Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Tatsache 1. Integration ist das Gegenteil von Differentiation, nämlich die Wiederherstellung einer Funktion aus der bekannten Ableitung dieser Funktion. Die Funktion wird auf diese Weise wiederhergestellt F(x) wird genannt Primitive für Funktion f(x).

Definition 1. Funktion F(x f(x) in einem bestimmten Intervall X, falls für alle Werte x ab diesem Intervall die Gleichheit F "(x)=f(x), also diese Funktion f(x) ist die Ableitung der Stammfunktion F(x). .

Zum Beispiel die Funktion F(x) = Sünde x ist die Stammfunktion für die Funktion f(x) = cos x auf dem gesamten Zahlenstrahl, da für jeden Wert von x (Sünde x)" = (cos x) .

Definition 2. Unbestimmtes Integral einer Funktion f(x) ist die Sammlung aller Stammfunktionen. Dies verwendet die Notation

∫

f(x)dx

,

wo ist das zeichen ∫ heißt das Integralzeichen, die Funktion f(x) ist ein Integrand, und f(x)dx ist der Integrand.

Also wenn F(x) ist eine Stammfunktion für f(x) , dann

∫

f(x)dx = F(x) +C

wo C - beliebige Konstante (Konstante).

Um die Bedeutung der Menge der Stammfunktionen einer Funktion als unbestimmtes Integral zu verstehen, ist die folgende Analogie angebracht. Lass es eine Tür geben (eine traditionelle Holztür). Seine Funktion ist es, „eine Tür zu sein“. Woraus besteht die Tür? Von einem Baum. Dies bedeutet, dass die Menge der Stammfunktionen des Integranden „eine Tür sein“, dh sein unbestimmtes Integral, die Funktion „ein Baum sein + C“ ist, wobei C eine Konstante ist, die in diesem Zusammenhang z B. eine Baumart. So wie eine Tür aus Holz mit einigen Werkzeugen hergestellt wird, wird die Ableitung einer Funktion aus der Stammfunktion mit "gemacht". Formel, die wir durch das Studium der Ableitung gelernt haben .

Dann ist die Tabelle der Funktionen gewöhnlicher Objekte und ihrer entsprechenden Primitiven ("eine Tür sein" - "ein Baum sein", "ein Löffel sein" - "ein Metall sein" usw.) ähnlich der Tabelle von grundlegende unbestimmte Integrale, die unten angegeben werden. Die Tabelle der unbestimmten Integrale listet allgemeine Funktionen auf und gibt die Stammfunktionen an, aus denen diese Funktionen "hergestellt" werden. Im Rahmen der Aufgaben zur Bestimmung des unbestimmten Integrals werden solche Integranden angegeben, die ohne besonderen Aufwand direkt integriert werden können, also gemäß der Tabelle der unbestimmten Integrale. Bei komplexeren Problemen muss der Integrand zunächst transformiert werden, damit Tabellenintegrale verwendet werden können.

Tatsache 2. Um eine Funktion als Stammfunktion wiederherzustellen, müssen wir eine beliebige Konstante (Konstante) berücksichtigen C, und um keine Liste von Stammfunktionen mit unterschiedlichen Konstanten von 1 bis unendlich zu schreiben, müssen Sie eine Reihe von Stammfunktionen mit einer beliebigen Konstante aufschreiben C, so: 5 x³+C. Daher wird eine beliebige Konstante (Konstante) in den Ausdruck der Stammfunktion aufgenommen, da die Stammfunktion eine Funktion sein kann, z. B. 5 x³+4 oder 5 x³+3 und beim Differenzieren von 4 oder 3 oder jeder anderen Konstante verschwindet.

Wir stellen das Integrationsproblem: für eine gegebene Funktion f(x) finden Sie eine solche Funktion F(x), dessen Ableitung entspricht f(x).

