Die mathematische Analyse ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von Funktionen befasst, die auf der Idee einer infinitesimalen Funktion basieren.

Die grundlegenden Konzepte der mathematischen Analyse sind Menge, Menge, Funktion, Infinitesimalfunktion, Grenzwert, Ableitung, Integral.

Wert alles, was gemessen und durch eine Zahl ausgedrückt werden kann, wird genannt.

viele ist eine Sammlung einiger Elemente, die durch ein gemeinsames Merkmal vereint sind. Die Elemente einer Menge können Zahlen, Figuren, Objekte, Konzepte usw. sein.

Mengen werden mit Großbuchstaben und Elemente einer Menge mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Set-Elemente sind in geschweiften Klammern eingeschlossen.

Wenn-Element x gehört zum Set X, dann schreibe x∈X (∈ - gehört).
Wenn Menge A Teil von Menge B ist, dann schreibe A ⊂ B (⊂ - ist beinhaltet).

Eine Menge kann auf zwei Arten definiert werden: durch Aufzählung und durch eine definierende Eigenschaft.

Beispielsweise definiert die Enumeration die folgenden Mengen:

• A=(1,2,3,5,7) - Menge von Zahlen
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) ist eine Menge einiger Elemente x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) ist die Menge der natürlichen Zahlen
• Z=(0,±1,±2,...,±n) ist die Menge der ganzen Zahlen

Die Menge (-∞;+∞) wird aufgerufen Zahlenreihe, und jede Zahl ist ein Punkt dieser Geraden. Sei a ein beliebiger Punkt auf der reellen Geraden und δ eine positive Zahl. Das Intervall (a-δ; a+δ) wird aufgerufen δ-Nachbarschaft des Punktes a.

Die Menge X ist von oben (von unten) beschränkt, wenn es eine solche Zahl c gibt, dass für jedes x ∈ X die Ungleichung x≤с (x≥c) erfüllt ist. Die Nummer c wird in diesem Fall aufgerufen oberen (unteren) Rand setzt X. Eine sowohl nach oben als auch nach unten beschränkte Menge heißt begrenzt. Die kleinste (größte) der oberen (unteren) Flächen der Menge wird aufgerufen exakte obere (untere) Fläche dieser Satz.

Grundlegende numerische Sätze

N	(1,2,3,...,n) Die Menge aller
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Einst ganze Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen umfasst die Menge der natürlichen Zahlen.
Q	Ein Haufen Rationale Zahlen. Neben ganzen Zahlen gibt es auch Brüche. Ein Bruch ist ein Ausdruck der Form , wo p- ganze Zahl, q- natürlich. Dezimalzahlen können auch als geschrieben werden. Zum Beispiel: 0,25 = 25/100 = 1/4. Ganze Zahlen können auch als geschrieben werden. Zum Beispiel in Form eines Bruchs mit dem Nenner „Eins“: 2 = 2/1. Somit kann jede rationale Zahl als Dezimalbruch geschrieben werden – endlich oder unendlich periodisch.
R	Viele von allen reale Nummern. Irrationale Zahlen sind unendliche nichtperiodische Brüche. Diese beinhalten: Zwei Mengen (rationale und irrationale Zahlen) bilden zusammen die Menge der reellen (oder reellen) Zahlen.

Enthält eine Menge keine Elemente, so heißt sie leeres Set und aufgezeichnet Ø .

Elemente der logischen Symbolik

Die Notation ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Quantor

Beim Schreiben mathematischer Ausdrücke werden häufig Quantoren verwendet.

Quantor wird ein logisches Symbol genannt, das die ihm folgenden Elemente quantitativ charakterisiert.

• ∀- allgemeiner Quantifizierer, wird anstelle der Wörter „für alle“, „für alle“ verwendet.
• ∃- existentieller Quantifizierer, wird anstelle der Wörter „existiert“, „hat“ verwendet. Es wird auch die Symbolkombination ∃! verwendet, die gelesen wird, da es nur eine gibt.

Operationen an Sets

Zwei Die Sätze A und B sind gleich(A=B), wenn sie aus denselben Elementen bestehen.
Zum Beispiel, wenn A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), dann A=B.

Union (Summe) Die Mengen A und B heißen die Menge A ∪ B, deren Elemente zu mindestens einer dieser Mengen gehören.
Zum Beispiel, wenn A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), dann A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Kreuzung (Produkt) Die Mengen A und B heißen die Menge A ∩ B, deren Elemente sowohl zur Menge A als auch zur Menge B gehören.
Zum Beispiel, wenn A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), dann A ∩ B = (2,4)

Unterschied Die Mengen A und B werden als Menge AB bezeichnet, deren Elemente zur Menge A, aber nicht zur Menge B gehören.
Zum Beispiel, wenn A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), dann AB = (1,2)

Symmetrischer Unterschied Die Mengen A und B heißen die Menge A Δ B, die die Vereinigung der Differenzen der Mengen AB und BA ist, d. h. A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Wenn zum Beispiel A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), dann ist A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)

Eigenschaften von Mengenoperationen

Permutabilitätseigenschaften

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

assoziative Eigenschaft

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Zählbare und unzählbare Mengen

Um zwei beliebige Mengen A und B zu vergleichen, wird eine Entsprechung zwischen ihren Elementen hergestellt.

Wenn diese Entsprechung eineindeutig ist, dann heißen die Mengen äquivalent oder äquivalent, A B oder B A.

Beispiel 1

Die Punktemenge des Schenkels BC und die Hypotenuse AC des Dreiecks ABC sind gleich stark.

Mathematischer Satz

Ein Haufen- eines der Schlüsselobjekte der Mathematik, insbesondere der Mengenlehre. „Unter der Menge verstehen wir die Vereinigung bestimmter, vollständig unterscheidbarer Gegenstände unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“ (G. Kantor). Dies ist nicht im vollen Sinne eine logische Definition des Begriffs einer Menge, sondern nur eine Erklärung (denn einen Begriff zu definieren bedeutet, einen solchen Gattungsbegriff zu finden, in dem dieser Begriff als Art enthalten ist, aber vielleicht eine Menge ist breiteste Begriff der Mathematik und Logik).

Theorien

Es gibt zwei Hauptansätze für das Konzept einer Menge - naiv und axiomatisch Mengenlehre.

Axiomatische Mengenlehre

Heute wird eine Menge als ein Modell definiert, das die ZFC-Axiome (die Zermelo-Fraenkel-Axiome mit dem Wahlaxiom) erfüllt. Bei diesem Ansatz entstehen in einigen mathematischen Theorien Ansammlungen von Objekten, die keine Mengen sind. Solche Sammlungen werden Klassen (verschiedener Ordnungen) genannt.

Set-Element

Die Objekte, die eine Menge bilden, werden aufgerufen Elemente setzen oder Sollwerte. Mengen werden am häufigsten mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet, seine Elemente mit kleinen. Wenn a ein Element der Menge A ist, dann schreibe a ∈ A (a gehört zu A). Wenn a kein Element der Menge A ist, dann schreibe a ∉ A (a gehört nicht zu A).

Einige Arten von Sets

• Eine geordnete Menge ist eine Menge, auf der die Ordnungsrelation gegeben ist.
• Eine Menge (insbesondere ein geordnetes Paar). Im Gegensatz zu nur einem Satz wird es in Klammern geschrieben: ( x 1 , x 2 , x 3 , …) und Elemente können wiederholt werden.

Nach Hierarchie:

Menge von Mengen Untermenge Obermenge

Durch Einschränkung:

Operationen an Sets

Literatur

• Stoll R.R. Sätze. Logik. axiomatische Theorien. - M .: Bildung, 1968. - 232 p.

siehe auch

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

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- (mathematisch) siehe Mengenlehre...

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Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Beweis. In der Mathematik ist ein Beweis eine Kette logischer Schlussfolgerungen, die zeigt, dass für einen Satz von Axiomen und Schlussfolgerungsregeln eine bestimmte Aussage wahr ist. Abhängig von ... Wikipedia

Bücher

• Mathematische Modellierung der Wirtschaft, Malykhin V.I. Das Buch behandelt die wichtigsten mathematischen Modelle der Wirtschaft: das Modell des einzelnen Verbrauchers (basierend auf der Nutzenfunktion), das Modell des produzierenden Unternehmens (basierend auf der Produktionsfunktion),…

Kurze Zusammenfassung

Ich bin ausgebildeter theoretischer Physiker, habe aber einen guten mathematischen Hintergrund. In der Magistratur war eines der Fächer Philosophie, es war notwendig, ein Thema zu wählen und eine Arbeit darüber einzureichen. Da die meisten Optionen mehr als einmal obmusoleny waren, entschied ich mich für etwas Exotischeres. Ich erhebe keinen Anspruch auf Neuheit, ich habe es gerade geschafft, alle / fast alle verfügbare Literatur zu diesem Thema zu sammeln. Philosophen und Mathematiker können mich mit Steinen bewerfen, ich bin nur für konstruktive Kritik dankbar.

