Um zu lernen, wie man Gleichungen schnell und erfolgreich löst, müssen Sie mit den einfachsten Regeln und Beispielen beginnen. Zunächst müssen Sie lernen, wie man Gleichungen löst, von denen links die Differenz, Summe, der Quotient oder das Produkt einiger Zahlen mit einer Unbekannten und rechts eine andere Zahl steht. Mit anderen Worten, in diesen Gleichungen gibt es einen unbekannten Term und entweder den Minuend mit dem Subtrahend oder die Teilbare mit einem Divisor usw. Über Gleichungen dieser Art werden wir mit Ihnen sprechen.

Dieser Artikel widmet sich den Grundregeln, mit denen Sie Faktoren, unbekannte Begriffe usw. finden können. Wir werden alle theoretischen Bestimmungen sofort mit konkreten Beispielen erläutern.

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Den unbekannten Begriff finden

Nehmen wir an, wir haben eine Anzahl von Kugeln in zwei Vasen, sagen wir 9 . Wir wissen, dass in der zweiten Vase 4 Kugeln sind. Wie finde ich die Menge in der zweiten? Lassen Sie uns dieses Problem in mathematischer Form schreiben und die zu findende Zahl als x bezeichnen. Nach der ursprünglichen Bedingung bildet diese Zahl zusammen mit 4 die 9, sodass wir die Gleichung 4 + x = 9 schreiben können. Links erhalten wir eine Summe mit einem unbekannten Term, rechts den Wert dieser Summe. Wie finde ich x? Dazu müssen Sie die Regel verwenden:

Bestimmung 1

Um den unbekannten Term zu finden, subtrahieren Sie den bekannten von der Summe.

In diesem Fall geben wir der Subtraktion eine der Addition entgegengesetzte Bedeutung. Mit anderen Worten, es besteht eine gewisse Verbindung zwischen den Additions- und Subtraktionsoperationen, die wie folgt wörtlich ausgedrückt werden kann: Wenn a + b \u003d c, dann c - a \u003d b und c - b \u003d a, und umgekehrt können wir aus den Ausdrücken c - a \u003d b und c − b = a ableiten, dass a + b = c .

Wenn wir diese Regel kennen, können wir einen unbekannten Term finden, indem wir den bekannten und die Summe verwenden. Welchen Begriff wir kennen, den ersten oder den zweiten, ist in diesem Fall nicht wichtig. Mal sehen, wie man diese Regel in der Praxis anwendet.

Beispiel 1

Nehmen wir die Gleichung, die wir oben bekommen haben: 4 + x = 9. Gemäß der Regel müssen wir von der bekannten Summe gleich 9 den bekannten Term gleich 4 subtrahieren. Subtrahiere eine natürliche Zahl von einer anderen: 9 - 4 = 5 . Wir haben den Begriff, den wir brauchen, gleich 5.

Typischerweise werden Lösungen für solche Gleichungen wie folgt geschrieben:

1. Die ursprüngliche Gleichung wird zuerst geschrieben.
2. Als nächstes schreiben wir die Gleichung auf, die wir erhalten haben, nachdem wir die Regel zur Berechnung des unbekannten Terms angewendet haben.
3. Danach schreiben wir die Gleichung, die sich nach allen Aktionen mit Zahlen herausgestellt hat.

Diese Schreibweise wird benötigt, um das sukzessive Ersetzen der ursprünglichen Gleichung durch äquivalente zu veranschaulichen und den Prozess der Wurzelfindung darzustellen. Die Lösung für unsere obige einfache Gleichung würde korrekt geschrieben werden als:

4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .

Wir können die Richtigkeit der erhaltenen Antwort überprüfen. Lassen Sie uns das, was wir bekommen haben, in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und sehen, ob die richtige numerische Gleichheit herauskommt. Setze 5 in 4 + x = 9 ein und erhalte: 4 + 5 = 9 . Die Gleichheit 9 = 9 ist richtig, was bedeutet, dass der unbekannte Begriff richtig gefunden wurde. Wenn sich herausstellt, dass die Gleichheit falsch ist, sollten wir zur Lösung zurückkehren und sie noch einmal überprüfen, da dies ein Zeichen für einen Fehler ist. In der Regel handelt es sich dabei meistens um einen Rechenfehler oder die Anwendung einer falschen Regel.

Finden des unbekannten Subtrahends oder Minuends

Wie wir im ersten Absatz erwähnt haben, gibt es eine gewisse Beziehung zwischen den Prozessen der Addition und Subtraktion. Mit seiner Hilfe können Sie eine Regel formulieren, die Ihnen hilft, den unbekannten Minuend zu finden, wenn wir die Differenz und den Subtrahend kennen, oder den unbekannten Subtrahend durch den Minuend oder die Differenz. Wir schreiben diese beiden Regeln der Reihe nach und zeigen, wie man sie anwendet, um Probleme zu lösen.

Bestimmung 2

Um den unbekannten Minuend zu finden, addieren Sie den Minuend zur Differenz.

Beispiel 2

Zum Beispiel haben wir eine Gleichung x - 6 = 10 . Reduziert unbekannt. Gemäß der Regel müssen wir die subtrahierte 6 zur Differenz 10 addieren, wir erhalten 16. Das heißt, der ursprüngliche Minuend ist sechzehn. Lassen Sie uns die Lösung in ihrer Gesamtheit schreiben:

x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .

Überprüfen wir das Ergebnis, indem wir die resultierende Zahl zur ursprünglichen Gleichung addieren: 16 - 6 = 10. Gleichung 16 - 16 wird richtig sein, was bedeutet, dass wir alles richtig berechnet haben.

Bestimmung 3

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, subtrahieren Sie die Differenz vom Minuend.

Beispiel 3

Lassen Sie uns die Regel verwenden, um die Gleichung 10 - x = 8 zu lösen. Wir wissen nicht, was subtrahiert wird, also müssen wir die Differenz von 10 subtrahieren, d.h. 10 - 8 = 2. Daher ist der erforderliche Subtrahend gleich zwei. Hier ist der gesamte Lösungseintrag:

10 - x = 8 , x = 10 - 8 , x = 2 .

Lassen Sie uns die Korrektheit überprüfen, indem wir eine Zwei in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Lassen Sie uns die richtige Gleichheit 10 - 2 = 8 erhalten und sicherstellen, dass der gefundene Wert korrekt ist.

Bevor wir zu anderen Regeln übergehen, stellen wir fest, dass es eine Regel zum Übertragen von Termen von einem Teil der Gleichung in einen anderen mit umgekehrtem Vorzeichen gibt. Alle oben genannten Regeln stimmen voll und ganz damit überein.

Finden des unbekannten Multiplikators

Schauen wir uns zwei Gleichungen an: x 2 = 20 und 3 x = 12. Bei beiden kennen wir den Wert des Produkts und einen der Faktoren, den zweiten müssen wir finden. Dazu müssen wir eine andere Regel verwenden.

Bestimmung 4

Um den unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.

Diese Regel basiert auf einem Sinn, der das Gegenteil von Multiplikation ist. Zwischen Multiplikation und Division besteht folgender Zusammenhang: a b = c wenn a und b ungleich 0 sind, c: a = b, c: b = c und umgekehrt.

Beispiel 4

Berechnen Sie den unbekannten Faktor in der ersten Gleichung, indem Sie den bekannten Quotienten 20 durch den bekannten Faktor 2 dividieren. Wir führen die Division natürlicher Zahlen durch und erhalten 10. Schreiben wir die Folge der Gleichheiten auf:

x 2 = 20 x = 20: 2 x = 10 .

Wir ersetzen die Zehn in der ursprünglichen Gleichheit und erhalten 2 10 \u003d 20. Der Wert des unbekannten Multiplikators wurde korrekt eingegeben.

Lassen Sie uns klarstellen, dass diese Regel nicht angewendet werden kann, wenn einer der Faktoren Null ist. Wir können also mit ihrer Hilfe die Gleichung x 0 = 11 nicht lösen. Diese Schreibweise ist nicht sinnvoll, da die Lösung darin besteht, 11 durch 0 zu teilen, und die Division durch Null nicht definiert ist. Über solche Fälle haben wir in dem Artikel über lineare Gleichungen ausführlicher gesprochen.

Wenn wir diese Regel anwenden, dividieren wir im Wesentlichen beide Seiten der Gleichung durch einen anderen Faktor als 0 . Es gibt eine separate Regel, nach der eine solche Division durchgeführt werden kann, und sie wird die Wurzeln der Gleichung nicht beeinflussen, und das, worüber wir in diesem Absatz geschrieben haben, stimmt vollständig damit überein.

Finden eines unbekannten Dividenden oder Divisors

Ein weiterer Fall, den wir betrachten müssen, ist das Finden des unbekannten Dividenden, wenn wir den Divisor und den Quotienten kennen, und auch das Finden des Divisors, wenn der Quotient und der Dividende bekannt sind. Wir können diese Regel mit Hilfe des hier bereits erwähnten Zusammenhangs zwischen Multiplikation und Division formulieren.

Bestimmung 5

Um den unbekannten Dividenden zu finden, multipliziere den Divisor mit dem Quotienten.

Mal sehen, wie diese Regel gilt.

Beispiel 5

Verwenden wir es, um die Gleichung x zu lösen: 3 = 5 . Wir multiplizieren den bekannten Quotienten und den bekannten Divisor untereinander und erhalten 15, was die Teilbarkeit ist, die wir brauchen.

Hier ist eine Zusammenfassung der gesamten Lösung:

x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.

Der Check zeigt, dass wir alles richtig gerechnet haben, denn wenn man 15 durch 3 teilt, kommt wirklich 5 heraus. Echte numerische Gleichheit ist ein Beweis für die richtige Entscheidung.

Diese Regel kann so interpretiert werden, dass die rechte und die linke Seite der Gleichung mit derselben Zahl außer 0 multipliziert werden. Diese Transformation beeinflusst die Wurzeln der Gleichung in keiner Weise.

Kommen wir zur nächsten Regel.

Bestimmung 6

Um den unbekannten Teiler zu finden, musst du den Dividenden durch den Quotienten dividieren.

Beispiel 6

Nehmen wir ein einfaches Beispiel – Gleichung 21: x = 3 . Um es zu lösen, teilen wir die bekannte teilbare 21 durch den Quotienten 3 und erhalten 7. Dies ist der gewünschte Teiler. Jetzt treffen wir die richtige Entscheidung:

21:x=3, x=21:3, x=7.

Stellen wir sicher, dass das Ergebnis korrekt ist, indem wir die Sieben in der ursprünglichen Gleichung einsetzen. 21: 7 = 3, also wurde die Wurzel der Gleichung richtig berechnet.

Wichtig ist, dass diese Regel nur gilt, wenn der Quotient nicht Null ist, sonst müssten wir wieder durch 0 dividieren. Wenn der Quotient Null ist, sind zwei Optionen möglich. Wenn der Dividende auch Null ist und die Gleichung wie 0 aussieht: x \u003d 0, dann ist der Wert der Variablen beliebig, dh diese Gleichung hat unendlich viele Wurzeln. Aber eine Gleichung mit einem Quotienten gleich 0, mit einem anderen Dividenden als 0, wird keine Lösungen haben, da es solche Teilerwerte nicht gibt. Ein Beispiel wäre Gleichung 5: x = 0, die keine Wurzel hat.