Beispiel 1 Finden Sie die Menge der Stammfunktionen einer Funktion

Entscheidung. Für diese Funktion ist die Stammfunktion die Funktion

Funktion F(x) heißt Stammfunktion für die Funktion f(x) wenn die Ableitung F(x) entspricht f(x) oder, was dasselbe ist, das Differential F(x) entspricht f(x) dx, d.h.

(2)

Daher ist die Funktion Stammfunktion für die Funktion . Es ist jedoch nicht die einzige Stammfunktion für . Sie sind auch Funktionen

wo Mit ist eine beliebige Konstante. Dies kann durch Differenzierung überprüft werden.

Wenn es also eine Stammfunktion für eine Funktion gibt, dann gibt es für sie eine unendliche Menge von Stammfunktionen, die sich durch einen konstanten Summanden unterscheiden. Alle Stammfunktionen einer Funktion werden in obiger Form geschrieben. Dies folgt aus dem folgenden Satz.

Theorem (formale Tatsachenfeststellung 2). Wenn ein F(x) ist die Stammfunktion für die Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall X, dann jede andere Stammfunktion für f(x) im selben Intervall dargestellt werden kann als F(x) + C, wo Mit ist eine beliebige Konstante.

Im folgenden Beispiel wenden wir uns bereits der Tabelle der Integrale zu, die in Abschnitt 3 nach den Eigenschaften des unbestimmten Integrals angegeben wird. Wir tun dies, bevor wir uns mit der gesamten Tabelle vertraut machen, damit die Essenz des oben Gesagten klar ist. Und nach der Tabelle und den Eigenschaften werden wir sie bei der Integration vollständig verwenden.

Beispiel 2 Finde Stammfunktionen:

Entscheidung. Wir finden Mengen von Stammfunktionen, aus denen diese Funktionen "gemacht" werden. Wenn Sie Formeln aus der Integraltabelle erwähnen, akzeptieren Sie einfach, dass es solche Formeln gibt, und wir werden die Tabelle der unbestimmten Integrale ein wenig weiter studieren.

1) Anwendung von Formel (7) aus der Integraltabelle für n= 3, erhalten wir

2) Verwendung von Formel (10) aus der Tabelle der Integrale für n= 1/3 haben wir

3) Seit

dann nach Formel (7) an n= -1/4 finden

Unter dem Integralzeichen schreiben sie nicht die Funktion selbst f, und sein Produkt durch das Differential dx. Dies geschieht hauptsächlich, um anzugeben, nach welcher Variablen die Stammfunktion gesucht wird. Zum Beispiel,

, ;

hier ist der Integrand in beiden Fällen gleich , aber seine unbestimmten Integrale fallen in den betrachteten Fällen unterschiedlich aus. Im ersten Fall wird diese Funktion als Funktion einer Variablen betrachtet x, und in der zweiten - als Funktion von z .

Der Prozess, das unbestimmte Integral einer Funktion zu finden, wird Integration dieser Funktion genannt.

Die geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals

Es sei erforderlich, eine Kurve zu finden y=F(x) und wir wissen bereits, dass die Tangente der Steigung der Tangente an jedem ihrer Punkte eine gegebene Funktion ist f(x) Abszisse dieses Punktes.

Nach der geometrischen Bedeutung der Ableitung ist die Tangente die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt der Kurve y=F(x) gleich dem Wert des Derivats F"(x). Also müssen wir eine solche Funktion finden F(x), wofür F"(x)=f(x). Erforderliche Funktion in der Aufgabe F(x) ist abgeleitet von f(x). Die Bedingung des Problems wird nicht von einer Kurve erfüllt, sondern von einer Familie von Kurven. y=F(x)- eine dieser Kurven, und jede andere Kurve kann daraus durch parallele Verschiebung entlang der Achse erhalten werden Ey.

Nennen wir den Graphen der Stammfunktion von f(x) integrale Kurve. Wenn ein F"(x)=f(x), dann der Graph der Funktion y=F(x) ist eine Integralkurve.