P.S. Sehr "trockene Sprache", aber nach dem Uni-Studium durchaus lesbar. Größtenteils wurden paradoxe Definitionen aus Wikipedia übernommen (vereinfachter Wortlaut und vorgefertigtes TeX-Markup).

Einführung

Sowohl die Mengenlehre selbst als auch die ihr innewohnenden Paradoxien sind vor nicht allzu langer Zeit, vor etwas mehr als hundert Jahren, aufgetaucht. In dieser Zeit wurde jedoch ein langer Weg zurückgelegt, die Mengenlehre wurde auf die eine oder andere Weise tatsächlich zur Grundlage der meisten Bereiche der Mathematik. Seine mit Cantors Unendlichkeit verbundenen Paradoxien wurden in einem halben Jahrhundert buchstäblich erklärt.

Sie sollten mit einer Definition beginnen.

Was ist eine Vielzahl? Die Frage ist ganz einfach, die Antwort darauf ist ganz intuitiv. Eine Menge ist eine Menge von Elementen, die durch ein einzelnes Objekt repräsentiert werden. Kantor in seinem Werk Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre gibt eine Definition: Unter „Menge“ verstehen wir die Kombination bestimmter gut unterscheidbarer Objekte unserer Kontemplation oder unseres Denkens (die „Elemente“ der Menge genannt werden) zu einer bestimmten Gesamtheit. Wie Sie sehen, hat sich das Wesen nicht geändert, der Unterschied besteht nur in dem Teil, der vom Weltbild von der Determinante abhängt. Die Geschichte der Mengenlehre, sowohl in der Logik als auch in der Mathematik, ist höchst umstritten. Tatsächlich legte Kantor im 19. Jahrhundert den Grundstein dafür, dann führten Russell und die anderen die Arbeit fort.

Paradoxien (Logik und Mengenlehre) – (von anderem Griechisch παράδοξος – unerwartet, seltsam von anderem Griechisch παρα-δοκέω – ich scheine) – formale logische Widersprüche, die in der sinnvollen Mengenlehre und formalen Logik unter Beibehaltung der logischen Korrektheit des Denkens entstehen. Paradoxien entstehen, wenn zwei sich gegenseitig ausschließende (widersprüchliche) Aussagen gleichermaßen beweisbar sind. Paradoxien können sowohl in der wissenschaftlichen Theorie als auch in der gewöhnlichen Argumentation auftreten (Russells Paradoxon über die Menge aller normalen Mengen wird beispielsweise von Russell angegeben: „Der Dorffriseur rasiert alle und nur diejenigen Einwohner seines Dorfes, die sich nicht selbst rasieren. Sollte rasierst du dich?"). Da ein formal-logischer Widerspruch das Argumentieren als Mittel zum Entdecken und Beweisen der Wahrheit zerstört (in einer Theorie, in der ein Paradoxon auftritt, ist jeder Satz, sowohl wahr als auch falsch, beweisbar), stellt sich das Problem, die Quellen solcher Widersprüche zu identifizieren und Wege finden, sie zu beseitigen. Das Problem des philosophischen Verständnisses spezifischer Lösungen von Paradoxien ist eines der wichtigen methodischen Probleme der formalen Logik und der logischen Grundlagen der Mathematik.

Der Zweck dieser Arbeit ist es, die Paradoxien der Mengenlehre als Erben alter Antinomien und ganz logische Konsequenzen des Übergangs zu einer neuen Abstraktionsebene - der Unendlichkeit - zu untersuchen. Die Aufgabe besteht darin, die wichtigsten Paradoxien und ihre philosophische Interpretation zu betrachten.

Grundlegende Paradoxien der Mengenlehre

Der Barbier rasiert nur Leute, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich?

Weiter geht es mit einem kurzen Ausflug in die Geschichte.

Einige der logischen Paradoxien sind seit der Antike bekannt, aber aufgrund der Tatsache, dass die mathematische Theorie allein auf Arithmetik und Geometrie beschränkt war, war es unmöglich, sie mit der Mengenlehre zu korrelieren. Im 19. Jahrhundert änderte sich die Situation grundlegend: Kantor erreichte in seinen Werken eine neue Abstraktionsebene. Er führte den Begriff der Unendlichkeit ein, schuf damit einen neuen Zweig der Mathematik und ermöglichte damit den Vergleich verschiedener Unendlichkeiten unter Verwendung des Begriffs der „Potenz einer Menge“. Dabei schuf er jedoch viele Paradoxien. Die erste ist die sog Burali-Forti-Paradoxon. In der mathematischen Literatur gibt es verschiedene Formulierungen, die auf unterschiedlicher Terminologie und einem angenommenen Satz bekannter Theoreme basieren. Hier ist eine der formalen Definitionen.

Es kann bewiesen werden, dass, wenn eine beliebige Menge von Ordnungszahlen ist, die Summenmenge eine Ordnungszahl ist, die größer oder gleich jedem der Elemente von ist. Nehmen wir nun an, dass dies die Menge aller Ordnungszahlen ist. Dann ist eine Ordnungszahl größer oder gleich einer der Zahlen in . Aber dann ist und eine Ordnungszahl, außerdem ist sie schon strikt größer und daher keiner der Zahlen in gleich. Dies widerspricht aber der Bedingung, dass die Menge aller Ordnungszahlen ist.

Der Kern des Paradoxons besteht darin, dass bei der Bildung der Menge aller Ordnungszahlen ein neuer Ordnungstyp gebildet wird, der noch nicht unter „allen“ transfiniten Ordnungszahlen war, die vor der Bildung der Menge aller Ordnungszahlen existierten. Dieses Paradoxon wurde von Cantor selbst entdeckt, unabhängig entdeckt und veröffentlicht von dem italienischen Mathematiker Burali-Forti, dessen Fehler von Russell korrigiert wurden, woraufhin die Formulierung ihre endgültige Form erhielt.

Unter allen Versuchen, solche Paradoxien zu vermeiden und teilweise zu erklären, verdient die Idee des bereits erwähnten Russell die größte Aufmerksamkeit. Er schlug vor, aus Mathematik und Logik imprädikative Sätze auszuschließen, in denen die Definition eines Elements einer Menge von letzterem abhängt, was zu Paradoxien führt. Die Regel klingt so: "Keine Menge kann Elemente enthalten, die nur in Bezug auf eine Menge definiert sind, sowie Elemente, die diese Menge in ihrer Definition voraussetzen." Eine solche Einschränkung der Definition einer Menge ermöglicht es uns, Paradoxien zu vermeiden, schränkt aber gleichzeitig den Anwendungsbereich ihrer Anwendung in der Mathematik erheblich ein. Darüber hinaus reicht dies nicht aus, um ihre Natur und Gründe für ihr Erscheinen zu erklären, die in der Dichotomie von Denken und Sprache verwurzelt sind, in den Merkmalen der formalen Logik. Bis zu einem gewissen Grad kann diese Einschränkung als Analogie zu dem verfolgt werden, was Kognitionspsychologen und Linguisten später als "Grundstufenkategorisierung" bezeichneten: Die Definition wird auf das am einfachsten zu verstehende und zu studierende Konzept reduziert.

Cantors Paradoxon. Angenommen, die Menge aller Mengen existiert. In diesem Fall gilt, dass jede Menge eine Teilmenge von ist. Aber daraus folgt, dass die Kardinalität jeder Menge die Kardinalität von nicht überschreitet. Aber aufgrund des Axioms der Menge aller Teilmengen, denn , sowie jeder Menge, gibt es eine Menge aller Teilmengen , und des Satzes von Cantor, der der vorherigen Aussage widerspricht. Daher kann es nicht existieren, was der "naiven" Hypothese widerspricht, dass jede syntaktisch korrekte logische Bedingung eine Menge definiert, dh die für jede Formel, die kein frei enthält. Einen bemerkenswerten Beweis für die Abwesenheit solcher Widersprüche auf der Grundlage der axiomatisierten Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie liefert Potter.