Konsequente Anwendung von Regeln

In der Praxis gibt es oft komplexere Probleme, bei denen die Regeln zur Findung von Termen, Minuenden, Subtrahenden, Faktoren, Dividenden und Quotienten sequentiell angewendet werden müssen. Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel 7

Wir haben eine Gleichung wie 3 x + 1 = 7 . Wir berechnen den unbekannten Term 3 x , indem wir eins von 7 subtrahieren. Am Ende haben wir 3 · x = 7 − 1 , dann 3 · x = 6 . Diese Gleichung ist sehr einfach zu lösen: Teile 6 durch 3 und ziehe die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Hier ist eine Abkürzung zum Lösen einer weiteren Gleichung (2 x − 7): 3 − 5 = 2:

(2 x - 7) : 3 - 5 = 2 , (2 x - 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x - 7) : 3 = 7 , 2 x - 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21 , 2 x = 21 + 7 , 2 x = 28 , x = 28: 2 , x = 14 .

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Erste Ebene

Lineare Gleichungen. Vollständiger Leitfaden (2019)

Was sind "lineare Gleichungen"

oder mündlich - drei Freunden wurden jeweils Äpfel gegeben, basierend auf der Tatsache, dass Vasya alle Äpfel hat.

Und jetzt haben Sie sich entschieden lineare Gleichung
Geben wir diesem Begriff nun eine mathematische Definition.

Lineare Gleichung - ist eine algebraische Gleichung, deren Gesamtgrad ihrer konstituierenden Polynome ist. Es sieht aus wie das:

Wo und sind irgendwelche Zahlen und

Für unseren Fall mit Vasya und Äpfeln schreiben wir:

- „Wenn Vasya allen drei Freunden die gleiche Anzahl Äpfel gibt, hat er keine Äpfel mehr“

„Versteckte“ lineare Gleichungen oder die Bedeutung identischer Transformationen

Trotz der Tatsache, dass auf den ersten Blick alles sehr einfach ist, müssen Sie beim Lösen von Gleichungen vorsichtig sein, da lineare Gleichungen nicht nur Gleichungen der Form genannt werden, sondern auch alle Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Form reduziert werden. Zum Beispiel:

Wir sehen, dass es rechts ist, was theoretisch bereits darauf hindeutet, dass die Gleichung nicht linear ist. Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir außerdem zwei weitere Begriffe, in denen es sein wird, aber ziehen Sie keine voreiligen Schlüsse! Bevor beurteilt werden kann, ob die Gleichung linear ist, müssen alle Transformationen durchgeführt und somit das ursprüngliche Beispiel vereinfacht werden. In diesem Fall können Transformationen das Aussehen ändern, aber nicht das Wesen der Gleichung.

Mit anderen Worten, diese Transformationen müssen sein identisch oder gleichwertig. Es gibt nur zwei solcher Transformationen, aber sie spielen eine sehr, SEHR wichtige Rolle bei der Lösung von Problemen. Betrachten wir beide Transformationen an konkreten Beispielen.

Bewegen Sie sich nach links - rechts.

Nehmen wir an, wir müssen die folgende Gleichung lösen:

Damals in der Grundschule hieß es: „mit X – nach links, ohne X – nach rechts“. Welcher Ausdruck mit x steht rechts? Richtig, nicht wie nicht. Und das ist wichtig, denn wenn diese scheinbar einfache Frage falsch verstanden wird, kommt die falsche Antwort heraus. Und was ist der Ausdruck mit x links? Richtig, .

Nachdem wir uns damit beschäftigt haben, übertragen wir alle Terme mit Unbekannten nach links und alles Bekannte nach rechts, wobei wir uns daran erinnern, dass, wenn beispielsweise kein Vorzeichen vor der Zahl steht, die Zahl positiv ist, das ist, wird ihm das Zeichen „ “ vorangestellt.

Gerührt? Was hast du bekommen?

Es bleibt nur noch, ähnliche Bedingungen zu schaffen. Wir präsentieren:

Wir haben also die erste identische Transformation erfolgreich geparst, obwohl ich sicher bin, dass Sie sie bereits kannten und aktiv ohne mich verwendet haben. Die Hauptsache - vergessen Sie nicht die Zeichen für Zahlen und ändern Sie sie beim Übertragen durch das Gleichheitszeichen in das Gegenteil!

Multiplikation-Division.

Beginnen wir gleich mit einem Beispiel

Wir schauen und denken: Was gefällt uns an diesem Beispiel nicht? Das Unbekannte ist alles in einem Teil, das Bekannte ist in dem anderen, aber etwas hält uns auf ... Und das ist etwas - eine Vier, denn wenn sie nicht da wäre, wäre alles perfekt - x ist gleich einer Zahl - genau so wie wir es brauchen!

Wie können Sie es loswerden? Wir können nicht nach rechts übertragen, weil wir dann den gesamten Multiplikator übertragen müssen (wir können ihn nicht nehmen und davon abreißen), und das Übertragen des gesamten Multiplikators macht auch keinen Sinn ...

Es ist an der Zeit, sich an die Aufteilung zu erinnern, in deren Zusammenhang wir alles einfach aufteilen werden! Alle - das bedeutet sowohl die linke als auch die rechte Seite. So und nur so! Was bekommen wir?

Hier ist die Antwort.

Schauen wir uns nun ein weiteres Beispiel an:

Ratet mal, was in diesem Fall zu tun ist? Das ist richtig, multiplizieren Sie den linken und den rechten Teil mit! Welche Antwort hast du bekommen? Korrekt. .

Sicherlich wussten Sie bereits alles über identische Transformationen. Bedenken Sie, dass wir dieses Wissen gerade in Ihrem Gedächtnis aufgefrischt haben und es Zeit für etwas mehr ist - zum Beispiel, um unser großes Beispiel zu lösen:

Wie wir bereits gesagt haben, kann man beim Betrachten nicht sagen, dass diese Gleichung linear ist, aber wir müssen die Klammern öffnen und identische Transformationen durchführen. Also lasst uns anfangen!

Zunächst erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation, insbesondere das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz. Wenn Sie sich nicht erinnern, was es ist und wie Klammern geöffnet werden, empfehle ich dringend, das Thema zu lesen, da diese Fähigkeiten für Sie beim Lösen fast aller in der Prüfung gefundenen Beispiele nützlich sein werden.
Aufgedeckt? Vergleichen:

Jetzt ist es Zeit, ähnliche Begriffe zu bringen. Erinnern Sie sich, wie uns in denselben Grundschulklassen gesagt wurde: „Wir legen keine Fliegen mit Koteletts“? Hier erinnere ich Sie daran. Wir addieren alles separat – Faktoren, die haben, Faktoren, die haben, und andere Faktoren, die keine Unbekannten haben. Wenn Sie ähnliche Terme bringen, verschieben Sie alle Unbekannten nach links und alles, was bekannt ist, nach rechts. Was hast du bekommen?

Wie Sie sehen können, ist das x-Quadrat verschwunden, und wir sehen ein völlig gewöhnliches lineare Gleichung. Es bleibt nur zu finden!

Und zum Schluss möchte ich noch eine sehr wichtige Sache über identische Transformationen sagen – identische Transformationen gelten nicht nur für lineare Gleichungen, sondern auch für quadratische, gebrochen rationale und andere. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass wir beim Übertragen von Faktoren durch das Gleichheitszeichen das Vorzeichen in das Gegenteil ändern und beim Teilen oder Multiplizieren mit einer Zahl beide Seiten der Gleichung mit der GLEICHEN Zahl multiplizieren / dividieren.

Was haben Sie aus diesem Beispiel noch mitgenommen? Dass es bei einer Gleichung nicht immer möglich ist, direkt und genau zu bestimmen, ob sie linear ist oder nicht. Sie müssen den Ausdruck zuerst vollständig vereinfachen und erst dann beurteilen, was es ist.

Lineare Gleichungen. Beispiele.

Hier sind ein paar weitere Beispiele, die Sie selbst üben können – stellen Sie fest, ob die Gleichung linear ist, und finden Sie gegebenenfalls ihre Nullstellen:

Antworten:

1. Ist.

2. Ist nicht.

Lassen Sie uns die Klammern öffnen und ähnliche Begriffe angeben:

Machen wir eine identische Transformation - wir teilen den linken und rechten Teil in:

Wir sehen, dass die Gleichung nicht linear ist, also brauchen wir nicht nach ihren Wurzeln zu suchen.

3. Ist.

Machen wir eine identische Transformation - multiplizieren Sie den linken und den rechten Teil mit, um den Nenner loszuwerden.

Denken Sie darüber nach, warum es so wichtig ist? Wenn Sie die Antwort auf diese Frage kennen, fahren wir mit der weiteren Lösung der Gleichung fort. Wenn nicht, sollten Sie sich unbedingt mit dem Thema befassen, um in komplexeren Beispielen keine Fehler zu machen. Übrigens, wie Sie sehen können, eine Situation, in der es unmöglich ist. Wieso den?
Also lass uns weitermachen und die Gleichung neu anordnen:

Wenn Sie alles problemlos bewältigt haben, sprechen wir über lineare Gleichungen mit zwei Variablen.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Kommen wir nun zu einer etwas komplizierteren – linearen Gleichungen mit zwei Variablen.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen sehen so aus:

Wo, und sind irgendwelche Zahlen und.

Wie Sie sehen können, besteht der einzige Unterschied darin, dass der Gleichung eine weitere Variable hinzugefügt wird. Und so ist alles gleich - es gibt kein x zum Quadrat, es gibt keine Division durch eine Variable usw. usw.

Was für ein Lebensbeispiel, das ich Ihnen geben kann ... Nehmen wir dieselbe Vasya. Angenommen, er beschließt, jedem seiner 3 Freunde die gleiche Anzahl Äpfel zu geben und die Äpfel für sich selbst zu behalten. Wie viele Äpfel muss Vasya kaufen, wenn er jedem Freund einen Apfel gibt? Wie wäre es mit? Was wäre, wenn bis?

Die Abhängigkeit der Anzahl der Äpfel, die jede Person erhält, von der Gesamtzahl der zu kaufenden Äpfel wird durch die Gleichung ausgedrückt:

• - die Anzahl der Äpfel, die eine Person erhält (, oder, oder);
• - die Anzahl der Äpfel, die Vasya für sich nehmen wird;
• - wie viele Äpfel Vasya kaufen muss, unter Berücksichtigung der Anzahl der Äpfel pro Person.

Wenn wir dieses Problem lösen, erhalten wir Folgendes: Wenn Vasya einem Freund einen Apfel gibt, muss er Stücke kaufen, wenn er Äpfel gibt - und so weiter.

Und überhaupt. Wir haben zwei Variablen. Warum diese Abhängigkeit nicht grafisch darstellen? Wir bauen und markieren unseren Wert, dh Punkte, mit Koordinaten und!

Wie Sie sehen können, und voneinander abhängen linear, daher der Name der Gleichungen - „ linear».

Wir abstrahieren von Äpfeln und betrachten grafisch verschiedene Gleichungen. Schauen Sie sich die beiden konstruierten Graphen genau an - eine gerade Linie und eine Parabel, die durch beliebige Funktionen gegeben sind:

Suchen und markieren Sie die entsprechenden Punkte auf beiden Figuren.
Was hast du bekommen?