Tatsache 3. Das unbestimmte Integral wird geometrisch durch die Familie aller Integralkurven dargestellt wie im Bild unten. Der Abstand jeder Kurve vom Ursprung wird durch eine willkürliche Integrationskonstante (Konstante) bestimmt C.

Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Tatsache 4. Satz 1. Die Ableitung eines unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden, und sein Differential ist gleich dem Integranden.

Fakt 5. Satz 2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion f(x) ist gleich der Funktion f(x) bis zu einer konstanten Laufzeit , d.h.

(3)

Die Sätze 1 und 2 zeigen, dass Differentiation und Integration zueinander inverse Operationen sind.

Tatsache 6. Satz 3. Der konstante Faktor im Integranden kann aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals herausgenommen werden , d.h.

In der Differentialrechnung wird das Problem gelöst: Finden Sie unter der gegebenen Funktion ƒ(x) ihre Ableitung(oder Differential). Die Integralrechnung löst das inverse Problem: Um die Funktion F (x) zu finden, kennt man ihre Ableitung F "(x) \u003d ƒ (x) (oder Differential). Die gewünschte Funktion F (x) wird Stammfunktion der Funktion genannt f (x).

Die Funktion F(x) wird aufgerufen Primitive Funktion ƒ(x) auf dem Intervall (a; b), wenn für jedes x є (a; b) die Gleichheit

F " (x)=ƒ(x) (oder dF(x)=ƒ(x)dx).

zum Beispiel, die Stammfunktion y \u003d x 2, x є R, ist eine Funktion, da

Stammfunktionen sind natürlich auch beliebige Funktionen

wobei C eine Konstante ist, weil

Satz 29. 1. Wenn die Funktion F(x) die Stammfunktion der Funktion ƒ(x) auf (a;b) ist, dann ist die Menge aller Stammfunktionen für ƒ(x) durch die Formel F(x)+ gegeben C, wobei C eine konstante Zahl ist.

▲ Die Funktion F(x)+C ist die Stammfunktion von ƒ(x).

Tatsächlich gilt (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Sei F(x) eine andere, von F(x) verschiedene Stammfunktion ƒ(x), d.h. Ф "(x)=ƒ(x). Dann haben wir für jedes x є (a; b).

Und das bedeutet (siehe Korollar 25.1) das

wobei C eine konstante Zahl ist. Daher gilt Ф(х)=F(x)+С.▼

Die Menge aller primitiven Funktionen F(x)+C für ƒ(x) wird aufgerufen unbestimmtes Integral der Funktion ƒ(x) und wird mit dem Symbol ∫ ƒ(x) dx bezeichnet.

Also per Definition

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Hier wird ƒ(x) aufgerufen Integrand, f(x)dx — Integrand, X - Integrationsvariable, ∫ -unbestimmtes Integralzeichen.

Die Operation, ein unbestimmtes Integral einer Funktion zu finden, wird Integration dieser Funktion genannt.

Das geometrisch unbestimmte Integral ist eine Familie von "parallelen" Kurven y \u003d F (x) + C (jeder Zahlenwert von C entspricht einer bestimmten Kurve der Familie) (siehe Abb. 166). Der Graph jeder Stammfunktion (Kurve) wird aufgerufen integrale Kurve.

Hat jede Funktion ein unbestimmtes Integral?

Es gibt einen Satz, der besagt, dass „jede auf (a;b) stetige Funktion eine Stammfunktion auf diesem Intervall hat“ und folglich ein unbestimmtes Integral.

Wir stellen eine Reihe von Eigenschaften des unbestimmten Integrals fest, die sich aus seiner Definition ergeben.

1. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden, und die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

In der Tat d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Dank dieser Eigenschaft wird die Richtigkeit der Integration durch Differentiation verifiziert. Zum Beispiel Gleichberechtigung

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

wahr, da (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstante:

∫dF(x)=F(x)+C.

Wirklich,

3. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen herausgenommen werden:

α ≠ 0 ist eine Konstante.

Wirklich,

(setzen Sie C 1 / a \u003d C.)