Aus logischer Sicht sind die beiden oben genannten Paradoxien identisch mit dem „Lügner“ oder „Der Barbier“: Das geäußerte Urteil richtet sich nicht nur an etwas Objektives in Bezug auf ihn, sondern auch an sich selbst. Allerdings sollte man nicht nur auf die logische Seite achten, sondern auch auf den Begriff der Unendlichkeit, der hier vorhanden ist. Die Literatur bezieht sich auf die Arbeit von Poincaré, in der er schreibt: "Der Glaube an die Existenz einer tatsächlichen Unendlichkeit ... macht diese nicht-prädikativen Definitionen notwendig" .

Im Allgemeinen sind die wichtigsten Punkte:

1. in diesen Paradoxien wird die Regel verletzt, die „Sphären“ von Prädikat und Subjekt klar zu trennen; der Grad der Verwirrung kommt der Ersetzung eines Konzepts durch ein anderes nahe;
2. normalerweise wird in der Logik davon ausgegangen, dass Subjekt und Prädikat im Prozess der Argumentation ihren Umfang und Inhalt behalten, in diesem Fall gibt es einen Übergang von einer Kategorie zur anderen, was zu einer Diskrepanz führt;
3. Das Vorhandensein des Wortes „alle“ ist für eine endliche Anzahl von Elementen sinnvoll, aber im Fall einer unendlichen Anzahl von ihnen ist es möglich, dass eines vorhanden ist, das, um sich selbst zu definieren, die Definition einer Menge erfordern würde;
4. logische Grundgesetze verletzt werden:
   1. das Identitätsgesetz wird verletzt, wenn die Nichtidentität des Subjekts und des Prädikats aufgedeckt wird;
   2. das Gesetz des Widerspruchs - wenn zwei widersprüchliche Urteile mit demselben Recht abgeleitet werden;
   3. das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten - wenn dieses Dritte anerkannt und nicht ausgeschlossen werden muss, da weder das Erste noch das Zweite ohne das andere anerkannt werden können, weil sie sind gleichermaßen gültig.

Russells Paradoxon. Hier ist eine seiner Optionen. Sei die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten. Enthält es sich selbst als Element? Wenn ja, dann sollte es per Definition kein Element sein - ein Widerspruch. Wenn nicht - dann muss es per Definition ein Element sein - wieder ein Widerspruch. Diese Aussage leitet sich logisch aus Cantors Paradoxon ab, das ihre Beziehung zeigt. Deutlicher tritt jedoch das philosophische Wesen hervor, da die „Selbstbewegung“ der Begriffe „vor unseren Augen“ stattfindet.

Tristram Shandys Paradoxon. In Sterns The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, stellt der Held fest, dass er ein ganzes Jahr brauchte, um die Ereignisse des ersten Tages seines Lebens zu erzählen, und ein weiteres Jahr, um den zweiten Tag zu beschreiben. In diesem Zusammenhang beklagt sich der Held darüber, dass sich das Material seiner Biografie schneller anhäuft, als er es verarbeiten kann, und dass er es niemals vervollständigen kann. „Nun behaupte ich“, widerspricht Russell, „dass, wenn er ewig lebte und seine Arbeit ihm nicht zur Last würde, selbst wenn sein Leben weiterhin so ereignisreich wäre wie am Anfang, dann nicht ein Teil seiner Biographie nicht ungeschrieben bleiben.

Tatsächlich könnte Shandy die Ereignisse des -ten Tages für das -te Jahr beschreiben und würde somit jeden Tag in seiner Autobiografie festhalten. Mit anderen Worten, wenn das Leben auf unbestimmte Zeit dauern würde, dann hätte es so viele Jahre wie Tage.

Russell zieht eine Analogie zwischen diesem Roman und Zeno mit seiner Schildkröte. Die Lösung liegt seiner Meinung nach darin, dass das Ganze seinem Teil im Unendlichen entspricht. Jene. nur das „Axiom des gesunden Menschenverstandes“ führt zu einem Widerspruch. Die Lösung des Problems liegt jedoch im Bereich der reinen Mathematik. Offensichtlich gibt es zwei Sätze - Jahre und Tage, zwischen deren Elementen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung besteht - eine Bijektion. Dann gibt es unter der Bedingung des unendlichen Lebens des Protagonisten zwei unendliche Mengen gleicher Macht, was, wenn wir Macht als Verallgemeinerung des Konzepts der Anzahl von Elementen in einer Menge betrachten, das Paradox auflöst.

Paradoxon (Theorem) von Banach-Tarski oder Verdoppelung des Kugelparadoxons- ein Satz der Mengenlehre, der besagt, dass eine dreidimensionale Kugel zu gleichen Teilen aus zwei ihrer Kopien zusammengesetzt ist.

Zwei Teilmengen des euklidischen Raums werden als gleich zusammengesetzt bezeichnet, wenn eine in eine endliche Anzahl von Teilen geteilt, verschoben und aus der zweiten zusammengesetzt werden kann. Genauer gesagt sind zwei Mengen und gleich zusammengesetzt, wenn sie als endliche Vereinigung von disjunkten Teilmengen dargestellt werden können und für jede Teilmenge kongruent ist.

Wenn wir den Wahlsatz verwenden, dann klingt die Definition so:

Das Axiom der Wahl impliziert, dass die Oberfläche einer Einheitskugel in eine endliche Anzahl von Teilen unterteilt wird, die durch Transformationen des dreidimensionalen euklidischen Raums, die die Form dieser Komponenten nicht ändern, in zwei Teile zusammengesetzt werden können Kugeln mit Einheitsradius.

Offensichtlich ist diese Aussage angesichts der Anforderung, dass diese Teile messbar sein müssen, nicht machbar. Der berühmte Physiker Richard Feynman erzählte in seiner Biographie, wie es ihm einst gelang, den Streit zu gewinnen, eine Orange in endlich viele Teile zu zerlegen und wieder zusammenzusetzen.

An bestimmten Stellen wird dieses Paradox verwendet, um das Axiom der Wahl zu widerlegen, aber das Problem ist, dass das, was wir als elementare Geometrie betrachten, nicht wesentlich ist. Die Begriffe, die wir für intuitiv halten, sollten auf die Ebene der Eigenschaften transzendentaler Funktionen ausgedehnt werden.

Um das Vertrauen derjenigen weiter zu schwächen, die glauben, dass das Axiom der Wahl falsch ist, sollte man den Satz von Mazurkiewicz und Sierpinski erwähnen, der besagt, dass es eine nicht leere Teilmenge der euklidischen Ebene gibt, die jeweils zwei disjunkte Teilmengen hat lassen sich in endlich viele Teile zerlegen, so dass sie sich durch Isometrien in eine Überdeckung der Menge übersetzen lassen. Der Beweis erfordert nicht die Verwendung des Wahlaxioms. Weitere auf dem Gewissheitsaxiom basierende Konstruktionen lösen das Banach-Tarski-Paradoxon auf, sind aber nicht so interessant.

1. Richards Paradoxon: Erforderlich, um "die kleinste Zahl zu nennen, die in diesem Buch nicht genannt wird". Der Widerspruch ist, dass dies einerseits möglich ist, da in diesem Buch die kleinste Zahl genannt wird. Davon ausgehend kann man die kleinsten auch unbenannt benennen. Aber hier tritt ein Problem auf: Das Kontinuum ist nicht abzählbar, zwischen zwei beliebigen Zahlen können Sie unendlich viele Zwischenzahlen einfügen. Wenn wir andererseits diese Nummer nennen könnten, würde sie automatisch von der Klasse, die im Buch nicht erwähnt wird, in die Klasse verschoben, die erwähnt wird.
2. Grelling-Nilson-Paradoxon: Wörter oder Zeichen können eine Eigenschaft bezeichnen und gleichzeitig haben oder nicht. Die trivialste Formulierung klingt so: Ist das Wort „heterologisch“ (was „nicht auf sich selbst anwendbar“ bedeutet) heterologisch? … Es ist Russells Paradoxon sehr ähnlich, da ein dialektischer Widerspruch vorhanden ist: die Dualität von Form und Inhalt verletzt wird. Bei Wörtern mit hohem Abstraktionsgrad kann nicht entschieden werden, ob diese Wörter heterologisch sind.
3. Skolem-Paradoxon: Mit dem Vollständigkeitssatz von Gödel und dem Satz von Löwenheim-Skolem erhalten wir, dass die axiomatische Mengenlehre auch dann wahr bleibt, wenn für ihre Interpretation nur eine abzählbare Menge von Mengen angenommen (verfügbar) wird. Gleichzeitig enthält die axiomatische Theorie den bereits erwähnten Satz von Cantor, der uns zu unzähligen unendlichen Mengen führt.

