse des Punktes, an dem die Funktion den größten Wert annimmt.

Ich rate Ihnen, den Verlauf des Funktionsgraphen immer zu bauen, mit solchen Pfeilen oder schematisch mit Zeichen (wie in Nr. 4 und Nr. 5):

Wenn der Graph auf -2 ansteigt, dann ist der Maximalpunkt offensichtlich -2.

Antwort: -2

Aufgabe Nummer 4. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion f(x) und zwölf Punkte auf der x-Achse: x1, x2, ..., x12. An wie vielen dieser Punkte ist die Ableitung der Funktion negativ?

Die Aufgabe ist umgekehrt, wenn Sie den Graphen der Funktion angeben, müssen Sie schematisch erstellen, wie der Graph der Ableitung der Funktion aussehen wird, und berechnen, wie viele Punkte im negativen Bereich liegen.

Positiv: x1, x6, x7, x12.

Negativ: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Antwort: 7

Eine andere Art von Aufgabe, wenn Sie nach einigen schrecklichen "Extremen" gefragt werden? Es wird Ihnen nicht schwer fallen, herauszufinden, was es ist, aber ich werde es für die Grafiken erklären.

Aufgabe Nummer 5. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-16; 6). Finden Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion f(x) auf dem Segment [-11; 5].

Beachten Sie den Bereich von -11 bis 5!

Richten wir unsere hellen Augen auf die Platte: Der Graph der Ableitung der Funktion ist gegeben => dann sind die Extrema die Schnittpunkte mit der X-Achse.

Antwort: 3

Aufgabe Nummer 6. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f (x), definiert auf dem Intervall (-13; 9). Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f(x) auf dem Segment [-12; 5].

Beachten Sie den Bereich von -12 bis 5!

Sie können die Platte mit einem Auge betrachten, der Maximalpunkt ist ein Extremum, so dass davor die Ableitung positiv ist (die Funktion zunimmt), und danach die Ableitung negativ ist (die Funktion abnimmt). Diese Punkte sind eingekreist.

Die Pfeile zeigen, wie sich der Graph der Funktion verhält.

Antwort: 3

Aufgabe Nummer 7. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion f(x), die auf dem Intervall (-7; 5) definiert ist. Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) gleich 0 ist.

Sie können sich die obige Tabelle ansehen (die Ableitung ist Null, was bedeutet, dass dies Extrempunkte sind). Und in diesem Problem ist der Graph der Funktion angegeben, was bedeutet, dass Sie finden müssen Anzahl der Wendepunkte!

Und Sie können wie üblich: Wir bauen einen schematischen Graphen der Ableitung.

Die Ableitung ist Null, wenn der Funktionsgraph seine Richtung ändert (von steigend zu fallend und umgekehrt)

Antwort: 8

Aufgabe Nummer 8. Das Bild zeigt Ableitungsdiagramm Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-2; 10). Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der ganzzahligen Punkte an, die in diesen Intervallen enthalten sind.

Lassen Sie uns einen schematischen Graphen der Funktion erstellen:

Wo es zunimmt, erhalten wir 4 ganzzahlige Punkte: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Antwort: 22

Aufgabe Nummer 9. Das Bild zeigt Ableitungsdiagramm Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-6; 6). Finden Sie die Anzahl der Punkte f(x), an denen die Tangente an den Graphen der Funktion parallel oder mit der Linie y = 2x + 13 zusammenfällt.

Wir erhalten einen Graphen der Ableitung! Das bedeutet, dass auch unser Tangens in eine Ableitung „übersetzt“ werden muss.

Tangentenableitung: y" = 2.

Lassen Sie uns nun beide Ableitungen erstellen:

Die Tangenten schneiden sich in drei Punkten, also ist unsere Antwort 3.

Antwort: 3

Aufgabe Nummer 10. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f (x), markiert sind die Punkte -2, 1, 2, 3. An welchem ​​dieser Punkte ist der Wert der Ableitung am kleinsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Die Aufgabe ist der ersten etwas ähnlich: Um den Wert der Ableitung zu finden, müssen Sie an einem Punkt eine Tangente an diesen Graphen bilden und den Koeffizienten k finden.

Wenn die Linie abnimmt, k< 0.

Wenn die Linie ansteigt, ist k > 0.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, wie sich der Wert des Koeffizienten auf die Steigung der Geraden auswirkt:

Bei k = 1 oder k = − 1 liegt der Graph in der Mitte zwischen der x- und y-Achse.

Je näher die Gerade an der X-Achse liegt, desto näher liegt der Koeffizient k bei Null.

Je näher die Linie an der Y-Achse liegt, desto näher liegt der Koeffizient k an unendlich.

An Punkt -2 und 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>dort wird der kleinste Wert des Derivats sein

Antwort 1

Aufgabe Nummer 11. Die Gerade tangiert y = 3x + 9 den Graphen der Funktion y = x³ + x² + 2x + 8 . Finde die Abszisse des Kontaktpunktes.

Die Linie wird den Graphen tangieren, wenn die Graphen einen gemeinsamen Punkt haben, wie ihre Ableitungen. Setzen Sie die Gleichungen der Graphen und ihre Ableitungen gleich:

Wenn wir die zweite Gleichung lösen, erhalten wir 2 Punkte. Um zu prüfen, welches geeignet ist, setzen wir jedes x in die erste Gleichung ein. Nur einer wird es tun.