4. Das unbestimmte Integral der algebraischen Summe endlich vieler stetiger Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Integrale der Terme der Funktionen:

Sei F"(x)=ƒ(x) und G"(x)=g(x). Dann

wo C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (Invarianz der Integrationsformel).

Wenn ein , wobei u=φ(x) eine beliebige Funktion mit stetiger Ableitung ist.

▲ Sei x eine unabhängige Variable, ƒ(x) eine stetige Funktion und F(x) ihre Stammfunktion. Dann

Setzen wir nun u=φ(x), wobei φ(x) eine stetig differenzierbare Funktion ist. Betrachten Sie eine komplexe Funktion F(u)=F(φ(x)). Aufgrund der Invarianz der Form des ersten Differentials der Funktion (siehe S. 160) gilt

Von hier▼

Somit bleibt die Formel für das unbestimmte Integral gültig, unabhängig davon, ob die Integrationsvariable eine unabhängige Variable oder eine Funktion davon ist, die eine stetige Ableitung hat.

Also aus der Formel durch Ersetzen von x durch u (u=φ(x)) erhalten wir

Insbesondere,

Beispiel 29.1. Finde das Integral

wo C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Beispiel 29.2. Finde integrale Lösung:

• 29.3. Tabelle der grundlegenden unbestimmten Integrale

Unter Ausnutzung der Tatsache, dass Integration die Umkehrung der Differentiation ist, kann man eine Tabelle grundlegender Integrale erhalten, indem man die entsprechenden Formeln der Differentialrechnung umkehrt (Differentialtabelle) und die Eigenschaften des unbestimmten Integrals verwendet.

zum Beispiel, als

d(sin u)=cos u . du,

Die Ableitung einer Reihe von Tabellenformeln wird bei der Betrachtung der wichtigsten Integrationsmethoden angegeben.

Die Integrale in der folgenden Tabelle werden Tabellenintegrale genannt. Sie sollten auswendig bekannt sein. In der Integralrechnung gibt es keine einfachen und universellen Regeln zum Auffinden von Stammfunktionen aus elementaren Funktionen wie in der Differentialrechnung. Methoden zum Finden von Stammfunktionen (d. h. zum Integrieren einer Funktion) werden darauf reduziert, Methoden anzugeben, die ein gegebenes (gewünschtes) Integral in ein tabellarisches Integral überführen. Daher ist es notwendig, tabellarische Integrale zu kennen und erkennen zu können.

Beachten Sie, dass in der Tabelle der Basisintegrale die Integrationsvariable und sowohl eine unabhängige Variable als auch eine Funktion einer unabhängigen Variablen bezeichnen kann (gemäß der Invarianzeigenschaft der Integrationsformel).

Die Gültigkeit der folgenden Formeln kann überprüft werden, indem das Differential auf der rechten Seite genommen wird, das gleich dem Integranden auf der linken Seite der Formel ist.

Beweisen wir zum Beispiel die Gültigkeit von Formel 2. Die Funktion 1/u ist definiert und stetig für alle von Null verschiedenen Werte von u.

Wenn u > 0, dann ln|u|=lnu, dann So

Wenn du<0, то ln|u|=ln(-u). НоMeint

Formel 2 ist also richtig. Lassen Sie uns in ähnlicher Weise Formel 15 überprüfen:

Tabelle der Grundintegrale

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Die Hauptaufgabe der Differentialrechnung ist die Ableitung zu finden f'(x) oder differentiell df=f'(x)dx Funktionen f(x). In der Integralrechnung wird das inverse Problem gelöst. Je nach angegebener Funktion f(x) ist es erforderlich, eine solche Funktion zu finden F(x), was F'(x)=f(x) oder dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Auf diese Weise, Hauptaufgabe der Integralrechnung ist eine Erholungsfunktion F(x) durch die bekannte Ableitung (Differential) dieser Funktion. Die Integralrechnung hat zahlreiche Anwendungen in Geometrie, Mechanik, Physik und Technik. Es gibt eine allgemeine Methode zum Auffinden von Flächen, Volumen, Schwerpunkten usw.