Auflösung von Paradoxien

Mit der Entstehung der Mengenlehre entstand die sogenannte dritte Krise der Mathematik, die noch nicht für alle zufriedenstellend gelöst ist. Historisch gesehen war der erste Ansatz mengentheoretisch. Es basierte auf der Verwendung der tatsächlichen Unendlichkeit, wenn man davon ausging, dass jede unendliche Folge in der Unendlichkeit abgeschlossen ist. Die Idee war, dass man in der Mengenlehre oft mit Mengen operieren musste, die Teile anderer, größerer Mengen sein könnten. Erfolgreiche Aktionen waren in diesem Fall nur in einem Fall möglich: Die gegebenen Mengen (endlich und unendlich) sind abgeschlossen. Ein gewisser Erfolg war offensichtlich: Zermelo-Fraenkels axiomatische Mengenlehre, eine ganze Schule der Mathematik von Nicolas Bourbaki, die seit mehr als einem halben Jahrhundert existiert und immer noch viel Kritik hervorruft.

Der Logikismus war ein Versuch, die gesamte bekannte Mathematik auf die Begriffe der Arithmetik zu reduzieren und dann die Begriffe der Arithmetik auf die Konzepte der mathematischen Logik zu reduzieren. Frege nahm dies genau auf, war aber nach Abschluss der Arbeit an dem Werk gezwungen, auf seine Widersprüchlichkeit hinzuweisen, nachdem Russell auf die Widersprüche in der Theorie hingewiesen hatte. Derselbe Russell versuchte, wie bereits erwähnt, mit Hilfe der „Typentheorie“ die Verwendung imprädikativer Definitionen zu eliminieren. Seine Konzepte von Menge und Unendlichkeit sowie das Axiom der Reduzierbarkeit erwiesen sich jedoch als unlogisch. Das Hauptproblem bestand darin, dass die qualitativen Unterschiede zwischen formaler und mathematischer Logik sowie das Vorhandensein überflüssiger Konzepte, einschließlich solcher intuitiver Natur, nicht berücksichtigt wurden.
Infolgedessen konnte die Theorie des Logizismus die dialektischen Widersprüche der mit der Unendlichkeit verbundenen Paradoxien nicht beseitigen. Es gab nur Prinzipien und Methoden, die es ermöglichten, zumindest nicht-prädikative Definitionen loszuwerden. Nach seiner eigenen Überlegung war Russell Cantors Erbe.

Am Ende des XIX - Anfang des XX Jahrhunderts. Die Verbreitung der formalistischen Sichtweise auf die Mathematik war mit der Entwicklung der axiomatischen Methode und des von D. Hilbert vorgeschlagenen Programms zur Begründung der Mathematik verbunden. Die Bedeutung dieser Tatsache wird durch die Tatsache deutlich, dass das erste der dreiundzwanzig Probleme, die er der mathematischen Gemeinschaft präsentierte, das Problem der Unendlichkeit war. Die Formalisierung war notwendig, um die Konsistenz der klassischen Mathematik zu beweisen, "während sie alle Metaphysik ausschließt". Angesichts der von Hilbert eingesetzten Mittel und Methoden erwies sich sein Ziel als grundsätzlich unmöglich, aber sein Programm hatte einen enormen Einfluss auf die gesamte spätere Entwicklung der mathematischen Grundlagen. Hilbert hat lange an diesem Problem gearbeitet, nachdem er zuerst die Axiomatik der Geometrie konstruiert hatte. Da sich die Lösung des Problems als recht erfolgreich herausstellte, beschloss er, die axiomatische Methode auf die Theorie der natürlichen Zahlen anzuwenden. Dazu schrieb er: „Ich verfolge ein wichtiges Ziel: Ich möchte mich mit den Grundlagenfragen der Mathematik an sich befassen und jede mathematische Aussage in eine streng ableitbare Formel verwandeln.“ Gleichzeitig war geplant, die Unendlichkeit loszuwerden, indem man sie auf eine bestimmte endliche Anzahl von Operationen reduziert. Dazu wandte er sich der Physik mit ihrem Atomismus zu, um die ganze Widersprüchlichkeit unendlicher Größen aufzuzeigen. Tatsächlich hat Hilbert die Frage nach dem Verhältnis von Theorie und objektiver Realität aufgeworfen.

Eine mehr oder weniger vollständige Vorstellung von endlichen Methoden gibt Hilberts Schüler J. Herbran. Unter endlichem Denken versteht er solches Denken, das die folgenden Bedingungen erfüllt: logische Paradoxien

Es wird immer nur eine endliche und bestimmte Anzahl von Objekten und Funktionen betrachtet;

Funktionen haben eine genaue Definition, und diese Definition erlaubt es uns, ihren Wert zu berechnen;

Es behauptet niemals "Dieses Objekt existiert", es sei denn, es ist bekannt, wie es konstruiert werden kann;

Die Menge aller Objekte X einer unendlichen Sammlung wird niemals betrachtet;

Wenn bekannt ist, dass irgendeine Argumentation oder ein Theorem für alle diese X wahr ist, dann bedeutet dies, dass diese allgemeine Argumentation für jedes spezifische X wiederholt werden kann und diese allgemeine Argumentation selbst nur als ein Modell für eine solche spezifische Argumentation betrachtet werden sollte.

Zum Zeitpunkt der letzten Veröffentlichung auf diesem Gebiet hatte Gödel jedoch bereits seine Ergebnisse erhalten, im Wesentlichen entdeckte und bestätigte er erneut die Anwesenheit der Dialektik im Erkenntnisprozess. Im Wesentlichen zeigte die Weiterentwicklung der Mathematik das Scheitern von Hilberts Programm.

Was genau hat Gödel bewiesen? Es gibt drei Hauptergebnisse:

1. Gödel zeigte die Unmöglichkeit eines mathematischen Beweises für die Konsistenz eines Systems, das groß genug ist, um die gesamte Arithmetik einzuschließen, ein Beweis, der keine anderen Schlußregeln als die im System selbst gefundenen verwenden würde. Ein solcher Beweis, der eine stärkere Inferenzregel verwendet, kann nützlich sein. Aber wenn diese Schlußregeln stärker sind als die logischen Mittel des arithmetischen Kalküls, dann gibt es kein Vertrauen in die Konsistenz der im Beweis verwendeten Annahmen. In jedem Fall wird sich Hilberts Programm als undurchführbar erweisen, wenn die verwendeten Methoden nicht finitistisch sind. Gödel zeigt nur die Inkonsistenz von Berechnungen zum Finden eines finitistischen Beweises für die Konsistenz der Arithmetik.

2. Gödel wies auf die grundsätzlichen Grenzen der Möglichkeiten der axiomatischen Methode hin: Das Principia-Mathematica-System ist, wie jedes andere System, mit dem Arithmetik aufgebaut wird, im Wesentlichen unvollständig, d.h. für jedes konsistente System von arithmetischen Axiomen gibt es wahre arithmetische Sätze, die es sind nicht aus den Axiomen dieses Systems abgeleitet.

3. Der Satz von Gödel zeigt, dass keine Erweiterung eines arithmetischen Systems es vervollständigen kann, und selbst wenn wir es mit einer unendlichen Menge von Axiomen füllen, wird es im neuen System immer wahre, aber nicht mit Hilfe dieses Systems ableitbare geben, Positionen. Die axiomatische Herangehensweise an die Arithmetik natürlicher Zahlen kann nicht den gesamten Bereich wahrer arithmetischer Sätze abdecken, und was wir unter dem Prozess des mathematischen Beweises verstehen, ist nicht auf die Verwendung der axiomatischen Methode beschränkt. Nach Gödels Theorem wurde es sinnlos zu erwarten, dass der Begriff eines überzeugenden mathematischen Beweises ein für alle Mal in umrissenen Formen gegeben werden könnte.

Der letzte in dieser Reihe von Versuchen, die Mengenlehre zu erklären, war der Intuitionismus.