Das sieht man am Graphen der ersten Funktion allein entspricht eines, d. h., und hängen linear voneinander ab, was von der zweiten Funktion nicht gesagt werden kann. Natürlich kann man einwenden, dass im zweiten Graphen x auch - entspricht, aber das ist nur ein Punkt, also ein Sonderfall, da man immer noch einen finden kann, der mehr als einem entspricht. Und der konstruierte Graph ähnelt in keiner Weise einer Linie, sondern ist eine Parabel.

Ich wiederhole noch einmal: Der Graph einer linearen Gleichung muss eine GERADE Linie sein.

Mit der Tatsache, dass die Gleichung nicht linear sein wird, wenn wir in irgendeiner Weise gehen, ist dies am Beispiel einer Parabel verständlich, obwohl Sie für sich selbst zum Beispiel ein paar einfachere Diagramme erstellen können oder. Aber ich versichere Ihnen - keiner von ihnen wird eine GERADE LINIE sein.

Glaubst du nicht? Bauen und dann mit dem vergleichen, was ich habe:

Und was passiert, wenn wir etwas zum Beispiel durch eine Zahl dividieren? Wird es eine lineare Abhängigkeit geben und? Wir werden nicht streiten, aber wir werden bauen! Lassen Sie uns zum Beispiel einen Funktionsgraphen zeichnen.

Irgendwie sieht es nicht wie eine gerade gebaute Linie aus ... dementsprechend ist die Gleichung nicht linear.
Fassen wir zusammen:

1. Lineare Gleichung - ist eine algebraische Gleichung, in der der Gesamtgrad ihrer konstituierenden Polynome gleich ist.
2. Lineare Gleichung mit einer Variablen sieht so aus:
   , wobei und beliebige Zahlen sind;
   Lineare Gleichung mit zwei Variablen:
   , wobei und sind beliebige Zahlen.
3. Es ist nicht immer sofort möglich festzustellen, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. Um dies zu verstehen, ist es manchmal notwendig, identische Transformationen durchzuführen, ähnliche Terme nach links / rechts zu verschieben, das Vorzeichen nicht zu vergessen, oder beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren / zu dividieren.

LINEARE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

1. Lineare Gleichung

Dies ist eine algebraische Gleichung, in der der Gesamtgrad ihrer konstituierenden Polynome gleich ist.

2. Lineare Gleichung mit einer Variablen sieht aus wie:

Wo und sind irgendwelche Zahlen;

3. Lineare Gleichung mit zwei Variablen sieht aus wie:

Wo und sind irgendwelche Zahlen.

4. Identitätstransformationen

Um festzustellen, ob die Gleichung linear ist oder nicht, müssen identische Transformationen vorgenommen werden:

• wie Terme nach links/rechts bewegen, dabei das Vorzeichen nicht vergessen;
• beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl multiplizieren/dividieren.

Langer Weg, Fähigkeiten zu entwickeln Gleichungen lösen beginnt mit dem Lösen der allerersten und relativ einfachen Gleichungen. Unter solchen Gleichungen verstehen wir Gleichungen, bei denen auf der linken Seite die Summe, Differenz, das Produkt oder der Quotient zweier Zahlen steht, von denen eine unbekannt ist, und auf der rechten Seite eine Zahl steht. Das heißt, diese Gleichungen enthalten einen unbekannten Term, einen Minuend, einen Subtrahend, einen Multiplikator, einen Dividenden oder einen Divisor. Die Lösung solcher Gleichungen wird in diesem Artikel diskutiert.

Hier geben wir die Regeln an, die es uns ermöglichen, einen unbekannten Term, Multiplikator usw. zu finden. Darüber hinaus werden wir sofort die Anwendung dieser Regeln in der Praxis in Betracht ziehen und charakteristische Gleichungen lösen.

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Also ersetzen wir die Zahl 5 anstelle von x in der ursprünglichen Gleichung 3 + x = 8, wir bekommen 3 + 5 = 8 - diese Gleichheit ist richtig, also haben wir den unbekannten Term richtig gefunden. Wenn wir bei der Überprüfung eine falsche numerische Gleichheit erhalten, dann würde uns das darauf hinweisen, dass wir die Gleichung falsch gelöst haben. Die Hauptgründe dafür können entweder die Anwendung der falschen Regel oder Rechenfehler sein.

Wie finde ich den unbekannten Minuend, Subtrahend?

Der Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion von Zahlen, den wir bereits im vorigen Absatz erwähnt haben, ermöglicht es uns, eine Regel zum Auffinden eines unbekannten Minuends durch einen bekannten Subtrahend und eine bekannte Differenz sowie eine Regel zum Auffinden eines unbekannten Subtrahends durch einen bekannten Minuend zu erhalten und Unterschied. Wir formulieren sie der Reihe nach und geben gleich die Lösung der entsprechenden Gleichungen an.

Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen.

Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x−2=5 . Es enthält einen unbekannten Minuend. Die obige Regel sagt uns, dass wir, um ihn zu finden, den bekannten Subtrahend 2 zur bekannten Differenz 5 addieren müssen, wir haben 5+2=7. Somit ist der erforderliche Minuend gleich sieben.

Wenn Sie die Erklärungen weglassen, dann wird die Lösung wie folgt geschrieben:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .

Zur Selbstkontrolle führen wir einen Check durch. Wir setzen die gefundene reduzierte in die ursprüngliche Gleichung ein und erhalten die numerische Gleichheit 7−2=5. Es ist richtig, daher können wir sicher sein, dass wir den Wert des unbekannten Minuends richtig bestimmt haben.

Sie können damit fortfahren, den unbekannten Subtrahend zu finden. Es wird durch Addition nach folgender Regel gefunden: Um den unbekannten Subtrahend zu finden, muss die Differenz vom Minuend subtrahiert werden.

Wir lösen eine Gleichung der Form 9−x=4 mit der geschriebenen Regel. In dieser Gleichung ist die Unbekannte der Subtrahend. Um es zu finden, müssen wir die bekannte Differenz 4 von der bekannten reduzierten 9 subtrahieren, wir haben 9−4=5 . Somit ist der erforderliche Subtrahend gleich fünf.

Hier ist eine Kurzversion der Lösung dieser Gleichung:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .

Es bleibt nur noch die Korrektheit des gefundenen Subtrahends zu überprüfen. Machen wir eine Überprüfung, bei der wir den gefundenen Wert 5 anstelle von x in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, und wir erhalten die numerische Gleichheit 9−5=4. Es ist richtig, daher ist der Wert des Subtrahends, den wir gefunden haben, richtig.

Und bevor wir mit der nächsten Regel fortfahren, stellen wir fest, dass in der 6. Klasse eine Regel zum Lösen von Gleichungen berücksichtigt wird, mit der Sie jeden Term von einem Teil der Gleichung in einen anderen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen übertragen können. Alle oben betrachteten Regeln zum Finden eines unbekannten Begriffs, reduziert und subtrahiert, stimmen also vollständig damit überein.

Um den unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie ...

Schauen wir uns die Gleichungen x 3=12 und 2 y=6 an. In ihnen ist die unbekannte Zahl der Faktor auf der linken Seite, und das Produkt und der zweite Faktor sind bekannt. Um den unbekannten Faktor zu finden, können Sie die folgende Regel verwenden: Um den unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.

Diese Regel beruht darauf, dass wir der Division von Zahlen eine der Multiplikation entgegengesetzte Bedeutung gegeben haben. Das heißt, es gibt einen Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division: Aus der Gleichheit a b=c , bei der a≠0 und b≠0, folgt c:a=b und c:b=c und umgekehrt.

Lassen Sie uns zum Beispiel den unbekannten Faktor der Gleichung x·3=12 finden. Gemäß der Regel müssen wir das bekannte Produkt 12 durch den bekannten Faktor 3 teilen. Machen wir : 12:3=4 . Der unbekannte Faktor ist also 4 .

Kurz gesagt wird die Lösung der Gleichung als Folge von Gleichungen geschrieben:
x 3=12 ,
x=12:3 ,
x=4 .

Es ist auch wünschenswert, das Ergebnis zu überprüfen: Wir ersetzen den gefundenen Wert anstelle des Buchstabens in der ursprünglichen Gleichung, wir erhalten 4 3 \u003d 12 - die korrekte numerische Gleichheit, sodass wir den Wert des unbekannten Faktors korrekt gefunden haben.

Und noch etwas: Gemäß der untersuchten Regel führen wir tatsächlich die Division beider Teile der Gleichung durch einen bekannten Multiplikator ungleich Null durch. In Klasse 6 wird gesagt, dass beide Teile der Gleichung multipliziert und durch dieselbe Zahl ungleich Null dividiert werden können, dies hat keinen Einfluss auf die Wurzeln der Gleichung.

Wie findet man den unbekannten Dividenden, Divisor?

Als Teil unseres Themas müssen wir noch herausfinden, wie man den unbekannten Dividenden mit bekanntem Divisor und Quotienten findet, sowie wie man einen unbekannten Divisor mit bekanntem Dividenden und Quotienten findet. Die bereits im vorherigen Absatz erwähnte Beziehung zwischen Multiplikation und Division ermöglicht es Ihnen, diese Fragen zu beantworten.

Um den unbekannten Dividenden zu finden, musst du den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.

Betrachten wir seine Anwendung anhand eines Beispiels. Lösen Sie die Gleichung x:5=9 . Um die unbekannte Teilbare dieser Gleichung zu finden, ist es gemäß der Regel erforderlich, den bekannten Quotienten 9 mit dem bekannten Teiler 5 zu multiplizieren, dh wir führen die Multiplikation natürlicher Zahlen durch: 9 5 \u003d 45. Somit ist die gewünschte Dividende 45.

Lassen Sie uns eine kurze Notation der Lösung zeigen:
x:5=9 ,
x=9 5 ,
x=45 .

Die Prüfung bestätigt, dass der Wert des unbekannten Dividenden korrekt gefunden wurde. In der Tat, wenn die Zahl 45 in die ursprüngliche Gleichung anstelle der Variablen x eingesetzt wird, wird sie zur korrekten numerischen Gleichung 45:5=9.

Beachten Sie, dass die analysierte Regel als Multiplikation beider Teile der Gleichung mit einem bekannten Divisor interpretiert werden kann. Eine solche Transformation wirkt sich nicht auf die Wurzeln der Gleichung aus.

Kommen wir zur Regel zum Finden des unbekannten Teilers: Um den unbekannten Teiler zu finden, teilen Sie den Dividenden durch den Quotienten.

Betrachten Sie ein Beispiel. Finde den unbekannten Teiler aus Gleichung 18:x=3 . Dazu müssen wir den bekannten Dividenden 18 durch den bekannten Quotienten 3 teilen, wir haben 18:3=6. Somit ist der erforderliche Divisor gleich sechs.

Die Lösung kann auch wie folgt formuliert werden:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .

Prüfen wir dieses Ergebnis auf Zuverlässigkeit: 18:6=3 ist die richtige numerische Gleichheit, also wird die Wurzel der Gleichung richtig gefunden.

Es ist klar, dass diese Regel nur angewendet werden kann, wenn der Quotient von Null verschieden ist, um nicht auf eine Division durch Null zu stoßen. Wenn der Quotient Null ist, sind zwei Fälle möglich. Wenn in diesem Fall der Dividende gleich Null ist, das heißt, die Gleichung die Form 0:x=0 hat, dann erfüllt diese Gleichung jeden Nicht-Null-Wert des Divisors. Mit anderen Worten, die Wurzeln einer solchen Gleichung sind beliebige Zahlen, die nicht gleich Null sind. Wenn, wenn der Quotient gleich Null ist, der Dividende von Null verschieden ist, wird die ursprüngliche Gleichung für alle Werte des Divisors nicht zu einer echten numerischen Gleichheit, dh die Gleichung hat keine Wurzeln. Zur Veranschaulichung stellen wir die Gleichung 5:x=0 vor, sie hat keine Lösungen.