Definition. FunktionF(x), , heißt die Stammfunktion der Funktionf(x) auf der Menge X, wenn sie für jedes und differenzierbar istF'(x)=f(x) bzwdF(x)=f(x)dx.

Satz. Jede kontinuierliche im Intervall [a;b] Funktionf(x) hat eine Stammfunktion auf diesem SegmentF(x).

Satz. Wenn einF1 (x) undF2 (x) sind zwei verschiedene Stammfunktionen derselben Funktionf(x) auf der Menge x, dann unterscheiden sie sich durch einen konstanten Term, d.h.F2 (x)=F1x)+C, wobei C eine Konstante ist.

Unbestimmtes Integral, seine Eigenschaften.

Definition. AggregatF(x)+C aller Stammfunktionenf(x) auf der Menge X heißt unbestimmtes Integral und wird bezeichnet mit:

- (1)

In Formel (1) f(x)dx namens Integrand,f(x) ist der Integrand, x ist die Integrationsvariable, a C ist die Integrationskonstante.

Betrachten Sie die Eigenschaften des unbestimmten Integrals, die sich aus seiner Definition ergeben.

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden, das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

und .

2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstante:

3. Der konstante Faktor a (a≠0) lässt sich aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals herausnehmen:

4. Das unbestimmte Integral der algebraischen Summe endlich vieler Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Integrale dieser Funktionen:

5. Wenn einF(x) ist die Stammfunktion der Funktionf(x), dann:

6 (Invarianz der Integrationsformeln). Jede Integrationsformel behält ihre Form, wenn die Integrationsvariable durch eine beliebige differenzierbare Funktion dieser Variablen ersetzt wird:

wou ist eine differenzierbare Funktion.

Tabelle der unbestimmten Integrale.

Lassen Sie uns bringen Grundregeln für die Integration von Funktionen.

Lassen Sie uns bringen Tabelle der grundlegenden unbestimmten Integrale.(Beachten Sie, dass hier, wie in der Differentialrechnung, der Buchstabe u kann als unabhängige Variable bezeichnet werden (u=x), und eine Funktion der unabhängigen Variablen (u=du (x)).)

(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Die Integrale 1 - 17 werden aufgerufen tabellarisch.

Einige der obigen Formeln der Integraltabelle, die kein Analogon in der Ableitungstabelle haben, werden verifiziert, indem ihre rechten Seiten differenziert werden.

Variablenänderung und partielle Integration im unbestimmten Integral.

Integration durch Substitution (Variablenänderung). Es sei erforderlich, das Integral zu berechnen

, die nicht tabellarisch ist. Die Essenz der Substitutionsmethode besteht darin, dass im Integral die Variable steht X Variable ersetzen t laut Formel x=φ(t), wo dx=φ'(t)dt.

Satz. Lassen Sie die Funktionx=φ(t) ist auf einer Menge T definiert und differenzierbar und X sei die Wertemenge dieser Funktion, auf der die Funktion definiert istf(x). Dann, wenn auf dem Set X die Funktionf(

Dieser Artikel befasst sich ausführlich mit den Haupteigenschaften eines bestimmten Integrals. Sie werden mit dem Konzept des Riemann- und Darboux-Integrals bewiesen. Die Berechnung eines bestimmten Integrals geht dank 5 Eigenschaften. Der Rest von ihnen wird verwendet, um verschiedene Ausdrücke auszuwerten.

Bevor wir zu den Haupteigenschaften des bestimmten Integrals übergehen, müssen wir uns vergewissern, dass a nicht größer als b ist.

Grundlegende Eigenschaften eines bestimmten Integrals

Bestimmung 1

Die Funktion y \u003d f (x) , definiert für x \u003d a, ähnelt der fairen Gleichheit ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Beweis 1

Hier sehen wir, dass der Wert des Integrals bei übereinstimmenden Grenzen gleich Null ist. Dies ist eine Folge des Riemann-Integrals, da jede Integralsumme σ für jede Partition auf dem Intervall [ a ; a ] und jede Auswahl von Punkten ζ i ist gleich Null, weil x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , also erhalten wir, dass der Grenzwert von Integralfunktionen Null ist.