Er durchlief eine Reihe von Stufen in seiner Entwicklung – Semi-Intuitionismus, eigentlicher Intuitionismus, Ultra-Intuitionismus. In verschiedenen Stadien machten sich Mathematiker Sorgen um verschiedene Probleme, aber eines der Hauptprobleme der Mathematik ist das Problem der Unendlichkeit. Die mathematischen Konzepte von Unendlichkeit und Kontinuität sind seit ihren Anfängen Gegenstand philosophischer Analysen (die Ideen der Atomisten, die Aporien von Zeno von Elea, die Infinitesimalmethoden in der Antike, die Infinitesimalrechnung in der Neuzeit usw.). Die größte Kontroverse wurde durch die Verwendung verschiedener Arten von Unendlichkeit (potentiell, aktuell) als mathematische Objekte und ihre Interpretation verursacht. Alle diese Probleme wurden unserer Meinung nach durch ein tieferes Problem verursacht – die Rolle des Subjekts in der wissenschaftlichen Erkenntnis. Tatsache ist, dass der Krisenzustand der Mathematik durch die erkenntnistheoretische Unsicherheit des Vergleichs der Welt des Objekts (Unendlichkeit) und der Welt des Subjekts erzeugt wird. Der Mathematiker als Subjekt hat die Möglichkeit, das Erkenntnismittel zu wählen - entweder potentiell oder tatsächlich unendlich. Die Nutzung der potentiellen Unendlichkeit als eine werdende gibt ihm die Möglichkeit, eine unendliche Reihe von Konstruktionen auszuführen, zu konstruieren, die auf endlichen aufgebaut werden können, ohne einen endlichen Schritt zu haben, ohne die Konstruktion zu vollenden, es ist nur möglich. Die Verwendung der tatsächlichen Unendlichkeit gibt ihm die Möglichkeit, mit der Unendlichkeit als bereits realisierbar, vollendet in ihrer Konstruktion, als zugleich tatsächlich gegeben zu arbeiten.

Auf der Stufe des Semi-Intuitionismus war das Problem der Unendlichkeit noch nicht unabhängig, sondern in das Problem der Konstruktion mathematischer Objekte und Möglichkeiten zu ihrer Rechtfertigung eingewoben. Der Semi-Intuitionismus von A. Poincaré und den Vertretern der Pariser Schule der Funktionentheorie Baire, Lebesgue und Borel richtete sich gegen die Annahme des Axioms der freien Wahl, mit dessen Hilfe der Satz von Zermelo bewiesen wird, der besagt, dass jeder Menge kann vollständig geordnet gemacht werden, ohne jedoch einen theoretischen Weg anzugeben, um die Elemente einer beliebigen Teilmenge der gewünschten Mengen zu bestimmen. Es gibt keine Möglichkeit, ein mathematisches Objekt zu konstruieren, und es gibt kein mathematisches Objekt selbst. Mathematiker glaubten, dass das Vorhandensein oder Fehlen einer theoretischen Methode zur Konstruktion einer Folge von Untersuchungsobjekten als Grundlage für die Begründung oder Widerlegung dieses Axioms dienen kann. In der russischen Version wurde das semi-intuitionistische Konzept in den philosophischen Grundlagen der Mathematik in eine Richtung entwickelt, wie der von N.N. Luzin. Der Effektivismus ist ein Gegensatz zu den Hauptabstraktionen von Cantors Lehre vom Unendlichen – Aktualität, Wahl, transfinite Induktion usw.

Für den Effektivismus ist die Abstraktion der potentiellen Machbarkeit erkenntnistheoretisch wertvoller als die Abstraktion der tatsächlichen Unendlichkeit. Dadurch wird es möglich, das Konzept der transfiniten Ordnungszahlen (unendliche Ordnungszahlen) auf der Grundlage des effektiven Konzepts des Wachstums von Funktionen einzuführen. Die erkenntnistheoretische Einstellung des Effektivismus zur Darstellung des Kontinuierlichen (Kontinuum) basierte auf diskreten Mitteln (Arithmetik) und der von N. N. Luzin geschaffenen deskriptiven Theorie der Mengen (Funktionen). Der Intuitionismus des Niederländers L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heyting sieht frei entstehende Sequenzen verschiedener Art als traditionellen Untersuchungsgegenstand. In diesem Stadium stellten Intuitionisten bei der Lösung mathematischer Probleme im eigentlichen Sinne, einschließlich der Umstrukturierung der gesamten Mathematik auf einer neuen Grundlage, die philosophische Frage nach der Rolle eines Mathematikers als erkennendem Subjekt. Wo ist seine Position, wo er freier und aktiver in der Wahl der Erkenntnismittel ist? Intuitionisten waren die ersten (und auf der Stufe des Semi-Intuitionismus), die das Konzept der tatsächlichen Unendlichkeit, Cantors Mengentheorie, kritisierten und darin die Verletzung der Fähigkeit des Subjekts sahen, den Prozess der wissenschaftlichen Suche nach einer Lösung für ein konstruktives Problem zu beeinflussen . Bei der Verwendung der potentiellen Unendlichkeit täuscht sich das Subjekt nicht, da für ihn die Vorstellung der potentiellen Unendlichkeit intuitiv viel klarer ist als die Vorstellung der tatsächlichen Unendlichkeit. Für einen Intuitionisten gilt ein Objekt als existent, wenn es einem Mathematiker direkt gegeben wird oder die Methode seiner Konstruktion bekannt ist. In jedem Fall kann das Subjekt damit beginnen, die Konstruktion einer Reihe von Elementen seines Satzes abzuschließen. Das unkonstruierte Objekt existiert für Intuitionisten nicht. Gleichzeitig wird dem Subjekt, das mit der tatsächlichen Unendlichkeit arbeitet, diese Möglichkeit genommen und es wird die doppelte Verwundbarkeit der eingenommenen Position spüren:

1) es ist niemals möglich, diese unendliche Konstruktion auszuführen;

2) er beschließt, mit der tatsächlichen Unendlichkeit wie mit einem endlichen Objekt zu operieren, und verliert in diesem Fall seine Spezifität des Konzepts der Unendlichkeit. Der Intuitionismus schränkt die Möglichkeiten eines Mathematikers bewusst dadurch ein, dass er mathematische Objekte ausschließlich mit Mitteln konstruieren kann, die zwar mit Hilfe abstrakter Begriffe gewonnen, aber gerade praktisch effektiv, überzeugend, beweisbar, funktional konstruktiv und selbst als Konstruktionen intuitiv klar sind, Konstruktionen, an deren Zuverlässigkeit in der Praxis kein Zweifel besteht. Der Intuitionismus, der sich auf das Konzept der potentiellen Unendlichkeit und konstruktive Forschungsmethoden stützt, befasst sich mit der Mathematik des Werdens, die Mengenlehre bezieht sich auf die Mathematik des Seins.

Für den Intuitionisten Brouwer als Vertreter des mathematischen Empirismus ist die Logik zweitrangig, er kritisiert sie und das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten.

In seinen teils mystischen Werken leugnet er nicht die Existenz der Unendlichkeit, sondern lässt nicht deren Aktualisierung, sondern nur Potentialisierung zu. Das Wichtigste für ihn ist die Interpretation und Begründung praktisch verwendeter logischer Mittel und mathematischer Argumente. Die von den Intuitionisten gewählte Einschränkung überwindet die Unsicherheit der Verwendung des Begriffs der Unendlichkeit in der Mathematik und drückt den Wunsch aus, die Krise der Grundlagen der Mathematik zu überwinden.

Ultra-Intuitionismus (A. N. Kolmogorov, A. A. Markov und andere) ist die letzte Stufe in der Entwicklung des Intuitionismus, in der seine Hauptideen modernisiert, erheblich ergänzt und transformiert werden, ohne sein Wesen zu ändern, aber Mängel zu überwinden und positive Aspekte zu stärken, geleitet von das Kriterium mathematische Strenge. Die Schwäche des intuitionistischen Ansatzes war ein enges Verständnis der Rolle der Intuition als einzige Rechtfertigungsquelle für die Richtigkeit und Wirksamkeit mathematischer Methoden. Mit der „intuitiven Klarheit“ als Wahrheitskriterium in der Mathematik haben die Intuitionisten die Möglichkeiten eines Mathematikers als Erkenntnissubjekt methodisch verarmt, seine Tätigkeit nur auf auf Intuition basierende mentale Operationen reduziert und die Praxis nicht in den Prozess der mathematischen Erkenntnis einbezogen. Das ultra-intuitionistische Programm zur Begründung der Mathematik ist eine russische Priorität. Daher übernahmen einheimische Mathematiker, die die Grenzen des Intuitionismus überwanden, die effektive Methodik der materialistischen Dialektik und erkannten die menschliche Praxis als Quelle der Bildung sowohl mathematischer Konzepte als auch mathematischer Methoden (Schlussfolgerungen, Konstruktionen) an. Die Ultraintuitionisten lösten das Problem der Existenz mathematischer Objekte, indem sie sich nicht auf das undefinierte subjektive Konzept der Intuition stützten, sondern auf die mathematische Praxis und einen spezifischen Mechanismus zur Konstruktion eines mathematischen Objekts – einen Algorithmus, der durch eine berechenbare, rekursive Funktion ausgedrückt wird.