Regeln teilen

Die konsequente Anwendung der Regeln zum Finden des unbekannten Terms, Minuend, Subtrahend, Multiplikator, Dividende und Divisor ermöglicht das Lösen von Gleichungen mit einer einzigen Variablen einer komplexeren Form. Lassen Sie uns dies an einem Beispiel behandeln.

Betrachten Sie die Gleichung 3 x+1=7 . Zuerst können wir den unbekannten Term 3 x finden, dazu müssen wir den bekannten Term 1 von der Summe 7 subtrahieren, wir erhalten 3 x=7−1 und dann 3 x=6 . Nun bleibt noch, den unbekannten Faktor zu finden, indem wir das Produkt von 6 durch den bekannten Faktor 3 dividieren, wir haben x=6:3 , also x=2 . Damit ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung gefunden.

Um das Material zu festigen, präsentieren wir eine kurze Lösung einer weiteren Gleichung (2·x−7):3−5=2 .
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2x−7=21 ,
2x=21+7 ,
2x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .

Referenzliste.

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• Mathe: Studien. für 5 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 S.: mit Abb. ISBN 5-346-00699-0.

Gleichungen sind eines der am schwierigsten zu meisternden Themen, aber sie sind mächtig genug, um die meisten Probleme zu lösen.

Mit Hilfe von Gleichungen werden verschiedene in der Natur ablaufende Prozesse beschrieben. Gleichungen sind in anderen Wissenschaften weit verbreitet: in Wirtschaftswissenschaften, Physik, Biologie und Chemie.

In dieser Lektion werden wir versuchen, die Essenz der einfachsten Gleichungen zu verstehen, zu lernen, wie man Unbekannte ausdrückt und mehrere Gleichungen löst. Wenn Sie neue Materialien lernen, werden die Gleichungen komplexer, daher ist es sehr wichtig, die Grundlagen zu verstehen.

Vorläufige Fähigkeiten Unterrichtsinhalt

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die eine Variable enthält, deren Wert Sie finden möchten. Dieser Wert muss so sein, dass, wenn er in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, die korrekte numerische Gleichheit erhalten wird.

Beispielsweise ist der Ausdruck 2 + 2 = 4 eine Gleichheit. Bei der Berechnung der linken Seite ergibt sich die korrekte numerische Gleichheit 4 = 4 .

Aber die Gleichheit 2 + x= 4 ist eine Gleichung, weil sie eine Variable enthält x, dessen Wert gefunden werden kann. Der Wert muss so sein, dass, wenn dieser Wert in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, die korrekte numerische Gleichheit erhalten wird.

Mit anderen Worten, wir müssen einen Wert finden, bei dem das Gleichheitszeichen seine Position rechtfertigen würde – die linke Seite sollte gleich der rechten Seite sein.

Gleichung 2+ x= 4 ist elementar. Variabler Wert x ist gleich der Zahl 2. Alle anderen Werte sind nicht gleich

Die Zahl 2 soll es sein Wurzel oder Lösung der Gleichung 2 + x = 4

Wurzel oder Lösung der Gleichung ist der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung eine echte numerische Gleichheit wird.

Es können mehrere oder gar keine Wurzeln vorhanden sein. löse die Gleichung bedeutet, seine Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt.

Die Variable in der Gleichung wird auch als bezeichnet Unbekannt. Es steht Ihnen frei, es zu nennen, wie Sie möchten. Das sind Synonyme.

Notiz. Der Satz „Löse die Gleichung“ spricht für sich. Eine Gleichung lösen bedeutet, eine Gleichung „gleichzusetzen“ – sie so auszubalancieren, dass die linke Seite der rechten Seite entspricht.

Drücken Sie das eine durch das andere aus

Das Studium von Gleichungen beginnt traditionell damit, dass man lernt, eine Zahl, die in der Gleichheit enthalten ist, durch eine Reihe anderer auszudrücken. Lassen Sie uns diese Tradition nicht brechen und dasselbe tun.

Betrachten Sie den folgenden Ausdruck:

8 + 2

Dieser Ausdruck ist die Summe der Zahlen 8 und 2. Der Wert dieses Ausdrucks ist 10

8 + 2 = 10

Wir haben Gleichberechtigung. Jetzt können Sie jede Zahl aus dieser Gleichheit durch andere Zahlen ausdrücken, die in derselben Gleichheit enthalten sind. Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahl 2 ausdrücken.

Um die Zahl 2 auszudrücken, müssen Sie die Frage stellen: "Was muss mit den Zahlen 10 und 8 gemacht werden, um die Zahl 2 zu erhalten?" Es ist klar, dass Sie die Zahl 8 von der Zahl 10 subtrahieren müssen, um die Zahl 2 zu erhalten.

So machen wir es. Wir schreiben die Zahl 2 auf und sagen durch das Gleichheitszeichen, dass wir die Zahl 8 von der Zahl 10 subtrahiert haben, um diese Zahl 2 zu erhalten:

2 = 10 − 8

Wir haben die Zahl 2 aus der Gleichung 8 + 2 = 10 ausgedrückt. Wie Sie dem Beispiel entnehmen können, ist dies nicht kompliziert.

Beim Lösen von Gleichungen, insbesondere beim Ausdrücken einer Zahl durch andere, ist es zweckmäßig, das Gleichheitszeichen durch das Wort " Es gibt" . Dies muss mental erfolgen und nicht im Ausdruck selbst.

Wenn wir also die Zahl 2 aus der Gleichheit 8 + 2 = 10 ausdrücken, erhalten wir die Gleichheit 2 = 10 − 8 . Diese Gleichung kann wie folgt gelesen werden:

2 Es gibt 10 − 8

Das heißt, das Zeichen = durch das Wort „ist“ ersetzt. Darüber hinaus kann die Gleichheit 2 = 10 − 8 von der mathematischen Sprache in die vollwertige menschliche Sprache übersetzt werden. Dann kann man es so lesen:

Nummer 2 Es gibt Unterschied zwischen 10 und 8

Nummer 2 Es gibt der Unterschied zwischen der Zahl 10 und der Zahl 8.

Aber wir werden uns darauf beschränken, das Gleichheitszeichen durch das Wort „ist“ zu ersetzen, und dann werden wir dies nicht immer tun. Elementare Ausdrücke können verstanden werden, ohne die mathematische Sprache in die menschliche Sprache zu übersetzen.

Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 2 = 10 − 8 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:

8 + 2 = 10

Drücken wir diesmal die Zahl 8. Was soll mit den restlichen Zahlen gemacht werden, um die Zahl 8 zu erhalten? Das ist richtig, Sie müssen die Zahl 2 von der Zahl 10 subtrahieren

8 = 10 − 2

Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 8 = 10 − 2 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:

8 + 2 = 10

Diesmal werden wir die Zahl 10 ausdrücken. Aber es stellt sich heraus, dass die Zehn nicht ausgedrückt werden muss, da sie bereits ausgedrückt wird. Es reicht aus, die linken und rechten Teile zu tauschen, dann bekommen wir, was wir brauchen:

10 = 8 + 2

Beispiel 2. Betrachten Sie die Gleichheit 8 − 2 = 6

Aus dieser Gleichheit drücken wir die Zahl 8. Um die Zahl 8 auszudrücken, müssen die anderen beiden Zahlen hinzugefügt werden:

8 = 6 + 2

Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 8 = 6 + 2 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:

8 − 2 = 6

Aus dieser Gleichheit drücken wir die Zahl 2. Um die Zahl 2 auszudrücken, müssen wir 6 von 8 subtrahieren

2 = 8 − 6

Beispiel 3. Betrachten Sie die Gleichung 3 × 2 = 6

Drücken Sie die Zahl 3 aus. Um die Zahl 3 auszudrücken, müssen Sie 6 durch 2 teilen

Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:

3 x 2 = 6

Lassen Sie uns aus dieser Gleichheit die Zahl 2 ausdrücken. Um die Zahl 2 auszudrücken, müssen Sie 3 durch 6 teilen

Beispiel 4. Betrachten Sie die Gleichheit

Aus dieser Gleichheit drücken wir die Zahl 15. Um die Zahl 15 auszudrücken, müssen Sie die Zahlen 3 und 5 multiplizieren

15 = 3 x 5

Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 15 = 3 × 5 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:

Aus dieser Gleichheit drücken wir die Zahl 5. Um die Zahl 5 auszudrücken, müssen Sie 15 durch 3 teilen

Regeln zum Finden von Unbekannten

Betrachten Sie mehrere Regeln zum Auffinden von Unbekannten. Vielleicht sind sie Ihnen bekannt, aber es schadet nicht, sie noch einmal zu wiederholen. In Zukunft können sie vergessen werden, da wir lernen werden, Gleichungen zu lösen, ohne diese Regeln anzuwenden.

Kehren wir zum ersten Beispiel zurück, das wir im vorherigen Thema betrachtet haben, wo in der Gleichung 8 + 2 = 10 die Zahl 2 ausgedrückt werden musste.

In der Gleichung 8 + 2 = 10 sind die Zahlen 8 und 2 Terme und die Zahl 10 ist die Summe.

Um die Zahl 2 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:

2 = 10 − 8

Das heißt, subtrahiere 8 von der Summe von 10.

Stellen Sie sich nun vor, dass in der Gleichung 8 + 2 = 10 anstelle der Zahl 2 eine Variable steht x

8 + x = 10

In diesem Fall wird die Gleichung 8 + 2 = 10 zur Gleichung 8 + x= 10 und die Variable x unbekannter Begriff

Unsere Aufgabe ist es, diesen unbekannten Term zu finden, dh die Gleichung 8 + zu lösen x= 10 . Um den unbekannten Begriff zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Um den unbekannten Term zu finden, subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Das haben wir im Grunde getan, als wir die beiden in der Gleichung 8 + 2 = 10 ausgedrückt haben. Um den Term 2 auszudrücken, haben wir einen weiteren Term 8 von der Summe 10 subtrahiert

2 = 10 − 8

Und jetzt den unbekannten Begriff finden x, müssen wir den bekannten Term 8 von der Summe 10 subtrahieren:

x = 10 − 8

Wenn Sie die rechte Seite der resultierenden Gleichheit berechnen, können Sie herausfinden, was die Variable gleich ist x

x = 2

Wir haben die Gleichung gelöst. Variabler Wert x gleich 2 . Um den Wert einer Variablen zu überprüfen x an die ursprüngliche Gleichung 8 + gesendet x= 10 und Ersatz für x. Es ist wünschenswert, dies bei jeder gelösten Gleichung zu tun, da Sie nicht sicher sein können, dass die Gleichung richtig gelöst wird:

Ergebend

Die gleiche Regel würde gelten, wenn der unbekannte Begriff die erste Zahl 8 wäre.

x + 2 = 10

In dieser Gleichung x ist der unbekannte Term, 2 ist der bekannte Term, 10 ist die Summe. Um den unbekannten Begriff zu finden x, müssen Sie den bekannten Term 2 von der Summe 10 subtrahieren

x = 10 − 2

x = 8

Kehren wir zum zweiten Beispiel aus dem vorherigen Thema zurück, wo in der Gleichung 8 − 2 = 6 die Zahl 8 ausgedrückt werden musste.