Bestimmung 2

Für eine auf dem Segment integrierbare Funktion [ a ; b ] , die Bedingung ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x ist erfüllt.

Beweis 2

Mit anderen Worten, wenn Sie die obere und untere Integrationsgrenze stellenweise ändern, ändert der Wert des Integrals den Wert in das Gegenteil. Diese Eigenschaft wird dem Riemann-Integral entnommen. Die Nummerierung der Teilung des Segments beginnt jedoch ab dem Punkt x = b.

Bestimmung 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x wird für integrierbare Funktionen des Typs y = f (x) und y = g (x) verwendet, die auf dem Intervall [ a ; b] .

Beweis 3

Schreiben Sie die Integralsumme der Funktion y = f (x) ± g (x) für die Aufteilung in Segmente mit einer gegebenen Auswahl von Punkten ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ ich = 1 n f (ζ ich) x ich - x ich - 1 ± ∑ ich = 1 n G ζ ich x ich - x ich - 1 = σ f ± σ g

wobei σ f und σ g die integralen Summen der Funktionen y = f (x) und y = g (x) zum Aufteilen des Segments sind. Nach dem Grenzübergang bei λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 erhalten wir, dass lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Nach Riemanns Definition ist dieser Ausdruck äquivalent.

Bestimmung 4

Herausnehmen des konstanten Faktors aus dem Vorzeichen eines bestimmten Integrals. Eine integrierbare Funktion aus dem Intervall [ a ; b ] mit einem beliebigen Wert von k hat eine gültige Ungleichung der Form ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Beweis 4

Der Beweis der Eigenschaft eines bestimmten Integrals ist ähnlich wie der vorherige:

σ = ∑ ich = 1 n k f ζ ich (x ich - x ich - 1) = = k ∑ ich = 1 n f ζ ich (x ich - x ich - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ ein b k f (x) d x = k ∫ ein b f (x) d x

Bestimmung 5

Wenn eine Funktion der Form y = f (x) auf einem Intervall x mit a ∈ x , b ∈ x integrierbar ist, erhalten wir ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Beweis 5

Die Eigenschaft gilt für c ∈ a ; b , für c ≤ a und c ≥ b . Der Beweis wird analog zu den vorherigen Eigenschaften geführt.

Bestimmung 6

Wenn eine Funktion aus dem Segment [ a ; b ] , dann ist dies für jedes interne Segment c machbar ; d ∈ ein; b.

Beweis 6

Der Beweis basiert auf der Darboux-Eigenschaft: Wenn Punkte zu einer bestehenden Partition eines Segments hinzugefügt werden, wird die untere Darboux-Summe nicht kleiner und die obere nicht größer.

Bestimmung 7

Wenn eine Funktion auf [ a ; b ] von f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 für jeden Wert von x ∈ a ; b , dann erhalten wir, dass ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Die Eigenschaft kann mit der Definition des Riemann-Integrals bewiesen werden: Jede Integralsumme für beliebige Partitionspunkte des Segments und Punkte ζ i mit der Bedingung, dass f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 ist nicht negativ.

Beweis 7

Sind die Funktionen y = f (x) und y = g (x) auf der Strecke [ a ; b ] , dann gelten die folgenden Ungleichungen als gültig:

∫ ein b f (x) d x ≤ ∫ ein b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ ein ; b ∫ ein b f (x) d x ≥ ∫ ein b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ ein ; b

Dank der Behauptung wissen wir, dass die Integration zulässig ist. Diese Folgerung wird beim Beweis anderer Eigenschaften verwendet.