Der Ultra-Intuitionismus verstärkt die Vorteile des Intuitionismus, die in der Möglichkeit bestehen, die von Mathematikern aller Richtungen verwendeten Methoden zur Lösung konstruktiver Probleme zu ordnen und zu verallgemeinern. Daher steht der Intuitionismus der letzten Stufe (Ultraintuitionismus) dem Konstruktivismus in der Mathematik nahe. In erkenntnistheoretischer Hinsicht sind die Hauptideen und Prinzipien des Ultraintuitionismus folgende: Kritik an der klassischen Axiomatik der Logik; die Nutzung und signifikante Stärkung (auf ausdrückliche Anweisung von A. A. Markov) der Rolle der Abstraktion der Identifikation (mentale Abstraktion von den unähnlichen Eigenschaften von Objekten und die gleichzeitige Isolierung der allgemeinen Eigenschaften von Objekten) als eine Möglichkeit, Abstraktes zu konstruieren und konstruktiv zu verstehen Konzepte, mathematische Urteile; Beweis der Konsistenz konsistenter Theorien. In formaler Hinsicht wird die Anwendung der Abstraktion der Identifikation durch ihre drei Eigenschaften (Axiome) der Gleichheit – Reflexivität, Transitivität und Symmetrie – gerechtfertigt.

Um den Hauptwiderspruch in der Mathematik zum Problem der Unendlichkeit zu lösen, der zu einer Krise seiner Grundlagen führte, auf der Stufe des Ultra-Intuitionismus in den Werken von A.N. Kolmogorov schlug Wege aus der Krise vor, indem er das Problem der Beziehungen zwischen klassischer und intuitionistischer Logik, klassischer und intuitionistischer Mathematik löste. Brouwers Intuitionismus leugnete insgesamt die Logik, aber da kein Mathematiker ohne Logik auskommen kann, wurde die Praxis des logischen Denkens im Intuitionismus noch bewahrt, einige Prinzipien der klassischen Logik wurden zugelassen, die die Axiomatik zur Grundlage hatten. S.K. Kleene, R. Wesley stellen sogar fest, dass die intuitionistische Mathematik als eine Art Kalkül beschrieben werden kann, und die Kalkül ist eine Möglichkeit, mathematisches Wissen auf der Grundlage von Logik, Formalisierung und ihrer Form – Algorithmisierung – zu organisieren. Eine neue Version der Beziehung zwischen Logik und Mathematik im Rahmen der intuitionistischen Anforderungen an die intuitive Klarheit der Urteile, insbesondere derjenigen, die die Negation beinhalten, A.N. Kolmogorov schlug Folgendes vor: Er präsentierte die intuitionistische Logik, die eng mit der intuitionistischen Mathematik verwandt ist, in Form eines axiomatischen implikativen Minimalkalküls von Sätzen und Prädikaten. So präsentierte der Wissenschaftler ein neues Modell mathematischen Wissens, das die Grenzen des Intuitionismus überwindet, indem er nur die Intuition als Erkenntnismittel anerkennt, und die Grenzen des Logizismus, der die Möglichkeiten der Logik in der Mathematik verabsolutiert. Diese Position ermöglichte es, die Synthese des Intuitiven und Logischen als Grundlage flexibler Rationalität und ihrer konstruktiven Wirksamkeit in mathematischer Form aufzuzeigen.

Der erkenntnistheoretische Aspekt des mathematischen Wissens ermöglicht es uns also, die revolutionären Veränderungen im Stadium der Krise der mathematischen Grundlagen an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert zu beurteilen. von neuen Positionen zum Verständnis des Erkenntnisprozesses, der Natur und Rolle des Subjekts darin. Das erkenntnistheoretische Subjekt der traditionellen Erkenntnistheorie, entsprechend der Dominanzperiode des mengentheoretischen Ansatzes in der Mathematik, ist ein abstraktes, unvollständiges, „partielles“ Subjekt, repräsentiert in Subjekt-Objekt-Beziehungen, abgerissen durch Abstraktionen, Logik, Formalismus von der Realität, rational, theoretisch seinen Gegenstand kennend und als Spiegel verstanden, die Realität genau widerspiegelnd und kopierend. Tatsächlich wurde das Subjekt als realer Prozess und Ergebnis der Interaktion mit dem Objekt von der Erkenntnis ausgeschlossen. Der Einzug des Intuitionismus in die Arena des Kampfes philosophischer Strömungen in der Mathematik führte zu einem neuen Verständnis des Mathematikers als Erkenntnissubjekt – einer wissenden Person, deren philosophische Abstraktion gleichsam neu aufgebaut werden muss. Der Mathematiker erschien als empirisches Subjekt, bereits verstanden als integrale reale Person, einschließlich all jener Eigenschaften, von denen im erkenntnistheoretischen Subjekt abstrahiert wurde - empirische Konkretheit, Variabilität, Geschichtlichkeit; es ist ein Handeln und Erkennen in echter Erkenntnis, ein schöpferisches, intuitives, erfinderisches Subjekt. Die Philosophie der intuitionistischen Mathematik ist zur Grundlage, zur Grundlage des modernen erkenntnistheoretischen Paradigmas geworden, das auf dem Konzept der flexiblen Rationalität aufbaut, in dem eine Person ein integrales (ganzheitliches) Erkenntnissubjekt ist, das neue kognitive Qualitäten, Methoden und Verfahren besitzt; er synthetisiert seine abstrakt-erkenntnistheoretische und logisch-methodische Natur und Form und erhält zugleich eine existenziell-anthropologische und „historisch-metaphysische“ Erfassung.

Ein wichtiger Punkt ist auch die Intuition in der Erkenntnis und insbesondere in der mathematischen Begriffsbildung. Wieder gibt es einen Kampf mit der Philosophie, Versuche, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte auszuschließen, da es in der Mathematik keine Bedeutung hat und aus der Philosophie in sie hineinkommt. Das Vorhandensein einer übermäßigen Betonung der Intuition und das Fehlen klarer mathematischer Begründungen erlaubten es jedoch nicht, die Mathematik auf eine solide Grundlage zu übertragen.

Nach dem Aufkommen eines rigorosen Konzepts eines Algorithmus in den 1930er Jahren wurde der Stab des Intuitionismus jedoch vom mathematischen Konstruktivismus übernommen, dessen Vertreter einen wesentlichen Beitrag zur modernen Theorie der Berechenbarkeit leisteten. Darüber hinaus wurden in den 1970er und 1980er Jahren bedeutende Verbindungen zwischen einigen Ideen der Intuitionisten (auch solchen, die zuvor absurd schienen) und der mathematischen Theorie der Topos entdeckt. Die in einigen Topoi gefundene Mathematik ist derjenigen sehr ähnlich, die die Intuitionisten zu schaffen versuchten.

Als Ergebnis kann man eine Aussage treffen: Die meisten der oben genannten Paradoxien existieren einfach nicht in der Theorie von Mengen mit Eigenbesitz. Ob ein solcher Ansatz endgültig ist, ist umstritten, weitere Arbeiten auf diesem Gebiet werden es zeigen.

Fazit

Die dialektisch-materialistische Analyse zeigt, dass Paradoxien eine Folge der Dichotomie von Sprache und Denken sind, ein Ausdruck tiefer dialektischer (Gödels Theorem ermöglichte es, Dialektik im Erkenntnisprozess zu manifestieren) und erkenntnistheoretischen Schwierigkeiten, die mit den Konzepten eines Objekts und eines Subjekts verbunden sind Bereich in der formalen Logik, eine Menge (Klasse) in Logik und Mengenlehre, unter Verwendung des Abstraktionsprinzips, das die Einführung neuer (abstrakter) Objekte (Unendlichkeit) ermöglicht, mit Methoden zur Definition abstrakter Objekte in der Wissenschaft usw. Daher a Ein allgemeingültiger Weg zur Beseitigung aller Paradoxien kann nicht angegeben werden.