In der Gleichung 8 − 2 = 6 ist die Zahl 8 der Minuend, die Zahl 2 der Subtrahend, die Zahl 6 die Differenz

Um die Zahl 8 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:

8 = 6 + 2

Das heißt, addiere die Differenz von 6 und die subtrahierte 2.

Stellen Sie sich nun vor, dass in der Gleichung 8 − 2 = 6 anstelle der Zahl 8 eine Variable steht x

x − 2 = 6

In diesem Fall die Variable xübernimmt die Rolle des sog unbekannter Minuend

Um den unbekannten Minuend zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen.

Das haben wir getan, als wir die Zahl 8 in der Gleichung 8 − 2 = 6 ausgedrückt haben. Um den Minuend 8 auszudrücken, haben wir den Subtrahend 2 zur Differenz von 6 hinzugefügt.

Und jetzt, um den unbekannten Minuend zu finden x, müssen wir den Subtrahend 2 zur Differenz 6 addieren

x = 6 + 2

Wenn Sie die rechte Seite berechnen, können Sie herausfinden, was die Variable gleich ist x

x = 8

Stellen Sie sich nun vor, dass in der Gleichung 8 − 2 = 6 anstelle der Zahl 2 eine Variable steht x

8 − x = 6

In diesem Fall die Variable xübernimmt eine Rolle unbekannter Subtrahend

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.

Das haben wir getan, als wir die Zahl 2 in der Gleichung 8 − 2 = 6 ausgedrückt haben. Um die Zahl 2 auszudrücken, haben wir die Differenz 6 von der reduzierten 8 subtrahiert.

Und jetzt, um den unbekannten Subtrahend zu finden x, müssen Sie wieder die Differenz 6 von der reduzierten 8 abziehen

x = 8 − 6

Berechne die rechte Seite und finde den Wert x

x = 2

Kehren wir zum dritten Beispiel aus dem vorherigen Thema zurück, wo wir in der Gleichung 3 × 2 = 6 versucht haben, die Zahl 3 auszudrücken.

In der Gleichung 3 × 2 = 6 ist die Zahl 3 der Multiplikand, die Zahl 2 der Multiplikator und die Zahl 6 das Produkt

Um die Zahl 3 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:

Das heißt, teilen Sie das Produkt von 6 durch den Faktor 2.

Stellen Sie sich nun vor, dass in der Gleichung 3 × 2 = 6 anstelle der Zahl 3 eine Variable steht x

x×2=6

In diesem Fall die Variable xübernimmt eine Rolle unbekannter Multiplikand.

Um den unbekannten Multiplikator zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Um den unbekannten Multiplikanden zu finden, musst du das Produkt durch den Faktor teilen.

Das haben wir gemacht, als wir die Zahl 3 aus der Gleichung 3 × 2 = 6 ausgedrückt haben. Wir teilen das Produkt von 6 durch den Faktor 2.

Und jetzt den unbekannten Multiplikator finden x, musst du das Produkt von 6 durch den Faktor 2 teilen.

Die Berechnung der rechten Seite ermöglicht es uns, den Wert der Variablen zu finden x

x = 3

Die gleiche Regel gilt, wenn die Variable x Anstelle des Multiplikators befindet sich nicht der Multiplikand. Stellen Sie sich vor, dass in der Gleichung 3 × 2 = 6 anstelle der Zahl 2 eine Variable steht x .

In diesem Fall die Variable xübernimmt eine Rolle Unbekannter Multiplikator. Um einen unbekannten Faktor zu finden, ist dasselbe vorgesehen wie für das Finden eines unbekannten Multiplikators, nämlich das Teilen des Produkts durch einen bekannten Faktor:

Um den unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt durch den Multiplikanden dividieren.

Das haben wir gemacht, als wir die Zahl 2 aus der Gleichung 3 × 2 = 6 ausgedrückt haben. Um die Zahl 2 zu erhalten, teilen wir dann das Produkt von 6 durch den Multiplikanden 3.

Und jetzt, um den unbekannten Faktor zu finden x Wir haben das Produkt von 6 durch den Multiplikator von 3 dividiert.

Wenn Sie die rechte Seite der Gleichung berechnen, können Sie herausfinden, was x gleich ist

x = 2

Der Multiplikand und der Multiplikator zusammen werden als Faktoren bezeichnet. Da die Regeln zum Finden eines Multiplikanden und eines Faktors dieselben sind, können wir eine allgemeine Regel zum Finden eines unbekannten Faktors formulieren:

Um den unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichung 9 × lösen x= 18 . Variable x ist ein unbekannter Faktor. Um diesen unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt 18 durch den bekannten Faktor 9 dividieren

Lösen wir die Gleichung x× 3 = 27 . Variable x ist ein unbekannter Faktor. Um diesen unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt 27 durch den bekannten Faktor 3 dividieren

Kehren wir zum vierten Beispiel aus dem vorherigen Thema zurück, wo in der Gleichheit die Zahl 15 ausgedrückt werden musste. In dieser Gleichheit ist die Zahl 15 der Dividende, die Zahl 5 der Divisor, die Zahl 3 der Quotient.

Um die Zahl 15 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:

15 = 3 x 5

Das heißt, multiplizieren Sie den Quotienten von 3 mit dem Divisor von 5.

Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichheit anstelle der Zahl 15 eine Variable gibt x

In diesem Fall die Variable xübernimmt eine Rolle unbekannte Dividende.

Um einen unbekannten Dividenden zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Um den unbekannten Dividenden zu finden, musst du den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.

Das haben wir gemacht, als wir die Zahl 15 aus der Gleichheit ausgedrückt haben. Um die Zahl 15 auszudrücken, haben wir den Quotienten von 3 mit dem Divisor von 5 multipliziert.

Und jetzt, um die unbekannte Dividende zu finden x, musst du den Quotienten von 3 mit dem Divisor von 5 multiplizieren

x= 3 × 5

x .

x = 15

Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichheit anstelle der Zahl 5 eine Variable gibt x .

In diesem Fall die Variable xübernimmt eine Rolle unbekannter Teiler.

Um den unbekannten Teiler zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Das haben wir gemacht, als wir die Zahl 5 aus der Gleichheit ausgedrückt haben. Um die Zahl 5 auszudrücken, haben wir den Dividenden 15 durch den Quotienten 3 dividiert.

Und jetzt den unbekannten Teiler finden x, müssen Sie den Dividenden 15 durch den Quotienten 3 teilen

Lassen Sie uns die rechte Seite der resultierenden Gleichheit berechnen. Also finden wir heraus, was die Variable gleich ist x .

x = 5

Um also Unbekannte zu finden, haben wir die folgenden Regeln studiert:

• Um den unbekannten Term zu finden, müssen Sie den bekannten Term von der Summe subtrahieren;
• Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen;
• Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren;
• Um den unbekannten Multiplikanden zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Faktor dividieren;
• Um den unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren;
• Um den unbekannten Dividenden zu finden, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren;
• Um einen unbekannten Teiler zu finden, musst du den Dividenden durch den Quotienten dividieren.

Komponenten

Komponenten nennen wir die Zahlen und Variablen, die in der Gleichheit enthalten sind

Also sind die Komponenten der Addition Bedingungen und Summe

Die Subtraktionskomponenten sind Minuend, Subtrahend und Unterschied

Die Komponenten der Multiplikation sind Multiplikand, Faktor und Arbeit

Die Komponenten der Division sind der Dividende, der Divisor und der Quotient.

Je nachdem, mit welchen Komponenten wir es zu tun haben, werden die entsprechenden Regeln zum Auffinden von Unbekannten angewendet. Wir haben diese Regeln im vorherigen Thema studiert. Beim Lösen von Gleichungen ist es wünschenswert, diese Regeln auswendig zu kennen.

Beispiel 1. Finden Sie die Wurzel der Gleichung 45+ x = 60

45 - Begriff, x ist der unbekannte Term, 60 ist die Summe. Wir haben es mit Zusatzkomponenten zu tun. Wir erinnern uns, dass Sie, um den unbekannten Term zu finden, den bekannten Term von der Summe subtrahieren müssen:

x = 60 − 45

Berechnen Sie die rechte Seite, erhalten Sie den Wert x gleich 15

x = 15

Die Wurzel der Gleichung ist also 45 + x= 60 gleich 15.

Meistens muss der unbekannte Begriff auf eine Form reduziert werden, in der er ausgedrückt werden kann.

Beispiel 2. löse die Gleichung

Anders als im vorherigen Beispiel kann hier der unbekannte Term nicht sofort ausgedrückt werden, da er den Koeffizienten 2 enthält. Unsere Aufgabe ist es, diese Gleichung in die Form zu bringen, in der sie ausgedrückt werden könnte x

In diesem Beispiel haben wir es mit den Additionskomponenten zu tun – den Termen und der Summe. 2 x ist der erste Term, 4 ist der zweite Term, 8 ist die Summe.

In diesem Fall ist der Begriff 2 x enthält eine Variable x. Nachdem Sie den Wert der Variablen gefunden haben x Begriff 2 x wird eine andere Form annehmen. Daher der Begriff 2 x vollständig für den unbekannten Begriff übernommen werden:

Nun wenden wir die Regel zum Finden des unbekannten Terms an. Subtrahiere den bekannten Term von der Summe:

Lassen Sie uns die rechte Seite der resultierenden Gleichung berechnen:

Wir haben eine neue Gleichung. Jetzt beschäftigen wir uns mit den Komponenten der Multiplikation: Multiplikand, Multiplikator und Produkt. 2 - Multiplikator, x- Multiplikator, 4 - Produkt

Gleichzeitig die Variable x ist nicht nur ein Faktor, sondern ein unbekannter Faktor

Um diesen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren:

Berechnen Sie die rechte Seite, erhalten Sie den Wert der Variablen x

Um die gefundene Nullstelle zu überprüfen, senden Sie sie an die ursprüngliche Gleichung und ersetzen Sie sie stattdessen x

Beispiel 3. löse die Gleichung 3x+ 9x+ 16x= 56

Das Unbekannte ausdrücken x es ist verboten. Zuerst müssen Sie diese Gleichung in die Form bringen, in der sie ausgedrückt werden könnte.

Wir stellen auf der linken Seite dieser Gleichung dar:

Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. 28 - Multiplikator, x- Multiplikator, 56 - Produkt. Dabei x ist ein unbekannter Faktor. Um den unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren:

Von hier x ist 2

Äquivalente Gleichungen

Im vorherigen Beispiel beim Lösen der Gleichung 3x + 9x + 16x = 56 , haben wir ähnliche Terme auf der linken Seite der Gleichung angegeben. Das Ergebnis ist eine neue Gleichung 28 x= 56 . alte Gleichung 3x + 9x + 16x = 56 und die resultierende neue Gleichung 28 x= 56 angerufen Äquivalente Gleichungen weil ihre Wurzeln die gleichen sind.

Gleichungen heißen äquivalent, wenn ihre Wurzeln gleich sind.