Bestimmung 8

Für eine integrierbare Funktion y = f (x) aus dem Segment [ a ; b ] haben wir eine gültige Ungleichung der Form ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Beweis 8

Wir haben das - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Aus der vorherigen Eigenschaft haben wir erhalten, dass die Ungleichung Term für Term integriert werden kann und einer Ungleichung der Form - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x entspricht. Diese doppelte Ungleichung kann auch in anderer Form geschrieben werden: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Bestimmung 9

Wenn die Funktionen y = f (x) und y = g (x) aus dem Segment [ a ; b ] für g (x) ≥ 0 für jedes x ∈ a ; b erhalten wir eine Ungleichung der Form m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , wobei m = m i n x ∈ a ; b f (x) und M = m ein x x ∈ ein ; b f (x) .

Beweis 9

Der Beweis erfolgt auf ähnliche Weise. M und m werden als die größten und kleinsten Werte der Funktion y = f (x) angesehen, die aus dem Segment [ a ; b ] , dann m ≤ f (x) ≤ M . Es ist notwendig, die doppelte Ungleichung mit der Funktion y = g (x) zu multiplizieren, was den Wert der doppelten Ungleichung der Form m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) ergibt. Es ist notwendig, es auf dem Segment [ a ; b ] , dann erhalten wir die zu beweisende Behauptung.

Folge: Für g (x) = 1 wird die Ungleichung m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Erste Durchschnittsformel

Bestimmung 10

Für y = f (x) integrierbar auf dem Intervall [ a ; b ] mit m = m ich n x ∈ a ; b f (x) und M = m ein x x ∈ ein ; b f (x) es gibt eine Zahl μ ∈ m ; M , was zu ∫ a b f (x) d x = μ · b - a passt.

Folge: Wenn die Funktion y = f (x) vom Segment [ a ; b ] , dann gibt es eine solche Zahl c ∈ a ; b , die die Gleichheit ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a erfüllt.

Die erste Formel des Durchschnittswertes in verallgemeinerter Form

Bestimmung 11

Wenn die Funktionen y = f (x) und y = g (x) aus dem Segment [ a ; b ] mit m = m ich n x ∈ a ; b f (x) und M = m ein x x ∈ ein ; b f (x) , und g (x) > 0 für jeden Wert von x ∈ a ; b. Daraus folgt, dass es eine Zahl μ ∈ m gibt; M , die die Gleichheit ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x erfüllt.

Zweite Mittelwertformel

Bestimmung 12

Wenn die Funktion y = f (x) aus dem Segment [ a ; b ] , und y = g (x) monoton ist, dann gibt es eine Zahl, die c ∈ a ; b , wobei wir eine faire Gleichheit der Form ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x erhalten

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In diesem Artikel listen wir die Haupteigenschaften eines bestimmten Integrals auf. Die meisten dieser Eigenschaften werden auf der Grundlage von Riemanns und Darboux' Konzepten eines bestimmten Integrals bewiesen.

Die Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt sehr oft anhand der ersten fünf Eigenschaften, daher werden wir bei Bedarf darauf zurückgreifen. Die restlichen Eigenschaften des bestimmten Integrals werden hauptsächlich verwendet, um verschiedene Ausdrücke auszuwerten.

Bevor Sie fortfahren grundlegende Eigenschaften eines bestimmten Integrals, sind wir uns einig, dass a nicht größer als b ist.

Für die Funktion y = f(x) , definiert für x = a , ist die Gleichheit wahr.

Das heißt, der Wert des bestimmten Integrals mit denselben Integrationsgrenzen ist Null. Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Definition des Riemann-Integrals, da hier jede Integralsumme für jede Teilung des Intervalls und jede Punktwahl gleich Null ist, da also der Grenzwert der Integralsummen Null ist.

Für eine auf einem Segment integrierbare Funktion gilt: .

Mit anderen Worten, wenn die oberen und unteren Integrationsgrenzen umgekehrt werden, wird der Wert des bestimmten Integrals umgekehrt. Diese Eigenschaft eines bestimmten Integrals folgt auch aus dem Konzept des Riemann-Integrals, nur sollte die Nummerierung der Teilung eines Segments von der Stelle x = b ausgehen.

für Funktionen y = f(x) und y = g(x) integrierbar auf einem Intervall.