Ob die dritte Krise der Mathematik vorbei ist (weil sie in einem kausalen Zusammenhang mit Paradoxien stand; jetzt sind Paradoxien ein fester Bestandteil) – hier gehen die Meinungen auseinander, obwohl formal bekannte Paradoxien bis 1907 beseitigt wurden. Allerdings gibt es jetzt in der Mathematik andere Umstände, die entweder als Krise oder als Vorbote einer Krise angesehen werden können (z. B. das Fehlen einer strengen Rechtfertigung für das Pfadintegral).

Was die Paradoxien betrifft, so spielte das bekannte Lügnerparadoxon eine sehr wichtige Rolle in der Mathematik, ebenso wie eine ganze Reihe von Paradoxien in der sogenannten naiven (vorausgehenden axiomatischen) Mengenlehre, die eine Grundlagenkrise verursachten (eines dieser Paradoxa spielte eine fatale Rolle im Leben von G. Frege). Aber vielleicht ist eines der am meisten unterschätzten Phänomene in der modernen Mathematik, das sowohl als paradox als auch als Krise bezeichnet werden kann, Paul Cohens Lösung von Hilberts erstem Problem im Jahr 1963. Genauer gesagt, nicht die Tatsache der Entscheidung selbst, sondern die Art dieser Entscheidung.

Literatur

1. Georg Kantor. Beiträge zur Gründung der transfiniten Mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. IN. Burova. Paradoxien der Mengenlehre und Dialektik. Wissenschaft, 1976.
3. MD Töpfer. Mengenlehre und ihre Philosophie: eine kritische Einführung. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Schukow N.I. Philosophische Grundlagen der Mathematik. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R. F., S. Ilyin. Natürlich machen Sie Witze, Mr. Feynman!: Die Abenteuer eines erstaunlichen Mannes, die R. Layton von ihm erzählt wurden. Kolibri, 2008.
6. O. M. Mischewitsch. Zwei Wege zur Überwindung von Paradoxien in der Mengenlehre von G. Kantor. Logische und philosophische Studien, (3):279-299, 2005.
7. S. I. Masalova. PHILOSOPHIE DER INTUITIONISTISCHEN MATHEMATIK. Bulletin der DSTU, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Theorie von Mengen mit Eigenbesitz (Grundlagen und einige Anwendungen). Dauerwelle. Zustand un-t. – Dauerwelle, 2012.
9. S. N. Tronin. Kurzzusammenfassung der Vorlesungen zum Fach "Philosophie der Mathematik". Kasan, 2012.
10. Grishin V. N., Bochvar D. A. Studien zur Mengenlehre und nichtklassischen Logik. Wissenschaft, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: diese endlose Girlande. Bahrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Einführung in die mathematische Logik. Verlag "Nauka", 1976.
13. JA. Bochvar. Zur Frage der Paradoxien der mathematischen Logik und der Mengenlehre. Mathematische Sammlung, 57(3):369-384, 1944.

Die Beschreibung des Fachgebiets (die Erstellung seiner Ontologie) beginnt mit der Auswahl von Objekten und ihrer Klassifizierung, die traditionell darin besteht, einen Baum von Unterklassenklassen zu erstellen und ihnen Individuen zuzuordnen. Gleichzeitig wird der Begriff "Klasse" tatsächlich in der Bedeutung von "Menge" verwendet: Die Bezugnahme eines Objekts auf eine Klasse wird so verstanden, als würde es als Element in die entsprechende Menge aufgenommen. Der Zweck dieses Textes ist es zu zeigen, dass ein solcher einheitlicher Ansatz zur Beschreibung der Struktur des Fachgebiets eine starke Vereinfachung darstellt und es nicht erlaubt, die Vielfalt der semantischen Beziehungen von Objekten festzulegen.

Sehen wir uns drei Optionen zur Klassifizierung des Bug-Individuums an:

1. Tier - Hund - Husky - Käfer.
2. Service - Reiten - Bug.
3. Zwinger - Hundegespann - Zhuchka.

Die erste Folge untergeordneter Entitäten wird durch die Angabe von Klassen und Unterklassen eindeutig beschrieben: Der Käfer ist ein Individuum der Klasse „like“, die Klasse „like“ ist eine Unterklasse von Hunden, und dieser eine ist eine Unterklasse der Klasse „Tier“. . In diesem Fall wird die Klasse „Tiere“ als eine Menge aller Tiere behandelt und die Klasse „mag“ als eine Teilmenge der Menge „Hunde“. Eine solche Beschreibung ist jedoch trotz der Tatsache, dass sie ziemlich klar ist, sinnvollerweise tautologisch, selbstreferenziell: Wir nennen den einzelnen Käfer einen Husky, wenn er in der Menge der Huskys enthalten ist, und die Menge der Huskys selbst wird als der definiert Gesamtheit aller Husky-Individuen - also Aufnahme in die Menge sinnvoller Doppelnamen. Außerdem erschöpft sich die Beschreibung einer Klassenmenge vollständig durch die Beschreibung eines Individuums, das unter den die Klasse definierenden Begriff fällt. Es sollte auch beachtet werden, dass der Betrieb solcher Klassen-Sets nicht von der Anzahl der Elemente in ihnen abhängt: Der Husky des Käfers wird ein Husky sein, selbst wenn er der einzige, letzte Husky auf der Erde bleibt. Darüber hinaus können wir mit solchen Klassen-Sets auch ohne Individuen arbeiten: Wir können eine Ontologie bereits ausgestorbener Dinosaurier erstellen, an eine Klasse denken, die erst in Zukunft ein einzigartiges Gerät enthalten wird, das entworfen wird, oder ein Modell bauen des Themenbereichs Fabeltiere, Märchenhelden, obwohl gleichzeitig die Kardinalität aller Klassensätze gleich Null sein wird.

Wenn wir also von der Inhaltsseite der analysierten Klassifikation (Tier - Hund - Husky - Käfer) sprechen, dann kann sie (die Inhaltsseite) in keiner Weise durch die Beziehung von Mengen und Teilmengen ausgedrückt werden. In diesem Fall haben wir es mit Konzeptualisierung zu tun - der Auswahl von Konzepten und Gattungs-Art-Beziehungen herstellen zwischen ihnen. Gleichzeitig taucht die tatsächliche Anzahl der Elemente der Begriffsklasse, dh der Umfang des Begriffs, nicht in seiner Definition auf und wird (und selbst dann nicht sinnvoll) nur dann erwähnt, wenn ein Begriff („wie“) fällt unter einem anderen („Hund“), also als eine Art Gattung. Ja, wir können feststellen, dass der Geltungsbereich des Begriffs „Hund“ größer ist als der Geltungsbereich des Begriffs „wie“, aber das tatsächliche Zahlenverhältnis dieser Mengen hat keine ontologische Bedeutung. Die Überschreitung des Volumens einer Klasse des Volumens einer Unterklasse in Gattungs-Art-Beziehungen spiegelt nur wider, dass es nach der Definition einer Gattung mehrere Arten umfassen sollte – andernfalls wird diese Einteilung bedeutungslos. Das heißt, bei der Gattungs-Art-Begriffsklassifizierung interessieren wir uns für den Inhalt von Begriffen - wie sich der Typ "Hund" vom Typ "Katze" unterscheidet (der für sie auch unter den Oberbegriff "Tier" fällt) und nicht, wie die Volumina der Mengen der Gattung und der Art zusammenhängen, und noch mehr die Volumina spezifischer Konzepte („Hund“ und „Katze“). Und um begriffliche Klassen von wirklich zählbaren Mengen zu unterscheiden, wäre es richtiger, davon zu sprechen unter den Begriff fallen und nicht um Aufnahme es in eine Klasse/einen Satz. Es ist klar, dass in der formalen Notation die Aussagen „gehört zum Konzept von X“ und „ist ein Element der Klasse X“ gleich aussehen können, aber das Nichtverstehen des wesentlichen Unterschieds zwischen diesen beiden Beschreibungen kann zu schwerwiegenden Fehlern führen die Konstruktion der Ontologie.