Lass es uns überprüfen. Für die Gleichung 3x+ 9x+ 16x= 56 Wir haben die Wurzel gleich 2 gefunden. Setze diese Wurzel zuerst in die Gleichung ein 3x+ 9x+ 16x= 56 , und dann in Gleichung 28 x= 56 , was sich aus der Reduktion ähnlicher Terme auf der linken Seite der vorherigen Gleichung ergibt. Wir müssen die richtigen numerischen Gleichungen finden

Entsprechend der Reihenfolge der Operationen wird zuerst die Multiplikation durchgeführt:

Setze die Wurzel 2 in die zweite Gleichung 28 ein x= 56

Wir sehen, dass beide Gleichungen die gleichen Wurzeln haben. Also die Gleichungen 3x+ 9x+ 16x= 6 und 28 x= 56 sind tatsächlich äquivalent.

Um die Gleichung zu lösen 3x+ 9x+ 16x= 56 wir haben eine der – Reduktionen ähnlicher Terme verwendet. Die korrekte Identitätstransformation der Gleichung ermöglichte es uns, eine äquivalente Gleichung 28 zu erhalten x= 56 , was einfacher zu lösen ist.

Von den identischen Transformationen können wir im Moment nur Brüche kürzen, Gleichglieder bringen, den gemeinsamen Teiler aus Klammern herausnehmen und auch Klammern öffnen. Es gibt noch andere Transformationen, die Sie kennen sollten. Aber für eine allgemeine Vorstellung von identischen Transformationen von Gleichungen reichen die von uns untersuchten Themen völlig aus.

Betrachten Sie einige Transformationen, die es uns ermöglichen, eine äquivalente Gleichung zu erhalten

Wenn Sie auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren, erhalten Sie eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.

und ähnlich:

Wenn von beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl subtrahiert wird, erhält man eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.

Mit anderen Worten, die Wurzel der Gleichung ändert sich nicht, wenn die gleiche Zahl zu der Gleichung addiert (oder von beiden Seiten davon subtrahiert) wird.

Beispiel 1. löse die Gleichung

Subtrahiere die Zahl 10 von beiden Seiten der Gleichung

Habe Gleichung 5 x= 10 . Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. Um den unbekannten Faktor zu finden x, müssen Sie das Produkt von 10 durch den bekannten Faktor 5 teilen.

und stattdessen ersetzen x Wert gefunden 2

Wir haben die richtige Nummer. Die Gleichung stimmt also.

Lösen der Gleichung Wir haben die Zahl 10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert. Das Ergebnis ist eine äquivalente Gleichung. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichungen ist auch gleich 2

Beispiel 2. Lösen Sie Gleichung 4( x+ 3) = 16

Subtrahiere die Zahl 12 von beiden Seiten der Gleichung

Linke Seite wird 4 sein x, und auf der rechten Seite die Zahl 4

Habe Gleichung 4 x= 4 . Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. Um den unbekannten Faktor zu finden x, müssen Sie das Produkt 4 durch den bekannten Faktor 4 dividieren

Gehen wir zurück zur ursprünglichen Gleichung 4( x+ 3) = 16 und ersetzen Sie stattdessen x Wert 1 gefunden

Wir haben die richtige Nummer. Die Gleichung stimmt also.

Gleichung 4 lösen ( x+ 3) = 16 wir haben die Zahl 12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert. Als Ergebnis haben wir eine äquivalente Gleichung 4 erhalten x= 4 . Die Wurzel dieser Gleichung, sowie Gleichungen 4( x+ 3) = 16 ist auch gleich 1

Beispiel 3. löse die Gleichung

Erweitern wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung:

Addieren wir die Zahl 8 auf beiden Seiten der Gleichung

Wir präsentieren ähnliche Terme in beiden Teilen der Gleichung:

Linke Seite wird 2 sein x, und auf der rechten Seite die Zahl 9

In der resultierenden Gleichung 2 x= 9 drücken wir den unbekannten Term aus x

Zurück zur ursprünglichen Gleichung und stattdessen ersetzen x gefundener Wert 4,5

Wir haben die richtige Nummer. Die Gleichung stimmt also.

Lösen der Gleichung Wir haben die Zahl 8 auf beiden Seiten der Gleichung hinzugefügt, als Ergebnis haben wir eine äquivalente Gleichung erhalten. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichungen ist ebenfalls gleich 4,5

Die nächste Regel, mit der Sie eine äquivalente Gleichung erhalten, lautet wie folgt

Wenn wir in der Gleichung den Term von einem Teil auf einen anderen übertragen und sein Vorzeichen ändern, erhalten wir eine Gleichung, die der angegebenen entspricht.

Das heißt, die Wurzel der Gleichung ändert sich nicht, wenn wir den Term von einem Teil der Gleichung auf einen anderen übertragen, indem wir sein Vorzeichen ändern. Diese Eigenschaft ist eine der wichtigsten und eine der am häufigsten verwendeten beim Lösen von Gleichungen.

Betrachten Sie die folgende Gleichung:

Die Wurzel dieser Gleichung ist 2. Ersatz statt x diese Wurzel und prüfen Sie, ob die richtige numerische Gleichheit erhalten wird

Es stellt sich die richtige Gleichheit heraus. Die Zahl 2 ist also wirklich die Wurzel der Gleichung.

Versuchen wir nun, mit den Termen dieser Gleichung zu experimentieren, indem wir sie von einem Teil zum anderen übertragen und die Vorzeichen ändern.

Zum Beispiel Term 3 x befindet sich auf der linken Seite der Gleichung. Lassen Sie uns es auf die rechte Seite verschieben und das Vorzeichen in das Gegenteil ändern:

Es stellte sich heraus, die Gleichung 12 = 9x − 3x . auf der rechten Seite dieser Gleichung:

x ist ein unbekannter Faktor. Lassen Sie uns diesen bekannten Faktor finden:

Von hier x= 2 . Wie Sie sehen können, hat sich die Wurzel der Gleichung nicht geändert. Also Gleichungen 12 + 3 x = 9x und 12 = 9x − 3x sind gleichwertig.

Tatsächlich ist diese Transformation eine vereinfachte Methode der vorherigen Transformation, bei der auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert (oder subtrahiert) wurde.

Das haben wir in der Gleichung 12 + 3 gesagt x = 9x Begriff 3 x wurde durch Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite verschoben. In Wirklichkeit geschah Folgendes: Der Term 3 wurde von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert x

Dann wurden ähnliche Terme auf der linken Seite angegeben und die Gleichung wurde erhalten 12 = 9x − 3x. Dann wurden ähnliche Terme wieder gegeben, aber auf der rechten Seite, und die Gleichung 12 = 6 wurde erhalten x.

Bequemer für solche Gleichungen ist aber der sogenannte „Transfer“, weshalb er so weit verbreitet ist. Beim Lösen von Gleichungen verwenden wir oft diese spezielle Transformation.

Die Gleichungen 12 + 3 sind ebenfalls äquivalent x= 9x und 3x - 9x= −12 . Diesmal in der Gleichung 12 + 3 x= 9x Term 12 wurde auf die rechte Seite verschoben und Term 9 x Nach links. Es darf nicht vergessen werden, dass die Vorzeichen dieser Begriffe bei der Übertragung geändert wurden

Die nächste Regel, mit der Sie eine äquivalente Gleichung erhalten, lautet wie folgt:

Multipliziert oder dividiert man beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null, so erhält man eine Gleichung, die der gegebenen äquivalent ist.

Mit anderen Worten, die Wurzeln einer Gleichung ändern sich nicht, wenn beide Seiten mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden. Diese Aktion wird häufig verwendet, wenn Sie eine Gleichung lösen müssen, die Bruchausdrücke enthält.

Betrachten Sie zunächst Beispiele, in denen beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multipliziert werden.

Beispiel 1. löse die Gleichung

Beim Lösen von Gleichungen, die Bruchausdrücke enthalten, ist es üblich, diese Gleichung zunächst zu vereinfachen.

In diesem Fall haben wir es mit einer solchen Gleichung zu tun. Um diese Gleichung zu vereinfachen, können beide Seiten mit 8 multipliziert werden:

Wir erinnern uns, dass Sie für den Zähler eines gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren müssen. Wir haben zwei Brüche und jeder von ihnen wird mit der Zahl 8 multipliziert. Unsere Aufgabe ist es, die Zähler der Brüche mit dieser Zahl 8 zu multiplizieren

Jetzt passiert das Interessanteste. Die Zähler und Nenner beider Brüche enthalten einen Faktor von 8, der um 8 reduziert werden kann. Dadurch können wir den Bruchausdruck loswerden:

Als Ergebnis bleibt die einfachste Gleichung übrig

Nun, es ist leicht zu erraten, dass die Wurzel dieser Gleichung 4 ist

x Wert gefunden 4

Es stellt sich die richtige numerische Gleichheit heraus. Die Gleichung stimmt also.

Beim Lösen dieser Gleichung haben wir beide Teile davon mit 8 multipliziert. Als Ergebnis haben wir die Gleichung erhalten. Die Wurzel dieser Gleichung ist wie die Gleichungen 4. Diese Gleichungen sind also äquivalent.

Der Multiplikator, mit dem beide Teile der Gleichung multipliziert werden, steht normalerweise vor dem Teil der Gleichung und nicht dahinter. Also haben wir beim Lösen der Gleichung beide Teile mit dem Faktor 8 multipliziert und den folgenden Eintrag erhalten:

Dadurch hat sich die Wurzel der Gleichung nicht geändert, aber wenn wir das in der Schule gemacht hätten, wären wir aufgefallen, da es in der Algebra üblich ist, den Faktor vor den Ausdruck zu schreiben, mit dem er multipliziert wird. Daher ist es wünschenswert, beide Seiten der Gleichung mit dem Faktor 8 zu multiplizieren, um sie wie folgt umzuschreiben:

Beispiel 2. löse die Gleichung

Auf der linken Seite können die Faktoren 15 um 15 reduziert werden und auf der rechten Seite können die Faktoren 15 und 5 um 5 reduziert werden

Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung:

Verschieben wir den Begriff x von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite, indem Sie das Vorzeichen ändern. Und der Term 15 von der rechten Seite der Gleichung wird auf die linke Seite übertragen, wobei wiederum das Vorzeichen geändert wird:

Bringen wir ähnliche Begriffe in beide Teile, bekommen wir

Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. Variable x

Zurück zur ursprünglichen Gleichung und stattdessen ersetzen x Wert gefunden 5

Es stellt sich die richtige numerische Gleichheit heraus. Die Gleichung stimmt also. Beim Lösen dieser Gleichung haben wir beide Seiten mit 15 multipliziert. Weiterhin haben wir durch identische Transformationen die Gleichung 10 = 2 erhalten x. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichungen gleich 5. Diese Gleichungen sind also äquivalent.

Beispiel 3. löse die Gleichung

Auf der linken Seite können zwei Tripel reduziert werden, und die rechte Seite entspricht 18

Die einfachste Gleichung bleibt. Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. Variable x ist ein unbekannter Faktor. Lassen Sie uns diesen bekannten Faktor finden:

Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen Sie statt x gefundener Wert 9

Es stellt sich die richtige numerische Gleichheit heraus. Die Gleichung stimmt also.