Ich will gar keine kubische Gleichung lösen, sondern eine quadratische für eine süße Seele.

Das ist nur was als Antwort aufschreiben, wenn man zwei "normale" Antworten bekommt?

Wenn Sie x (x) in die ursprünglichen Diagramme y \u003d 3x + 9 und y \u003d x³ + x² + 2x + 8 einsetzen, sollten Sie dasselbe Y erhalten

y= 1³+1²+2×1+8=12

Recht! Also ist x=1 die Antwort

Antwort 1

Aufgabe Nummer 12. Die Gerade y = − 5x − 6 tangiert den Graphen der Funktion ax² + 5x − 5 . Finde einen .

Ebenso setzen wir die Funktionen und ihre Ableitungen gleich:

Lösen wir dieses System nach den Variablen a und x :

Antwort: 25

Die Aufgabe mit Derivaten gilt als eine der schwierigsten im ersten Teil der Prüfung, aber mit ein wenig Aufmerksamkeit und Verständnis für das Thema werden Sie Erfolg haben und den Prozentsatz der Erfüllung dieser Aufgabe erhöhen!

Zeigt die Beziehung des Vorzeichens der Ableitung mit der Natur der Monotonie der Funktion.

Bitte seien Sie im Folgenden äußerst vorsichtig. Schaut, der Zeitplan dessen, WAS euch gegeben wird! Funktion oder ihre Ableitung

Gegeben sei ein Graph der Ableitung, dann interessieren uns nur Funktionszeichen und Nullstellen. Grundsätzlich sind für uns keine „Hügel“ und „Höhlen“ von Interesse!

Aufgabe 1.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf einem Intervall definierten Funktion. Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Punkte, an denen die Ableitung der Funktion negativ ist.

Lösung:

In der Abbildung sind die Bereiche abnehmender Funktion farblich hervorgehoben:

4 ganzzahlige Werte fallen in diese Bereiche mit abnehmender Funktion.

Aufgabe 2.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf einem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion parallel oder mit der Linie zusammenfällt.

Lösung:

Da die Tangente an den Funktionsgraphen parallel (oder zusammenfällt) mit einer Geraden (oder, was gleich ist, ) hat Neigung, gleich Null, dann hat die Tangente eine Steigung .

Dies wiederum bedeutet, dass die Tangente parallel zur Achse ist, da die Steigung der Tangens des Neigungswinkels der Tangente an die Achse ist.

Daher finden wir Extrempunkte in der Grafik (Maximal- und Minimalpunkte), - in ihnen sind die Funktionen, die die Grafik tangieren, parallel zur Achse.

Es gibt 4 solcher Punkte.

Aufgabe 3.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion parallel oder mit der Linie zusammenfällt.

Lösung:

Da die Tangente an den Graphen der Funktion parallel (oder zusammenfällt) mit einer geraden Linie ist, die eine Steigung hat, hat die Tangente eine Steigung.

Das wiederum bedeutet, dass an den Berührungspunkten.

Daher schauen wir uns an, wie viele Punkte im Diagramm eine Ordinate gleich haben.

Wie Sie sehen können, gibt es vier solcher Punkte.

Aufgabe 4.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf einem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion 0 ist.

Lösung:

An den Extrempunkten ist die Ableitung Null. Wir haben 4 davon:

Aufgabe 5.

Die Abbildung zeigt einen Funktionsgraphen und elf Punkte auf der x-Achse:. An wie vielen dieser Punkte ist die Ableitung der Funktion negativ?

Lösung:

In Intervallen abnehmender Funktion nimmt ihre Ableitung negative Werte an. Und die Funktion nimmt an Punkten ab. Es gibt 4 solcher Punkte.

Aufgabe 6.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf einem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Summe der Extrempunkte der Funktion .

Lösung:

Extrempunkte sind die Höchstpunktzahl (-3, -1, 1) und die Mindestpunktzahl (-2, 0, 3).

Die Summe der Extrempunkte: -3-1+1-2+0+3=-2.

Aufgabe 7.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Intervalle der ansteigenden Funktion . Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der ganzzahligen Punkte an, die in diesen Intervallen enthalten sind.

Lösung:

Die Abbildung hebt die Intervalle hervor, in denen die Ableitung der Funktion nicht negativ ist.

Auf dem kleinen Anstiegsintervall gibt es keine ganzzahligen Punkte, auf dem Anstiegsintervall gibt es vier ganzzahlige Werte: , , und .

Ihre Summe:

Aufgabe 8.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Intervalle der ansteigenden Funktion . Schreiben Sie in Ihre Antwort die Länge des größten von ihnen.

Lösung:

In der Abbildung sind alle Intervalle hervorgehoben, in denen die Ableitung positiv ist, was bedeutet, dass die Funktion selbst in diesen Intervallen zunimmt.

Die Länge des größten von ihnen beträgt 6.

Aufgabe 9.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. An welcher Stelle des Segments nimmt es den größten Wert an.

Lösung:

Wir schauen uns an, wie sich der Graph auf dem Segment verhält, das uns interessiert Nur Ableitungszeichen .

Das Vorzeichen der Ableitung ist minus, da der Graph auf diesem Segment unterhalb der Achse liegt.