Auch bei der zweiten Variante (Dienst – Fahren – Bug) geht es uns nicht darum, den Begriff „Fahren“ mit irgendeiner Menge zu vergleichen: Der semantische Inhalt der Aussage „Bug – Fahren“ hängt nicht davon ab, ob es sich um das einzige Fahren handelt einer oder es gibt viele von ihnen. Es scheint, als hätten wir es hier mit Gattungs-Art-Beziehungen zu tun: Der Begriff „Fahren“ kann relativ zum Gattungsbegriff „Dienst“ als Art betrachtet werden. Aber die Verbindung des individuellen „Bug“ mit dem Begriff „Fahren“ unterscheidet sich wesentlich von der Verbindung mit dem Begriff „Like“: Der zweite, konzeptionelle Begriff ist dem Individuum immanent und ausnahmslos inhärent, und der erste spiegelt das Lokale wider rechtzeitig Spezialisierung. Der Käfer wurde nicht als Reiter geboren, und vielleicht hört er mit zunehmendem Alter auf und wechselt in die Kategorie der Wachen, und im Alter verliert er im Allgemeinen jeden „Beruf“. Das heißt, wenn wir von Spezialisierung sprechen, können wir immer die Ereignisse des Erwerbs und des Verlusts der Verbindung mit einem bestimmten Konzept unterscheiden. Beispielsweise könnte der Käfer als absoluter Champion der Rasse anerkannt werden und dann diesen Titel verlieren, was mit konzeptionellen Konzepten grundsätzlich unmöglich ist: der Käfer von der Geburt bis zum Tod, dh für die gesamte Zeit seines Bestehens als ein Individuum, ist ein Hund und ein Husky. Der Mensch bleibt also lebenslang der Begriff „Mensch“, kann aber situativ (von Ereignis zu Ereignis) unter die Fachbegriffe „Schüler“, „Student“, „Arzt“, „Ehemann“ usw. fallen. Und wie schon bemerkt, bedeutet die Verbindung mit diesen Begriffen keineswegs die Aufnahme in eine bestimmte Menge (obwohl es so aussehen mag) - die Zuordnung eines Fachbegriffs ist immer das Ergebnis einer bestimmten Beziehung eines Individuums zu anderen Individuen: Eintreten in a Schule, Universität, Erlangung eines Diploms, Eintragung einer Eheschließung usw. Daher können auch Fachbegriffe genannt werden relational. Aus den obigen Beispielen folgt ein weiterer wesentlicher Unterschied zwischen der konzeptionellen Klassifikation und Spezialisierung: Eine Person kann mehrere Spezialisierungen haben (ein Käfer kann ein Schlittenhund und ein Champion der Rasse sein, eine Person ist ein Student und ein Ehemann), aber nicht gleichzeitig Geben Sie mehr als eine konzeptionelle Hierarchie ein (ein Käfer kann nicht ein Hund und keine Katze sein).

Und nur in der dritten Version der Beschreibung von Zhuchka - als zu einem bestimmten Zwinger gehörend und als Mitglied eines bestimmten Teams, das Schlitten durch die Tundra zieht - muss einfach die Menge erwähnt werden. Nur in diesem Fall haben wir das Recht zu sagen, dass ein Individuum ein Element einer konkreten Menge mit einer abzählbaren Anzahl von Elementen ist und nicht unter einen Begriff fällt, der als abstrakte Menge dargestellt werden kann, die den Umfang dieser Menge bedingt festlegt Konzept. Und hier ist es wichtig, dass ein Individuum Teil eines anderen Individuums ist, das ursprünglich als Menge definiert wurde: Ein Zwinger und ein Team sind notwendigerweise eine nicht leere Menge von Hunden, und die Anzahl der Elemente dieser Menge ist notwendigerweise in ihren Definitionen enthalten als Individuen. Das heißt, in diesem Fall sollten wir über die Beziehung sprechen Teil-Ganzes: Der Käfer ist Teil des Zwingers und Teil des Teams. Darüber hinaus ändert der Eintritt oder Nichteintritt des Fehlers in ein bestimmtes Team seinen (Team-) Inhalt: Wenn wir ein Team-zwei hatten, wird das Team nach der Entfernung des Fehlers zu einem einzigen Team. In solchen Fällen haben wir es nicht nur mit einer abzählbaren Menge (Hunde in einer Hundehütte) zu tun, sondern mit einem Individuum, dessen Wesen sich ändert, wenn sich die Zusammensetzung seiner Elemente ändert, also durch diese Zusammensetzung bestimmt wird System. Wenn ein Zwinger nur eine individuelle Gruppe ist, die durch eine Reihe von darin enthaltenen Elementen beschrieben wird, dann ist ein Team ein System, dessen Essenz von der Anzahl und den Besonderheiten seiner Teile abhängt.

Folglich kann man beim Aufbau einer Ontologie eines Fachgebiets reale Objektmengen herausgreifen, die genau als Sammlung einer bestimmten Anzahl von Individuen definiert sind. Diese sind: eine Klasse in der Schule, Waren in einer Kiste in einem Lagerhaus, Teile eines elektronischen Geräteblocks usw. Und diese Mengen können Teilmengen anderer echter zählbarer Mengen sein: alle Schüler in einer Schule, alle Waren in einem Lagerhaus, alle Teile eines Geräts. Bei der Unterscheidung dieser Sets ist es wichtig, dass sie (diese Sets) als unabhängige Individuen (ein Team, eine Warencharge, ein Set von Teilen) agieren, deren Hauptattribut genau die Anzahl der darin enthaltenen Elemente ist. Darüber hinaus kann eine Änderung dieses Attributs zu einer Änderung des Status des Objekts führen, z. B. mit einer Erhöhung der Anzahl der Elemente ein Quartett in ein Quintett oder ein Regiment in eine Brigade verwandeln. Wichtig ist auch, dass sich die Beschreibung dieser Set-Objekte, komplexer Objekte, nicht auf die Beschreibung der darin enthaltenen Individuen beschränkt, wohl aber einen Hinweis auf deren zulässigen Typus (Streichquartett, Pferdegespann) enthalten kann. Und solche Beziehungen – nicht zwischen abstrakten Mengen, sondern zwischen Mengen, die Individuen, komplexe Objekte sind – werden genauer als Teil-Ganzes-Beziehungen und nicht als Klasse-Unterklasse-Beziehungen beschrieben.

Die traditionelle Klassifikation von Individuen durch Zuordnung zu bestimmten Klassengruppen kann daher nicht als homogen angesehen werden. Es ist zu unterscheiden zwischen (1) der Einbeziehung von Individuen als Teile in ein komplexes Objekt (Ganzes), dessen semantische Spezifität nicht auf die Beschreibung seiner Elemente beschränkt ist. Gleichzeitig (1.1.) kann ein Objekt-Ganzes nur als eine benannte Menge von Individuen (Teile eines Pakets, eine Sammlung von Gemälden) betrachtet werden, für die es tatsächlich nur auf die Anzahl der Teile ankommt. Solche Objekte können aufgerufen werden Gruppen (oder Sammlungen)). Auch (1.2.) kann ein Objekt-Ganzes sinnvoll (und nicht nur quantitativ) durch seine Teile bestimmt werden und dadurch Eigenschaften haben, die Teile nicht haben. Solche Integrität wird traditionell genannt Systeme, und Teile von Systemen - Elemente. Die zweite Möglichkeit, Gegenstände durch Zuordnung zu Unterklassen zu beschreiben, ist (2) das Unterfallen von Individuen unter den Begriff, was nur formal tautologisch als Einschluss von Individuen in eine Menge beschrieben werden kann, deren Macht gleich der Macht des Begriffs ist. Die begriffliche Beschreibung von Individuen wiederum lässt sich einteilen in (2.1) konzeptionell, die den Typ des Individuums global festlegt, und (2.2) spezialisiert (relational), lokal in Zeit und Raum (ereignisweise), die das Individuum mit anderen Objekten verbindet.

Die obige Begründung wirft zunächst die Frage nach der Hinlänglichkeit und Angemessenheit des traditionellen Ansatzes zur Beschreibung des Sachgebiets durch eine mengentheoretische Klassifikation auf. Und die Schlussfolgerung wird vorgeschlagen: Um die ganze Vielfalt von Objektbeziehungen in Ontologien zu fixieren, bedarf es differenzierterer Klassifikationswerkzeuge (Gruppen, Systeme, Begriffs- und Fachbegriffe). Der Formalismus der Mengenlehre kann nur als lokale Vereinfachung für die Erfordernisse der Inferenz verwendet werden und nicht als Hauptmethode der Beschreibung.