Beispiel 4. löse die Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6

Öffne die Klammern auf der linken Seite der Gleichung. Auf der rechten Seite lässt sich der Faktor 6 auf den Zähler erhöhen:

Wir reduzieren in beiden Teilen der Gleichungen, was reduziert werden kann:

Schreiben wir um, was wir übrig haben:

Wir verwenden die Übertragung von Begriffen. Begriffe, die das Unbekannte enthalten x, gruppieren wir auf der linken Seite der Gleichung und die Terme ohne Unbekannte - auf der rechten Seite:

Wir präsentieren ähnliche Begriffe in beiden Teilen:

Lassen Sie uns nun den Wert der Variablen finden x. Dazu dividieren wir das Produkt 28 durch den bekannten Faktor 7

Von hier x= 4.

Zurück zur ursprünglichen Gleichung und stattdessen ersetzen x Wert gefunden 4

Es stellte sich die richtige numerische Gleichheit heraus. Die Gleichung stimmt also.

Beispiel 5. löse die Gleichung

Lassen Sie uns die Klammern in beiden Teilen der Gleichung öffnen, wo es möglich ist:

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 15

Lassen Sie uns die Klammern in beiden Teilen der Gleichung öffnen:

Lassen Sie uns in beiden Teilen der Gleichung reduzieren, was reduziert werden kann:

Schreiben wir um, was wir übrig haben:

Lassen Sie uns die Klammern öffnen, wo es möglich ist:

Wir verwenden die Übertragung von Begriffen. Die Terme, die die Unbekannte enthalten, sind auf der linken Seite der Gleichung gruppiert, und die Terme ohne Unbekannte sind auf der rechten Seite gruppiert. Vergessen Sie nicht, dass die Begriffe während der Übertragung ihr Vorzeichen in das Gegenteil ändern:

Wir präsentieren ähnliche Terme in beiden Teilen der Gleichung:

Lassen Sie uns den Wert finden x

In der resultierenden Antwort können Sie den gesamten Teil auswählen:

Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen Sie statt x Wert gefunden

Es erweist sich als ziemlich umständlicher Ausdruck. Lassen Sie uns Variablen verwenden. Wir legen die linke Seite der Gleichheit in eine Variable EIN, und die rechte Seite der Gleichheit in eine Variable B

Unsere Aufgabe ist es, sicherzustellen, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Beweisen Sie also die Gleichheit A = B

Finden Sie den Wert des Ausdrucks in Variable A.

Variabler Wert ABER gleich . Lassen Sie uns nun den Wert der Variablen ermitteln B. Das heißt, der Wert der rechten Seite unserer Gleichheit. Wenn es gleich ist, wird die Gleichung korrekt gelöst

Wir sehen, dass der Wert der Variablen B, sowie der Wert der Variablen A ist . Das bedeutet, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Daraus schließen wir, dass die Gleichung richtig gelöst ist.

Versuchen wir nun, nicht beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren, sondern zu dividieren.

Betrachten Sie die Gleichung 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Wir lösen sie auf die übliche Weise: Wir gruppieren die Terme mit Unbekannten auf der linken Seite der Gleichung und die Terme ohne Unbekannte auf der rechten Seite. Weiterhin finden wir den Wert, indem wir die bekannten identischen Transformationen durchführen x

Ersetzen Sie den gefundenen Wert durch 2 statt x in die ursprüngliche Gleichung:

Versuchen wir nun, alle Terme der Gleichung zu trennen 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 durch eine Zahl. Wir stellen fest, dass alle Terme dieser Gleichung einen gemeinsamen Faktor 2 haben. Wir dividieren jeden Term durch ihn:

Lassen Sie uns in jedem Term reduzieren:

Schreiben wir um, was wir übrig haben:

Wir lösen diese Gleichung mit den bekannten identischen Transformationen:

Wir haben die Wurzel 2 . Also die Gleichungen 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 und 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 sind gleichwertig.

Wenn Sie beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl teilen, können Sie die Unbekannte aus dem Koeffizienten befreien. Im vorherigen Beispiel, als wir Gleichung 7 erhalten haben x= 14 , müssten wir das Produkt 14 durch den bekannten Faktor 7 dividieren. Aber wenn wir die Unbekannte vom Koeffizienten 7 auf der linken Seite befreien würden, wäre die Wurzel sofort gefunden. Dazu genügte es, beide Teile durch 7 zu teilen

Wir werden diese Methode auch oft anwenden.

Multipliziere mit minus eins

Wenn beide Seiten der Gleichung mit minus eins multipliziert werden, erhält man eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.

Diese Regel folgt aus der Tatsache, dass sich durch Multiplizieren (oder Dividieren) beider Teile der Gleichung mit derselben Zahl die Wurzel dieser Gleichung nicht ändert. Das bedeutet, dass sich die Wurzel nicht ändert, wenn beide Teile mit −1 multipliziert werden.

Mit dieser Regel können Sie die Vorzeichen aller in der Gleichung enthaltenen Komponenten ändern. Wofür ist das? Nochmals, um eine äquivalente Gleichung zu erhalten, die einfacher zu lösen ist.

Betrachten Sie die Gleichung. Was ist die Wurzel dieser Gleichung?

Addieren wir die Zahl 5 auf beiden Seiten der Gleichung

Hier sind ähnliche Begriffe:

Und jetzt erinnern wir uns an. Was ist die linke seite der gleichung. Dies ist das Produkt aus minus eins und der Variablen x

Das heißt, das Minus vor der Variablen x bezieht sich nicht auf die Variable selbst x, sondern auf die Einheit, die wir nicht sehen, da es üblich ist, den Koeffizienten 1 nicht aufzuschreiben. Das bedeutet, dass die Gleichung tatsächlich so aussieht:

Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. Finden X müssen Sie das Produkt −5 durch den bekannten Faktor −1 dividieren.

oder teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch −1, was noch einfacher ist

Die Wurzel der Gleichung ist also 5. Zur Überprüfung setzen wir es in die ursprüngliche Gleichung ein. Vergessen Sie nicht, dass in der ursprünglichen Gleichung das Minus vor der Variablen steht x bezieht sich auf eine unsichtbare Einheit

Es stellte sich die richtige numerische Gleichheit heraus. Die Gleichung stimmt also.

Versuchen wir nun, beide Seiten der Gleichung mit minus eins zu multiplizieren:

Nach dem Öffnen der Klammern wird der Ausdruck auf der linken Seite gebildet und die rechte Seite ist gleich 10

Die Wurzel dieser Gleichung ist wie die Gleichung 5

Die Gleichungen sind also äquivalent.

Beispiel 2. löse die Gleichung

In dieser Gleichung sind alle Komponenten negativ. Es ist bequemer, mit positiven Komponenten zu arbeiten als mit negativen, also ändern wir die Vorzeichen aller in der Gleichung enthaltenen Komponenten . Multiplizieren Sie dazu beide Seiten dieser Gleichung mit −1.

Es ist klar, dass nach der Multiplikation mit −1 jede Zahl ihr Vorzeichen ins Gegenteil ändert. Daher wird das Multiplizieren mit −1 und das Öffnen der Klammern nicht im Detail beschrieben, aber die Komponenten der Gleichung mit entgegengesetzten Vorzeichen werden sofort aufgeschrieben.

Das Multiplizieren einer Gleichung mit −1 kann also im Detail wie folgt geschrieben werden:

oder Sie können einfach die Vorzeichen aller Komponenten ändern:

Es wird dasselbe herauskommen, aber der Unterschied wird sein, dass wir uns Zeit sparen.

Wenn wir also beide Seiten der Gleichung mit −1 multiplizieren, erhalten wir die Gleichung. Lösen wir diese Gleichung. Subtrahiere die Zahl 4 von beiden Teilen und teile beide Teile durch 3

Wenn die Wurzel gefunden ist, wird die Variable normalerweise auf die linke Seite geschrieben und ihr Wert auf die rechte Seite, was wir auch getan haben.

Beispiel 3. löse die Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit −1. Dann ändern alle Komponenten ihr Vorzeichen ins Gegenteil:

Subtrahiere 2 von beiden Seiten der resultierenden Gleichung x und füge ähnliche Begriffe hinzu:

Wir addieren Einheit zu beiden Teilen der Gleichung und geben gleiche Terme an:

Gleich Null

Kürzlich haben wir gelernt, dass wir, wenn wir in einer Gleichung einen Term von einem Teil auf einen anderen übertragen, indem wir sein Vorzeichen ändern, eine Gleichung erhalten, die der gegebenen entspricht.

Und was passiert, wenn wir von einem Teil zum anderen nicht einen Begriff, sondern alle Begriffe übertragen? Das ist richtig, in dem Teil, aus dem alle Terme entnommen wurden, bleibt die Null übrig. Mit anderen Worten, es wird nichts übrig bleiben.

Nehmen wir als Beispiel die Gleichung. Wir lösen diese Gleichung wie üblich - wir gruppieren die Terme, die Unbekannte enthalten, in einem Teil und lassen die numerischen Terme frei von Unbekannten im anderen. Weiterhin finden wir den Wert der Variablen, indem wir die bekannten identischen Transformationen durchführen x

Versuchen wir nun, dieselbe Gleichung zu lösen, indem wir alle ihre Komponenten mit Null gleichsetzen. Dazu übertragen wir alle Begriffe von der rechten Seite auf die linke Seite und ändern dabei die Vorzeichen:

Hier sind die ähnlichen Begriffe auf der linken Seite:

Addieren wir 77 zu beiden Teilen und dividieren beide Teile durch 7

Eine Alternative zu den Regeln zum Finden von Unbekannten

Offensichtlich kann man sich mit dem Wissen um die identischen Transformationen von Gleichungen die Regeln zum Auffinden von Unbekannten nicht merken.

Um beispielsweise die Unbekannte in der Gleichung zu finden, haben wir das Produkt 10 durch den bekannten Faktor 2 dividiert

Aber wenn in der Gleichung beide Teile durch 2 geteilt werden, ist die Wurzel sofort gefunden. Auf der linken Seite der Gleichung werden der Faktor 2 im Zähler und der Faktor 2 im Nenner um 2 reduziert. Und die rechte Seite wird gleich 5 sein

Wir haben Gleichungen der Form gelöst, indem wir den unbekannten Term ausgedrückt haben:

Aber Sie können die identischen Transformationen verwenden, die wir heute studiert haben. In der Gleichung kann der Term 4 durch Änderung des Vorzeichens auf die rechte Seite verschoben werden:

Auf der linken Seite der Gleichung werden zwei Zweien reduziert. Die rechte Seite ist gleich 2. Daher .

Oder du subtrahierst auf beiden Seiten der Gleichung 4. Dann erhälst du Folgendes:

Bei Gleichungen der Form ist es bequemer, das Produkt durch einen bekannten Faktor zu dividieren. Vergleichen wir beide Lösungen:

Die erste Lösung ist viel kürzer und übersichtlicher. Die zweite Lösung lässt sich deutlich verkürzen, wenn man die Division im Kopf durchführt.

Sie müssen jedoch beide Methoden kennen und nur dann diejenige verwenden, die Ihnen am besten gefällt.

Wenn es mehrere Wurzeln gibt

Eine Gleichung kann mehrere Wurzeln haben. Zum Beispiel Gleichung x(x + 9) = 0 hat zwei Wurzeln: 0 und −9 .

In der Gleichung x(x + 9) = 0 musste ein solcher Wert gefunden werden x wofür die linke Seite gleich Null wäre. Die linke Seite dieser Gleichung enthält die Ausdrücke x und (x + 9), das sind Faktoren. Aus den Produktgesetzen wissen wir, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist (entweder der erste Faktor oder der zweite).