Nachweisen.

Wir schreiben die Integralsumme der Funktion für eine gegebene Teilung des Segments und eine gegebene Auswahl von Punkten:

wobei und die ganzzahligen Summen der Funktionen y = f(x) bzw. y = g(x) für eine gegebene Teilung des Segments sind.

Grenzübergang bei wir erhalten, dass durch die Definition des Riemann-Integrals die Behauptung der zu beweisenden Eigenschaft äquivalent ist.

Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen eines bestimmten Integrals genommen werden. Das heißt, für eine auf einer Strecke integrierbare Funktion y = f(x) und einer beliebigen Zahl k die Gleichheit .

Der Beweis dieser Eigenschaft eines bestimmten Integrals ist dem vorigen absolut ähnlich:


Die Funktion y = f(x) sei integrierbar auf dem Intervall X , und und dann .

Diese Eigenschaft gilt sowohl für als auch für oder .

Der Beweis kann anhand der bisherigen Eigenschaften des bestimmten Integrals geführt werden.

Wenn eine Funktion auf einem Segment integrierbar ist, dann ist sie auch auf jedem internen Segment integrierbar.

Der Beweis basiert auf der Eigenschaft von Darboux-Summen: Wenn neue Punkte zu der bestehenden Partition des Segments hinzugefügt werden, wird die untere Darboux-Summe nicht kleiner und die obere nicht größer.

Wenn die Funktion y = f(x) auf dem Intervall und für jeden Wert des Arguments integrierbar ist, dann .

Diese Eigenschaft wird durch die Definition des Riemann-Integrals bewiesen: Jede Integralsumme für beliebige Teilungspunkte des Segments und Punkte bei wird nicht negativ (nicht positiv) sein.

Folge.

Für intervallintegrierbare Funktionen y = f(x) und y = g(x) gelten folgende Ungleichungen:


Diese Aussage bedeutet, dass die Integration von Ungleichungen zulässig ist. Wir werden dieses Korollar verwenden, um die folgenden Eigenschaften zu beweisen.

Sei die Funktion y = f(x) auf dem Segment integrierbar, dann die Ungleichung .

Nachweisen.

Es ist klar, dass . In der vorherigen Eigenschaft haben wir herausgefunden, dass die Ungleichung Term für Term integriert werden kann, daher ist sie wahr . Diese doppelte Ungleichung kann geschrieben werden als .

Die Funktionen y = f(x) und y = g(x) seien dann auf dem Intervall und für jeden Wert des Arguments integrierbar , wo und .

Der Beweis wird auf ähnliche Weise geführt. Da m und M die kleinsten und größten Werte der Funktion y = f(x) auf dem Segment sind, dann . Die Multiplikation der doppelten Ungleichung mit der nicht negativen Funktion y = g(x) führt uns auf die folgende doppelte Ungleichung. Integrieren wir es auf das Segment , kommen wir zu der zu beweisenden Behauptung.

Folge.

Wenn wir g(x) = 1 nehmen, dann nimmt die Ungleichung die Form an .

Die erste Formel für den Durchschnitt.

Die Funktion y = f(x) sei auf der Strecke integrierbar, und , dann gibt es eine solche Zahl, dass .

Folge.

Wenn die Funktion y = f(x) auf der Strecke stetig ist, dann gibt es eine solche Zahl .

Die erste Formel des Durchschnittswertes in verallgemeinerter Form.

Die Funktionen y = f(x) und y = g(x) seien auf dem Intervall integrierbar, und , und g(x) > 0 für jeden Wert des Arguments . Dann gibt es eine solche Zahl .

Die zweite Formel für den Durchschnitt.

Wenn auf einer Strecke die Funktion y = f(x) integrierbar und y = g(x) monoton ist, dann existiert eine Zahl derart, dass die Gleichheit besteht .