Das heißt, in der Gleichung x(x + 9) = 0 Gleichheit wird erreicht, wenn x wird Null sein oder (x + 9) wird Null sein.

x= 0 bzw x + 9 = 0

Wenn wir diese beiden Ausdrücke mit Null gleichsetzen, können wir die Wurzeln der Gleichung finden x(x + 9) = 0 . Die erste Wurzel, wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde sofort gefunden. Um die zweite Wurzel zu finden, müssen Sie die Elementargleichung lösen x+ 9 = 0 . Es ist leicht zu erraten, dass die Wurzel dieser Gleichung −9 ist. Die Überprüfung zeigt, dass die Wurzel korrekt ist:

−9 + 9 = 0

Beispiel 2. löse die Gleichung

Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: 1 und 2. Die linke Seite der Gleichung ist das Produkt von Ausdrücken ( x− 1) und ( x− 2) . Und das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist (oder der Faktor ( x− 1) oder Faktor ( x − 2) ).

Lass es uns finden x unter denen die Ausdrücke ( x− 1) oder ( x− 2) verschwinden:

Die gefundenen Werte setzen wir wiederum in die ursprüngliche Gleichung ein und achten darauf, dass bei diesen Werten die linke Seite gleich Null ist:

Wenn es unendlich viele Wurzeln gibt

Eine Gleichung kann unendlich viele Wurzeln haben. Das heißt, durch Einsetzen einer beliebigen Zahl in eine solche Gleichung erhalten wir die korrekte numerische Gleichheit.

Beispiel 1. löse die Gleichung

Die Wurzel dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl. Wenn Sie die Klammern auf der linken Seite der Gleichung öffnen und ähnliche Terme einbringen, erhalten Sie die Gleichheit 14 \u003d 14. Diese Gleichheit wird für alle erhalten x

Beispiel 2. löse die Gleichung

Die Wurzel dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl. Wenn Sie die Klammern auf der linken Seite der Gleichung öffnen, erhalten Sie die Gleichheit 10x + 12 = 10x + 12. Diese Gleichheit wird für alle erhalten x

Wenn es keine Wurzeln gibt

Es kommt auch vor, dass die Gleichung überhaupt keine Lösungen hat, das heißt, sie hat keine Wurzeln. Zum Beispiel hat die Gleichung keine Wurzeln, weil für jeden Wert x, ist die linke Seite der Gleichung nicht gleich der rechten Seite. Lassen Sie zum Beispiel . Dann nimmt die Gleichung die folgende Form an

Beispiel 2. löse die Gleichung

Erweitern wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung:

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wir sehen, dass die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist. Und so wird es für jeden Wert sein j. Lassen Sie zum Beispiel j = 3 .

Buchstabengleichungen

Eine Gleichung kann nicht nur Zahlen mit Variablen enthalten, sondern auch Buchstaben.

Beispielsweise ist die Formel zum Ermitteln der Geschwindigkeit eine wörtliche Gleichung:

Diese Gleichung beschreibt die Geschwindigkeit des Körpers bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung.

Eine nützliche Fähigkeit ist die Fähigkeit, jede Komponente auszudrücken, die in einer Buchstabengleichung enthalten ist. Um beispielsweise den Abstand aus einer Gleichung zu bestimmen, müssen Sie die Variable ausdrücken s .

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit t

Variablen auf der rechten Seite t Vermindere um t

In der resultierenden Gleichung sind linker und rechter Teil vertauscht:

Wir haben die Formel zum Finden der Entfernung erhalten, die wir zuvor studiert haben.

Versuchen wir, die Zeit aus der Gleichung zu bestimmen. Dazu müssen Sie die Variable ausdrücken t .

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit t

Variablen auf der rechten Seite t Vermindere um t und schreiben Sie um, was wir übrig haben:

In der resultierenden Gleichung v × t = s beide Teile teilen v

Variablen auf der linken Seite v Vermindere um v und schreiben Sie um, was wir übrig haben:

Wir haben die Formel zur Bestimmung der Zeit erhalten, die wir früher studiert haben.

Angenommen, die Geschwindigkeit des Zuges beträgt 50 km/h

v= 50 km/h

Und die Entfernung beträgt 100 km

s= 100 Kilometer

Dann nimmt der Brief die folgende Form an

Aus dieser Gleichung kannst du die Zeit finden. Dazu müssen Sie die Variable ausdrücken können t. Du kannst die Regel zum Finden eines unbekannten Divisors anwenden, indem du den Dividenden durch den Quotienten dividierst und so den Wert der Variablen bestimmst t

oder Sie können identische Transformationen verwenden. Multiplizieren Sie zuerst beide Seiten der Gleichung mit t

Teile dann beide Teile durch 50

Beispiel 2 x

Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung a

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch b

a + bx = c, dann haben wir eine fertige Lösung. Es reicht aus, die erforderlichen Werte darin zu ersetzen. Diese Werte, die durch Buchstaben ersetzt werden a, b, c genannt Parameter. Und Gleichungen der Form a + bx = c genannt Gleichung mit Parametern. Abhängig von den Parametern ändert sich die Wurzel.

Lösen Sie Gleichung 2 + 4 x= 10 . Es sieht aus wie eine wörtliche Gleichung a + bx = c. Anstatt identische Transformationen durchzuführen, können wir eine vorgefertigte Lösung verwenden. Vergleichen wir beide Lösungen:

Wir sehen, dass die zweite Lösung viel einfacher und kürzer ist.

Für die fertige Lösung müssen Sie eine kleine Bemerkung machen. Parameter b darf nicht null sein (b ≠ 0), da eine Division durch Null nicht erlaubt ist.

Beispiel 3. Gegeben eine wörtliche Gleichung. Drücken Sie aus dieser Gleichung aus x

Lassen Sie uns die Klammern in beiden Teilen der Gleichung öffnen

Wir verwenden die Übertragung von Begriffen. Parameter, die eine Variable enthalten x, gruppieren wir auf der linken Seite der Gleichung und die von dieser Variablen freien Parameter - auf der rechten Seite.

Auf der linken Seite nehmen wir den Faktor heraus x

Teilen Sie beide Teile in einen Ausdruck a-b

Auf der linken Seite können Zähler und Nenner um reduziert werden a-b. Damit ist die Variable endlich ausgedrückt x

Wenn wir nun auf eine Gleichung der Form stoßen a(x − c) = b(x + d), dann haben wir eine fertige Lösung. Es reicht aus, die erforderlichen Werte darin zu ersetzen.

Angenommen, wir haben eine Gleichung gegeben 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Es sieht aus wie eine Gleichung a(x − c) = b(x + d). Wir lösen es auf zwei Arten: mit identischen Transformationen und mit einer vorgefertigten Lösung:

Der Einfachheit halber extrahieren wir aus der Gleichung 4(x - 3) = 2(x+ 4) Parameterwerte a, b, c, d . Dadurch können wir beim Ersetzen keine Fehler machen:

Wie im vorigen Beispiel soll auch hier der Nenner ungleich Null sein ( a - b ≠ 0) . Wenn wir auf eine Gleichung der Form stoßen a(x − c) = b(x + d) in denen die Parameter a und b gleich sind, können wir sagen, ohne sie zu lösen, dass diese Gleichung keine Wurzeln hat, da die Differenz identischer Zahlen Null ist.

Zum Beispiel die Gleichung 2(x − 3) = 2(x + 4) ist eine Gleichung der Form a(x − c) = b(x + d). In der Gleichung 2(x − 3) = 2(x + 4) Optionen a und b das Gleiche. Wenn wir anfangen, es zu lösen, werden wir zu dem Schluss kommen, dass die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist:

Beispiel 4. Gegeben eine wörtliche Gleichung. Drücken Sie aus dieser Gleichung aus x

Wir bringen die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:

Multiplizieren Sie beide Seiten mit a

Auf der linken Seite x nimm es aus den Klammern

Wir dividieren beide Teile durch den Ausdruck (1 − a)

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Die in dieser Lektion betrachteten Gleichungen werden aufgerufen lineare Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten.

Wenn die Gleichung bis zum ersten Grad gegeben ist, keine Division durch das Unbekannte enthält und auch keine Wurzeln aus dem Unbekannten enthält, kann sie als linear bezeichnet werden. Wir haben noch keine Abschlüsse und Wurzeln studiert, um unser Leben nicht zu verkomplizieren, werden wir das Wort „linear“ als „einfach“ verstehen.

Die meisten der in dieser Lektion gelösten Gleichungen wurden schließlich auf die einfachste Gleichung reduziert, in der das Produkt durch einen bekannten Faktor dividiert werden musste. Zum Beispiel Gleichung 2( x+ 3) = 16 . Lösen wir es.

Öffnen wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung, erhalten wir 2 x+ 6 = 16. Verschieben wir den Term 6 auf die rechte Seite, indem wir das Vorzeichen ändern. Dann bekommen wir 2 x= 16 − 6. Berechnen Sie die rechte Seite, wir erhalten 2 x= 10. Zu finden x teilen wir das Produkt 10 durch den bekannten Faktor 2. Also x = 5.

Gleichung 2 ( x+ 3) = 16 ist linear. Es reduziert sich auf Gleichung 2 x= 10 , um die Wurzel zu finden, musste das Produkt durch einen bekannten Faktor geteilt werden. Diese einfache Gleichung heißt lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in kanonischer Form. Das Wort „kanonisch“ ist gleichbedeutend mit den Wörtern „einfach“ oder „normal“.

Eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in der kanonischen Form heißt Gleichung der Form Axt = b.

Unsere Gleichung 2 x= 10 ist eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in kanonischer Form. Diese Gleichung hat den ersten Grad, eine Unbekannte, sie enthält keine Division durch die Unbekannte und keine Wurzeln aus der Unbekannten, und sie wird in kanonischer Form dargestellt, dh in der einfachsten Form, in der sie leicht zu bestimmen ist Wert x. Statt Parameter a und b unsere Gleichung enthält die Zahlen 2 und 10. Aber eine ähnliche Gleichung kann andere Zahlen enthalten: positiv, negativ oder gleich Null.

Wenn in einer linearen Gleichung a= 0 und b= 0 , dann hat die Gleichung unendlich viele Wurzeln. In der Tat, wenn a ist null und b gleich Null ist, dann die lineare Gleichung Axt= b nimmt die Form 0 an x= 0 . Für jeden Wert x die linke Seite wird gleich der rechten Seite sein.

Wenn in einer linearen Gleichung a= 0 und b≠ 0, dann hat die Gleichung keine Wurzeln. In der Tat, wenn a ist null und b gleich einer Zahl ungleich Null ist, sagen wir die Zahl 5, dann die Gleichung ax=b nimmt die Form 0 an x= 5 . Die linke Seite ist null und die rechte Seite fünf. Und null ist nicht gleich fünf.

Wenn in einer linearen Gleichung a≠ 0 und b gleich einer beliebigen Zahl ist, dann hat die Gleichung eine Wurzel. Sie wird durch Dividieren des Parameters bestimmt b pro Parameter a

In der Tat, wenn a gleich einer Zahl ungleich Null ist, sagen wir die Zahl 3, und b gleich einer Zahl ist, sagen wir der Zahl 6, dann nimmt die Gleichung die Form an.
Von hier.

Es gibt eine andere Form, eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten zu schreiben. Es sieht aus wie das: Axt - b= 0 . Dies ist die gleiche Gleichung wie ax=b

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